重庆市巴蜀中学高三数学第一次模拟考试试题文(扫描版,答案不全)

开始 S=0,T=0,n=0T>S S=S+5 n=n+2T=T+n输出T结束是否数学（文）试题5．如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )A ．61 B ．31 C ．21D ．16．执行如图的程序框图，输出的T=( ) 30 B ．25 C ．20 D ．127．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且408321=++++a a a a Λ，则54a a ⋅的最大值是( ) A.5 B.10 C.25 D.508．双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的离心率为2，双曲线C 的渐近线交于B A ,两点，OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（ ）俯视图 正视图 侧视图A.x y 82=B.x y 42=C.x y 22=D.x y 342= 9．定义域为R 的可导函数()x f y =的导函数为()x f '，满足()()x f x f '>，且(),10=f 则不等式()1<x ex f 的解集为（ ) A. ()0,∞- B. ()+∞,0 C.()2,∞- D.()+∞,2 10． 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4 为钝角， M 是边BC 的中点，则AO AM ⋅的值为 ( ). A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.）11．设复数z 的共轭复数为z ，若(1)2,i z i z -=则复数=___________12．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8:15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为____________ 13．已知212cos 1cos sin =-ααα，()21tan =-βα，则_______tan =β14．已知圆C ：()()()0222>=-+-b r b y a x ，圆心在抛物线x y 42=上，经过点()0,3A ，且与抛物线的准线相切，则圆C 的方程为15．已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若c b a <<, 且()()(),f a f b f c ==则223b a cab +的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共计75分）16．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式和前n 项和n S ； （Ⅱ）若n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

{}{}A. y = 4A.7a b巴蜀中学高三 一诊模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数 z = a 2 + a - 2 + (a 2 - 3a + 2)i 为纯虚数，那么实数 a 的值为A.-2B.1C.2D.1 或-22.已知集合 A = x y = log (4 - x 2) ， B = y y = 2 x+ 1 ，则 AB =2A. φB.(1,3)C. (1,+∞)D.(1,2)3.直线 l 过点(0,2)，被圆 C : x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 9 = 0 截得的弦长为 2 3 ，则直线 l 的方程是14x + 2B. y = - x + 2C.y=2D. y = x + 2 或 y=233 34.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为9 8 10 B.C.D.8109115.已知各项不为 0 的等差数列 { n}满足 a4- 2a 2 + 3a = 0 ，数列{ }是等比数列，且b = a ，则b b b =7 8 n 7 7 3 8 10A.1B.8C.4D.26.已知函数 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的奇函数，若对于任意的实数 x ≥ 0 ，都有 f ( x + 2) = f ( x ) ，且当2,0) 4]上单调递增.其中是真命题的为A.2B.3x∈[0,2)时，f(x)=log(x+1)，则f(2014)+f(-2015)+f(2016)的值为2A.-1B.-2C.2D.17.对于函数f(x)=xcosx，现有下列命题：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0,A.②④B.①④C.②③D.①③π9.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2-c2=b，且sin(A-C)=2cos A s in C，则b=A.6B.4C.2D.110.已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是A.39B.63C.83D.611.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNAB的最大值为23C.1D.3312.若函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则称函数f(x)为“和谐函数”.下列函数中：①224 2 8 x13.已知函数 f ( x ) = ⎨ 则 f ( f ( f ( ))) = _______.⎩ 2 x , x ≤ 0,1 1 a （2）设 c =，求数列 {c }的前 n 项和 S .aa1 1g ( x ) = x - 1 + ；② h ( x ) = log (( ) x + ) ；③ p ( x ) = ；④ q ( x ) = ln x .“和谐函数”的个数为1 2A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）⎧log x, x > 0, 13 314.二项式 (2 x - 1 2 x)n(n ∈ N * ) 的展开式中，二项式系数最大的项是第 4 项，则其展开式中的常数项是_____.15.△ABC 中，∠A=120°，∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D ，且 AB=2，CD=2DB ，则 AD 的长为_____16.A ，B ，C ，D 四点在半径为5 2 2的球面上，且 AC=BD=5，AD=BC= 41 ，AB=CD ，则三棱锥 D-ABC 的体积是______.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）已知数列 { }的首项 a = 1 ，且满足 (an1n +1 - 1)a + a nn +1 = 0(n ∈ N * ) .（1）求数列 { }的通项公式；n3n nnnn18.（本小题满分 12 分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，... ，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图，统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；‘（2）若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在[40,60)记 0 分，在[60,80)记 1 分，在[80,100]记 2 分，用 ξ 表示抽取结束后的总记分，求 ξ 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA=2，E是侧棱BB的中点.111111（1）求证：平面AD E⊥平面A D E；111（2）求二面角E-AC-B的正切值.120.（本小题满分12分）椭圆C:x2y2+a2b2=1(a>b>0)，作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为k，k k=-12122 3.（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与x轴交于点D(-3,0)，且满足DP=2QD，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln x-kx+1.（1）若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）证明：ln2ln3ln4ln n1n2+n+10+++⋅⋅⋅++(1+)n<(n∈N*,n≥2). 3815n2-1n4⎩ y = sin ⎩ y = 1 + t,请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .22.（本小题满分 10 分）【选修 4-1：几何证明选讲】如图，在△ABC 中，DC ⊥AB 于 D ，BE ⊥AC 于 E ，BE 交 DC 于点 F ，若 BF=FC=3，DF=FE=2.（1）求证： AD ⋅ AB = AE ⋅ AC ；（2）求线段 BC 的长度.23.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】⎧ x = 2 cos θ , ⎧x = 2 + 3t,已知曲线 C 的参数方程为： ⎨ (θ 为参数），直线 l 的参数方程为： ⎨ (t 为参数），θ ,点 P(2,1)，直线 l 与曲线 C 交于 A ，B 两点.（1）写出曲线 C 和直线 l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求 P A ⋅ PB 的值.24.（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】（1）设函数 f ( x ) =x + 1 + x - 2 - a 的定义域为 R ，试求 a 的取值范围；（2）已知实数 x ，y ，z 满足 x+2y+3z=1，求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值.高 2016 届一诊模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5 ADDCB 6-10 ABACD 11-12BC4.S=1【解析】⎧a2+a-2=0,1.⎨⎩a2-3a+2≠0,即a=-2，故选A.118++⋅⋅⋅+=，故选C.1⨯22⨯38⨯995.设等差数列的公差是d，由a-2a2+3a=0，a-3d-2a2+3(a+d)=0，解得a=2或者a=047877777（舍去），所以b b b=(b)3=8，故选B.381076.由已知f(x)为R上的奇函数，且对于任意的实数x≥0，都有f(x+2)=f(x)，则f(2014)+f(-2015)+f(2016)=f(0)-f(1)+f(0)=-1，故选A.7.f(0)=0，f(2π)=2π，f(0)≠f(2π)，所以②错；f(0)=0，f(π)=-π，f(0)≠-f(π)，所以③错，故选B.8.由题意，当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而23232a+3b13b a1325+=(+)=+(+)≥+2=，故选A.a b a b66a b669.sin A cos C=3cos A s in C⇒2(a2-c2)=b2，又a2-c2=b，代入得b=2，故选C.2310.如图，根据三视图间的关系可得BC=23，∴侧视图中V A=42-(⨯32⨯23)2=23，∴三棱锥侧视图面积S1△VBC=2⨯23⨯23=6，故选D.b a ⎪ a =④错误.若 f(x)在区间[a,b]上单调递减，须满足： f (a) = ， f (b ) = ，对于③，代入有⎨ 2 ，ab=2 2 xT2 2 211.过 A ，B 分别作抛物线准线的垂线 AQ ，BP ，垂足分别为 Q ，P ，连接 AF ，BF ，设 AF = a ， BF = b .由a +b MN 3抛物线定义及余弦定理得： AB 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos120 ，MN = ，由均值不等式得： ≤2 AB 3故选 B.，12.由题意知，若 f(x)在区间[a,b]上单调递增，须满足： f (a) = a b， f (b ) = ，结合图象知：①②正确，2 2⎧ 1 b 2 21 a ⎪ = ⎩ b 21即可.例如： [ ,4] 满足题意，所以③正确，故选 C.2二、填空题13. log 1 1 1 1 【解析】 f ( f ( f ( ))) = f ( f (-1)) = f ( ) = log3 2 3 2 3 2.14.-20【解析】由题意知，展开式中有 7 项，n=6， r +1解得 r=3，所以常数项为-20.= C r (2 x )6-r (- 16)r = (-1)r C r 26-2r x 6-2r ，6-2r=0，6 15. 4CD 2 1 2 【解析】由题意 B ，C ，D 三点共线，且 = ，则 AD = AC + AB ，根据角平分线的性质3 BD 1 3 3AB BD 1 1 2 1 4 4 16 = = ，所以 AC=4， AD 2 = AD = ( AC + AB)2 = AC + AB + AC ⋅ AB = ，所 AC CD 2 3 3 9 9 9 94以 AD = .316.20【解析】如图，设长方体的三条棱长分别为 a ，b ，c ，则有 a 2 + b 2 = 25 ， a 2 + c 2 = 41 ，a 2 +b 2 +c 2 = 50 ，解得 a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积是 20.