绝对值函数的图象_杨银福

绝对值函数的图象与性质
程进文;雷亚庆
【期刊名称】《新高考（高一数学）》
【年(卷),期】2017(000)010
【总页数】3页(P33-35)
【作者】程进文;雷亚庆
【作者单位】南京市大厂高级中学;南京市大厂高级中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.绝对值函数的图象 [J], 杨银福;
2.用《几何画板》探究一次函数的图象与性质——兼介绍课件《一次函数的图象与性质》的制作 [J], 王海凌;曾庆丰
3.双绝对值函数的图像与性质探讨 [J], 张永强; 田金有
4.一类含绝对值函数图象的简易作法 [J], 阎顺利
5.在新函数的研究中促进数学活动经验的迁移
——以"二次型绝对值函数的图象和性质"研究为例 [J], 崔佳佳;王秀阁
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含绝对值函数图像处理之我见作者：喻国标来源：《学生周报·教师版》2013年第16期高中数学的函数作图中，常出现函数的自变量或因变量带有绝对值符号的函数，对于此类函数图像的作法不仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨，本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。

一、含绝对值函数的六种类型：已知函数y=f（x），x∈R，x叫做函数的自变量；y叫做函数的应变量（函数值）。

①对自变量x取绝对值：y=f（x），x∈R；②对应变量y取绝对值：y=f（x），x∈R；③对x，y全都取绝对值：y=f（x），x∈R；④对整个函数取绝对值：y=f（x），x∈R；⑤对x，f（x）都取绝对值：y=f（x），x∈R；⑥部分自变量取绝对值：y=f（x，x），x∈R。

二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：①对自变量x取绝对值y=f（x），x∈R；：【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R；，设（x，y）是函数图象上任意一点，则该点与点（-x，y）关于y轴对称。

因为点（x，y）与（-x，y）都在函数y=f（x）上，所以其函数图象关于y轴对称。

【作图步骤：】（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）保留x>0时函数y=f（x）的图象；（3）当x【作图展示：】作函数y=f（x）=2x-2的图像②对应变量y取绝对值：y=f（x），x∈R；【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R，设（x，y）是函数图象上任意一点，则该点与点（x，-y）关于x轴对称。

因为点（x，y）与（-x，y）都在函数y=f（x）上，所以其函数图象关于x轴对称。

【作图步骤：】（1）作出函数y=f（x）的图象；（2）保留y>0时函数y=f（x）的图象；（3）当y【作图展示：】作函数y=f（x）=2x-2的图象③对x，y全都取绝对值：y=f（x），x∈R；【函数性质分析：】已知函数y=f（x），x∈R，设（x，y）是函数图象上任意一点，它与点（x，-y）关于x 轴对称、与点（x，-y）关于 y轴对称且与点（-x，-y）关于原点对称。

第13讲 函数图像和零点[玩前必备]1．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 2．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．(2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个 c 也就是方程f (x )＝0的根．[玩转典例]题型一 函数图像变换例1 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |；(4)y ＝2x －1x －1.题型二 函数图像识别例2 (1)（2019全国Ⅰ理5）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．(2)（2019全国Ⅲ理7）函数3222x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．(3)（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)，(a >0且a ≠1)的图像可能是 2sin cos ++x x x xA. B.C. D.[玩转跟踪]1.(1)(2019·青岛模拟)函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( )(2)(2019·潍坊模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1)，－x 2＋2x ，x ∈[1，2].则函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( )题型三 函数零点例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是 ． (2)(2018·天津河东区模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点例4 设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[玩转跟踪]1．（2014北京）已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞2.函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)[玩转练习] 1．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x的图像大致为2．(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为3．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是 A ． B ．C ．D ．4．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －15．(2018·承德模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)6．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝⎛⎭⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)7．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．38．函数f (x )＝ln 2x －3ln x ＋2的零点是( )A ．(e,0)或(e 2，0)B ．(1,0)或(e 2，0)C ．(e 2，0)D ．e 或e 29．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0,4)上存在零点，则实数m 的取值范围是 ．10．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 2<x 3<x 1D ．x 3<x 1<x 211．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为 ．12．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x－a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝ .。

