物理人教版必修1(广东专用)第二章 习题课 匀变速直线运动的推论(一) 知能演练关

人教版必修一第二章匀变速直线运动的研究点点清专题1匀变速直线运动规律的应用一 学习目标1、掌握匀变速直线运动的基本公式（速度-时间公式、位移-公式及速度—位移公式（推导理解记忆））；1、掌握匀变速直线运动的几个重要推论：平均速度公式、Δx ＝aT2、中间时刻和中间位置的速度公式，2、掌握初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式（推导理解记忆）．3、熟练应用他们（一题多法）解决运动学问题4、解决运动学问题的一般思路二、知识清单1．基本公式(1)速度公式：v ＝v 0＋at . (2)位移公式：x ＝v 0t ＋12at 2 .(3)位移速度关系式：v 2－v 20＝2ax .这三个基本公式，是解决匀变速直线运动的基石．均为矢量式，应用时应规定正方向． 2．三个重要推论公式(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半，即：v ＝v 2t ＝v 0＋v2、(2)中点位置的瞬时速度公式：v s/2＝√(v 02＋v t 2)/2 ＞v t/2(3)任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移之差为一恒量，即：Δx ＝x 2－x 1＝x 3－x 2＝…＝x n －x n －1＝aT 2.3．v0＝0的四个比例式公式(1)1T 末、2T 末、3T 末、……瞬时速度的比为：v 1∶v 2∶v 3∶…∶v n ＝1∶2∶3∶…∶n(2)1T 内、2T 内、3T 内……位移的比为：x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝12∶22∶32∶…∶n 2(3)第一个T 内、第二个T 内、第三个T 内……位移的比为：x Ⅰ∶x Ⅱ∶x Ⅲ∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：t 1∶t 2∶t 3∶…∶t n ＝1∶(2－1)∶(3－2)∶…∶(n －n －1)4.解决运动学问题的几种常用方法 （公式法、图像法、可逆思维法）（1）基本公式法一般公式法指速度时间公式、位移时间公式及速度位移．它们均是矢量式，使用时要注意方向性．（2）重要推论法利用Δx ＝aT 2：其推广式x m －x n ＝(m －n )aT 2，对于纸带类问题用这种方法尤为快捷．而v ＝v 2t ＝12(v 0＋v )只适用于匀变速直线运动．（3）比例法对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的重要特征中的比例关系，用比例法求解． （4）思维转换法（过程逆向，对象转化）多对象等时间间隔看成一个对象等时间间隔，如匀减速直线运动可视为反方向的匀加速直线运动． (1)刹车类问题：指匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a 突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间．如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动．（5）图象法利用v －t 图可以求出某段时间内位移的大小，可以比较v 2t 与v 2x ，还可以求解追及问题；用x －t 图象可求出任意时间内的平均速度等．5.解决刹车问题的注意事项 （1）刹车类问题指匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a 突然消失，求解时要注意确定其实际运动时间．如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动．(2)刹车问题首先判断刹车时间t 0，如果t 小于t 0，则运动公式可以直接用，如果t 大于t 0，则用时间公式应注意用哪个时间．(3)如果是减速再加速问题，如果加速度不变可以直接用公式，但是要注意物理量的正负问题，如果加速度变则必须分过程考虑．如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度的大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x 、v 、a 等矢量的正负号及物理意义．6.解决运动学问题的一般步骤 （1）确定研究对象；（2）进行运动分析：（画出运动过程示意图，弄清楚已知未知条件）；（3）列出运动学方程：（公式法（基本公式重要推论比例式，注意矢量性，刹车问题）、图像法、思维转换法） （4）求解三、经典例题例题1、（基本公式）(2019年四川德阳月考)一质点沿直线运动，其平均速度与时间的关系满足v ＝2＋t (各物理量均选用国际单位制中单位)，则关于该质点的运动，下列说法正确的是 ( )A ．质点可能做匀减速直线运动B ．5 s 内质点的位移为35 mC ．质点运动的加速度为1 m/s 2D ．质点3 s 末的速度为5 m/s解析：物体在t 时间内的位移x ＝v t ＝2t ＋t 2，结合x ＝v 0t ＋12at 2可知，质点的初速度v 0＝2 m/s ，加速度a ＝2 m/s 2，质点做匀加速直线运动，A 、C 错误；5 s 内质点的位移x ＝v 0t ＋12at 2＝35 m ，B 正确；质点在3 s 末的速度v ＝v 0＋at ＝8 m/s ，D 错误． 答案：B例题2、（基本公式）做匀加速直线运动的物体途中依次经过A 、B 、C 三点，已知AB ＝BC ＝l2，AB 段和BC 段的平均速度分别为v 1＝3m /s 、v 2＝6 m/s ，则： (1)物体经B 点时的瞬时速度v B 为多大？(2)若物体运动的加速度a ＝2m/s 2，试求AC 的距离l .解析 (1)设物体运动的加速度大小为a ，经A 、C 点的速度大小分别为v A 、v C .