2012年苏教数学必修5：第3章3.4.2知能优化训练

1．a ，b ，c 为互不相等的正数，且a 2＋c 2＝2bc ，则下列关系中可能成立的是________．(填序号)①a >b >c ②b >c >a③b >a >c ④a >c >b解析：由a 2＋c 2>2ac ⇒2bc >2ac ⇒b >a 可排除①，④，令a ＝2，c ＝1，可得b ＝52.可知③可能成立．答案：③2．(2011年镇江调研)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的是________． ①1a ＋1b ≤14 ②1a ＋1b≥1 ③ab ≥2 ④1ab≥1 解析：由a ＞0，b ＞0，知a ＋b 2≥ab ， 又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14， ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：②3．下列结论正确的是________． ①当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 ②当x >0时，x ＋1x ≥2 ③当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 ④当0<x ≤2时，x －1x无最大值 解析：①中，当x >0且x ≠1时，lg x 不一定是正数；③中，当x ≥2时，x ＋1x ≥2x ×1x ＝2中的等号不成立；④中，当0<x ≤2时，可以证明y ＝x －1x 是增函数，则其最大值为f (2)＝32. 答案：②4．已知a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，则a 2＋b 2________22(a ＋b )．(填“>”“＝”或“<”) 解析：由不等式a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b ∈(0，＋∞)，可得a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 又∵a ≠b ，∴a 2＋b 2>22(a ＋b )． 答案：>一、填空题1．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )(当且仅当a ＋c ＝2b 时，取“＝”)． 答案：(a －b )(b －c )≤a －c 2 2．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg (a ＋b 2，则P 、Q 、R 的大小关系为________． 解析：∵lg a >lg b >0，∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b 2>ab . ∴lg(a ＋b 2)>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，即R >Q . 故有P <Q <R .答案：P <Q <R3．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)的最小值为________． 解析：(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c＝(a ＋a ＋b ＋c a )＋(b ＋a ＋b ＋c b )＋(c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 答案：104．(2010年高考安徽卷)若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________．(写出所有正确命题的编号)①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 解析：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，成立．②欲证a ＋b ≤2，即证a ＋b ＋2ab ≤2，即2ab ≤0，显然不成立．③欲证a 2＋b ＝(a ＋b )2－2ab ≥2，即证4－2ab ≥2，即ab ≤1，由①知成立．④a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)≥3⇔a 2－ab ＋b 2≥32 ⇔(a ＋b )2－3ab ≥32⇔4－32≥3ab ⇔ab ≤56，由①知，ab ≤56不恒成立． ⑤欲证1a ＋1b ≥2，即证a ＋b ab2，即ab ≤1，由①知成立． 答案：①③⑤5．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．解析：∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＋3≥2ab ＋3，∴ab ≥2ab ＋3，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9.答案：[9，＋∞)6．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y 4≥2 xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时，取等号． 答案：37．已知a >0，b >0，1a ＋2b1，则a ＋2b 的最小值为________． 解析：a ＋2b ＝(a ＋2b )(1a ＋2b )＝1＋2a b ＋2b a ＋4≥5＋22a b ×2b a＝9， 当且仅当⎩⎨⎧2a b ＝2b a 1a ＋2b＝1，即a ＝b ＝3时，取“＝”． 答案：98．某民营企业的一种电子产品，2009年的年产量在2008年基础上增长率为a ；2010年又在2009年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)，若这两年的平均增长率为q ，则q 与a ＋b 2的大小关系是________．解析：设2008年的年产量为1，则2010年的年产量为(1＋a )(1＋b )，∴(1＋q )2＝(1＋a )(1＋b )．∴1＋q ＝(1＋a )(1＋b )≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b 2， ∴q ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，取“＝”． 答案：q ≤a ＋b 29．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是________．①6.5 m ②6.8 m③7 m ④7.2 m 解析：设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2， ∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵够用且浪费最少，∴应选③.答案：③二、解答题10．判断下列各式的正误，并说明理由． (1)f (x )＝12x＋3x 的最小值为12； (2)x ＞0时，函数f (x )＝1x 2＋2x ≥21x 2·2x ＝22x ， 所以当且仅当x 2＝2x 即x ＝2时，取最小值； (3)x ＞0时，x ＋1x ＋1x ＋1x的最小值为2. 