2015年湖北省高考数学试卷(文科)

2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

6072．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内×4．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l26．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=的定义域为（），7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（），而左边，而左边，而左边=xsgnx=，显然正确；8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）”==；；9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时=∴﹣，10．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元二、填空题11．（3分）（2015•湖北）已知向量，||=3，则=9．，所以=0﹣，即212．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为10．得13．（3分）（2015•湖北）函数的零点个数为2．14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=3．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为6000．15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．h=，h=100．16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为﹣1﹣．）由题意，圆的半径为=））1+）﹣﹣）．17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=2﹣2时，g（a）的值最小．2﹣2时，=∵=﹣，[）；，故答案为：三、解答题18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）π（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．2））图象上所有点向左平移（）﹣]2x+）=k﹣，．（﹣19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．，写出、，由题意可得，或；=•••∴+3+5+7+•∴+++﹣﹣20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．====．CD==21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．时，＞，（=）＞×==时，＞，故，故＜22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．其方程为．=k（，，）|PQ|==|PQ|d=|m||x|m|||=| =||=8|时，＜（时，∴1+。

数学试卷 第1页（共36页）数学试卷 第2页（共36页）数学试卷 第3页（共36页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i = （ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关.下列结论中正确的是 （ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．1l ，2l 表示空间中的两条直线，若p ：1l ，2l 是异面直线；q ：1l ，2l 不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4] D ．(1,3)(3,6]-7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =8．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 （ ）A ．对任意的a ，b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的a ，b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+∈Z ≤，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =∈Z ≤≤，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中的横线上. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则 OA OB =___________.12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≤≥则3x y +的最大值是___________.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为___________.14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准方程为_________；（Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a .当a =_________时，()g a 的值最小. --------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共36页）数学试卷 第5页（共36页）数学试卷 第6页（共36页）三、 解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图（Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE .（Ⅰ）证明：DE PBC ⊥平面.试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值.21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()f x +()g x e x =，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x ＞时，()0f x ＞，()1g x ＞； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x ＞时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-+-＜＜. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ON =1=，3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷)(]3,4，故选【提示】根据函数成立的条件进行求解即可3 / 124心圆点所有黄心圆点，共45个，故A B⊕中元素的个数为45故选C.第Ⅱ卷5 / 126【解析】作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是3,11,31,3--()，()，()，平行移动直线3y x =-，求可知当2tan30100︒=7 / 12812a aa =-)1；当29 / 121011 / 1212。

2015湖北卷(文数)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(2015高考湖北卷,文1)i为虚数单位,i607等于( B )(A)i (B)-i (C)1 (D)-1解析:i607=(i2)303·i=(-1)303·i=-i.2.(2015高考湖北卷,文2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( B )(A)134石(B)169石(C)338石 (D)1365石解析:依题意,这批米内夹谷为×1 534≈169(石).3.(2015高考湖北卷,文3)命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是( A )(A)∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1(B)∀x∉(0,+∞),ln x=x-1(C)∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1(D)∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1解析:该命题的否定是将存在量词改为全称量词,等号改为不等号即可,故选A.4.(2015高考湖北卷,文4)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是( C )(A)x与y正相关,x与z负相关(B)x与y正相关,x与z正相关(C)x与y负相关,x与z负相关(D)x与y负相关,x与z正相关解析:由y=-0.1x+1,知x与y负相关,即y随x的增大而减小,又y与z正相关,所以z随y的增大而增大,减小而减小,所以z随x的增大而减小,x与z负相关,故选C.5.(2015高考湖北卷,文5)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( A )(A)p是q的充分条件,但不是q的必要条件(B)p是q的必要条件,但不是q的充分条件(C)p是q的充分必要条件(D)p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析:两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件,故选A.6.(2015高考湖北卷,文6)函数f(x)=+lg的定义域为( C )(A)(2,3) (B)(2,4](C)(2,3)∪(3,4] (D)(-1,3)∪(3,6]解析:依题意知,即即函数的定义域为(2,3)∪(3,4].7.(2015高考湖北卷,文7)设x∈R,定义符号函数sgn x=则( D )(A)|x|=x|sgn x| (B)|x|=xsgn |x|(C)|x|=|x|sgn x (D)|x|=xsgn x解析:当x>0时,|x|=x,sgn x=1,则|x|=xsgn x;当x<0时,|x|=-x,sgn x=-1,则|x|=xsgn x;当x=0时,|x|=x=0,sgn x=0,则|x|=xsgn x,故选D.8.(2015高考湖北卷,文8)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则( D )(A)p1<p2<(B)p2<<p1(C)<p2<p1(D)p1<<p2解析:如图所示,事件“x+y≤”的概率p1===<,事件“xy≤”的概率p2=>,所以p1<<p2,选D.9.(2015高考湖北卷,文9)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( B )(A)对任意的a,b,e1<e2(B)当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2(C)对任意的a,b,e1>e2(D)当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2解析:法一设双曲线C1,C2的半焦距分别为c1,c2,因为-=-=-=-=,所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.法二因为e=,所以越大,e就越大,令λ==.当a>b时,λ>1,e2>e1;当a<b时,0<λ<1,e1>e2.10.(2015高考湖北卷,文10)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为( C )(A)77 (B)49 (C)45 (D)30解析:A={(0,0),(0,-1),(0,1),(1,0),(-1,0)},B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,1 ),(2,2),(2,-1),(2,-2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,-1),(-1,-2),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,-1),(-2,-2)},则依题意知,A⊕B={(0,0),(0,1),(0,2),(0,-1),(0,-2),(1,0),(1,1),(1,2),(1,-1),(1,-2),(2,0),(2,1),(2,2),(2,-1),(2,-2),(-1,0),(-1,1),(-1,2 ),(-1,-1),(-1,-2),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,-1),(-2,-2),(0,-3),(1,-3),(2,-3),(-1,-3),(-2,-3),(0,3),(1,3),(2,3),(-1,3),(-2, 3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,-1),(3,-2),(-3,0),(-3,1),(-3,2),(-3,-1),(-3,-2)},故该集合共有45个元素.二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)11.(2015高考湖北卷,文11)已知向量⊥,||=3,则·= .解析:因为⊥,所以·=·(-)=·-||2=0,则·=||2=9.答案:912.(2015高考湖北卷,文12)若变量x,y满足约束条件则3x+y的最大值是.解析:依题意,可得不等式组所表示的平面区域的三个顶点分别为(3,1),(1,3),(-1,-3),将其代入3x+y的值分别为10,6,-6,因为最值在区域的顶点处取得,所以所求最大值为10.答案:1013.(2015高考湖北卷,文13)函数f(x)=2sin xsin x+-x2的零点个数为.解析:f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,则函数的零点即为函数y=sin 2x与函数y=x2图象的交点,画图知(图略),两图象有2个交点,则函数有2个零点.答案:214.(2015高考湖北卷,文14)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a= ;(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为.解析:(1)0.1×1.5+0.1×2.5+0.1×a+0.1×2+0.1×0.8+0.1×0.2=1,解得a=3.(2)区间[0.5,0.9]内的频率为1-0.1×1.5-0.1×2.5=0.6,则该区间内购物者的人数为10 000×0.6=6 000.答案:(1)3 (2)6 00015.(2015高考湖北卷,文15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.解析:在△ABC中,∠BAC=30°,∠BCA=75°-30°=45°,所以由正弦定理得,BC=·AB=×600=×600=300.在△BCD中,CD=BCtan 30°=300×=100.故此山的高度为100m.答案:10016.(2015高考湖北卷,文16)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.解析:(1)过点C作CM⊥AB于M,连接AC(图略),则|CM|=|OT|=1,|AM|=|AB|=1,所以圆的半径r=|AC|==,从而圆心C(1,),即圆的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)令x=0得,y=±1,则B(0,+1),所以直线BC的斜率为k==-1,由直线与圆相切的性质知,圆C在点B处的切线的斜率为1,则圆C在点B处的切线方程为y-(+1)=1×(x-0),即y=x++1,令y=0得,x=--1,故所求切线在x轴上的截距为--1.