由匀加速直线运动规律可得：v 2B －v 2A ＝2a ×l 2① v 2C －v 2B ＝2a ×l 2② v 1＝v A ＋v B 2③ v 2＝v B ＋v C 2④解①②③④式得：v B ＝5m/s (2)解①②③④式得： v A ＝1m /s ，v C ＝7 m/s由v 2C －v 2A ＝2al 得：l ＝12m.答案 (1)5m/s (2)12m例题3、（Δx ＝aT 2求解）一个做匀加速直线运动的质点，在最初的连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m 和64m ，每个时间间隔为4s ，求质点的初速度和加速度． 答案 1m /s 2 2.5 m/s 2解析 解法一：用基本公式求解画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移时间公式，即x 1＝v A t ＋12at 2，x 2＝v A (2t )＋12a (2t )2－(v A t ＋12at 2)将x 1＝24m ，x 2＝64m ，t ＝4s 代入上式解得 a ＝2.5m /s 2，v A ＝1 m/s解法二：用中间时刻速度公式求解连续的两段时间t 内的平均速度分别为 v 1＝x 1t ＝6m/s ，v 2＝x 2t ＝16m/s即v 1＝v A ＋v B 2＝6m/s ，v 2＝v B ＋v C2＝16m/s由于点B 是AC 段的中间时刻，则 v B ＝v A ＋v C 2＝v 1＋v 22＝6＋162m /s ＝11 m/s可得v A ＝1m /s ，v C ＝21 m/s 则a ＝v C －v A 2t ＝21－12×4m /s 2＝2.5 m/s 2解法三：用Δx ＝aT 2求解由Δx ＝aT 2得a ＝Δx T 2＝64－2442m /s 2＝2.5 m/s 2 再由x 1＝v A t ＋12at 2解得v A ＝1m/s例题4、（可逆思维过程可逆）物体以一定的初速度从斜面底端A 点冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l ，到达斜面最高点C 时速度恰好为零，如图1，已知物体运动到距斜面底端34l处的B 点时，所用时间为t ，求物体从B 滑到C 所用的时间．图1解析 解法一：逆向思维法物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面．设物体从B 到C 所用的时间为t BC .由运动学公式得x BC ＝at 2BC2，x AC ＝a (t ＋t BC )22，又x BC ＝x AC 4，由以上三式解得t BC ＝t . 解法二：基本公式法因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设初速度为v 0，物体从B 滑到C 所用的时间为t BC ，由匀变速直线运动的规律可得 v 20＝2ax AC ①v 2B ＝v 20－2ax AB ②x AB ＝34x AC ③由①②③解得v B ＝v 02④又v B ＝v 0－at ⑤ v B ＝at BC ⑥由④⑤⑥解得t BC ＝t . 解法三：比例法对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)．因为x CB ∶x BA ＝x AC 4∶3x AC4＝1∶3，而通过x BA 的时间为t ，所以通过x BC 的时间t BC ＝t .解法四：中间时刻速度法利用推论：匀变速直线运动中中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，vAC ＝v 0＋02＝v 02.又v 20＝2ax AC ，v 2B ＝2ax BC ，x BC ＝x AC4.由以上三式解得v B ＝v 02.可以看成v B 正好等于AC 段的平均速度，因此B 点是这段位移的中间时刻，因此有t BC ＝t . 解法五：图象法根据匀变速直线运动的规律，画出v －t 图象．如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方比，得S △AOC S △BDC ＝CO 2CD 2，且S △AOC S △BDC ＝41，OD ＝t ，OC ＝t ＋t BC .所以41＝(t ＋t BC )2t 2，解得t BC ＝t . 答案 t例题5、（可逆思维对象转化）某同学站在一平房边观察从屋檐边缘滴下的水滴，发现屋檐的滴水是等时的，且第5滴正欲滴下时，第1滴刚好到达地面；第2滴和第3滴水刚好位于窗户的下沿和上沿，他测得窗户上、下沿的高度差为1m ，由此求：(g 取10m/s 2) (1)屋檐离地面多高？ (2)滴水的时间间隔为多少？ 答案 (1)3.2m (2)0.2s解析 如图所示，如果将这5滴水的运动等效为一滴水的自由落体运动，并且将这一滴水运动的全过程分成时间相等的4段，设时间间隔为T ，则这一滴水在0时刻、T 末、2T 末、3T 末、4T 末所处的位置，分别对应图中第5滴水、第4滴水、第3滴水、第2滴水、第1滴水所处的位置．(1)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移比为1∶3∶5∶7∶……∶(2n －1)，令相邻两水滴之间的间距从上到下依次为x 0∶3x 0∶5x 0∶7x 0. 显然，窗高为5x 0，即5x 0＝1m ，得x 0＝0.2m.屋檐总高x ＝x 0＋3x 0＋5x 0＋7x 0＝16x 0＝3.2m.(2)由x 0＝12gT 2知，滴水的时间间隔为T ＝2x 0g ＝2×0.210s ＝0.2s.例题6、（图像法）从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s 时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车．汽车从开出到停止总共历时20 s ，行进了50 m ．求汽车的最大速度．解析：解法1(基本公式法)： 设最大速度为v max ，由题意可得x ＝x 1＋x 2＝12a 1t 21＋v max t 2＋12a 2t 22① t ＝t 1＋t 2② v max ＝a 1t 1③ 0＝v max ＋a 2t 2④整理得v max ＝2x t ＝2×5020m/s ＝5 m/s.