空间向量基本定理《知识讲解与解题策略》

1.2 空间向量的基本定理1．空间向量基本定理(1)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点．【题型精讲】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D 中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ）A ．AB AC AD ，，B ．11AB AA AB ，，C ．11111D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【答案】C【解析】:AB AC AD ，，共面，排除A 11AB AA AB ，，共面，排除B 111AC AC CC ，，共面，排除D 11111 D A DC D D ，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以A 错.B 项，空间基底有无数个, 所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .2．（2018·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A ．{,,}a b b a a +-B ．{,,}a b b a b +-C ．{,,}a b b a c +-D ．{,,}a b c a b c +++ 【答案】C【解析】选项A,B 中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D 中，()a b c a b c ++=++，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C 中,,a b b a c +-不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.3．（2018·开平市忠源纪念中学高二期末（理））若{a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑}构成空间的一组基底，则( )A ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,a ⃑不共面B ．b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b ⃑⃑不共面C ．b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑不共面D ．a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑不共面 【答案】A【解析】∵2b ⃑⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+(b ⃑⃑−c ⃑)，∴b ⃑⃑+c ⃑,b ⃑⃑−c ⃑,2b⃑⃑共面 ∵a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑=(b ⃑⃑+c ⃑)+a ⃑，∴b ⃑⃑+c ⃑,a ⃑,a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑共面∵a ⃑+c ⃑=(a ⃑−2c ⃑)+3c ⃑，∴a ⃑+c ⃑,a ⃑−2c ⃑,c ⃑共面故选A考点二 基底的运用【例2】（2020·佛山市荣山中学高二期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 的中点，AB a =，AD b =，1AA c =，则AO =（ ）A ．1122-++a b cB ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122a b c -+ 【答案】B【解析】O 为11A C 的中点， ∴()11111111111122AO AC AA AO AA AA A B A D =+=+++=()112AB AD AA =++()12c a b =++ 1122a c b =++． 故选：B ．【玩转跟踪】1．（2020·甘肃靖远。

人教版选修21第三章空间向量的基本定理讲义课堂协作研讨重点难点打破知识点一 共线向量定理〔1〕定理内容：对空间两个向量()0,≠b b a ，b a //的充要条件是存在独一的实数x ， 使xb a =。

此定理可以分解为以下两个命题；①假定()0//≠b b a ，那么存在独一实数x ，使xb a =。

②存在实数x ，使()0≠=b xb a ，那么b a //。

〔2〕在定理中为什么要规则0≠b 呢?事先0=b ，假定0=a ，那么b a //，也存在实数x 使xb a =；但假定0≠a ，我们知道零向量和任一非零向量共线，但不存在实数x ，使xb a =，因此在定理中规则了0≠b 。

假定将定理写成xa b b a =⇔//，那么应规则0≠a 。

说明：①在xb a =功中，关于确定的x 和b ，xb a =功表示空间与b 平行或共线且长度为xb 的一切向量；②应用共线向量定理可以证明两线平行，或三点共线。

知识点二 共面向量定理〔1〕共面向量向量a ，作a =，假设的基线平行于平面a ，记作α//a 〔右图〕，通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

说明：①α//a 是指a 的基线在平面α内或平行平面α。

②共面向量是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的基线能够相交、平行或异面。

我们，对空间恣意两个向量，它们总是共面的，但空间恣意三个向量就不一定共面了。

例如，在以下图中的长方体，向量AB 、、AD ，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内。

〔2〕共面向量定理共面向量定理：假设两个向量a 、b 不共线，那么向量c 与向量a 、b 共面的充要条件是，存在独一的一对实数y x ,，使yb xa c +=。

说明：①在证明充要条件效果时，要证明两个方面即充沛性和必要性。

②共面向量的充要条件给出了平面的向量表示，说明恣意一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来，它既是判别三个向量能否共面的依据，又是共面条件的另一种方式，可以借此共面条件化为向量式，以便我们的向量运算。

空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。

本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。

有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。

用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。

1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。

相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。

例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。

1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。

空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。

例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。

二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。

在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。

空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。

数学：3.1.2《空间向量基本定理》教案（新人教B版选修2-1）空间向量的基本定理教学目标：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）．教学难点：空间作图．教学方法：讲授法．教学过程设计：一、复习引入1．复习向量与平面平行、共面向量的概念．区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．2．空间共面向量定理及其推论．（1）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p 与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p= xa+yb ．（2）共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，或对于空间任意一定点O，有．②③今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．二、新课讲授问题1：右图中的向量、、是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？．由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量．问题2：如果向量、、分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc事实上，对空间任一向量，我们都可以构造出上述平行六面体，由此我们得到了空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 p＝xa+yb+zc．证明：存在性：（见课本P31）唯一性：设另有一组实数x'、y'、z'，使得p＝x'a+y'b+z'c，则有xa+yb+zc＝x'a+y'b+z'c，∴(x－x' ) a+(y－y' )b+( z－z' )c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x'＝y－y'＝z－z'＝0，即x＝x'且y＝y'且z＝z'．故实数x、y、z是唯一的．由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．由定理的证明过程（P32第一行）可以得到下面的推论：设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使．说明：若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．三、课堂练习课本四、课时小结⒈空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以"项".证明的思路、步骤也基本相同．⒉空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．五、课后作业⒈课本教学后记：。

《空间向量基本定理》专题精讲空间向量基本定理:(1)定理如果三个向量,,a b c 不共面,那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使得x y z =++p a b c .(2)基底我们把定理中的{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.(3)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{,,}i j k 表示.(4)空间向量的正交分解由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a ,均可以分解为三个向量,,x y z i j k ,使x y z =++a i j k ,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.注意:(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.(2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.(3)由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.典例1 已知{}123,,e e e 是空间的一个基底,且1232,OA =+-e e e 12332,OB =-++e e e 123OC =+-e e e ,且判断{,,}OA OB OC 能否作为空间的一个基底.思路:本题考查空间基底的概念,在理解空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底的概念的基础之上,通过分析计算进行判定.解析:设OA xOB yOC =+,则(1231223x +-=-++e e e e e )()31232y ++-e e e e ,即1231232(3)()(2)y x x y x y +-=-+++-e e e e e e ,∴31,2,21,y x x y x y -=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩此方程组无解.即不存在实数,x y ,使得OA xOB yOC =+,所以,,OA OB OC 不共面.所以{,,}OA OB OC 能作为空间的一个基底.典例2 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别是1,DD BD 的中点,点G 在棱CD 上,且13CG CD =. (1)证明:1EF B C ⊥;(2)求EF 与1C G 所成角的余弦值.思路:本题考查空间基底的应用,利用空间的正交基底向量表示其他向量,经过分析计算、推理验证最终得到所要证明的结论.解析:(1)设1,,DA DC DD ===i j k ,则{,,}i j k 构成空间的一个正交基底. 所以1111()2222EF ED DF DA AB =+=-++=+k i j 111,2B C B B BC -=+=--k i k ,所以1EF B C ⋅=2211111()||||022222⎛⎫+-⋅--=-+= ⎪⎝⎭i j k i k i k ,所以1EF B C ⊥. (2)111111,2223EF C G C C CG =+-=+=--i j k k j,22222111111||||||||3222444EF ⎛⎫=+-=++= ⎪⎝⎭i j k i j k , 2222111||3,||||439EF C G ⎛⎫==--=+=+ ⎪⎝⎭k j k j 1440210,993C G ==, ∴111cos ,||EF CG EF C G EF CG ⋅==⋅111143⎛⎫⎛⎫+-⋅-- ⎪ ⎪==i j k k j。