最新初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)

2.如图，在△ABCABC，动点P以2m/s的速度从移动．同时，动点Q以1m/s的中，ACB90°，平分CDB点到达B点时，Q点随之的速度移动．如果P、Q同时出发，用＜t＜6）。

中，点A的坐标为(2，1)，的图象与线段OA的夹角是45°，在△ABCAB=，为边在C建议收藏下载本文，以便随时学习！我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙，∠ACB=90°，点M是AC上的一轴上，．那么D点的坐标为（）A. B.C. D.10..已知，如图，直线y=﹣2x＋——A、X字型上一点，AD=AC，BC边上的AE交CD于F求证：求证：中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；当时，；(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜已知：如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、建议收藏下载本文，以便随时学习！我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙离等于该顶点对边上中线长的．）角平分线定理：三角形一个AB于点E、F．求证：．O，过O作EF//AB求证：．的四个顶点分别在△ABC 求证：．长为a．求证：．，点在平行延长线于点Q，S，交于点．求证：）如图2，图，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）建议收藏下载本文，以便随时学习！我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙建议收藏下载本文，以便随时学习！、G、H.求证：为直角．求证：求证：的延长线交于点E.））求证：.是BC的中点，连接、CG,AE与CG相交于点证：．分别是△ABC的两边上的高，过D作BA的延长线于F、H。

；（2）BG·CG＝GF·GH交于点M，EF与AC交于点旋转，使得DE与BA三角形并证明你的结论．）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）建议收藏下载本文，以便随时学习！我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙中，AD⊥BC 于D 。

初中数学相似三角形经典练习难题易错题 )解详附(相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．于BC，连接OE交OABCD的对角线相交于点，在AB的延长线上任取一点E2．如图，?．_________，AD=cBE=b，则BF=点F．若AB=a，小题）二．解答题（共17．求证：BC于DBACBAC=120°，AD平分∠交中，3．如图所示．在△ABC∠．，交FCD于OEADEOBDACABCD．如图所示，4?中，与交于点，为延长线上一点，．．求证：G于AB延长线交EO．．求证：F、E、、BC、CAAB（或它们的延长线）于点D5．一条直线截△ABC的边．和ABHI分别平行于，BCPP为△ABC内一点，过点作线段DE，FG，6．如图所示．．求d．AB=510，且DE=FG=HI=d，，BC=450，CA=425CA，ABOACBC∥，BD，交于O点，过的直线分别交ADABCD7．如图所示．梯形中，．EF厘米．求BC=20厘米，AD=12．BC∥EF，且F，E于CD．8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．．若OMN与对角线BD交于，ABCD中，AD∥BCMN∥BC，且9．如图所示，梯形．BC=BO=b，求MNAD=DO=a，（如图所示）．BCIH，分别平行于AB，，CAFGDEPABC为．10P△内一点，过点作，．求证：11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．F，．并延长分别交对边于D，EBP．已知12P为△ABC内任意一点，连AP，，CP三者中，至少有一个不大于（2）求证：（1），也至少有一个不少于2．2的延长线AE，AE是BC边上的中线，平分∠BACBD⊥AMABC．如图所示．在13△中，ABEFFAMD于，且交延长线于．求证：∥．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．．求QM⊥AC上，且PM的中点，P、Q分别在AB、是15．已知MRt△ABC中斜边BC222 +QC 证：PQ．=PB平分CF平分∠CAB，DACB=90°，CD⊥AB于，AE∠．如图所示．在16△ABC中，．EF∥BC ∠BCD．求证：，∠CB=CPA∠BPC=∠．若2∠∠A+APB=，满足内有一点△17．如图所示．在ABCP∠2 =PA?PC．求证：PB ．）PBC△∽PAB△（提示：设法证明18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．边上的中线，连接ACBE是N是边BC的三等分点，19．如图所示，△ABC中，M、GE的值．BF：FG：AN，分别交BE于F、G，求AM、111=+4．求证B20.在△ABC中，∠A∶∠∶∠C=1∶2∶BCABACb1a+b1a+b11===+，提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为或caababccc+所在三角形相似的三角形。

专题02相似三角形的判定（六个知识点八大题型二个易错点）【目录】【学习目标】1.了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理，能正确地找出相似三角形的对应边和对应角。

