2012年苏教数学必修5:第3章3.4.2知能优化训练
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1.a ,b ,c 为互不相等的正数,且a 2+c 2=2bc ,则下列关系中可能成立的是________.(填序号)①a >b >c ②b >c >a③b >a >c ④a >c >b解析:由a 2+c 2>2ac ⇒2bc >2ac ⇒b >a 可排除①,④,令a =2,c =1,可得b =52.可知③可能成立.答案:③2.(2011年镇江调研)已知a >0,b >0,a +b =4,则下列各式中正确的是________. ①1a +1b ≤14 ②1a +1b≥1 ③ab ≥2 ④1ab≥1 解析:由a >0,b >0,知a +b 2≥ab , 又a +b =4,∴ab ≤4,∴1ab ≥14, ∴1a +1b =a +b ab =4ab ≥1,即1a +1b≥1. 答案:②3.下列结论正确的是________. ①当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x≥2 ②当x >0时,x +1x ≥2 ③当x ≥2时,x +1x 的最小值为2 ④当0<x ≤2时,x -1x无最大值 解析:①中,当x >0且x ≠1时,lg x 不一定是正数;③中,当x ≥2时,x +1x ≥2x ×1x =2中的等号不成立;④中,当0<x ≤2时,可以证明y =x -1x 是增函数,则其最大值为f (2)=32. 答案:②4.已知a ,b ∈(0,+∞),且a ≠b ,则a 2+b 2________22(a +b ).(填“>”“=”或“<”) 解析:由不等式a +b 2≤a 2+b 22(a ,b ∈(0,+∞),可得a 2+b 2≥22(a +b ), 又∵a ≠b ,∴a 2+b 2>22(a +b ). 答案:>一、填空题1.已知a >b >c ,则(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是________.解析:∵a >b >c ,∴a -b >0,b -c >0,∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥(a -b )(b -c )(当且仅当a +c =2b 时,取“=”). 答案:(a -b )(b -c )≤a -c 2 2.若a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg (a +b 2,则P 、Q 、R 的大小关系为________. 解析:∵lg a >lg b >0,∴12(lg a +lg b )>lg a ·lg b ,即Q >P . 又∵a >b >1,∴a +b 2>ab . ∴lg(a +b 2)>lg ab =12(lg a +lg b ),即R >Q . 故有P <Q <R .答案:P <Q <R3.已知a 、b 、c ∈(0,+∞),且a +b +c =1,则(a +1a )+(b +1b )+(c +1c)的最小值为________. 解析:(a +1a )+(b +1b )+(c +1c=(a +a +b +c a )+(b +a +b +c b )+(c +a +b +c c =4+(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c )≥4+2+2+2=10,当且仅当a =b =c =13时取等号. 答案:104.(2010年高考安徽卷)若a >0,b >0,a +b =2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是________.(写出所有正确命题的编号)①ab ≤1;②a +b ≤2;③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤1a +1b≥2. 解析:①ab ≤⎝⎛⎭⎫a +b 22=1,成立.②欲证a +b ≤2,即证a +b +2ab ≤2,即2ab ≤0,显然不成立.③欲证a 2+b =(a +b )2-2ab ≥2,即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立.④a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)≥3⇔a 2-ab +b 2≥32 ⇔(a +b )2-3ab ≥32⇔4-32≥3ab ⇔ab ≤56,由①知,ab ≤56不恒成立. ⑤欲证1a +1b ≥2,即证a +b ab2,即ab ≤1,由①知成立. 答案:①③⑤5.若正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是________.解析:∵a >0,b >0,∴a +b +3≥2ab +3,∴ab ≥2ab +3,∴(ab -3)(ab +1)≥0.∴ab ≥3,∴ab ≥9.答案:[9,+∞)6.(2010年高考山东卷)已知x ,y ∈(0,+∞),且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为________. 解析:∵x >0,y >0且1=x 3+y 4≥2 xy 12,∴xy ≤3.当且仅当x 3=y 4,即x =32,y =2时,取等号. 答案:37.已知a >0,b >0,1a +2b1,则a +2b 的最小值为________. 解析:a +2b =(a +2b )(1a +2b )=1+2a b +2b a +4≥5+22a b ×2b a=9, 当且仅当⎩⎨⎧2a b =2b a 1a +2b=1,即a =b =3时,取“=”. 答案:98.某民营企业的一种电子产品,2009年的年产量在2008年基础上增长率为a ;2010年又在2009年的基础上增长率为b (a ,b >0),若这两年的平均增长率为q ,则q 与a +b 2的大小关系是________.解析:设2008年的年产量为1,则2010年的年产量为(1+a )(1+b ),∴(1+q )2=(1+a )(1+b ).∴1+q =(1+a )(1+b )≤1+a +1+b 2=1+a +b 2, ∴q ≤a +b 2,当且仅当a =b 时,取“=”. 答案:q ≤a +b 29.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是________.①6.5 m ②6.8 m③7 m ④7.2 m 解析:设两直角边分别为a ,b ,直角三角形的框架的周长为l ,则12ab =2, ∴ab =4,l =a +b +a 2+b 2≥2ab +2ab =4+22≈6.828(m).∵够用且浪费最少,∴应选③.答案:③二、解答题10.判断下列各式的正误,并说明理由. (1)f (x )=12x+3x 的最小值为12; (2)x >0时,函数f (x )=1x 2+2x ≥21x 2·2x =22x , 所以当且仅当x 2=2x 即x =2时,取最小值; (3)x >0时,x +1x +1x +1x的最小值为2. 