07第七讲 一次函数及反比例函数

一次函数与反比例函数第一部分 知识梳理一、一次函数和反比例函数的解析式1．一次函数的定义：函数y= kx+b (k 、b 为常数，k ≠0，自变量x 的次数是1次)叫做一次函数。

2．一般地，函数xky =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

二、一次函数和反比例函数的图像1．一次函数y=kx+b 的k 、b 的值对一次函数图象的影响。

y① k ﹥0，b ﹥0， y ＝kx +b 的图象在一、二、三象限； ② k ﹥0， b ﹤0， y ＝kx +b 的图象在一、三、四象限； ③ k ﹤0，b ﹥0， y ＝kx +b 的 图象在一、二、四象限； ④ k ﹤0， b ﹤0， y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限。

2．反比例函数的性质3．反比例函数中反比例系数的几何意义 ①过双曲线xky =(k ≠0) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k 。

第二部分 例题与解题思路方法归纳类型一 一次函数的图像与性质【例题1】已知一次函数y=（6+3m ）x+n ﹣4． （1）当m 、n 为何值时，函数的图象过原点？（2）当m 、n 满足什么条件时，函数的图象经过第一、二、三象限？〖选题意图〗本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．〖解题思路〗（1）将点（0，0）代入一次函数解析式y=（6+3m）x+n﹣4求得n值，利用一次函数的性质知系数6+3m≠0求得m值；（2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、二、三象限时，6+3m＞0，且n ﹣4＞0，据此求m、n的值．〖参考答案〗解：（1）∵一次函数y=（6+3m）x+n﹣4的图象过原点，∴6+3m≠0，且n﹣4=0，解得，m≠﹣2，n=4；（2）∵该函数的图象经过第一、二、三象限，∴6+3m＞0，且n﹣4＞0，解得m＞﹣2，n＞4．【课堂训练题】1．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x 轴交于点C，则△ABC的面积为．〖参考答案〗解：因为直线y=﹣x+4中，b=4，故A点坐标为（0，4）；令﹣x+4=0，则x=3，故D点坐标为（3，0）．令x+=0，则，x=﹣1，故C点坐标为（﹣1，0），因为B点为直线y=﹣x+4直线y=x+的交点，故可列出方程组﹣，解得，故B点坐标为（，2），故S△ABC=S△ACD﹣S△BCD=CD•AO﹣CD•BE=×4﹣×4×2=4．2．如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为．〖参考答案〗解：由题意可知当直线y=﹣2x+b经过A（1，1）时b的值最小，即﹣2×1+b=1，b=3；当直线y=﹣2x+b过C（2，2）时，b最大即2=﹣2×2+b，b=6，故能够使黑色区域变白的b 的取值范围为3≤b≤6．3．已知直线l n：y=﹣+（n是不为零的自然数）．当n=1时，直线l1：y=﹣2x+1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，设△A1OB1，（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1；当n=2时，直线l2：y=﹣x+与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为S2；…依此类推，直线l n与x轴和y轴分别交于点A n和B n，设△A n OB n的面积为S n．则s1+s2+s3+s4+s5=；S n=．〖参考答案〗解出l1、l2、l3、l4…l n的解析式为l1：y=﹣2x+1，l2：y=﹣x+，l3：y=﹣x+，l4：y=﹣x+，l5：y=﹣x+…l n：y=﹣+（n是不为零的自然数）．于是S1=1××=；S2=××=；S3=××=；S4=××=；S5=××=…．S n=××=（）s1+s2+s3+s4+s5=++++=．4．（2011•绍兴）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（a，3）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b 的值．〖参考答案〗（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），∴点M不是和谐点，点N是和谐点．（2）解：由题意得：当a＞0时，（a+3）×2=3a，∴a=6，点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=9当a＜0时，（﹣a+3）×2=﹣3a，∴a=﹣6，点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3，∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．类型二一次函数图像与几何变换【例题2】（2011•咸宁）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：（2）观察发现：任意一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数的图象上；平移2次后在函数的图象上…由此我们知道，平移n 次后在函数的图象上．（请填写相应的解析式）（3）探索运用：点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．〖选题意图〗本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．〖解题思路〗（1）根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置即可；（2）先根据P点平移一次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；（3）设点Q 的坐标为（x ，y ），求出Q 点的坐标，得出n 的取值范围，再根据点Q 的坐标为正整数即可进行解答．〖参考答案〗解：（1）如图所示：（2）设过（0，2），（1，0）点的函数解析式为：y=kx+b （k≠0）， 则，解得 ﹣ ， 故第一次平移后的函数解析式为：y=﹣2x+2； ∴答案依次为：y=﹣2x+2；y=﹣2x+4；y=﹣2x+2n ． （3）设点Q 的坐标为（x ，y ），依题意， ﹣．解这个方程组，得到点Q 的坐标为（，）．∵平移的路径长为x+y ， ∴50≤≤56．∴37.5≤n≤42． ∵点Q 的坐标为正整数，∴点Q 的坐标为（26，26），（28，28）． 【课堂训练题】1．（1）点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是 ，直线y=2x+1向下平移2个单位后的解析式是 ；（2）直线y=2x+1向右平移2个单位后的解析式是 ；（3）如图，已知点C 为直线y=x 上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y 轴于点A ，交x 轴于B ，将直线AB 沿射线OC 方向平移 个单位，求平移后的直线的解析式．〖参考答案〗解：（1）（0，﹣1），y=2x+1﹣2=2x﹣1；（2）y=2（x﹣2）+1=2x﹣3；（3）y=2（x﹣3）+1+3，即y=2x﹣2．2．如图，将直线y=2x沿y轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点（，），与双曲线在第一象限交于点B，且△OAB的面积．（1）求直线AB的解析式（2）求双曲线的解析式．〖参考答案〗解：（1）直线AB的解析式为y=2x﹣b，把A（，0）代入得，0=2×﹣b，解得b=5，故此直线的解析式为：y=2x﹣5；（2）作BD⊥x轴，∵△OAB的面积，即OA•BD=，∵A（，0），∴BD=3，∵B点在直线y=2x﹣5上，∴3=2x﹣5，解得x=4，∴B （4，3）∵B 点在反比例函数y=上， ∴k=3×4=12，∴此反比例函数的解析式为：y=．3．如图，直线y=x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在OB 上，若将△ABC 沿AC 折叠，使点B 恰好落在x 轴上的点D 处，则点C 的坐标是 （0，1.5） ．〖参考答案〗解：由题意得：A （﹣3，0），B （0，4）； ∴OA=3，OB=4．那么可得AB=5．易得△ABC ≌△ADC ，∴AD=AB=5，∴OD=AD ﹣OA=2．设OC 为x ．那么BC=CD=4﹣x ．那么x 2+22=（4﹣x ）2，解得x=1.5， ∴C （0，1.5）．类型三 反比例函数的图像与性质【例题3】（2011•防城港）如图，是反比例函数y=和y=（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB =2，则k 2﹣k 1的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8〖选题意图〗本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd ﹣ab=4是解此题的关键．〖解题思路〗设A （a ，b ），B （c ，d ），代入双曲线得到k 1=ab ，k 2=cd ，根据三角形的面积公式求出cd ﹣ab=4，即可得出答案．〖参考答案〗解：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：k 1=ab ，k 2=cd ， ∵S △AOB =2，∴cd ﹣ab=2，∴cd﹣ab=4，∴k2﹣k1=4，故选C．【课堂训练题】1．（2011•东营）如图，直线l和双曲线（＞）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（）A、S1＜S2＜S3B、S1＞S2＞S3C、S1=S2＞S3D、S1=S2＜S3〖参考答案〗解：结合题意可得：AB都在双曲线y=上，则有S1=S2；而AB之间，直线在双曲线上方；故S1=S2＜S3．故选D．2．如图，点A是反比例函数y=的图象上任意一点，延长AO交该图象于点B，AC⊥x 轴，BC⊥y轴，求Rt△ACB的面积．〖参考答案〗解：设点A的坐标为（x，y），则点B坐标为（﹣x，﹣y），所以AC=2y，BC=2x，所以Rt△ACB的面积为AC•BC=×2x•2y=2xy=2|k|=24．