2.能灵活地运用三角形相似的判定定理，证明和解决有关问题，提升逻辑推理的核心素养。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1相似三角形及其表示方法在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.例1：下列说法一定正确的是（）（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似（B）对应角相等的两个三角形不一定相似（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似【答案】C【解析】根据判定定理2可知A 错误，C 正确；根据判定定理1可知B 错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似．【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件．知识点2相似三角形的预备定理（重点）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l 与ABC D 的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE D ∽ABC D ．例2：如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A ．增大1.5米B ．减小1.5米C ．增大3.5米D ．减小3.5米【答案】D 试题分析：设小明在A 处时影长为x ，B 处时影长为y ．∵AC ∥OP ，BD ∥OP ，∴△ACM ∽△OPM ，△BDN ∽△OPN ，∴BD BN OP ON =，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x ﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D ．知识点3判定两个三角形相似定理1（重点）如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，如果1A A Ð=Ð、1B B Ð=Ð，那么ABC D ∽111A B C D ．常见模型如下：例3：如图，在Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO 交AD 于点F ，OE OB ^交BC 边于点E ．求证：ABF D ∽COE D ．【难度】★★【解析】证明：Q 90BAC Ð=°，\90BAD CAD Ð+Ð=°，90ABO AOB Ð+Ð=°，又AD BC ^，OE OB ^，9090C CAD AOB EOC \Ð+Ð=°Ð+Ð=°，．BAD C ABO EOC \Ð=ÐÐ=Ð，．\ABF D ∽COE D ．【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可证明．知识点4判定两个三角形相似定理2（重点）如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，1A A Ð=Ð，1111AB AC A B A C =，那么ABC D ∽111A B C D ．要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.例4:如图，点D 是ABC D 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ．求证：ACD D ∽ABC D ．【难度】★【解析】证明：Q 2AC AD AB =g ，AD AC AC AB\=，A A Ð=ÐQ ，\ACD D ∽ABC D ．【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等．知识点5判定两个三角形相似定理3（重点）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC D 与111A B C D 中，如果111111AB BC CA A B B C C A ==，那么ABC D ∽111A B C D ．要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.例5：如图，点D 为ABC D 内一点，点E 为ABC D 外一点，且满足AB BC AC AD DE AE==．求证：ABD D ∽ACE D ．【难度】★★【解析】Q AB BC AC AD DE AE== \ABC ADE D D ∽．\BAC DAE Ð=Ð， 即BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð．\BAD CAE Ð=Ð．Q AB AC AD AE= \ABD D ∽ACE D ．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．知识点6判定两个直角三角形相似定理（重点）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC D 和111Rt A B C D 中，如果190C C Ð=Ð=°，1111AB BC A B B C =，那么ABC D ∽111A B C D ．例6：如图，在ABC D 和111A B C D 中，AD BC ^，1111A D B C ^，垂足为D 和1D ，且111111AC AB AD A CA BAD ==．求证：ABC D ∽111A B C D ．【难度】★【解析】证明：Q AD BC ^，1111A D B C ^，\11190ADC A D C Ð=Ð=o ．又Q 111111AC AB AD A C A B A D ==，\111Rt ADC Rt A D C D D ∽，\1C C Ð=Ð．同理可得：1B B Ð=Ð， \ABC D ∽111A B C D ．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法．【方法二】实例探索法题型一：添加条件来说明三角形相似例7：如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点（DE 不平行BC ），若使△ADE 与△ABC 相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）．【答案】∠ADE ＝∠C【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相似，即可解题．【详解】∵∠A 是公共角，如果∠ADE=∠C ，∴△ADE ∽△ABC ，故答案为∠ADE=∠C．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即①有两组角对应相等的三角形相似，②三边对应成比例的两个三角形相似，③两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．题型二：寻找图形中的相似三角形个数例8：如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中有哪几对相似三角形？【难度】★【答案】EAF D ∽EBC D ，EAF D ∽CDF D ，EBC D ∽CDF D ．【解析】由////AB CD AD BC ，，可得：////AE CD AF BC ，，根据相似三角形预备定理，可得：EAF D ∽EBC D ，EAF D ∽CDF D ，进而可得：EBC D ∽CDF D ，即这三个三角形两两相似．【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性．题型三：相似三角形的判定定理应用例9：如图，点D 、E 分别在ABC V 的边AB 、AC 上，且DE 与BC 不平行．下列条件中，能判定ADE V 与ACB △相似的是（ ）A ．AD AE AC AB =B ．AD AB AE AC =C ．DE AE BC AB =D ．DE AD BC AC=【答案】A【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．【详解】解:在ADE V 与ACB V 中，∵AD AE AC AB=，且A A ÐÐ=，∴ADE ACB V V ∽．故选:A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定:（1）平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似．题型四：利用相似三角形证明等积式例10．如图，D 、E 分别是ABC D 的边AB 、AC 上的点，且AED B Ð=Ð．求证：AE AC AD AB =g g ．【难度】★【解析】证明：AED B A A Ð=ÐÐ=ÐQ ，，AED \D ∽ABC D ，AD AE AC AB\=，即AE AC AD AB =g g ．【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论．例11.如图，ABC D 是等边三角形，120DAE Ð=°，求证AD AE AB DE =g g ．【难度】★★【解析】证明：Q ABC D 是等边三角形，60BAC ACB \Ð=Ð=°．Q 120DAE Ð=°，60DAB CAE \Ð+Ð=°．又60ACB E CAE Ð=Ð+Ð=°，DAB E \Ð=Ð． D D Ð=ÐQ ，DAB \D ∽DEA D ，AD AB DE AE\=， 即AD AE AB DE =g g ．题型五：相似三角形应用3 2210/ 223 10【答案】22.3/，∴∠∴，∴，BF'=CF=∴，∴，∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED V 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ^∴90FDE Ð=°又∵90ACB Ð=°∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF V 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ^，DG BC ^，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ^，DG BC^∴90DHC DGC Ð=Ð=°又∵90ACB Ð=°，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG Ð=°∵90FDE Ð=°∴HDG HDF EDF HDF Ð-Ð=Ð-Ð 即EDH FDGÐ=Ð又∵90DHE DGF Ð=Ð=°∴EDH FDGV V ∽题型八：与相似三角形有关的图形运动问题例15.把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中90ABC DEF Ð=Ð=°，45C F Ð=Ð=°，AB = DE = 4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证APD D ∽CDQ D ，则此时AP CQ =g ______；（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时间方向旋转，设旋转角为a ．其中090a °<<°，问AP CQ g 的值是否改变？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（2）易证APD CDQ D D ∽， 得：AP AD CD CQ= AP CQ CD AD \·=·．又AC =Q ， CD AD \==， 8AP CQ \·=．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．【方法三】差异对比法易错点1对两个三角形中的对应角和对应边的概念理解不透彻例16.在△ABC 中，直线DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是（）A ．AD AE BD EC =B ．∠ADE=∠ACBC ．AE ﹒AC=AB ﹒ADD ．AD DE AB BC=【答案】D 【分析】由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可．【详解】解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A 不符合题意；两角对应相等，两三角形相似，故选项B 不符合题意；由AE ﹒AC=AB ﹒AD 得AD AC AE AB=，且∠A=∠A ，故可得△ABC 与△ADE 相似，所以选项C 不符合题意；而D 不是夹角相等，故选项D 符合题意；故选：D【点睛】相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．易错总结：找两个三角形的对应关系时，容易受思维定式的影响，想当然地把AB 与A1B1当成对应边，∠A 与∠A1当成对应角。