三、解答题17.解：（1）整理得1an +11- = 1 ， ................................... 3 分 an所以1n na解得：S=(2n-1)44C1C1C1C1+C227=15C21=1+(n-1)=n，所以a=....................................6分n（2）由（1）知，c=n⋅3n，...................................7分nS=1⨯3+2⨯32+3⨯33+⋅⋅⋅+n⨯3n，①n3S=1⨯32+2⨯33+3⨯34+⋅⋅⋅+(n-1)⨯3n+n⨯3n+1，② (9)n分①-②有-2S=3+32+33+⋅⋅⋅+3n-n⨯3n+1，n3⨯3n+1+....................................12分n18.解：（1）设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01+0.015⨯2+0.025+0.005)⨯10+x=1，可得x=0.3.所以频率分布直方图如图所示.....................................4分估计本次考试的平均分为x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.15+75⨯0.3+85⨯0.25+95⨯0.05=71....................6分（2）学生成绩在[40,60)的有0.25⨯60=15人，在[60,80)的有0.45⨯60=27人，在[80,100]的有0.3⨯60=18人，并且ξ的可能取值为0,1,2,3,4......................7分则P(ξ=0)=C215=C260727207；P(ξ=1)=，P(ξ=2)=151827=118C2118C25906060；P(ξ=3)=C1C12718=C2608151；P(ξ=4)=18=295C259060..........................9分所以ξ的分布列为E(ξ)=0⨯7..................................11分272078151+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=2.1........................12分11811859029559019.（1）证明：如图，在矩形ABB A中，E为BB中点且AA=2，AB=1，1111所以AE=A E=2，所以△A AE为等腰直角三角形，11EA⊥AE.......................................2分1在直四棱柱ABCD-A B C D中，因为底面是边长为1的正方形，1111所以A D⊥平面A ABB.1111又因为AE⊂平面A ABB，11所以A D⊥AE，所以AE⊥平面A D E........................4分1111又因为AE⊂平面AD E，所以平面AD E⊥平面A D E....................6分1111（2）解：方法一：因为AB⊥平面B BCC，所以平面ABC⊥平面B BCC，11111所以只需在平面B BCC内过点E作EF⊥BC于F，而EF⊥平面ABC.1111如图，过F作FG⊥AC于G，连接EG，1则∠EGF就是二面角E-AC-B的平面角.....................8分1BCAC 在 RT △EFG 中， tan ∠EGF = EF⎧在 △EBC 中， EF =2S △E BC 111= EB ⋅ C 1B 1 = BC155 ，3 5 所以 C F = C E 2 - EF 2 =.511在 △ A BC 中， FG = C F ⋅ s in ∠FC G = C F ⋅AB1 1 1 11=30 10. ................. 10 分6 = . FG 3所以二面角 E - AC - B 的平面角的正切值大小为 163. ................ 12 分方法二：以 D 为原点，DA ，DC ， DD 分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.1由题意 A (1,0,2) ，E(1,1,1)， D (0,0,2) ，A(1,0,0)， C (0,1,2) ，C(0,1,0)，B(1,1,0)，......7 分1 11AE = (0,1,1) ， C E = (1,0,-1) ，1设平面AEC 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ， 1则 ⎨ y + z = 0 ⎩ x - z = 0⇒ n = (1,-1,1) ，2 2 1 2 1 ⎪⎪ k 1 = y + y ， 解得： e = c 2m 2 +3 2m 2 + 3同理可得，平面 ABC 的一个法向量为 m = (2,0,1) ， .................10 分1代入公式有： cos < m , n >=3 5 ⋅ 3 = 15 5 ，所以二面角 E - AC - B 的平面角的正切值大小为 1 6 3. ................ 12 分20.解：（1）设 P( x , y ) ， Q( x , y ) ，代入椭圆 C 的方程有： 11 2 2 x 2 2 + a 2 y 2 2 = 1, b 2 x 2 y 2 1 + 1 = 1 ， ........................ 2 分 a b 2x 2 - x 2 y 2 - y 2 两式相减： 2 1 + 2 1 = 0 ， a 2 b 2即 ( x 2 - x 1 )( x 2 + x 1 ) a 2 ( y - y )( y + y ) + = 0 ， b 2⎧ 又 ⎨ ⎪k = ⎪⎩ 2 y - y 2 1 x - x 2 1 2 1 x + x 2 1联立两个方程有 k k = - 1 2 b 2 2 =- ， ....................... 4 分 a 2 33 = . .................5 分a3（2）由（1）知 e = c 3 = ，得 a 2 = 3c 2 , b 2 = 2c 2 ， a 3可设椭圆 C 的方程为： 2 x 2 + 3 y 2 = 6c 2 ，设直线 l 的方程为： x = my - 3 ，代入椭圆 C 的方程有(2m 2 + 3) y 2 - 4 3my + 6 - 6c 2 = 0 ，............................6 分因为直线 l 与椭圆 C 相交，所以 ∆ = 48m 2 - 4(2m 2 + 3)(6 - 6c 2 ) > 0 ，4 3m 6 - 6c 2 由韦达定理： y + y = ， y y = . 1 2 1 2又 DP = 2QD ，所以 y = -2 y ，1 222a2即：k≥ln x+196m2代入上述两式有：6-6c2=-，..................8分2m2+3所以S∆OPQ13∆3=OD y-y==1248m2-4(2m2+3)(6-6c2)2m2+3.................9分=18m2m2+3=1812m+3m≤362，......................10分当且仅当m2=32时，等号成立，此时c2=5，代入∆，有∆>0成立，所以所求椭圆C的方程为：x2y2+=1.........................12分151021.（1）解：由f(x)≤0有：kx≥ln x+1，ln x+1，令h(x)=，x xh'(x)=-ln xx2=0，解得x=1，.......................2分在(0,1)上，h'(x)>0；在(1,+∞)上，h'(x)<0.所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即k≥1..................4分（2）证明：由（1）知，当k=1时，ln x≤x-1，当且仅当x=1时，取等号.令x=n2(n∈N*,n≥2)，有ln n2≤n2-1，即ln n1n<<，.................6分n2-122ln2ln3ln4ln n1(n-1)(n+2)+++⋅⋅⋅+<(2+3+⋅⋅⋅+n)=3815n2-124，①..........9分1111令x=1+，有ln(1+)<⇒(1+)n<e<3，②..............11分n n n n①+②有：ln2ln3ln4ln n1n2+n+10+++⋅⋅⋅++(1+)n<(n∈N*,n≥2).......12分3815n2-1n422.（1）证明：由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD⋅AB=AE⋅AC...........................3分（2）解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，⎪⎪ ⎩5由已知，∠BDC=90°，又因为 FG ⊥BC ，所以 B ，G ，F ，D 四点共圆，所以由割线定理知： CG ⋅ C B = CF ⋅ C D ，①...................5 分同理，F ，G ，C ，E 四点共圆，由割线定理知：BF ⋅ BE = BG ⋅ BC ，②......................7 分①+②得： CG ⋅ C B + BG ⋅ BC = CF ⋅ C D + BF ⋅ BE ，即 BC 2 = CF ⋅ C D + BF ⋅ BE = 3 ⨯ 5 + 3 ⨯ 5 = 30 ， .......................8 分所以 BC = 30 . . ................. 10 分23.解；（1）曲线 C 的标准方程为： x 2 2+ y 2 = 1 ， 直线 l 的标准方程为： x - 3 y - 2 + 3 = 0 ..........................5 分⎧ 3x = 2 + t（2）将直线 l 的参数方程化为标准方程： ⎨ 2 （t 为参数）， ...............6 分⎪ y = 1 + 1 t ⎪ 2代入椭圆方程得： 5t 2 + 8( 3 + 1)t + 16 = 0 ，..........................8 分所以 P A ⋅ PB = t t =16 1 2. ......................... 10 分24 解：（1）由题设知，当 x ∈ R 时，恒有 x + 1 + x - 2 - a ≥ 0 ，即 x + 1 + x - 2 ≥ a ，又 x + 1 + x - 2 ≥ 3 ，∴ a ≤ 3 ........................................5 分（2）由柯西不等式 ( x 2 + y 2 + z 2 )(12 + 22 + 32 ) ≥ ( x + 2 y + 3z) 2 = 1 ，∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 14， x y z 1 1 3 当且仅当 = = 时，即 x = ， y = ， z = 时， 1 2 3 14 7 141x2+y2+z2取最小值14.........................10分。

重庆市巴蜀高三上学期第一次模拟考试数学试卷（理）（考试时间：120分钟 满分 150分）一．选择题（每小题5分，共10小题50分，每个小题只有一个正确答案） 1. 已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|1}B x x =>，则U A C B =（ ） A ．{|12}x x << B ．{|0}x x ≤ C ．{|12}x x ≤< D ．{|1}x x ≤2. 已知在等差数列{}n a 中， 36101332a a a a +++=，则8a =（ ） A ．12 B. 8 C ．6 D. 43. 若n xx )3(+的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则=n （ ） A ．4B ． 5C ．6D ． 74. 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -=（ ）A.12-B.14-C.14D.125. 已知点(,)P x y 在不等式 组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y=-的取值范围是（ ）A.[]2,1--B.[]2,1-C.[]1,2-D.[]1,26. 已知向量与AC 的夹角为0120，且||2,||3AB AC ==，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（ ） A ．73 B ．13 C ．6 D ．712 7. 化简=︒-︒︒40sin 125cos 40cos （ ）A.1C.D. 28. 过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为A ，l 与另一条渐近线交于B 点，若2FB FA =，则双曲线的离心率为（ ） A.2B.9. 已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是（ ） A.56B. 1)C. 1D. 1)10. 已知函数52log (1)(1)()(2)2(1)x x f x x x ⎧-<=⎨--+≥⎩，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=的实根个数不可能．．．为（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D. 8个 二．填空题（每小题5分，共5小题25分） 11. 已知复数ii z 1-=（i 为虚数单位），则z =______________。

