天津市静海县第一中学2018届高三上学期期末终结性检测数学(理)试题

静海一中2017-2018第一学期高三数学（文）期末终结性检测试卷考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（122分）和第Ⅱ卷提高题（28分）两部分，共150分。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

第Ⅰ卷 基础题（共122分） 一、选择题:（每小题 5 分，共 40 分）1．若全集为实数R ，集合{}213A x x =->，{B x y ⎫==， 则B A C R ⋂ =（ ） A ．}{12x x -≤≤B ．}{12x x <≤C ．}{12x x ≤≤ D ．∅2.设x R ∈且0x ≠，则“1()12x>”是“11x<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6 4. 已知，则的大小关系为（ ）5. 同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间5[,]6ππ上是单调递增函数”的一个函数可以是（ ） A ．cos(2)3y x π=-B ．sin(2)6y x π=-C ．5sin(2)6y x π=+D ．sin()26x y π=+ 6. 已知在平面直角坐标系xoy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y D 为上的动点，点A的坐标为)，则z OM OA =⋅的最大值为A. 4C. 37. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2222x y -+=相交，则此双曲线的离心率的取值范围为A.)+∞B. (C. ()1,2D. ()2,+∞8. 已知,若[]2,1∈x 时，，则的取值范围是（ ）二、填空题（每题5 分，共 30 分） 9.复数的虚部为 ．10.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长是11.已知函数x y cos = 与sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤<，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 12.已知等差数列{}n a 中，371016,85a a S +==，则等差数列{}n a 公差为________;13.已知圆22:40c x y x +-=与直线y x b =+相交于M N 、两点，且CM CN ⊥满足（C为圆心），则实数b 的值为14.已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共 6 题，共80 分） 15.（13分）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，且，求边；(3)若，求周长的最大值.16．（13分）为了了解某市开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从C B A ,,三个区中抽取7个工厂进行调查，已知C B A ,,区中分别有18，27，18个工厂 （1）求从C B A ,,区中应分别抽取的工厂个数（2）若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有一个来自A 区的概率 17.（13分）矩形 中，，，沿对角线将三角形 错误！未找到引用源。

静海一中2017-2018第一学期高三数学(理)12月学生学业能力调研卷1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（136分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共150分。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

第I 卷 基础题（共136分）一、选择题（每题5分，共40分）1.已知集合U R =，集合{|A x y ==， 2{|1}B y y x ==-，那么集合()U C A B ⋂=（ ）A. (],0-∞B. ()0,1C. (]0,1D. [)0,12.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≤--004202x y x y x ，则22y x +的最小值为（ ）A. 4B. 516 C.968D. 03.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（） A. 6 B. 22log 31+ C. 22log 33+ D. 2log 31+4.在ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若()226c a b =-+， 3C π=，则ABC ∆的面积为（ ）A. 3 B.C. D. 5.已知0,0a b >>，则()()2211b a ab+++的最小值为（ ）A. 4B. 7.5C. 8D. 16 6．下列选项中，说法正确的是( )A. 命题“2,0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈->”B. 命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的充分不必要条件C. 命题“若22am bm ≤,则a b ≤”是假命题D. 命题“在ABC ∆中，若1sin 2A <，则6A π<”的逆否命题为真命题 7.已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图象上，设1213a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()ln b f π=，12c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c a b <<B. a b c <<C. b c a <<D. b a c <<8.已知函数()()2,212,12x x x f x ln x x ⎧+-≤≤-⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若()()()2g x f x a x =-+的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A. 10,1e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B. 10,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ln21,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ln21,33e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题：（每题5分，共30分） 9. 已知b 为实数， i 为虚数单位，若21bii+-为实数，则b =__________．10.一个几何体的三视图如图，则它的体积为__________.11.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围为_____．12. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为___________．13.点()()2,0,0,2A B -，实数k 是常数， ,M N 是圆220x y kx ++=上两个不同点， P 是圆220x y kx ++=上的动点，若,M N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是___________．14.已知正三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD = λAB ，AE = λAC ．若点F 为线段BE 的中点，点O 为△ADE 的重心，则OF •CF = ．三、解答题：(共80分)15.(13分)设函数()sin 1f x x x =++.（1）求函数()f x 的值域和函数的的单调递增区间； （2）当()135f α=，且263ππα<<时，求2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 16.(13分)各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足()()22210n n S n n S n n -+--+=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若n b =数列{}n b 的前n 项和为n T ，整数2017M T ≤，求M 的最大值. 17.(13分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F . （1）求证： EF AB //.（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求①二面角E AF D --的锐二面角的余弦值.②在线段PC 上是否存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由.18.（13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 22a =，515S =，数列{}n b 满足： 112b =， 112n n n b b n++=， ()*n N ∈，数列{}n b 的前n 项和为n T（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和； （2）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和；（3）记集合()22|,*2n n S T M n n N n λ⎧⎫-=≥∈⎨⎬+⎩⎭，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围.19. （14分）已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为()F ，右顶点为()2,0D ，设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程； （3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值.第Ⅱ卷 提高题（共14分）20. 已知函数()21ln 2f x x bx x =++. （1）若函数()f x 在定义域单调递增，求实数b 的取值范围；（2）令()()212a g x f x bx x +=--， a R ∈，讨论函数()g x 的单调区间； （3）如果在（1）的条件下， ()221312f x x x x≤+-+在(]0,1x ∈内恒成立，求实数b 的取值范围.静海一中2017-2018第一学期高三数学(理)12月学生学业能力调研卷答题纸二、填空题（每题5分，共30分）9.___________ 10. ___________ 11.___________12. ___________ 13. ___________ 14.___________三、解答题（本大题共6题，共80分）15.（13分）16（13分）17（13分）18（13分）19（14分）第Ⅱ卷提高题（共14分）20（14分）参考答案：1．C 2．B 3．D 4．C【解析】由余弦定理可知： ()22222222cos ,626c a b ab C c a b a b ab =+-=-+=+-+ ，2222,262cos33C a b ab a b ab ππ=∴+-+=+-⋅，即16222a b a b =-⋅， 6ab ∴=，11sin 66022S ab C sin ∴==⨯⨯=，故选C. 5．C【解析】()()2222112211b a b a b a aba b ab a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+448=+≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故选C. 6．C 7．A【解析】∵函数()()1nf x m x =-为幂函数，∴11m -=, 解得2m =.∴()nf x x =,由条件得点()2,8在函数()nf x x =的图象上， ∴()228nf ==，解得3n =.∴()3f x x =，∴函数()3f x x =在R 上单调递增。