答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--117.(2015高考湖北卷,文17)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.解析:f(x)=x-2-,其在区间[0,1]上的最大值必在x=0,x=1,x=处产生,即g(a)=max f(0),f(1),f=max0,|1-a|,=max|1-a|,,在同一坐标系中分别画出y=|1-a|,y=的图象可知(图略),在两图象的交点处,g(a)取得最小值,此时1-a=,则a=2-2(-2-2舍去).答案:2-2三、解答题18.(本小题满分12分)(2015高考湖北卷,文18)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)的图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:且函数解析式为f(x)=5sin2x-.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-,因此g(x)=5sin2x+-=5sin2x+.因为函数y=sin x的图象对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z.即y=g(x)图象的对称中心为-,0,k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为-,0.19.(本小题满分12分)(2015高考湖北卷,文19)设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)当d>1时,记c n=,求数列{c n}的前n项和T n.解:(1)由题意有,即解得或故或(2)由d>1,知a n=2n-1,b n=2n-1,故c n=,于是T n=1+++++…+, ①T n=+++++…+②①-②可得T n=2+++…+-=3-,故T n=6-.20.(本小题满分13分)(2015高考湖北卷,文20)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE. (1)证明:DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)记阳马P ABCD的体积为V1,四面体EBCD的体积为V2,求的值.(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.(2)解:由已知,PD是阳马P ABCD的高,所以V1=S四边形ABCD·PD=BC·CD·PD;由(1)知,DE是鳖臑D BCE的高,BC⊥CE,所以V2=S△BCE·DE=BC·CE·DE.在Rt△PDC中,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE=CE=CD,于是===4.21.(本小题满分14分)(2015高考湖北卷,文21)设函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(x)+g(x)=e x,其中e 为自然对数的底数.(1)求f(x),g(x)的解析式,并证明:当x>0时,f(x)>0,g(x)>1;(2)设a≤0,b≥1,证明:当x>0时,ag(x)+(1-a)<<bg(x)+(1-b).证明:(1)由f(x),g(x)的奇偶性及f(x)+g(x)=e x,①得-f(x)+g(x)=e-x.②联立①②解得f(x)=(e x-e-x),g(x)=(e x+e-x).当x>0时,e x>1,0<e-x<1,故f(x)>0.③又由基本不等式,有g(x)=(e x+e-x)>=1,即g(x)>1.④(2)由(1)得f'(x)=e x-'=e x+=(e x+e-x)=g(x),⑤g'(x)=e x+'=e x-=(e x-e-x)=f(x),⑥当x>0时,>ag(x)+(1-a)等价于f(x)>axg(x)+(1-a)x,⑦<bg(x)+(1-b)等价于f(x)<bxg(x)+(1-b)x.⑧设函数h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x.由⑤⑥,有h'(x)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1-c)[g(x)-1]-cxf(x).当x>0时,a.若c≤0,由③④,得h'(x)>0,故h(x)在[0,+∞)上为增函数,从而h(x)>h(0)=0,即f(x)>cxg(x)+(1-c)x,故⑦成立.b.若c≥1,由③④,得h'(x)<0,故h(x)在[0,+∞)上为减函数,从而h(x)<h(0)=0,即f(x)<cxg(x)+(1-c)x,故⑧成立.综上,得ag(x)+(1-a)<<bg(x)+(1-b).22.(本小题满分14分)(2015高考湖北卷,文22)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN 通过N处的铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.图1图2(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解:(1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4.当M,N在x轴上时,等号成立;同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为+=1.(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.②当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m k≠±.由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点.所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P,;同理可得Q,.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|+=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8=81+>8.当0≤k2<时,S△OPQ=8=8-1+.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8-1+≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ取最小值,为8.综合①②可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.。

2015年高考文数真题试卷（湖北卷）一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.（2015·湖北）i为虚数单位，（）A. -iB. iC. -1D. 12. （2015·湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石3.(2015·湖北）命题“，,”的否定是（）A. B.C. ,D.4. （2015·湖北）已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是（）A. 与负相关，与负相关B. 与正相关，与正相关C. 与正相关，与负相关D. 与负相关，与正相关5.（2015·湖北）表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则（）A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6.（2015·湖北）函数的定义域为（）A. B. C. D.7.（2015·湖北）设,定义符号函数,则（）A. B. C. D.8.（2015·湖北）在区间的概率，为事件“”的概率，则（）A. B. C. D.9.(2015·湖北）将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A. 对任意的B. 当时，；当时，C. 对任意的D. 当时，；当时，10.（2015·湖北）已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（）A. 77B. 49C. 45D. 30二.填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，请将答案填在答题卡相对应的位置11.(2015湖北）已知向量，则________ ．12.（2015·湖北）.若变量x,y满足约束条件x+y≤4x-y≤23x-y≥0,则3x+y的最大值是________ ．13.(2015·湖北）函数fx=2sinxsinx+π2-x2的零点个数为________ .14. （2015湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的________ ；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为________ .15.(2015湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度=________ m.16.(2015湖北）a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当________ 时，的值最小.17.(2015·湖北）如图，已知圆c与x轴相切于点T1,0 ，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB=2（Ⅰ）圆C的标准方程为________ ；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________ .三.解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.（2015·湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．19.(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是BC的中点，连接DE,BD,BE(I)证明：DE⊥底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V2的值．20.(2015·湖北）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；（Ⅱ）设，，证明：当时，.四.综合题21.(2015·湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕[MISSING IMAGE: , ]转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（2）（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．答案解析部分一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.【答案】A【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的加减运算，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为,所以应选A.【点评】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.【答案】B【考点】简单随机抽样【解析】【解答】设这批米内夹谷的个数为，则由题意并结合简单随机抽样可知，，既，故应选B。

2015年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607=（）A．﹣i B．i C．1 D．﹣12．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石3．（3分）（2015•湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx|B．|x|=xsgn|x|C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（）A．p1＜p2＜B． C．p2＜D．9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A．对任意的a，b，e1＞e2B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C．对任意的a，b，e1＜e2D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e210．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30二、填空题11．（3分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=．12．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为．13．（3分）（2015•湖北）函数的零点个数为．14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g （a）．当a=时，g（a）的值最小．三、解答题18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：π2πwx+φxAsin（wx+φ）0 5 ﹣5 0（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g （x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2015年湖北文一、选择题（共10小题；共50分）1. i为虚数单位，i607= A. iB. −iC. 1D. −12. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石3. 命题“ ∃x0∈0,+∞，ln x0=x0−1”的否定是 A. ∀x∈0,+∞，ln x≠x−1B. ∀x∉0,+∞，ln x=x−1C. ∃x0∈0,+∞，ln x0≠x0−1D. ∃x0∉0,+∞，ln x0=x0−14. 已知变量x和y满足关系y=−0.1x+1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是 A. x与y正相关，x与z负相关B. x与y正相关，x与z正相关C. x与y负相关，x与z负相关D. x与y负相关，x与z正相关5. l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则 A. p是q的充分条件，但不是q的必要条件B. p是q的必要条件，但不是q的充分条件C. p是q的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6. 函数f x=4− x +lg x2−5x+6x−3的定义域为 A. 2,3B. 2,4C. 2,3∪3,4D. −1,3∪3,67. 设x∈R，定义符号函数sgn x=1,x>0,0,x=0,−1,x<0,则 A. x =x sgn xB. x =x sgn xC. x = x sgn xD. x =x sgn x8. 在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“ x+y≤12”的概率，p2为事件“ xy≤12”的概率，则 A. p1<p2<12B. p2<12<p1 C. 12<p2<p1 D. p1<12<p29. 将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b a≠b同时增加m m>0个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则 A. 对任意的a，b，e1>e2B. 