2022-2023学年重庆市巴蜀中学高三（上）（一模）考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P＝{（x，y）|y＝2x}，Q＝{（x，y）|x2+（y﹣1）2＝0}，则P∪Q＝（）A．{0，1}B．{（0，1）}C．P D．Q2．（5分）已知p：x−1x+2≤0，q：−2≤x≤1，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要3．（5分）已知函数f（x）＝3x﹣2f'（1）lnx，则f'（1）＝（）A．ln3B．2C．3D．3ln34．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x+ln（x+1），则x＜0时，f（x）＝（）A．﹣x﹣ln（1﹣x）B．x﹣ln（1﹣x）C．﹣x+ln（1﹣x）D．x+ln（1﹣x）5．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（x+1）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．函数f（x）有极大值f（﹣3）和f（3）B．函数f（x）有极小值f（﹣3）和f（3）C．函数f（x）有极小值f（﹣3）和极大值f（3）D．函数f（x）有极小值f（3）和极大值f（﹣3）6．（5分）已知正实数a，b满足4a+b +1b+1=1，则a+2b的最小值为（）A．6B．8C．10D．127．（5分）现有10张奖券，其中有一、二、三等奖各1张，其余7张无奖，现将这10张奖券随机分发给5名同学，每人2张，则恰有两人获奖的情况数是（）A ．30B ．60C ．90D ．1208．（5分）已知a ＝68，b ＝77，c ＝86，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞c ＞aB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分、部分选对的得2分，有选错的得0分） （多选）9．（5分）下列说法正确的是（ ）A ．若事件M ，N 互斥，P （M ）＝0.2，P （N ）＝0.6，则P （M ∪N ）＝0.8B ．若P （M ）＝0.4，P （N |M ）＝0.15，则P （MN ）＝0.06C ．若P （MN ）＝0.4，P （M N ）＝0.5，则P(N)=0.9D ．若P （N |M ）＝0.2，P （N ）＝0.2，则事件M ，N 相互独立（多选）10．（5分）在复习了函数性质后，某同学发现：函数y ＝f （x ）为奇函数的充要条件是y ＝f （x ）的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数，则y ＝f （x ）图象关于点P （a ，b ）成中心对称．现在已知函数f （x ）＝2x 3+mx 2+nx +1的图象关于（1，0）成中心对称，则下列结论正确的是（ ） A ．f （1）＝1 B ．f （2）＝﹣1C ．m +n ＝﹣3D ．对任意x ∈R ，都有f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0（多选）11．（5分）如图，在棱长为√2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 在底面正方形ABCD 内运动，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点M 使得A 1M ⊥平面D 1B 1C B ．若A 1M ＝2，则动点M 的轨迹长度为√2π2C ．若A 1M ∥平面D 1B 1C ，则动点M 的轨迹长度为√2D ．若A 1M ⊂平面A 1DB ，则三棱锥B 1﹣MD 1C 的体积为定值（多选）12．（5分）已知函数f（x）={xx−1，x＜15lnxx，x≥1，下列选项正确的是（）A．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），（e，+∞）B．函数f（x）的值域为（﹣∞，1）C．若关于x的方程f2（x）﹣a|f（x）|＝0有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(5e，+∞)D．若关于x的方程f2（x）﹣a|f（x）|＝0有5个不相等的实数根，则实数a的取值范围是[1，5 e )三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）化简(18)−13−log25⋅log58=．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），f（1）＝3，则f（2023）＝．15．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在C 上，已知点A的横坐标为√2，|AF|=2√2，则△AKF的面积S△AKF＝．16．（5分）已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，2f（x）+xf'（x）＞0，且f（2）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝xlnx+ax+b在x＝e时取得极小值1﹣e，其中e＝2.718…是自然对数的底数．（1）求实数a，b的值；（2）若曲线y＝f（x）在点（t，f（t））处的切线过原点（0，0），求实数t的值．18．（12分）炎炎夏日，酷暑难耐！一种新型的清凉饮料十分畅销，如图是某商店7月1日至15日售卖该种饮料的累计销售量（单位：十瓶）的散点图：（参考数据：∑15i=1y i=970，∑15i=1x i2=1240，∑15i=1x i y i=9979）（1）由散点图可知，15日的数据偏差较大，请用前14组数据求出累计销售量y（单位：十瓶）关于日期x（单位：日）的经验回归方程；（2）请用（1）中求出的经验回归方程预测该商店9月份（共30天）售卖这种饮料的累计销售量．附：经验回归方程y=b x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy，a=y−b x．∑n i=1x i2−nx219．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是一个矩形，EF∥AC，AC＝2EF，AB＝AE＝2，AD＝4，∠BAE＝120°．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）若平面EAB⊥平面ABCD，求平面EAB与平面FCD的夹角的余弦值．20．（12分）某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体、极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）估计该度假区2000名㵀客中，消费金额低于1000元的人数；（3）为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），方案A代金券金额50100概率132 3方案B代金券金额0100概率121 2抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A抽奖一次；②消费金额不低于1000元的游客按方案B抽奖两次．记X为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X 的分布列和数学期望E（X）．21．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为√22，且过点(−√2，1)．（1）求椭圆C的方程；（2）已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，M是直线x＝2上不与B点重合的任意一点，O是坐标原点，与直线OM垂直的直线BP与C的另一个交点为P．求证：A，P，M三点共线．22．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣2x（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x＞0时，不等式x ae2x−2f(x)≥cos[f(x)]恒成立，求a的取值范围．2022-2023学年重庆市巴蜀中学高三（上）（一模）考试数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合P ＝{（x ，y ）|y ＝2x }，Q ＝{（x ，y ）|x 2+（y ﹣1）2＝0}，则P ∪Q ＝（ ）A ．{0，1}B ．{（0，1）}C ．PD ．Q【解答】解：∵Q ＝{（x ，y ）|x 2+（y ﹣1）2＝0}＝{（0，1）}， 而x ＝0，y ＝1满足y ＝2x ， ∴Q ⫋P ， 故P ∪Q ＝P ， 故选：C ．2．（5分）已知p ：x−1x+2≤0，q ：−2≤x ≤1，则p 是q 的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要【解答】解：关于p ：x−1x+2≤0，∴{(x −1)(x +2)≤0x +2≠0，解得：﹣2＜x ≤1， q ：﹣2≤x ≤1，那么p 是q 的充分不必要条件， 故选：A ．3．（5分）已知函数f （x ）＝3x ﹣2f '（1）lnx ，则f '（1）＝（ ） A ．ln 3B ．2C ．3D ．3ln 3【解答】解：f ′(x)=3x ln3−2f′(1)x， ∴f ′（1）＝3ln 3﹣2f ′（1）， ∴f ′（1）＝ln 3． 故选：A ．4．（5分）已知f （x ）是R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x +ln （x +1），则x ＜0时，f （x ）＝（ ）A ．﹣x ﹣ln （1﹣x ）B ．x ﹣ln （1﹣x ）C ．﹣x +ln （1﹣x ）D ．x +ln （1﹣x ）【解答】解：令x ＜0，则﹣x ＞0，f （x ）＝f （﹣x ）＝﹣x +ln （﹣x +1）． 故选：C ．5．（5分）设函数f （x ）在 R 上可导，其导函数为f '（x ），且函数y ＝（x +1）f '（x ）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数f （x ）有极大值f （﹣3）和f （3）B ．函数f （x ）有极小值f （﹣3）和f （3）C ．函数f （x ）有极小值f （﹣3）和极大值f （3）D ．函数f （x ）有极小值f （3）和极大值f （﹣3）【解答】解：由图可知，当x ＜﹣3时，x +1＜0，则f '（x ）＜0； 当﹣3＜x ＜﹣1时，x +1＜0，则f '（x ）＞0； 当﹣1＜x ＜3时，x +1＞0，则f '（x ）＞0； 当x ＞3时，x +1＞0，则f '（x ）＜0，所以函数f （x ）有极小值f （﹣3）和极大值f （3）． 故选：C ．6．（5分）已知正实数a ，b 满足4a+b+1b+1=1，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12【解答】解：因为正实数a ，b 满足4a+b +1b+1=1，则a +2b +1＝（a +b +b +1）（4a+b+11+b ）＝5+4b+4a+b +a+b 1+b ≥5+2√4b+4a+b ⋅a+b1+b=9， 当且仅当4b+4a+b=a+b 1+b且4a+b+1b+1=1，即b ＝2，a ＝4时取等号，此时a +2b 取得最小值8． 故选：B ．7．（5分）现有10张奖券，其中有一、二、三等奖各1张，其余7张无奖，现将这10张奖券随机分发给5名同学，每人2张，则恰有两人获奖的情况数是（ ）A．30B．60C．90D．120【解答】解：只需考虑将一、二、三等奖的奖券分配给其中的两人，则两人中有一人分了两张奖券，故恰有两人获奖的情况数是C32A52=60．故选：B．8．（5分）已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【解答】解：设f（x）＝（14﹣x）lnx，则f‘（x）＝﹣lnx+14x−1，∵y＝﹣lnx在（0，+∞）上单调递减，y=14x−1在（0，+∞）上单调递减，∴f′(x)=−lnx+14x−1在（0，+∞）上单调递减，∵f′(5)=−ln5+145−1＞0，f′（6）＝﹣ln6+146−1＜0，∴在（6，+∞）上有f′（x）＜0，∴f（x）＝（14﹣x）lnx在（6，+∞）上单调递减，∴f（6）＞f（7）＞f（8），∴8ln6＞7ln7＞6ln8，∴68＞77＞86，∴a＞b＞c．故选：D．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分、部分选对的得2分，有选错的得0分）（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．若事件M，N互斥，P（M）＝0.2，P（N）＝0.6，则P（M∪N）＝0.8B．若P（M）＝0.4，P（N|M）＝0.15，则P（MN）＝0.06C．若P（MN）＝0.4，P（M N）＝0.5，则P(N)=0.9D．若P（N|M）＝0.2，P（N）＝0.2，则事件M，N相互独立【解答】解：对于A，事件M，N互斥，则P（MN）＝0，P（M∪N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN）＝0.2+0.8﹣0＝0.8，故A正确，对于B，P（MN）＝P（N|M）P（M）＝0.15×0.4＝0.06，故B正确，对于C，P（N）＝P（MN）+P（MN）＝0.4+0.5＝0.9，则P(N)=1−P(N)=1−0.9=0.1，对于D ，P （N |M ）＝0.2，表示在M 发生条件下N 发生的概率为0.2， P （N ）＝0.2表示N 发生的概率为0.2， 则表示M ，N 相关独立，故D 正确． 故选：ABD ．（多选）10．