2016-2017年浙江省杭州高级中学高三(下)第一次月考数学试卷(解析版)

浙江省杭州市2016-2017学年高三下学期教学测试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集}4,3,2,1,0{=U ，集合}2,1,0{=A ，集合}3,2{=B ，则(U C =B A )A ．∅B ．}4,3,2,1{C ．}4,3,2{D ．}4,3,2,1,0{【答案】C 【解析】试题分析：因为全集}4,3,2,1,0{=U ，集合}2,1,0{=A ，集合}3,2{=B ，所以{}4,3=A C U ，所以(UC =B A )}4,3,2{，应选C.考点：集合的交、并、补运算.2．已知直线01=-+y ax 与直线01=-+ay x 互相垂直，则=aA ． 1或1-B ．1C ．1-D ．0【答案】D 【解析】试题分析：因为直线01=-+y ax 与直线01=-+ay x 互相垂直， 所以0011=⇒=⨯+⨯a a a ，故应选D. 考点：两直线的位置关系.3.已知向量)2,cos 3(α=与向量)sin 4,3(α=平行，则锐角α等于A ．4πB ．6π C ．3π D ．125π【答案】A 【解析】试题分析：因为向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行， 所以12sin 6cos sin 12=⇒=ααα，又因为α是锐角，所以=α4π 考点：向量平行的坐标运算.4.三条不重合的直线c b a ,,及三个不重合的平面γβα,,，下列命题正确的是A ．若βα//,//a a ，则βα//B ．若γβγαβα⊥⊥=,,a ，则γ⊥aC ．若b c a c c b a ⊥⊥⊂⊂⊂,,,,βαα，则βα⊥D ．若βαγβα//,//,,c c c a ⊂= ，则γ//a 【答案】B 【解析】试题分析：A ．若βα//,//a a ，则βα//或βα,相交故A 错误；C ．若b c a c c b a ⊥⊥⊂⊂⊂,,,,βαα，当b a ,平行时虽然b c a c ⊥⊥,但是c 不一定垂直平面α，所以βα,不一定垂直故C 错误；D ．若βαγβα//,//,,c c c a ⊂= ，则γ//a 或γ⊂a .考点：空间几何元素的位置关系.5.已知条件043:2≤--x x p ，条件096:22≤-+-m x x q ．若p 是q 的充分不 必要条件，则m 的取值范围是A ．]1,1[-B ．]4,4[-C ．),4[]4,(+∞--∞D ．),4[]1,(+∞--∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：41:043:2≤≤-⇒≤--x p x x p ， 令()2296m x x x f -+-=则该函数开口向上且对称轴为3=x ，所以结合图像观察若p 是q 的充分不必要条件，则应满足()401≥⇒≤-m f 或4-≤m . 考点：充分必要条件的应用.6.已知直线)(2sin cos :R y x l ∈=⋅+⋅ααα，圆0sin 2cos 2:22=⋅+⋅++y x y x C θθ )(R ∈θ，则直线l 与圆C 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与θα,相关【答案】D 【解析】试题分析：()()1sin cos sin 2cos 22222=-+-=⋅+⋅++θθθθy x y x y x ，所以圆的圆心坐标为()θθsin ,cos --半径为1，则直线到圆心的距离为()θαθθαθαθ-+=+-∙-∙-=cos 2sin cos 2sin sin cos cos 22d []3,1∈，所以直线l 与圆C 的位置关系是相切或相离，故应选D.考点：直线与圆的位置关系.7.如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且]6,12[ππα∈，则该双曲线离心率e 的取值范围为A ．]32,3[+B ．]13,2[+C ．]32,2[+D ．]13,3[+【答案】B 【解析】试题分析：在ABF Rt ∆中，c AB c OF 2,=∴=，ααcos 2,sin 2c BF c AF ==∴a c AF BF 2|sin cos |2||=-=-∴αα，|)4cos(|21|sin cos |1πααα+=-==∴a c e ,12543,612ππαππαπ≤+≤∴≤≤]22,213[|)4cos(|2],21,426[)4cos(-∈+-∈+∴παπα]13,2[+∈∴e . 考点：双曲线的定义及其性质.8.已知函数⎩⎨⎧>≤-=)0(ln )0(2)(x x x e x f x ，则下列关于函数)0(1]1)([≠++=k kx f f y 的零点个数的判断正确的是A ．当0>k 时，有3个零点；当0<k 时，有4个零点B ．当0>k 时，有4个零点；当0<k 时，有3个零点C ．无论k 为何值，均有3个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 【答案】C考点：函数的零点.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）9.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥-1422y y ax y x ，目标函数y x z 2+=.若1=a ，则z 的最大值为 ▲ ；若z 存在最大值，则a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】6，()10,0 【解析】试题分析:当1=a 时，不等式组表示的可行域为：当目标函数平移到点()2,2A 时值最大，最大值为6；若z 存在最大值，不等式组对应的可行域应当是一个封闭的图形，直线1-=y 与直线22-=x y 是不变的，而直线4+-=ax y 是变动的但是直线经过定点()4,0，所以要使不等式组对应的可行域应当是一个封闭的图形，应满足直线4+-=ax y 的斜率满足010<<-a 即()10,0∈a .考点：线性规划的应用.10．一个几何体的三视图如图，其中正视图和侧视图是相同的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形组成．则这个几何体可以看成是由 ▲ 和 ▲ 组成的，若它的体积是62+π，则=a ▲ ．