当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2C. 对任意的a，b，e1<e2D. 当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e210. 已知集合A=x,y x2+y2≤1,x,y∈Z，B=x,y x ≤2,y≤2,x,y∈Z，定义集合A⊕B=x1+x2,y1+y2x1,y1∈A,x2,y2∈B，则A⊕B中元素的个数为 A. 77B. 49C. 45D. 30二、填空题（共7小题；共35分）11. 已知向量OA⊥AB，OA=3，则OA⋅OB=．12. 若变量x，y满足约束条件x+y≤4,x−y≤2,3x−y≥0,则3x+y的最大值是．13. 函数f x=2sin x sin x+π2−x2的零点个数为．14. 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位；万元）都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a=；（2）在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为．15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=m．16. 如图，已知圆C与x轴相切于点T1,0，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且AB =2．（1）圆C的标准方程为；（2）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为．17. a 为实数，函数f x = x 2−ax 在区间 0,1 上的最大值记为g a ．当a = 时，g a 的值最小．三、解答题（共5小题；共65分）18. 某同学用“五点法”画函数f x =A sin ωx +φ ω>0, φ <π2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx +φ0π2π3π22πx π5πA sin ωx +φ5−50（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f x 的解析式； （2）将y =f x 图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y =g x 的图象．求y =g x 的图象离原点O 最近的对称中心．19. 设等差数列 a n 的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列 b n 的公比为q ．已知b 1=a 1，b 2=2，q =d ，S 10=100．（1）求数列 a n ， b n 的通项公式； （2）当d >1时，记c n =an b n，求数列 c n 的前n 项和为T n ．20. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P −ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD =CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE ．（1）证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由．（2）记阳马P −ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V1V 2的值．21. 设函数f x ，g x 的定义域均为R ，且f x 是奇函数，g x 是偶函数，f x +g x =e x ，其中e为自然对数的底数．（1）求f x，g x的解析式，并证明：当x>0时，f x>0，g x>1；<bg x+1−b．（2）设a≤0，b≥1，证明：当x>0时，ag x+1−a<f xx22. 一种画椭圆的工具如图（1）所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1:x−2y=0和l2:x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值?若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．答案第一部分1. B2. B3. A4. C5. A6. C7. D8. D9. D 【解析】由题可得e1=1+ba 2，e2=1+b+ma+m2．∵b+ma+m −ba=m a−ba a+m，a>0，b>0，m>0，且a≠b，∴当a>b时，b+ma+m >ba>0，∴b+ma+m 2>ba2，e2>e1；同理可得当a<b时，e1>e2．10. C【解析】A=x,y x2+y2≤1,x,y∈Z=x,y x=±1,y=0;或x=0,y=±1;或x=y=0，共5个点；B=x,y x ≤2,y≤2,x,y∈Z=x,y x=−2,−1,0,1,2;y=−2,−1,0,1,2，共25个点．由x1=−1,0,1，x2=−2,−1,0,1,2知x1+x2=−3,−2,−1,0,1,2,3；同理由y1=−1,0,1，y2=−2,−1,0,1,2知y1+y2=−3,−2,−1,0,1,2,3．当x1+x2=−3或3时，y1+y2可取−2,−1,0,1,2；当x1+x2=−2,−1,0,1,2时，y1+y2可取−3,−2,−1,0,1,2,3．故A⊕B中共有元素2×5+5×7=45个．第二部分11. 912. 1013. 214. （1）3；（2）600015. 100616. x−12+ y−22=2，−2−117. 2−2【解析】提示：当a≤0时，f x在0,1上单调递增，故g a=f1=1−a；当0<a<1时，f x在0,a2上单调递增，在a2,a 上单调递减，在a,1上单调递增，f a2=a24，f1=1−a．∵f a2−f1=a+22−84，∴当0<a<22−2时，f a2<f1，∴g a=f1=1−a；当2−2≤a<1时，f a2≥f1，∴g a=f a2=a24；当1≤a<2时，f x在0,a2上单调递增，在a2,1上单调递减，故g a=f a2=a24；当a≥2时，f x在0,1上单调递增，故g a=f1=a−1．综上，g a=1−a,a<22−2,a24,22−2≤a<2, a−1,a≥2.第三部分18. （1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=−π6，数据补全如下表：ωx+φ0π2π3π22πx ππ7π5π13πA sinωx+φ050−50且函数解析式为f x=5sin2x−π6．（2）由（1）知f x=5sin2x−π6，因此g x=5sin2 x+π−π=5sin2x+π.因为y=sin x图象的对称中心为kπ,0，k∈Z．令2x+π6=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π12，k∈Z，即y=g x图象的对称中心为kπ2−π12,0，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为 −π12,0．19. （1）由题意有10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1, d=2 或 a1=9,d=29.故a n=2n−1,b n=2n−1 或 a n=12n+79,b n=9⋅2n−1.（2）由d>1，知a n=2n−1，b n=2n−1，故c n=2n−12n−1，于是T n=1+3+52+73+94+⋯+2n−1n−1, ⋯⋯①1 2T n=12+322+523+724+⋯+2n−32n−1+2n−12n. ⋯⋯②①−②可得1T n=2+1+12+⋯+1n−2−2n−1n=3−2n+3n,故T n=6−2n+32n−1．20. （1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD．因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC．由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（2）由已知，PD是阳马P−ABCD的高，所以V1=1S长方形ABCD⋅PD=1BC⋅CD⋅PD.由（1）知，DE是鳖臑D−BCE的高，BC⊥CE，所以V2=13S△BCE⋅DE=16BC⋅CE⋅DE.在Rt△PDC中，因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE=CE=22CD，于是V1 V2=13BC⋅CD⋅PD16BC⋅CE⋅DE=2CD⋅PDCE⋅DE=4.21. （1）由f x，g x的奇偶性及f x+g x=e x, ⋯⋯①得−f x+g x=e−x. ⋯⋯②联立①②解得f x=12e x−e−x，g x=12e x+e−x．当x>0时，e x>1，0<e−x<1，故f x>0. ⋯⋯③又由基本不等式，有g x=12e x+e−x>e x⋅e−x=1，即g x>1. ⋯⋯④（2）由（1）得fʹx=12e x−1e xʹ=12e x+e xe2x=12e x+e−x=g x, ⋯⋯⑤gʹx=1e x+1xʹ=1e x−e x2x=1e x−e−x=f x, ⋯⋯⑥当x>0时，f xx>ag x+1−a等价于f x>axg x+1−a x, ⋯⋯⑦f xx<bg x+1−b等价于f x<bxg x+1−b x. ⋯⋯⑧设函数 x=f x−cxg x−1−c x，由⑤⑥，有ʹx=g x−cg x−cxf x−1−c=1−c g x−1−cxf x.当x>0时，i）若c≤0，由③④，得 ʹx>0，故 x在0,+∞上为增函数，从而 x> 0=0，即f x>cxg x+1−c x，故⑦成立．ii）若c≥1，由③④，得 ʹx<0，故 x在0,+∞上为减函数，从而 x< 0=0，即f x<cxg x+1−c x，故⑧成立．综上，知ag x+1−a<f xx<bg x+1−b．22. （1）因为 OM ≤ MN + NO =3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立；同理， OM ≥ MN − NO =3−1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立，所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216+y24=1．（2）（i）当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4或x=−4，都有S△OPQ=12×4×4=8．（ii）当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+m k≠±12，由y=kx+m,x2+4y2=16,消去y，可得1+4k2x2+8kmx+4m2−16=0．因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=64k2m2−41+4k24m2−16=0,即m2=16k2+4. ⋯⋯①又由y=kx+m,x−2y=0,可得P2m1−2k,m1−2k；同理可得Q−2m1+2k,m1+2k．由原点O到直线PQ的距离为d=2和PQ =1+k2x P−x Q，可得S△OPQ=1PQ ⋅d=1m x P−x Q=1⋅ m ⋅2m+2m=2m22. ⋯⋯②将①代入②，得S△OPQ=2m21−4k =84k2+14k−1．当k2>14时，S△OPQ=84k2+14k2−1=81+24k2−1>8；当0≤k2<14时，S△OPQ=84k2+11−4k=8 −1+21−4k．因为0≤k2<14时，则0<1−4k2≤1，21−4k2≥2，所以S△OPQ=8 −1+21−4k2≥8，当且仅当k=0时取等号．所以当k=0时，S△OPQ取最小值为8．综合（i）（ii）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．。

2015年高考湖北卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A .【考点定位】本题考查复数的概念及其运算，涉及分数指数幂的运算性质.【名师点睛】将复数的幂次运算和分数指数幂运算结合在一起，不仅考查了复数的概念，也考查了分数指数幂的运算性质，充分体现了学科内知识之间的联系性，能够较好的反应学生基础知识的识记能力和计算能力.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石【答案】B .【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力.3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ）A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C .【考点定位】本题考查特称命题和全称命题的否定形式，，属识记基础题.【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是（ ） A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.5.12,l l表示空间中的两条直线，若p：12,l l是异面直线；q：12,l l不相交，则（）A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A.【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.6.函数256()4||lg3x xf x xx-+=-+-的定义域为（）A．(2,3) B．(2,4]C．(2,3)(3,4] D．(1,3)(3,6]-【答案】C.【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.7.设x∈R，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（）A．|||sgn|x x x=B．||sgn||x x x=C．||||sgnx x x=D．||sgnx x x=【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题.【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）A ．1212p p <<B ．1212p p <<C ．2112p p <<D ．2112p p <<【答案】B .【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力.9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） A ．77 B ．49 C ．45 D ．30 【答案】C.【考点定位】本题考查用不等式表示平面区域和新定义问题，属高档题.【名师点睛】用集合、不等式的形式表示平面区域，以新定义为背景，涉及分类计数原理，体现了分类讨论的思想方法的重要性以及准确计数的科学性，能较好的考查学生知识间的综合能力、知识迁移能力和科学计算能力.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 【答案】9.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学学科知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.12.若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.13.函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题.【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.16.如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)AB=.T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y-+-=；（Ⅱ）12--.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数学学科特点和知识间的内在联系，渗透着方程的数学思想，能较好的考查学生的综合知识运用能力.