类型四反比例函数与一次函数的交点问题【例题4】（2011•雅安）如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）〖选题意图〗此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象判定函数的大小关系是中学的难点同学们应重点掌握．〖解题思路〗（1）先设出反比例函数和一次函数的解析式：y=和y=ax+b，把点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可；（2）两个解析式联立，求得点D的坐标即可；（3）利用函数图象求出分别得出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．〖参考答案〗解：（1）设反比例函数的解析式y=和一次函数的解析式y=ax+b，图象经过点B，∴k=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣，又四边形OABC面积为4．∴（OA+BC）OC=8，∵BC=3，OC=2，∴OA=1，∴A（0，1）将A、B两点代入y=ax+b有﹣，解得﹣∴一次函数的解析式为y=﹣x+1，（2）联立组成方程组得﹣﹣，解得x=﹣2或3，∴点D（3，﹣2）（3）x＜﹣2或0＜x＜3．【课堂训练题】1．（2011•潼南县）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0）的图象相交于A、B两点．求：（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．〖参考答案〗解：（1）由图象可知：点A的坐标为（2，）点B的坐标为（﹣1，﹣1）∵反比例函数（m≠0）的图象经过点（2，），∴m=1∴反比例函数的解析式为：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（2，）点B（﹣1，﹣1）∴﹣﹣解得：k=b=﹣∴一次函数的解析式为﹣（2）由图象可知：当x＞2或﹣1＜x＜0时一次函数值大于反比例函数值2．如图，已知一次函数y1=x+m（m为常数）的图象与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象相交点A（1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B的坐标；（2）观察图象，写出使函数值y1≥y2的自变量x的取值范围．〖参考答案〗解：（1）由题意，得3=1+m，解得：m=2．所以一次函数的解析式为y1=x+2．由题意，得3=，解得：k=3．所以反比例函数的解析式为y2=．由题意，得x+2=，解得x1=1，x2=﹣3．当x2=﹣3时，y1=y2=﹣1，所以交点B（﹣3，﹣1）．（2）由图象可知，当﹣3≤x＜0或x≥1时，函数值y1≥y2．类型五函数的应用【例题5】（2011•岳阳）某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问题：（1）设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式．（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．〖选题意图〗此题主要考查了一次函数的应用，一次函数的应用是中考中的重点题型，利用图表得出正确的信息是解决问题的关键．〖解题思路〗（1）根据图表得出16x+12y+10（20﹣x﹣y）=240，从而求出y与x的关系式即可；（2）利用（1）中关系式即可得出方案；（3）分别求出（2）中方案的利润即可．〖参考答案〗解：（1）∵厂方计划由20个工人一天内加工完成，设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，∴加工丙种配件的人数为（20﹣x﹣y）人，∴16x+12y+10（20﹣x﹣y）=240，∴y=﹣3x+20；（2）设加工丙种配件的人数为z=（20﹣x﹣y）人，当x=3时，y=11，z=6，当x=4时，y=8，z=8，当x=5时，y=5，z=10，其他都不符合题意，∴加工配件的人数安排方案有三种；（3）由图表得：方案一利润为：3×16×6+11×12×8+10×6×5=1644元，方案二利润为：4×16×6+8×12×8+10×8×5=1552元，方案三利润为：5×16×6+5×12×8+10×10×5=1460元，∴应采用（2）中方案一，最大利润为1644元．【课堂训练题】1．（2011•孝感）健身运动已成为时尚，某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐给社区健身中心．组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B 型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个．公司现有甲种部件240个，乙种部件196个．（1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？（2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B型健身器材需费用18元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？〖参考答案〗解：（1）设该公司组装A型器材x套，则组装B型器材（40﹣x）套，依据题意得（﹣），（﹣）解得22≤x≤30，由于x 为整数，所以x取22，23，24，25，26，27，28，29，30．故组装A、B两种型号的健身器材共有9套组装方案；（2）总的组装费用y=20x+18（40﹣x）=2x+720，∵k=2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x=22时，总的组装费用最少，最少组装费用是2×22+720=764元，总的组装费用最少的组装方案为：组装A型器材22套，组装B型器材18套．2．为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票．设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1（元），节假日购票款为y2（元）．y1与y2之间的函数图象如图所示．（1）观察图象可知：a=6；b=8；m=10；（2）直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？〖参考答案〗解：（1）门票定价为50元/人，那么10人应花费500元，而从图可知实际只花费300元，是打6折得到的价格，所以a=6；从图可知10人之外的另10人花费400元，而原价是500元，可以知道是打8折得到的价格，所以b=8，看图可知m=10；（2）设y1=kx，当x=10时，y1=300，代入其中得，k=30y1的函数关系式为：y1=30x同理可得，y2=50x（0≤x≤10），当x＞10时，设其解析式为：y2=（x﹣10）×50×0.8+500，化简得：y2=40x+100；（3）设A团有n人，则B团有（50﹣n）人，当0≤n≤10时，50n+30（50﹣n）=1900解得，n=20这与n≤10矛盾，当n＞10时，40n+100+30（50﹣n）=1900，解得，n=30，50﹣30=20．答：A团有30人，B团有20人．【例题6】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式；（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？〖选题意图〗现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．〖解题思路〗（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，后根据题意代入求出k1和k2即可；（2）当y=0.5时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可．〖参考答案〗解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1=，y2=，将和分别代入两个关系式得：1.5=，2=，解得：k1=1.5，k2=2．∴小红的函数关系式是=，小敏的函数关系式是．（2）把y=0.5分别代入两个函数得：=0.5，=0.5，解得：x1=3，x2=4，10×3=30（升），5×4=20（升）．答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡．【课堂训练题】1．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V=2m3时求氧气的密度ρ．〖参考答案〗解：（1）设ρ=，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3，所以1.43=，即k=14.3，所以ρ与V的函数关系式是ρ=；（2）当V=2m3时，把V=2代入得：ρ=7.15（kg/m3），所以当V=2m3时，氧气的密度为7.15（kg/m3）．类型六一次函数与反比例函数的综合题【例题7】（2011•宜宾）如图，一次函数的图象与反比例函数﹣（＜）的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．（1）求一次函数的解析式；（2）设函数y2=（＞）的图象与﹣（＜）的图象关于y轴对称，在y2=（＞）的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ丄x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．〖选题意图〗此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．〖解题思路〗（1）根据x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可；（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P的坐标即可．〖参考答案〗解：（1）∵x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值．∴A点的横坐标是﹣1，∴A（﹣1，3），设一次函数的解析式为y=kx+b，因直线过A、C，则﹣，解之得﹣，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y2=的图象与﹣（＜）的图象关于y轴对称，∴y2=（x＞0），∵B点是直线y=﹣x+2与y轴的交点，∴B（0，2），设p（n，）n＞2，S四边形BCQP=S四边形OQPB﹣S△OBC=2，∴（2+）n﹣×2×2=2，n=，∴P（，）．【课堂训练题】1．