解:(1)错误.∵x 的正负不知,∴应分x >0与x <0两种情况进行讨论.当x >0时,f (x )=12x +3x ≥212x ×3x =12, 当且仅当12x=3x ,即x =2时,等号成立, ∴x >0时,f (x )有最小值12.当x <0时,f (x )=12x +3x =-[-12x +(-3x )].∵-12x +(-3x )≥2(-12x)·(-3x )=12, ∴f (x )≤-12,当且仅当x =-2时等号成立,∴当x <0时,f (x )有最大值-12. (2)错误.∵1x2·2x 不为定值(常数), 不能运用基本不等式. (3)错误.等号当且仅当x +1x =1x +1x,即(x +1x )2=1时成立, 又x >0,∴x +1x =1,即x 2-x +1=0,此方程无解, ∴等号取不到,应该有x +1x +1x +1x>2.11.已知a ,b ,c 为不全相等的正实数.求证:a +b +c >ab +bc +ca .证明:∵a >0,b >0,c >0,∴a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,c +a ≥2ca >0.∴2(a +b +c )≥2(ab +bc +ca ),即a +b +c ≥ab +bc +ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立.∴a +b +c >ab +bc +ca .12.已知函数f (x )=lg x ,若a >0,b >0,试判断12[f (a )+f (b )]与f (a +b 2的大小,并加以证明. 解:12[f (a )+f (b )]≤f (a +b 2). ∵f (a )+f (b )=lg a +lg b =lg(ab ),f (a +b 2)=lg a +b 2. 又∵a ,b >0,∴a +b 2≥ab >0. 而函数f (x )=lg x 在定义域内单调递增,∴lg a +b 2≥lg ab =12lg(ab ) =12(lg a +lg b ), 即12[f (a )+f (b )]≤f (a +b 2), 当且仅当a =b 时,取“=”.。
1.某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%,用不等式表示为________.解析:“不少于”即“≥”,故f ≥2.5%.答案:f ≥2.5%2.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x 不低于95分,文化课总分y 高于380分,体育成绩z 超过45分,用不等式组表示就是________.解析:“不低于”即“≥”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45. 答案:⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >453.(2011年无锡高二检测)设a ,b 为非零实数,且a <b ,则下列不等式: (1)a 2<b 2;(2)ab 2<a 2b ;(3)1ab 2<1a 2b;(4)b a <a b . 其中成立的是________.解析:由a ,b 非零,知a 2b 2>0,又a <b ,则两边同乘以1a 2b 2,解得1ab 2<1a 2b. 答案:(3)4.已知M =x 2+y 2-4x +2y ,N =-5,若x ≠2或y ≠-1,则M 与N 的大小关系为________.解析:∵M =x 2+y 2-4x +2y =(x -2)2+(y +1)2-5>-5=N ,∴M >N .答案:M >N一、填空题1.限速40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 在什么范围内________.解析:“限速”指的是“不超过”.答案:v ≤402.观察右图,用不等式表示出图中函数图象之间的关系为:________. 解析:g (x )的图象恒在f (x )的图象上方,即g (x )=x 2+1的函数值总是大于f (x )=x 2的函数值,故不等关系为x 2+1>x 2. 答案:x 2+1>x 23.某班学生合影留念,冲洗胶片需22.5元,冲洗一张照片需2.5元,如果每人冲洗一张照片并且每人付款不超过3元,那么这个班至少有________名学生.解析:设这个班有x 名学生,依题意,得22.5+2.5x ≤3x .解得x ≥45.答案:454.若m ≠3,且n ≠-2,则M =m 2+n 2-9m +4n 的值与-13的大小关系为________. 解析:∵m ≠3,且n ≠-2,∴M =(m -3)2+(n +2)2-13>-13.答案:M >-135.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本,则满足条件的不等式组为________.解析:设铅笔买x 支,练习本买y 本,则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7,y ≥6,0.6x +0.7y ≤10,x ,y ∈N *. 答案:⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7y ≥60.6x +0.7y ≤10x ,y ∈N *6.(2010年高考江苏卷)设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是________. 解析:由4≤x 2y ≤9,得16≤x 4y 2≤81. 又∵3≤xy 2≤8,∴18≤1xy 2≤13, ∴2≤x 3y 4≤27.又x =3,y =1满足条件,这时x 3y 4=27. ∴x 3y 4的最大值是27. 答案:277.比较大小:x 2+y 2+z 2________2(x +y +z )-4.解析:∵x 2+y 2+z 2-[2(x +y +z )-4]=(x -1)2+(y -1)2+(z -1)2+1>0,∴x 2+y 2+z 2>2(x +y +z )-4.答案:>8.b 克糖水中有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0),则糖水变甜了,根据这个事实提炼的一个不等式是________.答案:a +m b +m >a b9.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口A ,B ,C 的机动车辆数如图所示,图中x 1,x 2,x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB BC ,CA 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶入与驶出的车辆数相等),则x 1,x 2与x 3的大小关系为:________.