【答案】一个三棱锥，半个圆锥，1 【解析】试题分析：由三视图可知：该空间几何体可以看成是由一个底面边长为2，该底边上的高为1，三棱锥的高为1的三棱锥和一个底面圆半径为a ，高为1的半圆锥组成的，所以它的体积是=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯a a 122131131212π62+π，所以1=a .考点：三视图、空间几何体的体积.11.在ABC ∆中，若︒=∠120A ，BC AB 21,13,1===，则=AC ▲ ；=AD ▲ ． 【答案】3，37 【解析】试题解析：在ABC ∆中，由余弦定理可得：BAC AB AC AC AB BC ∠∙-+=cos 2222，所以0122=-+AC AC ，即3=AC ；在ABD ∆中，由余弦定理可得：ADB BD AD BD AD AB ∠∙-+=cos 2222，即ADB AD AD ∠∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 3132313122； 在ADC ∆中，由余弦定理可得：ADC DC AD DC AD AC ∠∙-+=cos 2222，即ADC AD AD ∠∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 313223132922；所以37=AD .考点：余弦定理的应用.正视图 （第10题）俯视图侧视图12.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若24942=++a a a ，则=9S ▲ ；108108S S ⋅的最大值为 ▲ ． 【答案】72,64 【解析】试题分析：由24942=++a a a 可得85=a ，所以()7292922955919==⨯=⨯+=aa a a s ；102910108278810291010827881081111108d a d a d a d a S S ⨯+⋅⨯+=⨯+⋅⨯+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=d a d a 292711222555264222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d d a d a d a ，所以108108S S ⋅的最大值为64.考点：等差数列的定义及性质.13.M 是抛物线x y 42=上一点，F 是焦点，且4=MF ．过点M 作准线l 的垂线，垂足为K ，则三角形MFK 的面积为 ▲ ．【答案】34 【解析】试题分析：由题意可得：4==MF MK ，12=p，所以点()32,3M ， 所以()3432221324221=⨯⨯-⨯+⨯=-=∆∆HFKMFHK MFK s s s 四边形.考点：抛物线的定义.14.设0,,>z y x ，满足822=++z y xyz ，则z y x 224log log log ++的最大值是 ▲ ． 【答案】23【解析】试题分析：因为0,,>z y x 且822=++z y xyz ，所以()()()()82424228822222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-∙=-∙≤--∙=∙∙yz yz yz yz yz yz z y yz z y x所以()238loglog log log log 4224224=≤=++z xy z y x . 考点：基本不等式、对数的运算性质.15.正四面体OABC ，其棱长为1．若z y x ++=（1,,0≤≤z y x ），且满足1≥++z y x ，则动点P 的轨迹所形成的空间区域的体积为 ▲ ．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分） 已知函数)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f ．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）当]12,2[ππ-∈x ，求函数)8(π+x f 的值域．【答案】（I ）π；（II ）]2,1[-. 【解析】试题分析：（I ）利用二倍角公式和降幂公式化简得到()ϕω+=x A y sin 的形式，再利用周期公式ωπ2=T 计算即可；（II ）首先得出函数)8(π+x f 的解析式，再求出定义域根据函数的单调性计算函数在值域即可.试题解析：（I ）)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f)8cos()8sin(2)8(sin 212πππ+⋅+++-=x x x)42sin()42cos(ππ+++=x xx x x 2cos 2)22sin(2)442sin(2=+=++=πππ……5分所以)(x f 的最小正周期ππ==22T .……7分 （Ⅱ）由（I ）可知)42cos(2)8(2cos 2)8(πππ+=+=+x x x f .……9分 ]12,2[ππ-∈x ，]125,43[42πππ-∈+∴x ，……11分]1,22[)42cos(-∈+∴πx ，∴]2,1[)8(-∈+πx f .所以，)8(π+x f 的值域为]2,1[-.……14分考点：三角恒等变换、三角函数的性质. 17．（本题满分15分）在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上，且2=PN ． （I ）求证：//MN 平面PDC ； （Ⅱ）求二面角B PC A --的余弦值．【答案】（I ）略；（II ）77. 【解析】试题分析：(1)根据条件得出MDBMNP BN =,即可说明PD MN //，进而证明直线MN 与平面PDC 平行；(2)AN MBDCP（第17题）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何问题转化为向量问题.其中灵活建系是解题的关键.（3)求出平面APC 与平面BPC 的法向量，计算法向量夹角的余弦值即可得到二面角B PC A --的余弦值.试题解析：（Ⅰ）在正三角形ABC 中，32=BM 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，AC DM ⊥， 所以CD AD =，︒=∠120CDA ，所以332=DM ， 所以1:3:=MD BM ……4分在等腰直角三角形PAB 中，24,4===PB AB PA ， 所以1:3:=NP BN ，MD BM NP BN ::=，所以PD MN //.