一类定积分的计算

定积分求导法则定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来求解函数在某一区间上的面积或体积。

在定积分的计算中，我们经常需要用到求导法则，使得计算更加简便。

下面将分几个方面来介绍定积分的求导法则。

一、基本积分法求导法则基本积分法是指对于一些比较简单的函数，我们可以通过求反函数的导数来求得原函数的导数。

基本积分法求导法则包括：1. 常数倍法则：对于任意常数k，有$(k\int_a^bf(x)\mathrm{d}x)'=k\cdotf(x)\Big|_{a}^{b}$。

2. 同类项相加法则：对于两个函数$f(x),g(x)$，有$(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+\int_a^bg(x)\mathrm{d}x)'=f(x)+g(x)\Big|_{a}^{b}$。

3. 反函数法则：对于任意单调可导的函数$f(x)$和反函数$f^{-1}(x)$，有$(\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)\mathrm{d}x)'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}\Big|_{f(a)}^{f(b)}$。

这些基本积分法求导法则对普通函数均适用。

二、换元法求导法则换元法是指通过代换$x=\varphi(t)$，将原积分中的自变量变成函数$t$，从而更容易进行积分。

换元法求导法则包括：1. 第一类换元法：对于函数$f(\varphi(t))$，有$(\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm{d}x)'=\int_a^bf'(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\mathrm{d}t$。

2. 第二类换元法：对于函数$\mathrm{e}^{f(x)}$，有$(\int_a^b\mathrm{e}^{f(x)}\mathrm{d}x)'=\int_a^bf'(x)\cdot\mathrm{e}^{f(x)}\mathrm{d}x$。

微积分中的定积分与反常积分——微积分知识要点微积分是数学中的一个重要分支，主要研究函数的变化率和积分。

定积分与反常积分是微积分中的两个重要概念，本文将重点介绍这两个概念及其在微积分中的应用。

一、定积分的概念与性质定积分是微积分中的一个重要概念，表示函数在一定区间上的累积变化量。

定积分的计算可以通过求导的逆运算——不定积分来实现。

定积分的计算公式为：∫(a到b) f(x)dx其中，f(x)为被积函数，a和b为积分区间的端点。

定积分的结果是一个数值。

定积分具有以下几个重要性质：1. 定积分的值与积分区间的选取无关，只与被积函数有关。

这是定积分在实际应用中的重要特性。

2. 定积分可以表示函数曲线与x轴之间的面积或有向面积。

当被积函数为正时，定积分表示曲线所围成的面积；当被积函数为负时，定积分表示曲线下方的有向面积。

3. 定积分具有线性性质，即对于两个函数f(x)和g(x)，以及常数k，有以下公式成立：∫(a到b) [f(x) + g(x)]dx = ∫(a到b) f(x)dx + ∫(a到b) g(x)dx∫(a到b) k·f(x)dx = k·∫(a到b) f(x)dx这些性质使得定积分在微积分中具有广泛的应用。

二、反常积分的概念与分类反常积分是指在积分区间上，被积函数存在某些特殊点或者函数在无穷远处趋于无穷或趋于零的情况下，定积分的计算方法。

反常积分可分为以下两类：1. 第一类反常积分：积分区间的一个或两个端点为无穷大或无穷小。

对于这类反常积分，需要对积分区间进行适当的变换，将其转化为有限区间上的定积分。

2. 第二类反常积分：被积函数在积分区间上存在无界或间断点。

对于这类反常积分，需要分别讨论无界点和间断点的情况，进行特殊处理。

反常积分的计算需要注意收敛性与发散性的判断，只有在积分收敛的情况下才能得到具体的数值结果。

三、定积分与反常积分的应用定积分与反常积分在微积分中具有广泛的应用。

高数积分公式高数积分公式是许多学科的基础，包括数学、物理、化学和工程。

它是我们用来理解世界和解决实际问题的基本工具。

因此，了解和熟悉高数积分公式是一项重要的学习任务。

高数积分公式用来计算特定函数在某一特定区间的积分。

它的基本形式是：积分的结果=f(x)的积分下界（由a表示）到积分上界（由b表示）的和。

为了把它变成一个可以计算的问题，将f(x)分解为由x、x2和x3等项组成的各种多项式求和。

首先介绍一类积分叫第一类定积分。

它是在特定函数f(x)下，把定义域[a, b]上的函数积分并计算出其结果。

它的公式是：∫f(x)dx=F(b)-F(a)在第一类定积分中，F(x)是f(x)的另一函数，称为积分函数。

它也称为导数，表示积分的结果。

第一类定积分的公式可以进一步抽象，它可以表示为下面的形式：∫af(x)dx=F(b)-F(a)其中a是一个常数，在特定的函数f(x)下，它的值可能是正数，负数或者零。