解法2(平均速度法)：匀加速阶段和匀减速阶段的平均速度相等，都等于v max2故有x ＝v max 2t 1＋v max2t 2因此有v max ＝2xt 1＋t 2＝2×5020m/s ＝5 m/s.解法3(图象法)：作出汽车运动全过程的v －t 图象，如图1－2－5所示，v －t 图线与t 轴围成的三角形的面积等于位移的大小，故x ＝v max t 2，所以v max ＝2x t ＝2×5020m/s ＝5 m/s.图1－2－5答案：5 m/s例题7、（综合运用）如图5所示，小球沿足够长的斜面向上做匀变速运动，依次经a 、b 、c 、d 到达最高点e .已知ab ＝bd ＝6 m ，bc ＝1 m ，小球从a 到c 和从c 到d 所用的时间都是2 s ，设小球经b 、c 时的速度分别为v b 、v c ，则( BD )图5A ．v b ＝2 2 m /sB ．v c ＝3 m/sC ．x de ＝3 mD ．从d 到e 所用时间为4 s解析 小球沿斜面向上做匀减速直线运动，因T ac ＝T cd ＝T ，故c 点对应a 到d 的中间时刻，故v c ＝x ad 2T ＝6＋62×2m /s ＝3 m/s ，故B 正确；因x ac ＝x ab ＋x bc ＝7 m ，x cd ＝x bd －x bc ＝5 m ，故加速度大小为a ＝x ac －x cd T 2＝0.5 m/s 2，由v c ＝aT ce 得T ce ＝v c a ＝6 s ，则T de ＝T ce —T cd ＝4 s ，x ce＝12aT 2ce＝9 m ，x de ＝x ce －x cd ＝4 m ，故C 错误，D 正确；由v 2b －v 2c ＝2a ·x bc 可得，v b ＝10 m/s ，A 错误． 例题8、（刹车类）汽车以20 m/s 的速度在平直公路上行驶，急刹车时的加速度大小为5 m/s 2，则自驾驶员急踩刹车开始，2 s 与5 s 内汽车的位移之比为( )A ．5∶4B ．4∶5C ．3∶4D ．4∶3解析：刹车后到停止所用时间t ＝v 0a ＝205s ＝4 s ，经2 s 位移x 1＝v 0t －12at 2＝20×2 m －12×5×22m ＝30 m ．5 s 内的位移即4 s 内的位移x 2＝v 202a ＝2022×5m ＝40 m ，故而x 1x 2＝34，C 正确．答案：C例题9、（刹车类）如图1－2－6所示，在倾角θ＝37°的粗糙斜面的顶端和底端各放置两个相同小木块A 和B ，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5.某时刻将小木块A 自由释放，同一时刻让小木块B 获得初速度v ＝6 m/s 沿斜面上升，已知两木块在斜面的中点位置相遇，则两小木块相遇所用的时间为(sin37°＝0.6，g 取10 m/s 2)( )A ．0.6 sB ．1.0 sC ．1.2 sD ．1.8 s【解析】 A 沿斜面加速下滑，加速度a 1＝g (sin37°－μcos37°)＝2 m/s 2，B 沿斜面减速上滑，加速度a 2＝g (sin37°＋μcos37°)＝10 m/s 2，减速到速度为零需要的时间t 0＝va 2＝0.6 s, 减速到零后，B 沿斜面加速下滑，加速度为a 1.两木块在斜面的中点相遇，滑动距离相等，12a 1t 2＝v t －12a 2t 2，则t ＝2v a 1＋a 2＝1 s>t 0，不合理，说明两木块相遇时B 已经沿斜面下滑．B 上滑的最大位移x ＝v 22a 2＝1.8 m ，由x －12a 1(t －t 0)2＝12a 1t 2可得：t ＝1.2 s 或t ＝－0.6 s(舍去)，故C 正确，A 、B 、D 错误． 【答案】 C四、达标练习练习1：(基本公式）(2018年高考·课标全国卷Ⅰ)高铁列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动．在启动阶段，列车的动能( )A ．与它所经历的时间成正比B ．与它的位移成正比C ．与它的速度成正比D ．与它的动量成正比解析：初速度为零的匀加速直线运动有公式：位移与速度的平方成正比，而动能与速度的平方成正比，则动能与位移成正比，故选B.答案：B 练习2：一辆汽车在平直公路上做刹车实验，若从0时刻起汽车在运动过程中的位移与速度的关系式为x ＝(10－0.1v 2) m ，则下列分析正确的是( C ) A ．上述过程的加速度大小为10 m/s 2 B ．刹车过程持续的时间为5 s C ．0时刻的初速度为10 m/s D ．刹车过程的位移为5 m解析 由v 2－v 20＝2ax 可得x ＝12a v 2－12a v 20，对照x ＝(10－0.1v 2) m ，可知a ＝－5 m /s 2，v 0＝10 m/s ，选项A 错误，C 正确；由v ＝v 0＋at 可得刹车过程持续的时间为t ＝2 s ，由v 2－v 20＝2ax 可得刹车过程的位移x ＝10 m ，选项B 、D 错误．练习3：（重要推论）一个做匀变速直线运动的质点，初速度为0.5m/s ，第9s 内的位移比第5s 内的位移多4m ，则该质点的加速度、9s 末的速度和质点在9s 内通过的位移分别是( C ) A ．a ＝1m /s 2，v 9＝9 m/s ，x 9＝40.5m B ．a ＝1m /s 2，v 9＝9 m/s ，x 9＝45m C ．a ＝1m /s 2，v 9＝9.5 m/s ，x 9＝45m D ．a ＝0.8m /s 2，v 9＝7.7 m/s ，x 9＝36.9m解析 根据匀变速直线运动的规律，质点t ＝8.5s 时刻的速度比在t ＝4.5s 时刻的速度大4m/s ，所以加速度a ＝Δv Δt ＝4m/s 4s ＝1m /s 2，v 9＝v 0＋at ＝9.5 m/s ，x 9＝12(v 0＋v 9)t ＝45m ，选项C 正确．练习4：（重要推论）一物体以初速度v 0做匀减速运动，第1s 内通过的位移为x 1＝3m ，第2s 内通过的位移为x 2＝2m ，又经过位移x 3物体的速度减小为0，则下列说法中正确的是( BCD )A ．