（5分）在复习了函数性质后，某同学发现：函数y ＝f （x ）为奇函数的充要条件是y ＝f （x ）的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数，则y ＝f （x ）图象关于点P （a ，b ）成中心对称．现在已知函数f （x ）＝2x 3+mx 2+nx +1的图象关于（1，0）成中心对称，则下列结论正确的是（ ） A ．f （1）＝1 B ．f （2）＝﹣1C ．m +n ＝﹣3D ．对任意x ∈R ，都有f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0【解答】解：函数f （x ）的图象关于（1，0）成中心对称，且由函数可得定义域为R ，所以f （1）＝2+m +n +1＝0，所以m +n ＝﹣3，故A 错误，C 正确；结合题意可得f （x +1）关于原点对称，所以对任意x ∈R ，都有f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0，故D 正确；f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0代入1得f （2）+f （0）＝0，且f （0）＝1所以f （2）＝﹣1，故B 正确． 故选：BCD ．（多选）11．（5分）如图，在棱长为√2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 在底面正方形ABCD 内运动，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点M 使得A 1M ⊥平面D 1B 1CB ．若A 1M ＝2，则动点M 的轨迹长度为√2π2C ．若A 1M ∥平面D 1B 1C ，则动点M 的轨迹长度为√2D ．若A 1M ⊂平面A 1DB ，则三棱锥B 1﹣MD 1C 的体积为定值【解答】解：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，√2，0)、B 1(√2，√2，√2)、D 1(0，0，√2)、A 1(√2，0，√2)， 设点M （x ，y ，0），其中0≤x ≤√2，0≤y ≤√2，设平面D 1B 1C 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，CD 1→=(0，−√2，√2)，CB 1→=(√2，0，√2)，则{m →⋅CD 1=−√2y 1+√2z 1=0m →⋅CB 1=√2x 1+√2z 1=0，取z 1＝﹣1，则m →=(1，−1，−1)， A 1M →=(x −√2，y ，−√2)，若A 1M ⊥平面D 1B 1C ，则A 1M →∥m →， 则x −√2=−y =√2，解得x =2√2，y =−√2，不合乎题意，A 错； 对于B 选项，若|A 1M|=√(x −√2)2+y 2+2=2，可得(x −√2)2+y 2=2， 则点M 在平面ABCD 内的轨迹是以点A 为圆心，半径为√2的圆的14，所以，动点M 的轨迹长度为√2π2，B 对； 对于C 选项，若A 1M ∥平面D 1B 1C ，则A 1M →⊥m →， 则A 1M →⋅m →=x −√2−y +√2=x −y =0，所以，点M 在底面ABCD 的轨迹为线段BD ，故点M 的轨迹长度为BD ＝2，C 错； 对于D 选项，因为平面A 1BD ∩平面ABCD ＝BD ， 若A 1M ⊂平面A 1BD ，则点M 的轨迹为线段BD ，因为BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1，所以，四边形BB 1D 1D 为平行四边形， 所以，BD ∥B 1D 1，∵M ∈BD ，则点M 到平面D 1B 1C 的距离为定值，又因为△D 1B 1C 的面积为定值，则V B 1−MD 1C =V M−D 1B 1C 为定值，D 对； 故选：BD ．（多选）12．（5分）已知函数f （x ）={xx−1，x ＜15lnx x，x ≥1，下列选项正确的是（ ）A ．函数f （x ）的单调减区间为（﹣∞，1），（e ，+∞）B ．函数f （x ）的值域为（﹣∞，1）C ．若关于x 的方程f 2（x ）﹣a |f （x ）|＝0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是(5e ，+∞)D ．若关于x 的方程f 2（x ）﹣a |f （x ）|＝0有5个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是[1，5e)【解答】解：对于A 选项，当x ＜1时，f （x ）=xx−1，则f ′（x ）=−1(x−1)2＜0，当x ≥1时，f （x ）=5lnx x ，则f ′（x ）=5(1−lnx)x 2，由f ′（x ）＜0可得x ＞e ， 所以，函数f （x ）的单调减区间为（﹣∞，1），（e ，+∞），A 对； 对于B 选项，当x ＜1时，f （x ）=x x−1=1+1x−1＜1， 当x ≥1时，0≤f （x ）=5lnxx ≤f （e ）=5e ， 因此，函数f （x ）的值域为（﹣∞，5e ]，B 错；对于CD 选项，作出函数f （x ）的图像如下图所示：若a ≤0，由f 2（x ）﹣a |f （x ）|＝0，可得f （x ）＝0，则方程f （x ）＝0只有两个不等的实根；若a＞0，由f2（x）﹣a|f（x）|＝0，可得f（x）＝0或f（x）＝a或f（x）＝﹣a，由图可知，方程f（x）＝0有2个不等的实根，方程f（x）＝﹣a只有一个实根，若关于x的方程f2（x）﹣a|f（x）|＝0有3个不相等的实数根，则a＞5e，C对；若关于x的方程f2（x）﹣a|f（x）|＝0有5个不相等的实数根，则1≤a＜5e，D对．故选：ACD．三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）化简(18)−13−log25⋅log58=﹣1．【解答】解：(18)−13−log25⋅log58=2﹣3log25•log52＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），f（1）＝3，则f（2023）＝﹣3．【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得函数周期T＝4，故f（2023）＝f（3+505×4）＝f（3），∵f（1）＝3，又当x＝1时，f（3）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2023）＝﹣3，故答案为：﹣3．15．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在C 上，已知点A的横坐标为√2，|AF|=2√2，则△AKF的面积S△AKF＝4．【解答】解：如图，作AA′⊥l于A′，由抛物线定义知|AA′|=|AF|=2√2，又点A的横坐标为√2，则点K的横坐标为−√2，点F的横坐标为√2，则AF⊥x轴，则S△AKF=12×2√2×2√2=4．故答案为：4．16．（5分）已知奇函数f（x）的定义域为R，当x＞0时，2f（x）+xf'（x）＞0，且f（2）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解答】解：设g（x）＝x2f（x），（x∈R），∵f（x）为R上的奇函数，∴易得g（x）为R上的奇函数，∵g′（x）＝2xf（x）+x2f（x）＝x[2f（x）+xf'（x）]，又当x＞0时，2f（x）+xf'（x）＞0，∴当x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（x）为R上的奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，g（0）＝0，又g（2）＝4f（2）＝0，∴g（﹣2）＝﹣g（2）＝0，作出g（x）的简图如下：数形结合可得g （x ）＝x 2f （x ）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）， ∴f （x ）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知函数f （x ）＝xlnx +ax +b 在x ＝e 时取得极小值1﹣e ，其中e ＝2.718…是自然对数的底数． （1）求实数a ，b 的值；（2）若曲线y ＝f （x ）在点（t ，f （t ））处的切线过原点（0，0），求实数t 的值． 【解答】解：（1）∵f （x ）＝xlnx +ax +b ，∴f ′（x ）＝lnx +1+a ， 则{lne +1+a =0elne +ae +b =1−e，解得a ＝﹣2，b ＝1； （2）由（1）知，f （x ）＝xlnx ﹣2x +1，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2＝lnx ﹣1，则曲线y ＝f （x ）在点（t ，f （t ））处的切线方程为y ﹣（tlnt ﹣2t +1）＝（lnt ﹣1）（x ﹣t ）， 把坐标原点代入，可得﹣tlnt +2t ﹣1＝﹣tlnt +t ，即t ＝1．18．（12分）炎炎夏日，酷暑难耐！一种新型的清凉饮料十分畅销，如图是某商店7月1日至15日售卖该种饮料的累计销售量（单位：十瓶）的散点图：（参考数据：∑15i=1y i=970，∑15i=1x i2=1240，∑15i=1x i y i=9979）（1）由散点图可知，15日的数据偏差较大，请用前14组数据求出累计销售量y（单位：十瓶）关于日期x（单位：日）的经验回归方程；（2）请用（1）中求出的经验回归方程预测该商店9月份（共30天）售卖这种饮料的累计销售量．附：经验回归方程y=b x+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=∑n i=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．【解答】解：（1）由题意可得y=∑15i=1y i−13014=60，x=1+2+⋯+1414=7.5，∑14i=1x i y i=9979−15×130=8029，∑14i=1x i2=1240−152=1015，所以，b=∑14i=1x i y i−14xy∑14i=1x i2−14x2=1729227.5=7.6，a=y−b x=60−7.6×7.5=3，因此，经验回归方程为y=7.6x+3．（2）9月份共有30天，于是累加销售量为y=7.6×30+3=231（十瓶），因此，预测该商店9月份（共30天）售卖这种饮料的累计销售量约为2310瓶．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是一个矩形，EF∥AC，AC＝2EF，AB＝AE＝2，AD＝4，∠BAE＝120°．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）若平面EAB⊥平面ABCD，求平面EAB与平面FCD的夹角的余弦值．【解答】（1）证明：设AC ⋂BD ＝O ，连接OF ，由于EF ∥AO ，EF ＝AO ，所以四边形EFOA 是平行四边形， 所以AE ∥OF ，由于AE ⊄平面BFD ，OF ⊂平面BFD ， 所以AE ∥平面BFD ；（2）解：依题意，面EAB ⊥面ABCD ，∠BAE ＝120°， 以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系， 平面EAB 的法向量为m →=(0，1，0)， E(−1，0，√3)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，AF →=AE →+EF →=AE →+12AC →=(0，2，√3)，DC →=(2，0，0)，DF →=(0，−2，√3)，设平面FCD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅DC →=2x =0n →⋅DF →=−2y +√3z =0，故可设n →=(0，√3，2)， 设平面EAB 与平面FCD 的夹角为θ，则cosθ=|m →⋅n→|m →|⋅|n →||=√3√7=√217．20．（12分）某大型名胜度假区集旅游景点、酒店餐饮、休闲娱乐于一体、极大带动了当地的经济发展，为了完善度假区的服务工作，进一步提升景区品质，现从某天的游客中随机抽取了500人，按他们的消费金额（元）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）估计该度假区2000名㵀客中，消费金额低于1000元的人数；（3）为了刺激消费，回馈游客，该度假区制定了两种抽奖赠送代金券（单位：元）的方案（如下表），方案A代金券金额50100概率132 3方案B代金券金额0100概率1212抽奖规则如下：①消费金额低于1000元的游客按方案A 抽奖一次； ②消费金额不低于1000元的游客按方案B 抽奖两次．记X 为所有游客中的任意一人抽奖时获赠的代金券金额，用样本的频率代替概率，求X 的分布列和数学期望E （X ）．【解答】解：（1）a =1200−0.00025×2−0.0005−0.001×2−0.00125＝0.00075， （2）如图，500人中消费金额低于1000元的人数为： 500×（0.00025+0.0005+0.001+0.00125）×200＝300（名），（3）∵X 的可能取值为0，50，100，200游客消费低于1000元的概率为300500=0.6，则不低于1000的概率为0.4， ∴P （X ＝0）＝0.4×12×12=0.1， P （X ＝50）＝0.6×13=0.2，P （X ＝100）＝0.6×23+0.4×12×12×2=0.6， P （X ＝200）＝0.4×12×12=0.1， 故X 的分布列为： X 0 50 100 200 P0.10.20.60.1故数学期望E （x ）＝0×0.1+50×0.2+100×0.6+200×0.1＝90． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，且过点(−√2，1)． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点，M 是直线x ＝2上不与B 点重合的任意一点，O 是坐标原点，与直线OM 垂直的直线BP 与C 的另一个交点为P ．求证：A ，P ，M 三点共线．【解答】解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，且过点(−√2，1)，∴{ c a=√222a 2+1b 2=1a 2+b 2=1，解得a 2＝4，b 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．（2）证明：设M （2，n ），则k OM =n 2，k BP =−2n， ∵B （2，0），∴直线BP 的方程为y =−2n （x ﹣2），联立方程组{x 24+y 22=1y =−2n(x −2)，消去y ，得：（n 2+8）x 2﹣32x +32﹣4n 2＝0， Δ＝1024+16n 2（n 2+8）＞0恒成立，由韦达定理得x p x q =32−4n 2n 2+8，∵x B ＝2，∴x P =16−2n 2n 2+8，∴y P =−2n （x P ﹣2）=8nn 2+8，∵A （﹣2，0）， k AP ﹣k AM =8nn 2+8−016−2n2n 2+8+2−n 4=8n 32−n4=0，∴k AP ＝k AM ，又A 是公共点，∴A ，P ，M 三点共线． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx ﹣2x （a ≠0）． （1）讨论f （x ）的单调性； （2）当x ＞0时，不等式x a e 2x−2f(x)≥cos[f(x)]恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）函数f （x ）＝alnx ﹣2x （a ≠0），且f ′（x ）=ax −2=a−2xx， 当a ＜0时，因为x ＞0，则f ′（x ）＜0， 所以函数f （x ）的单调递减区间为（0，+∞）， 当a ＞0时，由f ′（x ）＜0，解得x ＞a2， 由f ′（x ）＜0可得0＜x ＜a2，此时函数f （x ）的单调递增区间为（0，a 2），单调递减区间为（a2，+∞），综上所述，当a ＜0时，函数f （x ）的单调递减区间（0，+∞），当a ＞0时，函数f （x ）的单调递增区间为（0，a 2），单调递减区间为（a 2，+∞）． （2）x ae 2x −2f （x ）≥cos[f （x ）]⇔e alnx ﹣2x ﹣2f （x ）﹣cos[f （x ）]≥0⇔e f （x ）﹣2f （x ）﹣cos[f （x ）]≥0，令t ＝f （x ），则g （t ）＝e t ﹣2t ﹣cos t ，g ′（t ）＝e t ﹣2+sin t ，设h （t ）＝e t ﹣2+sin t ，则h ′（t ）＝e t +cos t ，当t ≤0时，e t ≤1，sin t ≤1，且等号不同时成立，则g ′（t ）＜0恒成立，当t ＞0时，e t ＞1，cos t ≥﹣1，则h ′（t ）＞0恒成立，则g ′（t ）在（0，+∞）上单调递增，又因为g ′（0）＝﹣1，g ′（1）＝e ﹣2+sin1＞0，所以存在t 0∈（0，1）使得g ′（t 0）＝0，当0＜t ＜t 0时，g ′（t ）＜0，当t ＞t 0时，g ′（t ）＞0，所以函数g （t ）在（﹣∞，t 0）上单调递减，在（t 0，+∞）上单调递增，又g （0）＝0，所以作出函数g （t ）的图像如下：由（1）中函数f （x ）的单调性可知，①当a ＜0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减，当x →0+时，f （x ）→+∞，当x →+∞时，f （x ）→﹣∞，所以t ＝f （x ）∈R ，此时g （t 0）＜0，不合题意，②当a ＞0时，f （x ）max ＝f （a 2）＝aln a 2−a ， 当x →0+时，f （x ）→﹣∞，此时函数f （x ）的值域为（﹣∞，aln a 2−a ]，即t ∈（﹣∞，aln a 2−a ]， 当aln a 2−a ≤0时，即当0＜a ≤2e 时，g （t ）≥0恒成立，合题意， 当aln a 2−a ＞0时，即当a ＞2e 时，t 1＝min {aln a 2−a ，t 0}， 结合图象可知，g （t 1）＜0，不合题意， 综上所述，实数a 的取值范围为（0，2e ]．。

2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.函数1()ln(3)f x x =+-的定义域为（ ）A ．[2,3)B ．(2,3)C ．[2,)+∞D ．(,3]-∞3.复数z 满足2iz i i+=+，则||z =（ ）AB ．2C D 4.等差数列{}n a 中，7116a a ⋅=，4145a a +=，则2010a a -等于（ ） A ．23或32B ．13或12- C ．52D ．52±5.函数y =M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．2B ．3C ．6D ．126.已知33cos()25πϕ-=，且||2πϕ<，则tan ϕ=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．347.已知(2,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则||a b +=（ ）A ．5B ．C ．6D ．508.已知实数[]1,10x ∈执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ） A ．310B ．49C ．25D ．139.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意实数x 满足3()()02f x f x ++=，若(1)1f >，(2)f a =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a <-C ．2a >D ．2a <-10.已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >0ω>，||2πϕ<，x R ∈）在一个周期的图象如图所示，则()y f x =的图象可由cos y x =的图象（纵坐标不变）（ ）得到A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π单位11.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 为正三角形，AD ⊥平面ABC ，6AD =，3AB =，则该球的表面积为（ ）A ．45πB ．24πC ．32πD ．48π12.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若3A π=，则(cos 3)a C C ⋅=（ ）A ．a b +B ．b c +C ．a c +D ．a b c ++第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在各项为正数的等比数列{}n a 中，若212n n n a a a ++=+（*n N ∈），则公比q = ．14.已知M 为抛物线28y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=︒，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的面积为 ．15.向量AB ，AC 的夹角为60︒，且3AB AC ⋅=，点D 是线段BC 的中点，则||AD 的最小值为 ． 16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足(3)1f =，(2)3f -=，当0x ≠时有'()0x f x ⋅>恒成立，若非负实数a 、b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．18.已知函数21()cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域； （2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2c =，3a =,()0f B =,求边b 俄值．19.如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===．（1）求证：平面PAB ⊥平面QBC ；（2）求该组合体QPABCD 的体积．20.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线1l ：2a x c =-和右准线2l ：2a x c=分别与x 轴相交于A 、B 两点，且1F 、2F 恰好为线段AB 的三等分点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点(3,0)D -作直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且满足2PD DQ =，当△OPQ 的面积最大时（O 为坐标原点），求椭圆C 的标准方程． 21.已知函数()ln f x x ax x =-⋅（a R ∈）． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()()ln f x g x x=，若函数()g x 在()1,+∞上为减函数，求实数a 的最小值； （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2,)4π，圆1C 的极坐标方程为1ρ=，若M 为曲线2C 上的动点，且M 到定点N 的距离等于圆1C 的半径．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若过点(2,0)P 的直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =+--（a R ∈）． （1）若2a =，求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若存在实数x 使得()2f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题二、填空题13.2 14. 16.4,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）由题意知10n =，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑，18.解：（1）2131()3cos cos 2cos 21sin(2)1226f x x x x x x x π=--=--=--， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin(2),162x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）因为()0f B =，即sin(2)16B π-=，∵(0,)B π∈，∴112(,)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3B π=，又有2c =，3a =，在△ABC 中，由余弦定理得：22212cos49223732b c a ac π=+-=+-⨯⨯⨯=，即7b =． 19.解：（1）证明：因为QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，所以PA ⊥平面ABCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且ABPA A =，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平面QBC ． （2）面QDB 将几何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分， 过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， 所以PA BO ⊥，又因为AD OB ⊥，PAAD A =，所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的高， 并且3BO =，3PADQ S =，所以B PADQ V -133PADQ S BO =⋅⋅=，因为QD ⊥平面ABCD ，且已知2QD =，△BCD 为顶角等于120︒的等腰三角形，2BD =，3BDC S ∆=所以13Q BDC BDC V S QD -∆=⋅⋅=，所以组合体QPABCD +=20.解：（1）焦点2(,0)F c ，右准线2l ：2a x c =，由题知12||3||AB F F =，即2232a c c =⋅，即223a c =，解得c e a ==（2）由（1）知c e a ==223a c =，222b c =，可设椭圆方程为222236x y c +=．设直线l 的方程为x my =222(23)660m y c +-+-=， 因为直线与椭圆相交，所以222484(23)(66)0m m c ∆=-+->，由韦达定理得12y y +=，21226623c y y m -=+，又2DP QD =，所以122y y =-，得到1y =，2y =2212222669623(23)c m y y m m --==++，得到22216123m c m -=-+，所以1221||1|||||1818322||32||||DPQ m S OD y y m m m ∆=⋅-==⋅=⋅≤++， 当且仅当232m =时，等号成立，此时25c =，代入∆满足0∆>w ， 所以所求椭圆方程为2211510x y +=．21.