2012年苏教数学必修5：第3章3.4.2知能优化训练

1．a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是________．(填序号)①a >b >c ②b >c >a③b >a >c ④a >c >b解析：由a 2＋c 2>2ac ⇒2bc >2ac ⇒b >a 可排除①，④，令a ＝2，c ＝1，可得b ＝52.可知③可能成立．答案：③2．(2011年镇江调研)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14 ②1a ＋1b≥1 ③ab ≥2 ④1ab≥1 解析：由a ＞0，b ＞0，知a ＋b 2≥ab ， 又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：②3．下列结论正确的是________． ①当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 ②当x >0时，x ＋1x ≥2 ③当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 ④当0<x ≤2时，x －1x无最大值 解析：①中，当x >0且x ≠1时，lg x 不一定是正数；③中，当x ≥2时，x ＋1x ≥2x ×1x ＝2中的等号不成立；④中，当0<x ≤2时，可以证明y ＝x －1x 是增函数，则其最大值为f (2)＝32. 答案：②4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，则a 2＋b 2________22(a ＋b )．(填“>”“＝”或“<”) 解析：由不等式a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b ∈(0，＋∞)，可得a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 又∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>22(a ＋b )． 答案：>一、填空题1．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )(当且仅当a ＋c ＝2b 时，取“＝”)． 答案：(a －b )(b －c )≤a －c 2 2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg (a ＋b 2，则P 、Q 、R 的大小关系为________． 解析：∵lg a >lg b >0，∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b 2>ab . ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R3．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)的最小值为________． 解析：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 答案：104．(2010年高考安徽卷)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号)①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 解析：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立．③欲证a 2＋b ＝(a ＋b )2－2ab ≥2，即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32 ⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立． ⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab2，即ab ≤1，由①知成立． 答案：①③⑤5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析：∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥2ab ＋3，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9.答案：[9，＋∞)6．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2 xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时，取等号． 答案：37．已知a >0，b >0，1a ＋2b1，则a ＋2b 的最小值为________． 解析：a ＋2b ＝(a ＋2b )(1a ＋2b )＝1＋2a b ＋2b a ＋4≥5＋22a b ×2b a＝9， 当且仅当⎩⎨⎧2a b ＝2b a 1a ＋2b＝1，即a ＝b ＝3时，取“＝”． 答案：98．某民营企业的一种电子产品，2009年的年产量在2008年基础上增长率为a ；2010年又在2009年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b 2的大小关系是________．解析：设2008年的年产量为1，则2010年的年产量为(1＋a )(1＋b )，∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋q ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， ∴q ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”． 答案：q ≤a ＋b 29．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．①6.5 m ②6.8 m③7 m ④7.2 m 解析：设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2， ∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵够用且浪费最少，∴应选③.答案：③二、解答题10．判断下列各式的正误，并说明理由． (1)f (x )＝12x＋3x 的最小值为12； (2)x ＞0时，函数f (x )＝1x 2＋2x ≥21x 2·2x ＝22x ， 所以当且仅当x 2＝2x 即x ＝2时，取最小值； (3)x ＞0时，x ＋1x ＋1x ＋1x的最小值为2. 解：(1)错误．∵x 的正负不知，∴应分x ＞0与x ＜0两种情况进行讨论．当x ＞0时，f (x )＝12x ＋3x ≥212x ×3x ＝12， 当且仅当12x＝3x ，即x ＝2时，等号成立， ∴x ＞0时，f (x )有最小值12.当x ＜0时，f (x )＝12x ＋3x ＝－[－12x ＋(－3x )]．∵－12x ＋(－3x )≥2(－12x)·(－3x )＝12， ∴f (x )≤－12，当且仅当x ＝－2时等号成立，∴当x ＜0时，f (x )有最大值－12. (2)错误．∵1x2·2x 不为定值(常数)， 不能运用基本不等式． (3)错误．等号当且仅当x ＋1x ＝1x ＋1x，即(x ＋1x )2＝1时成立， 又x ＞0，∴x ＋1x ＝1，即x 2－x ＋1＝0，此方程无解， ∴等号取不到，应该有x ＋1x ＋1x ＋1x＞2.11．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .12．已知函数f (x )＝lg x ，若a >0，b >0，试判断12[f (a )＋f (b )]与f (a ＋b 2的大小，并加以证明． 解：12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)． ∵f (a )＋f (b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )，f (a ＋b 2)＝lg a ＋b 2. 又∵a ，b >0，∴a ＋b 2≥ab >0. 而函数f (x )＝lg x 在定义域内单调递增，∴lg a ＋b 2≥lg ab ＝12lg(ab ) ＝12(lg a ＋lg b )， 即12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)， 当且仅当a ＝b 时，取“＝”．。