解：(1)错误．∵x 的正负不知，∴应分x ＞0与x ＜0两种情况进行讨论．当x ＞0时，f (x )＝12x ＋3x ≥212x ×3x ＝12， 当且仅当12x＝3x ，即x ＝2时，等号成立， ∴x ＞0时，f (x )有最小值12.当x ＜0时，f (x )＝12x ＋3x ＝－[－12x ＋(－3x )]．∵－12x ＋(－3x )≥2(－12x)·(－3x )＝12， ∴f (x )≤－12，当且仅当x ＝－2时等号成立，∴当x ＜0时，f (x )有最大值－12. (2)错误．∵1x2·2x 不为定值(常数)， 不能运用基本不等式． (3)错误．等号当且仅当x ＋1x ＝1x ＋1x，即(x ＋1x )2＝1时成立， 又x ＞0，∴x ＋1x ＝1，即x 2－x ＋1＝0，此方程无解， ∴等号取不到，应该有x ＋1x ＋1x ＋1x＞2.11．已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .证明：∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .12．已知函数f (x )＝lg x ，若a >0，b >0，试判断12[f (a )＋f (b )]与f (a ＋b 2的大小，并加以证明． 解：12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)． ∵f (a )＋f (b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )，f (a ＋b 2)＝lg a ＋b 2. 又∵a ，b >0，∴a ＋b 2≥ab >0. 而函数f (x )＝lg x 在定义域内单调递增，∴lg a ＋b 2≥lg ab ＝12lg(ab ) ＝12(lg a ＋lg b )， 即12[f (a )＋f (b )]≤f (a ＋b 2)， 当且仅当a ＝b 时，取“＝”．。

1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，用不等式表示为________．解析：“不少于”即“≥”，故f ≥2.5%.答案：f ≥2.5%2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >453．(2011年无锡高二检测)设a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式： (1)a 2<b 2；(2)ab 2<a 2b ；(3)1ab 2<1a 2b；(4)b a <a b . 其中成立的是________．解析：由a ，b 非零，知a 2b 2>0，又a <b ，则两边同乘以1a 2b 2，解得1ab 2<1a 2b. 答案：(3)4．已知M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，若x ≠2或y ≠－1，则M 与N 的大小关系为________．解析：∵M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＝(x －2)2＋(y ＋1)2－5＞－5＝N ，∴M ＞N .答案：M ＞N一、填空题1．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 在什么范围内________．解析：“限速”指的是“不超过”．答案：v ≤402．观察右图，用不等式表示出图中函数图象之间的关系为：________. 解析：g (x )的图象恒在f (x )的图象上方，即g (x )＝x 2＋1的函数值总是大于f (x )＝x 2的函数值，故不等关系为x 2＋1>x 2. 答案：x 2＋1>x 23．某班学生合影留念，冲洗胶片需22.5元，冲洗一张照片需2.5元，如果每人冲洗一张照片并且每人付款不超过3元，那么这个班至少有________名学生．解析：设这个班有x 名学生，依题意，得22.5＋2.5x ≤3x .解得x ≥45.答案：454．若m ≠3，且n ≠－2，则M ＝m 2＋n 2－9m ＋4n 的值与－13的大小关系为________． 解析：∵m ≠3，且n ≠－2，∴M ＝(m －3)2＋(n ＋2)2－13>－13.答案：M >－135．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，则满足条件的不等式组为________．解析：设铅笔买x 支，练习本买y 本，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7，y ≥6，0.6x ＋0.7y ≤10，x ，y ∈N *. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥7y ≥60.6x ＋0.7y ≤10x ，y ∈N *6．(2010年高考江苏卷)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析：由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y 2≤81. 又∵3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27. ∴x 3y 4的最大值是27. 答案：277．比较大小：x 2＋y 2＋z 2________2(x ＋y ＋z )－4.解析：∵x 2＋y 2＋z 2－[2(x ＋y ＋z )－4]＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋1>0，∴x 2＋y 2＋z 2>2(x ＋y ＋z )－4.答案：>8．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再添上m 克糖(m >0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式是________．答案：a ＋m b ＋m >a b9．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB BC ，CA 的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则x 1，x 2与x 3的大小关系为：________.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝50＋(x 3－55)x 2＝30＋(x 1－20)x 3＝30＋(x 2－35)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x 3－5x 2＝x 1＋10x 3＝x 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 3<0x 2－x 1>0x 3－x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1<x 3x 2>x 1⇒x 2>x 3>x 1.x 3<x 2 答案：x 2>x 3>x 1二、解答题10．