又⊄MN 平面PDC ，⊂PD 平面PDC ，所以//MN 平面PDC .……7分 （Ⅱ）因为︒=∠+∠=∠90CAD BAC BAD ，所以AD AB ⊥，分别以AP AD AB ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以)4,0,0(),0,334,0(),0,32,2(),0,0,4(P D C B ．由（Ⅰ）可知，)0,334,4(-=DB 为平面PAC 的法向量……10分 )4,0,4(),4,32,2(-=-=，设平面PBC 的一个法向量为),,(z y x =,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PB n ，即⎩⎨⎧=-=-+04404322z x z y x ， 令3=z ,则平面PBC 的一个法向量为)3,3,3(= ……13分设二面角B PC A --的大小为θ， 则77cos ==θ, 所以二面角B PC A --余弦值为77.……15分 考点：线面平行的判断及其二面角.18．（本题满分15分）已知直线)0(1:≠+=k kx y l 与椭圆a y x =+223相交于B A 、两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ． （Ⅰ）若1=k ，且210||=AB ，求实数a 的值； （Ⅱ）若2=，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．【答案】（I ）2；（II ）23，5322=+y x . 【解析】 试题分析：(1)当1=k 时，联立直线与椭圆的方程表示出弦长构造方程即可得到实数a 的值；(2)根据条件CB AC 2=以及韦达定理表示三角形的面积，然后利用基本不等式即可得到结论. 试题解析：设),(),,(2211y x B y x A ． （Ⅰ）41,210124312121222a x x x x a x x ay x x y -=-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=， 2210432||2||21=⇒=-⋅=-=a a x x AB ．……5分 （Ⅱ）012)3(312222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=a kx x k ay x kx y ， 22122131,32k a x x k k x x +-=+-=+⇒，……7分 由2122112)1,(2)1,(2x x y x y x -=⇒-=--⇒=，代入上式得：2222213232kk x k k x x x +=⇒+-=-=+，……9分 23323||||333||3||23||||212221=≤+=+==-=∆k k k k x x x OC S AOB ，……12分当且仅当32=k 时取等号，此时32)3(422,32222222122-=+-=-=+=k k x x x k kx ． 又6131221ak a x x -=+-=，因此53261=⇒-=-a a．所以，AOB ∆面积的最大值为23，此时椭圆的方程为5322=+y x ．……15分考点：椭圆的性质.19．（本题满分15分）设二次函数),()(2R b a c bx ax x f ∈++=满足条件：①当R x ∈时，)(x f 的最大值为0，且)3()1(x f x f -=-成立；②二次函数)(x f 的图象与直线2-=y 交于A 、B 两点，且4||=AB ． （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）求最小的实数)1(-<n n ，使得存在实数t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．【答案】（1）2)1(21)(--=x x f ；（2）4=t .【解析】试题分析：（1）根据条件得出函数的对称轴、最大值以及AB 的长度由此列出方程组得到相应的参数值即可；（2）解不等式转化成恒成立问题，然后构造函数t t t g 21)(---=判断单调性即可得到要求结论.试题解析：（Ⅰ）由)3()1(x f x f -=-可知函数)(x f 的对称轴为1=x ，……2分由)(x f 的最大值为0，可假设)0()1()(2<-=a x a x f .令2)1(2-=-x a ，a x 21-±=，则易知422=-a ，21-=a . 所以2)1(21)(--=x x f .……6分（Ⅱ）由x t x f 2)(≥+可得，x t x 2)1(212≥+--，即0)1()1(222≤-+++t x t x ， 解得t t x t t 2121+--≤≤---.……8分又x t x f 2)(≥+在]1,[-∈n x 时恒成立，可得⎪⎩⎪⎨⎧-≥+--≤---)2(121)1(21t t n t t ， 由（2）得40≤≤t .……10分 令t t t g 21)(---=，易知t t t g 21)(---=单调递减，所以9)4()(-=≥g t g ， 由于只需存在实数t 故9-≥n ，则n 能取到的最小实数为9-.此时，存在实数4=t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．……15分 考点：二次函数的性质及其恒成立问题.20.（本题满分15分）在数列}{n a 中，2,2,311+=+==-n n n n a b a a a ，.,3,2 =n（Ⅰ）求32,a a ，判断数列}{n a 的单调性并证明； （Ⅱ）求证：),3,2(|2|41|2|1 =-<--n a a n n ； （III ）是否存在常数M ，对任意2≥n ，有M b b b n ≤ 32？若存在，求出M 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）25,532+==a a ；(2)略； （3）略.由2)2)(2(1-=+--n n n a a a 易知，2-n a 与21--n a 同号，由于02321>-=-a 可知，02>-n a 即2>n a ，42>+∴n a ，4121<+∴n a ，所以|2|41|2|1-<--n n a a 得证. ……10分 （III ） 2)2)(2(1-=+--n n n a a a ，2221--=+-n n n a a a ，即221--=-n n n a a b ， 则212222222211322132-=--=--⋅⋅--⋅--=-n n n n n a a a a a a a a a b b b .……13分 由|2|41|2|1-<--n n a a 可知， 1113322141|2|41|2|41|2|41|2|41|2|-----=-<<-<-<-<-n n n n n n a a a a a ， 所以14|2|1->-n n a ，因为2>n a ，所以1421->-n n a .当∞→n 时，∞→-14n ，故不存在常数M ，对任意2≥n ，有M b b b n ≤ 32成立. ……15分考点：数列与不等式的综合应用.。