1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，用不等式表示为________．解析：“不少于”即“≥”，故f ≥2.5%.答案：f ≥2.5%2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >453．(2011年无锡高二检测)设a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式： (1)a 2<b 2；(2)ab 2<a 2b ；(3)1ab 2<1a 2b；(4)b a <a b . 其中成立的是________．解析：由a ，b 非零，知a 2b 2>0，又a <b ，则两边同乘以1a 2b 2，解得1ab 2<1a 2b. 答案：(3)4．已知M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，若x ≠2或y ≠－1，则M 与N 的大小关系为________．解析：∵M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＝(x －2)2＋(y ＋1)2－5＞－5＝N ，∴M ＞N .答案：M ＞N一、填空题1．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 在什么范围内________．解析：“限速”指的是“不超过”．答案：v ≤402．观察右图，用不等式表示出图中函数图象之间的关系为：________. 解析：g (x )的图象恒在f (x )的图象上方，即g (x )＝x 2＋1的函数值总是大于f (x )＝x 2的函数值，故不等关系为x 2＋1>x 2. 答案：x 2＋1>x 23．某班学生合影留念，冲洗胶片需22.5元，冲洗一张照片需2.5元，如果每人冲洗一张照片并且每人付款不超过3元，那么这个班至少有________名学生．解析：设这个班有x 名学生，依题意，得22.5＋2.5x ≤3x .解得x ≥45.答案：454．若m ≠3，且n ≠－2，则M ＝m 2＋n 2－9m ＋4n 的值与－13的大小关系为________． 解析：∵m ≠3，且n ≠－2，∴M ＝(m －3)2＋(n ＋2)2－13>－13.答案：M >－135．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，则满足条件的不等式组为________．解析：设铅笔买x 支，练习本买y 本，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7，y ≥6，0.6x ＋0.7y ≤10，x ，y ∈N *. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7y ≥60.6x ＋0.7y ≤10x ，y ∈N *6．(2010年高考江苏卷)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析：由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81. 又∵3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27. 答案：277．比较大小：x 2＋y 2＋z 2________2(x ＋y ＋z )－4.解析：∵x 2＋y 2＋z 2－[2(x ＋y ＋z )－4]＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋1>0，∴x 2＋y 2＋z 2>2(x ＋y ＋z )－4.答案：>8．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式是________．答案：a ＋m b ＋m >a b9．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则x 1，x 2与x 3的大小关系为：________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝50＋(x 3－55)x 2＝30＋(x 1－20)x 3＝30＋(x 2－35)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 3－5x 2＝x 1＋10x 3＝x 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 3<0x 2－x 1>0x 3－x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1<x 3x 2>x 1⇒x 2>x 3>x 1.x 3<x 2 答案：x 2>x 3>x 1二、解答题10．2010年春节期间，某夫妇打算利用年终奖进行外出旅游，丈夫的假期为20天，年终奖2.8万元；妻子的假期为25天，年终奖2.3万元．两人向旅行社咨询得知：去一个非洲国家平均要6天，1.5万元；去一个欧洲国家平均要花5天，1.2万元．若两个人在春节假期共去了x 个非洲国家，y 个欧洲国家，且足迹遍及两大洲，写出所有满足上述不等关系的不等式．解：用关于x 、 y 的不等式表示题中的不等式关系为⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤201.5x ＋1.2y ≤2.8＋2.31≤x ，x ∈N 1≤y ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤205x ＋4y ≤171≤x ，x ∈N 1≤y ，y ∈N .11．已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．解：M －N ＝a ＋1－a 1－a －a －11＝(a ＋1)2－(a )2a ＋1＋a －(a )2－(a －1)2a ＋a －1＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1). ∵a ≥1，∴a ＋1＋a >0，a ＋a －1>0，又a －1－a ＋1<0，∴M －N <0.∴M <N .12．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小． 解：f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (a )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1， f (b )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1. 由a >b >1，知a －1>b －1>0.∴1a －1<1b －1，∴1＋1a －1<1＋1b －1(1)当m >0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1<m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )<f (b )．(2)当m ＝0时，f (a )＝f (b )＝0.(3)当m <0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1>m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )>f (b )．。

一、填空题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y >x ，x ＋y ≥1，y ≤3，表示的平面区域为E ，点P 1(0,2)， P 2(0,0)，则P 1，P 2与E 的关系为________． 答案：P 1∈E ，P 2∉E 2．图中阴影部分可用二元一次不等式组表示为________． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥－12x －y ＋2≥0 3．在直角坐标系中，满足不等式x 2－y 2≥0的点(x ，y )的集合(用阴影表示)是________．答案：(2)4．表示如图阴影部分的二元一次不等式组是________．解析：图中两直线方程分别为x ＋y －1＝0和x －2y ＋2＝0.阴影部分在x ＋y －1＝0的右上方，x －2y ＋2＝0的右下方，所以x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 5．由直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0和2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为________．解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示．取原点(0,0)，将x ＝0，y ＝0代入x ＋y ＋2得2＞0；代入x ＋2y ＋1得1＞0；代入2x ＋y ＋1得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，2x ＋y ＋1≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋2≥0x ＋2y ＋1≤02x ＋y ＋1≤06．(2009年高考安徽卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点的坐标分别是(0，43)，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S ＝12×(4－43)×1＝43.答案：43二、解答题7．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0，x －2y －1＜0，x ＋y ≤1表示的平面区域．解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．8该厂有工人200150 t ，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．解：设每天分别生产甲、乙两种产品x t 和y t ，生产x t 的甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x ＋8y )(kW ·h )，根据条件，有2x ＋8y ≤160； 用煤量为(3x ＋5y )(t )，根据条件，有3x ＋5y ≤150；用工人数为(5x ＋2y )(人)，根据条件，有5x ＋2y ≤200；另外，还有x ≥0，y ≥0.综上所述，x 、y 应满足以下不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)．。