其解题突破口是观察出点C的横坐标.17.a为实数，函数2()||f x x ax=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a. 当a=_________时，()g a的值最小. 【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a的表达式和分段函数在区间上的最值求法.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A xωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6 sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-.数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2 π 3π22π x π12 π3 7π12 5π6 13π12sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-.【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE.（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面A B C D ，所以P D B C ⊥. 由底面A B C D 为长方形，有B C C D ⊥，而P D C D D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.VV =【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；（Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y+=（Ⅱ）当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ∆的面积取得最小值8.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与直线与椭圆相交综合问题，属高档题.【名师点睛】作为压轴大题，其第一问将椭圆的方程与课堂实际教学联系在一起，重点考查学生信息获取与运用能力和实际操作能力，同时为椭圆的实际教学提供教学素材；第二问考查直线与椭圆相交的综合问题，借助函数思想进行求解.其解题的关键是注重基本概念的深层次理解，灵活运用所学知识.。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 【答案】A . 【解析】 试题分析：因为6072303()ii i i =⋅=-，所以应选A .考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B .考点：1、简单的随机抽样；3.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C . 【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C .考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 【答案】A .【解析】试题分析：因为变量x和y满足关系0.11y x=-+，其中0.10-<，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z ky b=+(0)k>，则将0.11y x=-+代入即可得到：(0.11)0.1()z k x b kx k b=-++=-++，所以0.10k-<，所以x与z负相关，综上可知，应选A. 考点：1、线性回归方程；5.12,l l表示空间中的两条直线，若p：12,l l是异面直线；q：12,l l不相交，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A.考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数256()4||lg3x xf x xx-+=--的定义域为A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)(3,4]D．(1,3)(3,6]-【答案】C.【解析】试题分析：由函数()y f x=的表达式可知，函数()f x的定义域应满足条件：2564||0,03x xxx-+-≥>-，解之得22,2,3x x x-≤≤>≠，即函数()f x的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C.考点：1、函数的定义域求法；7.设x∈R，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩则A．|||sgn|x x x=B．||sgn||x x x=C．||||sgnx x x=D．||sgnx x x=【答案】D.考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间[0,1]上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≤”的概率，2p为事件“12xy≤”的概率，则A．1212p p<<B．1212p p<<C．2112p p<<D．2112p p<<【答案】B.【解析】试题分析：由题意知，事件“12x y+≤”的概率为11111222118p⨯⨯==⨯，事件“12xy≤”的概率02SpS=，其中1121111(1ln2)222S dxx=⨯+=+⎰，111S=⨯=，所以21(1ln2)112(1ln2)1122SpS+===+>⨯，故应选B.考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49C ．45D ．30【答案】C . 【解析】试题分析：由题意知，22{(,)1,,}{(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈=--Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，所以由新定义集合A B ⊕可知，111,0x y =±=或110,1x y ==±.当111,0x y =±=时，123,2,1,0,1,2,3x x +=---，122,1,0,1,2y y +=--，所以此时A B ⊕中元素的个数有：7535⨯=个；当110,1x y ==±时，122,1,0,1,2x x +=--，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除12y y +的值取3-或3外均相同，即此时有5210⨯=，由分类计数原理知，A B ⊕中元素的个数为351045+=个，故应选C . 考点：1、分类计数原理；2、新定义；第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量OA AB⊥，||3OA=，则OA OB⋅=_________．【答案】9.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数3z x y=+过点(3,1)B取得最大值，即max33110z=⨯+=，故应填10.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数2π()2sin sin()2f x x x x=+-的零点个数为_________.【答案】2.【解析】试题分析：函数2π()2sin sin()2f x x x x=+-的零点个数等价于方程2π2sin sin()02x x x+-=的根的个数，即函数π()2sin sin()2sinxcosx sin2x2g x x x=+==与2h(x)x=的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数()g x与h(x)的图像有2个交点.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a=_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_________m.【答案】1006.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；16.如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）12--【解析】试题分析：设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即02y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y -+-=，令0x =得：(0,21)B +.设圆C 在点B 处的切线方程为(21)kx y -+=，则圆心C 到其距离为：222121k d k -++==+，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x (21)y =++，于是令0y =可得x 21=--，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为12--，故应填22(1)(2)2x y -+-=和12--.考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；17.a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.【答案】222-.②：10≤<a ：⎪⎩⎪⎨⎧-<<-=≤<-==)2220(1)1()1222(4)2()(2a a f a a a f a g ， ③：21<<a ：4)2()(2a a f a g ==④：2≥a ：1)1()(-==a f a g ，综上，当222-=a 时，)(a g 取到最小值223-考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A xωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x的解析式；（Ⅱ）将()y f x=图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x=图象，求()y g x=的图象离原点O最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6Aωϕ===-.数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x=-；（Ⅱ）离原点O最近的对称中心为π(,0)12-.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据已知表格中的数据可得方程组5325362Aππωϕππωϕ⎧⎪=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解之可得函数()f x的表达式，进而可补全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并结合函数图像平移的性质可得，函数()g x 的表达式，进而求出其图像的对称中心坐标，取出其距离原点O最近的对称中心即可.试题解析：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：5A =，32ππωϕ+=，5362ππωϕ+=，解得π2,6ωϕ==-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 考点：1、函数()sin()f x A x ωϕ=+的图像及其性质；2、三角函数的图像及其性质； 19.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =， 10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可列出方程组111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，解之得即可得出所求的结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得21n a n =-，12n n b -=，于是1212n n n c --=，易发现：n c 的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.试题解析：（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩，解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩. （Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-. 考点：1、等差数列；2、等比数列；3、错位相减法； 20.（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值． 【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V = 【解析】试题分析：（Ⅰ）由侧棱PD ⊥底面ABCD 易知，PD BC ⊥；而底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，由线面垂直的判定定理知BC ⊥平面PCD ，进而由线面垂直的性质定理可得BC DE ⊥；在PCD ∆中，易得DE PC ⊥，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，进一步可得四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出12,V V ，即可得出所求结果.试题解析：（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE CE ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面垂直的性质定理；3、简单几何体的体积；21.（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （Ⅱ）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【答案】（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>，即() 1.g x > （Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+- ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧于是设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）将等式()()e x f x g x +=中x 用x -来替换，并结合已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数可得()()e .x f x g x --+=于是联立方程组即可求出(),()f x g x 的表达式；当0x >时，由指数与指数函数的性质知e 1x >，0e 1x -<<，进而可得到()0.f x >然后再由基本不等式即可得出() 1.g x >（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()f x g x '=，()()g x f x '=.于是要证明()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-，即证()()(1)f x axg x a x >+-，也就是证明()()(1)f x bg x b x<+-，即证()()(1).f x bxg x b x <+-于是构造函数()()()(1)h x f x cxg x c x =---，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.