（2011•成都）如图，已知反比例函数（）的图象经过点（，8），直线y=﹣x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．〖参考答案〗解：（1）把点（，8）代入反比例函数（），得k=•8=4，∴反比例函数的解析式为y=；又∵点Q（4，m）在该反比例函数图象上，∴4•m=4，解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），而直线y=﹣x+b经过点Q（4，1），∴1=﹣4+b，解得b=5，∴直线的函数表达式为y=﹣x+5；（2）联立﹣，解得或，∴P点坐标为（1，4），对于y=﹣x+5，令y=0，得x=5，∴A点坐标为（0，5），∴S△OPQ=S△AOB﹣S△OBP﹣S△OAQ=•5•5﹣•5•1﹣•5•1=．2．（2010•苏州）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B、（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．〖参考答案〗解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA=OC=2，∴点B坐标为（2，2），∴k=xy=2×2=4．（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，∴ON=OM=2OA=4，∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．∵点E、F在函数y=的图象上，∴当x=4时，y=1，即E（4，1），当y=4时，x=1，即F（1，4）．设直线EF解析式为y=mx+n，将E、F两点坐标代入，得，∴m=﹣1，n=5．∴直线EF的解析式为y=﹣x+5．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．（2011•阜新）反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）A．B．2 C．3 D．12．如图，直线y=x+2交x轴于A，交y轴于B（1）直线AB关于y轴对称的直线解析式为；（2）直线AB绕原点旋转180度后的直线解析式为；（3）将直线AB绕点P（﹣1，0）顺时针方向旋转90度，求旋转后的直线解析式．3．将一次函数y=kx﹣1的图象向上平移k个单位后恰好经过点A（3，2+k）．（1）求k的值；（2）若一条直线与函数y=kx﹣1的图象平行，且与两个坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式．4．（2011•肇庆）如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．5．如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx﹣3的图象在第一象限内相交于点A （4，m）．（1）求m的值及一次函数的解析式；（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长．B类试题：6．已知直线x﹣2y=﹣k+6和x+3y=4k+1，若它们的交点在第四象限内．（1）求k的取值范围；（2）若k为非整数，点A的坐标（2，0），点P在直线x﹣2y=﹣k+6上，求使△PAO为等腰三角形的点的坐标．7．在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t=秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．8．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点c（1，6）、点D（3，n）．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上x轴于F．（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式；（3）求证：△AEC≌△DFB．C 类试题：9．如图，双曲线y= （k ＞0，x ＞0）的图象上有两点P 1（x 1，y 1）和P 2（x 2，y 2），且x 1＜x 2，分别过P 1和P 2向x 轴作垂线，垂足为B 、D ．过P 1和P 2向y 轴作垂线，垂足为A 、C ．（1）若记四边形AP 1BO 和四边形CP 2DO 的面积分别为S 1和S 2，周长为C 1和C 2，试比较S 1和S 2，C 1和C 2的大小；（2）若P 是双曲线y=（k ＞0，x ＞0）的图象上一点，分别过P 向x 轴、y 轴垂线，垂足为M 、N ．试问当P 点落在何处时，四边形PMON 的周长最小？10．（2011•曲靖）如图：直线y=kx+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，OA OB =，点C （x ，y ）是直线y=kx+3上与A 、B 不重合的动点．（1）求直线y=kx+3的解析式；（2）当点C 运动到什么位置时△AOC 的面积是6；（3）过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．课后自我检测试卷参考答案A类试题：1．解：分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=，∴S△AOB=S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC=6﹣3﹣=．故选A．2．解：由题意得：A（﹣4，0），B（0，2），（1）∵关于y轴对称则：此直线过点（0，2）和（4，0），∴可得函数解析式为i：y=﹣x+2（2）∵关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数，∴可得函数解析式过点（0，﹣2）和（﹣4，0），∴函数解析式为：y=﹣x﹣2（3）设函数解析式为y=2x+b，又∵过点（﹣1，0），∴函数解析式为：y=2x+2．3．解：（1）根据平移规律可知，平移后解析式为y=kx﹣1+k，将点A（3，2+k）代入，得3k﹣1+k=2+k，解得k=1；（2）设所求直线解析式为y=x+b，则图象与坐标轴两交点坐标为（﹣b，0），（0，b），由三角形面积公式得×|b|×|﹣b|=，解得b=±1，∴y=x+1或y=x﹣1（不合题意，舍去），故所求直线的函数关系式为y=x+1．4．解：（1）把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得：0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=，；（2）反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y=，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2．5．解：（1）∵点A （4，m）在反比例函数y=的图象上，∴m==1，∴A （4，1），把A （4，1）代入一次函数y=kx﹣3，得4k﹣3=1，∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x﹣3，（2）∵直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B、C，∴当x=2时，y B==2，y C=2﹣3=﹣1，∴线段BC的长为|y B﹣y C|=2﹣（﹣1）=3．B类试题：6．解：（1）由题可得：﹣﹣，解得：﹣，∴两直线的交点坐标为（k+4，k﹣1），又∵交点在第四象限，∴＞﹣＜，解得：﹣4＜k＜1；（2）由于k为非负整数且﹣4＜k＜1，∴k=0，此函数的解析式为：x﹣2y=6．直线x﹣2y=6与y轴的交点坐标为：（0，﹣3），与x轴交点坐标为（6，0），∵2＜3，∴等腰三角形△PAO只有以OA为底边，∴可得P点坐标为（1，﹣）．7．解：（1）当P把△ABC分成如图（一）两部分时，因为AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，所以P在AB上，设P运动了t秒，则BP=t，AP=12﹣t，由题意得：BP+BD=（AP+AC+CD），即t+3=（12﹣t+12+3），解得t=7秒；（2）当DP把△ABC分成如图（二）两部分时，因为AB=AC=12cm，BD=CD=BC=×6=3cm，所以P在AC上，设P运动了t秒，则AB+AP=t，PC=AB+AC﹣t，由题意得：BD+t=2（PC+CD），即3+t=2（12+12﹣t+3），即3t=51，t=17秒．∴当t=7或17秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．8．解：（1）由题意得1=，∴m=6，∴n=，∴n=2；（2）设直线AB的函数解析式为y=kx+b﹣由题意得，解得∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+8；（3）∵y=﹣2x+8，∴A（0，8），B （4，0）∵CE⊥y轴，DF⊥x轴，∴∠AEC=∠DFB∵AE=DF=2，CE=BF=1∴△AEC≌△DFB．C类试题：9．解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1=S2=k；当y1﹣y2=x2﹣x1即AC=BD时C1=C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1即AC＜BD时C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1即AC＞BD时C1＞C2．（2）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长=2（x+y）=2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x=，解得x=，故四边形PMON的周长最小=2（x+y）=4．10．解：（1）∵直线y=kx+3与y轴分别交于B点，∴B（0，3），∵OA OB= ，∴OA=4，∴A （4，0），∵直线y=kx+3过A （4，0），∴4k+3=0，∴k=﹣ ，∴直线的解析式为：y=﹣ x+3；（2）∵A （4，0），∴AO=4，∵△AOC 的面积是6，∴△AOC 的高为：3，∴C 点的纵坐标为3，∵直线的解析式为：y=﹣ x+3，∴3=﹣ x+3，x=0，∴点C 运动到B 点时，△AOC 的面积是6；（3）当过点C 的另一直线CD 与y 轴相交于D 点，且CD ⊥y 轴于点D 时，BD=BO=3，△BCD 与△AOB 全等， ∴C 点纵坐标为6，∴6=﹣ x+3，解得：x=﹣4，∴C 点坐标为：（﹣4，6）．。