1．如图所示，S△ABC=1，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=（）A．B．C．D．2．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（）A．h B．k C．a D．3．已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，CD平分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）A．AD=BC﹣CD B．AD=BC﹣AC C．AD=BC﹣AP D．AD=BC﹣BD5．在△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，则以下条件，不能说明△ABC 与△A′B′C′相似的是（）A．∠A′=30°B．∠C′=60°C．∠C=60° D．∠A′=2∠C′6．设a，b，c分别是△ABC的三边长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）A．∠B＞2∠A B．∠B=2∠A C．∠B＜2∠A D．不确定7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1，则S与S1的大小关系一定是（）A．S＞S1B．S＜S1C．S=S1 D．不确定8．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）A．AD•BC=AB•BD B．AB2=AD•AC C．∠ABD=∠CBD D．AB•BC=AC•BD9．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于O点．若S△=2，S△OBE=3，S△OBC=4，则S△ABC=．OCD10．如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于．11．如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．12．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．13．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度数．14．如图表示甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55°、60°、65°．记甲、乙、丙三个三角形的周长依次为l甲、l乙、l丙．已知AB=DE=GH，试猜想l甲、l乙、l丙的大小关系，并说明理由．15．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．16．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．1．如图所示，S△ABC=1，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=（）A．B．C．D．【考点】K3：三角形的面积．=S△DEC，【解答】解：∵S△BDE∴BD=DC，=S△ABC=，∴S△ABD∵S=1，S△BDE=S△DEC=S△ACE，△ABC=S△DEC=S△ACE=，∴S△BDE=S△ABD﹣S△BDE=﹣=．∴S△ADE故选B．2．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（）A．h B．k C．a D．【考点】KE：全等三角形的应用；KM：等边三角形的判定与性质．【解答】解：连接QR，过Q作QD⊥PR，∴∠AQD=45°，∵∠QAR=180°﹣75°﹣45°=60°，且AQ=AR，∴△AQR为等边三角形，即AQ=QR，∵∠AQD=45°∴∠RQD=15°=∠ARP，∠QRD=75°=∠RAP，∴△DQR≌△PRA（ASA），∴QD=PR，即w=h．故选A．3．已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE．∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF，∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，∴AE=（AB+AD），故①正确；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360﹣（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE ﹣S△BCE=S△ACE﹣S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC，故④正确．故选D．4．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，CD平分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）A．AD=BC﹣CD B．AD=BC﹣AC C．AD=BC﹣AP D．AD=BC﹣BD【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：因为∠A=2∠B，所以∠A＞∠B，所以BC＞AC．在BC上截取CA′=CE，连接DE′（如图），易证△ACD≌△EC′D，所以AD=ED，且∠CED=∠A=2∠B，又∠CED=∠B+∠EDB，所以∠B=∠EDB，所以AD=ED=EB，所以BC=E′C+E′B=AC+AD，所以AD=BC﹣AC．故此题选B．注意到：若AD=BC﹣CD，则CD=BC﹣AD=A′C=AC，此时∠CDA′=∠CDA=∠A=2∠B，所以∠ADA′=4∠B，又∠ADA′+∠2=4∠B+∠B=180°，所以∠B=36°，所以∠C=72°，与已知矛盾，故A排除，易证BD＞BA′=AD，所以PB＜BD，PA＞AD．所以AD＜BC﹣AP，排除C，AD＞BC﹣BD，排除D．5．在△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，则以下条件，不能说明△ABC 与△A′B′C′相似的是（）A．∠A′=30°B．∠C′=60°C．∠C=60° D．∠A′=2∠C′【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【解答】解：A、∵∠A′=30°，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；B、∵∠C′=60°，∴∠A′=30°，∵∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；C、∠C=60°，无法确定△A′B′C′中各角的度数，故无法证明△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确；D、∵∠A′=2∠C′，∠A′+∠C′=90°，∴∠A′=30°，∵∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误．故选C6．设a，b，c分别是△ABC的三边长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）A．∠B＞2∠A B．∠B=2∠A C．∠B＜2∠A D．不确定【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K8：三角形的外角性质．