试题解析：（Ⅰ）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=,①得：()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>，即() 1.g x > ④（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦ ()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧ 设函数()()()(1)h x f x cxg x c x=---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =---当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立.综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 考点：1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2、函数的基本性质； 22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）221.164x y +=（Ⅱ）当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）知，||||||||||MN NO OM MN NO -≤≤+，即2||4OM ≤≤，这表明椭圆C 的长半轴长为4，短半轴长为2，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）首先讨论直线l 的斜率存在与不存在两种情况，当直线l 的斜率不存在时，易知直线l 的方程为4x =或4x =-，即可求出OPQ ∆的面积的值；当直线l 的斜率存在时，设出直线l的方程1:()2l y kx m k =+≠±，然后联立直线l 与椭圆的方程并整理得到一元二次方程222(14)84160k x kmx m +++-=，然后根据题意直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点知，0∆=即可得到22164m k =+.再分别联立直线l 与直线1:20l x y -=和2:20l x y +=可解得点P 和点Q 的坐标，并根据原点O 到直线PQ 的距离公式可求得21d k=+，于是OPQ ∆的面积可表示为1||2OPQS PQ d ∆=⋅消去参数m 可得222241281441OPQ k m S k k ∆+==--，于是分两种情况进行讨论：①当214k >时；②当2104k ≤<时，分别求出OPQ ∆的面积的最小值，并比较即可求出OPQ ∆的面积取得最小值.试题解析：（Ⅰ）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±， 由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为21d k +和2||1|P Q PQ k x x +-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQk S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以 228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8. 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，OPQ ∆的面积取得最小值8. 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交综合问题；。

2015年湖北省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（3分）i 为虚数单位，i 607=（ ）A ．﹣iB ．iC ．1D ．﹣12．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石3．（3分）命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0﹣1”的否定是（ ）A ．∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0﹣1B ．∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0﹣1C ．∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x ﹣1D ．∀x ∉（0，+∞），lnx=x ﹣14．（3分）已知变量x 和y 满足关系y=﹣0.1x +1，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是（ ）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关5．（3分）l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．（3分）函数f （x ）=√4−|x|+lg x 2−5x+6x−3的定义域为（ ） A ．（2，3） B ．（2，4] C ．（2，3）∪（3，4] D ．（﹣1，3）∪（3，6]7．（3分）设x ∈R ，定义符号函数sgnx={1，x ＞00，x =0−1，x ＜0，则（ ） A ．|x |=x |sgnx | B ．|x |=xsgn |x | C ．|x |=|x |sgnx D ．|x |=xsgnx8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x +y ≤12”的概率，P 2为事件“xy ≤12”的概率，则（ ） A ．p 1＜p 2＜12 B ．p 1＜12＜p 2 C ．p 2＜12＜p 1 D ．12＜p 2＜p 1 9．（3分）将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b （a ≠b ）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则（ ）A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 210．（3分）已知集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤1，x ，y ∈Z }，B={（x ，y ）||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B={（x 1+x 2，y 1+y 2）|（x 1，y 1）∈A ，（x 2，y 2）∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30二、填空题11．（3分）已知向量OA →⊥AB →，|OA →|=3，则OA →•OB →= ．12．（3分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤4x −y ≤23x −y ≥0，则3x +y 的最大值为 ．13．（3分）f （x ）=2sin xsin （x +π2）﹣x 2的零点个数为 ． 14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．（1）直方图中的a= ．（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为 ．15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m．16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（1）圆C的标准方程为．（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=时，g（a）的值最小．三、解答题18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜π2）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φ0ππ3π22πxπ5π6 Asin（wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．19．（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=a nb n，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V2的值．21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜f(x)x＜bg（x）+（1﹣b）．22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．2015年湖北省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2015普通高等学校招生全国统一考试(湖北文)一、选择题1．i 为虚数单位，i 607＝( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1【解析】因i 607＝(i 2)303i ＝－i ，故应选B ．2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石解析：254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计．设1 534石米内夹谷x 石，则由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈169．故这批米内夹谷约为169石． 3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故应选A ．4．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0．1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关【解析】因变量x 和y 满足关系y ＝－0．1x ＋1，其中－0．1＜0，故x 与y 成负相关；又因变量y 与z 正相关，不妨设z ＝ky ＋b (k ＞0)，则将y ＝－0．1x ＋1代入即可得到：z ＝k (－0．1x ＋1)＋b ＝－0．1kx ＋(k ＋b )，故－0．1k ＜0，故x 与z 负相关，综上可知，应选A ．5．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交．则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( ) A ．(2，3) B ．(2，4] C ．(2，3)∪(3，4] D ．(－1，3)∪(3，6]【解析】由函数f (x )的表达式可知，函数f (x )的定义域应满足条件：4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3＞0，解之得，－2≤x ≤2，x ＞2，x ≠3，即函数f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4]，故应选C ．7．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则下面正确的是( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x【解】当x ＜0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1．则x ·|sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝x ．因此，选项A ，B ，C 均不成立．8．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜12B ．p 2＜12＜p 1 C．12＜p 2＜p 1 D ．p 1＜12＜p 2 【解析】由题意知，事件“x ＋y ≤12”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“xy ≤12”的概率02S p S=，其中11021111(1ln 2)222S dx x=⨯+=+⎰，111S =⨯=，故021(1ln 2)112(1ln 2)1122S p S +===+>⨯，故应选B ．9．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2B ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2D ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 210．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30【解一】因A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}＝{(0，0)，(0，1)，(0，﹣1)，(1，0)，(﹣1，0)，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，﹣1)，(0，﹣2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，﹣1)，(1，﹣2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，﹣1)，(2，﹣2)，(﹣1，﹣2)，(﹣1，﹣1)，(﹣1，0)，(﹣1，1)，(﹣1，2)，(﹣2，﹣2)，(﹣2，﹣1)，(﹣2，0)，(﹣2，1)，(﹣2，2)}，因A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，故A ⊕B ＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，﹣1)，(0，﹣2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，﹣1)，(1，﹣2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，﹣1)，(2，﹣2)，(﹣1，﹣2)，(﹣1，﹣1)，(﹣1，0)，(﹣1，1)，(﹣1，2)，(﹣2，﹣2)，(﹣2，﹣1)，(﹣2，0)，(﹣2，1)，(﹣2，2)，(﹣2，3)，(﹣2，﹣3)，(0，﹣3)，(2，﹣3)，(﹣1，3)，(﹣1，﹣3)，(1，3)，(2，3)，(0，3)，(3，﹣1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，﹣2)，(﹣3，2)，(﹣3，1)，(1，﹣3)，(﹣3，﹣1)，(﹣3，0)，(﹣3，﹣2)}共45个元素；【解二】由题意知，A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }＝{(0，1)，(0，﹣1)，(1，0)，(﹣1，0)}，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，故由新定义集合A ⊕B 可知，x 1＝±1，y 1＝0或x 1＝0，y 1＝±1．当x 1＝±1，y 1＝0时，x 1＋x 2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，y 1＋y 2＝－2，－1，0，1，2，故此时A ⊕B 中元素的个数有：7×5＝35个；当x 1＝0，y 1＝±1时，x 1＋x 2＝－2，－1，0，1，2，y 1＋y 2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，这种情形下和第一种情况下除y 1＋y 2的值取－3或3外均相同，即此时有5×2＝10，由分类计数原理知，A ⊕B 中元素的个数为35＋10＝45个，故应选C ．