解：（1）1a =时，()ln f x x x x =-⋅，'()ln f x x =-， 令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，解得1x >， ∴()f x 在(0,1)递增，在()1,+∞递减． （2）由已知得()ln xg x ax x=-，函数的定义域为()()0,11,+∞，函数()g x 在(1,)+∞上为减函数，∴2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+0≤在(1,)+∞恒成立，即2ln 1(ln )x a x -≥211()()ln ln x x =-+在(1,)+∞恒成立． 令1ln t x =，则0t >，得到2a t t ≥-+在0t >恒成立，得14a ≥，即a 的最小值为14． （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立， 问题等价于：存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得000()1()ln 4f x g x x =≤成立， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4g x ≤”，且()ln x g x ax x=-， ∵2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+，结合（2）知：当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，2ln 110,(ln )4x x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①当14a ≥时，'()0g x ≤在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即()g x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 则222min1()()24e g x g e ae ==-≤，得到21124a e≥-成立．22.解：（1）点N 的直角坐标为(1,1)，曲线1C ：1ρ=1=，即221x y +=， 曲线2C 表示以(1,1)N 为圆心，1为半径的圆，方程为22(1)(1)1x y -+-=．（2）将12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入方程22(1)(1)1x y -+-=，得22(1)1)12t -+=，即2(110t t -+=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则121211,t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，易知10t >，20t >，∴12121212||||11||||1||||||||||||t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++====⋅⋅⋅． 23.解：（1）5,13()41,1235,2x f x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥-，得413,31,2x x -≥-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或32x >，解得1322x -≤≤或32x >，即12x ≥-， 故不等式的解集为1[,)2-+∞．（2）∵()|2||23||223||3|f x x a x x a x a =+--≤+-+=+， 当且仅当(2)(23)0x a x +-≥且|2||23|x a x +≥-时，如取32x =，“=”成立， ∴()f x 的最大值为|3|a +，∴|3|2a a +≥．。

重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三数学“一诊”模拟测试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知复数()131i i z i-=+，则其共轭复数z 的虚部为（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法、除法运算化简z ，由此求得z 的共轭复数z ，进而求得z 的虚部.【详解】依题意()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+，其虚部为1. 故选B.【点睛】本小题主要考查复数乘法、除法的运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部，属于基础题. 2.已知集合1|0x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合(){}|lg 21B x y x ==-，则A B =（ ） A. (]0,1B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数定义求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】由10x x -≥解得01x <≤，由210x 解得12x >，故1,12A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，故选C.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，属于基础题.3.已知等差数列{a n}满足4a3＝3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A. a6B. a7C. a8D. a9【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得到结果.【详解】由4a3＝3a2得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题.4.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设2016年参加考试x人，则2018年参加考试2x人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：年份 A B C D E2016 0.28x0.32x0.30x0.08x0.02x2018 0.48x0.8x0.56x0.12x0.04x由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.5.“更相减损术”是《九章算术》中介绍的一种用于求两个正整数的最大公约数的方法，该方法的算法流程如图所示，根据程序框图计算，当a＝35，b＝28时，该程序框图运行的结果是（）A. a＝6，b＝7B. a＝7，b＝7C. a＝7，b＝6D. a＝8，b ＝8【答案】B【解析】【分析】根据题意，该程序将输入的a、b值加以比较，若a>b成立则用a-b的值替换a，并进入下一轮比较；若a>b不成立则用b-a的值替换b，并进入下一轮比较.直到使得a、b值相等时，终止运算并输出a、b值，由此结合题意进行运算可得本题答案.【详解】第一步，由于a=35且b=28，对判断框“a≠b”的回答为“是”，此时对判断框“a>b”的回答为“是"，将a-b的值赋给a，得a=7；第二步，此时a =7且b =28，对判断框“a ≠b ”的回答为“是”，此时对判断框“a >b ”的回答为“否"，将b -a 的值赋给b 得b =21；第三步，此时a =7且b =21，对判断框“a ≠b ”的回答为“是”，此时对判断框“a >b ”的回答为“否”，将b -a 的值赋给b ，得b =14；第四步，此时a =7且b =14，对判断框“a ≠b ”的回答为“是”，此时对判断框“a >b ”的回答为“否”，将b -a 的值赋给b 得b =7；第五步，此时a =7且b =7，对判断框“a ≠b ”的回答为“否”，结束循环体并输出a 、b 的值. 综上所述，可得最后输出的值为a =7，b =7. 故选：B.【点睛】本题考查程序框图，要求学生掌握根据程序框图，求出输出结果，解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决，属中档题.6.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别为棱A 1D 1、A 1A 、A 1B 1的中点，给出下列四个命题：①EF ⊥B 1C ；②BC 1∥平面EFG ；③A 1C ⊥平面EFG ；④异面直线FG 、B 1C 所成角的大小为4．其中正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ②③C. ①②③D. ①②④【答案】C 【解析】 【分析】画出正方体的直观图，结合线面平行与垂直的判定定理和性质定理逐项判断即可得到正确选项.【详解】如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D //B 1C ，又A 1D ⊥EF ，故B 1C ⊥EF ，即①正确；又BC 1∥AD 1，AD 1//EF ，故BC 1//EF ，又EF ⸦平面EFG ，故BC 1∥平面EFG ，即②正确；因为EF ⊥A 1D ，EF ⊥A 1B 1，所以EF ⊥平面A 1B 1CD ，又A 1C ⸦平面A 1B 1CD ，所以EF ⊥A 1C ，同理可证EG ⊥A 1C ，又EF ∩EG =E ，EF ⸦平面EFG ，EG ⸦平面EFG ，故A 1C ⊥平面EFG ，即③正确； 连接AB 1，则AB 1//FG ，故∠AB 1C 为异面直线FG 与B 1C 所成角，且∠AB 1C =3π，即④错误. 故所有正确命题的序号为①②③. 故选：C.【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理和性质定理，也考查学生的逻辑推理能力和直观想象能力，熟练掌握点、线、面位置关系中的判定定理和性质定理是解题的关键，属中档题.7.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD ，E 为AB 边的中点，若在四边形ABCD 中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（ ）A.14B.516C. 38D.12【答案】C 【解析】 【分析】分别求出平行四边形和阴影部分的面积，根据几何概型的公式计算即可得到结果. 【详解】由图象可知，2ABCDBCD SS=，113244BCDABDBCDS S S S =+=阴影，则此点落在阴影部分的概率为：33428BCDABCDBCD S S P SS ===阴影. 故选：C.【点睛】本题考查几何概型的计算，正确求解阴影部分面积是解题的关键，属中档题.8.函数()22ln x x f x x=的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】由()22ln x x f x x =得：()()()()222ln ln x x x xf x f x x x---===-，故其为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ；()22ln 40f =>，故排除A ；当01x <<时，()2ln f x x x =，()()21ln f x x ='+，可得10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<函数单调递减，当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，故排除C ，故选B.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.9.过点P (3,﹣4)作圆(x ﹣1)2+y 2＝2的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ） A. x +2y ﹣2＝0 B. x ﹣2y ﹣1＝0C. x ﹣2y ﹣2＝0D. x +2y +2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】画出图象，以P 为圆心，以PB 长度为半径可得到圆P ，则圆(x ﹣1)2+y 2＝2与圆P 的公共弦所在直线即为直线AB ，利用两点间的距离公式和勾股定理可求出圆P 的方程，然后两个方程相减即可得到直线AB 的方程.【详解】如图，圆P 为以P 为圆心，以PB 长度为半径的圆，则圆(x ﹣1)2+y 2＝2与圆P 的公共弦所在直线即为直线AB ，在Rt PBC ∆中，22(13)(04)25PC =-++=，则20232PB =-=，所以圆P 的方程为：22(3)(4)18x y -++=，又圆C 的方程为：(x ﹣1)2+y 2＝2，以上两个等式相减可得，4880x y --=，化简得，220x y --=. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及两圆的公共弦问题，着重考查学生数形结合的思想和转化问题的能力，属中档题.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的半径为（ ）3 232【答案】B【解析】 【分析】首先根据三视图得到该几何体是一个三条棱两两垂直的三棱锥，由此可得其外接球即为以三条棱为长宽高的长方体的外接球，从而计算得到外接球半径. 【详解】该几何体为底面是等腰直角三角形的三棱锥，如图，其中，PA ，PB ，PC 两两垂直，故三棱锥所在的外接球即为以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球，又PA 2，PB =2，PC 2，则外接球半径222(2)2(2)2R ++==故选：B.