静海一中2017-2018第一学期高三数学期末终结性检测试卷1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题（136分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共150分。

2. 试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

第Ⅰ卷 基础题（共136分）一、选择题: （每小题5分，共40分）1.已知集合}21|1||{≤-∈=x R x A ，集合{|}B x x a =>，若A B φ⋂≠，则实数a 的取值范围是（ ） A 32a ≥B 23≤aC 2321≤≤a 32a <2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 是3，则判断框内可填写（ ）A ．3-=aB ．?0=aC ．3=aD ．1=a 3．已知下列说法其中正确说法的个数是（ ）①命题“若0x =或0y =则0=xy ”的否命题为“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；② “2a =”是“直线410ax y ++=与直线30ax y --=垂直”的充要条件； ③命题“,ln0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”④若关于实数x 的不等式x a x x <++-3121无解，则实数a 的取值范围是(]5,∞-. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.为了得到函数x x x y 2cos 21cos sin 3+=的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）A. 向左平移12π个长度单位B. 向右平移12π个长度单位C. 向左平移6π个长度单位D. 向右平移6π个长度单位5.已知>0,>0a b ，双曲线2222=1-x y a b的右焦点为1F ，抛物线2=x 的焦点为2F ，若双曲线的一条渐近线恰好平分线段12F F ，则双曲线的离心率为（ ）236.已知ABC ∆中,1AB =，sin sin A B C +=，3sin 16ABC S C ∆=，cos C =（）A 45B 35C 137．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 相交于点F .若2=AB ，AD =45BAD ∠=︒，则=⋅BE AF （ ）A ．12 B ．1 C ．1- D ．12- 8．已知函数()()()log 1,1121,13a x x f x f x a x +-<<⎧⎪=⎨-+-<<⎪⎩(0,1)a a >≠,若12x x ≠,且()()12f x f x =,则12x x +与2的大小关系是（ ）A.恒大于2B.恒小于2C.恒等于2D.与a 相关.二. 填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 9．某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中, 面积最大的面的面积是10．已知复数z 满足()i z i 1323=+，则z 所对应的点位于复平面的第 象限． 11. 已知直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为05cos 62=+-θρρ，则圆心C 到直线距离为 .12.某校开设A 类课3门，B 类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 13．已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y满足0200y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩,则||OA OP OA ⋅ 的最小值是 __.14．已知532)51(xx -的展开式中的常数项为m ，函数)(x f 是偶函数且满足)()(x f x m f -=+，当,)(,]1,0[x x f x =∈时 若在区间]3,1[-内，函数k kx x f x g --=)()(有4个零点，则实数k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6题，共66分） 15．函数f(x)=)2(cos )cos sin (cos 2π-+-x x x a x ,满足f(3π-)=f(0),（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期;（Ⅱ）求函数f(x)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡24114ππ，上的最大值和最小值. 16.（13分） 某银行招聘，设置了A 、B 、C 三组测试题供竞聘人员选择. 现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A 组测试，丙独自参加B 组测试，丁、戊两人各自独立参加C 组测试．若甲、乙两人各自通过A 组测试的概率均为23；丙通过B 组测试的概率为12；而C 组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少 答对3题者就竞聘成功. 但丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题. （Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率.（Ⅱ）记A 、B 两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望.17.（13分）如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，π3BAD ∠=，2AD =，DE ． （Ⅰ）异面直线AE 与DC 所成的角余弦值； （Ⅱ）求证平面AEF ⊥平面CEF ； （Ⅲ）在线段AB 取一点N ，当二面角N EF C --的大小为60︒时，求||AN ．18．（13分）已知在数列{}n a 中，n S 是前n 项和，满足 ,(1,2,3,)n n S a n n +== 令 (2)(1)n n b n a =--（1,2,3n =…）（Ⅰ）求{}n a 的表达式；（Ⅱ）如果对任意*n ∈N ，都有 214≤nb t t +，求实数t 的取值范围； （Ⅲ）若(2)(0)n n nc x b x =≠，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（14分）已知椭圆22:14x C y +=，点()00,M x y 是椭圆C 上一点，圆()()22200:M x x y y r -+-=.（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程； （2）从原点O 向圆()()22004:5M x x y y -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于P,Q 两点（P,Q 不在坐标轴上），设OP ，OQ 的斜率分别为12,k k .①试问12k k 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由； ②求OP OQ ⋅的最大值.第Ⅱ卷 提高题（共14分）20. 已知函数x x ae x ae x f xx+--=2212)(． （1）求函数)(x f 在))2(,2(f 处切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）对任意[]1,0,21∈x x ，1)()(12+≤-a x f x f 恒成立，求a 的范围．静海一中2017-2018第一学期高三数学期末终结性检测试卷试卷书写规范工整，卷面整洁清楚，酌情减3-5分，并计入总分。

第（3）题2017～2018学年度第一学期期末六校联考高三数学（理）试卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再填涂。

一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求． （1）若集合{}{}22,R ,230,R x A y y x B x x x x ==∈=-->∈,那么R A B （）=（ ）。

(A ）(]3,0 （B ）[]3,1- （C ）()+∞,3（D)()()0,13,-+∞（2）已知实数y x ,满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤，≤，≥，则目标函数12--=y x z 的最大值为（ ).（A)3-（B)21(C ）4（D)5（3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序,若输入x 的值为1,则输出S 的值为（ )。

（A ）64 （B ）73 （C ）512 (D)585（4）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“2212a a <”是“数列{}n a 为递增数列"的（ ）。

