《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)对边邻边CA90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。

(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。

以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。

那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。

需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。

二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。

30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。

45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。

60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。

三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。

比如，测量物体的高度。

如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。

假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。

再比如，测量河流的宽度。

我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。

四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。

2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。

锐角三角函数 讲义一、基础知识点: 1.定义:如图在△ABC 中，∠C 为直角,我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；ca A =sin 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ;cb A =cos 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ;ba A =tan 2、三角函数值(1）特殊角的三角函数值角度 三角函数 0° 30° ４5° ６０° 90° s ｉｎA 0 12 22 32１cosA １ 32 22 12 0ｔanA313不存在(２）锐角三角函数值的变化：（1)当α为锐角时，各三角函数值均为正数,且0<s ｉｎα＜1，0<c ｏs α＜1,当0°≤α≤45°时，sin α，tan α随角度的增大而_＿_____,ｃo ｓα随角度的增大而____＿__.（3）当0°<α<45°时,ｓin α__＿＿_c ｏs α;当45°＜α<90°时,ｓin α______c ｏs α.3、 同角、互余角的三角函数关系:(1)同角三角函数关系：1cos sin 22=+A A .； AA A cos sin tan =；(２)互余锐角的三角函数关系:)90cos(cos sin A B A -︒==，)90sin(sin cos A B A -︒==。

1、 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表： 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边ｃ和 锐角Ａ290,sin ,cos ,sin cos B A a c A b c A S c A A ο=-===直角边a 和锐角A 90,,,tan sin a aB A b c A Aο=-==两条边两条直角 边a 和b 22c a b =+,1,90,2A B A S ab ο=-=直角边ａ和 斜边c22,sin ,,90ab c a A A B A cο=-==-备注:a 、ｂ、c 为三角形的三边;A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积 三、典型例题：1． 锐角三角函数的相关概念例1、如图１，在RT △A ＢＣ中，∠C=９0°,si ｎA ＝53,则tanB 的值为（ﻩ）A ．34ﻩ B.54 ﻩC ．45 ﻩﻩD ．43例5例2、如图,⊙O 是△A ＢC 的外接圆,A Ｄ是⊙Ｏ的直径,若⊙O 的半径是23，AC=２,则ｓinB 的值是（ )Ａ.32ﻩﻩ B.23ﻩﻩﻩC ．43 ﻩﻩD ．34ﻩ例3：已知在Rt ABC △中,∠C 为直角，A Ｃ = ４cm ，ＢＣ = 3cm ，sin ∠A ＝ ． 例4：在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．例5:如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝9０°,ＡB =5,AC ＝２，则cos Ａ的值是( ) A.错误! B.错误! C.错误! D ．错误!A CB图1A BCDO例2ACB ACBDBACDE 例6：如图2,在△ABC 中,∠C =９0°，ＡB =1０cm ,sinA =54，则B Ｃ的长为 __＿c ｍ． 例6例７:正方形网格中，AOB ∠如图3放置，则cos AOB ∠的值为（ ）A.55ﻩ Ｂ．255ﻩ C.12ﻩﻩD.2 典型例题题型一：求锐角三角函数的值例1 在Ｒt △ＡＢC 中,∠C ＝90°，sin Ｂ=35,点D 在ＢＣ边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠ＢAD 的正切值.变式训练1 如图,在ABC △中,90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ,若23AC =,32AB =,则tan BCD ∠的值为（ ) A.2 B ．2C ．6ﻩD ．3变式训练2如图,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ＡDE=6０°,BD=4,CE=43，则△ABC 的面积为( )A.83B.１5ﻩC.3D.3题型三:化简计算例1(1））计算：20113015(1)()(cos68)338sin 602π---+++-.ABO例7变式1图 变式2图变式:已知α是锐角，且s ｉn(α+15°）＝32。

c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（ ）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（ ：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定， 变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的 大小和余弦值的大小。

锐角三角函数基本知识复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

3、特殊角的锐角三角函数值4、当0°<α<90°时sin α 、tan α均随α的增大而增大cos α随α的增大而减小。

5、解直角三角形：（1）解直角三角形的依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：∠A+∠B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)（2）解直角三角形的基本类型（解直角三角形共有五个元素，即三条边和两个锐角。

解直角三角形至少需要知道2个条件，条件中至少要知道一边 。

）6、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角。

(2) 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h i l=。

（坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

） 坡角：把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)， 那么 tan hi lα==。

（3）方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向 的水平角叫做方位角。

如图3，OA 、OB 、OC 、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

（4）方向角：指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是： 北偏东30°， 南偏东45°南偏西60°， 北偏西60° （东北方向）（东南方向），（西南方向）（西北方向）。