解析:⎩⎪⎨⎪⎧ x 1=50+(x 3-55)x 2=30+(x 1-20)x 3=30+(x 2-35)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1=x 3-5x 2=x 1+10x 3=x 2-5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1-x 3<0x 2-x 1>0x 3-x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1<x 3x 2>x 1⇒x 2>x 3>x 1.x 3<x 2 答案:x 2>x 3>x 1二、解答题10.2010年春节期间,某夫妇打算利用年终奖进行外出旅游,丈夫的假期为20天,年终奖2.8万元;妻子的假期为25天,年终奖2.3万元.两人向旅行社咨询得知:去一个非洲国家平均要6天,1.5万元;去一个欧洲国家平均要花5天,1.2万元.若两个人在春节假期共去了x 个非洲国家,y 个欧洲国家,且足迹遍及两大洲,写出所有满足上述不等关系的不等式.解:用关于x 、 y 的不等式表示题中的不等式关系为⎩⎪⎨⎪⎧ 6x +5y ≤201.5x +1.2y ≤2.8+2.31≤x ,x ∈N 1≤y ,y ∈N ,即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x +5y ≤205x +4y ≤171≤x ,x ∈N 1≤y ,y ∈N .11.已知a ≥1,试比较M =a +1-a 和N =a -a -1的大小.解:M -N =a +1-a 1-a -a -11=(a +1)2-(a )2a +1+a -(a )2-(a -1)2a +a -1=1a +1+a -1a +a -1=a -1-a +1(a +1+a )(a +a -1). ∵a ≥1,∴a +1+a >0,a +a -1>0,又a -1-a +1<0,∴M -N <0.∴M <N .12.已知m ∈R ,a >b >1,f (x )=mx x -1,试比较f (a )与f (b )的大小. 解:f (x )=m ⎝⎛⎭⎫1+1x -1,f (a )=m ⎝⎛⎭⎫1+1a -1, f (b )=m ⎝⎛⎭⎫1+1b -1. 由a >b >1,知a -1>b -1>0.∴1a -1<1b -1,∴1+1a -1<1+1b -1(1)当m >0时,m ⎝⎛⎭⎫1+1a -1<m ⎝⎛⎭⎫1+1b -1, f (a )<f (b ).(2)当m =0时,f (a )=f (b )=0.(3)当m <0时,m ⎝⎛⎭⎫1+1a -1>m ⎝⎛⎭⎫1+1b -1, f (a )>f (b ).。
一、填空题1.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y >x ,x +y ≥1,y ≤3,表示的平面区域为E ,点P 1(0,2), P 2(0,0),则P 1,P 2与E 的关系为________. 答案:P 1∈E ,P 2∉E 2.图中阴影部分可用二元一次不等式组表示为________. 答案:⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥-12x -y +2≥0 3.在直角坐标系中,满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是________.答案:(2)4.表示如图阴影部分的二元一次不等式组是________.解析:图中两直线方程分别为x +y -1=0和x -2y +2=0.阴影部分在x +y -1=0的右上方,x -2y +2=0的右下方,所以x +y -1≥0,x -2y +2≥0.答案:⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≥0x -2y +2≥0 5.由直线x +y +2=0,x +2y +1=0和2x +y +1=0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为________.解析:画出三条直线,并用阴影表示三角形区域,如图所示.取原点(0,0),将x =0,y =0代入x +y +2得2>0;代入x +2y +1得1>0;代入2x +y +1得1>0.结合图形可知,三角形区域用不等式组可表示为⎩⎪⎨⎪⎧ x +y +2≥0,x +2y +1≤0,2x +y +1≤0.答案:⎩⎪⎨⎪⎧ x +y +2≥0x +2y +1≤02x +y +1≤06.(2009年高考安徽卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x +3y ≥43x +y ≤4所表示的平面区域的面积等于________.解析:不等式组所表示的平面区域是一个三角形,三个顶点的坐标分别是(0,43),(0,4),(1,1),所以三角形的面积S =12×(4-43)×1=43.答案:43二、解答题7.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -y +1≥0,x -2y -1<0,x +y ≤1表示的平面区域.解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示.8该厂有工人200150 t ,请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围.解:设每天分别生产甲、乙两种产品x t 和y t ,生产x t 的甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x +8y )(kW ·h ),根据条件,有2x +8y ≤160; 用煤量为(3x +5y )(t ),根据条件,有3x +5y ≤150;用工人数为(5x +2y )(人),根据条件,有5x +2y ≤200;另外,还有x ≥0,y ≥0.综上所述,x 、y 应满足以下不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x +8y ≤160,3x +5y ≤150,5x +2y ≤200,x ≥0,y ≥0.甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域,即如图所示的阴影部分(含边界).。