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知双曲线 与抛物线x y 42=共焦点，双曲线与抛物线的一公共点到抛物线准线的距离为2,双曲线的离心率为 ，则22b e -的值是（ ）。

（A 21（B ）222(C ）422-（D ）4e)0,(12222>=-b a b ya x第（12）题（6）已知函数2()2cos f x x x =-，则2(2f ,13(log 2)f ,2(log 3)f 的大小关系是（ ）.（A))2(log 31f <)3(log 2f <)2(2f（B ）)2(log 31f <)2(2f <)3(log 2f（C))3(log 2f <)2(log 31f <)2(2f（D ）)2(2f <)3(log 2f <)2(log 31f（7)已知O 是ABC △的外心，10,6==AC AB ，若AC y AB x AO +=，且5102=+y x )0(≠x ，则ABC △的面积为（ ）. （A ）24（202（C)18（D ）220（8)已知函数211)(--+=x x x f ,函数1)(2+-=x ax x g ．若函数)()(x g x f y -=恰好有2个不同零点,则实数a 的取值范围是（ )． （A ）),0(+∞（B ）),2()0,(+∞-∞（C)),1()21,(+∞--∞(D))1,0()0,( -∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年高三第一学期末数学(理)试卷第Ⅰ卷 选择题 (共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于 .A M N ⋃ .B M N ⋂.C ()U C M N ⋂ .D U M C N ⋂2.若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x z 2+=的最小值为.A 3 .B 4 .C 7 .D 2 3. 执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .A 2.B 21.C -1 .D 1-4. 如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,120AB BC CAB ==∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为.A π 3.πB .C π22 .D 2π 5.在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，54cos =A ,2=b ,面积3=S ，则a 为(第4题图).A 53 .B 13 .C 21 .D 17 6. 给出下列命题：①若m b a ,,都是正数，且bam b m a >++，则b a <； ②若)('x f 是)(x f 的导函数，若0)(',≥∈∀x f R x ，则)2()1(f f <一定成立； ③命题"012,"2<+-∈∃x x R x 的否定是真命题；④“1||≤x ，且1|≤y |”是“2||≤+y x ”的充分不必要条件. 其中正确命题的序号是A.①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④7. 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 与抛物线)0(22>=p px y 的交点为A 、B ，直线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为.A 12+ .B 3 .C 2 .D 28. 已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（*N n ∈，且2n ≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程|log |)(x x f a =有且仅有四个实数解，则实数a 的取值范围为A ．B ．C ．()2,10D ．[]2,10第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上)9.若复数()2,12bib R i i-∈+为虚数单位的实部和虚部互为相反数，则b =_____. 10.若n x x )13(32-展开式中各项系数和为128,则展开式中31x 系数是 . 11. 若函数2x y =与)0(>=k kx y 图象围成的阴影部分的面积29，则=k . 12.若某几何体的的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .13.圆O 中,弦,7,2==AC AB 则⋅的值为 . 14.已知实数c b a ,,满足0,222≠=+c c b a ,则ca b2-的取值范围是 .(第12题图)正视图侧视图俯视图三、解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知函数1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f ωωω,且)(x f 的周期为2 .（Ⅰ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 时，求)(x f 的最值；（Ⅱ）若41)2(=παf ，求)32cos(απ-的值.16. (本小题满分13分)在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知15,252==S a .公比为2的等比数列}{n b 满足6042=+b b ． （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b ac 2=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．ASBEFD17. (本小题满分13分)如图,三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AC AB SA ===，AC ⊥AB ，D ，E 分别是AC ，BC 的中点，F 在SE 上，且2SF FE =．（Ⅰ）求证：AF ⊥平面SBC ；（Ⅱ）在线段上DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30︒？若存在， 求出DG 的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分)椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的焦距为4，且以双曲线1422=-x y 的实轴为短轴，斜率为k 的直线经过点)1,0(M ，与椭圆C 交于不同两点A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围．(第17题图)19. (本小题满分14分)已知数列}{n a 满足)()1(2,1*11N n a a a n n n ∈-+==+.（Ⅰ）若3112-=-n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列并求其通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：11a +21a +…+na 13<.20. (本小题满分14分)已知函数x ax x h ln 2)(+-= （Ⅰ）当1=a 时，求)(x h 在))2(,2(h 处的切线方程； （Ⅱ）令)(2)(2x h x a x f +=，已知函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且2121>⋅x x ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若存在]2,221[0+∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.答题纸二、填空题（每题5分，共40分）9.__________________.10.__________________.11.__________________.12.______________ _ . 13.__________________. 14.__________________.三、解答题（共80分）15.（本题13分）16.（本题13分）17.（本题13分）18.（本题13分）ASB CEFD19.（本题14分）20.（本题14分）参考答案 一选择题(每小题5分): CABC BDBA 二填空题: (每小题5分) 9.32-. 10. 