2010年春节期间，某夫妇打算利用年终奖进行外出旅游，丈夫的假期为20天，年终奖2.8万元；妻子的假期为25天，年终奖2.3万元．两人向旅行社咨询得知：去一个非洲国家平均要6天，1.5万元；去一个欧洲国家平均要花5天，1.2万元．若两个人在春节假期共去了x 个非洲国家，y 个欧洲国家，且足迹遍及两大洲，写出所有满足上述不等关系的不等式．解：用关于x 、 y 的不等式表示题中的不等式关系为⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤201.5x ＋1.2y ≤2.8＋2.31≤x ，x ∈N 1≤y ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤205x ＋4y ≤171≤x ，x ∈N 1≤y ，y ∈N .11．已知a ≥1，试比较M ＝a ＋1－a 和N ＝a －a －1的大小．解：M －N ＝a ＋1－a 1－a －a －11＝(a ＋1)2－(a )2a ＋1＋a －(a )2－(a －1)2a ＋a －1＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1). ∵a ≥1，∴a ＋1＋a >0，a ＋a －1>0，又a －1－a ＋1<0，∴M －N <0.∴M <N .12．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小． 解：f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (a )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1， f (b )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1. 由a >b >1，知a －1>b －1>0.∴1a －1<1b －1，∴1＋1a －1<1＋1b －1(1)当m >0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1<m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )<f (b )．(2)当m ＝0时，f (a )＝f (b )＝0.(3)当m <0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1>m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )>f (b )．。

一、填空题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y >x ，x ＋y ≥1，y ≤3，表示的平面区域为E ，点P 1(0,2)， P 2(0,0)，则P 1，P 2与E 的关系为________． 答案：P 1∈E ，P 2∉E 2．图中阴影部分可用二元一次不等式组表示为________． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥－12x －y ＋2≥0 3．在直角坐标系中，满足不等式x 2－y 2≥0的点(x ，y )的集合(用阴影表示)是________．答案：(2)4．表示如图阴影部分的二元一次不等式组是________．解析：图中两直线方程分别为x ＋y －1＝0和x －2y ＋2＝0.阴影部分在x ＋y －1＝0的右上方，x －2y ＋2＝0的右下方，所以x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 5．由直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0和2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为________．解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图所示．取原点(0,0)，将x ＝0，y ＝0代入x ＋y ＋2得2＞0；代入x ＋2y ＋1得1＞0；代入2x ＋y ＋1得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，2x ＋y ＋1≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋2≥0x ＋2y ＋1≤02x ＋y ＋1≤06．(2009年高考安徽卷)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点的坐标分别是(0，43)，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积S ＝12×(4－43)×1＝43.答案：43二、解答题7．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1≥0，x －2y －1＜0，x ＋y ≤1表示的平面区域．解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．8该厂有工人200150 t ，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．解：设每天分别生产甲、乙两种产品x t 和y t ，生产x t 的甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x ＋8y )(kW ·h )，根据条件，有2x ＋8y ≤160； 用煤量为(3x ＋5y )(t )，根据条件，有3x ＋5y ≤150；用工人数为(5x ＋2y )(人)，根据条件，有5x ＋2y ≤200；另外，还有x ≥0，y ≥0.综上所述，x 、y 应满足以下不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋8y ≤160，3x ＋5y ≤150，5x ＋2y ≤200，x ≥0，y ≥0.甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)．。