浙江省杭州高级中学2017届高三下学期第一次月考数 学 试 题注意：1.考试时间为120分钟,满分为150分.2.本试卷所有答案均须写在答题卷上,写在试卷上无效.一、选择题:（本大题共10小题 ，每小题4分，共40分）1.设集合},sin |{R x x y y A ∈==,集合,则为 （ ）A ．B ．C ．D ．2.已知方程()()R a ai x i x ∈=++++0442有实根，且，则复数的共轭复数等于 （ ）A ．B ．C ．D ．3.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值 范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．4.已知函数的部分图象如图所示，点是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于两点，则()()BD BE BE CE +-的值为 （ ）A ．-1B ．C ．D ．25.抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是,反复投掷，数列定义如下:1(-1(n n a n ⎧=⎨⎩第次投掷出现正面）第次投掷出现反面），若*12()n n S a a a n N =+++∈,则事件的 概率为 （ ）A. B. C. D.6.已知函数，，则二项式展开式中常数项是（ ） A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项7.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点P 在第一象限内且在上，若，，则双曲线的离心率是 （ ）A ．B ．2C ．D ．8.若向量,满足，则在方向上投影的最大值是 （ ）A ．B ．C ．D ．9.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为 （ ）A ．1B ．C ．2D ．10.已知关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．若，则______; =______;12.抛物线（）的焦点坐标是____________;双曲线的顶点到渐 近线的距离为___________;13.设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量满足,则14.已知，且，（1）若，则 ；（2）的最大值为 ；15.已知等差数列满足357217,26,(),1n n a a a b n N a *=+==∈-数列的前项 和为则的值为______________; 16.已知平面区域34180,:2,0,x y x y +-≤⎧⎪Ω≥⎨⎪≥⎩夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，若点，且的最小值为的最大值为，则等于__________;17.设，在上恒成立，则的最大值为___________.三、解答题：(本大题共5小题，共74分)18. (本题满分14分)设的内角，，所对的边分别为，，，且()2cos cos ,3a c B b C AB BC -=⋅=-.（1）求的面积；（2）若，求边上的中线的长．19. (本题满分15分)在平面直角坐标系中，已知点()0,1,:1,F l y =-直线为平面上的动点，且过点作的垂线，垂足为，满足：(1)求动点的轨迹的方程；(2)在轨迹上求一点，使得到直线的距离最短，并求出最短距离.20. (本题满分15分)已知函数2()(1)ln 3,.f x t x tx t t R =+++∈(1)若函数在点的切线方程为，求的值；（2）若求证：当时，（3）若对任意恒成立，求的取值范围。

2016-2017学年浙江省杭州市萧山一中高二（下）2月月考数学试卷一、选择题：本大题共有8题，每题3分，共24分.1．（3分）已知复数z＝（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）已知＝（2，3，5），＝（3，x，y），若∥，则（）A．B．x＝9，y＝15C．D．x＝﹣9，y＝﹣153．（3分）设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln24．（3分）设曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3＝0垂直，则a＝（）A．2B．﹣2C．D．﹣5．（3分）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种6．（3分）若＝（2，﹣1，0），＝（3，﹣4，7），且（λ+）⊥，则λ的值是（）A．0B．1C．﹣2D．27．（3分）有六种不同颜色，给如图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有（）A．4320B．2880C．1440D．7208．（3分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n＝k到n＝k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1D．二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）9．（3分）复数z＝（3+4i）2的虚部为，z的共轭复数＝．10．