一、填空题1.不等式x (3-x )≥x (x +2)+1的解集是________.解析:x (3-x )≥x (x +2)+1⇒3x -x 2≥x 2+2x +1⇒2x 2-x +1≤0.∵Δ=1-4×2=-7<0,又二次函数图象开口向上.∴原不等式无解.∴原不等式的解集为∅.答案:∅2.不等式-6x 2+x +1≥0的解集是________.答案:{x |-13≤x ≤12} 3.已知x =1是不等式k 2x 2-6kx +8≥0(k ≠0)的解,则k 的取值范围是________. 解析:由题意,k 2-6k +8≥0,解得k ≥4或k ≤2.又k ≠0,∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2,且k ≠0.答案:(-∞,0)∪(0,2]∪[4,+∞)4.设集合A ={x |x 2-5x -6<0},B ={x |x 2-a 2>0}.若A ∩B =∅,则a 的取值范围为________.答案:a ≤-6或a ≥65.不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |-1<x <2},那么a (x 2+1)+b (x -1)+c >2ax 的解集为________.解析:∵ax 2+bx +c >0的解集为{x |-1<x <2},∴a <0,且⎩⎨⎧ -b a =1c a =-2, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b =-a c =-2a , 代入a (x 2+1)+b (x -1)+c >2ax ,得a (x 2+1)-a (x -1)-2a >2ax .∵a <0,∴x 2+1-(x -1)-2<2x ,∴x 2+1-x +1-2-2x <0,∴x 2-3x <0,∴0<x <3.答案:{x |0<x <3}6.不等式(m -2)x 2+2(m -2)x -4<0对一切实数x 都成立,则实数m 的取值范围为________.解析:若m -2=0,即m =2时,不等式可化为-4<0,这个不等式与x 无关,即对一切x ∈R 都成立.若m -2≠0,即m ≠2时,不等式为一元二次不等式.由解集为R ,知二次函数y =(m-2)x 2+2(m -2)x -4开口向下,且与x 轴无交点,故有⎩⎪⎨⎪⎧m -2<0Δ<0, 即⎩⎪⎨⎪⎧m -2<04(m -2)2-4(m -2)·(-4)<0, 解得-2<m <2.综上所述,m 的取值范围是-2<m ≤2.答案:(-2,2]二、解答题7.解下列不等式:(1)2+3x -2x 2>0;(2)x (3-x )≤x (x +2)-1;(3)x 2-2x +3>0.解:(1)原不等式可化为2x 2-3x -2<0,∴(2x +1)(x -2)<0.故原不等式的解集是{x |-12<x <2}. (2)原不等式可化为2x 2-x -1≥0,∴(2x +1)(x -1)≥0,故原不等式的解集为{x |x ≤-12或x ≥1}. (3)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,故原不等式的解集是R .8.方程x 2+(m -3)x +m =0的两根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内.分别求实数m 的取值范围.解:(1)设方程的两根为x 1,x 2,则由题意可得:⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=m 2-10m +9≥0,x 1+x 2=3-m >0,x 1·x 2=m >0.解得m 的取值范围是(0,1].(2)设f (x )=x 2+(m -3)x +m ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=m 2-10m +9≥0,0<3-m 2<2,f (0)=m >0,f (2)=3m -2>0.解得m 的取值范围是(23,1]。
[学生用书 P 41]1.计算(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=________.解析:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i =4+8i.答案:4+8i2.复数z =i 2(1+i)的虚部为________.解析:z =i 2(1+i)=(-1)·(1+i)=-1-i ,∴虚部为-1.答案:-13.复数z =-1+2i ,则复数z 的虚部是________.解析:∵z =-1+2i ,∴z =-1-2i ,∴虚部为-2.答案:-24.复数i 3(1+i)2=________.解析:i 3(1+i)2=-i·2i=-2i 2=2.答案:2一、填空题1.已知3+i -(4+3i)=z -(6+7i),则z =________.解析:由题知z =3+i -(4+3i)+(6+7i)=(3-4+6)+(1-3+7)i =5+5i. 答案:5+5i2.已知复数z =(1-i)2+1+3i ,若z 2+az +b =1-i ,a ,b ∈R ,则实数对(a ,b )的值为________.解析:z =(1-i)2+1+3i =-2i +1+3i =1+i ,∴z 2+az +b =(1+i)2+a (1+i)+b =2i +a +a i +b=(a +b )+(a +2)i =1-i ,∴a +b =1且a +2=-1,∴a =-3,b =4.答案:(-3,4)3.(2011年高考某某卷)设复数z 满足i(z +1)=-3+2i(i 是虚数单位),则z 的实部是________.解析:设z =a +b i(a ,b ∈R ),由i(z +1)=-3+2i ,得-b +(a +1)i =-3+2i ,∴a +1=2,∴a =1.答案:14.设i 为虚数单位,则5-i 1+i=________. 解析:5-i 1+i =5-i 1-i 2=4-6i 2=2-3i. 答案:2-3i5.(2011年高考某某卷改编)把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位,若z =1+i ,则(1+z )·z =________.解析:(1+z )·z =(2+i)(1-i)=3-i.答案:3-i6.设a ,b 为实数,若复数1+2i a +b i =1+i ,则a =________,b =________. 解析:由1+2i a +b i=1+i ,可得1+2i =(a -b )+(a +b )i ,由对应项相等可以得到⎩⎪⎨⎪⎧ a -b =1a +b =2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a =32,b =12. 答案:32127.(2011年高考课标全国卷改编)复数5i 1-2i=________. 解析:5i 1-2i =5i 1+2i 1-2i 1+2i =5i 1+2i 5=-2+i. 答案:-2+i8.已知z 是纯虚数,z +21-i是实数,那么z 等于________. 解析:因为z 为纯虚数,所以设z =b i(b ≠0),则z +21-i =b i +21-i =b i +21+i 1-i 1+i=b i +b i 2+2+2i 1-i 2=-b +2+b +2i 2=-b +22+12(b +2)i ,又z +21-i 为实数,所以12(b +2)=0,即b =-2.所以z =-2i.答案:-2i9.(2011年高考课标全国卷改编)复数2+i 1-2i的共轭复数是________. 解析:∵2+i 1-2i =2+i 1+2i 1-2i 1+2i =2+i +4i -25=i , ∴2+i 1-2i的共轭复数为-i. 