一、填空题1．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________．解析：x (3－x )≥x (x ＋2)＋1⇒3x －x 2≥x 2＋2x ＋1⇒2x 2－x ＋1≤0.∵Δ＝1－4×2＝－7＜0，又二次函数图象开口向上．∴原不等式无解．∴原不等式的解集为∅.答案：∅2．不等式－6x 2＋x ＋1≥0的解集是________．答案：{x |－13≤x ≤12} 3．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________． 解析：由题意，k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.又k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2，且k ≠0.答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)4．设集合A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，B ＝{x |x 2－a 2＞0}．若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围为________．答案：a ≤－6或a ≥65．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为________．解析：∵ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，∴a ＜0，且⎩⎨⎧ －b a ＝1c a ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－a c ＝－2a ， 代入a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax ，得a (x 2＋1)－a (x －1)－2a ＞2ax .∵a ＜0，∴x 2＋1－(x －1)－2＜2x ，∴x 2＋1－x ＋1－2－2x ＜0，∴x 2－3x ＜0，∴0＜x ＜3.答案：{x |0＜x ＜3}6．不等式(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围为________．解析：若m －2＝0，即m ＝2时，不等式可化为－4＜0，这个不等式与x 无关，即对一切x ∈R 都成立．若m －2≠0，即m ≠2时，不等式为一元二次不等式．由解集为R ，知二次函数y ＝(m－2)x 2＋2(m －2)x －4开口向下，且与x 轴无交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜0Δ＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜04(m －2)2－4(m －2)·(－4)＜0， 解得－2＜m ＜2.综上所述，m 的取值范围是－2＜m ≤2.答案：(－2,2]二、解答题7．解下列不等式：(1)2＋3x －2x 2＞0；(2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1；(3)x 2－2x ＋3＞0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2＜0，∴(2x ＋1)(x －2)＜0.故原不等式的解集是{x |－12＜x ＜2}． (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0，∴(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为{x |x ≤－12或x ≥1}． (3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，故原不等式的解集是R .8．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正根；(2)都在(0,2)内．分别求实数m 的取值范围．解：(1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－10m ＋9≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1·x 2＝m ＞0.解得m 的取值范围是(0,1]．(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－10m ＋9≥0，0＜3－m 2＜2，f (0)＝m ＞0，f (2)＝3m －2＞0.解得m 的取值范围是(23，1]。

[学生用书 P 41]1．计算(6＋6i)＋(3－i)－(5－3i)＝________.解析：(6＋6i)＋(3－i)－(5－3i)＝(6＋3－5)＋(6－1＋3)i ＝4＋8i.答案：4＋8i2．复数z ＝i 2(1＋i)的虚部为________．解析：z ＝i 2(1＋i)＝(－1)·(1＋i)＝－1－i ，∴虚部为－1.答案：－13．复数z ＝－1＋2i ，则复数z 的虚部是________．解析：∵z ＝－1＋2i ，∴z ＝－1－2i ，∴虚部为－2.答案：－24．复数i 3(1＋i)2＝________.解析：i 3(1＋i)2＝－i·2i＝－2i 2＝2.答案：2一、填空题1．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________.解析：由题知z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i2．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i ，a ，b ∈R ，则实数对(a ，b )的值为________．解析：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ，∴z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b＝(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴a ＋b ＝1且a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.答案：(－3,4)3．(2011年高考某某卷)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ，∴a ＋1＝2，∴a ＝1.答案：14．设i 为虚数单位，则5－i 1＋i＝________. 解析：5－i 1＋i ＝5－i 1－i 2＝4－6i 2＝2－3i. 答案：2－3i5．(2011年高考某某卷改编)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝________.解析：(1＋z )·z ＝(2＋i)(1－i)＝3－i.答案：3－i6．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则a ＝________，b ＝________. 解析：由1＋2i a ＋b i＝1＋i ，可得1＋2i ＝(a －b )＋(a ＋b )i ，由对应项相等可以得到⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1a ＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝32，b ＝12. 答案：32127．(2011年高考课标全国卷改编)复数5i 1－2i＝________. 解析：5i 1－2i ＝5i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝5i 1＋2i 5＝－2＋i. 答案：－2＋i8．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于________． 