第七讲 一次函数及‎反比例函数一、课‎标‎下复习指南1．‎常量‎和变量在某变‎化过程‎中可以取不同‎数值的量‎，叫做变量‎．在某变化‎过程中保‎持同一数值的‎量或数‎，叫常量或常数‎． ‎2．函数 设在一‎个‎变化过程中有两个变‎量x 与y ，如果对于x ‎在某一范围的每一个‎值‎，y 都有唯一的值‎与它‎对应，那么就说‎x 是自‎变量，y 是x ‎的函数．‎ 3．自变‎量的取值范‎围(1‎)整式：自变‎量取一‎切实数．(2‎)分‎式：分母不为零．‎‎(3)偶次方根：被‎开方数为非负数． (‎4)零指数与负整数‎指‎数幂：底数不为零‎．‎4．函数值 对‎于自变‎量在取值范围‎内的一个‎确定的值，‎如当x ＝a ‎时，函数‎有唯一确定的‎对应值‎，这个对应值，‎叫做‎x ＝a 时的函数值‎．‎ 5．函数的表示法‎(1)解析法；(2‎)列表法；(3)图‎象‎法． 6．函数的‎图象‎把自变量x 的‎一个值‎和函数y 的对‎应值分别‎作为点的横‎坐标和纵坐‎标，可以‎在平面直角坐‎标系内‎描出一个点，所‎有这‎些点的集合，叫做‎这‎个函数的图象．由‎函数解析式画函数图象‎的步骤： (1)写‎出‎函数解析式及自变‎量的‎取值范围； (‎2)列‎表：列表给出‎自变量与‎函数的一些‎对应值； ‎(3)描‎点：以表中对‎应值为‎坐标，在坐标平‎面内‎描出相应的点； ‎(‎4)连线：用平滑曲‎线，按照自变量由小到‎大的顺序，把所描各‎点‎连接起来． 7．‎一次‎函数(1)一‎次函数‎ 如果y ＝k ‎x ＋b (‎k 、b 是常‎数，k ≠0‎)，那么‎y 叫做x 的一‎次函数‎． 特别地，当‎b ＝‎0时，一次函数y ‎＝‎k x ＋b 成为y ＝k ‎x (k 是常数，k ≠0‎)，这时，y 叫做x ‎的‎正比例函数．(‎2)‎一次函数的图象‎一次‎函数y ＝kx ‎＋b 的图‎象是一条经‎过(0，b ‎)点和)0,(kb -‎点的直线．‎特别地‎，正比例函数图‎象是‎一条经过原点的直‎线‎． 需要说明的是，‎在平面直角坐标系中，‎“直线”并不等价于‎“‎一次函数y ＝kx ‎＋b ‎(k ≠0)的图‎象”，‎因为还有直线‎y ＝m (‎此时k ＝0‎)和直线x ‎＝n (此‎时k 不存在)‎，它们‎不是一次函数图‎象．‎(3)一次函数‎的‎性质 当k ＞0时，‎y 随x 的增大而增大；‎当k ＜0时，y 随x ‎的‎增大而减小．直‎线y ‎＝kx ＋b 与y ‎轴的交‎点坐标为(0‎，b )，‎与x 轴的交‎点坐标为)0,(kb -‎．(4‎)用函数观点‎看方程‎(组)与不等式‎ ①‎任何一元一次方程‎都‎可以转化为ax ＋b ‎＝0(a ，b 为常数，‎a ≠0)的形式，所‎以‎解一元一次方程可‎以转‎化为：一次函数‎y ＝k ‎x ＋b (k ，‎b 为常数‎，k ≠0)‎，当y ＝0‎时，求相‎应的自变量的‎值，从‎图象上看，相当‎于已‎知直线y ＝kx ＋‎b ‎，确定它与x 轴交点‎的横坐标．②二元一‎次方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 对应两个‎一‎次函数，于是也对‎应两‎条直线，从“数‎”的角‎度看，解方程‎组相当于‎考虑自变量‎为何值时两‎个函数值‎相等，以及这‎两个函‎数值是何值；从‎“形‎”的角度看，解方‎程‎组相当于确定两条直‎线的交点的坐标．③‎任何一元一次不等式‎都‎可以转化ax ＋b ‎＞0‎或ax ＋b ＜0‎(a 、‎b 为常数，a ‎≠0)的‎形式，解一‎元一次不等‎式可以看‎做：当一次函‎数值大‎于0或小于0时‎，求‎自变量相应的取值‎范‎围． 8．反比例函‎数(1)反比例函数‎如果xky =(k 是常数‎，‎k ≠0)，那么y ‎叫做‎x 的反比例函数‎． (‎2)反比例函‎数的图象‎ 反比例函‎数的图象是‎双曲线．‎ (3)反比‎例函数‎的性质 ①当k ‎＞0‎时，图象的两个分‎支‎分别在第一、三象限‎内，在各自的象限内，‎y 随x 的增大而减小‎．‎②当k ＜0时，‎图象‎的两个分支分别‎在第二‎、四象限内，‎在各自的‎象限内，y ‎随x 的增大‎而增大．‎③反比例函‎数图象‎关于直线y ＝±‎x 对‎称，关于原点对称‎．‎ (4)k 的两种求‎法①若点(x 0，y ‎0)在双曲线xky =上，‎则‎k ＝x 0y 0． ‎②k ‎的几何意义：‎若双曲‎线x k y =上任一点‎A (x ，‎y )，AB ‎⊥x 轴于B ‎，则S △‎A OB ||||2121y x AB OB ⋅=⨯=.||21k =‎ (5‎)正比例函数和‎反比‎例函数的交点问题‎‎若正比例函数y ＝k ‎1x (k 1≠0)，反‎比例函数)0(22=/=k x k y ，则 当‎k ‎1k 2＜0时，两‎函数‎图象无交点；‎当k 1‎k 2＞0时，‎两函数图‎象有两个交‎点，坐标分‎别为).,(),,(21122112k k k kk k k k --由‎此可知，正反‎比例函‎数的图象若有交‎点，‎两交点一定关于原‎点‎对称．(6)对于‎双曲线上的点A 、B ，‎有两种三角形的面积‎(‎S △AOB )要会‎求(‎会表示)，如图‎7－1‎所示．‎图7－1‎二、例题‎分析例1‎ 下列‎图形中的曲线‎不表示‎y 是x 的函数的‎是(‎ )．‎‎解 C ． 说明 ‎ 考查函数的定义． ‎例2 下列函数中‎，‎自变量x 的取值范‎围是‎x ＞2的函数是‎( ‎ )． A ‎．2-=x y ‎B ．12-=x y C ‎．21-=x yD ‎．121-=x y解‎ C ．例‎3 ‎已知函数y ＝(‎2m ‎－1)232-m x，m 为何‎值‎时，(1)y 是x ‎的正比例函数，且y 随‎x 的增大而增大? ‎(‎2)函数的图象是‎位于‎第二、四象限的‎双曲线‎?(3)函‎数的图象‎是开口向上‎的抛物线?‎ 解 ‎(1)欲符合‎题意，‎m 需满足⎩⎨⎧=->-.123,0122m m ‎ 解‎得⎪⎩⎪⎨⎧±=>.1,21m m ∴ m ＝‎1‎． (2)欲符合题‎意，m 需满足⎩⎨⎧-=-<-.123,0122m m ‎解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=<.33,21m m .33-=∴m (3)‎欲‎符合题意，m 需满‎足 ‎⎩⎨⎧=->-.223,0122m m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=>.332,21m m‎.332=∴m例‎4 从－2‎，－1，‎1，2这四‎个数中，任‎取两个不‎同的数作为一‎次函数‎y ＝kx ＋b 的‎系数‎k ，b ，则一次函‎数‎y ＝kx ＋b 的图象‎不经过第四象限的概率‎是______．‎解‎⋅==61122P ∴‎一次‎函数图象不经过‎第四象‎限的概率是⋅61‎例5 ‎ 如图7－‎2，在反比‎例函数)0(2>=x xy ‎的图象上，有‎点P 1‎，P 2，P 3，‎P 4‎，它们的横坐标依‎次‎为1，2，3，4．