答案:-i二、解答题 10.计算:(1)(2-12i)+(12-2i); (2)(3+2i)+(3-2)i ;(3)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i).解:(1)原式=(2+12)-(12+2)i =52-52i. (2)(3+2i)+(3-2)i=3+(2+3-2)i =3+3i.(3)(6-3i)+(3+2i)-(3-4i)-(-2+i)=[6+3-3-(-2)]+[-3+2-(-4)-1]i =8+2i.11.(2011年高考某某卷)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,z 1·z 2是实数,求z 2.解:(z 1-2)(1+i)=1-i ⇒z 1=2-i ,设z 2=a +2i ,a ∈R ,则z 1z 2=(2-i)(a +2i)=(2a +2)+(4-a )i ,∵z 1z 2∈R ,∴a =4,∴z 2=4+2i.12.设z ∈C ,求满足z 2=z 的复数z .解:设z =x +y i(x ,y ∈R ),则z 2=(x +y i)2=x 2-y 2+2xy i.又z =x -y i ,所以x 2-y 2+2xy i =x -y i.由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-y 2=x ,2xy =-y ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =0, 或⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =0,或⎩⎪⎨⎪⎧ y =±32,x =-12.因此所求复数z 为0或1或-12+32i 或-12-32i.。
1.在等比数列{a n }中,a 1=5,a 9a 10=100,则a 18=( ) A .18 B .19 C .20 D .21 答案:C2.(2010年高考北京卷)在等比数列{a n }中,a 1=1,公比|q |≠1.若a m =a 1a 2a 3a 4a 5,则m =( )A .9B .10C .11D .12 解析:选C.在等比数列{a n }中,∵a 1=1,∴a m =a 1a 2a 3a 4a 5=a 51q 10=q 10.又∵a m =q m -1,∴m -1=10,∴m =11.3.各项均为实数的等比数列{a n }中,a 2=1,a 4=9,则a 3=________. 答案:±34.已知等比数列{a n }中,a 2a 6a 10=1,求a 3a 9.解:法一:∵a 2a 10=a 26,∴a 2a 6a 10=a 36=1.∴a 6=1.∴a 3a 9=a 26=1. 法二:设公比为q ,则a 2a 6a 10=a 1q ·a 1q 5·a 1q 9=a 31q 15=1,∴a 1q 5=1.∴a 3a 9=a 1q 2·a 1q 8=(a 1q 5)2=1.一、选择题1.已知{a n }是等比数列,a 6=2,a 3=14,则公比q 等于( )A .-12B .-2C .2 D.12解析:选C.∵{a n }是等比数列,∴a 6a 3=q 3=8.∴q =2.2.已知等比数列{a n }中,a 3=-4,a 6=54,则a 9等于( )A .54B .-81C .-729D .729解析:选C.∵a 3·a 9=a 26,∴-4a 9=542,∴a 9=-729. 3.将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2,a 2a 3,a 3a 4,….则此数列( )A .是公比为q 的等比数列B .是公比为q 2的等比数列C .是公比为q 3的等比数列 D .不一定是等比数列解析:选B.设新数列为{b n },则{b n }的通项公式为b n =a n a n +1.所以a n +1a n +2a n a n +1=a n +2a n=q 2,数列{b n }是公比为q 2的等比数列.4.在等比数列{a n }中,a n >0,若a 1a 2a 3…a 2012=22012,则a 2a 2011=( ) A .2 B .4C .21005D .21006解析:选B.a 1a 2a 3…a 2012=22012,∴(a 1a 2012)1006=22012=41006,∴a 1a 2012=4,∴a 2a 2011=4. 5.(2011年海口市调研)在等比数列{a n }中,a 3a 4a 5=3,a 6a 7a 8=24,则a 9a 10a 11=( ) A .48 B .72 C .144 D .192解析:选D.∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5=q 9=8(q 为公比), ∴a 9a 10a 11=a 6a 7a 8·q 9=24×8=192.6.在等比数列{a n }中,首项a 1<0,要使数列{a n }对任意正整数n 都有a n +1>a n ,则公比q应满足( )A .q >1B .0<q <1 C.12<q <1 D .-1<q <0 解析:选B.a n +1-a n =a 1q n -1(q -1)>0对任意正整数n 都成立,而a 1<0,只能0<q <1. 二、填空题7.已知a ,b ,c ,d 成等比数列,且曲线y =x 2-2x +3的顶点是(b ,c ),则ad =________.解析:∵y =x 2-2x +3=(x -1)2+2, ∴b =1,c =2, ∴ad =bc =2. 答案:28.在等比数列{a n }中,a n >0,若a 1a 5=16,a 4=8,则a 5=________. 解析:∵a n >0,a 1a 5=16,∴a 3=4.又∵a 24=a 3a 5,∴a 5=16. 答案:169.在等比数列{a n }中,a 7a 11=6,a 4+a 14=5,则a 20a 10=________. 解析:因为a 7a 11=a 4a 14=6,又a 4+a 14=5,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4=2a 14=3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=3a 14=2.所以a 20a 10=q 10=a 14a 4,所以a 20a 10=32或a 20a 10=23. 答案:32或23三、解答题10.已知数列{a n }为等比数列.(1)若a 1+a 2+a 3=21,a 1a 2a 3=216,求a n ; (2)若a 3a 5=18,a 4a 8=72,求公比q .解:(1)∵a 1a 2a 3=a 32=216,∴a 2=6, ∴a 1a 3=36且a 1+a 3=21-a 2=15.∴a 1,a 3是方程x 2-15x +36=0的两根3和12. 当a 1=3时,q =a 2a 1=2,a n =3·2n -1;当a 1=12时,q =12,a n =12·(12)n -1=3·23-n.