【解答】解：由=得=，延长CB至D，使BD=AB，于是CD=a+c，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC：AC=AC：DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC=∠D，∵∠BAD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC．故选B．7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1，则S与S1的大小关系一定是（）A．S＞S1B．S＜S1C．S=S1 D．不确定【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K3：三角形的面积．【解答】解：分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然=＞1，即S＞S1；②设a=b=，c=20，则h c=1，S=10，a1=b1=c1=10，则S1=×100＞10，即S＜S1；③设a=b=，c=20，则h c=1，S=10，a1=b1=，c1=10，则h c=2，S1=10，即S=S1；因此，S与S1的大小关系不确定．故选D．8．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）A．AD•BC=AB•BD B．AB2=AD•AC C．∠ABD=∠CBD D．AB•BC=AC•BD【考点】S8：相似三角形的判定．【解答】解：A、因为AD•BC=AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确；C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误；D、因为AB•BC=AC•BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误，故选B．9．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于O点．若S△=2，S△OBE=3，S△OBC=4，则S△ABC=16.8．OCD【考点】K3：三角形的面积．【解答】解：连接DE，如图则有，，将已知数据代入可得S=1.5，△DOE=x，则由，设S△ADE，所以得方程：，解得：x=6.3，所以四边形ADOE的面积=x+1.5=7.8．=2+3+4+7.8=16.8．所以S△ABC故填：16.8．10．如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于 5.5．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：如图，延长FM到N，使MN=MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM=CM，∠BMN=∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN=CF，∠N=∠MFC，又∵∠BAD=∠CAD，MF∥AD，∴∠E=∠BAD=∠CAD=∠CFM=∠AFE=∠N，∴AE=AF，BN=BE，∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=BN+FC=2FC，∴FC=（AB+AC）=5.5．故答案为5.5．11．如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是5．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，∵AC=BC=5，∴∠CAB=∠CBA=50°，∵∠OAB=10°，∴∠CAD=∠OAD===20°，∵∠DAB=∠OAD+∠OAB=20°+10°=30°，∴∠DAB=30°=∠DBA，∴AD=BD，∠ADB=120°，在△ACD与△BCD中⇒△ACD≌△BCD⇒∠CDA=∠CDB，∴∠CDA=∠CDB===120°，在△ACD与△AOD中⇒△ACD≌△AOD⇒AO=AC，∴AO=5．故答案为5．12．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：（1）在边BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD≌△DBE，∴AD=DE，∴∠A=∠BED，∵∠A=100°，∴∠BED=100°，∵∠C=50°，∴∠CDE=50°，∴∠C=∠CDE，∴DE=CE，∵BC=BE+CE，∴BC=BA+AD；（2）如图，以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，∴∠ACA′=∠ABD=20°，∵AB=AC，∴△ABD≌△ACD'（SAS），∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，∴∠AD′C=60°，连接AA′，∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，∴A'D'=AD'，∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即BC=BD+AD．13．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度数．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：延长BC到F，使CF=DE，连接AF（如图）∵DE+BC=1，∴BF=BC+CF=BC+DE=1∵BE=AC，∠DEB=∠ACF=90°，DE=CF，∴△BDE≌△AFC（SAS），∵BD=，∴AF=BD=，∠B=∠1，∴AF=BF，∵∠B+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ABC=30°．14．如图表示甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55°、60°、65°．记甲、乙、丙三个三角形的周长依次为l 甲、l 乙、l 丙．已知AB=DE=GH ，试猜想l 甲、l 乙、l 丙的大小关系，并说明理由．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；K6：三角形三边关系．【解答】解：猜想l 甲＜l 乙＜l 丙．（5分）理由：在甲三角形中，作∠ABF′=65°，交AC 的延长线于点F′．在△DEF 和△BAF′中，∵∠D=∠ABF′=65°，DE=BA ，∠E=∠A=55°，∴△DEF ≌△BAF′（ASA ）．（3分）∵F′C +F′B ＞BC ，∴△BAF′的周长大于l 甲．即 l 甲＜l 乙．（3分）同理可说明l 乙＜l 丙．（3分）∴l 甲＜l 乙＜l 丙．15．已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．∠B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD=2CE ．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．16．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：作∠OBF=∠OAE交AD于F，∵∠BAD=∠ABE，∴OA=OB．又∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA）．∴AE=BF．∵AE=BD，∴BF=BD．∴∠BDF=∠BFD．∵∠BDF=∠C+∠OAE，∠BFD=∠BOF+∠OBF，∴∠BOF=∠C．∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，∴∠BAD=∠C，。