21 11.3 12.215+ 13.2314.]33,33[-三解答题:15. (1）x x x f ωω2sin 32cos )(+=)62sin(2πω+=x ………………1分,2=T ∴ 2πω=………………2分)6sin(2)(ππ+=∴x x f ………………3分2121≤≤-x ππππ3263≤+≤-∴x 1)6sin(23≤+≤-∴ππx …………4分 2)6sin(23≤+≤-∴ππx ………………5分当21-=x 时,)(x f 有最小值3-,当31=x 时,)(x f 有最大值2. …………6分 （2）由41)2(=παf ，所以41)62sin(2)62sin(2=+=+∙παππαπ所以81)62sin(=+πα----------------------------------8分而81)26sin()26(2cos )23cos(=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-απαππαπ--------------10分 所以1)23(cos 2)23(2cos )32cos(2--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-απαπαπ------------12分即32311)62(sin 2)32cos(2-=-+=-πααπ------------------------13分16.解：（Ⅰ）由,15,252==S a 得n a n =------------3分公比为2的等比数列}{n b 满足6042=+b b ．所以n n b 23⋅=------------6分（Ⅱ）n c ==．------------7分则．令．则．------------9分两式作差得：==．------------11分∴．故．------------13分17. （1）由2AC AB SA ===，AC AB ⊥，E 是BC 的中点，得AE =．因为SA ⊥底面ABC ，所以SA AE ⊥． ------------2分在Rt SAE △中，SE =，所以13EF SE ==．因此2AE EF SE =⋅，又因为AEF AES ∠=∠， 所以EFA EAS △∽△，则90AFE SAE ︒∠=∠=，即AF SE ⊥． ------4分因为SA ⊥底面ABC ，所以SA BC ⊥，又BC AE ⊥， 所以BC ⊥底面SAE ，则BC AF ⊥．又E BC SE =⋂，所以AF ⊥平面SBC ．(向量法请酌情给分)（2）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =()10(≤≤t 以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直线坐标D xyz -，则(0,0,0)A ，(0,0,2)S ，(1,1,0)E ，(1,,0)G t ．由2SF FE =得222(,,)333F ．F所以)0,1,1(=，)32,32,32(=，)0,,1(t =． --------------7分设平面AFG 的法向量为),,(111z y x =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0032323211111ty x z y x ，取1y =得)1,1,(--=t t ．--------------9分设平面AFE 的法向量为),,(222z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0032323222222y x z y x ，取1y =，即)0,1,1(-=．--------------11分由二面角G AF E --的大小为30︒，得2330cos 0==，化简得22520t t -+=，又01t ≤≤，求得12t =． 于是满足条件的点G 存在，且12DG =． --------------13分18.解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………2分又以双曲线1422=-x y 的实轴为短轴∴b=2………………………… 4分∴标准方程为14822=+y x ………………………………………5分 （2）设直线l 方程：y=kx+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由⎪⎩⎪⎨⎧=++=148122y xkx y 得064)21(22=-++kx x k∴x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2216k+- ……………………7分由（1）知右焦点F 坐标为（2，0），∵右焦点F 在圆内部，∴BF AF ⋅＜0………………………………9分 ∴（x 1 -2）（x 2-2）+ y 1y 2＜0即x 1x 2-2（x 1+x 2）+4+k 2 x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＜0…………………… 10分 ∴222221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-⋅-++-⋅+＜0…………… 12分∴k ＜81……………………………………… 13分 19.解：（1）22122(1)n n n a a +=+-= 2121212[2(1)]141,n n n a a ---+-+=-212112121144334,1133n n n nn n a a b b a a +-+----===--…………………………3分1112.33b a =-=所以{}n b 是首项为23，公比为4的等比数列，124.3n n b -=⨯………5分（2）由（Ⅰ）可知1212112114(21)3333n n n n a b ---=+=⨯+=+，……………………7分 21212221212(1)(21)1(21).33n n n n n a a ---=+-=+-=- ………………8分所以11(2(1))3n n n a +=+-，或1(21);(2)31(21).(21)3nn n n k a n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=-⎪⎩………………9分（3） ∴22122111212,2.3333n n n n a a --=⋅-=⋅+ 21221222121222122122121221212113321213(22)222213(22)3(22)222122n nn n n n n n n n n n n n n n n n na a ----------+=++-⨯+=⋅+--⨯+⨯+=≤⋅+-⋅ 21211322n n-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………………11分 当n ＝2k 时，1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223211(1)111122331222212k k -⎛⎫≤++++=⨯ ⎪⎝⎭-23332k =-<当n ＝2k －1时，12342322211111111k k k a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ <1234212111111k ka a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<3 ∴1 a 1 ＋1 a 2 ＋…＋1a n ＜3．…………14分20．（1）xa x h 12)('+-=1=a 时x x x h ln 2)(+-= x x h 12)('+-= 2ln 4)2(+-=h 23)2('-=h )(x h 在))2(,2(g 处的切线方程为0142ln 223=--+y x …3分（2）)0(1212)(2>+-=+-='x xax ax x a ax x f0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆211204421212a x x x x a a ，所以21<<a ．…6分（3）由0122=+-ax ax ，解得a a a a x a a a a x -+=--=2221,，∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ． 而)(x f 在),(2+∞x 上单调递增，∴)(x f 在]2,221[+上单调递增． …7分∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(max +-==a f x f ．…8分所以，“存在]2,221[0+∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a m a a 恒成立”，即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+m a ma a 对任意的a （21<<a ）恒成立． …9分 令12ln )1ln()(2+-+--+=m a ma a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a ama ma ma a a g ． …10分①当0≥m 时，0122)(2<+---='a a ma ma a g ，)(a g 在)2,1(上递减．0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0<m 时，1)211(2)(+++-='a m a ma a g ．若)211(1m +-<，记)211,2min(mt --=，则)(a g 在),1(t 上递减． 在此区间上有0)1()(=<g a g ，不合题意． 因此有⎪⎩⎪⎨⎧≤--<12110m m ，解得41-≤m ， 所以，实数m 的取值范围为]41,(--∞．…14分。