一、填空题1．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________．解析：x (3－x )≥x (x ＋2)＋1⇒3x －x 2≥x 2＋2x ＋1⇒2x 2－x ＋1≤0.∵Δ＝1－4×2＝－7＜0，又二次函数图象开口向上．∴原不等式无解．∴原不等式的解集为∅.答案：∅2．不等式－6x 2＋x ＋1≥0的解集是________．答案：{x |－13≤x ≤12} 3．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________． 解析：由题意，k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.又k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2，且k ≠0.答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)4．设集合A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，B ＝{x |x 2－a 2＞0}．若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围为________．答案：a ≤－6或a ≥65．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为________．解析：∵ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，∴a ＜0，且⎩⎨⎧ －b a ＝1c a ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－a c ＝－2a ， 代入a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax ，得a (x 2＋1)－a (x －1)－2a ＞2ax .∵a ＜0，∴x 2＋1－(x －1)－2＜2x ，∴x 2＋1－x ＋1－2－2x ＜0，∴x 2－3x ＜0，∴0＜x ＜3.答案：{x |0＜x ＜3}6．不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围为________．解析：若m －2＝0，即m ＝2时，不等式可化为－4＜0，这个不等式与x 无关，即对一切x ∈R 都成立．若m －2≠0，即m ≠2时，不等式为一元二次不等式．由解集为R ，知二次函数y ＝(m－2)x 2＋2(m －2)x －4开口向下，且与x 轴无交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜0Δ＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜04(m －2)2－4(m －2)·(－4)＜0， 解得－2＜m ＜2.综上所述，m 的取值范围是－2＜m ≤2.答案：(－2,2]二、解答题7．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0；(2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1；(3)x 2－2x ＋3＞0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，∴(2x ＋1)(x －2)＜0.故原不等式的解集是{x |－12＜x ＜2}． (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0，∴(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为{x |x ≤－12或x ≥1}． (3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，故原不等式的解集是R .8．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正根；(2)都在(0,2)内．分别求实数m 的取值范围．解：(1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－10m ＋9≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1·x 2＝m ＞0.解得m 的取值范围是(0,1]．(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－10m ＋9≥0，0＜3－m 2＜2，f (0)＝m ＞0，f (2)＝3m －2＞0.解得m 的取值范围是(23，1]。

[学生用书 P 41]1．计算(6＋6i)＋(3－i)－(5－3i)＝________.解析：(6＋6i)＋(3－i)－(5－3i)＝(6＋3－5)＋(6－1＋3)i ＝4＋8i.答案：4＋8i2．复数z ＝i 2(1＋i)的虚部为________．解析：z ＝i 2(1＋i)＝(－1)·(1＋i)＝－1－i ，∴虚部为－1.答案：－13．复数z ＝－1＋2i ，则复数z 的虚部是________．解析：∵z ＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i ，∴虚部为－2.答案：－24．复数i 3(1＋i)2＝________.解析：i 3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i 2＝2.答案：2一、填空题1．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________.解析：由题知z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i2．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，a ，b ∈R ，则实数对(a ，b )的值为________．解析：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ，∴z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b＝(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴a ＋b ＝1且a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.答案：(－3,4)3．(2011年高考某某卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：14．设i 为虚数单位，则5－i 1＋i＝________. 解析：5－i 1＋i ＝5－i 1－i 2＝4－6i 2＝2－3i. 答案：2－3i5．(2011年高考某某卷改编)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝________.解析：(1＋z )·z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.答案：3－i6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则a ＝________，b ＝________. 解析：由1＋2i a ＋b i＝1＋i ，可得1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，由对应项相等可以得到⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1a ＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12. 答案：32127．(2011年高考课标全国卷改编)复数5i 1－2i＝________. 解析：5i 1－2i ＝5i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i 1＋2i 5＝－2＋i. 答案：－2＋i8．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________． 解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝b i ＋21＋i 1－i 1＋i＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i 2＝－b ＋2＋b ＋2i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i9．