【点睛】本题考查三视图和三棱锥的外接球问题，考查学生的空间想象能力，将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题是解本题的关键，属中档题.11.已知函数()()222024x f x sin xsin sin x ωπωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞在区间344ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A. [1223，） B. [1233，]C. [1233，）D. [1223，]【答案】D 【解析】 【分析】化简可得()sin f x x ω=，由,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间，又因为函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，3,,2244ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可列出不等式组3,2442ππππωω--，求解得到23ω，又函数在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，可得到不等式02ππω≤≤，由此求出12ω≥，综上即可得到结果.【详解】2()2sin sin 24x f x x ωπω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭2sin x ω-21cos 22sin sin 2x x xπωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅- 2sin (1sin )sin x x x ωωω=+-=sin x ω，即()sin f x x ω=，,22ππωω⎡⎤∴-⎢⎥⎣⎦是函数含原点的递增区间， 又因为函数在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增， 3,,2244ππππωω⎡⎤⎡⎤∴-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 得不等式组：3,2442ππππωω--， 又20,03ωω>∴<， 又函数在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知2,2x k k Z πωπ=+∈，即函数在22k x ππωω=+处取得最大值， 可得02ππω≤≤，12ω∴≥，综上，可得12,23ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换化简，根据题中条件列出不等式组是解本题的关键，属难题.12.已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣9x +1（a ∈R ），当x ≠1时，曲线y ＝f （x ）在点（x 0，f （x 0）和点（2﹣x 0，f （2﹣x 0））处的切线总是平行，现过点（﹣2a ，a ﹣2）作曲线y ＝f （x ）的切线，则可作切线的条数为（ ） A. .3 B. .2C. 1D. .0【答案】A【解析】 【分析】求得()y f x =的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得()()22000032932229x ax x a x +-=-+--，求得a =－3，设过点(6,5)-作曲线()y f x =的切线的切点为()32,391m m m m --+，求得切线方程，代入(6,5)-可得m 的三次方程，构造函数32()2213648g m m m m =-++，求得导数和单调性，可得极值，判断极值符号，即可得到方程的解的个数，可得所求切线的条数．【详解】函数32()91f x x ax x =+-+的导数为2()329f x x ax +'=-，当x 0≠1时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 与点()()002,2x f x --处的切线总是平行，可得()()22000032932229x ax x a x +-=-+--，化简可得()()003442220x a x -+-=，解得3a =-，依题意，设过点(6,5)-作曲线()y f x =的切线的切点为()32,391m m m m --+，可得切线的斜率为2369m m --，即有切线的方程为()322391369()y m m m m m x m -++-=---， 代入(6,5)-，可得()3225391369(6)m m m m m m --++-=---， 化为3222136480m m m -++=， 设32()2213648g m m m m =-++，则2()642366(1)(6)g m m m m m '=-+=--， 由1<m <6，可得()0,()g m g m '<递减； 由m >6或m <1，可得()0,()g m g m '>递增，可得()g m 的极小值为(6)600g =-<，极大值为(1)650g =>， 可得3222136480m m m -++=有3个实根，则由点(2,2)a a --可作曲线()y f x =的切线的条数为3．故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，注意过某点的切线与曲线的切点并不确定，需设切点坐标，考查学生的计算能力和逻辑推理能力，属难题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若向量a =31)，b =(1，﹣3，则b 在a 方向上的投影为_____． 【答案】3-【解析】 【分析】分别求出a b ⋅和a ，利用cos ,a b b a b a⋅=即可计算出结果.【详解】a b ⋅3=-2a =， ∴b 在a 方向上的投影为：cos ,3a b a b b a b b a ba⋅⋅===-⋅．故答案为：3-【点睛】本题考查平面向量的投影及其计算，考查学生对投影的理解和计算，属基础题.14.若实数x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则z ＝3x +5y 的最大值为_____．【答案】17 【解析】 【分析】先画出可行域，作出目标函数的平行直线，确定z 与目标函数的纵截距之间的关系，从而平移目标函数确定最优解即可算出最大值.【详解】画出可行域如图所示的△ABC 的内部（包括边界）：由z ＝3x +5y 可得y 3155x z =-+，则z 为直线y 3155x z =-+在y 轴上的截距， 作直线L ：3x +5y ＝0，把直线L 向上平移到A 时z 最大，向下平移到B 时z 最小， 由15315y x x y =+⎧⎨+=⎩可得A (35,22)，此时z 的最大值为17，由1530y x x y =+⎧⎨--=⎩可得B (﹣2,﹣1)，此时z 的最小值为﹣11.故答案为：17.【点睛】本题考查线性规划问题，正确画出可行域并确定z 与目标函数的纵截距之间的关系是解决本题的关键，属中档题.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3•2n （n ∈N +），数列{b n }为等差数列，其前n 项和为T n ．若b 2＝a 5，b 10＝S 3，则T n 取最大值时n ＝_____． 【答案】17或18 【解析】 【分析】利用S n 和a n 的关系求出554a S S =-，根据条件列出方程组1148924b d b d +=⎧⎨+=⎩，求出b 1和d ，由此求得{b n }的通项公式，根据通项公式得到b 18＝0，由此即可求出T n 取最大值时n 的值.【详解】数列{a n }前n 项和为S n ＝3‧2n （n ∈N +），所以，54554323248a S S =-=⋅-⋅=，333224S =⋅=，设数列{b n }的公差为d ，且b 2＝a 5，b 10＝S 3，则1148924b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得：b 1＝51，d ＝﹣3，所以，b n ＝51﹣3(n ﹣1)＝54﹣3n ，当n ＝18时，b 18＝0， 故T n 取最大值时n ＝17或18． 故答案为：17或18.【点睛】本题考查S n 和a n 的关系以及等差数列前n 项和的最大值问题，等差数列的正负转折项是其前n 项和取得最值的项，注意项为0时有两项，属中档题.16.已知F 1、F 2分别是双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P ，使得（2OP OF +）•2F P =0（O 为坐标原点），且|PF 1|3≥PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是_____． 【答案】113e <≤+【解析】 【分析】由2()OP OF +•2F P =0，可得（2OP OF +）•（2OP OF -）＝0，即|OP |＝c ，则∠F 1PF 2＝90°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，可得m ﹣n ＝2a ，且m 2+n 2＝4c 2，令m =kn ，结合双曲线定义及不等式求得e 的范围从而求得结果.【详解】2()OP OF +•2F P =0，即为（2OP OF +）•（2OP OF -）＝0， 即为OP 22OF =2，可得|OP |＝c ，即有∠F 1PF 2＝90°，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，可得m ﹣n ＝2a ， 且m 2+n 2＝4c 2，令m =kn ， ∴n 21a k =-，m 2k 1ka=-． △PF 1F 2中，由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，∴（2k 1ka -）2+（21a k -）2＝4c 2， ∴（k 1k -）2+（11k -）2＝e 2，又k 3≥e 2=222122211143111)1)2323k k k k k k +=+=+≤+=+---++（（ 即有113e <≤， 故答案为：113e <≤+【点睛】本题考查双曲线的离心率及平面向量数量积的应用，求离心率的范围一般需要根据几何关系寻找不等关系构造离心率的不等式，属难题.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a +b ． （1）求角C 的大小； （2）若△ABC 3，求ab 的最小值. 【答案】（1）C 23π=；（2）最小值为13【解析】 【分析】（1）由正弦定理2a b cR sinA sinB sinC===，将2c cos B ＝2a +b 变形为2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，使用两角和的正弦公式化简等式即可求得C 的值；（2）由△ABC 的面积公式得出c 与a 、b 的关系为c =3ab ，将其代入余弦定理，并通过基本不等式进行变形，可求得ab 的最小值. 【详解】（1）由正弦定理可知：a b csinA sinB sinC===2R ， a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 的外接圆半径，由2c cos B ＝2a +b ，则2sin C cos B ＝2sin(B +C )+sin B ，可得：2sin B cos C +sin B ＝0， 由0＜B ＜π，sin B ≠0，cos C 12=-，0＜C ＜π，则C 23π=； （2）由S 12=ab sin C 3=ab 3=，则c ＝3ab ，又c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+b 2+ab ， 由a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，可得：2ab +ab ≤9a 2b 2，即ab 13≥， 则当a ＝b 时，ab 取得的最小值为13．【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，掌握诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用是解题关键，属中档题.18.如图，菱形ABCD的边长为a，∠D＝60°，点H为DC边中点，现以线段AH为折痕将△DAH 折起使得点D到达点P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，点E，F分别为AB，AP的中点.（1）求证：平面PBC∥平面EFH；（2）若三棱锥P﹣EFH的体积等于312，求a的值.【答案】（1）见解析；（2）a＝2【解析】【分析】（1）分别证明EH∥平面PBC和EF∥平面PBC，再由EF∩EH＝E，即可证明结论；（2）根据条件求出AH3=，DH＝PH＝CH12a=，然后证明PH⊥平面ABCH，又点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，故V H－PEF＝V H－AEF，则111223P EFH P AEH AEHV V S h--==⋅⋅，据此计算求解即可.【详解】（1）证明：菱形ABCD中，∵E，H分别为AB，CD的中点，∴BE∥CH，BE＝CH，∴四边形BCHE为平行四边形，则BC∥EH，又EH⊄平面PBC，∴EH∥平面PBC，又点E，F分别为AB，AP的中点，则EF∥BP，又EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，由EF∩EH＝E，∴平面EFH∥平面PBC；（2）在菱形ABCD中，∠D＝60°，则△ACD为正三角形，∴AH⊥CD，AH3=，DH＝PH＝CH12a=，折叠后，PH⊥AH，又平面PHA⊥平面ABCH，平面PHA∩平面ABCH＝AH，从而PH⊥平面ABCH．