2018-2018学年天津市五区县高三上学期期末考试数学（理）一、选择题：共8题1．已知集合,则A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算,对数函数.由题意得,所以.选D.【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.2．设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图所示;,,;当过点时,取得最小值.选A.3．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】本题考查程序框图.起初:；循环1次:;循环2次:,不满足条件,结束循环,输出的值为6.选C.4．已知是钝角三角形,若,且的面积为,则A. B. C. D.3【答案】B【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式.因为,,所以,所以或；当时,,由余弦定理知,解得；因为,所以是直角三角形,舍去; 当时,,由余弦定理知,解得；因为是钝角三角形,所以由大边对大角知,为最大角,符合题意.所以.所以.选B.【备注】余弦定理:.三角形的面积公式:.5．设是公比为的等比数列,则“”是“为单调递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】本题考查充要条件,等比数列.“”推不出“为单调递增数列”,若,,即充分性不成立;“为单调递增数列”推不出“”,若,,即必要性不成立;所以“”是“为单调递增数列”的既不充分也不必要条件.选D.6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2,且双曲线的一条渐近线与直线平行,则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质.双曲线的渐近线与直线平行,所以,即,排除B,C;的焦点到渐近线的距离,即A正确.选A.【备注】双曲线,离心率,,渐近线为.7．在中,在上,为中点,相交于点,连结.设,则的值分别为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算.因为为中点,所以,;因为三点共线,所以存在实数,使得=,所以=;三点共线,同理存在实数,使得=;所以,解得;所以=,而,所以.选C.8．已知(其中是自然对数的底数),当时,关于的方程恰好有5个实数根,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.,;当时,,单减;当时,,单增;所以取得极小值,取得极大值;画出的草图(如图所示);当时,恰好有5个实数根,即或恰好有5个实数根;当,有3个实数根,则,满足题意;当,有2个实数根,则,满足题意;当,有1个实数根,不满足题意;所以,即实数的取值范围是.选D.二、填空题：共6题9．已知是虚数单位,若,则的值为__________．【答案】【解析】本题考查复数的概念与运算.因为,所以,所以,解得,所以.10．在的展开式中,的系数为__________.(用数字作答)【答案】【解析】本题考查二项式定理.其展开式的通项公式=,令,即,可得的系数为.11．某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是____________．【答案】【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积.该空间几何体为三棱柱;所以该几何体的表面积.12．在平面直角坐标系中,由曲线与直线和所围成的封闭图形的面积为__________.【答案】【解析】本题考查定积分.由题意得所围成的封闭图形的面积===.13．在直角坐标系中,已知曲线为参数),曲线为参数,),若恰好经过的焦点,则的值为．【答案】【解析】本题考查参数方程.削去得曲线:;削去得曲线:,其焦点为;而恰好经过的焦点,所以,而,所以的值为.14．已知,若方程有且仅有一个实数解,则实数的取值范围为．【答案】【解析】本题考查函数与方程,导数在研究函数中的应用.当时,,,;方程有且仅有一个实数解,即与的图像只有一个交点,如图所示,可得.即实数的取值范围为.三、解答题：共6题15．已知函数.(1)求的最小正周期;(2)当时,的最小值为2,求的值.【答案】(1)函数==,故函数的最小正周期;(2)由题意得,故,所以.【解析】本题考查三角函数的性质与最值,三角恒等变换.(1)三角恒等变换得,故;(2),所以.16．某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛,其中3名来自学校且1名为女棋手,另外4名来自学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛.(1)求在参加第一阶段比赛的队员中,恰有1名女棋手的概率;(2)设为选出的4名队员中两校人数之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)由题意知,7名队员中分为两部分,3人为女棋手,4人为男棋手,设事件A“恰有1位女棋手”,则；所以参加第一阶段的比赛的队员中,恰有1位女棋手的概率为.(2)随机变量的所有可能取值为其中,,.所以,随机变量的分布列为随机变量的数学期望.【解析】本题考查古典概型,随机变量的分布列与数学期望.(1).(2)的所有可能取值为,求得,,.列出的分布列,求得.17．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,在上,且,侧棱平面(1)求证:平面平面;(2)若为等腰直角三角形.(i)求直线与平面所成角的正弦值;(ii)求二面角的余弦值.【答案】(1)法一:∵,知,且，故.同理可得,且,,.又∵平面,∴;而,∴平面.平面,故平面平面;(2)(i)由(1),平面的一个法向量是;因为为等腰直角三角形,故.设直线与平面所成的角为,则(ii)设平面的一个法向量为由∴,令,则,∴；显然二面角的平面角是锐角,∴二面角的余弦值为.【解析】本题考查线面垂直,空间向量的应用.(1)证得,,∴平面,故平面平面;(2)(i)平面的法向量,,直线与平面所成的角的正弦值;(ii)平面的法向量,∴,即二面角的余弦值为.18．已知数列的前项和,数列的前项和为.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和;(3)证明:.【答案】(1)当时,，,两式相减:;当时,,也适合；故数列的通项公式为.(2)由题意知:；=，；两式相减可得:,即，；求得.(3),显然,即;另一方面,,即,…,；；即:.【解析】本题考查等差数列,数列求和.(1);当时,也适合;故.(2),错位相减得;(3)由基本不等式得,所以;而;所以.19．已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,若的周长为6,且点到直线的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)设是椭圆长轴的两个端点,点是椭圆上不同于的任意一点,直线交直线于点,若以为直径的圆过点,求实数的值.【答案】(1)由已知得,解得.所以椭圆的方程为.(2)由题意知,设,则,得.且由点在椭圆上,得.若以为直径的圆过点,则,所以；因为点是椭圆上不同于的点,所以.所以上式可化为；解得.【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由已知求得,所以椭圆为.(2)若以为直径的圆过点,则,联立方程,求得.20．已知函数,函数的图像记为曲线(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;(2)若函数有两个零点,且为的极值点,求的值;(3)设曲线在动点处的切线与交于另一点,在点处的切线为,两切线的斜率分别为,是否存在实数,使得为定值?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】解法一:(1)；当时，所以；而在处取得最小值,所以;解得;(2)因为为的极值点,所以,即；又因为有不同的零点,所以,即,整理得:；所以．(3)满足条件的实数存在,由,知过点与曲线相切的直线为:,且将与联立即得点得横坐标,所以即:整理得:，由已知,所以；所以,即B点的横坐标为；所以过点B的曲线的切线斜率====；因此当且仅当时,成比例,这时；即存在实数,使为定值．解法二:(1),当时,所以对任意的恒成立,故,即；故的取值范围是;(2)因为为的极值点,且有两个零点,所以的三个实数根分别为,由根与系数的关系得;(3)满足条件的实数存在,因为；所以过点且与相切的直线为:,其中.设与交于另一点,则必为方程的三个实数根由得因为上述方程的右边不含三次项和二次项,所以,所以所以==.因此当且仅当时,成比例,这时；即存在实数,使为定值.【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用.(1)当时,，所以,解得;(2),即；而,求得;(3)求得直线:,且；与联立得B点的横坐标为;求得；即存在实数,使为定值．。