解析：因为z 为纯虚数，所以设z ＝b i(b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝b i ＋21＋i 1－i 1＋i＝b i ＋b i 2＋2＋2i 1－i 2＝－b ＋2＋b ＋2i 2＝－b ＋22＋12(b ＋2)i ，又z ＋21－i 为实数，所以12(b ＋2)＝0，即b ＝－2.所以z ＝－2i.答案：－2i9．(2011年高考课标全国卷改编)复数2＋i 1－2i的共轭复数是________． 解析：∵2＋i 1－2i ＝2＋i 1＋2i 1－2i 1＋2i ＝2＋i ＋4i －25＝i ， ∴2＋i 1－2i的共轭复数为－i. 答案：－i二、解答题 10．计算：(1)(2－12i)＋(12－2i)； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝(2＋12)－(12＋2)i ＝52－52i. (2)(3＋2i)＋(3－2)i＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i.(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i.11．(2011年高考某某卷)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.解：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ，设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ，∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i.12．设z ∈C ，求满足z 2＝z 的复数z .解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i.又z ＝x －y i ，所以x 2－y 2＋2xy i ＝x －y i.由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝x ，2xy ＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝±32，x ＝－12.因此所求复数z 为0或1或－12＋32i 或－12－32i.。

1．在等比数列{a n }中，a 1＝5，a 9a 10＝100，则a 18＝( ) A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 答案：C2．(2010年高考北京卷)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12 解析：选C.在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.又∵a m ＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.3．各项均为实数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝9，则a 3＝________. 答案：±34．已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3a 9.解：法一：∵a 2a 10＝a 26，∴a 2a 6a 10＝a 36＝1.∴a 6＝1.∴a 3a 9＝a 26＝1. 法二：设公比为q ，则a 2a 6a 10＝a 1q ·a 1q 5·a 1q 9＝a 31q 15＝1，∴a 1q 5＝1.∴a 3a 9＝a 1q 2·a 1q 8＝(a 1q 5)2＝1.一、选择题1．已知{a n }是等比数列，a 6＝2，a 3＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：选C.∵{a n }是等比数列，∴a 6a 3＝q 3＝8.∴q ＝2.2．已知等比数列{a n }中，a 3＝－4，a 6＝54，则a 9等于( )A ．54B ．－81C ．－729D ．729解析：选C.∵a 3·a 9＝a 26，∴－4a 9＝542，∴a 9＝－729. 3．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….则此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B.设新数列为{b n }，则{b n }的通项公式为b n ＝a n a n ＋1.所以a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q 2，数列{b n }是公比为q 2的等比数列．4．在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 1a 2a 3…a 2012＝22012，则a 2a 2011＝( ) A ．2 B ．4C ．21005D ．21006解析：选B.a 1a 2a 3…a 2012＝22012，∴(a 1a 2012)1006＝22012＝41006，∴a 1a 2012＝4，∴a 2a 2011＝4. 5．(2011年海口市调研)在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( ) A ．48 B ．72 C ．144 D ．192解析：选D.∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)， ∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8·q 9＝24×8＝192.6．在等比数列{a n }中，首项a 1<0，要使数列{a n }对任意正整数n 都有a n ＋1>a n ，则公比q应满足( )A ．q >1B ．0<q <1 C.12<q <1 D ．－1<q <0 解析：选B.a n ＋1－a n ＝a 1q n －1(q －1)>0对任意正整数n 都成立，而a 1<0，只能0<q <1. 二、填空题7．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝________.解析：∵y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， ∴b ＝1，c ＝2， ∴ad ＝bc ＝2. 答案：28．在等比数列{a n }中，a n >0，若a 1a 5＝16，a 4＝8，则a 5＝________. 解析：∵a n >0，a 1a 5＝16，∴a 3＝4.又∵a 24＝a 3a 5，∴a 5＝16. 答案：169．在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：因为a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3a 14＝2.所以a 20a 10＝q 10＝a 14a 4，所以a 20a 10＝32或a 20a 10＝23. 答案：32或23三、解答题10．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q .