此外，还有一类特殊的定积分，称为第二类定积分。

它的公式是：∫bf(x)dx=F(b)-F(a)第二类定积分也称为无穷定积分。

它用来计算某函数在某一区间上的积分。

它的特殊之处在于它的积分结果会随着它的定义域发生变化，而不是按照固定的公式来计算。

另外，还有一类积分叫做变量积分。

它的公式是：∫f(x,t)dt＝F(t,b)-F(t,a)其中，F(t,x)是函数f(t,x)的另一函数，也称为导数。

变量积分的特点是，它的积分结果在变量t上不断变化，而在变量x上保持不变。

此外，还有一类叫做单变量积分。

它的公式是：∫f(t,x)dt＝T(x,b)-T(x,a)单变量积分的特点是，积分结果只随变量x的变化而变化，变量t保持不变。

最后，介绍一类叫做双变量积分的积分方法。

它的公式是：∫∫f(x,y)dxdy＝G(x,y,b)-G(x,y,a)双变量积分的特点是，它的积分结果同时取决于变量x和变量y 的变化。

以上是高数积分公式的基本内容。

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。

几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods.Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid1. 引言在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:(1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ⎰-102, ⎰10sin dx xx等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。

积分的计算：解决三个问题，1）被积函数；2）积分变元；3）积分区域。

（三）二重积分的计算 (,)Df x y d σ⎰⎰（1）直角坐标系1)被积函数不变(,)f x y ；2）积分变元d dxdy σ=；3）积分区域如下 1°先y 后x 积分法（x 型区域）若D : ⎩⎨⎧<<<<)()(21x y x b x a ϕϕ,则21()()(,)(,)bx ax Df x y dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰⎰⎰.2°先x 后y 积分法（y 型区域）若D :12()()c y dy x y ϕϕ<<⎧⎨<<⎩, 则 21()()(,)(,)d y c y Df x y d dy f x y dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰. （2）极坐标系 ()r r θ= （与直角坐标的关系cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩）1)被积函数不变(cos ,sin )f r r θθ；2）积分变元d rdrd σθ=；3）积分区域如下 1°当极点位于区域D 的边界曲线外时D :12()()r r r αθβθθ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则(,)Df x y d σ⎰⎰21()()(cos ,sin )r r d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰.2°当极点位于区域D 的边界时D ：⎩⎨⎧≤≤<<)(0θϕβθαr ，则(,)Df x y d σ⎰⎰=rdr r r f d ⎰⎰βαθϕθθθ)(0)sin ,cos (.3°当极点位于区域D 的边界内部时D ：⎩⎨⎧≤≤<<)(020θϕπθr ，则(,)Df x y d σ⎰⎰=rdr r r f d ⎰⎰πθϕθθθ20)(0)sin ,cos (.通常在积分区域是园、环、扇形及被积函数为两变量平方和时使用x（三）三重积分的计算 (1)直角坐标系1)被积函数不变(,,)f x y z ；2）积分变元d dxdydz σ=；3）积分区域如下 1°投影法：121212:()(): :(,)(,)(,)(,)xy xy x a x bD D y x y y x z x y z z x y z x y z z x y -⎧<<⎧⎧⎨⎪<<ΩΩ⎨⎨⎩<<⎩⎪<<⎩()()()()()()2211,,,,,,by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰注意积分顺序 2°截面法： : zc z dD <<⎧Ω⎨⎩21(,,)(,,)zc c D f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(z D 为平行于xoy 面的平面是z 的函数，通常在可将(,,)f x y z 化为与x.y 无关时使用)（2）柱面坐标系（与直角坐标的关系cos sin x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩）1)被积函数不变(cos ,sin ,)f r r z θθ；2）积分变元d rdrd dz σθ=；3）积分区域如下1212:()()(,)(,)xy D r r r z r z z r αθβθθθθ⎧≤≤⎧⎨⎪≤≤⎨⎩⎪≤≤⎩2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin ,)r z r r z r f x y z dv d rdr f r r z dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.*（3）球面坐标系 （与直角坐标的关系sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩）1)被积函数不变(cos sin ,sin sin ,cos )f r r r θϕϕθϕ；2）积分变元2sin d r drd d σϕϕθ=；3）积分区域如下0200r R θπϕπ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩ 0200(,)r r θπϕαθϕ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2(,,)(cos sin ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r r drd d θϕϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22sin (cos sin ,sin sin ,cos )Rd d f r r r r dr ππθϕϕθϕϕθϕ=⎰⎰⎰ 积分区域为球，半球，被积函数为三变量的平方和时使用(二) 线面积分的计算方法 1．