2008年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式: 样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh = 其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ .【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒= 【答案】102．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】1123．若将复数11ii+-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=【答案】14．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 ▲ 个元素【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37x x -<+得2560x x --<,(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z = ，共有6个元素．【答案】65．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b == ，则|5|a b -= ▲ ． 【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7【答案】76．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域 E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为 ▲ 【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6.42=【答案】6.428．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是 ▲ 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学(必修+选修II)第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) (B) 7 (C) 6(D)(5)35(1(1+-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种 （7）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为A3 B 3 C 23D 3 （8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P到x 轴的距离为(A)2 (B)2(C) (D)（10）已知函数()|lg |f x x =,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是(A))+∞ (B))+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB •的最小值为(A) 4- (B)3- (C) 4-+ (D)3-+（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A)(C) (D) 第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13)1x ≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，cot cot a b a A b B +=+且BF 2FD =，则C 的离心率为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．(18)(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .（21）(本小题满分12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .（22）(本小题满分12分) 已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-.[来源:学*科*网] （Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围.答案解析一、选择题(1)A＝i.(2)B∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝＝.∴tan100°＝－tan80°＝－＝－.(3)B线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z＝x－2y得y＝－，当直线y ＝－在y轴上的截距最小时，z取得最大值，由图知，当直线通过点A时，在y轴上的截距最小，由，解得A(1，－1)．所以z max＝1－2×(－1)＝3.（4）A数列{a n}为等比数列，由a1a2a3＝5得＝5，由a7a8a9＝10得＝10，所以＝50，即(a2a8)3＝50，即＝50，所以＝5(a n＞0)．所以a4a5a6＝＝5.(5)C(1＋2)3(1－)5的展开式中x的项为(－)3＋(2)2＝2x，所以x的系数为2.(6)A分两类：①选A类选修课2门，B类选修课1门，有·＝12(种)；②选A类选修课1门，B类选修课2门，有·＝3×6＝18(种)，所以不同的选法共有12＋18＝30(种)．（7）D不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．平面ACD1的法向量为＝(1,1,1)，又＝(0,0,1)，∴cos〈，〉＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.（8）C∵log32＝＜ln2，要比较log32＝与5－＝，只需比较log23与＝log22，只需比较3与2，∵2＞22＝4＞3，∴log32＞5－.∴c＜a＜b.(9) B在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(2)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.设P到x轴的距离为h，由S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝|F1F2|·h，解得h＝（10）C函数f(x)＝lg|x|的图象如图所示．由图知0＜a＜1，b＞1.∵f(a)＝|lga|＝－lga＝lg＝f(b)＝|lgb|＝lgb，∴b＝.∴a＋2b＝a＋.令g(a)＝a＋(0＜a＜1)，g(a)在(0,1)上为减函数，∴g(a)＝a＋＞g(1)＝1＋2＝3.（11）D如图，设∠APO＝θ，·＝||2·cos2θ＝||2·(1－2sin2θ)＝(|OP|2－1)(1－2·)＝|OP|2＋－3≥2－3，当且仅当|OP|2＝，即|OP|＝时，“＝”成立．（12）B不妨取AB⊥CD，过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P.设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD＝×2××2×h＝h.当直径通过AB与CD的中点时，h max＝2＝2.故V max＝二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．(13){x|0≤x≤2}解析：∵－x≤1，∴≤x＋1.原不等式等价于，解得0≤x≤2.(14)－解析：∵α为第三象限的角，∴π＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ，k∈Z.又∵cos2α＝－，∴2α为第二象限角．∴sin2α＝＝.∴tan2α＝＝－.∴tan(＋2α)＝＝＝－.(15)(1，)解析：y＝x2－|x|＋a＝.当其图象如图所示时满足题意．由图知，解得1＜a＜.(16)解析：如图，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，即，解得，D(，－)．由D在椭圆上得：＝1，∴＝，∴e＝＝.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)解：由a＋b＝acotA＋bcotB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，sinA－cosA＝cosB－sinB，从而sinAcos－cosAsin＝cosBsin－sinBcos，sin(A－)＝sin(－B)．又0＜A＋B＜π，故A－＝－B，A＋B＝.所以C＝.(18)解：(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋B·C，P(A)＝0.5×0.5＝0.25，P(B)＝2×0.5×0.5＝0.5，P(C)＝0.3，P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B·C)＝P(A)＋P(B)·P(C)＝0.25＋0.5×0.3＝0.40.(2)X～B(4,0.4)，其分布列为P(X＝0)＝(1－0.4)4＝0.129 6，P(X＝1)＝×0.4×(1－0.4)3＝0.345 6，P(X＝2)＝×0.42×(1－0.4)2＝0.345 6，P(X＝3)＝×0.43×(1－0.4)＝0.153 6，P(X＝4)＝0.44＝0.025 6.期望E(X)＝4×0.4＝1.6.（19）解法一：(1)连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD. 又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.作BK⊥EC，K为垂足．因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE.DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SB.SB＝＝，DE＝＝，EB＝＝，SE＝SB－EB＝，所以SE＝2EB.(2)由SA＝＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝＝1，又AD＝1，故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF＝＝.连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE.所以∠AFG是二面角A—DE—C的平面角．连结AG，AG＝，FG＝＝，cos∠AFG＝＝－.所以二面角A-DE-C的大小为120°.解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Dxyz.设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．(1) ＝(0,2，－2)，＝(－1,1,0)．设平面SBC的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥得n·＝0，n·＝0.故2b－2c＝0，－a＋b＝0.令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)．又设＝λ(λ＞0)，则E(，，)．＝(，，)，＝(0,2,0)．设平面CDE的法向量m＝(x，y，z)，由m⊥，m⊥，得m·＝0，m·＝0.故＋＋＝0,2y＝0.令x＝2，则m＝(2,0，－λ)．由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n，m·n＝0，2－λ＝0，λ＝2.故SE＝2EB.(2)由(1)知E(，，)，取DE中点F，则F(，，)，＝(，－，－)，故·＝0，由此得FA⊥DE.又＝(－，，－)，故·＝0，由此得EC⊥DE，向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角．于是cos〈，〉＝＝－，所以二面角A-DE-C的大小为120°(20)解：(1)f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1，题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a，令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，g(x)≤g(1)＝－1.综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1，即lnx－x＋1≤0.当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1＝xlnx＋(lnx－x＋1)≤0；当x≥1时，f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1)＝lnx＋x(lnx＋－1)＝lnx－x(ln－＋1)≥0.所以(x－1)f(x)≥0.（21）解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4. ①直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，即y－y2＝·(x－)．令y＝0，得x＝＝1.所以点F(1,0)在直线BD上．(2)由①知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1.因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，故8－4m2＝，解得m＝±.所以l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.又由①知y2－y1＝±＝±，故直线BD的斜率＝±，因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.因为KF为∠BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(－1＜t＜1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，.由＝得t＝或t＝9(舍去)，故圆M的半径r＝＝.所以圆M的方程为(x－)2＋y2＝.（22）解：(1)a n＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即b n＋1＝4b n＋2.b n＋1＋＝4(b n＋)，又a1＝1，故b1＝＝－1.所以{b n＋}是首项为－，公比为4的等比数列，b n＋＝(－)×4n－1，b n＝－－.(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，a n＜a n＋1.(ⅰ)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；(ⅱ)设当n＝k时，a k＜a k＋1，则当n＝k＋1时，a k＋2＝c－＞c－＝a k＋1.故由(ⅰ)(ⅱ)知当c＞2时，a n＜a n＋1.当c＞2时，令α＝，由a n＋＜a n＋1＋＝c得a n＜α；当2＜c≤时，a n＜α≤3.当c＞时，α＞3，且1≤a n＜α，于是α－a n＋1＝(α－a n)≤(α－a n)，α－a n＋1≤(α－1)．当n＞时，α－a n＋1＜α－3，a n＋1＞3. 因此c＞不符合要求．所以c的取值范围是(2，]．。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，，． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =，则zz等于（ ） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。