7、解直角三角形的应用（1）利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题。

（2）构造直角三角形后，一般寻找等量关系式，列方程，用方程方法求高度问题。

总结：利用解直角三角形求高度时，通常有锐角三角函数把与已知线段在通一条直线上的两条未知线段表示出来，然后构建方程。

《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.3030°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1求∠2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：∵∴∵∴∵∴【典型例题】类型一、锐角三角函数1．（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】利用勾股定理列式求出OA ，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可． 【答案】D ． 【解析】解：由勾股定理得OA==5，所以cos α=．故选D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA 的长度是解题的关键．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】 【变式】已知，如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，90BAD ∠=︒，2tan 3B =，求sin DAC ∠．BC【答案】过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，则∠ADE=∠BAD=90°，由2tan 3B =，得2,3AD AB = 设AD=2k,AB =3k,∵D 是ABC ∆中BC 边的中点，∴DE =3,2k 在Rt △ADE 中，5,2AE k =332sin .552kDE DAC AE k ∠===类型二、 特殊角三角函数值的计算2．先化简，再求代数式231122x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭的值，其中4sin 452cos60x =-°°． 【答案与解析】原式1212(1)(1)1x x x x x x -+=⨯=+-++．而14sin 452cos 604212x =-=-⨯=°°．∴4=．【点评】 先进行分式化简，再由1sin 45,cos 6022==°°得x 的值，最后代值求出结果．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：计算】【变式】计算：tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45°【答案】原式=222((1322-⨯ =131+342- =712类型三、 解直角三角形3．如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，3sin 5A =，则下列结论正确的个（ ）．①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C ；【解析】由菱形的周长为20 cm 知菱形边长是5 cm ．在Rt △ADE 中，∵ AD ＝5 cm ，sin A ＝35，∴ DE ＝AD ·sinA ＝3535⨯=(cm)．∴ 4AE ==(cm)．∴ BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)． 菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2)．在Rt △DEB 中，BD ==．综上所述①②③正确．故选C ．【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用. 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合4．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点， 且∠AED ＝45°．(1)试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由． (2)若⊙O 的半径为3 cm ，，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值． 【思路点拨】(1)连接OD ，可证OD ⊥CD ，所以CD 与⊙O 相切； (2)连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ，所以sin ∠ADE ＝sin ∠ABE ＝AEAB． 【答案与解析】(1)CD 与⊙O 相切．理由：如图所示，连接OD ，则∠AOD ＝2∠AED ＝2×45°＝90°．∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ， ∴ ∠CDO ＝∠AOD ＝90°， ∴ OD ⊥CD ，∴CD 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，AB ＝2×3＝6(cm)．在Rt △ABE 中，5sin 6AE ABE AB ∠==． ∴sin ∠ADE ＝sin ∠ABE 56AE AB ==．【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直．第(2)题通过作辅助线BE ，将问题巧妙转化为Rt △ABE 的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般要利用“直径所对的圆周角等于90°”这一性质构造直角三角形． 举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例6-例8】 【变式】如图，C 、D 是半圆O 上两点，511CD AB =，求cos CEB ∠和tan CEB ∠．【答案】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ， ∴CE CD 5==EB AB 11，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=BC CE类型五、三角函数与实际问题5．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．【思路点拨】由题意知△ABP 中∠A ＝60°，∠B ＝45°，∠APB ＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC ⊥AB 交AB 于C ． 【答案与解析】过点P 作PC ⊥AB 垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80， 在Rt △APC 中，cos PCAPC PA∠=． ∴PC ＝PA ·cos ∠APC＝ 在Rt △PCB 中，cos PCBPC PB∠=，∴cos PC PB BPC ===∠∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是海里．【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°(或105°)角的顶点向对边作垂线是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•南通）如图，一海伦位于灯塔P 的西南方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东60°方向上的B 处，求航程AB 的值（结果保留根号）．【答案与解析】解：过P作PC⊥AB于点C，在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，∴AC=AP•sin45°=40×=40（海里），PC=AP•cos45°=40×=40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，∴BC=PC•tan60°=40（海里），则AB=AC+BC=（40+40）海里．6．（2015•安徽模拟）如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：）【答案与解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB•sin45°=（m），在Rt△ADC中AD==5（m），CD==（m），精品初中数学讲义（带详细答案）∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后的斜坡会加长2.07m；（2）这样改造能行．∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴这样改造能行．【点评】当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．。