【解三】因集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，故集合A 中有5个元素，即图中圆中的整点，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}，中有5×5＝25个元素，即图中正方形ABCD 中的整点，A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1中的整点(除去四个顶点)，即7×7﹣4＝45个．二、填空题11．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝__________．12．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4x －y ≤23x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是__________．【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数z ＝3x ＋y 过点B (3，1)取得最大值，即z max ＝3×3＋1＝10，故应填10．13．函数f (x )＝2sin x sin(x ＋π2)－x 2的零点个数为________． 【解析】f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图像的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图像如图所示：由图可知两函数图像有2个交点，则f (x )的零点个数为2．14．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0．3，0．9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝__________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0．5，0．9]内的购物者的人数为__________．解析 (1)由0．1×1．5＋0．1×2．5＋0．1a ＋0．1×2．0＋0．1×0．8＋0．1×0．2＝1，解得a ＝3．(2)区间[0．3，0．5)内的频率为0．1×1．5＋0．1×2．5＝0．4，故[0．5，0．9]内的频率为1－0．4＝0．6．因此，消费金额在区间[0．5，0．9]内的购物者的人数为0．6×10 000＝6 000．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝__________m．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．16．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2．(1)圆C的标准方程为__________；(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为__________．【解析】设点C的坐标为(x0，y0)，则由圆C与x轴相切于点T(1，0)知，点C的横坐标为1，即x0＝1，半径r＝y0．又AB＝2，故y2＝2，即y0＝2＝r，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，令x＝0得：B(0，2＋1)．设圆C在点B处的切线方程为y－(2＋1)＝kx，则圆心C到其距离为：d＝|k＋1|k2＋1＝2，解之得k＝1．即圆C在点B处的切线方程为y＝x＋(2＋1)，于是令y＝0可得x ＝－2－1，即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为－2－1，故应填(x－1)2＋(y－2)2＝2和－2－1．17．a为实数，函数f(x)＝|x2－ax|在区间[0，1]上的最大值记为g(a)．当a＝__________时，g(a)的值最小．【解析】②：0＜a≤1：⎪⎩⎪⎨⎧-<<-=≤<-==)2220(1)1()1222(4)2()(2aafaaafag，③：1＜a＜2：g(a)＝f(a/2)＝a24；④：a≥2：g(a)＝f(1)＝a－1，综上，当a ＝22－2时，g (a )取到最小值3－22．三、解答题18．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在某一个ωx ＋φ 0 π2 π 3π22π x π3 5π6A sin(ωx ＋φ) 0 5 －5 0(1)．．．．．．．．．．．f (x )的解析式； (2)将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图像，求y ＝g (x )的图像离原点O 最近的对称中心． 【解析】⑴．根据表中已知数据可得：A ＝5，ω＝2，φ＝－π6．数据补全如下表： ωx ＋φ0 π2 π 3π2 2π xπ12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)0 5 0 －5 0 且函数表达式为f (x )＝5sin(2x －π6)． ⑵．由⑴知，f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)．因y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ．令2x ＋π6＝k π，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ．即y ＝g (x )图像的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为(－π12，0)． 19．(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ．已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n ． 【解析】(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.，故⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧ a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)解 由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1①，12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n ②．①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1． 20．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE ，BD ，BE ．⑴．证明：DE ⊥平面PBC ．试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由．⑵．记阳马P －ABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值． 【解析】⑴．因PD ⊥平面ABCD ，故PD ⊥BC ，由于底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，且PD ∩CD ＝D ，故BC ⊥平面PCD ．由DE ⊂平面PCD ，故BC ⊥DE ，又PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，故DE ⊥PC ．由PC ∩BC ＝C ，故DE ⊥平面PBC ．由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ．可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，则四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB ．⑵．由已知，PD 是阳马P －ABCD 的高．故V 1＝13S ABCD ·PD ＝13·BC ·CD ·PD ，由⑴知，DE 是鳖臑D －BCE 的高，BC ⊥CE ．故V 2＝13S △BCE ·DE ＝16·BC ·CE ·DE ，在Rt △PDC 中，由于PD ＝CD ，点E 是PC 的中点．故DE ＝CE ＝22CD ，于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE ＝4． 21．(本小题满分14分)设函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (x )＋g (x )＝e x ，其中e 为自然对数的底数．(1)求f (x )，g (x )的解析式，并证明：当x ＞0时，f (x )＞0，g (x )＞1；(2)设a ≤0，b ≥1，证明：当x ＞0时，ag (x )＋(1－a )＜ f (x )x＜bg (x )＋(1－b )． 【解析】⑴．由f (x )，g (x )的奇偶性及f (x )＋g (x )＝e x ，①得：－f (x )＋g (x )＝e －x ②，联立①②解得，f (x )＝12(e x －e －x )，g (x )＝12(e x ＋e －x )．当x ＞0时，e x ＞1，0＜e －x ＜1，故f (x )＞0③，又由基本不等式，有g (x )＝12(e x ＋e －x )＞e x ·1e x ＝1，即g (x )＞1④；⑵．由⑴得，f ′(x )＝12(e x ＋e －x )＝g (x )⑤，g ′(x )＝12(e x －e －x )＝f (x )⑥，当x ＞0时，f (x )x＞ag (x )＋(1－a )等价于f (x )＞axg (x )＋(1－a )x ⑦，f (x )x＜bg (x )＋(1－b )等价于f (x )＜bxg (x )＋(1－b )x ⑧，设函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，由⑤⑥，有h ′(x )＝g (x )－cg (x )－cxf (x )－(1－c )＝(1－c )[g (x )－1]－cxf (x )．当x ＞0时，①．若c ≤0，由③④，得h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上为增函数，从而h (x )＞h (0)＝0，即f (x )＞cxg (x )＋(1－c )x ，故⑦成立．②．若c ≥1，由③④，得h ′(x )＜0，故h (x )在[0，＋∞)上为减函数，从而h (x )＜h (0)＝0，即f (x )＜cxg (x )＋(1－c )x ，故⑧成立．综合⑦⑧，得 ag (x )＋(1－a )＜ f (x )x＜bg (x )＋(1－b )．22．(本小题满分14分)一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设点D (t,0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧ (x 0－t )2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0．由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1． (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4．(*1)又由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ．由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2和PQ ＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12·PQ ·d ＝12|m |·|x P －x Q |＝12·|m |⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2．(*2)将(*1)代入(*2)得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|．当k 2＞14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1＞8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8(－1＋21－4k 2)．因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8(－1＋21－4k 2)≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8． 综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．2015普通高等学校招生全国统一考试(湖北理)一、选择题1．i 为虚数单位，i 607＝()A ．iB ．－IC ．1D ．－1【解析】因i 607＝(i 2)303i ＝－i ，故应选B ．2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石【解析】254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计．设1 534石米内夹谷x石，则由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈169．故这批米内夹谷约为169石． 3．已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．212B ．211C ．210D ．29【解答】已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得C 3n ＝C 7n，可得n ＝3＋7＝10．(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为：12×210＝29．故选：D ． 4．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是()A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )【解析】正态分布密度曲线图像关于x ＝μ对称，故μ1＜μ2，从图中容易得到P (X ≤t )≥P (Y ≤t )．5．设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件；B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件；D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解】对命题p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列，则公比q ＝a n a n －1(n ≥3)且a n ≠0；对命题q ，①当a n ＝0时，(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2成立；②当a n ≠0时，根据柯西不等式，等式(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2成立，则a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n －1a n －2＝a n a n －1，故a 1，a 2，…，a n 成等比数列，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件． 解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件．即p 是q 的充分不必要条件．6．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则()A ．sgn[g (x )]＝sgn xB ．sgn[g (x )]＝－sgn xC ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )]D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]【解】因f (x )是R 上的增函数，令f (x )＝x ，故g (x )＝(1－a )x ，因a ＞1，故g (x )是R 上的减函数，由符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩．7．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1【解析】满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形如图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1．8．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则()A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2【解析】由题意，双曲线C 1：c 2＝a 2＋b 2，e 1＝c a；双曲线C 2：c ′2＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2，e 2＝，故e 21－e 22＝b 2a 2﹣＝，故当a＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2，故选：D ．9．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30【解一】因A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}＝{(0，0)，(0，1)，(0，﹣1)，(1，0)，(﹣1，0)，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，﹣1)，(0，﹣2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)(1，﹣1)，(1，﹣2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，﹣1)，(2，﹣2)，(﹣1，﹣2)，(﹣1，﹣1)，(﹣1，0)，(﹣1，1)，(﹣1，2)，(﹣2，﹣2)，(﹣2，﹣1)，(﹣2，0)，(﹣2，1)，(﹣2，2)}，因A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，故A ⊕B ＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，﹣1)，(0，﹣2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，﹣1)，(1，﹣2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，﹣1)，(2，﹣2)，(﹣1，﹣2)，(﹣1，﹣1)，(﹣1，0)，(﹣1，1)，(﹣1，2)，(﹣2，﹣2)，(﹣2，﹣1)，(﹣2，0)，(﹣2，1)，(﹣2，2)，(﹣2，3)，(﹣2，﹣3)，(0，﹣3)，(2，﹣3)，(﹣1，3)，(﹣1，﹣3)，(1，3)，(2，3)，(0，3)，(3，﹣1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，﹣2)，(﹣3，2)，(﹣3，1)，(1，﹣3)，(﹣3，﹣1)，(﹣3，0)，(﹣3，﹣2)}共45个元素；【解二】由题意知，A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }＝{(0，1)，(0，﹣1)，(1，0)，(﹣1，0)}，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，故由新定义集合A ⊕B 可知，x 1＝±1，y 1＝0或x 1＝0，y 1＝±1．当x 1＝±1，y 1＝0时，x 1＋x 2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，y 1＋y 2＝－2，－1，0，1，2，故此时A ⊕B 中元素的个数有：7×5＝35个；当x 1＝0，y 1＝±1时，x 1＋x 2＝－2，－1，0，1，2，y 1＋y 2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，这种情形下和第一种情况下除y 1＋y 2的值取－3或3外均相同，即此时有5×2＝10，由分类计数原理知，A ⊕B 中元素的个数为35＋10＝45个，故应选C ． 【解三】因集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z}，故集合A 中有5个元素，即图中圆中的整点，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z}，中有5×5＝25个元素，即图中正方形ABCD 中的整点，A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1中的整点(除去四个顶点)，即7×7﹣4＝45个．10．设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是() A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【解析】若[t ]＝1，则t ∈[1，2)，若[t 2]＝2，则t ∈[2，3)(因为题目需要同时成立，则负区间舍去)，若[t 3]＝3，则t ∈[，)，若[t 4]＝4，则t ∈[，)，若[t 5]＝5，则t ∈[，)，其中3≈1．732，≈1．587，≈1．495，≈1．431＜1．495，通过上述可以发现，当t ＝4时，可以找到实数t 使其在区间[1，2)∩[2，3)∩[，)∩[，)上，但当t ＝5时，无法找到实数t 使其在区间[1，2)∩[2，3)∩[，)∩[，)∩[，)上，故正整数n 的最大值4．二、填空题11．已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝．【解】因OA →⊥AB →，|OA →|＝3，故OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·OB →＝OA →2＝9．12．函数f (x )＝4cos 2x 2cos(π2－x )－2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为．【解答】函数f (x )的定义域为：{x |x ＞﹣1}．f (x )＝4cos 2x 2cos(π2﹣x )﹣2sin x ﹣|ln(x ＋1)|＝2sin x (2cos 2x2－1)﹣|ln(x ＋1)|＝sin2x ﹣|ln(x ＋1)|，分别画出函数y ＝sin2x ，y ＝|ln(x ＋1)|的图像，由函数的图像可知，交点个数为2．故函数的零点有2个．13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________ m ．【解】依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600，由正弦定理可得600sin 45°＝BCsin 30°，即BC ＝300 2 m ，在Rt △BCD中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝3002，所以tan 30°＝CD BC ＝CD3002，所以CD ＝100 6 m ．14．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且AB ＝2．⑴．圆C 的标准．．方程为； ⑵．过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论：①．|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②．|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③．|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22．其中正确结论的序号是．(写出所有正确结论的序号)【解】⑴．由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝2，解得r ＝2．故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2．⑵．由⑴知，A (0，2－1)，B (0，2＋1)．设M (a ，b )，则|MA ||MB |＝a 2＋[b －(2－1)]2a 2＋[b －(2＋1)]2＝1－b 2＋[b －(2－1)]21－b 2＋[b －(2＋1)]2＝(2－1)b －(2－2)(2＋1)b －(2＋2)＝(2－1)(b －2)(2＋1)(b －2)＝(2－1)2(2＋1)(2－1)＝2－1．同理|NA ||NB |＝2－1．故|NA ||NB |＝|MA ||MB |，①正确；|NB ||NA |－|MA ||MB |＝12－1－(2－1)＝2，②正确；|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝12－1＋2－1＝22，③正确．综上，正确结论的序号是①②③．16．(选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为( t为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则AB ＝． 三、解答题17．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：⑴．请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数y ＝f (x )的解析式； ⑵．将y ＝f (x )图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )图像的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．【解析】⑴．根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6．数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin(2x －π6)．⑵．由⑴知，f (x )＝5sin(2x －π6)，得g (x )＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ．令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z ．由于函数y ＝g (x )的图像关于点(5π12，0)成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ．由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6． 18．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100．⑴．求数列{a n }，{b n }的通项公式；⑵．当d ＞1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解析】⑴．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n－1，或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.⑵．由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1①，12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n ②．①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1．19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE ，DF ，BD ，BE ．⑴．证明：PB ⊥平面DEF ．试判断四面体BDEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；⑵．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC /BD 的值．【解析】⑴．因PD ⊥底面ABCD ，故PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，故BC ⊥平面PCD ．而DE ⊂平面PCD ，故BC ⊥DE ．又PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，故第19题解答图2第19题解答图1DE ⊥PC ．而PC ∩BC ＝C ，故DE ⊥平面PBC ．而PB ⊂平面PBC ，故PB ⊥DE ．又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，故PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ． ⑵．如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD ，的交线．由⑴知，PB ⊥平面DEF ，故PB ⊥DG ．又PD ⊥底面ABCD ，故PD ⊥DG ．而PD ∩PB ＝P ，故DG ⊥平面PBD ．故∠BDF 是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设PD ＝CD ＝1，BC ＝λ，有BD＝(1＋λ2)12，在Rt △PDB 中，由DF ⊥PB ，得∠DFP ＝∠FDB ＝π3，则tan π3＝tan ∠DPF ＝BD /PD ＝(1＋λ2)12＝3，解得λ＝2．故DC /BC ＝22，故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC /BC ＝22． 【解二】⑴．如图2，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD ＝CD ＝1，BC ＝λ，则D (0，0，0)，P (0，0，1)，B (λ，1，0)，C (0，1，0)，PB →＝(λ，1，－1)，点E 是PC 的中点，故E (0，12，12)，DE →＝(0，12，12)，于是PB →·DE →＝0，即PB ⊥DE ．又EF ⊥PB ，而DE ∩EF ＝E ，故PB ⊥平面DEF ．因PC →＝(0，1，－1)，DE →·PC →＝0，则DE ⊥PC ，故DE ⊥平面PBC ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ．⑵．由PD ⊥平面ABCD ，故DP →＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量；由⑴知，PB ⊥平面DEF ，故BP →＝(－λ，－1，1)是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则cos π3＝1/(2＋λ2)12＝12，解得λ＝2．故DC /BC ＝1λ＝22，故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC /BC ＝22．20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量．⑴．求Z 的分布列和均值；⑵．若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．【解析】设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为Z ，则有2 1.5,1.512,20,0, 0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩①，目标函数为z ＝1000x ＋1200y ．当W ＝12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A (0，0)，B (2．4，2．