(2011年高考课标全国卷改编)复数2＋i 1－2i的共轭复数是________． 解析：∵2＋i 1－2i ＝2＋i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝2＋i ＋4i －25＝i ， ∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 答案：－i二、解答题 10．计算：(1)(2－12i)＋(12－2i)； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－52i. (2)(3＋2i)＋(3－2)i＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i.11．(2011年高考某某卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.解：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.12．设z ∈C ，求满足z 2＝z 的复数z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.又z ＝x －y i ，所以x 2－y 2＋2xy i ＝x －y i.由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝x ，2xy ＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝±32，x ＝－12.因此所求复数z 为0或1或－12＋32i 或－12－32i.。

1．在等比数列{a n }中，a 1＝5，a 9a 10＝100，则a 18＝( ) A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 答案：C2．(2010年高考北京卷)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12 解析：选C.在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.又∵a m ＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.3．各项均为实数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝9，则a 3＝________. 答案：±34．已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3a 9.解：法一：∵a 2a 10＝a 26，∴a 2a 6a 10＝a 36＝1.∴a 6＝1.∴a 3a 9＝a 26＝1. 法二：设公比为q ，则a 2a 6a 10＝a 1q ·a 1q 5·a 1q 9＝a 31q 15＝1，∴a 1q 5＝1.∴a 3a 9＝a 1q 2·a 1q 8＝(a 1q 5)2＝1.一、选择题1．已知{a n }是等比数列，a 6＝2，a 3＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：选C.∵{a n }是等比数列，∴a 6a 3＝q 3＝8.∴q ＝2.2．已知等比数列{a n }中，a 3＝－4，a 6＝54，则a 9等于( )A ．54B ．－81C ．－729D ．729解析：选C.∵a 3·a 9＝a 26，∴－4a 9＝542，∴a 9＝－729. 3．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….则此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B.设新数列为{b n }，则{b n }的通项公式为b n ＝a n a n ＋1.所以a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q 2，数列{b n }是公比为q 2的等比数列．4．在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 1a 2a 3…a 2012＝22012，则a 2a 2011＝( ) A ．2 B ．4C ．21005D ．21006解析：选B.a 1a 2a 3…a 2012＝22012，∴(a 1a 2012)1006＝22012＝41006，∴a 1a 2012＝4，∴a 2a 2011＝4. 5．(2011年海口市调研)在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( ) A ．48 B ．72 C ．144 D ．192解析：选D.∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)， ∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8·q 9＝24×8＝192.6．在等比数列{a n }中，首项a 1<0，要使数列{a n }对任意正整数n 都有a n ＋1>a n ，则公比q应满足( )A ．q >1B ．0<q <1 C.12<q <1 D ．－1<q <0 解析：选B.a n ＋1－a n ＝a 1q n －1(q －1)>0对任意正整数n 都成立，而a 1<0，只能0<q <1. 二、填空题7．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝________.解析：∵y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， ∴b ＝1，c ＝2， ∴ad ＝bc ＝2. 答案：28．在等比数列{a n }中，a n >0，若a 1a 5＝16，a 4＝8，则a 5＝________. 解析：∵a n >0，a 1a 5＝16，∴a 3＝4.又∵a 24＝a 3a 5，∴a 5＝16. 答案：169．在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：因为a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3a 14＝2.所以a 20a 10＝q 10＝a 14a 4，所以a 20a 10＝32或a 20a 10＝23. 答案：32或23三、解答题10．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36且a 1＋a 3＝21－a 2＝15.∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1＝3·23－n.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.11．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列．求插入的三个数的乘积．解：法一：设这个等比数列为{a n }，其公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83·q 4.∴q 4＝8116，q 2＝94.∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝(83)3·(94)3＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272，插入三项分别为a 2，a 3，a 4.由题意a 1，a 3，a 5也成等比数列，∴a 23＝83×272＝36，故a 3＝6，∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.12．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 解：设这三个数为a q、q 、aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a q ＋a ＋aq ＝28 ， ①a q ·a ·aq ＝512 ②由②得a ＝8.把a ＝8代入①得： 2q ＋2q ＝5，解得q ＝2或12. ∴这三个数为4,8,16或16,8,4.。