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

相似三角形难题集锦(含答-案)一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E 作EF⊥AC交射线BB1于F，G 是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC ＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB ＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB上运动，DE 平分CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME 与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C 点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB 边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D 开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t （s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

【中考数学】2022-2023学年易错常考专题训练—相似三角形1．如图，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴213222y x x =-++交于点C ，连接．BC(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)设x 轴上的一个动点P 的横坐标为t ，过点P 作直线轴，交抛物线于点N ，交直PN x ⊥线于点M ．BC ①当点P 在线段上时，设的长度为s ，求s 与t 的函数关系式；AB MN ②当点P 在线段上时，是否存在点P ，使得以O 、P 、N 三点为顶点的三角形与OB 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．COB △2．如图，抛物线经过，，三点．()4,0A ()10B ,()0,2C -(1)求出抛物线的解析式；(2)P 是抛物线在第一象限上的一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线上有一点D （点D 位于直线AC 的上方且不与点B 重合）使得，DCA ABCS S=△△直接写出点D 坐标．3．如图，已知，，抛物线经过、两点，交轴于点()2,0A -()4,0B 2y ax bx c =++A B y ．点是第一象限内抛物线上的一点，连接，．为上的动点，过点()0,4C P AC BC M OB 作轴，交抛物线于点，交于点．M PM x ⊥P BC Q(1)求抛物线的函数表达式；(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为请用含的代数式表示线段P PN BC ⊥N M ()0m ,m 的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？PN m PN (3)试探究在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形M Q O M Q 与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．AOC Q 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于xOy 213442y x x =-++三点．A B C ，，(1)求证：；90ACB ∠=︒(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点D D x BCE x ．F①②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．G AC C D E ，，AOG D 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 与x 轴、y 轴的交点分别为C （8，0），B （0，6），CD ＝5，抛物线y ＝ax 2﹣x +c （a ≠0）过B ，C 两点，动点M 从点D 开始以154每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C 的方向运动到达C 点后停止运动．动点N 从点O 以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，到达C 点后，立即返回，向CO 方向运动，到达O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运动，当点M 停止运动时，点N 也停止运动，设运动时间为t ．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标；(3)当点M ，N 同时开始运动时，若以点M ，D ，C 为顶点的三角形与以点B ，O ，N 为顶点的三角形相似，直接写出t 的值．6．如图．在平面直角坐标系中．抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交212y x bx c =++于点C ．点A 的坐标为，点C 的坐标为．已知点是线段上的动()1,0-()0,2-(),0E m AB 点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作轴交抛物线于点P ，交于点F ．PE x ⊥BC(1)求该抛物线的表达式；(2)若，请求出m 的值；:1:2EF PF =(3)是否存在这样的m ，使得与相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，BEP △ABC 请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．7．如图，抛物线与y 轴交于点A ，与轴交于点，，P 是26y ax bx =+-x ()3,0B -()1,0C 线段下方抛物线上的一个动点，过点Р作轴的垂线，交轴于点H ，交于点AB x x AB D ．设点P 的横坐标为．()30t t -<<(1)求抛物线的解析式．(2)用含t 的式子表示线段的长，并求线段长度的最大值．PD PD (3)连接，当与相似时，求点P 的坐标．AP DPA DHB △8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点234y x bx c =-++x ()4,0A y ()0,3B 为线段上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于(),0M m OA M x AB 点，．P N(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)如果以点P ，N ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形，求的值；m (3)如果以B ，P ，N 为顶点的三角形与相似，求点的坐标．APM △M 9．如图，抛物线经过，两点，与y 轴交于点B ，P 为抛物2y x bx c =-++()4,0A ()1,0C -线上的动点，连接AB ，BC ，PA ，PC ，PC 与AB 相交于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当APQ △1S BCQ △2S 时，求点P 的坐标；215S S -=(3)是否存在点P ，使，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，说45PAB CBO ∠+∠=︒明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴的正、负半轴分别交xOy 23y ax bx =++于点B 、A ，与y 轴交于点C ，已知，，．