可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）xxA ．B ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。

ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x =对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A．5-B．5C ．45-D ．45解：：3cos()sin sin 62παααα-+=+=14cos 25αα=，714sin()sin()cos .6625ππαααα⎫+=-+=-+=-⎪⎪⎝⎭6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =⨯⨯。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(理科)全解析广东佛山南海区南海中学 钱耀周一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ C ） A ．(15)， B ．(13)，C．D．【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16B ．24C ．36D ．48【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A ．24B ．18C ．16D ．12 表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯4．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．40 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝ 为真命题E F DIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．图37．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。

2008年高考数学全国1卷（山西卷）试题分析2008年06月09日 07:34试题立意新颖难度有增加今年的数学试题整体充分贯彻了全国高考数学《考试大纲》的基本精神，立足现行高中数学教材，注重基础知识考查,突出能力立意,虽然相比2006年、2007年难度上有所提高，但试题难度仍然适中。

同时，文理数学试题都没有偏题、怪题，而且题目多是立意新颖，“把关点”多，有利于高校选拔人才，应该说是一份好题。

可以说，今年的试题虽然有一定的难度，但预计将有较好的区分度。

重视基础保持稳定有创新总体来讲，试题源于教材，又高于教材，突出考查数学思想方法和数学能力。

其中，题型、题量和2007年完全相同，但是难度上有所提高，学生平均考分可能低去年15分左右。

同时，试题没有大起大落，有利于高校选拔人才，有利于高中数学教学，稳中有新，稳中有进。

在“难大家都难”的情况下，平时灵活运用、不生搬硬套的考生将会“沾点光”。

今年原则重点知识重点查除了集合与简易逻辑、文理科统计涉及内容较少外，其他大部分知识点都有考查。

其中，解析几何比重较大，从这一点来看，这份试题体现出重点知识重点考查的原则。

另外，今年，文理科数学试题各部分知识点中，考查分值的分布情况如下表所示：学科函数三角数列向量立体几何解析几何概率导数其他文科15 20 17 5 22 32 12 17 10理科20 15 17 5 22 32 12 17 10文理差异与去年大致相当今年的数学试题文理科相近、相同的题目比较少。

总体来讲，文理科均有22个题，其中，大题中有两个题相同，小题中仅有6个相同。

相比2006年，差异较大，与2007年大致相当。

试题中，所有考查范围不同的题目，单从难度上来讲，相比前两年，文科比理科容易程度更明显。

另外，文理科试题顺序上也有差异。

简单来说，适合于文、理科考生的易、中、难搭配更趋合理。

试题特点主要集中在7大类大部分题目可在教材中找到原型；入手较容易，但得高分不易；设问有创新；知识交汇的考查题目较多；解题方法呈多样性；注重基本运算能力；对审题要求高-试题源于教材，又高于教材，大部分题目在教材中可以找到原型如文科(3)题、理科(5)题，在教材向量章节的例题中可以找到原型；文理科(13)题，在线性规划这一节当中，到处可见这种题型。

绝密 ★ 启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3.本卷共10小题，每小题5分，共50分。

参考公式：·如果时间A ，B 互斥，那么·球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24S R π=.·如果事件A ，B 相互独立，那么其中R 表示球的半径.P （A·B ）=P （A ）·P （B ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，()=-+113i i i(A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i 解析：()31(1)11111i i i i ii i i +-+-===----，选A ． （2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5解析：如图，由图象可知目标函数y x z +=5过点(1,0)A 时z 取得最大值，max 5z =，选D ．（3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 解析：()cos 2f x x =-是周期为π的偶函数，选B ．（4）设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是(A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a 解析：A 、B 、D 直线,a b 可能平行，选C ．（5）设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C)21(D) 772解析：由椭圆第一定义知2a =，所以24m =，椭圆方程为22111432x y e d +=⇒== 所以2d =，选B ．（6）设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是(A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a 解析：{|15}S x x x =<->或，所以13185a a a <-⎧⇒-<<-⎨+>⎩，选A ．（7）设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f1-在其定义域上是减函数且最小值为0(C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为0解析：1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，所以1()f x -单调递增，排除B 、C ；又1()f x -的值域为()f x 的定义域，所以1()f x -最小值为0．（8）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x解析：依题意得11010(1)()(1)1x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩≥≤⎩≤或所以11111111x x x x x x R x ⎧≥-≤≤⇒≤∈≤≤<-⎧⎪⇒<--⎨⎨⎪⎩⎩或或，选C ． （9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<解析：5(cos)(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-= 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ． （10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有(A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A =种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46360A =去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有2412A =种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有31248412⨯=种不同的排法，选B ．第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