天津市部分区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}04|{2≤-=x xA ，集合}01|{>-=x xB ，则=B A I （ ） A ． )2,1( B ． ]2,1(C ．)1,2[-D ．)1,2(-2.“4πα=”是“02cos =α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要3.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥01209320y x y x x ，则目标函数y x z 2+=的取值范围是（ ）A ．),6[+∞B ．),5[+∞C ．]6,5[D ． ]5,0[4.阅读如图所示的程序框图，若输入的b a ,分别为1，2，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．320 B ．516 C. 27 D ．815 5.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点为)0,2(-F ，且双曲线的两条渐近线的夹角为060，则双曲线的方程为（ ）A ．1322=-y x B ．12622=-y x C. 1322=-y x 或1322=-y x D ．1322=-y x 或12622=-y x 6.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B C 2sin sin =，且2=b ，3=c ，则a 等于（ ） A ．21B ．3 C. 2 D ．32 7.如图，平面四边形ABCD 中，090=∠=∠ADC ABC ，2==CD BC ，点E 在对角线AC 上，44==AE AC ，则ED EB •的值为（ ）A ． 17B ．13 C. 5 D ．1 8.已知函数xxee xf -+=)(（其中e 是自然对数的底数），若当0>x 时，1)(-+≤-m ex mf x恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．)31,0( B ．]31,(--∞ C. ),31[+∞ D ．]31,31[-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知i 为虚数单位，则=+-ii12 ． 10.在6)12(xx -的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答） 11.一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为 ．12.已知曲线3x y =与直线)0(>=k kx y 在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则=k ．13.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线⎩⎨⎧==t y t x 442（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛物线上，动点Q 在圆⎩⎨⎧=+=ααsin cos 3y x （α为参数）上，则||||PQ PF +的最小值为 ．14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0|,ln |0,131)(x x x x x f ，若函数0)(=-ax x f 恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数x x x x x f cos sin 32sin cos )(22+-=，R x ∈.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值与最小值. 16.某大学现有6名包含A 在内的男志愿者和4名包含B 在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作. （1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的概率；（2）设X 表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 在如图所示的几何体中，AC DE //，090=∠=∠ACD ACB ，32==DE AC ，2=BC ，1=DC ，二面角E AC B --的大小为060.（1）求证：⊥BD 平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）的大小；（3）若F 为AB 的中点，求直线EF 与平面BDE 所成的角的大小. 18. 已知}{n a 是等比数列，满足21=a ，且432,2,a a a +成等差数列. （1）求}{n a 的通项公式；（2）设n n na b 2=，数列}{n b 的前n 项和为n S ，4792)(2-+-=n S n n n g ),2(*N n n ∈≥，求正整数k 的值，使得对任意2≥n 均有)()(n g k g ≥.19. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1F ，离心率为21，1F 为圆0152:22=-++x y x M 的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于B A ,两点，过2F 且与l 垂直的直线1l 与圆M 交于D C ,两点，求四边形ACBD 面积的取值范围. 20. 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，R a ∈. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）当21-=a 时，令)(21)(2x f x x g --=，其导函数为)('x g ，设21,x x 是函数)(x g 的两个零点，判断221x x +是否为)('x g 的零点？并说明理由.天津市部分区2017～2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）参考答案一、选择题:1－8CABDC CDB二、填空题：9．3 14三、解答题：（15）解：（16）解：（I(II)（17）解：方法一：（I（II ）由BD⊥平面ACDE 得BD DC ⊥，BD DE ⊥，又AC CD ⊥，即DB ，DC ，DE 两两垂直，则以DB u u u r ，DC u u u r ，DE u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．由（I ）知3BD =， 则()0,0,0D ，()3,0,0B，()0,1,0C ，由23AC DE ==得30,0,2E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,3A 依题意30,1,2AE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，()3,1,3AB =--u u ur ，设平面BAE 的一个法向量为(),,n x y z =r，则00n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即302330y z x y z ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，不妨设3y =，可得()3,3,2n =--r ， 由AC ⊥平面BCD 可知平面BCD 的一个法向量为()0,0,3AC =u u u r设平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为θ，所以61cos cos ,432n AC n AC n ACθ⋅====⨯r u u u rr u u u r r u u ur ，于是=3πθ， 所以平面BCD 与平面BAE 所成的角（锐角）为3π． （III ）若F 为AB 的中点，则由（II ）可得313,,222F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以31,,022EF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，依题意CD ⊥平面BDE ，可知平面BDE 的一个法向量为()0,1,0DC =u u u r，设直线EF 与平面BDE 所成角为α，则1sin cos ,2DC EF DC EF DC EFα⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，所以直线EF 与平面BDE 所成角的大小6π．方法二：（I ）因为90ACB ACD ∠=∠=o，则AC CD ⊥，AC CB ⊥， 所以BCD ∠为二面角B AC E --的平面角，即60BCD ∠=o， 在BCD ∆中，2BC =，1DC =，60BCD ∠=o， 所以214122132BD =+-⨯⨯⨯=，所以222BD DC BC +=，即BD DC ⊥， 由AC CD ⊥，AC CB ⊥，且BC DC C =I ，可知AC ⊥平面BCD ， 又BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又因为AC DC C =I ，AC ⊂平面ACDE ，DC ⊂平面ACDE ， 所以BD ⊥平面ACDE ．（Ⅱ）令CD AE ,的延长线的交点为G ，连BG 。