曲线积分的计算 I:(,)Lf x y ds ⎰II ：(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰⑴ 基本方法：曲线积分−−−→转化定积分; 曲面积分−−−→转化二重积分 第一类线积分：L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,或 ,(),x x y f x =⎧⎨=⎩()a x b ≤≤ 此例自己思考1)被积函数不变()()(,)f t t ϕψ；2）积分变元ds ==；3）积分区域 t αβ≤≤其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶连续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，则(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰第二类线积分：L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，:t αβ→,或 ,(),x x y f x =⎧⎨=⎩:x a b → 此例自己思考1)被积函数不变()()()()(,);(,)P t t Q t t ϕψϕψ；2）积分变元(),(),dx t dt dy t dt ϕψ'=⎧⎨'=⎩；3）积分区域 :t αβ→''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【定理10.1】 格林（Green ）公式 设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段光滑的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶连续偏导数，则有()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 其中L 是D 的正向边界.基本使用原理： 1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y ∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰ 2)11LL L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy +-+=+++⎰⎰⎰1()L DQ Pdxdy Pdx Qdy x y-∂∂=-++∂∂⎰⎰⎰注意闭合曲线与其所围成区域的方向，辅助曲线与闭合曲线的方向利用两类曲线积分的联系公式 【定理10.2】（两类曲线积分之间的关系） (cos cos )LLPdx Qdy P Q ds αβ+=+⎰⎰其中cos ,cos dx dyds dsαβ==，α和β表示曲线的切向量的方向角.（切向量如何求）第一类面积分：当曲面∑由方程(,)z z x y =给出， 要解决 1、被积函数[,,(,)]f x y z x y ，，23、）积分区域为曲面(,)z z x y =的投影区域xy D(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰(xy D 为∑在xoy 面上的投影区域)注：如果积分曲面∑由方程(,)x x y z =或(,)y y z x =给出，也可类似地把对面积的曲面积分化为相应的二重积分.第二类面积分：(,,)[(,),,]yzD P x y z dydz P x y z y z dydz ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)x x y z =给出前侧取正，后侧取负)(,,)[,(,),]yzD Q x y z dzdx Q x y x z z dzdx ∑=±⎰⎰⎰⎰,(其中∑由方程(,)y y x z =给出右侧取正，左侧取负)(,,)[,,(,)]yzD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，(其中∑由方程(,)z z x y =给出上侧取正，下侧取负)利用高斯公式(注意公式使用条件，添加辅助面的技巧)； 【定理10．5】高斯(Gauss)公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有(),P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰或()(cos cos cos ),P Q R dxdydz P Q R dS x y z αβγΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，cos ,cos ,cos αβγ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦应用： 1）(),P Q RPdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y zΩ∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 2）11Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑∑ ∑∑+-++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()P Q Rdxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑-∂∂∂=+++++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰两类曲面积分的转化.【定理10．4】两类曲面积分之间的联系(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰，即cos ;cos ;cos dydz dS dzdx dS dxdy dS αβγ===其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.（法向量如何求）。

一类定积分和式的泰勒展开问题泰勒展开是微积分中的一个重要概念，它是将一个函数表示为一个无限项的多项式的形式。

在实际应用中，泰勒展开常常用于计算复杂函数的近似值，或者对函数的性质进行研究。

在本文中，我们将探讨一类定积分和式的泰勒展开问题。

首先，我们将介绍泰勒展开的基本概念和公式，然后讨论如何应用泰勒展开来计算定积分和式。

最后，我们将通过具体的例子来展示如何解决这类问题。

泰勒展开的基本概念泰勒展开是一种将函数表示为多项式的方法。

它基于泰勒公式，可以将一个光滑函数在某个点附近展开成一个无限项的多项式。

具体而言，对于一个函数f(x)，在点a附近的泰勒展开形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ⋯其中，f'(a)表示f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在点a处的二阶导数，以此类推。