初速度v 0的大小为2.5m/sB ．加速度a 的大小为1m/s 2C ．位移x 3的大小为1.125mD ．位移x 3内的平均速度大小为0.75m/s解析 本题考查了匀变速直线运动，意在考查学生对匀变速直线运动规律的灵活应用．由Δx＝aT 2可得加速度的大小a ＝1m/s 2，则B 正确；第1s 末的速度v 1＝x 1＋x 22T＝2.5m /s ，则A 错误；物体的速度由2.5 m/s 减速到0所需时间t ＝Δv－a＝2.5s ，经过位移x 3的时间t ′为1.5s ，故x 3＝12at ′2＝1.125m ，C 正确；位移x 3内的平均速度v ＝x 3t ′＝0.75m/s ，则D 正确. 练习5：（重要推论）物体做匀加速直线运动，在时间T 内通过位移x 1到达A 点，接着在时间T 内又通过位移x 2到达B 点，则物体( AB )A ．在A 点的速度大小为x 1＋x 22TB ．在B 点的速度大小为3x 2－x 12TC ．运动的加速度为2x 1T 2 D ．运动的加速度为x 1＋x 2T2解析 匀变速直线运动全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则v A ＝v ＝x 1＋x 22T，A 正确．设物体的加速度为a ，则x 2－x 1＝aT 2，所以a ＝x 2－x 1T 2，C 、D 均错误．物体在B 点的速度大小为v B ＝v A ＋aT ，代入数据得v B ＝3x 2－x 12T，B 正确．练习6：（重要推论）如图所示，物体自 O 点由静止开始做匀加速直线运动，A 、B 、C 、D 为其运动轨迹上的四点，测得AB=2m ， BC=4m ，且物体通过AB 、BC 、CD 所用的时间相等，则下列说法正确的是( D )A ．可以求出物体加速度的大小 B. 可以求得B 点速度大小ABCDOC ．可以求得OA 之间的距离为1.125m D.可以求得OA 之间的距离为0. 25m练习7：（图像法）一辆车由静止开始作匀变速直线运动，在第8 s 末开始刹车，经4 s 停下来，汽车刹车过程也是匀变速直线运动，那么前后两段加速度的大小之比和位移之比x 1 ׃ x 2分别是( C )A 、=1：4 ，x 1 ׃ x 2=1：4B 、=1：2，x 1 ׃ x 2=1：4C 、=1：2 ，x 1 ׃ x 2=2：1D 、=4：1 ，x 1 ׃ x 2=2：1练习8：（图像法）在一次救灾活动中，一辆救灾汽车由静止开始做匀变速直线运动，刚运动了8s ，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以又紧急刹车，匀减速运动经4s 停在巨石前．则关于汽车的运动情况，下列说法正确的是( BC ) A ．加速、减速中的加速度大小之比为a 1∶a 2等于2∶1 B ．加速、减速中的平均速度大小之比v 1∶v 2等于1∶1 C ．加速、减速中的位移大小之比x 1∶x 2等于2∶1 D ．加速、减速中的加速度大小之比a 1∶a 2不等于1∶2解析 汽车由静止运动8s ，又经4s 停止，加速阶段的末速度与减速阶段的初速度相等，由v＝at ，知a 1t 1＝a 2t 2，a 1a 2＝12，A 、D 错；又由v 2＝2ax 知a 1x 1＝a 2x 2，x 1x 2＝a 2a 1＝21，C 对；由v ＝v2知，v 1∶v 2＝1∶1，B 对． 练习9：（比例式）一物体做初速度为零的匀加速直线运动，将其运动时间顺次分为1∶2∶3的三段，则每段时间内的位移之比为( C )A ．1∶3∶5B ．1∶4∶9C ．1∶8∶27D ．1∶16∶81练习10：（思维转化、比例式）汽车遇紧急情况刹车，经1.5 s 停止，刹车距离为9 m ．若汽车刹车后做匀减速直线运动，则汽车停止前最后1 s 的位移是( B ) A ．4.5 m B ．4 m C ．3 m D ．2 m练习11：（比例式）如图1所示，一小球从A 点由静止开始沿斜面向下做匀变速直线运动，若到达B 点时速度为v ，到达C 点时速度为2v ，则AB ∶BC 等于( C )图1A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4解析 由v 2－v 20＝2ax 得，x AB ＝v 22a .x BC ＝(2v )2－v 22a ＝3v 22a ，所以x AB ∶x BC ＝1∶3，C 正确.练习12：（比例式、重要推论）骑自行车的人由静止开始沿直线运动，在第1s 内通过1m 、第2s 内通过2m 、第3s 内通过3m 、第4s 内通过4m 。

1．做匀加速直线运动的质点，运动了时间t ，下列说法中正确的是( ) A ．它的初速度越大，通过的位移一定越大 B ．它的加速度越大，通过的位移一定越大 C ．它的末速度越大，通过的位移一定越大 D ．它的平均速度越大，通过的位移一定越大解析：选D.根据公式x ＝v 0t ＋12at 2，位移x 由v 0、a 、t 共同决定，所以选项A 、B 、C错；又由x ＝v ·t 得t 相同时，v 越大，则x 越大，选项D 对．2．一辆农用“小四轮”漏油，假如每隔1 s 漏下一滴，车在平直公路上行驶，一同学根据漏在路面上的油滴分布情况，分析“小四轮”的运动情况(已知车的运动方向)．下列说法正确的是( )A ．当沿运动方向油滴始终均匀分布时，车可能做匀速直线运动B ．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车一定在做匀加速直线运动C ．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在减小D ．当沿运动方向油滴间距逐渐增大时，车的加速度可能在增大解析：选ACD.由于油滴分布均匀，即在每秒钟内车通过的位移相同，故A 正确；由Δx ＝aT 2知，如果Δx 都相同，车可能做匀加速直线运动，如果Δx 逐渐变大，则a 变大．B 错，D 正确；Δx 逐渐变大，a 可能变小，C 正确．3．汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v 时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的全部时间为t ，则汽车通过的全部位移为( )A.13v tB.12v tC.23v tD.14v t 解析：选B.匀变速直线运动中一段时间内的平均速度等于该段时间初、末速度的平均值，由题意知，汽车在加速和减速两过程的平均速度均为v 2，故全程的位移x ＝12v t ，B 项正确．4.某物体做直线运动，物体的速度—时间图线如图2所示，若初速度的大小为v 0，末速度的大小为v ，则在时间t 1内物体的平均速度是( )图2A ．等于(v 0＋v )/2B ．小于(v 0＋v )/2C ．大于(v 0＋v )/2D ．条件不足，无法比较解析：选C.若物体做初速度为v 0，末速度为v 的匀变速直线运动时，在时间0～t 1内的位移为图中阴影部分的面积，即x ＝12(v 0＋v )t 1，其平均速度为v ＝x t 1＝v 0＋v 2，但物体实际的v －t 图象中图线与时间轴包围的面积大于阴影部分的面积，所以平均速度应大于v 0＋v2，故A 、B 、D 均错，C 正确．5．在测定匀变速直线运动的加速度的实验中，使用打点计时器测量小车做匀变速直线运动的加速度，实验得到的一条纸带如图3所示，0、1、2、3、…是选用的计数点，每相邻的计数点间还有4个打出的点没有在图上标出．图中还画出了某次实验将刻度尺靠在纸带上进行测量的情况，则小车在打2计数点时的瞬时速度为__________m/s ，小车的加速度的大小是__________m/s 2(保留两位有效数字)．图3解析：v 2＝x 132T ＝(22.60－12.60)×10－22×0.1m/s ＝0.50 m/sx 01＝(12.60－10.00)×10－2 m ＝2.60×10－2 mx 34＝(30.00－22.60)×10－2 m ＝7.40×10－2 m x 34－x 01＝3aT 2∴a ＝x 34－x 013T 2＝(7.40－2.60)×10－23×0.12m/s 2＝1.6 m/s 2. 答案：0.50 1.66．做匀加速直线运动的物体，从某时刻起，在第3 s 内和第4 s 内的位移分别是21 m 和27 m ，求加速度和“开始计时”时的速度．解析：x 1＝21 m ，x 2＝27 m ，T ＝1 s 据x 2－x 1＝aT 2得a ＝x 2－x 1T 2＝27－2112m/s 2＝6 m/s 2 物体在3 s 末的速度 v ＝x 1＋x 22T ＝21＋272×1m/s ＝24 m/s所以物体的初速度v 0＝v －at ＝24 m/s －6×3 m/s ＝6 m/s. 答案：6 m/s 2 6 m/s7.如图4所示是用某监测系统每隔2.5 s 拍摄火箭起始加速阶段的一组照片．已知火箭的长度为40 m ，现在用刻度尺测量照片上的长度关系，结果如图所示．请你估算火箭的加速度a 和火箭在照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度大小v .图4解析：从照片上可得，刻度尺的1 cm 相当于实际长度20 m ．量出前后两段位移分别为4.00 cm 和6.50 cm ，对应的实际位移分别为80 m 和130 m ．由Δx ＝aT 2可得a ＝8 m/s 2，再根据这5 s 内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可得照片中第2个像所对应时刻的瞬时速度v ＝80＋1302×2.5m/s ＝42 m/s.答案：8 m/s 2 42 m/s8.从斜面上某一位置，每隔0.1 s 释放一个相同的小球．在连续放下n 个小球以后，给在斜面上滚动的小球拍摄照片，如图5所示，测得AB ＝15 cm ，BC ＝20 cm ，试求：图5(1)小球滚动的加速度； (2)拍摄时B 球的速度； (3)D 与C 之间的距离．解析：因为每隔0.1 s 放下一个相同的小球，所以斜面上任何相邻两球的运动时间差都相等，都是0.1 s ，这些小球所构成的运动情景与打点计时器在纸带上留下的物体运动的点迹相似，因此可以用相同的方法处理数据．令T ＝0.1 s ，由公式Δx ＝aT 2得(1)小球滚动的加速度 a ＝Δx T 2＝BC －AB T 2＝20－150.12 cm/s 2＝500 cm/s 2＝5 m/s 2； (2)此时B 球的速度v B ＝v AC ＝AB ＋BC 2T ＝15＋202×0.1cm/s ＝175 cm/s ＝1.75 m/s ；(3)此时C 球的速度v C ＝v B ＋aT ＝(1.75＋5×0.1)m/s ＝2.25 m/s ； 同理，此时D 球的速度v D ＝v C ＋aT ＝(2.25＋5×0.1) m/s ＝2.75 m/s ； D 与C 间的距离x CD ＝v T ＝T (v C ＋v D )2＝0.1×2.25＋2.752m ＝0.25 m.答案：(1)5 m/s 2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m。

习题课 匀变速直线运动的推论(一)匀变速直线运动的两个根本公式速度公式 v ＝v 0＋at ，当v 0＝0时，v ＝at 位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，当v 0＝0时，x ＝12at 2由于运动学局部的公式较多，并且各公式之间又相互联系，因此本章中的一些题目常可一题多解．在解题时要开阔思路，联想比拟，筛选出最便捷的解题方案，从而简化解题过程．匀变速直线运动根本公式的选用1．四个公式的比拟一般形式 特殊形式(v 0＝0) 不涉及的物理量速度公式 v ＝v 0＋at v ＝at x 位移公式 x ＝v 0t ＋12at 2 x ＝12at 2 v 速度位移关系式 v 2－v 20＝2ax v 2＝2ax t 平均速度求位移公式x ＝v 0＋v2tx ＝v 2ta2.