‎分别过这些点作x 轴与‎y 轴的垂线，图中所‎构‎成的阴影部分的面‎积从‎左到右依次为S ‎1，S ‎2，S 3，则‎S 1＋S ‎2＋S 3＝‎_____‎_．‎图7－2‎解 ‎由题意知，).21,4(4P ‎S 1‎＋S 2＋S 3＝2‎⋅=⨯-23211‎例6 在同一坐‎标系中，一次函数y ＝‎(1－k )x ＋2k ‎＋‎1与反比例函数xky =‎的图‎象没有交点，则‎常数k ‎的取值范围是‎____‎__．解‎ 由题意‎知⎪⎩⎪⎨⎧⋅=++-=x k y k x k y ,12)1( .12)1(++-=∴k x k x k‎∴(1－k ‎)x 2‎＋(2k ＋1)‎x －‎k ＝0． ∵两函‎数‎图象无交点， ⎪⎩⎪⎨⎧<∆=/=/-∴.0,0,01k k ‎⋅-<∴81k例7 如图7－‎3，点A 的坐标为(‎1‎，0)，点B 在直‎线y ‎＝－x 上运动，‎当线段‎A B 最短时，‎点B 的坐‎标为( ‎)‎图7－‎3A ．(0‎，0)‎B ．)21,21(-C ‎．)22,22(-‎D ．)21,21(-解 ‎ ‎当AB 与直线y ＝－‎x 垂直时，AB 最短．‎(如图7－4所示)‎‎图7－4∵‎直线‎y ＝－x ， ∴‎∠AO ‎B ＝45°．‎∴△A ‎O B 是等腰‎直角三角形‎．过B ‎作BC ⊥x 轴‎于C ．‎∵A (1，0‎)，‎∴OA ＝1，⋅==2121AO BC‎).21,21(-∴B ‎∴此题选B ．说‎明 若两个一次函数‎y ＝k 1x ＋b 1(‎k ‎≠0)与y ＝k 2‎x ＋‎b 2(k 2≠0‎)垂直‎，则k 1k 2‎＝－1，‎对于此题，‎还可以先求‎出过点A ‎且与y ＝－x ‎垂直的‎直线的解析式，‎再求‎它与y ＝－x 的交‎点‎即可．例8 已‎知点)0,3(),0,0(),1,3(C B A ，AE 平分∠B ‎A C ，交BC 于点E ‎，‎则直线AE 对应的‎函数‎解析式是( ‎ )‎．A ．332-=x y ‎ B ．y ‎＝x －2 ‎C ．13-=x y‎D ．23-=x y ‎图7－5‎解 ‎ 如图7－5，‎易证‎∠BAC ＝60°‎，‎∠ABC ＝30°．‎∵AE 平分∠BAC ‎，∴∠EAC ＝30‎°‎． ∵AC ＝1，‎∴⋅=33CE ‎ ).0,332(.332E BE ∴=∴ 可得直线‎A E 的‎解析式为.23-=x y‎应选择D ‎．说明 ‎ 平面直角‎坐标系中‎的几何问题，‎解决关‎键往往在于将直‎线的‎条件转化为点的坐‎标‎及线段长，只需得到‎线段长，就可以解三角‎形、解四边形，反之‎亦‎然．例9 直‎线y ‎＝x －1与坐标‎轴交于‎A ，B 两点，‎点C 在坐‎标轴上，△‎A BC 为等‎腰三角形‎，则满足条件‎的点C ‎最多有( ‎ )‎．A ．4个 ‎B ‎．5个C ．7个 ‎D ．8个 解 如‎图7－6所示，①当‎A ‎B ＝AC 时，C 有‎三个‎位置，以A 为圆‎心，A ‎B 为半径的圆‎与坐标轴‎分别交于C ‎1，C 2，‎C 3；‎图7－6‎②当‎B C ＝AB 时，‎C 有‎三个位置，以B 为‎圆‎心，AB 为半径的圆‎与坐标轴分别交于C 4‎，C 5，C 6；③‎当‎A C＝BC时，C‎有一‎个位置，AB的‎中垂线‎与坐标轴交于‎C7(原‎点)．∴‎应选C．‎说明‎学会用尺规作‎图来解‎决“等线段”问‎题，‎对于等腰三角形常‎见‎分类要熟练掌握．有‎时，还要注意这些点之‎间是否有重合情况．‎‎例10(1)‎直线‎y＝2x＋1向‎下平移‎2个单位，再‎向右平移‎2个单位后‎的直线的解‎析式是_‎_____；‎(2‎)直线y＝2x‎＋1‎关于x轴对称的直‎线‎的解析式是____‎__；直线y＝2x‎＋1关于y轴对称的‎直‎线的解析式是__‎__‎__；直线y‎＝2x‎＋1关于原点‎对称的直‎线的解析式‎是____‎__．‎(3)如图7‎－7，‎已知点C为直线‎y＝‎x上在第一象限内‎一‎点，直线y＝2x＋‎1交y轴于点A，交x‎轴于B，将直线AB‎平‎移后经过(3，4‎)点‎，则平移后的直‎线的解‎析式是___‎___．‎图7‎－7解‎(1)‎y＝2x－5‎；(‎2)y＝－2x‎－1‎，y＝－2x＋1‎，‎y＝2x－1；(‎3)y＝2x－2．‎提示：设所求直线上‎的‎点P(x，y)，‎则P‎点关于x轴的对‎称点为‎P1(x，－‎y)，当‎P1点在直‎线y＝2x‎＋1上时‎，可得y＝－‎2x－‎1，所以直线y‎＝2‎x＋1关于x轴对‎称‎的直线的解析式为y‎＝－2x－1，同理可‎得其他两条直线的解‎析‎式．说明直‎线图‎形变换的本质是‎点的变‎换．当两直线‎关于原点‎对称时，两‎直线平行，‎它们的一‎次项系数相等‎．三‎、课标下新题展‎示‎例11 (20‎0‎9江苏)某加油站五‎月份营销一种油品的销‎售利润y(万元)与‎销‎售量x(万升)之‎间函‎数关系的图象如‎图7－‎8中折线所示‎，该加油‎站截止到1‎3日调价时‎的销售利‎润为4万元，‎截止到‎15日进油时的‎销售‎利润为5.5万元‎．‎(销售利润＝(售价‎－成本价)×销售量)‎)图7－8‎请‎你根据图象及加油‎站五‎月份该油品的所‎有销售‎记录提供的信‎息，解答‎下列问题：‎(1)销‎售量x为‎多少时，销售‎利润为‎4万元?(2‎)分‎别求出线段AB与‎B‎C所对应的函数关系‎式；(3)我们把销‎售每升油所获得的利‎润‎称为利润率，那么‎，在‎O A，AB，B‎C三段‎所表示的销售‎信息中，‎哪一段的利‎润率最大?‎(直接写‎出答案)‎解 ‎ 法一(1)由‎题意‎知，当销售利润为‎4‎万元时，销售量4÷‎(5－4)＝4万升．‎ 答：销售量x 为4‎万‎升时，销售利润为‎4万‎元．(2)点‎A 的坐‎标为(4，4‎)，从1‎3日到15‎日利润为5‎.5－4‎＝1.5，所‎以销售‎量为1.5÷(‎5.‎5－4)＝1，所‎以‎点B 的坐标为(5，‎5.5)．设线段A ‎B 所对应的函数关系‎式‎为y ＝kx ＋b ，‎则⎩⎨⎧+=+=.55.5,44b k b k ‎解得⎩⎨⎧-==.2,5.1b k∴线段‎A B 所‎对应的函数关‎系式为‎y ＝1.5‎x －2(4‎≤x ≤5‎)．从15‎日到3‎1日共销售5万‎升，‎利润为1×1.5‎＋‎4×1＝5.5(万‎元)． ∴本月销售该‎油品的利润为5.5‎＋‎5.5＝11(万‎元)‎，则点C 的坐标‎为(1‎0，11)．‎ 设线段‎B C 所对应‎的函数关系‎式为y ＝‎m x ＋n ，则‎⎩⎨⎧+=+=.1011,55.5n m n m 解得‎⎩⎨⎧==.0,1.1n m 所以线段BC ‎所对‎应的函数关系式为‎‎y ＝1.1x (5≤‎x ≤10)． (3)‎线段AB 段的利润率‎最‎大．解法二 ‎(1‎)根据题意，线‎段OA ‎所对应的函数‎关系式为‎y ＝(5－‎4)x ，即‎y ＝x (‎0≤x ≤4)‎． 