在△PAE中，点F为AP的中点，则S△PEF＝S△AEF，∴V H－PEF＝V H－AEF，而V H－PEF+V H－AEF＝V H－PAE，∴11112223P EFH H PEF H PAE P AEH AEHV V V V S h ----====⋅⋅31111313323222a a =⨯⨯⨯⨯==， ∴a 3＝8，即a ＝2．故a ＝2．【点睛】本题考查面面平行和椎体体积的相关问题，面面平行证明的关键是在一个平面中找两条相交的直线，它们都平行于另一个平面，属中档题.19.已知A （0，1），B （0，﹣1），M （﹣1，0），动点P 为曲线C 上任意一点，直线PA ，PB 的斜率之积为12-，动直线l 与曲线C 相交于不同两点Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），其中y 1＞0，y 2＞0且满足12MQ y MRy =． （1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与x 轴相交于一点N ，求N 点坐标.【答案】（1）2212x y +=（x ≠0）；（2）N （﹣2，0）【解析】 【分析】（1）由已知及求轨迹方程的步骤可得到曲线C 的轨迹方程；（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣m ），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由已知可得k MQ +k MR ＝0，结合根与系数的关系代入即可解出N 点坐标. 【详解】（1）动点P 为曲线C 上任意一点，直线PA ，PB 的斜率之积为12-，设动点P （x ，y ），x ≠0；则有：k PA •k PB 1y x -=•112y x +=-，化简可得：2212x y +=，x ≠0． 故曲线C 的方程为：2212x y +=（x ≠0）；（2）设点N 的坐标为（m ，0）．依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设为k （k ≠0），则直线l 的方程y ＝k （x ﹣m ），将y ＝k （x ﹣m ）代入方程22x +y 2＝1（x ≠0）． 得（2k 2+1）x 2﹣4k 2mx +2（k 2m 2﹣1）＝0．则△＝（﹣4k 2m ）2﹣8（2k 2+1）（k 2m 2﹣1）＝8（2k 2﹣k 2m 2+1）＞0，动直线与曲线C 相交于不同两点Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），其中y 1＞0，y 2＞0，x 1+x 222421k m k =+，x 1•x 2()2222121k m k -=+，且满足12MQ y MR y =，即21y y MR MQ =，如图，111sin QQ y QMQ MQ MQ ∠==，121sin RR yRMR MR MR∠==， 则11QMQ RMR ∠=∠，故k MQ +k MR ＝0，即()()1212121201111k x m k x m y y x x x x --+=+=++++， 化简得：()12122(1)20x x m x x m ⋅--+-=， 即()222222142(1)202121k m k mm m k k -⨯--⨯-=++，整理得m +2＝0，即m ＝﹣2．故点N 的坐标为(﹣2，0)．【点睛】本题考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的位置关系，着重考查学生数学运算和逻辑推理能力，题中由12MQ y MRy =得到k MQ +k MR ＝0是解决第二问的关键，属难题. 20.武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价x i （单位：元/件）和相应销量y （单位：件）（i ＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，试求y 关于x 的回归方程（系数精确到整数）； 参考公式及数据：x =40，y =660，81i =∑x i y i＝206630，81i =∑x 2i=12968，()()()1122211ˆnni i i i i i nn i i i i x x y y x y nxy bx x x nx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， （3）公司策划部选ˆy=-1200ln x +5000和ˆy ═13-x 3+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：ˆ1200ln 5000yx =-+ 1ˆ3y=-x 3+1200 ()821ˆiii y y=-∑ 52446.95122.89()821i i y y =-∑ 124650相关指数 R 21R 22相关指数：R 2＝12121() ()ni i i n i i y y y y ==---∑∑．（i ）试比较R 12，R 22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好； （ii ）根据（1）中所选的方案和（i ）中所选的回归模型，求该产品的售价x 定为多少时，总利润z 可以达到最大？【答案】（1）方案1是较为有利的活动方案；（2）ˆ271748y x =-+；（3）（i ）31ˆ12003yx =-+进行拟合效果更好；（ii ）售价为x ＝40时，总利润z 最大 【解析】 【分析】（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；（2）由公式计算求出ˆa和ˆb 即可得到回归方程； （3）（i ）由图表数据可知R 12＜R 22，故选择模型31ˆ12003yx =-+进行拟合效果更好；（ii ）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元，求出总利润z 的解析式，利用导数研究其单调性和最大值即可得到结果. 【详解】（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；（2）由公式得8182221 82066308406601296848ˆ80i i i i i x y xy x x b ==--⨯⨯==≈--⨯-∑∑27.2≈﹣27， ()ˆˆ66027.2401748ay bx =-=--⨯=． 故所求回归直线方程为ˆ271748yx =-+； （3）（i ）由图表可知，R 12＝152446.95124650-，R 22＝1122.89124650-，∴R 12＜R 22，故选择模型31ˆ12003yx =-+进行拟合效果更好； （ii ）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元， 故总利润()311200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，(30)(40)z x x '=-+-. 当x ∈(0，40)时，z ′＞0，z ()211200153x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增， 当x ∈(40，+∞)时，z ′＜0，z ()211200153x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递减． 故售价为x ＝40时，总利润z 最大．【点睛】本题考查回归分析，着重考查学生的数学运算能力、分析问题和解决问题的能力，结合实际问题审清题意是解题的关键，属中档题.21.已知函数f (x )＝a (x ﹣1)﹣lnx (a ∈R )，g (x )＝(1﹣x )e x . （1）讨论函数f (x )的单调性；（2）若对任意给定的x 0∈[﹣1，1]，在区间(0，e ]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）[21e -，+∞)【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导数，分a ≤0和a >0两种情况讨论，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间；（2）首先利用导数求出g (x )的值域为[0，1]，根据（1）可排除a ≤0和0＜a 1e≤的情况，由函数f (x )的单调性和图象分析可知，a 满足以下条件()1101a e f a f e ⎧⎪⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪⎩＞＜时符合题意，结合构造函数求解不等式即可得到结果.【详解】（1）f (x )＝a (x ﹣1)﹣ln x ，x ＞0，则f ′(x )＝a 11ax x x--=， ①当a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，+∞)上为减函数， ②当a >0时，令f ′(x )＞0得x 1a ＞，令f ′(x )＜0得0＜x 1a＜. 故f (x )的单调递减区间为(0，1a )，单调递增区间为(1a，+∞)， 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，+∞)上为减函数， 当a >0时，f (x )在(0，1a )上为减函数，在(1a，+∞)为增函数； （2）∵g (x )＝(1﹣x )e x ，∴g ′(x )＝﹣xe x ，当x ∈[﹣1，0)时，g ′(x )>0，当x ∈(0，1]时，g ′(x )<0， 又g (0)＝1，g (1)＝0，g (﹣1)2e=，∴当x ∈[﹣1，1]时，g (x )的值域为[0，1]， 由（1）可知，①当a ≤0时，函数f (x )在(0，e ]上为减函数，不满足题意；②当1a ≥e ，即0＜a 1e≤时，函数f (x )在(0，e ]上为减函数，不满足题意； ③当01a ＜＜e 时，即a 1e＞时，函数f (x )在区间(0，1a )上为减函数，在(1a ，e ]上为增函数，又x ＞0，且x →0时，f (x )→+∞，函数f (x )的大概图像如下图，故对任意给定的x 0∈[﹣1，1]，在区间(0，e ]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，当且仅当a 满足以下条件()1101a e f a f e ⎧⎪⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≥⎪⎩＞＜，即()110111a e a lna a e ⎧⎪⎪-+⎨⎪--≥⎪⎩＞＜（*）令h (a )＝1﹣a +ln a ，a ∈(1e，+∞)，则h ′(a )＝﹣111a a a -+=， 当1e ＜a ＜1时，h ′(a )＞0，当a ＞1时，h ′(a )＜0，∴函数h (a )在(1e，1)上为增函数，在(1，+∞)上为减函数，故h (a )max ＝h (1)＝0， 从而（*）等价于11121a e a a e a e ⎧⎪⎪⎪≠⎨⎪⎪≥⎪-⎩＞＞且，故a 21e ≥-，故a 的取值范围为[21e -，+∞)． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和数形结合的思想，着重考查学生对题意的理解与转化的思想，特别是问题（2）的设置，考查了学生创造性分析和解决问题的能力，属难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

重庆市巴蜀中学高三第一次模拟考试（理科数学）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合3{|0}1x M x x -=≤+，{3,1,1,3,5}N =--，则M N =（ ） A ．{3,1,1}-- B ．{1,1,3}- C ．{3,1}-D ．{1,3}2．设1z i =-（i 是虚数单位），O 为坐标原点，若复数22z z+在复平面内对应的向量为OZ ，则向量OZ 的模是（ ）A ．1BC D ．23．若样本数据1210,,......,x x x 的标准差为8，则121021,21,21x x x ---的标准差为（ ） A ．8 B ．15 C ．16D ．324．下列四个结论中正确的是个数是①220x x +->是1x >的充分不必要条件②命题：“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是“00,sin 1x R x ∃∈>” ③若“4x π=，则tan 1x =”的逆命题为真A ．1B ．2C ．3D ．0 5．运行如图所示的程序框图，若输入的是某地乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若大于或等于0.5千米按1千米收费）；当车程超过4千米，另收燃油附加费1元。

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[]x 表示不大于x 的最大整数，则图中①处应填（ ）A ．12[]42y x =-+B ．12[]52y x =-+C ．12[]42y x =++D ．12[]52y x =++6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(4)()(2)f x f x f +=+，则满足题意的()f x 可以是（ ）A ．()cos2f x x π= B ．()sin2f x x π= C ．2()2cos 4f x x π= D ．2()2cos 8f x x π=7．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，自上而下容量变化均（即每一节容量构成等差数列），下三节容量共四升，上节容量共三升，问中间一节容量为几升？”（ ） A ．7 B ．37 C ．7 D ．10政策，具体人数如有下表。