公式的应用步骤(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图． (2)明确研究对象，明确量、待求量．(3)规定正方向(一般取初速度v 0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负． (4)选择适当的公式求解．(5)判断所得结果是否符合实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向．一滑块自静止开场从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5 s 末的速度是6 m/s ，试求：(1)4 s 末的速度． (2)运动后5 s 内的位移． (3)第5 s 内的位移． [解析] (1)滑块的加速度：a ＝v －v 0t ＝6－05m/s 2＝1.2 m/s 24 s 末的速度：v 4＝at ′＝1.2×4 m/s＝4.8 m/s.(2)法一：由x ＝12at 2得：x ＝12××52 m ＝15 m.法二：由x ＝v 0＋v2·t 得：x ＝0＋62×5 m ＝15 m. 法三：由v 2＝2ax 得：x ＝v 22a ＝622×1.2m ＝15 m. (3)法一：第5 s 内的位移等于前5 s 内的位移减去前4 s 内的位移： Δx ＝x －12at ′2＝15 m －12××42m ＝5.4 m.法二：Δx ＝v 4＋v2Δt ＝错误!×1 m ＝5.4 m.法三：由v 2－v 24＝2a ·Δx 得：Δx ＝v 2－v 242a ＝6222×1.2m ＝5.4 m.[答案] (1)4.8 m/s (2)15 m (3)5.4 m巧选运动学公式的根本方法公式中共涉及v 0、v 、a 、t 、x 五个物理量，而每个公式中都含有四个量，因此明确三个量就可求出另外的两个量，恰中选择公式可到达事半功倍的效果，方法如下：无位移x ，也不需求位移选用速度公式v ＝v 0＋at无末速度v ，也不需求末速度选用位移公式x ＝v 0t ＋12at 2无运动时间t ，也不需要求运动时间选用速度位移公式v 2－v 20＝2ax没有加速度a ，也不涉及加速度选用平均速度位移公式x ＝v 0＋v 2t1．一质点做匀变速直线运动，第3 s 内的位移为12 m ，第5 s 内的位移为20 m ，试求： (1)该质点的初速度和加速度．(2)该质点5 s 内的位移．解析：(1)第3 s 内的位移等于前3 s 内位移与前2 s 内位移之差，即Δx 3＝x 3－x 2＝12 m ， 代入数据得v 0×3＋12a ×32－(v 0×2＋12a ×22)＝12①同理可得：v 0×5＋12a ×52－(v 0×4＋12a ×42)＝20②联立①②解得v 0＝2 m/s ，a ＝4 m/s 2. (2)5 s 内的位移为x ＝v 0t 5＋12at 25＝60 m.答案：(1)2 m/s 4 m/s 2(2)60 m2．一滑雪运发动从85 m 长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s ，末速度是5.0 m/s ，滑雪运发动通过这段斜坡需要多长时间？解析：法一(利用速度公式和位移公式求解)v t ＝v 0＋at ，x ＝v 0t ＋12at 2代入数据解得a ＝0.128 m/s 2，t ＝25 s. 法二(利用位移与速度的关系式和速度公式求解) 由v 2t －v 20＝2ax得a ＝v 2t －v 202x＝0.128 m/s 2由v t ＝v 0＋at 得t ＝v t －v 0a＝25 s. 答案：25 s匀变速直线运动推论的应用平 均 速 度 公 式内容做匀变速直线运动的物体，在一段时间t 内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．即v －＝v 0＋v2＝v t 2推导v －＝Δx Δt＝v 0t ＋12at 2t＝v 0＋12at而v t 2＝v 0＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2故v －＝v 0＋12at ＝v t 2将v ＝v 0＋at 代入上式可得 v －＝v 0＋v2＝v t 2适用范围 匀变速直线运动续 表位 移 中 点 的 瞬 时 速 度推导在匀变速直线运动中，对于一段位移x ，设初速度为v 0，末速度为v ，加速度为a ，位移中点的瞬时速度为v x 2，前一半位移有v 2x 2－v 20＝2a ·x2＝ax ，后一半位移有v 2－v 2x 2＝2a ·x2＝ax ；联立以上两式有v 2x 2－v 20＝v 2－v 2x 2，所以v x 2＝v 20＋v22比拟在v －t 图象中，速度图线与时间轴围成的“面积〞表示位移．当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v x 2>v t 2；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v x 2>v t 2故当物体做匀速运动时，v x 2＝v t 2；当物体做匀变速直线运动时，v x 2>v t 2逐 差 相 等 公 式内容在任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移之差是一个常量，即Δx＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2；假设x m 和x n 分别为第m 段、第n 段位移，那么x m －x n ＝(m －n )aT 2推导 在时间T 内的位移x 1＝v 0T ＋12aT 2①，在时间2T 内的位移x 2＝v 0×2T＋12a (2T )2②，那么x Ⅰ＝x 1，x Ⅱ＝x 2－x 1③；由①②③得Δx ＝x Ⅱ－x Ⅰ＝aT 2作用 一是用来判断物体是否做匀变速直线运动，二是用来求加速度适用 范围匀变速直线运动有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m 和64 m ，连续相等的时间为4 s ，求物体的初速度和加速度是多少．