静海一中2017-2018第一学期高三数学（理12月）提高卷1.(15分)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,2⎛ ⎝⎭，离心率为2， 1A ， 2A 是椭圆C 的长轴的两个端点（2A 位于1A 右侧），B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q ，使得向量OP OQ + 与2A B共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.2.（15分）已知函数()()1ln ,f x a x x x a R =-+∈，函数()f x 的导函数为()f x '．⑴ 若直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点，求l 的方程； ⑵ 若102a <≤，求证：当1x ≥时， ()xef x e '≤恒成立； ⑶ 若当1x ≥时， ()xef x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围．答案:1．（1）2212x y +=（2）不存在【解析】试题分析：（1）依题意得22222,{1112a b c c a a b=+=+=解得22a =， 21b =. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）假设存在过点(且斜率为k 的直线l 适合题意，则因为直线l 的方程为：y kx =，于是联立方程，22{12y kx x y =⇒+=221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.由直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q 知， 221842k k ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭2420k ->， 212k ∴>.令()11,P x y ， ()22,Q x y ，()1212,OP OQ x x y y ∴+=++，由韦达定理得出结论，OP OQ ⎛∴+= ⎝⎭)2,1k =-，根据向量OP OQ + 与2A B 共线，可得2k =k =，这与212k >矛盾.试题解析：（1）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，.依题意得22222,{21112a b c c a a b=+=+=解得22a =， 21b =. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）假设存在过点(且斜率为k 的直线l 适合题意，则因为直线l 的方程为：y kx =22{12y kx x y =+⇒+=221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭.由直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q 知，221842k k ⎛⎫∆=-+= ⎪⎝⎭2420k ->， 212k ∴>.令()11,P x y ， ()22,Q x y ， ()1212,OP OQ x x y y ∴+=++，12212x x k +=-+ ， ()1212y y k x x +=++212k=+，OP OQ ⎛∴+= ⎝⎭)2,1k =-，由题知)2A ， ()0,1B ，()2A B.从而，根据向量OP OQ + 与2A B共线，可得2k =k =，这与212k >矛盾.……14分 2．(1) 0x y -=;(2)详见解析;(3) 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】试题分析：（1）由直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点转化为曲线()y f x =必恒过定点，即可求出切线l 的方程（2）构造()()xh x e ef x =-'，研究()h x 的单调性，从而证明当1x ≥时， ()xef x e '≤恒成立（3）按照题目意思构造()()xg x e ef x =-，求导后进行分类讨论，当0a ≤时、当102a <≤时和当12a >时三种情况，求得实数a 的取值范围 解析：⑴ 因为直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点， 所以曲线()y f x =必恒过定点，由()()1ln ,f x a x x x a R =-+∈，令()1ln 0x x -=，得1x =， 故得曲线()y f x =恒过的定点为()1,1.因为()1ln 11f x a x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭'，所以切线l 的斜率()11k f ='=， 故切线l 的方程为y x =，即0x y -=. ⑵因为()1ln 11f x a x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭'， 所以令()()[)1ln 11,1,x x h x e ef x e e a x x x ⎡⎤⎛⎫=-=-+-+∈+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣'⎦， ()211x h x e ea x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭'，设()211,1x m x e ea x x x ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，()32210x m x e ea x x ⎛⎫=++ ⎝'>⎪⎭， ()m x ∴在[)1,+∞上单调递增，当102a <≤时， ()()1120m e a =-≥， ()0m x ∴≥即()0h x '≥在[)1,+∞上恒成立， ()h x ∴在[)1,+∞上单调递增，因为()10h =，故当1x ≥时， ()0h x ≥即()xef x e '≤恒成立；⑶令()()()[)1ln ,1,x x g x e ef x e e a x x x x ⎡⎤=-=--+∈+∞⎣⎦， 则()()()[)1ln 11,1,x x g x e ef x h x e e a x x x ⎡⎤⎛⎫=-==-+-+∈+∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦''. ()211x h x e ea xx ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭'， 1x ≥，①当0a ≤时，因为()0h x '>，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，故()()()00h x g x h ≥'==， 因为当[)1,x ∈+∞时， ()0g x '≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，故()()10g x g ≥=.从而，当1x ≥时， ()xef x e ≤恒成立.②当102a <≤时，由⑵可得()0g x '≥， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，故()()10g x g ≥=.从而，当1x ≥时， ()xef x e ≤恒成立.③当12a >时， ()h x '在[)1,+∞上单调递增， 所以当1x =时， ()h x '在[)1,x ∈+∞内取得最小值()()1120h e a =-<'. 故必存在实数01x >，使得在(]01,x 上()0h x '<，即()h x 在(]01,x 上单调递减， 所以当(]01,x x ∈时， ()()()10h x g x h ≤'==，所以()g x 在[]01,x 上单调递减， 此时存在01x x =>，使得()()010g x g <=，不符合题设要求. 综上①②③所述，得m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.说明：③也可以按以下方式解答： 当12a >时， ()h x '在[)1,+∞上单调递增， 所以当1x =时， ()h x '在[)1,x ∈+∞内取得最小值()1120h a =-<'， 当x →+∞时， 211,0x e a x x ⎛⎫→+∞-+→⎪⎝⎭，所以()h x '→+∞， 故存在()01,x ∈+∞，使得()00h x '=，且当()01,x x ∈时， ()0h x '<， 下同前述③的解答.。