(A) 4(B) 3(C ) 2(D) 12010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修H ）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第n 卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码•请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目.2•每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3•第I 卷共10小题，每小题3分，共30分•在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求.参考公式:如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)y 兰1，（3）若变量x, y 满足约束条件』x + y 兰0 则z=x-2y 的最大值为|x 〜y 〜2 -0.绝密★启用前球的表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A B)=P(A) P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率P n （k ） =C ：P k （1 -P 严、选择题其中R 表示球的半径(1) 复数3 2i -2 -3i(A ) i(B )-i(2) 记 cos( -80 ) = k ,那么 tan 100 二J1 -k 21 -k2 (A )(B ) -kk(C ) 12 -13i(D )12 13i(C ) k (D )k 1 -k 2• 1 -k 2(4)已知各项均为正数的等比数列g ｝中，a 1a 2a^5,a 7a 8a 9 =10,则a 4a 3a 6 =(A ) 52(B ) 7(C ) 6(D ) 42(5) (1 • 2... x)3(1 -3.x)5的展开式中x 的系数是(A ) -4( B ) -2( C ) 2( D ) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选择题4门，一位同学从中共选 3门，若要求两类课 程中各至少选一门，则不同的选法共有(A ) 30 种 (B ) 35 种 (C ) 42 种 (D ) 48 种 (7) 正方体ABCD — A I B I C I D I 中，BB i 与平面ACD i 所成角的余弦值为2 (C)-3到x 轴的距离为(10)已知函数f (x) =| lg x I 若0 ：：： a ::: b,且f (a) = f (b)，则a 2b 的取值范围是(A) (2.. 2,：：)(B ) 2. 2,-(C ) (3,：：)(D) 3,；(11)已知圆0的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线， A 、B 为两切点，那么PA PB 的最小值为(A ) - 4一2(B ) -3 .2 (C ) -422 (D ) - 3 2 2(12)已知在半径为 2的球面 上有A 、B 、C 、 D 四点，若 AC=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为2屈4.3 |T -813(A ) (B )(C ) 2 3(D )-333绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 (必修+选修H)注意事项:(D)(8) 1设 a = log 3 2,b = In 2,c = 5 2，则 (A) ab ：： c(B) b :: c :: a(C ) c a b (D)(9) 已知F 1、F 2为双曲线 C ：x 2- y 2=1 的左、右焦点，点 P 在C 上，.F 1PF 2 =60，则P<6(B)』2(C) ,31 •答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）数学试题卷(理工农医类)共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (K)=k m P k (1-P)n-k以R 为半径的球的体积V =43πR 3.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数1+22i= (A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3(2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切(4)已知函数M ,最小值为m ,则mM的值为(A)14(B)12(C)2(D)2(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝(A)15(B)14(C)13 (D)12(6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是(A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数 (C) f (x )+1为奇函数（D ）f (x )+1为偶函数(7)若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12P P所成的比λ的值为 (A)－13(B) －15(C)15(D)13(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e ,则双曲线方程为（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a-=(C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=(9)如解（9）图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 （A ）V 1=2V (B) V 2=2V （C ）V 1> V 2（D ）V 1< V 2(10)函数f(x)02x π≤≤) 的值域是（A ）[-2] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A ⋃B)()C ⋂⋃ð= .（12）已知函数f(x)=(当x≠0时) ，点在x=0处连续，则2221limxana n n→∞+=+.(13)已知1249a=(a>0) ，则23log a= .(14)设S n=是等差数列{a n}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .（15）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60 ，c=3b.求：（Ⅰ）ac的值；（Ⅱ）cot B +cot C的值.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望Eξ.（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，在ABC 中，B=90,AC =152,D 、E 两点分别在AB 、AC 上.使 2AD AEDB EC==,DE=3.现将ABC 沿DE 折成直二角角，求： （Ⅰ）异面直线AD 与BC 的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B 的大小（用反三角函数表示）.（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）设函数2()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，2a +3），且在点（-1，f （-1）） 处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )=-f (x )e -x的单调区间. （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N*)n a a a a aa n ++==∈.（Ⅰ）若214a =，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）；（Ⅱ）记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D（6）C（7）A （8）C （9）D （10）B 二、填空题：每小题4分，满分24分.（11）25，（12）13（13）3 （14）-72 （15）x-y+1=0 （16）216三、解答题：满分76分. （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117()2,3329c c c c c +-=故a c = （Ⅱ）解法一：cot cot B C +＝cos sin cos sin sin sin B C C BB C +＝sin()sin ,sin sin sin sin B C AB C B C+=由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin 19··1sin sin sin ·3cA aBC A bc c c ====故cot cot 9B C +=解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有22222271()cos 2c c c a c b B ac +-+-==故sin B===同理可得22222271cos2c c ca b cCab+-+-===sin C===从而cos coscot cotsin sinB CB CB C+=+==（18）（本小题13分）解：令,,k k kA B C分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为12312333111()().224P AC B P B C A+=+=（Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且121222111(2)()(),222P P A A P B Bξ==+=+=12312333111(3)()().224P P AC C P B C Cξ==+=+=1234123444111(4)()().228P P AC B B P B C A Aξ==+=+=123451234555111(5)()(),2216P P AC B A A P B C A B Bξ==+=+=123451234555111(6)()(),2216P P AC B A C P B C A B Cξ==+=+=故有分布列从而111114723456248161616Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（局）.（19）（本小题13分）解法一：（Ⅰ）在答（19）图1中，因AD AEDB CE=，故BE ∥BC .又因B ＝90°，从而 AD ⊥DE .在第（19）图2中，因A -DE -B 是直二面角，AD ⊥DE ,故AD ⊥底面DBCE ，从而AD ⊥DB .而DB ⊥BC ,故DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线. 下求DB 之长.在答（19）图1中，由2AD AE CB BC ==，得2.3DE AD BC AB == 又已知DE =3,从而39.22BC DE ==6.AB ===因1, 2.3DB DB AB =故＝ （Ⅱ）在第（19）图2中，过D 作DF ⊥CE ,交CE 的延长线于F ，连接AF .由（1）知，AD ⊥底面DBCE ,由三垂线定理知AF ⊥FC ,故∠AFD 为二面角A -BC -B 的平面 角.