5AB =tan 3CAB ∠=:3:4OC OB =(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的对称轴分别与x 轴、交于点E 、F ，求的长；BC EF (3)在（2）的条件下，联结，如果点P 在该抛物线的对称轴上，当和相似CE CEP △CEB 时，求点P 的坐标11．如图，直线分别交轴、轴于点，过点的抛物线31255y x =-+x y A B ，A 与轴的另一交点为，与轴交于点，抛物线的对称轴交2y x bx c =-++x C y ()04D ，l 于点，连接交于点．AD E OE AB F(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；OE AB ⊥(3)为抛物线上的一动点，直线交于点，是否存在这样的点，使以P PO AD M P 为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明A O M ，，ACD P 理由．12．如图，以D 为顶点的抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直212y x bx c=-++线的表达式为．BC 6y x =-+(1)求抛物线的表达式；(2)在直线上存在一点P ，使的值最小，求此最小值；BC PO PA +(3)在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与相似？若存在，BCD △请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A 和点2()0y ax bx c ac =++≠B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段的长满足，OA OB OC 、、2OC OA OB =⋅则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线为“黄金”抛物线，22(0)y ax bx a =++≠其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB=(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为上方抛物线上的动点，过点P 作，垂足为D ．AC PD AC ⊥①求的最大值；PD ②连接，当与相似时，求点P 的坐标．PC PCD ACO △14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点3y x =-+C ．二次函数的图像过B ，C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段2y ax 2x c =++OB 上的一个动点（不与端点O ，B 重合）．(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，过点M 作y 轴的平行线l 交于点F ，交二次函数的图像于BC 2y ax 2x c =++点E ，记的面积为，的面积为，当时，求点E 的坐标；CEF 1S BMF 2S 1212S S =(3)如图②，连接，过点M 作的垂线，过点B 作的垂线，与交于点CM CM 1l BC 2l 1l2l G ，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．CG CM CGCM 15．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于2y xbx c =-++x ()()2,0,4,0A B -y 点．C (1)求的面积；ABC (2)如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；P PAB ACO ∠=∠P (3)若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点N 2y =x ，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足M CMN M 条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．M 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，xOy 2y ax x c =++()2,0A -两点，直线与轴交于点．()0,4B 3x =x C(1)求，的值；a c (2)经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面O AB 3x =D E BDO △OCE △积相等，求直线的解析式；DE (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，P OC 3x =F ，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐G B F G P BF F 标；若不存在，请说明理由．答案：1．(1)，，；()10A -，()40B ，()02C ，(2)①；②点P()()221210212042t t t s t t t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩2．(1)215222y x x =-+-(2)存在，（2，1）(3)点的坐标为（3，1）D 3．(1)2142y x x =-++，当时，有最大值2m =PN (3)存在，或48,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭84,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)1(2)①；②或．9(4,6)D 25(3,)4D 5．(1)2315684y x x =-+(2)（11，4）或2356．(1)；213222y x x =--(2)；2m =(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为或或()7,0()1,0M 7．(1)；2246y x x =+-(2)；线段长度的最大值为．226PD t t =--PD 92(3)或()2,6P --755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．(1)，对称轴：，顶点坐标239344y x x =-++32x =375,216⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)2(3)或11,09M ⎛⎫ ⎪⎝⎭()3,0M 9．(1)234y x x =-++(2)或16P（，）26P （，）(3)()3,4P 10．(1)239344y x x =-++(2)158EF =(3)P 的坐标为：或．3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭11．(1)抛物线解析式为234y x x =-++(2)2(3)存在，点的横坐标为P 12．(1)21262y x x =-++(2)10(3)当Q 的坐标为或时，以A 、C 、Q 为顶点的三角形与相似()00，()180，BCD △13．(1)213222y x x =--+(2)①PD ②P 坐标为或(3,2)-325()28，-14．(1)；223y x x =-++(2)；(1,4)E(3)15．(1)24(2)1523(,)416P (3)存在，或()3,5M 16．(1)，12a =-4c =(2)23y x =-(3)存在这样的点，点的坐标为或F F (2,0)。