8)，C (6，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为561200z y x =-+，当x ＝2．4，y ＝2．8时，直线l ：561200zy x =-+在y轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝2．4×1000＋2．8×1200＝8160．当W ＝15时，(1)表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (7．5，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为561200zy x =-+，当x ＝3，y ＝6时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝3×1000＋6×1200＝10200．当W ＝18时，(1)表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A (0，0)，B (3，6)，C (6，4)，D (9，0)．将z ＝1000x ＋1200y 变形为561200z y x =-+，当x ＝6，y ＝4时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利Z ＝z max ＝6×1000＋4×1200＝10800．故最大获利Z 的分布列为因此，E (Z )＝8160×0．3＋10200×0．5＋10800×0．2＝9708．⑵．由⑴知，一天最大获利超过10000元的概率P 1＝P (Z ＞10000)＝0．5＋0．2＝0．7，由二项分第20题解答图1 第20题解答图2第20题解答图3布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为P ＝1－(1－P 1)3＝0．973．21．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连结，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解析】(1)设点D (t,0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧ (x 0－t )2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0．由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2，代入x 20＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1，即所求曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1． (2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8．②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4．(*1)又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k ．由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2和PQ ＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12·PQ ·d ＝12|m |·|x P －x Q |＝12·|m |⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2．(*2)将(*1)代入(*2)得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|．当k 2＞14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1＞8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2．因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8．综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8． 22．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n (1＋1n)n a n ，n ∈N *，e 为自然对数的底数．⑴．求函数f (x )＝x ＋1－e x 的单调区间，并比较(1＋1n )n 与e 的大小；⑵．计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；⑶．令c n ＝(a 1a 2…a n )1n ，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜e S n ． 【解析】⑴．f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x ．当f (x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增；当f (x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x ．令x ＝1n ，得1＋1n ＜e 1n ，即(1＋1n )n ＜e ．①⑵．11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；123312123123b b b bb b a a a a a a =⋅＝32·3(1＋13)3＝(3＋1)3＝43．由此推测：1212(1).n n nb b b n a a a=+L L ② 下面用数学归纳法证明②．(1)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立．(2)假设当n ＝k 时，②成立，即1212(1)k k kb b b k a a a =+L L ．当n ＝k ＋1时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++L L L L ．故当n ＝k ＋1时，②也成立．根据(1)(2)，可知②对一切正整数n 都成立．⑶．由c n 的定义，②，算术-几何平均不等式，b n 的定义及①得123n n T c c c c =++++=L 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++L L111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++L L 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+L L121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++L L L 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++L 1212n b b b n <+++L 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++L 12e e e n a a a <+++L =n eS ． 即T n ＜e S n ．2015普通高等学校招生全国统一考试(广东文)一、选择题1．若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{1} C ．{0} D ．{－1，1} 【解析】M ∩N ＝{1}，故选C ．2．已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－2【解析】(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i ，故选D ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋sin x【解析】函数f (x )＝x 2＋sin x 的定义域为R ，关于原点对称，因f (1)＝1＋sin 1，f (－1)＝1－sin 1，故函数f (x )＝x 2＋sin x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数f (x )＝x 2－cos x 的定义域为R ，关于原．4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．2B ．5C ．8D ．10 【解析】作出可行域如图所示：作直线l 0：2x ＋3y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x ＋3y ＝z ，当直线l 经过点A 时，z ＝2x ＋3y取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，故点A 的坐标为(4，－1)，故z max ＝2×4＋3×(－1)＝5，故选C ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得：b ＝2或b ＝4，因b ＜c ，故b ＝2，故选B ．6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交 【解析】若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与l 1，l 2中的一条相交，故选A ．7．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0．4B ．0．6C ．0．8D ．1 【解析】5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，恰有一件次品，有6种，分别是(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，设事件A ＝ “恰有一件次品”，则P (A )＝0．6，故选B ．8．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9【解析】由题意得：m 2＝25－16＝9，因m ＞0，故m ＝3，故选C ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．2B ．3C ．4D ．510．若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．50 【解析】当s ＝4时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有4×4×4＝64种，当s ＝3时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有3×3×3＝27种，当s ＝2时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2×2×2＝8种，当s ＝1时，p ，q ，r 都取0，有1种，故card(E ) ＝64＋27＋8＋1＝100，当t ＝0时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当t ＝1时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当t ＝2时，u 取3，4中的一个，有2种，当t ＝3时，u 取4，有1种，故t 、u 的取值有1＋2＋3＋4＝10种，同理，v 、w 的取值也有10种，故card(F )＝10×10＝100，故card(E )＋card(F )＝100＋100＝200，故选D ．二、填空题11．不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为________．(用区间表示)【解析】由－x 2－3x ＋4＜0得：－4＜x ＜1，故不等式－x 2－3x ＋4＞0的解集为(－4，1)．12．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．13．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________． 【解析】因三个正数a ，b ，c 成等比数列，故b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1，因b ＞0，故b ＝1．(二)选做题14．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 【解析】曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2，曲线C 2的普通方程为y 2＝8x ，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：x ＝2，y ＝－4，故C 1与C 2交点的直角坐标为(2，－4)．15．(几何证明选讲选做题)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________．三、解答题16．(本小题满分12分)已知tan α＝2．(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．【解析】⑴．ta n(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2×1＝－3；⑵．sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1． 17．(本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【解析】⑴．由(0．002＋0．0095＋0．011＋0．0125＋x ＋0．005＋0．0025)×20＝1得：x ＝0．0075，所以直方图中x 的值是0．0075；⑵．月平均用电量的众数是12(220＋240)＝230，因(0．002＋0．0095＋0．011)×20＝0．45＜0．5，故月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0．002＋0．0095＋0．011)×20＋0．0125×(a －220)＝0．5得：a ＝224，故月平均用电量的中位数是224；⑶．月平均用电量为[220，240)的用户有0．0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240，260)的用户有0．0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260，280)的用户有0．005×20×100＝10户，月平均用电量为[280，300]的用户有0．0025×20×100＝5户，抽取比例为11÷(25＋15＋10＋5)＝15，故月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5户．18．(本小题满分14分)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3．(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．【解析】⑴．因四边形ABCD 是长方形，故BC ∥AD ，因BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，故BC ∥平面PDA ；⑵．因四边形ABCD 是长方形，故BC ⊥CD ，因平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，故BC ⊥平面PDC ，因PD ⊂平面PDC ，故BC ⊥PD ；⑶．取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因PD ＝PC ，故PE ⊥CD ，在RtΔPED 中，PE ＝7，因平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，故PE ⊥平面ABCD ，由⑵知：BC ⊥平面PDC ，由⑴知：BC ∥AD ，故AD ⊥平面PDC ，因PD ⊂平面PDC ，故AD ⊥PD ，设点C。