在底面DBCE 中，∠DEF =∠BCE ,11552,,322DB EC ===因此4sin .5DB BCE EC ==从而在Rt △DFE 中，DE =3,412sin sin 3.55DF DE DEF DE BCE ====在5Rt ,4,tan .3AD AFD AD AFD DF ∆===中因此所求二面角A -EC -B 的大小为arctan 5.3解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D 点为坐标原点，DB DE DA、、的方向为x 、 y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0，0，4），9202C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，E （0，3，0）.302AD AD ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＝-2，-，，＝（0，0，-4）.过D 作DF ⊥CE ,交CE 的延长线于F ，连接AF .设00(,,0),F x y 从而00(,,0),DF x y =00(,3,0).EF x y DF CE =-⊥由，有 0030,20.2DF CE x y =+= 即 ①又由003,.322x y CE EF -= 得 ②联立①、②，解得00364836483648,.,,0,,4.252525252525x y F AF ⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即，得因为36483(2)025252AF CE ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故AF CE ⊥,又因DF CE ⊥,所以DFA ∠为所求的二面角A-EC-B 的平面角.因3648,,0,2525DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有12,4,5DF AD ===所以5tan .3AD AFD DF ==因此所求二面角A-EC-B 的大小为5arctan .3(20)（本小题13分）解：(Ⅰ)因为2(),()2.f x ax bx c f x ax b '=++=+所以又因为曲线()y f x =通过点（0，2a +3）, 故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而又曲线()y f x =在（-1，f (-1)）处的切线垂直于y 轴，故(1)0,f '-= 即-2a +b =0,因此b=2a .(Ⅱ)由(Ⅰ)得2392(23)4(),44bc a a a =+=+-故当34a =-时，bc 取得最小值-94.此时有33,.22b c =-=从而233333(),(),42222f x x x f x x '=--+=--2333()()(),422x x g x f x c x x e --=-=+-所以23()(()()(4).4x xg x f x f x e x e --''=-=--令()0g x '=，解得122, 2.x x =-=当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数； 当(2,2)()0,()(2,).x g x g x x '∈->∈+∞时，故在上为减函数 当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时，，故在上为减函数.由此可见，函数()g x 的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）. (21)（本小题12分）解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b =所以椭圆的方程为221.95x y +=(Ⅱ)由2,1cos PM PN MPN=- 得cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有2222cos .MNPM PN PM PN MPN =+- ②将①代入②，得 22242(2).PM PN PM PN =+-- 故点P 在以M 、N为焦点，实轴长为2213x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以 由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即P 点坐标为(,22222222-、（--，）或（-. (22)(本小题12分)解：(Ⅰ)因2122,2,a a -==故 3423123824232,2.a a a a a a ---==== 由此有0223(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为1(2)*2(N ).n n a n --=∈（Ⅱ）令2log ,2.n S n n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则由题设知x 1=1且*123(N );2n n n x x x n ++=+∈ ① 123(2).2n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立，有1213,12x x x ≤+=又得 21.2x ≥ ③ 下用反证法证明：2211..22x x ≤>假设由①得21211312()(2).22n n n n n n x x x x x x ++++++=+++ 因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为12的等比数列.故 *121111()(N ).222n n n x x x n +--=-∈ ④ 又由①知 211111311()2(),2222n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-是首项为212x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211()(2)(N ).22n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得 1*221511(2)()(2)(N ).222n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223n n x x x n ---=+---∈ ⑦ 由题设知21231,22k S x +≥>且由反证假设有 21*22221*22221121152)(2)()(N ).22341211151()(2)(2)2(N ).23244k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈ （从而 即不等式22k +1＜22364112x x +-- 对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾.因此x 2≤12,结合③式知x 2=12,因此a 2=2*2将x 2=12代入⑦式得 S n =2－112n -(n ∈N*), 所以b n =2S n =22－112n -(n ∈N*)。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设(1,2)a =-,(3,4)b =-,则(2)a b c +=A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 2. 若非空集合,,A B C 满足A B C = ，且B 不是A 的子集，则A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件 3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为A.38π B. 328πC. π28D. 332π4. 函数1()f x x=的定义域为 A. (,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0.1)-C. [-4,0)(0,1D. [4,0)(0,1)- 5.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3π平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4x π=,则θ的一个可能取值是A.π125 B. π125- C. π1211 D. 1112π-6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A. 540B. 300C. 180D. 150 7.若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-8.已知*m N ∈,,a b R ∈，若0(1)limm x x ab x→++=,则a b ⋅= A ．m - B ．m C ．1- D ．19.过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有 A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.设211z z iz =-(其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 . 12．在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .13.已知函数2()2f x x x a =++,2()962f bx x x =-+,其中x R ∈,,a b 为常数，则方程()0f ax b +=的解集为 .14.已知函数()2xf x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= .15.观察下列等式：2111,22ni i n n ==+∑ 2321111,326ni i n n n ==++∑ 34321111,424n i i n n n ==++∑ 454311111,52330n i i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212ni in n n n ==++-∑ 67653111111,722642ni i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………212112101,nkk k k k k k k k i ia n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑可以推测，当x ≥2（*k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ 2k a -= .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12f tg x x f x x f x x ππ==⋅+⋅∈ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个（n =1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. （Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若a b ηξ=+, 1E η=,11D η=,试求a,b 的值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A B C 所成的角为θ,二面角1A B C A --的大小为ϕ，试判断θ与ϕ的大小关系，并予以证明.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.20.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.x t t e t V t t t t ⎧⎪-+-+<≤=⎨⎪--+<≤⎩ （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份（1,2,,12i = ）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e =计算）.已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分. 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.A 9.C 10.B二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分. 11.1 12.612 13.