（3分）在如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|DA|＝8，|DC|＝6，|DD1|＝3，则D1B1的中点M的坐标为，|DM|＝．11．（3分）已知函数y＝x2+（a∈R）在x＝1处的切线与直线2x﹣y+1＝0平行，则a＝．12．（3分）6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种．13．（3分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．14．（3分）用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证的不等式是．15．（3分）某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在点A l（0，1），第二棵树在点B1（1，1），第三棵树在点C1（1，0），第四棵树在点C2（2，0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么：（1）第n棵树所在点坐标是（44，0），则n＝．（2）第2014棵树所在点的坐标是．三、解答题（本大题共5题，16，17，18，19每题10分，20题15分，共55分.）16．（10分）已知复数．（1）求|z|；（2）若z（z+a）＝b+i，求实数a，b的值．17．（10分）如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．18．（10分）现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到吴忠．（1）如果派3名男司机、2名女司机，共多少种不同的选派方法？（2）至少有两名男司机，共多少种不同的选派方法？19．（10分）已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．（1）当a＝2时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设函数，求函数h（x）的单调区间．20．（15分）已知函数．（I）当a＝1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2016-2017学年浙江省杭州市萧山一中高二（下）2月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有8题，每题3分，共24分.1．（3分）已知复数z＝（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z＝＝，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第三象限．故选：C．2．（3分）已知＝（2，3，5），＝（3，x，y），若∥，则（）A．B．x＝9，y＝15C．D．x＝﹣9，y＝﹣15【解答】解：由题意可得：＝（2，3，5），＝（3，x，y），并且∥，所以，所以，x＝，．故选：A．3．（3分）设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【解答】解：∵f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx+1，由f′（x0）＝2，得lnx0+1＝2，即lnx0＝1，则x0＝e，故选：B．4．（3分）设曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3＝0垂直，则a＝（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：由题意得，y′＝＝，∵在点（3，2）处的切线与直线ax+y+3＝0垂直，∴＝，解得a＝﹣2，故选：B．5．（3分）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【解答】解：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．故选：D．6．（3分）若＝（2，﹣1，0），＝（3，﹣4，7），且（λ+）⊥，则λ的值是（）A．0B．1C．﹣2D．2【解答】解：∵＝λ（2，﹣1，0）+（3，﹣4，7）＝（3+2λ，﹣4﹣λ，7），（λ+）⊥，∴，∴2（3+2λ）﹣（﹣4﹣λ）+0＝0，解得λ＝﹣2．故选：C．7．（3分）有六种不同颜色，给如图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有（）A．4320B．2880C．1440D．720【解答】解：从左向右涂色，有6×5×4×3×4×3＝4320．故选：A．8．（3分）数学归纳法证明（n+1）•（n+2）•…•（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）成立时，从n＝k到n＝k+1左边需增加的乘积因式是（）A．2（2k+1）B．C．2k+1D．【解答】解：当n＝k时，左边＝（k+1）（k+2）…（k+k），当n＝k+1时，左边＝（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是＝2（2k+1），故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）9．（3分）复数z＝（3+4i）2的虚部为24，z的共轭复数＝﹣7﹣24i．【解答】解：z＝（3+4i）2＝﹣7+24i，其虚部为24，z的共轭复数＝﹣7﹣24i．故答案分别为：24；﹣7﹣24i．10．（3分）在如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，|DA|＝8，|DC|＝6，|DD1|＝3，则D1B1的中点M的坐标为（4，3，3），|DM|＝．【解答】解：如图示：，连接BD、AC交于N，作NQ∥CD，NP∥AD，∵|DA|＝8，|DC|＝6，|，∴|PN|＝|DQ|＝4，|NQ|＝|DP|＝3，而|DD1|＝3，则M（4，3，3），连接DM，在RT△DMD′中，D′M＝＝5，DD′＝3，∴DM＝＝；故答案为：（4，3，3），．11．（3分）已知函数y＝x2+（a∈R）在x＝1处的切线与直线2x﹣y+1＝0平行，则a＝0．