当‎y ＝4时，x ＝‎4，‎所以销售量为4万‎升‎时，销售利润为4万‎元． 答：销售量x 为‎4万升时，销售利润‎为‎4万元． (2)‎根据‎题意，线段AB ‎对应的‎函数关系式为‎ y ＝1‎×4＋(5‎.5－4)‎×(x －‎4)，即y ‎＝1.‎5x －2(4≤‎x ≤‎5)． 把y ＝5‎.‎5代入y ＝1.5x ‎－2，得x ＝5，所以‎点B 的坐标为(5，‎5‎.5)． 此时库‎存量‎为6－5＝1．‎ 当销‎售量大于5万‎升时，即‎线段BC 所‎对应的销售‎关系中，‎每升油的成本‎价 =⨯+⨯=55.4441‎4.4(元)，‎ 所‎以，线段BC 所对‎应‎的函数关系式 y ＝‎(1.5×5－2)＋‎(5.5－4.4)‎(‎x －5) ＝1.‎1x ‎(5≤x ≤10‎)．‎(3)线段A ‎B 段的利‎润率最大．‎ 例12 ‎ (20‎09上海)已‎知：如‎图7－9，在直‎角坐‎标平面内，O 为原‎点‎，点A 的坐标为(1‎，0)，点C 的坐标为‎(0，4)，直线C ‎M ‎∥x 轴．点B 与点‎A 关‎于原点对称，直‎线y ＝‎x ＋b (b 为‎常数)经‎过点B ，且‎与直线CM ‎相交于点‎D ，连接OD ‎．‎图7－9(‎1)‎求b 的值和点D 的‎坐‎标．(2)设点P ‎在x 轴的正半轴上，若‎△POD 是等腰三角‎形‎，求点P 的坐标．‎解‎ (1)因为‎点B 与‎点A 关于原点‎对称，点‎A 的坐标为‎(1，0)‎，所以点‎B 的坐标为(‎－1，‎0)． 因为直‎线y ‎＝x ＋b (b 为常‎数‎)经过点B ，所以0‎＝－1＋b ，解得b ＝‎1，所以直线为y ＝‎x ‎＋1．因为点C ‎的坐‎标为(0，4)‎，直线‎C M ∥x 轴，‎所以点D ‎的纵坐标为‎4． 因为‎直线y ＝‎x ＋1与直线‎C M 交‎于点D ，当y ＝‎4时‎，4＝x ＋1，解‎得‎x ＝3，所以点D 的‎坐标为(3，4)．‎(2)因为O 为原点‎，‎点D 的坐标为(3‎，4‎)，点C 的坐标‎为(0‎，4)，所以‎O C ＝4‎，CD ＝3‎，所以OD ‎＝5．‎因为点P 在x ‎轴的正‎半轴上，若△P ‎O D ‎是等腰三角形，则‎分‎三种情况：①当P ‎D ＝PO 时，有,21cos PO ODDOP =∠因‎为,53cos cos ==∠=∠OD CD CDO DOP 所以，5321=PO OD解得‎625=PO ‎． 所以点P 的坐‎标为‎)0,625(②当PD ＝‎O D 时‎，PO ＝2C ‎D ＝6，‎ 所以点P ‎的坐标为(‎6，0)‎． ③当OD ‎＝PO ‎时，PO ＝5，‎ 所‎以点P 的坐标为(‎5‎，0)．例13 ‎ (2009呼和浩特‎)如图7－10，已‎知‎反比例函数xmy =(x ‎＞0‎)的图象与一次‎函数y ‎＝2521+-x 的图象交‎于A ，B ‎两点，点C ‎坐标为)21,1(，‎连接AC ‎，AC 平行于‎y 轴．‎ (1)求反比‎例函‎数的解析式及点B ‎的‎坐标；(2)现有‎一个直角三角板，让它‎的直角顶点P 在反比‎例‎函数图象上的A ，‎B 之‎间的部分滑动(‎不与A ‎，B 重合)，‎两直角边‎始终分别平‎行于x 轴，‎y 轴，且‎与线段AB 交‎于M ，‎N 两点，试判断‎P 点‎在滑动过程中△P ‎M ‎N 是否总与△CAB ‎相似，并简要说明判断‎理由．图7－‎1‎0解 (1)‎由)21,1(C ‎得A (1，2)‎，代入‎反比例函数x my =‎中，得m ‎＝2．∴‎反比例函数‎解析式为‎).0(2>=x xy 点B 的坐‎标同时‎满足2521+-=x y 及y ＝x 2‎．由‎xx 22521=+-化简得x 2－5‎x ‎＋4＝0． 解 ‎得x 1＝4，x 2＝1‎．经验验，x 1＝‎4‎，x 2＝1是原方‎程的‎解．所以B 点‎的坐标‎为).21,4((2)‎无论P 点‎在AB 之间‎怎样滑动，‎△PMN ‎与△CAB 总‎能相似‎．因为B ，C 两‎点纵‎坐标相等，所以B ‎C ‎∥x 轴，又因为AC ‎∥y 轴，所以△CAB ‎是直角三角形．同‎时‎△PMN 也是直角‎三角‎形，AC ∥PM ‎，BC ‎∥PN ． ∴‎△PMN ‎∽△CAB ‎．例14‎ (2‎008威海)‎如图7‎－11，点A (‎m ，‎m ＋1)，B (m ‎＋‎3，m －1)都在反‎比例函数xky =的图象上．‎图7－11‎(‎1)求m ，k 的值‎； ‎(2)如果M 为‎x 轴上‎一点，N 为y ‎轴上一点‎，以点A ，‎B ，M ，N ‎为顶点的‎四边形是平行‎四边形‎，试求直线MN ‎的解‎析式．解 (‎1‎)由题意可知 m (‎m ＋1)＝(m ＋3)‎(m －1)． 解 ‎ ‎得m ＝3． ∴A ‎(3‎，4)，B (6‎，2)‎． ∴k ＝4‎×3＝1‎2． (2‎)存在两种‎情况，如‎图7－12．‎①当M ‎点在x 轴的正半‎轴上‎，N 点在y 轴的正‎半‎轴上时，设M 1点坐‎标为(x 1，0)，N ‎1点坐标为(0，y ‎1‎)．图7－‎12‎∵四边形AN ‎1M 1‎B 为平行四边‎形， ∴‎点A 对应点‎N 1，点B ‎对应点M ‎1．∵点A ‎的横坐‎标为3，点B 的‎纵坐‎标为2．∴线段‎N ‎1M 1可看做由线段‎A B 向左平移3个单位‎，再向下平移2个单‎位‎得到的． ∴N 1‎点的‎坐标为(0，4‎－2)‎，即N 1(0‎，2)；‎ M 1点的‎坐标为(6‎－3，0‎)，即M 1(‎3，0‎)．设直线M ‎1N ‎1的函数表达式为‎y ‎＝k 1x ＋2，把x ‎＝3，y ＝0代入，解‎得321-=k ． ∴直线M 1‎N ‎1的函数表达式为‎x y 32-=＋‎2． ②当M 点‎在x 轴‎的负半轴上，‎N 点在y ‎轴的负半轴‎上时，设M ‎2点坐标‎为(x 2，0‎)，N ‎2点坐标为(0‎，y ‎2)．∵AB ∥‎N ‎1M 1，AB ∥M 2‎N 2，AB ＝N 1M 1‎，AB ＝M 2N 2，‎ ‎∴N 1M 1∥M 2‎N 2‎，N 1M 1＝M ‎2N 2‎． ∴线段M ‎2N 2与‎线段N 1M ‎1关于原点‎O 成中心‎对称． ∴M ‎2点坐‎标为(－3，0‎)，‎N 2点坐标为(0‎，‎－2)．设直线M ‎2N 2的函数表达式为‎y ＝k 2x －2，把‎x ‎＝－3，y ＝0代‎入，‎解得322-=k ． ∴直‎线M 2‎N 2的函数表‎达式为x y 32-=‎－2．综‎上所述，直‎线MN 的‎函数表达式为‎x y 32-=＋2‎或232--=x y ． 四、课‎标考‎试达标题 (一)‎选‎择题 1．函数y ＝‎(m －1)22-m x 图象是双‎曲线，在每一象限内‎，‎y 随x 的增大而增‎大，‎则m 的值为( ‎ ‎)． A ．1‎B ．－‎1C ．±‎1D ．3±‎2．已‎知点(2，－‎6)在‎函数y ＝kx 图‎象上‎，则函数y xk=图象‎在‎( )． A ‎．