∅ 14.-6 15. 12k，0 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）()cos sin g x x x =cos sin x x = 1sin 1cos cos sin .cos sin x xx x x x--=+17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤∈π∴=-=- ⎥⎝⎦1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+-- sin cos 2x x =+-2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜ sin t 在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为增函数，又5535sinsin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦），即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜＜，故g (x )的值域为)2,3.⎡-⎣17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）ξ的分布列为：∴01234 1.5.22010205E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2222211131(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)(4 1.5) 2.75.22010205ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（Ⅱ）由D a D η=ξ2，得a 2×2.75＝11，即 2.a =±又,E aE b η=ξ+所以 当a =2时，由1＝2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时，由1＝-2×1.5+b ，得b =4.∴2,2a b =⎧⎨=-⎩或2,4a b =-⎧⎨=⎩即为所求.18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分） （Ⅰ）证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作 AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1,且平面A 1BC 侧面A 1ABB 1=A 1B ,得 AD ⊥平面A 1BC ,又BC ⊂平面A 1BC ， 所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， 则AA 1⊥底面ABC ， 所以AA 1⊥BC.又AA 1 AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1， 又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC .（Ⅱ）解法1：连接CD ，则由（Ⅰ）知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，1ABA ∠是二面角A 1—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=在Rt △ADB 中，sin ,ADABϕ= 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02πθϕ＜，＜，所以θϕ＜，解法2：由（Ⅰ）知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分 别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1=a ,AC =b , AB =c ,则B (0,0,0),A (0,c,0),1(0,,),C A c a 于是1(0,,),BC BA c a ==1,0),(0,0,).AC c AA a =-=设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，则由10,0,n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,cy az +=⎧= 可取n =(0,-a ,c )，于是0n AC ac AC =＞，与n 的夹角β为锐角，则β与θ互为余角.sin cos n AC n AC θ-β==11cos BA BA BA BA ϕ==所以sin ϕ= 于是由c ＜b即sin sin ,θϕ＜又0,2πθϕ＜，＜所以,θϕ＜19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a b y a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由.4,11)3(222222=+=-b a ba 解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴,0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔.33,1<<-±≠k k∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有　解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴.0)1(64)4(,01222>-⨯+-=∆≠-k k k ⇔33,1<<-±≠k k .∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示）， S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆O D F O EF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆O EF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）解：（Ⅰ）①当0＜t ≤10时，V (t )=(-t 2+14t -40),5050441<+e化简得t 2-14t +40>0,解得t ＜4，或t ＞10，又0＜t ≤10，故0＜t ＜4.②当10＜t ≤12时，V （t ）＝4（t -10）（3t -41）+50＜50, 化简得（t -10）（3t -41）＜0, 解得10＜t ＜341，又10＜t ≤12,故 10＜t ≤12. 综合得0<t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月. (Ⅱ)(Ⅰ)知：V (t )的最大值只能在（4，10）内达到.由V ′（t ）=),8)(2(41)42341(41241-+-=++-t t c t t c tt令V ′(t )=0,解得t=8(t=-2舍去).当t 变化时，V ′(t ) 与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(32a n -2n +14) =32(-1)n ·（a n -3n +21）=-32b n 又b 1x -(λ+18),所以当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴321-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－32）n -1，于是可得 S n =-.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n ）－（－　λ 要使a <S n <b 对任意正整数n 成立， 即a <-53(λ+18)·［1－（－32）n ］〈b(n ∈N +) ，则令 得)2(1)()32(1)18(53)32(1--=--<+-<--n f b a nnλ ①当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95;35<≤≤n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95,于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.1831853--<<--⇔a b b λ当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a <S n <b ,且λ的取值范围是（－b -18,-3a -18）.。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径如果事件A B ，相互独立，那么 球的体积公式 34π3V R =()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）．若A 位全体实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞D ． }{()2,1R C A B =--（2）．若(2,4)AB = ，(1,3)AC = , 则BC = （ ）A ．（1，1）B ．（－1，－1）C ．（3，7）D ．（-3,-7）（3）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖（4）．0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（5）．在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ ）A ．23πB ．56π C ．34π D ．3π （6）．函数2()(1)1(0)f x x x =-+≤的反函数为A．1()11)f x x -=-≥ B ．1()11)f x x -=≥ C．1()12)fx x -=-≥ D ．1()12)f x x -=≥（7）．设88018(1),x a a x a x +=+++ 则0,18,,a a a 中奇数的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5（8）．函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=（9）．设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ） A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数（10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A．[ B．(C．[,33-D．( （11） 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 ( ) A ．34B ．1C ．74D ．5（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )A ． 2686C AB ． 2283C AC ．2286C AD ．2285C A2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）．函数2()f x =的定义域为 ．（14）．已知双曲线22112x y n n-=-n ＝（15） 在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+ ，*n N ∈,其中,a b 为常数， 则ab =（16）已知点,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB =AC =8AD =,则,B C 两点间的球面距离是三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域（18）．（本小题满分12分）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g ”.（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。