[解析] 由题意可画出物体的运动示意图：法一：逐差法由Δx ＝aT 2可得a ＝Δx T 2＝64－2442m/s 2＝2.5 m/s 2① 又x 1＝v A T ＋12aT 2②v C ＝v A ＋a ·2T ③由①②③式解得v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s. 法二：平均速度公式法连续两段时间T 内的平均速度分别为 v －1＝x 1T ＝244 m/s ＝6 m/sv －2＝x 2T ＝644m/s ＝16 m/s由于B 是A 、C 的中间时刻，那么v －1＝v A ＋v B 2，v －2＝v B ＋v C2又v B ＝v A ＋v C2＝v －1＋v －22＝6＋162m/s ＝11 m/s解得v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s 其加速度a ＝v C －v A 2T ＝21－12×4m/s 2＝2.5 m/s 2. 法三：根本公式法由位移公式得：x 1＝v A T ＋12aT 2x 2＝v A ·2T ＋12a (2T )2－⎝⎛⎭⎪⎫v A T ＋12aT 2v C ＝v A ＋a ·2T将x 1＝24 m ，x 2＝64 m ，T ＝4 s 代入上式， 解得a ＝2.5 m/s 2，v A ＝1 m/s ，v C ＝21 m/s. [答案] 1 m/s 2.5 m/s 2【达标练习】1．(2021·濮阳期末)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v 1，经过t 时间运动的位移为x ，速度变为v 2，那么以下说法错误的选项是( )A ．平均速度等于x tB ．平均速度等于v 1＋v 22C ．中间位置的瞬时速度等于x tD ．中间时刻的瞬时速度等于v 1＋v 22解析：选C.根据平均速度的定义可得平均速度为v －＝xt，故A 正确；物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初末速度和的一半，即v －＝v 1＋v 22，故B 正确；设中间位置的瞬时速度为v ，匀变速运动加速度为a ，那么v 2－v 21＝2a ·x 2①，v 22－v 2＝2a ·x 2②，①②式联立解得：v ＝v 21＋v 222，故C 错误；物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初末速度和的一半，即v t 2＝v 1＋v 22＝xt，故D 正确． 2．(多项选择)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A 、B 两点时的速度分别为v 1和v 2，那么以下结论中正确的有( )A ．物体经过AB 位移中点的速度为v 1＋v 22B ．物体经过AB 位移中点的速度为 v 21＋v 222C ．物体通过AB 这段位移的平均速度为v 1＋v 22D ．物体通过AB 这段位移所用时间的中间时刻的速度为v 1＋v 22解析：选BCD.设经过位移中点时的速度为v x 2，那么对前半段的位移有2a ·x2＝v 2x 2－v 21，对后半段的位移有2a ·x2＝v 22－v 2x 2，由这两式得v x 2＝v 21＋v 222，选项A 错误，B 正确；对匀变速直线运动而言，总有v ＝v t 2＝v 1＋v 22，选项C 、D 正确．3．(多项选择)做初速度不为零的匀加速直线运动的物体，在时间T 内通过位移x 1到达A点，接着在时间T 内又通过位移x 2到达B 点，那么以下判断正确的选项是( )A ．物体在A 点的速度为x 1＋x 22T B ．物体运动的加速度为2x 1T2 C ．物体运动的加速度为x 2－x 1T 2D ．物体在B 点的速度为3x 2－x 12T解析：选ACD.根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知：v A ＝x 1＋x 22T ，故A 正确；根据x 2－x 1＝aT 2得物体运动的加速度为：a ＝x 2－x 1T2，故B 错误，C 正确；在该加速运动过程中有：v B ＝v A ＋aT ＝x 1＋x 22T ＋x 2－x 1T ＝3x 2－x 12T，故D 正确．一、选择题1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m 的电线杆共用5 s 时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s ，那么经过第一根电线杆时的速度为( )A ．2 m/sB ．10 m/sC ．2.5 m/sD ．5 m/s解析：选D.根据平均速度公式可知v ＝x t ＝v 0＋v t 2，即505 m/s ＝v 0＋15 m/s2，得v 0＝5 m/s ，所以D 选项正确．2．(2021·晋中期末)某质点由A 经B 到C 做匀加速直线运动历时4 s ．前2 s 和后2 s 位移分别为AB ＝8 m 和BC ＝12 m ，该质点的加速度大小及B 点的瞬时速度的大小分别是( )A ．1 m/s 25 m/s B ．2 m/s 25 m/s C ．1 m/s 2 10 m/sD ．2 m/s 210 m/s解析：选A.根据Δx ＝aT 2得，质点的加速度a ＝Δx T 2＝BC －AB T 2＝12－84 m/s 2＝1 m/s 2；B 点的瞬时速度v B ＝AB ＋BC 2T ＝8＋124m/s ＝5 m/s.故A 正确，B 、C 、D 错误． 3.(多项选择)(2021·红塔区校级期末)如下图，光滑斜面AD 被分成三个长度相等的局部，即AB ＝BC ＝CD ，一小物体从A 点由静止开场下滑，以下结论中正确的选项是( )A ．物体到达各点的速率为vB ∶vC ∶vD ＝1∶2∶3B ．物体在AB 段和BC 段的平均速度之比为(2－1)∶1 C ．物体通过B 、C 、D 三点的速度满足v C ＝v 2B ＋v 2D2D ．物体通过B 、C 、D 三点的速度满足v C ＝v B ＋v D2解析：选BC.