【解答】解：∵函数y＝x2+（a∈R）在x＝1处的切线与直线2x﹣y+1＝0平行，∴f′（1）＝2，则f′（x）＝2x﹣，即f′（1）＝2﹣a＝2，解得a＝0，故答案为：012．（3分）6名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有216种．【解答】解：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是63＝216，故答案为：216．13．（3分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故答案为：丙．14．（3分）用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证的不等式是．【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：1+＜2；故答案为：1+＜215．（3分）某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域{（x，y）|x≥0，y≥0}内植树，第一棵树在点A l（0，1），第二棵树在点B1（1，1），第三棵树在点C1（1，0），第四棵树在点C2（2，0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么：（1）第n棵树所在点坐标是（44，0），则n＝1936．（2）第2014棵树所在点的坐标是（10，44）．【解答】解：（1）OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，依次下去，第二个正方形种植5棵树，第三个正方形种植7棵树，由第n棵树所在点坐标是（44，0），则n＝3+5+7+…+89﹣1＝1936；（2）由（1）可知正方形种植的树，它们构成一个等差数列，公差为2．故前43个正方形共有43×3+×2＝1935棵树，又2014﹣1935＝79，79﹣44＝35，45﹣35＝10，因此第2014棵树在（10，44）点处．故答案为：（1）1936 （2）（10，44）三、解答题（本大题共5题，16，17，18，19每题10分，20题15分，共55分.）16．（10分）已知复数．（1）求|z|；（2）若z（z+a）＝b+i，求实数a，b的值．【解答】解：（1）∵，∴；（2）∵（3﹣i）（3﹣i+a）＝（3﹣i）2+（3﹣i）a＝8+3a﹣（a+6）i＝b+i，∴．17．（10分）如图正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（I）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，所以MN∥AB，且MN＝AB．所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（4分）（II）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC．（9分）解：（III）由（2）知ED⊥平面ABCD，且AD⊥CD．以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一个法向量为＝（0，1，0）．设＝（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，因为，∴令x＝1，得y＝1，z＝2所以＝（1，1，2）为平面BEC的一个法向量设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ则cosθ＝＝所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为18．（10分）现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到吴忠．（1）如果派3名男司机、2名女司机，共多少种不同的选派方法？（2）至少有两名男司机，共多少种不同的选派方法？【解答】解：（1）利用分步乘法原理：＝60（2）利用分类加法与分步乘法原理：＝121．19．（10分）已知函数f（x）＝x﹣alnx（a∈R）．（1）当a＝2时，求曲线f（x）在x＝1处的切线方程；（2）设函数，求函数h（x）的单调区间．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x﹣2lnx，f（1）＝1，切点（1，1），∴，∴k＝f'（1）＝1﹣2＝﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0．（2）的定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h'（x）＞0，且x＞0，所以x＞a+1；令h'（x）＜0，且x＞0，所以0＜x＜a+1②当a+1≤0，即a≤﹣1时，令h'（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增；当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．20．（15分）已知函数．（I）当a＝1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）＝1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a＝0时，明显成立．②当a＜0时，y＝ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y＝ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a＝0有正根．因为x1x2＝1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a＝0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n＝1时，ln（n+1）＝ln2．∵3ln2＝ln8＞1，∴，即n＝1时命题成立．设当n＝k时，命题成立，即．∴n＝k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n＝k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）。