(2)∵a 4a 8=a 3q ·a 5q 3=a 3a 5q 4=18q 4=72, ∴q 4=4,∴q =± 2.11.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列.求插入的三个数的乘积.解:法一:设这个等比数列为{a n },其公比为q ,则a 1=83,a 5=272=a 1q 4=83·q 4.∴q 4=8116,q 2=94.∴a 2·a 3·a 4=a 1q ·a 1q 2·a 1q 3=a 31·q 6=(83)3·(94)3=63=216. 法二:设这个等比数列为{a n },公比为q ,则a 1=83,a 5=272,插入三项分别为a 2,a 3,a 4.由题意a 1,a 3,a 5也成等比数列,∴a 23=83×272=36,故a 3=6,∴a 2·a 3·a 4=a 23·a 3=a 33=216.12.已知三个数成等比数列,其和为28,其积为512,求这三个数. 解:设这三个数为a q、q 、aq ,则⎩⎪⎨⎪⎧a q +a +aq =28 , ①a q ·a ·aq =512 ②由②得a =8.把a =8代入①得: 2q +2q =5,解得q =2或12. ∴这三个数为4,8,16或16,8,4.。
3.4.2 基本不等式的应用学习目标:1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题.基本不等式与最值已知a ≥0,b ≥0,在运用基本不等式时,要注意: (1)和a +b 一定时,积ab有最大值;(2)积ab 一定时,和a +b 有最小值; (3)取等号的条件⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a =b 时,ab =a +b 2.[基础自测]1.设x ,y 满足x +y =40,且x ,y 都是正数,则xy 的最大值为________. [解析] ∵x ,y ∈(0,+∞),∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x +y 22=400, 当且仅当x =y =20时等号成立. [答案] 4002.把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2.[解析] 设一边长为x m ,则另一边长为(8-x )m ,则面积S =x (8-x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x +8-x 22=16, 当且仅当x =8-x ,即x =4时等号成立. [答案] 16利用基本不等式求条件最值(1)已知x >0,y >0,且1x +9y =1,则x +y 的最小值是________. (2)若x +2y =1,且x >0,y >0,则8x +1y 的最小值为________. [思路探究] 注意条件“1x +9y =1”及“x +2y =1”的作用. [解] (1)∵1x +9y =1,x >0,y >0, ∴x +y =(x +y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +9y =10+y x +9x y ≥10+29 =16.当且仅当y x =9xy ,即x =4,y =12时等号成立. (2)∵x +2y =1,x >0,y >0, ∴8x +1y =⎝ ⎛⎭⎪⎫8x +1y (x +2y )=8+2+16y x +xy ≥10+216=18.当且仅当16y x =x y ,即x =23,y =16时等号成立.[答案] (1)16 (2)18[规律方法] 解决含有两个变量的代数式的最值时,常用“变量”替换,“1”的替换,构造不等式求解.[跟踪训练]1.(1)已知正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是________. (2)已知点M (a ,b )在直线x +y =1上,则a 2+b 2的最小值为________. [解析] (1)法一:由ab =a +b +3,得b =a +3a -1.由b >0,得a +3a -1>0.∵a >0,∴a >1.∴ab =a ·a +3a -1=a 2+3aa -1=[(a-1)+1]2+3[(a-1)+1]a-1=(a-1)+4a-1+5≥2(a-1)·4a-1+5=9.当且仅当a-1=4a-1,即a=3时,取等号,此时b=3.∴ab的取值范围是[9,+∞).法二:由于a,b为正数,∴a+b≥2ab,∴ab=a+b+3≥2ab+3,即(ab)2-2ab-3≥0,∴ab≥3,故ab≥9,当且仅当a=b=3时,取等号.∴ab的取值范围是[9,+∞).(2)因为点M(a,b)在直线x+y=1上,所以a+b=1,因为a2+b2≥(a+b)22=1 2,当且仅当a=b=12时等号成立,所以a2+b2≥12=22,所以a2+b2的最小值为2 2.[答案](1)[9,+∞)(2)22利用基本不等式解实际应用题层、每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)[思路探究]根据题目列函数关系式,利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件,得出结论.[解] 设将楼房建为x 层,则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x =10 800x .∴每平方米的平均综合费用y =560+48x +10 800x =560+48⎝ ⎛⎭⎪⎫x +225x . 当x +225x 取最小值时,y 有最小值. ∵x >0,∴x +225x ≥2x ·225x =30,当且仅当x =225x ,即x =15时,上式等号成立. 所以当x =15时,y 有最小值2 000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少.[规律方法] 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法: (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)根据实际背景写出答案. [跟踪训练]2.某汽车公司购买了4辆大客车,每辆200万元,用于长途客运,预计每辆车每年收入约100万元,每辆车第一年各种费用约为16万元.且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式; (2)这4辆车运营多少年,可使年平均运营利润最大? [解] (1)依题意,每辆车x 年总收入为100x 万元, 总支出为200+16×(1+2+…+x ) =200+12x (x +1)·16(万元).