解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36且a 1＋a 3＝21－a 2＝15.∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·(12)n －1＝3·23－n.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72， ∴q 4＝4，∴q ＝± 2.11．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列．求插入的三个数的乘积．解：法一：设这个等比数列为{a n }，其公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83·q 4.∴q 4＝8116，q 2＝94.∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝(83)3·(94)3＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272，插入三项分别为a 2，a 3，a 4.由题意a 1，a 3，a 5也成等比数列，∴a 23＝83×272＝36，故a 3＝6，∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.12．已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 解：设这三个数为a q、q 、aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a q ＋a ＋aq ＝28 ， ①a q ·a ·aq ＝512 ②由②得a ＝8.把a ＝8代入①得： 2q ＋2q ＝5，解得q ＝2或12. ∴这三个数为4,8,16或16,8,4.。

3.4.2 基本不等式的应用学习目标：1.掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值已知a ≥0，b ≥0，在运用基本不等式时，要注意： (1)和a ＋b 一定时，积ab有最大值；(2)积ab 一定时，和a ＋b 有最小值； (3)取等号的条件⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b 时，ab ＝a ＋b 2.[基础自测]1．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________． [解析] ∵x ，y ∈(0，＋∞)，∴xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400， 当且仅当x ＝y ＝20时等号成立． [答案] 4002．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.[解析] 设一边长为x m ，则另一边长为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16， 当且仅当x ＝8－x ，即x ＝4时等号成立． [答案] 16利用基本不等式求条件最值(1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)若x ＋2y ＝1，且x >0，y >0，则8x ＋1y 的最小值为________． [思路探究] 注意条件“1x ＋9y ＝1”及“x ＋2y ＝1”的作用． [解] (1)∵1x ＋9y ＝1，x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29 ＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即x ＝4，y ＝12时等号成立． (2)∵x ＋2y ＝1，x >0，y >0， ∴8x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝8＋2＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18.当且仅当16y x ＝x y ，即x ＝23，y ＝16时等号成立．[答案] (1)16 (2)18[规律方法] 解决含有两个变量的代数式的最值时，常用“变量”替换，“1”的替换，构造不等式求解.[跟踪训练]1．(1)已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． (2)已知点M (a ，b )在直线x ＋y ＝1上，则a 2＋b 2的最小值为________． [解析] (1)法一：由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1.由b >0，得a ＋3a －1>0.∵a >0，∴a >1.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a 2＋3aa －1＝[(a－1)＋1]2＋3[(a－1)＋1]a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥2(a－1)·4a－1＋5＝9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时，取等号，此时b＝3.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法二：由于a，b为正数，∴a＋b≥2ab，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即(ab)2－2ab－3≥0，∴ab≥3，故ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)因为点M(a，b)在直线x＋y＝1上，所以a＋b＝1，因为a2＋b2≥(a＋b)22＝1 2，当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以a2＋b2≥12＝22，所以a2＋b2的最小值为2 2.[答案](1)[9，＋∞)(2)22利用基本不等式解实际应用题层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[思路探究]根据题目列函数关系式，利用基本不等式求最值并确定取得最值的条件，得出结论．[解] 设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x .∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x . 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值． ∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30，当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立． 所以当x ＝15时，y 有最小值2 000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．