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q 沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）A. B.C. D.10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．〔1〕当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；〔2〕当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．〔1〕①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式；〔2〕在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM ⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．〔1〕当AD＝CD时，求证：DE∥AC；〔2〕探究：AD为何值时，△BME与△E相似？4.如下列图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C 〔1〕当x为何值时，PQ∥BC？〔2〕△APQ与△CQB能否相似？假如能，求出AP的长；假如不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔s〕表示移动的时间〔0＜t ＜6〕。

〔1〕当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？〔2〕当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为〔1，3〕，将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为〔〕A. B.C. D.10..，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

.相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。

专题02 相似三角形（难点）一、单选题1．下列说法不正确的是（ ）A．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似B．若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2C．若线段AB，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC2．下列说法正确的是（）A．两个直角三角形相似B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似【答案】D【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可得解．【解析】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项B不合题意；C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．3．点P是线段AB的黄金分割点，且AP PB>，下列命题：()()()()222=×=×=×=，中正确的有（）1AB AP PB2AP PB AB3BP AP AB4AP:AB PB:AP4．下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）①()()3330a b a b ---=r r r r ；②若3a b =r r ，则3a b =-r r ；③若m 、n 是实数，则()()m na mn a =r r ；④如果非零向量b r 与非零向量a r 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =r r ；⑤如果非零向量a mb =r r ，则a r 与b r 所在的直线平行；⑥如果0a ®与0b ®分别是a r 与b r 的单位向量，则00//a b ®®5．如图，在中，，，下列结论正确的是（）A．AM AMNC AB=B．AD DNDM MC=C．AM ANMB AC=D．DN MNMC BC=BE=1，则EC=（）A．32B．2C．3D．4OE DF ∥7．如图是一架梯子的示意图，其中1111∥∥∥AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，将A ，1D 间加一条安全绳（线段1AD ），1AD 分别交1BB ，1CC 于点E ，F ，量得0.4m =AE ．则1AD 的长为（ ）接DE ．将△BDE 沿DE 折叠，得到△B ′DE ，点B 恰好落在AC 的中点处，设DE 与BB 交于点F ，则EF ＝（ ）A ．12B ．53C D ∴△AHB ′是等腰直角三角形，∴AH ＝B ′H 22=AB ′，∵AB ′12=AC 2=，9．如图，正方形ABCD 由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF 交DE 于点M ．若12AH AE =，则HM MF 的值为（ ）A ．49B ．12C ．47D ．23∵正方形ABCD 由四个全等的直角三角形拼接而成，AEH BFE CGF DHG @@@V V V V 设3,AB a =10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝，D为BC边的中点，点E是CA延长线上一点，把ACDE沿DE翻折，点C落在C¢处，EC¢与AB交于点F，连接BC¢．当43FAEA=时，BC’的长为（ ）A B．C D．【答案】D【分析】如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D作DM⊥EC于M．证明∠CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．【解析】解：如图，连接CC′，过点C′作C′H⊥EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT⊥EF于T，过点D 作DM⊥EC于M．∵∠FAE=∠CAB=90°，FA EA=∴EF：AF：AE=5：4：3，∵C′H∥AF，∴△EAF∽△EHC′，∴EC′：C′H：EH=EF：AF：设EH=3k，C′H=4k，EC′=二、填空题11．已知235a b c ==，且a+b+c≠0，则232a b c a b c +-++=_____．13．如图，在△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，DE ∥AB ，已知ED a =，BC b =，那么用a ，b 表示AD ＝_____．14．如图，ABC V 的中线AD 、CE 交于点G ，点F 在边AC 上，GF BC P ，那么GF BC的值是__________.15．如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF ∶CA=a ∶b ，那么BE ∶AE 的值为______．（用含a 、b 的式子表示）过点B 作BG ∥AC 交EF 于点∴∠1=∠C∵点D 是边BC 的中点∴BD=CD在△BDG 和△CDF 中1=C BD CD ÐÐìï=í线交于点G，与边AB交于点F，如果AB=AF=2BF，那么GB=______．形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的最美分割线．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割线．若△ACD为等腰三角形，则∠ACB的度数为________．