通过这个无限项的多项式，我们可以近似地表示函数f(x)在点a附近的取值。

这对于计算复杂函数的近似值是非常有用的。

泰勒展开在定积分和式中的应用在实际问题中，我们经常会碰到一类定积分和式的计算问题，即将一个函数在一个区间上的积分表示为一个泰勒展开的形式。

这种问题通常涉及到对函数在一个区间上的性质进行研究，或者计算积分值的近似解。

假设我们需要计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值∫[a,b]f(x)dx。

如果函数f(x)在该区间上比较复杂，无法直接进行积分计算，我们可以考虑将函数f(x)在点a附近进行泰勒展开，然后将展开式代入定积分中进行计算。

利用泰勒展开的多项式形式，我们可以将原来的定积分问题转化为一个多项式的求和问题，这样就可以更容易地进行计算。

具体应用下面我们通过一个具体的例子来展示如何应用泰勒展开来计算定积分和式。

假设我们需要计算函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分值∫[0,1]e^xdx。

高等数学积分公式大全在高等数学的学习中，积分是一个非常重要的概念和工具。

积分公式就像是一把把钥匙，能够帮助我们打开解决各种数学问题的大门。

接下来，让我们一起走进这个丰富多彩的积分公式世界。

一、基本积分公式1、常数的积分∫k dx ＝ kx ＋ C （其中 k 为常数，C 为积分常数）这个公式很好理解，对一个常数进行积分，结果就是这个常数乘以自变量再加上积分常数。

2、幂函数的积分∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （其中n ≠ －1）当 n 为正整数时，这个公式告诉我们幂函数积分后，指数加 1，然后除以新的指数再加积分常数。

3、指数函数的积分∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1 ／ ln a)a^x ＋ C （其中 a ＞ 0 且a ≠ 1）指数函数的积分依然是它本身，只是要加上积分常数。

4、对数函数的积分∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是一个比较特殊的公式，需要记住。

5、三角函数的积分∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫ta n x dx ＝ ln ｜cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln ｜sin x| ＋ C三角函数的积分在解决与周期性和波动性相关的问题中经常用到。

二、换元积分法相关公式1、第一类换元法（凑微分法）如果∫f(u) du ＝ F(u) ＋ C，且 u ＝φ(x) 可导，则∫f(φ(x)）φ'（x) dx ＝F(φ(x)）＋ C通过巧妙地凑出合适的微分形式，将复杂的积分转化为已知的积分形式。

2、第二类换元法设 x ＝φ(t) 是单调的、可导的函数，并且φ'（t) ≠ 0，又设f(φ(t)）φ'（t) 具有原函数，则有∫f(x) dx ＝∫f(φ(t)）φ'（t) dt常见的有三角代换、根式代换等。