∴y =4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x -200-12x (x +1)·16 =16(-2x 2+23x -50). (2)年平均利润为 y x =16⎝ ⎛⎭⎪⎫23-2x -50x=16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23-2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +25x .又x ∈N *, ∴x +25x ≥2x ·25x =10,当且仅当x =5时,等号成立, 此时yx ≤16×(23-20)=48.∴运营5年可使年平均运营利润最大,最大利润为48万元.形如y =x +px 的最值问题[探究问题]可以用基本不等式求函数y =x +4x (x ≥4)的最小值吗?为什么? [提示] ∵x ≥4, ∴y =x +4x ≥2x ·4x =4,当且仅当x =4x , 即x =2时等号成立, 又x ≥4,故不可以用基本不等式求其最小值.由于y =x +4x 在[4,+∞)上单调递增,故当x =4时, y min =4+44=5.已知a >0,求函数y =x 2+a +1x 2+a的最小值.[思路探究] 分“a >1”和“0<a ≤1”两类分别求函数的最值. [解] ∵y =x 2+a +1x 2+a=x 2+a +1x 2+a.(1)当0<a ≤1时,y =x 2+a +1x 2+a ≥2,当且仅当x 2+a =1x 2+a, 即x 2+a =1,x =±1-a 时取等号y min =2. (2)当a >1时, 令x 2+a =t , 则t ≥a ,∴y =f (t )=t +1t ,利用单调性可知f (t )在[a ,+∞)上是增函数, ∴y ≥f (a )=a +1a, 当且仅当t =a ,即x =0时等号成立. ∴y min =a +1a. 综上所述,当0<a ≤1时, y min =2; 当a >1时,y min =a +1a. [规律方法]1.利用基本不等式求最值的前提条件是:一正、二定、三相等. 2.在等号不成立时,常借助函数的单调性求其最值. [跟踪训练]3.已知两正数x ,y 满足x +y =1,求z =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y +1y 的最小值.[解] 由x +y =1知x 2+y 2+2xy =1, ∴x 2+y 2=1-2xy .从而有z =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y +1y =1xy (x 2y 2+x 2+y 2+1)=1xy (2+x 2y 2-2xy ),令xy =t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤14,且t =14时,x =y =12,则z =2t +t -2,再令f (t )=2t +t ,可以证明f (t )=2t +t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,14上单调递减,故当t=14时,f(t)=2t+t取最小值334,∴当x=y=12时,z=⎝⎛⎭⎪⎫x+1x⎝⎛⎭⎪⎫y+1y取最小值254.1.已知x,y都是正数,(1)如果xy=15,则x+y的最小值是________;(2)如果x+y=15,则xy的最大值是________.[解析](1)x+y≥2xy=215,即x+y的最小值是215,当且仅当x=y=15时取最小值.(2)xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x+y22=⎝⎛⎭⎪⎫1522=2254,即xy的最大值是2254.当且仅当x=y=152时,xy取最大值.[答案](1)215(2)22542.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则该公司年平均利润的最大值是________万元.[解析]每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-⎝⎛⎭⎪⎫x+25x,而x>0,故yx≤18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.[答案]83.已知a>0,b>0,a+b=1,则1a+1b的取值范围是________.[解析]∵a+b=1,a>0,b>0,∴1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4.当且仅当b a =ab , 即a =b =12时等号成立.[答案] 44.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为________元.[解析] 设水池的造价为y 元,长方形底的一边长为x m , 由于底面积为4 m 2,所以另一边长为4x m. 那么y =120·4+2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2·4x =480+320⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x≥480+320·2x ·4x =1 760(元).当x =2,即底为边长为2 m 的正方形时,水池的造价最低,为1 760元. [答案] 1 7605.设x ,y >0,且x +y =4,若不等式1x +4y ≥m 恒成立,求实数m 的最大值. [解] 1x +4y =14(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y=14⎝ ⎛⎭⎪⎫5+4x y +y x ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5+24x y ·y x =14(5+4)=94. 当且仅当4x y =y x ,且x +y =4,即x =43,y =83时,上式取“=”.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +4y min=94. ∵1x +4y ≥m 恒成立,∴m ≤94,∴m max =94.由Ruize收集整理。
1.已知a +b =0,则2a +2b 的最小值是________.
解析:2a +2b ≥2·2
a +
b =220=2(当且仅当a =b =0时,取“=”)
答案:2 2.已知x >0,则3+3x +3x
的最小值为________. 解析:∵x >0, ∴3+3x +3x ≥3+23x ·3x =3+2×3=9. 当且仅当3x =3x
, 即x =1时取“=”. 答案:9
3.(2011年徐州调研)已知x ≥52,则f (x )=x 2-4x +52x -4
________. 解析:f (x )=x 2-4x +52x -4=(x -2)2+12(x -2)
=12⎣⎡⎦⎤(x -2)+1x -2≥12·2 (x -2)·1(x -2)
=1, 当且仅当x -2=1x -2且x ≥52
,即x =3时取得最小值1. 答案:1
4.若一个圆的半径为1,则其内接矩形面积的最大值为________.