[规律方法] 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： （1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）根据实际背景写出答案. [跟踪训练]2．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元．且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ [解] (1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x ) ＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)．∴y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)． (2)年平均利润为 y x ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *， ∴x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，当且仅当x ＝5时，等号成立， 此时yx ≤16×(23－20)＝48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.形如y ＝x ＋px 的最值问题[探究问题]可以用基本不等式求函数y ＝x ＋4x (x ≥4)的最小值吗？为什么？ [提示] ∵x ≥4， ∴y ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x ， 即x ＝2时等号成立， 又x ≥4，故不可以用基本不等式求其最小值．由于y ＝x ＋4x 在[4，＋∞)上单调递增，故当x ＝4时， y min ＝4＋44＝5.已知a >0，求函数y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a的最小值．[思路探究] 分“a >1”和“0<a ≤1”两类分别求函数的最值． [解] ∵y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a＝x 2＋a ＋1x 2＋a.(1)当0<a ≤1时，y ＝x 2＋a ＋1x 2＋a ≥2，当且仅当x 2＋a ＝1x 2＋a， 即x 2＋a ＝1，x ＝±1－a 时取等号y min ＝2. (2)当a >1时， 令x 2＋a ＝t ， 则t ≥a ，∴y ＝f (t )＝t ＋1t ，利用单调性可知f (t )在[a ，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (a )＝a ＋1a， 当且仅当t ＝a ，即x ＝0时等号成立． ∴y min ＝a ＋1a. 综上所述，当0<a ≤1时， y min ＝2； 当a >1时，y min ＝a ＋1a. [规律方法]1．利用基本不等式求最值的前提条件是：一正、二定、三相等． 2．在等号不成立时，常借助函数的单调性求其最值． [跟踪训练]3．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y 的最小值．[解] 由x ＋y ＝1知x 2＋y 2＋2xy ＝1， ∴x 2＋y 2＝1－2xy .从而有z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1y ＝1xy (x 2y 2＋x 2＋y 2＋1)＝1xy (2＋x 2y 2－2xy )，令xy ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤14，且t ＝14时，x ＝y ＝12，则z ＝2t ＋t －2，再令f (t )＝2t ＋t ，可以证明f (t )＝2t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上单调递减，故当t＝14时，f(t)＝2t＋t取最小值334，∴当x＝y＝12时，z＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x⎝⎛⎭⎪⎫y＋1y取最小值254.1．已知x，y都是正数，(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．[解析](1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215，当且仅当x＝y＝15时取最小值．(2)xy≤⎝⎛⎭⎪⎫x＋y22＝⎝⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy的最大值是2254.当且仅当x＝y＝152时，xy取最大值．[答案](1)215(2)22542．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．[解析]每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－⎝⎛⎭⎪⎫x＋25x，而x>0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．[答案]83．已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的取值范围是________．[解析]∵a＋b＝1，a>0，b>0，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当b a ＝ab ， 即a ＝b ＝12时等号成立．[答案] 44．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．[解析] 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ， 由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m. 那么y ＝120·4＋2·80·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x≥480＋320·2x ·4x ＝1 760(元)．当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元． [答案] 1 7605．设x ，y ＞0，且x ＋y ＝4，若不等式1x ＋4y ≥m 恒成立，求实数m 的最大值． [解] 1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4x y ＋y x ≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋24x y ·y x ＝14(5＋4)＝94. 当且仅当4x y ＝y x ，且x ＋y ＝4，即x ＝43，y ＝83时，上式取“＝”．故⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min＝94. ∵1x ＋4y ≥m 恒成立，∴m ≤94，∴m max ＝94.由Ruize收集整理。