函数b a x k y +-=图象与性质【问题提出】 将函数()f x k x a b=-+去掉绝对值符号后，写成分段函数(),()(),k x a b x a f x k x a b x a⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩.当x a ≥时，函数()y f x =与y kx =平行，且最低点为(,)a b ；当x a <时，函数()y f x =与y kx =-平行，且最低点为(,)a b ；类比二次函数图象的记法，当0k >时，可知函数图象开口向上，顶点(最低点)为(,)a b . 同理可知，0k <时，()f x k x a b=-+的图象开口向下，顶点(最高点)为(,)a b .事实上，可以直接从函数图象平移的角度去分析，即函数()f x k x a b =-+可看成()f x k x =平移而得.【探究拓展】探究1：设函数142)(+-=x x f ，若不等式ax x f ≤)(的解集非空，则实数a 的取值范围是___________.2-<a 或21≥a 探究2：对任意的120x x <<，若函数12()f x a x xb x x =-+-的大致图像为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x 轴），试写出a 、b 应满足的条件 ． 答案：0,0a b a +=>．提示：⎪⎩⎪⎨⎧--++--++--=,)(,)(,)()(111111bx ax x b a bx ax x b a bx ax x b a x f ，结合图像得，0,0>-=+b a b a ，即0,0a b a +=>．探究3.（2020年） 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．（1）如果定义域为[)+∞-,1上的函数2)(x x f =是[)+∞-,1上的k 型增函数，则实数k 的取值范围是______；2>k（2）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是___________.解 若a ≤0，则f (x )在x >0时为增函数，故对任意正实数k ，不等式f (x +k )>f (x )恒成立．若a >0，则函数y =f (x +k )的图象可由函数y =f (x )的图象向左平移k 个单位而得(如图13)．因k =2011，故仅当2011>6a 时，f (x +2011)>f (x )，所以此时0<a <20116．综上，实数a 的取值范围是a <20116．（3）已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，22)(a a x x f --=,若f (x )为R 上的“4型增函数”，则实数a 的取值范围是___________. ()1,1-变式1：如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .)61,0(变式2：函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为___________.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-66,66探究4：若对任意x R ∈，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 在同一个坐标系中画出函数y x =与y ax =的图象(图1)，要使得对任意x R ∈，不等式x ax ≥恒成立，则由一次函数性质与绝对值函数图象可知11a -≤≤，即1a ≤探究5：函数||y k x a b =--+的图象与函数||y k x c d =-+的图象1(0,)3k k >≠交与两点(2,5)，(8,3)，则a c +的值为 .分析 此题试题编制新颖，其中涉及到5个参数，让不少师生的思维分析遇到障碍. 事实上，本题主要考查的知识点是：绝对值函数()f x k x a b =++的性质与图象. 若能把握这一问题的本质，那么这个问题将迎刃而解：解析 函数||y k x a b=--+的图象开口向下，顶点为(,)a b ；函数||y k x c d=-+的图象开口向上，顶点为(,)c d ；若两函数图象相交的话，则构成四边形的两组对边分别平行，因此构成两定点和两交点构成一个平行四边形，如图2所示.又两交点分别为(2,5)，(8,3)，那么由平行四边形对角线中点的横坐标2822a c ++=，可得10a c +=.探究6：已知不等式321a x x ->-对任意的[1,2]x ∈-恒成立，则a 的取值范围______．解析: 由321a x x ->-，()3,()21f x a x g x x =-=-；函数()3f x x a =-的顶点为(,0)3a ，开口向上，且左右两条射线的斜率分别为3,3-.在平面直角坐标系中，作出函数()g x 的图象(见图3)；当0a =时，作出函数()3f x x a =-的图象作为参照线.由两函数图象的位置关系可知，当0a ≤时，绝对值函数()3f x x a =-的图象始终在()g x 的图象上方；当0a >时，将绝对值函数()3f x x a =-向右平移，当2图定点(,0)3a 与1(,0)2重合时，即32a =，此时，利用两函数的斜率大小关系得到()()f x g x ≥，当且仅当32a =时，等号成立；则可知32a <时，()()f x g x >. 当32a >，要使()()f x g x >，则要()3f x x a =-的左边部分永远在函数()g x 上方，那么(2)(2)63f g a >⇔->，解得9a >.综上可知，32a <或9a >时，321a x x ->-对[1,2]x ∀∈-恒成立.