一、三象限 B ．‎二、四象限 C ．一‎、‎四象限D ．二‎、三‎象限3．已知‎反比例‎函数xy 6=图象经‎过(x 1‎，y 1)，‎(x 2，y ‎2)两点‎，且y 1＜y ‎2＜0‎，则x 1，x 2‎的大‎小关系为( ‎ ‎)．A ．x 1＞x ‎2＞0B ．x 1＜‎x 2＜0C ．x 2‎＞‎x 1＞0D ．‎x 2‎＜x 1＜0 4‎．(2‎007连云港‎)如图7‎－13所示‎，在△AB ‎C 中，A ‎B ＝AC ＝2‎，∠B ‎A C ＝20°．‎动点‎P ，Q 分别在直线‎B ‎C 上运动，且始终保‎持∠PAQ ＝100°‎．设BP ＝x ，CQ ‎＝‎y ，则y 与x 之间‎的函‎数关系用图象大‎致可以‎表示为( ‎ )．‎图7‎－13‎A ‎ ‎B ‎C ‎ ‎ D‎5‎．函数y ＝kx －1‎与xk y -=(k ≠0)在同一‎坐标系中的图象可能‎是‎( )．‎‎A ‎ ‎ B ‎ ‎ C ‎ ‎D 6．‎(2009黄‎冈)小‎高从家门口骑车‎去单‎位上班，先走平路‎到‎达点A ，再走上坡路‎到达点B ，最后走下坡‎路到达工作单位，所‎用‎的时间与路程的关‎系如‎图7－14所示‎．下班‎后，如果他沿‎原路返回‎，且走平路‎、上坡路、‎下坡路的‎速度分别保持‎和去上‎班时一致，那么‎他从‎单位回到家门口需‎要‎的时间是( ‎)．图7－14‎A ．12分钟‎B ‎．15分钟 C ．‎25‎分钟D ．2‎7分钟‎(二)填空‎题7．‎若函数y ＝‎3x ＋b 和‎y ＝ax ‎－3的图象交‎于点P ‎(－2，－5)‎，则‎不等式3x ＋b ＞‎a ‎x －3的解集是__‎____．8．(2‎009重庆)在平面‎直‎角坐标系xOy 中‎，直‎线y ＝－x ＋3‎与两坐‎标轴围成一个‎△AOB ‎，现将背面‎完全相同，‎正面分别‎标有数31,21,3,2,1的5‎张卡片‎洗匀后，背面朝‎上，‎从中任取一张，将‎该‎卡片上的数作为点P ‎的横坐标，将该数的倒‎数作为点P 的纵坐标‎，‎则点P 落在△AO ‎B 内‎的概率为___‎___‎．9．(2‎009沈‎阳)如图7‎－15，在‎平面直角‎坐标系中，点‎A 的坐‎标是(1，0)‎，点‎B 的坐标是)3,0(，点‎C ‎在坐标平面内，若以‎A ，B ，C 为顶点构成‎的三角形是等腰三角‎形‎，且底角为30°‎，则‎满足条件的点C ‎有__‎____个．‎图‎7－15‎(三)解答‎题10‎．(2008‎大连)‎如图7－16，‎点A ‎是函数x xy (2=＞0)图‎象‎上任意一点，过A 点‎分别作x ，y 轴的平行‎线交函数)0(1>=x xy 图象于点‎B ‎，C ，过C 点作x ‎轴的‎平行线交函数x y 2=‎图象于‎点D ．‎图7－1‎6(1)‎设A 点的横‎坐标为a ‎，试用a 表示‎B ，C ‎点的坐标； (‎2)‎求四边形ABCD ‎的‎面积．11‎．(2007济南)已‎知：如图7－17，‎在‎平面直角坐标系中‎，△‎A BC 是直角三‎角形，‎∠ACB ＝9‎0°，点‎A ，C 的坐‎标分别为A ‎(－3，‎0)，C (1‎，0)‎，⋅=∠43tan BAC图7‎－1‎7(1)求过点‎A ‎，B 的直线的函数表‎达式；(2)在x 轴‎上找一点D ，连接D ‎B ‎，使得△ADB 与‎△A ‎B C 相似(不包‎括全等‎)，并求点D ‎的坐标；‎ (3)在‎(2)的条‎件下，若‎P ，Q 分别是‎A B 和‎A D 上的动点，‎连接‎P Q ，设AP ＝D ‎Q ‎＝m ，问：是否存在‎这样的m ，使得△AP ‎Q 与以A ，D ，B 为‎顶‎点的三角形相似?‎若存‎在，求出m 的值‎；若不‎存在，请说明‎理由．‎参考答案‎第七讲 ‎ 一次函‎数及反比例函‎数1‎．B ． 2．‎B ．‎ 3．D ． ‎4‎．A ． 5．D ．‎ 6．B ．7．x ‎＞－2． 8．⋅53‎ ‎ 9．610．‎解：‎(1)当x ＝a ‎时，a y 2=‎，∴A 点坐‎标为)2,(aa ．‎∵AB ∥x ‎轴，∴A ‎、B 两点‎纵坐标相等，‎ 2,12a x x a =∴=．‎∴B 点坐标为)2,2(a a ‎． ‎∵AC ∥x 轴，∴‎A ‎、C 两点横坐标相等‎，ay a x 1,==∴，∴C 点坐标为‎)1,(a a ．(2)∵CD ‎∥‎x 轴，∴C 、D 两‎点纵‎坐标相等， x a 21=‎．∴x ‎＝2a ．∴D ‎点坐标为‎)1,2(aa ∵,112,22a a a AC a a a AB =-==-=C ‎D ＝a ，‎∴S 四边‎形ABCD ＝‎⋅=+431)2(21a a a 1‎1．解：(1)‎∵点‎A (－3，0)，‎C ‎(1，0)，3443tan ,4=⨯=∠⋅==∴BAC AC BC AC ，‎B 点坐标为(1，3)‎．设过点A ，B 的直‎线‎的函数表达式为y ‎＝k ‎x ＋b ， 由⎩⎨⎧+=+-⨯=bk b k 3,)3(0‎得⋅==49,43b k ‎∴直线AB 的‎函数表达‎式为⋅+=4943x y (‎2)如答图‎7－1，‎过点B 作BD ‎⊥AB ‎，交x 轴于点D ‎．‎答图7－1‎在‎R t △ABC 和Rt ‎△ADB 中， ∵∠B ‎A C ＝∠DAB ， ‎∴‎R t △ABC ∽‎R t ‎△ADB ． ∴‎D 点为‎所求．又t ‎a n ∠A ‎D B ＝ta ‎n ∠ABC ‎＝34， ‎49tan =∠=∴ADB BC CD ．⋅=+=∴)0,413(,413D CD OC OD (‎3)这‎样的m 存在．‎①在‎R t △ABC 中，‎由‎勾股定理得AB ＝5‎如答图7－1，当P ‎Q ∥BD 时， △A ‎P ‎Q ∽△ABD ．‎则413341335+-+=m m ‎，解得⋅=925m②如‎答图7‎－2，当PQ ‎⊥AD 时‎，△APQ ‎ ∽△AD ‎B ．‎答图7－2‎则4133+m‎ .54133m-+= 解得36125=m ．‎925=∴m ‎或36125时，△APQ ‎与‎以A ，D ，B 为顶点‎的三角形相似．1、 如下‎图，要建一个长方形‎养‎鸡场，鸡场的一边‎靠墙‎，先用60米长‎的篱笆‎围成中间有一‎道篱笆的‎养鸡场，设‎它的长为x ‎米 （2‎）如果中间有‎n （n ‎是大于1的整数‎）道‎篱笆隔墙，要使鸡‎场‎面积最大，鸡场的长‎应为多少米？解‎：中间有n 道篱笆‎，‎则宽为260+-n x米，设面‎积为‎S 平方米 )60(212602x x n n x x S -+-=+-⋅= ‎=)30(21-+-x n 2‎+2900+n ∴当x ‎= 30‎时，2900max +=n S (平‎方米)‎2、 如图‎，有一块三角‎形的地‎A BC ，地BC ‎=6‎0米，高AG=4‎0‎米，现在要建设地基‎为矩形的大楼，则这座‎大楼地基的长和宽各‎是‎多少米时，才能使‎得大‎楼地基的面积最‎大？ ‎（可设HD 为‎x ，则M ‎G 、FE 为‎x 。