解析:设矩形的两边分别为a ,b ,由题意知a 2+b 2=4,
∴4=a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b =2时取“=”)
∴ab ≤2,即圆内接矩形面积的最大值为2.
答案:2
一、填空题
1.如果log 3m +log 3n =4,那么m +n 的最小值是________.
解析:∵log 3m +log 3n =4,
∴mn =34,
∴m +n ≥2mn =234=2×32=18(当且仅当m =n =9时,取“=”).
答案:18
2.函数3x 2+6x 2+1
的最小值是________. 解析:3x 2+6x 2+1=3(x 2+1)+6x 2+1-3≥62-3.当且仅当3(x 2+1)=6x 2+1
,即x =±2-1时,取“=”.
答案:62-3
3.y =x +1x
(x ≠0)的值域为________. 解析:当x >0时,由基本不等式,得y =x +1x ≥2x ·1x =2,当且仅当x =1时,等号成立. 当x <0时,y =x +1x =-[(-x )+1(-x )],
∵-x >0,∴(-x )+
1(-x )2, 当且仅当-x =1-x
, 即x =-1时,等号成立.
∴y =x +1x
≤-2. 综上,函数y =x +1x
的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)
4.已知5x +3y
=2(x >0,y >0),则x ·y 的最小值是________. 答案:15
5.已知x +3y -2=0,则3x +27y +1的最小值为________.
解析:∵x +3y -2=0,∴x +3y =2,
∴3x +27y +1=3x +33y +1
≥2 3x ·33y +1=2 3x +3y +1
=232+1=7,
当且仅当x =1,y =13
时等号成立. 答案:7
6.(2010年高考浙江卷)若正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________. 解析:由x >0,y >0,2x +y +6=xy ,得
xy ≥2 2xy +6(当且仅当2x =y 时,取“=”),
即(xy )2-2 2 xy -6≥0,
∴(xy -32)·(xy +2)≥0.
又∵xy >0,∴xy ≥32,即xy ≥18.
∴xy 的最小值为18.
答案:18
7.函数y =log a (x +3)-1(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx +ny +1=0上,其中m ,n >0,则1m +2n
________. 解析:函数y =log a (x +3)-1(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点(-2,-1),即定点A 的坐标为(-2,-1),
∴-2m -n +1=0,
即2m +n =1,∴1m +2n =(1m +2n )·(2m +n )=n m +4m n
+4≥24+4=8, 当m =14,n =12时取等号, ∴1m +2n
的最小值为8. 答案:8
8.(2010年高考重庆卷)已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t
的最小值为________. 解析:∵t >0, ∴y =t 2-4t +1t =t +1t
-4≥2-4=-2. 答案:-2
9.已知直线l 过点P (2,1),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点,则三角形OAB 面积的最小值为________.
解析:设直线l 为x a +y b =1(a >0,b >0),则有关系2a +1b =1.对2a +1b
=1应用二元均值不等式,
得1=2a +1b
≥2 2a ·1b =22ab
,即ab ≥8.当且仅当2a =1b 即a =4,b =2时,取“=”.于是S △OAB =1
2
ab ≥4. 答案:4
二、解答题 10.已知a ,b 为正实数,且a +b =1,求1a +2b
的最小值. 解:1a +2b =a +b a +2a +2b b =1+b a +2a b
+2 ≥3+22ba ab =3+2 2. 当且仅当b a =2a b
,即a =2-1,b =2-2时取“=”. 故1a +2b
的最小值是3+2 2. 11.求函数f (x )=1x -2
+x 的值域. 解:f (x )=1x -2
+x =1x -2
+x -2+2. 若x >2,则x -2>0,
∴f (x )=1x -2
+x -2+2 ≥21x -2
·(x -2)+2=4. 当且仅当1x -2
=x -2,即x =3时等号成立. 若x <2,则2-x >0,
-f (x )=-⎝⎛⎭⎫1x -2
+x -2+2=12-x +2-x -2, ∴-f (x )=12-x
+2-x -2 ≥212-x
·(2-x )-2=0. ∴f (x )≤0.
当且仅当12-x
=2-x , 即x =1时等号成立.
∴f (x )=1x -2
+x 的值域为(-∞,0]∪[4,+∞). 12.现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛,已知该船航行的最大速度为45海里/时,上海至青岛的航行距离约为500海里,每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成.轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用每小时960元.
(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数;
(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
解:(1)由题意,每小时燃料费用为0.6x 2(0<x ≤45),全程所用的时间为500x
小时,则全程运
输成本y =0.6x 2·500x +960·500x =300⎝⎛⎭
⎫x +1600x ,x ∈(0,45]. 故所求的函数为y =300⎝⎛⎭
⎫x +1600x ,x ∈(0,45]. (2)y =300⎝⎛⎭⎫x +1600x ≥300×2x ×1600x =24000, 当且仅当x =1600x
,即x =40时,取等号. 故当轮船以速度为40海里/时行驶时所需成本最小.。