【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及等腰三角形的性质，理解最美分割线的定义是解决本题的关键．18．如图，梯形ABCD 中，4//,90,tan ,3AD BC B C AB BC Ð===o ，点E 在边CD 上，把BCE V 绕点B 逆时针旋转90°，点E 的对应点是点F ，点C 的对应点是点M ，如果//EF BC ，那么:DE CE 的值是_______．三、解答题19．已知，x：y：z＝2：3：4，求：（1）x yz+的值；（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点H在边BC上，且AH＝HC，交AC于点G，BD＝7，AD＝5，DH＝3．(1)求证：AH⊥BC；（1）求EC的值；CD ．(1)求证：DE ∥CF ；(2)联结DF ，设AD 、CF 的交点为M ，如果2DF ＝FM •FC ，求证：DF∥AC ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD ≌△CBF ，得出∠CAD ＝∠BCF ，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE ＝∠CAD ，进而得出∠BDE ＝∠BCF ，即可证明DE ∥CF ；（2）先证明△DFM ∽△CFD ，得出∠FDM ＝∠FCD ，由∠CAD ＝∠BCF ，得出∠FDM ＝∠CAD ，即可证明DF ∥AC ．（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝∠B ＝60°，在△ACD 和△CBF 中，AC CB ACD B CD BF =ìïÐ=Ðíï=î，223．如图，点D、E分别在△ABC的边BC及其延长线上，且∠BAC＝∠DAE，∠ACB＝2∠BAD．(1)求证：22AB BD BD DE-=×；DA EF AB CE AF=，AE延长线交DC延长线于点P．(1)证明：四边形ACEG 是等腰梯形；(2)若点E 是BC 的黄金分割点，且CE BE <，证明：2CP CE AD =×．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据正方形的性质可得四边形AFEC 是平行四边形，进一步可得CE AG =，根据平行四边形的性质可得GE AC ¹，且GE AC ∥，即可得证；（2）根据正方形的性质易得ABE △∽PCE V ，根据相似三角形的性质以及黄金分割比可得CP BE =，进一步即可得证．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD BC ∥，BC BA =，90ABC BAC Ð=Ð=°，45BAC BCA \Ð=Ð=°，又CE AF =Q ，\四边形AFEC 是平行四边形，45F BCA \Ð=Ð=°，AC FE ∥，AC FE =，90FAG Ð=°Q ，45AGF F \Ð=Ð=°，AG AF \=，CE AG \=，GE AC ¹Q ，且GE AC ∥，\四边形ACEG 是等腰梯形；（2）证明：在正方形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC AD ==，ABC BCP \Ð=Ð，AEB PEC Ð=ÐQ ，ABE \V ∽PCE V ，BE \：AB CE =：PC ，E Q 是BC 的黄金分割点，且CE BE <，BE \∶BC CE =∶BE ，AB BC =Q ，CP BE \=，CP \∶AB CE =∶PC ，AB AD =Q ，2\=×．CP CE AD【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．V中，点D、点E分别在AC、AB上，点P是BD上的一点，联结EP并延长交AC于点25．如图，在ABCÐ=Ð=Ð．F，且A EPB ECB×=×；(1)求证：BE BA BP BD(1)如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．求证：点B是线段DC′的黄金分割点；(2)如图2，连接AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N．求证：MN2＝PN•DN．MN PN DN=×==．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．5DE DF（1）求证：BG CH =；（2）设AD x =，ADN △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；与性质、分类讨论思想的运用等知识点．28．如图，在矩形ABCD 中，:3:2AB BC =，点F 、G 分别在边AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形EFGP ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．(1)若BC ＝8，E 是BC 中点，求BF 的长；(2)试探究GF 与AE 之间的位置关系与数量关系，并说明理由；(3)连接CP ，若34BE BF =，GF =，求线段BE 和CP 的长．。

.相似三角形难题易错题一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD 于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC 延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。

苏科版九年级数学下册（相似三角形的性质）期末易错题练习-含答案学校:班级:姓名:考号:一、单选题1．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（）A．√2B．2 C．3 D．42．如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（）A．ADBD =AECEB．AD⋅DE=AE⋅ECC．ADAB =DEBCD．AB⋅AD=AE⋅AC．3．如图△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：15．如图，在△ABC中DE//FG//BC，AD：AF：AB=1：2：4，则S△ADE：S四边形DEGF ：S四边积FGCB=（）A．1∶2∶4 B．1∶4∶16 C．1∶3∶12 D．1∶3∶86．如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A 25米，离路灯B 5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为（）A．6.4米B．8米C．9.6米D．11.2米7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE 于G，BG= 4√2，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9 D．8图象上的一个8．平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣1x动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．若两个相似三角形的相似比是2：3，则它们的对应高线的比是．AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为．10．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE= 2311．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=16，AC=12，F是DE的中点，若点E是直线BE上的动点，连接BF，则BF的最小值是。