探究7：对任意()0,x ∈+∞，不等式11||2x a x-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是______．解析 由11||2x a x-+≥转化为11||2x a x-≥-，下在同一个坐标系中分别画出函数y x a =-与112y x=-的图象(如图4).易知函数112y x=-在(0,)+∞上为增函数，且过x 轴上点(2,0)A ；那么要使得绝对值函数y x a =-的图象始终在双曲线上方的话，则其顶点(,0)a 的位置只能在点A 的右边或与其重合，即可得2a ≤.探究8：若关于x 的不等式22x x t<--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是 ．解析 首先由22x x t <--22||x x t ⇔->-，在同一个平面直角坐标系内分别画出两个函数图象，如图4：考虑临界情况：当2t ≥时，绝对值函数图象在抛物线下方的那部分横坐标都不小于0，即不等式解集中没有负实数；3图4图当直线与抛物线相切时，解得9=4t ±；又当94t ≤-时，同理可知解集中也没有负数解；则所求实数9(,2)4t ∈-.探究9：设集合2{|||20}A x x x a a a R =-++<∈，，{|2}B x x =<. 若A ≠∅且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .解析 首先，不等式2||20x x a a -++<等价于2||2xx a a<+-，即可转化为函数2()f x x =与函数()||2g x x a a =+-的图象位置关系问题；由题意可知，当(,2)x ∈-∞时，函数()y g x =的图象上有部分始终位于抛物线2y x =上方；又函数12y x =上；()||2g x x a a =+-，开口向上，定点(,2)a a --在直线由此，可在同一平面直角坐标系内画出函数图象：1) 当2a -=，即2a =-时，{|2}A x x ⊂<，符合题意，故2a =-适合； 2) 当2a ->，即2a <-时，由图象可知，不合题意；3) 当2a -<，即2a >-时，首先考虑到顶点在直线12y x =运动，那么即要考虑临界情况，当绝对值函数的右支和抛物线2y x =相切时，即方程22x x a a =+-的判别式0∆=时，解得14a =；又因为当14a ≥时，A =∅，故14a <；综上可知，124a -≤<.探究10：定义在[)1+∞, 上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x =；②当[]24x ∈, 时，()13f x x =--，则集合{}()(36)x f x f =中的最小元素是_______. 125图6图变式1：定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足：①(2)()f x cf x =(c 为正常数)；②当24x ≤≤时，()13f x x =--.若函数()f x 的所有极大值点均落在同一条直线上，则c = .解1 由题意可知，当12x ≤≤时，()1(123)f x x c=--，顶点为1P 31(,)2c；当24x ≤≤时，()13f x x =--，顶点为2P(3,1)；当48x ≤≤时，()(13)2x f x c =--，顶点为3P (6,)c ；当816x ≤≤时，()2(13)4x f x c =--，顶点为4P2(12,)c ；…… 当222nn x ≤≤时，()11(13)2n n x f x c --=--，顶点为1n P +11(32,)n n c --⋅.那么，若函数()f x 的所有极大值点都落在同一条直线上，则必有点1P 31(,)2c，2P (3,1)，2P (6,)c 三点共线，即由12P P u u u u r ∥23P P u u u u r 可解得1c =或2.经检验，当1c =时，所有极大值点都在直线1y =上；当2c =时，所有极大值点都在直线3y x =上.解2 可求得，当12n -≤x ≤2n(n ∈N*)时， f (x ) =22(1|3|)2n n x c----．记函数f (x ) =22(1|3|)2n n x c ----(12n -≤x ≤2n ，n ∈N*)图象上极大值的点为P n (x n ，y n )． 令2302nn x --=，即x n =232n -⋅时，y n =2n c -，故P n (232n -⋅，2n c -)．分别令n =1，2，3，得 P 1(32，1c)，P 2(3，1)，P 3(6，c )．由2123P P P P kk =(k 表示直线的斜率)得，c =2或c =1．当c =2时，所有极大值的点均在直线13y x =上；当c =1时，y n =1对n ∈N*恒成立，此时极大值的点均在直线y =1上．变式2：定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ．略解 以原点为顶点的抛物线方程可设为x 2=py (p ≠0)或y 2=qx (q ≠0)．若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线x 2=py (p ≠0)上，则(232n -⋅)2=2n pc -，即29()4n c p -=对n ∈N*恒成立，从而c =4；若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线y 2=qx (q ≠0)上，则(2n c -)2=232n q -⋅，即23n q -=对n ∈N*恒成立，从而c ．综上，c =4【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。