三、分部积分法公式∫u dv ＝uv ∫v du这个公式常用于两个函数相乘的积分，通过合理地选择 u 和 dv，将积分转化为更容易求解的形式。

有效沟通，架起家校合作桥梁在家庭教育中，家长与学校之间的沟通是至关重要的。

有效的沟通可以帮助家长了解学校的教育理念和教学情况，帮助学校了解学生在家庭中的情况和需求，从而促进家校合作，共同促进学生的成长和发展。

架起家校合作的桥梁，加强家长与学校之间的沟通，是非常重要的。

有效的沟通需要双方都有一定的意识和技巧。

家长要重视和主动参与学校的家长会、家长学堂等活动，了解学校的教学管理、教师教学进程和教育理念，并与教师和学校管理者建立良好的关系。

学校也要重视家长的参与和意见，主动与家长沟通，了解家庭的情况，尊重家长的选择。

只有双方都重视起家校合作，才能够建立起有效的沟通桥梁。

家长应该了解学校的教学情况，主动了解学生的学习情况。

家长可以通过参加家长会、家长学堂等方式了解学校的教学理念和教学方式，同时关注学生的在校表现、学习习惯等方面的情况。

在了解学校的情况的基础上，家长可以有针对性地对学生进行家庭教育，帮助他们更好地适应学校的教学要求。

也可以对学校进行合理的建议，共同促进学校的发展和改进。

双方应该保持常态化的沟通，建立稳定的合作桥梁。

只有通过不断的沟通和交流，双方才能够建立起稳定的合作关系。

家长应该与学校保持密切的联系，了解学校的最新情况，及时反馈学生在家庭中的情况和需求。

学校也应该与家长保持密切的联系，了解学生的情况和家庭的需求，及时对家长提出的问题进行解决。

通过这种双向的沟通和反馈，才能够建立起稳定的、顺畅的合作桥梁。

有效的家校沟通是架起家校合作桥梁的重要基础。

只有双方都重视和主动参与家校沟通，才能够建立起稳定、顺畅的合作关系，共同促进学生的成长和发展。

希望家长和学校能够共同努力，为孩子们提供更好的教育服务。

定积分例题“定积分”是数学中非常重要的概念，它有着极强的实用价值。

定积分关于求解复杂函数的积分问题具有重要的意义，因此研究它所背后的科学原理是十分有必要的。

此外，理解定积分的知识点也是有可能出现在考试中的数学科目重要的一部分。

本章将以几道定积分的例题来讲解它的性质和原理。

（一）例题1：计算下列定积分：∫0πsin xdx解：该定积分是典型的定积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,π]，因此可以根据定积分的定义来求解，即∫0πsin xdx =cosπ+cos0=cosπ（二）例题2：计算下列定积分：∫2π^2cos^4x dx解：该定积分是一类特殊的定积分，具体来说，它是多项式函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[2,π^2]，因此可以用定积分的定义来求解，即∫2π^2cos^4x dx = 1/5 [cos^5(2π^2)cos^5(2)]（三）例题3：计算下列定积分：∫lnxsinx dx解：该定积分是单变量函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,+∞]，结合高斯积分公式，可以求解，即∫lnxsinx dx =[ln(tanx)+lnx+x]/2（四）例题4：计算下列定积分：∫atanxdx解：该定积分是多项式函数的积分，由于函数可以写成原函数的积分，积分区间为[0,+∞]，因此可以根据定积分的定义来求解，即∫atanxdx = xatanx1/2 ln(x^2+1)第二章积分的性质和原理（一）定积分的性质1．定积分的性质：在某一区间上连续可导的函数的积分，称为定积分2．定积分的计算公式：定积分的一般计算公式如下：∫f(x)dx=F(b)F(a)，其中F(x)表示原函数f(x)的积分，a, b为积分区间。

3．定积分的应用：定积分可以用来求解复杂函数的积分问题，例如求解积分在一定区间的定积分，求解不可导的函数的积分等。

此外，定积分也可以用来解决一些几何上的问题，例如求得曲线的面积，求得曲线两端点之间的距离等。

定积分的计算方法（临沧师专数理系云南临沧677000）姻文/马忠莲董茂昌摘要：定积分是数学分析的三大基本运算之一。

是计算所有积分的基础。

文章概括了求定积分的各类方法，通过实例介绍了如何运用各类方法求定积分。

关键词：定积分计算定理 若函数()x f 在[a,b]上连续,且()x F 是()x f 的原函数（即'F (x)=f(x),x ∈[a,b]）,则).()()(a F b F dx x f ba-=ò。

这称为牛顿一菜布尼茨公式。

它也常写成()().bab f x dx F x a=ò。

例1 计算定积分ò-2024dx x x 。

分析：先用不定积分法求出24)(x x x f -=的任一原函数，然后完成定积分计算。

解：òò+--=---=-C x x d x dx x x 3222)4(31)4(42142ò=--=-203223802)4(314x dx x x 。

应用牛顿莱布尼兹公式求定积分，这种做法使得所有求不定积分的方法对于定积分都适应。

2.利用换元法计算定积分 定理 （定积分的换元积分法）若函数)(x f 在],[b a 上连续，()t x j =在],[b a 上有连续导数，当b a ££t 时，有b t a ££)(j ，又a =)(a j ，b =)(b j ，则òòò=¢=bebaj j j j )())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f ba。

注意：在定积分的换元法中换元时一定要记得讲积分上下限换成新元的对应范围。

（1）第一换元法.具体做法是令被积函数中的一项()t j 为x 。

例2.计算ò202cos sin p tdt t 。

分析： 令t x cos =，逆向应用换元积分公式即可。

解：ò202cos sin ptdt t =ò202)(cos cos p t td =ò012dx x =01331x=-31 （2）第二换元法：具做法是令被积函数中的x 为()t j 。