天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（理）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵集合A={x|x2﹣4≤0}={x|﹣2≤x≤2}，集合B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜1}=[﹣2，1）．故选：C．2. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】由cos 2=0得2=kπ+，即=+，k∈Z，则“”是“cos 2=0”的充分不必要条件，故选：A．3. 设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：将目标函数转化为，作出目标函数对应的直线，直线过A（0，3）时，直线的纵截距最小，z最小，最小值为5；则目标函数z=x+2y的取值范围是[5，+∞）故选：B．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.4. 阅读如图所示的程序框图，若输入的分别为1，2，运行相应的程序，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】执行程序框图，可得a=1，b=2，n=1满足条件n≤3，执行循环体，S=1+=，a=2，b=，n=2满足条件n≤3，执行循环体，S=2+=，a=，b=，n=3满足条件n≤3，执行循环体，S=+=，a=，b=，n=4此时，不满足条件n≤3，退出循环，输出S的值为．故选：D．点睛：点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可5. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（）A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】根据题意双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（﹣2，0），有a2+b2=c2=4，①，∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，∴渐近线的斜率为，或渐近线的斜率为：∴=或，②联立①、②可得：a2=1，b2=3，或a2=3，b2=1；则所求双曲线的方程为：或；故选：C．6. 在中，内角的对边分别为，已知，且，，则等于（）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】∵sinC=sin2B=2sinBcosB，且b=2，c=，∴由正弦定理可得：，由于sinB≠0，可得：cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+3﹣2×，可得：2a2﹣3a﹣2=0，∴解得：a=2，或﹣（舍去）．故选：C．7. 如图，平面四边形中，，，点在对角线上，，则的值为（）A. 17B. 13C. 5D. 1【答案】D【解析】由题意可知CE=3，∠BCE=60°，∴EB==，∴cos∠BEC==．∴cos∠BED=2cos2∠BEC﹣1=．∴==1．故选：D．8. 已知函数（其中是自然对数的底数），若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选：B．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 已知为虚数单位，则__________．【答案】【解析】.故答案为：10. 在的展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】240【解析】通项公式T r+1==（﹣1）r26﹣r x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2．∴的展开式中x2的系数==240．故答案为：24011. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为__________．【答案】36【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，四棱柱，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥BC，BC=2AB=2AD=2，侧棱AA1=6，∴该四棱柱的体积为V=．故答案为：36．12. 已知曲线与直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为4，则__________．【答案】4【解析】联立方程可得，解得x=0，或x=，先根据题意画出图形，直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积S=而=（kx2﹣x4）=k2﹣k2=k2=4∴解得k=4，故答案为：4点睛：点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．13. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（为参数）的焦点为，动点在抛物线上，动点在圆（为参数）上，则的最小值为__________．【答案】3【解析】根据题意，抛物线参数方程为，其普通方程为y2=4x，其焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，动点P在抛物线上，设P到准线的距离为d，则d=|PF|，圆的参数方程为（α为参数），其普通方程为（x﹣3）2+y2=1，动点Q在圆上，则|PF|+|PQ|=d+|PQ|，分析可得：当P为抛物线的顶点时，|PF|+|PQ|取得最小值，且其最小值为3，故答案为：3．14. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】画出函数f（x）的图象，如图所示：若函数f（x）﹣ax=0恰有3个零点，则f（x）=ax恰有3个交点，当a=时，y=x和y=f（x）有3个交点，直线y=ax和f（x）相切时，设切点是（m，lnm），由（lnx）′=，故a=，故lnm=1，解得：m=1，故a=，故直线y=x和f（x）相切时，2个交点，综上，a∈，故答案为：．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）当时，取得最小值；当时，取得最大值【解析】试题分析：（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，再求出它的最小正周期；（Ⅱ）由x∈求得f（x）的单调区间，从而求得f（x）的最大、最小值．试题解析：（1），所以，所以的最小正周期为．（2）由，得，所以当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；且当，即时，，此时；当，即时，，此时;当，即时，，此时;所以当时，取得最小值；当时，取得最大值16. 某大学现有6名包含在内的男志愿者和4名包含在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作.（1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的概率；（2）设表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据组合数公式和古典概型概率公式计算；（2）利用超几何分布的概率公式求出概率卖得出分布列，再计算数学期望．试题解析：（1）记参加田赛服务工作的志愿者中包含但不包含的事件为，则基本事件的总数为，事件包含基本事件的个数为，则.(2)由题意知可取的值为：.则因此的分布列为的数学期望是=点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.17. 在如图所示的几何体中，，，，，，二面角的大小为.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的角（锐角）的大小；（3）若为的中点，求直线与平面所成的角的大小.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可得AC⊥CD，AC⊥CB，即∠BCD为二面角B﹣AC﹣E的平面角，即∠BCD=60°，求解三角形可得BD⊥DC，再由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCD，得到AC⊥BD，进一步得到BD⊥平面ACDE；（Ⅱ）由BD⊥平面ACDE，得BD⊥DC，BD⊥DE，可得DB，DC，DE两两垂直，分别以DB，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BAE与平面BCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BCD与平面BAE所成的角；（Ⅲ）若F为AB的中点，由（II）可得，进一步得到，由已知可得平面BDE的一个法向量为，由与所成角的余弦值的绝对值可得直线EF与平面BDE所成角的大小．试题解析：（1）因为，则，，所以为二面角的平面角，即，在中，，，，所以，所以，即，由，，且，可知平面，又平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．（2）由平面得，，又，即，，两两垂直，则以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．由（I）知，则，，，由得，依题意，，设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，可得，由平面可知平面的一个法向量为设平面与平面所成的角（锐角）为，所以，于是，所以平面与平面所成的角（锐角）为．（3）若为的中点，则由（II）可得，所以，依题意平面，可知平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的大小．点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18. 已知是等比数列，满足，且成等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，，求正整数的值，使得对任意均有.【答案】（1）；（2）5【解析】试题分析：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，运用等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，即可得到所求通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，运用数列的求和方法：错位相减法，可得S n，（n≥2，n∈N*），求得g（n+1）﹣g（n）的符号，可得g（n）的单调性，进而得到所求值．试题解析：（1）设数列的公比为，则由条件得：，又，则，因为，解得：，故.（2）由（Ⅰ）得：，则①②①- ②得：，所以则，则由得：当时，；当时，；所以对任意，且均有，故19. 设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意求得a，b的值即可确定椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围试题解析：（1）由题意知，则，圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得．所以椭圆的方程为：.（2）可知椭圆右焦点．（ⅰ）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，可得：，，四边形面积为12.（ⅱ）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，可得：，，四边形面积为.（iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为，并设，.由得.显然，且，.所以.过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以.故四边形面积：.可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,).综上，四边形面积的取值范围为．20. 已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）=x2﹣2lnx﹣x，x1，x2是函数g（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2，可得x12﹣2lnx1﹣x1=0，x22﹣2lnx2﹣x2=0，两式相减化简可得x1+x2﹣1=，再对g（x）求导，判断的符号即可证明试题解析：（1）依题意知函数的定义域为，且.①当时，，所以在上单调递增.②当时，由得：，则当时；当时.所以在单调递增，在上单调递减.（2）不是导函数的零点.证明如下：由（Ⅰ）知函数.∵，是函数的两个零点，不妨设，∴，两式相减得：即：又.则.设，∵，∴，令，.又，∴，∴在上是増函数，则，即当时，，从而，又所以，故，所以不是导函数的零点.。