3.4.2 基本不等式的应用学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值已知a ≥0，b ≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和a ＋b 一定时，积ab有最大值；(2)积ab 一定时，和a ＋b 有最小值； (3)取等号的条件⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b 时，ab ＝a ＋b 2.[基础自测]1．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________． [解析] ∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400， 当且仅当x ＝y ＝20时等号成立． [答案] 4002．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.[解析] 设一边长为x m ，则另一边长为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16， 当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时等号成立． [答案] 16利用基本不等式求条件最值(1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)若x ＋2y ＝1，且x >0，y >0，则8x ＋1y 的最小值为________． [思路探究] 注意条件“1x ＋9y ＝1”及“x ＋2y ＝1”的作用． [解] (1)∵1x ＋9y ＝1，x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29 ＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即x ＝4，y ＝12时等号成立． (2)∵x ＋2y ＝1，x >0，y >0， ∴8x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝8＋2＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18.当且仅当16y x ＝x y ，即x ＝23，y ＝16时等号成立．[答案] (1)16 (2)18[规律方法] 解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解.[跟踪训练]1．(1)已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． (2)已知点M (a ，b )在直线x ＋y ＝1上，则a 2＋b 2的最小值为________． [解析] (1)法一：由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1.由b >0，得a ＋3a －1>0.∵a >0，∴a >1.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a 2＋3aa －1＝[(a－1)＋1]2＋3[(a－1)＋1]a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥2(a－1)·4a－1＋5＝9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时，取等号，此时b＝3.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法二：由于a，b为正数，∴a＋b≥2ab，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即(ab)2－2ab－3≥0，∴ab≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)因为点M(a，b)在直线x＋y＝1上，所以a＋b＝1，因为a2＋b2≥(a＋b)22＝1 2，当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以a2＋b2≥12＝22，所以a2＋b2的最小值为2 2.[答案](1)[9，＋∞)(2)22利用基本不等式解实际应用题层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[思路探究]根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论．[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x .∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x . 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值． ∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30，当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立． 所以当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．[规律方法] 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： （1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案. [跟踪训练]2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ [解] (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为 y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *， ∴x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立， 此时yx ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.形如y ＝x ＋px 的最值问题[探究问题]可以用基本不等式求函数y ＝x ＋4x (x ≥4)的最小值吗？为什么？ [提示] ∵x ≥4， ∴y ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x ， 即x ＝2时等号成立， 又x ≥4，故不可以用基本不等式求其最小值．由于y ＝x ＋4x 在[4，＋∞)上单调递增，故当x ＝4时， y min ＝4＋44＝5.已知a >0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．[思路探究] 分“a >1”和“0<a ≤1”两类分别求函数的最值． [解] ∵y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a＝x 2＋a ＋1x 2＋a.(1)当0<a ≤1时，y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a ≥2，当且仅当x 2＋a ＝1x 2＋a， 即x 2＋a ＝1，x ＝±1－a 时取等号y min ＝2. (2)当a >1时， 令x 2＋a ＝t ， 则t ≥a ，∴y ＝f (t )＝t ＋1t ，利用单调性可知f (t )在[a ，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (a )＝a ＋1a， 当且仅当t ＝a ，即x ＝0时等号成立． ∴y min ＝a ＋1a. 综上所述，当0<a ≤1时， y min ＝2； 当a >1时，y min ＝a ＋1a. [规律方法]1．利用基本不等式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等． 2．在等号不成立时，常借助函数的单调性求其最值． [跟踪训练]3．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值．[解] 由x ＋y ＝1知x 2＋y 2＋2xy ＝1， ∴x 2＋y 2＝1－2xy .从而有z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝1xy (x 2y 2＋x 2＋y 2＋1)＝1xy (2＋x 2y 2－2xy )，令xy ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤14，且t ＝14时，x ＝y ＝12，则z ＝2t ＋t －2，再令f (t )＝2t ＋t ，可以证明f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t＝14时，f(t)＝2t＋t取最小值334，∴当x＝y＝12时，z＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x⎝⎛⎭⎪⎫y＋1y取最小值254.1．已知x，y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．[解析](1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215，当且仅当x＝y＝15时取最小值．(2)xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝⎝⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy的最大值是2254.当且仅当x＝y＝152时，xy取最大值．[答案](1)215(2)22542．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．[解析]每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x，而x>0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[答案]83．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的取值范围是________．