2008年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一 填空（4’×11）1.不等式|x －1|＜1的解集是2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位），则z ＝4.若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝5.若向量→a 、→b 满足|→a |＝1，|→b |＝2，且→a 与→b 的夹角为π3，则|→a +→b |＝6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )的最大值是7.在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）8.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围 是9.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是10.某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h 1、h 2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是11.方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 二 选择（4’×4）12.组合数C rn （n ＞r ≥1，n 、r ∈Z ）恒等于（ ）A ．r +1n +1C r -1n -1B ．(n +1)(r +1)C r -1n -1 C ．nr C r -1n -1D ．n r C r -1n -113. 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要14. 若数列{a n }是首项为1，公比为a －32的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．5415.如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点满足x ≤x ’ 且y ≥y ’，则称P 优于P ’，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ）A ． AB ︵ B ． BC ︵ C ． CD ︵ D ． DA ︵16.(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）AE B 1D 1DC 1A 1 BC17.(13’)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）18.(5’+10’)已知函数f (x )＝sin2x ，g (x )＝cos(2x +π6)，直线x ＝t （t ∈R ）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点 ⑴当t ＝π4时，求|MN|的值⑵求|MN|在t ∈[0,π2]时的最大值20.(3’+5’+8’)设P(a ,b )（b ≠0）是平面直角坐标系x O y 中的点，l 是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点 ⑴已知a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵已知点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上⑶已知动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab ，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由AODBC19.(8’+8’)已知函数f (x )＝2x －12|x |⑴若f (x )＝2，求x 的值⑵若2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围21.(3’+7’+8’)已知以a 1为首项的数列{a n }满足：a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n +c ，a n <3a n d ， a n ≥3⑴当a 1＝1，c ＝1，d ＝3时，求数列{a n }的通项公式⑵当0＜a 1＜1，c ＝1，d ＝3时，试用a 1表示数列{a n }的前100项的和S 100⑶当0＜a 1＜1m （m 是正整数），c ＝1m ，d ≥3m 时，求证：数列a 2－1m ，a 3m+2－1m ，a 6m+2－1m ，a 9m+2－1m 成等比数列当且仅当d ＝3m2008年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷参考答案（理工农医类）一、（第1题至第11题）1.(0,2)2. 2.3.1i +.4.2.6.2.7.34. 8.(1,0)(1,)-+∞ . 9.10.5,10.5a b ==. 10.1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤ 11.(,6)(6,)-∞-+∞ .二、（第12题至第15题） 12.D 13.C 14.B 15.D三、（第16题到第21题）16.[解]过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接CO . EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角. ……4分 由题意，得1112EF CC ==. 112CF CB == ∴DF =. ……8分EF DF ⊥，∴tan EF EDF DF ∠==……10分 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是arctan5. ……12分17 [解法一]设该扇形的半径为r 米，连接CO . ……2分由题意，得500CD =(米)，300DA =（米），60CDO ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，2222cos60CD OD CD OD OC +-⋅⋅︒= ……6分 即，2221500(300)2500(300)2r r r +--⨯⨯-⨯= ……9分解得490044511r =≈（米） 答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分[解法二]连接AC ，作OH AC ⊥，交AC 于H ， ……2分 由题意，得500CD =（米），300AD =（米），120CDA ∠=︒ ……4分 在△CDO 中，2222cos120AC CD AD CD AD =+-⋅⋅⋅︒AEB 1D 1D C 1A 1 BC AOD BCA ODBCH222150030025003007002=++⨯⨯⨯=. 700AC ∴=（米）. ……6分22211cos 214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅.在直角△HAO 中，350AH =（米），11cos 14HAO ∠=， ……9分 ∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.答：该扇形的半径OA 的长约为445米. ……13分18.[解]（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=. ……2分点11(,)P x y ， ……4分⋅2211|4|455x y -==.点P 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 （2）设的坐标为(,)x y ，则222||(3)PA x y =-+ ……8分22(3)14x x =-+- 25124()455x =-+ ……11分 ||2x ≥， ……13分 ∴ 当125x =时，2||PA 的最小值为45，即||PA 的最小值为5. ……15分 19．解（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22xxf x =-由条件可知1222xx -=，即222210x x --=解得 21x=20log (1x x >=∵∴（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022tttt t m -+-≥ 即24(21)(21)t t m -≥--，2210t->∵，2(21)t m ≥-+∴[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴故m 的取值范围是[5,)-+∞ 20．解（1）当1,2,2a b p ===时，解方程组242x y y x ⎧=⎨=⎩ 得816x y =⎧⎨=⎩ 即点Q 的坐标为(8,16)（2）【证明】由方程组21x y ab y bx ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得1x ab y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q 的坐标为1(,)b a a P ∵时椭圆上的点，即2214a b +=2222144()4()(1)1b b a a a-=-=∴ ，因此点Q 落在双曲线22441x y -=上（3）设Q 所在的抛物线方程为22(),0y q x c q =-≠将1(,)b Q a a 代入方程，得2212()b q c a a=-，即2222b qa qca =-当0qc =时，22b qa =，此时点P 的轨迹落在抛物线上；当12qc =时，22211()24a b c c-+= ，此时点P 的轨迹落在圆上； 当102qc qc >≠且时，2221()2142a b c c c-+=，此时点P 的轨迹落在椭圆上；当0qc <时2221()211()42a b c qc c--=-，此时点P 的轨迹落在双曲线上；21．解（1）由题意得1,322,31,()3,3n n k a n k k Z n k +=-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩(2) 当101a <<时，211a a =+，312a a =+，413a a =+，1513a a =+，1623aa =+， 1733a a =+，, 1313113k k a a --=+，133123k k a a -=+，1313133k k aa +-=+10012345669899100()()()S a a a a a a a a a a =++++++++++ ∴1111131(36)(6)(6)(6)33a a a a a =+++++++++ 113111(31)63333a a =++++++⨯13111(11)19823a =-+（3）当3d m =时，211a a m=+311131311333m m m a a a a a m m +-=+=-+<<+=∵， 13213m a a m m +=+∴； 11661133333m m a a a a m m m +=-+<<+=∵， 162219m a a m m +=+∴；1199122133399m m a a a a m m m +=-+<<+=∵，1923127m a a m m+=+∴211a a m -=∴，13213m a a m m +-=， 162219m a a m m +-=，1923127m a a m m+-=∴综上所述，当3d m =时，数列21a m -，321m a m +-，621m a m +-，921m a m+-是公比为13m的等比数列当31d m ≥+时，132310,m a a d m ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， 1623133,3,m a a d m ++⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭1633310,,m a d a d m +++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭192333113,3,m a m d a d m m +++-⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ……15分由于3210m a m +-<，6210m a m +->，9210m a m +-> 故数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----不是等比数列所以，数列23262921111,,,,m m m a a a a m m m m+++----成等比数列当且仅当3d m = ……18分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-=，，，，一、选择题1．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角2．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，3．原点到直线052=-+y x 的距离为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．54．函数1()f x x x=-的图像关于（ ）A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称5．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a6．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-7．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-8．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．189．44)1()1(x x +-的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．410．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．1B ．2 C ．3D ．211．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．22008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．设甲、乙的射击相互独立．（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率． 20．（本小题满分12分） 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小． 21．