江苏省常州市西夏墅中学高一数学《函数的图像》学案一、学习目标：1．进一步理解函数的概念，理解函数的本质是数集之间的对应，能作出给定函数的图象；2．通过作图，了解图象可以是连续的曲线，也可以是散点，并能通过图象揭示函数的本质属性；3．通过教学，培养学生数形结合的能力，能由具体逐步过渡到符号化，并能对其进行理性化思考，对事物间的联系的进行数学化的思考．二、课前预复习：1．回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图象．2．问题：是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？3．回忆初中作函数图象的步骤；4．按初中的作图步骤作出函数f (x )＝x －1，f (x )＝ x 2－1，f (x )＝1x等函数的图象； 5．思考课本27页的思考题并给出答案；6．阅读课本27页的阅读内容，尝试借助于电脑完成有关函数的图象．三、问题解决1．函数的图象：一般地，我们将自变量的一个值x 0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x 0，f (x 0))，自变量取遍函数定义域A 的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }，这些点组成的曲线就是函数y =f (x )的图象．（1）函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成，或是几个孤立的点；（2）函数图象上每一点的纵坐标y ＝f (x 0)，即横坐标为x 0时的相应函数值；（3）每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数．2．利用图象初步了解函数图象的对称性与单调性；例1 画出下列函数的图象：（1）f (x )＝x ＋1；（2）f (x )＝x ＋1，x ∈{－1，0，1，2，3}；（3）f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈R ；（4）f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[1，3)．例2 从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示：把人口数y (百万人)看作是年份x 的函数，试根据表中数据画出函数的图象． 例3 试画出函数f (x )＝x 2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：（1）较f (－2)，f (1)，f (3)的大小；（2）若0＜x 1＜x 2，试比较f (x 1)与f (x 2)的大小．四、练习反馈：（1）课本28页练习1，2，3；（2）作出下列函数的图象；①f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|；②f (x )＝|x －1|－|x ＋1|；③f (x )＝x |2－x |．课堂作业：课本29页第3小题；五、课堂小结六、课后巩固：基础达标1.直线1x =与抛物线21y x =+的交点有 个；直线()x a a R =∈与抛物线21y x =+的交点可能有 个；2.函数()f x x =与2()x g x x=的图象相同吗？答： ． 3.已知函数2361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：4.已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出：则函数(())y g f x =的值域为5．已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x(1)画出函数图象；(2)求f{f[f(－2)]}；(3)求当f(x)= －7时，x 的值。