[解析]∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当b a ＝ab ， 即a ＝b ＝12时等号成立．[答案] 44．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．[解析] 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ， 由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m. 那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320·2x ·4x ＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． [答案] 1 7605．设x ，y ＞0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y ≥m 恒成立，求实数m 的最大值． [解] 1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋24x y ·y x ＝14(5＋4)＝94. 当且仅当4x y ＝y x ，且x ＋y ＝4，即x ＝43，y ＝83时，上式取“＝”．故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min＝94. ∵1x ＋4y ≥m 恒成立，∴m ≤94，∴m max ＝94.由Ruize收集整理。

1．有5辆6吨汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．解析：目标函数的关键是正确地设出相关的变元，设6吨汽车x 辆，4吨汽车y 辆，则z ＝6x ＋4y .答案：z ＝6x ＋4y2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为________．解析：首先根据条件画出不等式组所表示的平面区域，然后画出一组与2x ＋y ＝0平行的直线，经过平移即可得到对应的最优解．因为变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，在坐标系中画出可行域△ABC ，A (2,0)，B (1,1)，C (3,3)，则使目标函数z ＝2x ＋y 取最小值的点是B 点，代入即可．答案：33．(2011年无锡高二检测)在△ABC 中，三顶点A (2,4)、B (－1,2)，C (1,0)，点P (x ，y )在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值为________．解析：先作出△ABC ，如图所示．对z ＝x －y ，可看成y ＝x －z ，求z 的最值，相当于找斜率为1的直线经过△ABC 区域时纵截距的有关最值．易知，直线经过C 、B 点，纵截距－z 分别取最小值－1及最大值3，从而z 分别得到最大值1及最小值－3. 答案：14．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．解析：画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 答案：10一、填空题1．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1表示的平面区域，则D 中点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10距离的最大值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域，当P 点为(1,1)时，P 到直线x ＋y ＝10的距离最大，即d ＝|1＋1－10|1＋1＝4 2.答案：4 22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x ≤4y ≤5，则s ＝y －x 的最小值为________．解析：如图，当x ＝4，y ＝－2时，s ＝y －x ＝－2－4＝－6为最小值．答案：－63．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤02y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么PQ 的最小值为________．解析：点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x ＋y －2≤02y －1≥0上，画出可行域，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么PQ 的最小值即为圆上的点到直线y ＝12的距离，即圆心(0，－2)到直线y ＝12的距离减去半径1，得32.答案：324．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________．解析：由不等式组得可行域是以A (0,0)，B (0,1)，C (－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x ＋2y的最小值是1. 答案：15．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－222x ＋3y ≥92x ≤11，则z＝10x ＋10y 的最大值是________．解析：先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ＝－22，2x ＝11， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5，但x ∈N *，y ∈N *，结合图知当x ＝5，y ＝4时，z max ＝90. 答案：906．(2010年高考陕西卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值为________．解析：先画出可行域，如图.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，x ＋y ＝1，最优解为A (1,0)．∴z max ＝5.答案：57．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1，x ＋y ≤m 如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．解析：可行域如图中阴影所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x ＋y ＝m 可得：A ＝(m ＋13，2m －13)．又∵z ＝x －y ，∴y ＝x －z .当y ＝x －z 过点A 时，z 最小． ∴m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5.答案：58．(2010年高考辽宁卷)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <42<x －y <3得平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)，即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 答案：(3,8)9．在如图所示的可行域内(阴影部分含边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则yx －a________．解析：目标函数z ＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋1az ，由题意a <0且当直线y ＝－1a x ＋1a z 与l AC 重合时符合题意．此时k AC ＝1＝－1a.∴a ＝－1，y x －a P (－1,0)连线的斜率．显然k max ＝k OC ＝25.答案：25二、解答题10．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤sy ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s y ＝2s －4交点为B (4－s,2s －4)，其他各交点分别为A (2,0)，C (0，s )，C ′(0,4)．(1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8；(2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7,8]． 11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．解：作出可行域，如图．A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故MN ＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322. MN 2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍．∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围是[34，72．12．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？ 解：设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费 z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(260－y )， 即z ＝716－0.5x －0.8y .x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0200－x ≥0260－y ≥0x ＋y ≤280200－x ＋(260－y )≤360，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2000≤y ≤260x ＋y ≤280x ＋y ≥100.作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．设直线x ＋y ＝280与y ＝260的交点为M ，则M (20,260)．把直线l ：0.5x ＋0.8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．∵点M的坐标为(20,260)，∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．。