（本小题满分12分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点． （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．AB CD EA 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案和评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题13．2 14．420 15．216．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，得4sin 5B =． ··········································································· 2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． ··········································· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=． ····················· 10分18．解：设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+，104由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+， 整理得210100d d -=，解得0d =或1d =．······················································································· 7分 当0d =时，20420200S a ==． ······································································ 9分 当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=， 于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=． ············································· 12分 19．解：记12A A ，分别表示甲击中9环，10环，12B B ，分别表示乙击中8环，9环，A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，12C C ，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．（Ⅰ）112122A A B A B A B =++， ··································································· 2分112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.30.40.10.40.10.40.2=⨯+⨯+⨯=． ····························································· 6分 （Ⅱ）12B C C =+， ······················································································ 8分22213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=⨯⨯-=， 332()[()]0.20.008P C P A ===，1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=． ··························· 12分20．解法一：依题设，2AB =，1CE =．（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．1在平面1A CA 内，连结EF 交1A C 于点G ，由于1AA AC FC CE==，故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AA C CFE ∠=∠，CFE ∠与1FCA ∠互余．于是1A C EF ⊥．1A C 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直，所以1A C ⊥平面BED ． ·················································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角．························································ 8分EF =CE CF CG EF ⨯==3EG ==． 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==113A G A C CG =-=．11tan AG A HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为arctan ················································· 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．AB CDE A 1B 1C 1D 1 FH G(021)(220)DE DB ==，，，，，，11(224)(204)AC DA =--=，，，，，． ······························ 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1A C BD ⊥，1A C DE ⊥． 又DBDE D =，所以1A C ⊥平面DBE ． ·················································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n ．故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ····················································· 9分 1AC <>，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42A C A C A C<>==，n n n ． 所以二面角1A DE B --的大小为． ················································· 12分 21．解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ········································· 4分 （Ⅱ）由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得65a ≤． ································································································ 9分 反之，当65a ≤时，对任意[02]x ∈，，26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5xx x =+- 3(25)(2)5xx x =+- 0≤，而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．综上，a 的取值范围为65⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，． ··································································· 12分22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+． 所以212k =+，化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h ==······················································· 9分又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+==≤当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为． ························ 12分 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+ ···································································································· 9分===当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ······································· 12分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案1. C. 由()10,0,1,0;x x x x x -≥≥≥=得或2. A ．根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图像可知；3. A. 由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+ ，1233AD c b =+ ；4. D. ()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；5. C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=；6. B.由()()()()212121,1,y x x y x e f x e f x e --=⇒=-==；7.D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----； 8.A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x ya b+=与圆221x y +=22111a b+1,≥. 另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1a bαα+= 由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO===（即点1B到底面ABC的距离），故1AB与底面ABC所成角的正弦值为113AOAB=另解：设1,,AB AC AA为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133OA AA AB AC=--,11AB AB AA=+211112,33OA AB a OA AB⋅===则1AB与底面ABC所成角的正弦值为11113OA ABAO AB⋅=.12.B.分三类：种两种花有24A种种法；种三种花有342A种种法；种四种花有44A种种法.共有234444284A A A++=.另解：按A B C D---顺序种花，可分A C、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯=13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线:20l x y-=，将l平移至过点A处时，函数2z x y=-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax=-的焦点坐标为1(0,1)4a-为坐标原点得，14a=，则2114y x=-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38.设1AB BC==，7cos18B=-则222252cos9AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅= 53AC=，582321,21,3328ca c ea=+====.16.答案：16.设2AB=，作CO ABDE⊥面，OH AB⊥，则CH AB⊥，CHO∠为二面角C AB D--cos1CH OH CH CHO=⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=- ,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-= 12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM ⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,(,2222M N ---,则31131(,(,,22222AN EM AN EM ==-⋅= 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM ANEM ⋅= .17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥． tan tan CED FDC ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠= ，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥， 则CGE ∠即为所求二面角的平面角．3AC CD CG AD ==，3DG =，3EG ==，CE =222cos 210CG GE CE CGE CG GE +-∠==- ，πarccos 10CGE ⎛∴∠=- ⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos 10⎛- ⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3a x -=即()f x在⎛-∞ ⎝⎭递增，⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增 （2）23133a -⎨-+⎪-⎪⎩，且23a>解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.4⨯+．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y -=。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医类）及逐题详解本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

4. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次实验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=第Ⅰ卷一．选择题：１．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B = ð( B )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,5 【解】：∵{}{}1,2,3,2,3,4A B == ∴{}2,3A B =又∵{}1,2,3,4,5U = ∴(){}1,4,5U A B = ð 故选B ； 【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算； 【突破】：画韦恩氏图，数形结合； ２．复数()221i i +=( A )（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i【解】：∵()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==- 故选A ；【点评】：此题重点考复数的运算；【突破】：熟悉乘法公式，以及注意21i =-； ３．()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x【解】：∵()22222sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭cos cot sin xx x== 故选D ； 【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意22sin cos sin cos 1,tan ,cot cos sin x xx x x x x x+===； ４．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 故选A ；【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；５．若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( C ) （Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解】：∵sin αα ∴sin 0αα> ，即12sin 2sin 023πααα⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵02απ≤≤ ∴5333πππα-≤-≤，∴03παπ≤-≤ ，即4,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选C ； 【考点】：此题重点考察三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象； 【突破】：熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案；６．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( C )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有410C 种不同挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有48C 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有4410821070140C C -=-=种不同挑选方法 故选C ；【考点】：此题重点考察组合的意义和组合数公式；【突破】：从参加 “某项”切入，选中的无区别，从而为组合问题；由“至少”从反面排除易于解决；7．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞【解1】：∵等比数列()n a 中21a = ∴当公比为1时，1231a a a ===，33S = ； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =- 从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D ；【解2】：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=；当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞ 故选D ；【考点】：此题重点考察等比数列前n 项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】：特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前n 项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；８．设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,9【解】：设分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆的半径为123,,r r r ，球半径为R ，则：22222222222212325182,,39393r R R R r R R R r R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴222123::5:8:9r r r = ∴这三个圆的面积之比为：5,8,9 故选D【点评】：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系； 【突破】：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；９．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( D ) （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 【解】：如图，当030AOC ACB ∠=∠=时，直线AC 满足条件； 同理，当030AOB ABC ∠=∠=时，直线AB 满足条件；又由图形的对称性，知在另一侧存在两条满足条件与直线l 成异面直线的直线 故选D 【点评】：此题重点考察线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性；【突破】：数形结合，利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，重视空间想象能力和图形的对称性；10．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f =（Ｄ）()'00f=【解】：∵()()sin f x x ωϕ=+是偶函数∴由函数()()sin f x x ωϕ=+图象特征可知0x =必是()f x 的极值点， ∴()'00f= 故选D【点评】：此题重点考察正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系；【突破】：画出函数图象草图，数形结合，利用图象的对称性以及偶函数图象关于y 轴对称的要求，分析出0x =必是()f x 的极值点，从而()'00f=；11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213【解】：∵()()213f x f x ⋅+=且()12f = ∴()12f =，()()1313312f f ==， ()()13523f f ==，()()1313752f f ==，()()13925f f ==， ， ∴()221132n f n n ⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，∴()()1399210012f f =⨯-=故选C【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值；【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解； 12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且A K A F =，则AFK ∆的面积为(B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 【解】：∵抛物线2:8C y x =的焦点为()20F ，，准线为2x =- ∴()20K -， 设()00A x y ，，过A 点向准线作垂线AB ，则()02B y -，∵AK =，又()0022AF AB x x ==--=+∴由222BK AK AB =-得()22002y x =+，即()20082x x =+，解得()24A ±，∴AFK ∆的面积为01144822KF y ⋅=⨯⨯= 故选B 【点评】：此题重点考察双曲线的第二定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题； 【突破】：由题意准确化出图象，利用离心率转化位置，在ABK ∆中集中条件求出0x 是关键；第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|0}A x x =>，{|12}B x x =-≤≤，则A B =（A ）{|1}x x ≥- （B ）{|2}x x ≤ （C ）{|02}x x <≤ （D ）{|12}x x -≤≤ （2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）32π （D ）2π（3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则公比q =（A ）21-（B ）2- （C ）2 （D ）21（5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则（A ）12ab ≤（B ）12ab ≥（C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤（6）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274（7）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 （8）若双曲线12222=-by ax 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （9）对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得（A ）,a b αα⊂⊂ （B ）,//a b αα⊂ （C ）,a b αα⊥⊥ （D ）,a b αα⊂⊥ABCD（10）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于 （A ）12（B ）4π（C ）1 （D ）2π二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤解：C. 由()10,0,1,0;x x x x x -≥≥≥=得或2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）解：A ． 根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s vt at =-结合函数图像可知；3．在A B C △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c解：A. 由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+ ，1233A D c b =+ ；4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-解：D .()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．23解：C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=； 6．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）A ．21x e- B ．2xeC ．21x e+ D ．22x e+sA ．sssB ．C ．D ．解：B.由()()()()21212ln 1,1,y x xy x ef x ef x e--=⇒=-==；7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2- 解：D. 由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----；8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位解：A. 55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像. 9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，，B ．(1)(01)-∞- ，，C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 解：D 由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x xx--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或. 10．若直线1x y ab+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111ab+≤D ．22111ab+≥解：D ．由题意知直线1x y ab+=与圆221x y +=221111ab+1,≥.另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1abαα+=由⋅≤m n m n可得cos sin 1abαα=+≤11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3C3D ．23解：B ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13A O a ===（等于点1B 到底面ABC 的距离1BD ），故1A B 与底面ABC所成角的正弦值为11113B D A O AB AB ==.另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA的两两间的夹角为060， 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133O A A A A B A C =-- ,11AB AB AA =+211112,33O A AB a O A AB ⋅===则1A B 与底面ABC所成角的正弦值为11113O A AB A O AB ⋅=. 12．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96B ．84C ．60D ．48解：B.分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．答案：9解：可行域如图, 2-z x y =的最大值对应直线2y x z =-截距的最小值. 所以在顶点(3,3)B -处取最大值m ax 23(3)9z =⨯--=14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．答案：2.解：由抛物线21y ax =-的焦点坐标为 1(0,1)4a-为坐标原点得，14a =，则2114y x =-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯=15．在A B C △中，A B B C =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．答案：38解：设1A B B C ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53A C =，582321,21,3328c a c e a=+====.16．等边三角形ABC 与正方形A B D E 有一公共边A B ，二面角C A B D --的余弦值为3，M N ，分别是A C B C ，的中点，则E M A N ，所成角的余弦值等于 答案：16．解：设2A B =，作CO ABDE ⊥面，O H A B ⊥，则C H A B ⊥，C H O ∠为二面角C A BD --的平面角，cos 1C H O H C H C H O ==⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形A B D E 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM C H ===11(),22A N A C A B E M A C A E =+=- ,11()()22A N E M A B A C A C A E ⋅=+⋅-= 12故E M A N ，所成角的余弦值16A N E M A N E M⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则31131(,(,,,2222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===故E M A N ，所成角的余弦值16A N E M A N E M⋅= .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解：（Ⅰ）在A B C △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A BB B B--===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．（本小题满分12分）四棱锥A B C D E -中，底面B C D E 为矩形，侧面A B C ⊥底面B C D E ，2B C =，CD =A B A C =．（Ⅰ）证明：AD C E ⊥；（Ⅱ）设C E 与平面A B E 所成的角为45，求二面角C A D E --的大小．解：（1）取B C 中点F ，连接D F 交C E 于点O ，A B A C =，∴AF BC ⊥，又面A B C ⊥面B C D E ，∴A F ⊥面B C D E ，DE AB∴AF C E ⊥．tan tan 2C ED FD C ∠=∠=， ∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠=，即C E D F ⊥，C E ∴⊥面AD F ，CE A D ∴⊥．（2）在面A C D 内过C 点作A D 的垂线，垂足为G ．C G AD ⊥，CE AD ⊥，A D ∴⊥面C EG ，E G A D ∴⊥则C G E ∠即为所求二面角的平面角．3AC C D C G AD== ，3D G =，3EG ==，C E =222cos 210C G G E C EC G E C G G E+-∠==-，πarccos 10C G E ⎛∴∠=- ⎪⎝⎭，即二面角C A D E --的大小πarccos 10⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3x =即()f x 在3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛⎫---+⎪ ⎪⎝⎭，递减， 3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增（2）233133-⎪-⎩，且23a >解得：2a ≥20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．解：（Ⅰ）分别用i A 、i B 表示依甲、乙方案需要化验i 次，则： 121411(),()5P A P A ==⨯=,34311()P A =⨯⨯=,44322()5P A =⨯⨯=。