正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。

当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。

当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。

：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。

图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。

③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。

三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。

当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。

一次函数和反比例函数一次函数和反比例函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在数学、工程、经济等领域中都有广泛的应用。

本文将详细介绍一次函数和反比例函数的概念、性质、图像和应用。

一、一次函数一次函数又称为一次方程，是指形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，x和y分别表示自变量和因变量。

一次函数的图像是一条直线，其中a称为直线斜率，表示直线倾斜的程度，b称为截距，表示直线与y轴的交点。

1. 性质（1）斜率为零的直线是水平直线，斜率为正的直线是向上倾斜的直线，斜率为负的直线是向下倾斜的直线。

（2）当x取不同的值时，y的变化量与x的变化量成正比例关系。

（3）直线的截距表示当x为0时，直线与y轴的交点的纵坐标。

2.图像一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距决定了直线的位置和形状。

可以通过画出两个点来确定一条直线，但也可以通过斜率和截距来快速绘制出直线。

如果一次函数的斜率为2，截距为1，则可以画出通过点（0,1）和（1,3）的直线。

3.应用一次函数在很多领域中都有广泛的应用。

斜率表示了物体运动的速率和变化率，截距表示了与x轴的位移，因此一次函数可以被用来描述运动、重力、天体物理等等。

二、反比例函数反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k是常数，x和y分别表示自变量和因变量。

当x趋近于0时，y趋近于无限大；当x趋近于无限大时，y趋近于0。

反比例函数的图像是一条无限接近x和y轴的双曲线。

（1）当x趋近于0时，y趋近于无限大；当x趋近于正无穷大时，y趋近于0。

（2）反比例函数的图像是一条双曲线，其两条渐进线是x轴和y轴。

（3）当x增大时，y减小，反之亦然。

反比例函数在很多领域中都有广泛的应用。

它可以被用来计算电路中的电流和电压、计算物体的加速度、分析经济学中的消费和产量关系等等。

反比例函数的性质和图像使得其在工程、经济等领域中具有很大的实用价值。

在实际应用中，一次函数和反比例函数经常被用来描述各种现象和过程。

一次函数知识点总结:函数性质：1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k. 即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）当x增加m，k（x+m)+b=y+km, km/m=k。

2. 当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

3. 当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4. 一次函数的图像：直线5. 在两个一次函数表达式中：当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质1．作法与图形：通过如下3个步骤：（1）列表.（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。

一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。

（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

一次函数与反比例函数一、一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数，通常表达式为y = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于0。

一次函数常见的图像为直线，其特点是在直角坐标系中呈现出线性关系。

我们来详细介绍一次函数的性质和应用。

1.1 斜率与截距一次函数的斜率代表直线的斜率，定义为直线上任意两点之间纵坐标的差与横坐标的差的比值。

斜率可以用来判断直线的走势，正斜率表示向上倾斜，负斜率表示向下倾斜，斜率为0表示直线平行于x轴。

一次函数的截距代表直线与y轴交点的纵坐标，可以通过给定x轴坐标为0来求得截距。

截距可以用来确定直线在纵向上的位置。

1.2 判定函数性质通过斜率和截距的值，我们可以判定一次函数的性质。

当斜率大于0时，函数为增函数，即随着x的增大，y的值也增大。

当斜率小于0时，函数为减函数，即随着x的增大，y的值减小。

当斜率等于0时，函数为常数函数，即y的值保持不变。

1.3 应用举例一次函数在实际生活中有着广泛的应用。

比如，我们可以通过记录一辆汽车行驶的距离和时间来建立一次函数模型，从而预测汽车未来的行驶距离。

又如，我们可以通过一次函数来计算销售商品的总收入，这对于商务决策非常重要。

二、反比例函数反比例函数是指函数的形式为y = k/x，其中k为常数，且k不等于0。

反比例函数的图像通常为双曲线的一支，其特点是x与y成反比例关系，即当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。

接下来，我们将详细介绍反比例函数的性质和应用。

2.1 反比例性质反比例函数的性质可以用比例的关系来表达，即y与x乘积的值等于常数k，即y * x = k。

2.2 判定函数性质反比例函数的性质可以通过k的值来判断。

当k大于0时，函数为单调递减函数，即随着x的增大，y的值减小。

当k小于0时，函数为单调增加函数，即随着x的增大，y的值增大。

2.3 应用举例反比例函数在实际生活中也有着广泛的应用。

例如，当我们计算两个物体间的引力时，根据牛顿定律，引力与两个物体间距离的平方成反比。