由速度位移关系式有：v 2B ＝2aAB ，v 2C ＝2aAC ，v 2D ＝2aAD ，由AB ＝BC ＝CD ，可得v B ∶v C ∶v D ＝1∶2∶3，故A 错误；物体在AB 段的平均速度为v AB ＝v B2，物体在BC 段的平均速度为v BC ＝v B ＋v C2，由前面的分析可得v AB ∶v BC ＝(2－1)∶1，故B 正确；由公式v x 2＝v 2＋v 202可得v C ＝v 2B ＋v 2D2，故C 正确，D 错误．4．一个小球从斜面的顶端由静止开场匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s ，那么小球到达斜面底端时的速度为( )A ．4 m/sB ．5 m/sC ．6 m/sD ．3 2 m/s解析：选D.设斜面长为L ，加速度为a ，到底端的速度为v ，那么由v x 2＝v 20＋v22得3 m/s＝v 22，所以v ＝3 2 m/s ，D 正确．5．做匀变速直线运动的物体在时间t 内的位移为s ，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v 1，这段位移中间位置的瞬时速度为v 2，那么( )A ．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v 1<v 2B ．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v 1>v 2C ．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v 1＝v 2D ．匀加速直线运动时，v 1<v 2；匀减速直线运动时，v 1>v 2解析：选A.画出匀加速直线运动与匀减速直线运动的v －t 图象，如图甲、乙所示，由图知v 1<v 2，应选项A 正确．6．(多项选择)(2021·新疆高一期中)如下图，物体自O 点由静止开场做匀加速直线运动，A 、B 、C 、D 为其运动轨迹上的四点，测得AB ＝2 m ，BC ＝3 m ．且物体通过AB 、BC 、CD 所用的时间相等，那么以下说法正确的选项是( )A ．可以求出物体加速度的大小B ．可以求得CD ＝4 mC ．可以求得OA 之间的距离为1.125 mD ．可以求得OB 之间的距离为12.5 m解析：选BC.由Δs ＝at 2可得物体的加速度a 的大小为a ＝Δs t 2＝3－2t 2＝1t2，因为不知道时间，所以不能求出加速度，故A 错误；根据s CD －s BC ＝s BC －s AB ＝1 m ，可知s CD ＝(3＋1) m ＝4 m ，故B 正确；物体经过B 点时的瞬时速度为v B ＝v AC ＝52t，再 v 2t ＝2as 可得O 、B 两点间的距离为s OB ＝v 2B2a ＝254t 2·t 22＝3.125 m ，所以O 与A 间的距离为 s OA ＝s OB －s AB ＝(3.125－2)m ＝1.125 m ，故C 正确，D 错误．7．(2021·浙江模拟)一物体做匀变速直线运动，在通过第一段位移x 1的过程中，其速度变化量为Δv ，紧接着通过第二段位移x 2，速度变化量仍为Δv .那么关于物体的运动，以下说法正确的选项是( )A ．第一段位移x 1一定大于第二段位移x 2B ．两段运动所用时间一定不相等C ．物体运动的加速度为〔Δv 〕2x 2－x 1D ．通过两段位移的平均速度为〔x 2＋x 1〕Δvx 2－x 1解析：选C.两段过程中速度的变化量相等，根据t ＝Δva知，两段过程中运动的时间相等，假设做匀加速直线运动，第一段位移小于第二段位移，假设做匀减速直线运动，第一段位移大于第二段位移，故A 、B 错误；两段过程的时间相等，设为Δt ，那么有：x 2－x 1＝a Δt 2，又Δv ＝a Δt ，解得物体的加速度a ＝〔Δv 〕2x 2－x 1，故C 正确；运动的总时间t ＝2×Δv a ＝2〔x 2－x 1〕Δv ，那么通过两段位移的平均速度v －＝x 1＋x 2t ＝〔x 1＋x 2〕Δv2〔x 2－x 1〕，故D 错误．二、非选择题8．从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s 时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速直线运动至停车，总共历时20 s ，行进了 50 m ，求汽车的最大速度．解析：法一 公式法 设最大速度为v m ，由题意可得x ＝12a 1t 21＋v m t 2－12a 2t 22① t ＝t 1＋t 2② v m ＝a 1t 1③ 0＝v m －a 2t 2④由①②③④式整理得：v m ＝2x t 1＋t 2＝2×5020m/s ＝5 m/s. 法二 图象法作出汽车运动全过程的v －t 图象如下图，v －t 图线与t 轴围成的三角形的面积与位移相等，故x ＝v m t2，所以v m ＝2xt＝2x t 1＋t 2＝2×5020m/s ＝5 m/s.答案：5 m/s9．(2021·甘肃兰州高一期末)小明同学乘坐京石“和谐号〞动车，发现车厢内有速率显示屏．当动车在平直轨道上经历匀加速、匀速与再次匀加速运行期间，他记录了不同时刻的速率，进展换算后数据列于表格中．在0～600 s 这段时间内，求：t /sv /(m ·s －1)0 30 100 40 300 50 400 50 500 60 550 70 60080(1)动车两次加速的加速度大小； (2)动车位移的大小．解析：(1)通过记录表格可以看出，动车组有两个时间段处于加速状态，设加速度分别为a 1、a 2.由a ＝ΔvΔt，代入数据得：a 1＝40－30100m/s 2＝0.1 m/s 2a 2＝70－6050m/s 2＝0.2 m/s 2. (2)通过作出动车组的v －t 图可知，第一次加速运动的完毕时间是200 s ，第二次加速运动的开场时刻是450 s..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。