1．不等式2x －y －6＜0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的________．解析：将(0,0)代入2x －y －6＝－6<0，由于(0,0)在直线2x －y －6＝0的左上方，则不等式2x －y －6＜0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的左上方．答案：左上方2．在已知五个点A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，D (1，－1)，O (0,0)中，位于直线x －2y ＋1＝0上方(不含边界)的点的个数是________．解析：位于直线x －2y ＋1＝0上方的点坐标满足不等式x －2y ＋1＜0，将上述五个点的坐标分别代入式子x －2y ＋1中知，点B 的坐标满足不等式x －2y ＋1＜0.答案：13．(2011年南通质检)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是________．(填序号)解析：法一：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≤0x ＋y －3≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0x ＋y －3≤0两不等式表示的平面区域， 合并起来即是原不等式表示的平面区域．法二：采用特例筛选法可以快速得到解决，如取适合题意的点(1,10)⇒①、②、④错误，填③.答案：③4．已知点(1,1)和(－1,2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，则n 的取值范围是________． 解析：∵(1,1)与(－1,2)在直线x ＋y ＋n ＝0的同侧，∴(1＋1＋n )(－1＋2＋n )>0，即(n ＋2)(n ＋1)>0，∴n <－2或n >－1.答案：n <－2，或n >－1一、填空题1．不等式x －2y ≥0表示的平面区域是________．(填序号)解析：取测试点(1,0)，排除①③；由边界线x －2y ＝0可排除②.答案：④2．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的有________．①(0,0) ②(－1,1) ③(－1,3) ④(2，－3)解析：把点(1,2)代入x ＋y －1＝1＋2－1＝2>0，然后把选项中的点的坐标逐个代入检验，只有③能使x ＋y －1>0.答案：③3．若函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为________．(填序号)解析：∵函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4a 2>0，∴(2a －b )(2a ＋b )<0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b >02a ＋b <0或⎩⎪⎨⎪⎧2a －b <02a ＋b >0. 取测试点(0,1)和(0，－1)，可排除①②④.答案：③4．表示如图阴影部分的二元一次不等式组是________．解析：图中两直线方程分别为x ＋y －1＝0和x －2y ＋2＝0.阴影部分在x ＋y －1＝0的右上方，x －2y ＋2＝0的右下方，所以x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 5．(2010年高考北京卷)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y <3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：∵d ＝|4m －9＋1|42＋32＝|4m －8|5＝4，∴m ＝7或m ＝－3. 又由题意知P (m,3)满足不等式2x ＋y <3，即2m ＋3<3，∴m <0，∴m ＝－3.答案：－36．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：作出可行域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝03x ＋y －4＝0可得A (1,1)，又B (0,4)，C (0，43)， ∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A | ＝12×(4－43)×1＝43. 答案：437．如果点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为________．解析：由题意知(6×5－8b ＋1)·(3×5－4b ＋5)<0，解得318<b <5， ∵b 为整数，∴b ＝4.答案：48．如图所示，阴影部分可用二元一次不等式组表示为________． 解析：边界所在的直线方程为y ＝－2，x ＝0,2x －y ＋2＝0，根据平面区域与边界的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0y >－22x －y ＋2≥0. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0y >－22x －y ＋2≥09．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥00≤x ≤2表示的平面区域是一个梯形，它的一个顶点坐标是(2,7)，用平行于x 轴的直线y ＝a 截梯形得到三角形，则a 的取值范围是5≤a <7.答案：[5,7)二、解答题10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4≤0x ＞2yy ≥0所表示的平面区域．解：先画出直线2x ＋y －4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x ＋y －4＝0左下方的区域的点(0,0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x ＋y －4≤0表示直线2x ＋y －4＝0及其左下方的区域．同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x ＞2y 表示直线x ＝2y 右下方的区域，不等式y ≥0表示x 轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示． 11．点P (a,4)在不等式3x ＋y －3>0表示的平面区域内，且到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，求点P 的坐标． 解：∵点P (a,4)在不等式3x ＋y －3>0表示的平面区域内，∴3a ＋4－3>0，∴a >－13. 又∵点P (a,4)到x －2y ＋2＝0的距离为25，∴|a －8＋2|5＝25， ∴|a －6|＝10，∴a ＝16或－4.又∵a >－13， ∴a ＝16，∴P (16,4)．12．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M ，N 关于直线x＋y ＝0对称，求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0所表示的平面区域的面积．解：∵M ，N 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，∴MN ⊥l .∴k MN ＝－1k l ＝－1－1＝1. 而M ，N 在直线y ＝kx ＋1上，故k ＝1.同时可得圆的圆心(－k 2，－m 2在直线x ＋y ＝0上，故m ＝－1.所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，作出平面区域，如图所示．由图可知，该不等式组所表示的平面区域为△AOB .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＋y ＝0，得顶点A (－12，12)． ∴S △AOB ＝12×1×12＝14.。

1．(2009年高考安徽卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23 C.43 D.34解析：选C.不等式组表示的平面区域如图，为三角形，又直线x ＋3y －4＝0与3x ＋y －4＝0的交点为(1,1)，所以S △＝12×(4－43)×1＝43.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －4≤0，x ≥0，y ≥0表示的平面区域为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤52，表示的平面区域为B ，则A 与B 的关系为( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅C ．B AD ．A B解析：选C.分别画出两个不等式组表示的区域后即可求解．3．如果直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线x＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0，y ≥0所表示的平面区域的面积是( )A.14B.12 C ．1 D ．2解析：选A.∵k MN ·(－1)＝－1，∴k MN ＝1，∴k ＝1，∴圆心坐标为(－12，－m 2)，∴－12－m2＝0，∴m ＝－1，∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0.画出不等式组所表示的平面区域，可求得面积是14.4．如图，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0，3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组________表示．2解析：(0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0.同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0，则可得所求不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋3>0，x ＋y －2<0，x ＋2y ＋2>0，x －y －1<0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋3>0，x ＋y －2<0，x ＋2y ＋2>0，x －y －1<0.5．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x －y ≤3表示的平面区域．解：在直角坐标系中分别画出不等式2x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x －y ≤3表示的平面区域，如图所示，其中阴影部分就是不等式组表示的平面区域．1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)解析：选D.代入检验：只有(2,0)不在平面区域内．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋x ＋y 0≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．矩形解析：选C.原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，0≤x ≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≤0，x ＋y ≤0，0≤x ≤3，画出各不等式组表示的公共区域，即可看出图形的形状为等腰梯形．3．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1，的点(x ，y )的集合用阴影表示为图中的( )用心 爱心 专心3解析：选 C.法一：可以作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1，表示的平面区域与选项对照，选C.法二：可以用排除法针对每一个选项，将一些特殊值代入验证．故选C.4．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是()A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1>02x ＋3y －6<0x －y －1≥0x －2y ＋2≤0B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1<02x ＋3y －6≥0x －y －1≥0x －2y ＋2<0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1>02x ＋3y －6≤0x －y －1≤0x －2y ＋2>0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥02x ＋3y －6<0x －y －1<0x －2y ＋2≥0答案：C5．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )4解析：选 A.由于x ，y,1－x －y 是三角形的三边长，那么由三角形边长的性质得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －yx ＋－x －y y y ＋－x －yxx >0y >0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >120<x <120<y <12.其表示的平面区域为A 选项．6．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解析：选D.如图得出的区域即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的平面区域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，故可看作直线绕点(0,1)旋转，当a ＝－5时，则可行域不是一个封闭区域，当a ＝1时，面积为1，当a ＝2时，面积为32，当a ＝3时，面积为2.7．点(1,2)与点(－3,4)在直线x ＋y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意(1＋2＋a )(－3＋4＋a )＜0，解不等式得－3＜a ＜－1. 答案：(－3，－1)用心 爱心 专心58．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．解析：直线x ＋y ＝a 扫过A 中的区域为四边形AOBC .∴S 四边形AOBC ＝S △AOD －S △CBD ＝12×2×2－12×22×22＝74.答案：749．设a ，b 都是自然数，关于x 的二次方程x 2＋ax ＋b ＝0与x 2＋bx ＋a ＝0都没有实数根，那么以(a ，b )为坐标的点为________．解析：Δ1<0，a 2－4b <0，Δ2<0，b 2－4a <0.如图阴影内整点有三个，(1,1)，(2,2)，(3,3) 答案：(1,1)，(2,2)，(3,3)10．用不等式组表示以点(0,0)、(2,0)、(0，－2)为顶点的三角形内部，求该不等式组． 解：首先根据三个点的坐标在坐标系内画出相应的三角形，再根据三个点写出三边对应的直线方程，根据直线的位置即可写出对应的不等式组．∴该不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x >0y ＜0x －y －2<0.11．画出不等式|x |＋|y |≤1所表示的平面区域，并求区域面积． 解：先考虑第一象限(含x ，y 轴正向)，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，易作出其表示的平面区域．由关系式的特征知该不等式所表示的平面区域如图所示，该区域是边长为2的正方形，面积为2.612．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0x ＋2y ＋3>05x ＋3y －5<0表示的平面区域，并求平面区域内有多少个整点．解：不等式y －2x ≤0表示直线y －2x ＝0的右下方区域(含边界)，x ＋2y ＋3>0表示直线x ＋2y ＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x ＋3y －5<0表示直线5x ＋3y －5＝0左下方区域(不含边界)，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，如图所示的△ABC 区域．可求得A (－35，－65)，B (511，1011)，C (197，－207)，所以△ABC 区域内的点(x ，y )满足 －35≤x <197，－207<y ≤1011. ∵x ，y ∈Z ，∴0≤x ≤2，－2≤y ≤0，且x ，y ∈Z . 经检验，共有四个整点(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．。