浙江省杭州市西湖高级中学2017—2018学年度上学期12月月考高一数学试题试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分考试时间：120分钟出卷人：审核人：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．函数y=的定义域为（）A. （-2，2）B. （-∞，-2）∪（2，+∞）C. [-2，2]D. （-∞，-2] ∪[2，+∞）3．= ( )A. 14B. -14C. 12D. -124．若函数f（x）=2312325x xx x⎧--≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩，则方程f（x）=1的解是（）A.或2B.或3C.或4D. ±或45．若，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（）A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. c<a<b 6．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝x－1，B．f(x)＝|x|，C．f(x)＝x，D．f(x)＝2x，7．已知，则f（5）=（）A. B. C. D. lg58．函数的单调增区间是（）A. B. C. D.9．函数的大致图象是（）10．设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ） A. {0.1110}x x x <<>或 B. {00.110}x x x <<>或 C. {0.110}x x x <>或 D. {0.1110}x x x <<<<或1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．若函数，则函数=12．函数4()([3,6])2f x x x =∈-的值域为____________ 13．设是上的奇函数，且当时，，则当时_________________14．函数的最大值是15．方程07)1(2=-+++m x m x 有两个负根，则的取值范围是三、解答题（本大题共3小题，共30分）16．已知集合{|11}A x a x a =-<<+，，（1）若，求； （2）若，求实数a 的取值范围17．已知函数()()220f x ax bx a =-+≠是偶函数，且.（1）求的值；（2）求函数在上的值域.18.已知：函数f （x ）= log (1)log (1)a a x x +--（a>0且a≠1）.（1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明；（3）设a=，解不等式f （x ）>0.卷（Ⅱ）一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．已知，并且是第二象限的角，那么的值等于2．函数,则的单调增区间为3．在直线已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边上，则3πsin()cos(π-)2sin()sin(π-)2θθθθ++=-- 4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中）的部分图象如图所示．则函数的解析式为5．已知函数f （x ）= 21311log [()2()2]33-⋅-x x ，则满足f （x ）<0的x 的取值范围是 6．设函数，给出四个命题：①是偶函数； ②是实数集上的增函数；③，函数的图像关于原点对称； ④函数有两个零点.命题正确的有二．解答题（本大题共2小题，共26分）7．存在实数，使得函数253sin cos 82y x a x a =++-在闭区间上的最大值为 1？若存在，求出对应的值；若不存在，试说明理由.8．已知函数（）在区间上有最大值和最小值．（1）求，的值；（2）设，证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（3）设，是否存在实数和（），使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出和的值答案卷一一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 12. 13.x(1- ³√x) 14. 15. 0<m<1 .三、解答题（本大题共2小题，共20分） 17.（1）当时，13{},{01}22A x xB x x =-<<=<<,。

语法综合测试02（形容词和副词、构词法、简单句、句子成分和基本句型、情态动词和虚拟语气）（考试时间：60分钟试卷满分：90分）一、单句语法填空(每题1分，共25小题，总分25分)1.（2024·浙江省杭州市高三上学期一模）The characters depicted(描绘)come________(large)from legends and Chinese opera plots.Da A Fu,a plump(微胖的)boy holding a fish,is the most popular figure in Huishan clay art.【答案】largely【解析】考查副词。

句意：所描绘的人物主要来自传说和中国戏曲情节。

修饰动词短语come from，应用所给词的副词形式。

故填largely。

2.（2024·浙江省宁波市高三上学期第一次模拟）Beginners are encouraged to start with the most basic movements and____________(gradual)build up their skills and knowledge over time.【答案】gradually【解析】考查副词。

句意：鼓励初学者从最基本的动作开始，随着时间的推移逐渐建立他们的技能和知识。

修饰动词短语build up应用副词gradually，故填gradually。

3.（2024•浙江省温州市高三上学期11月第一次适应性考试）Citywalk is offering a positive change to urban travelers as they can______(well)choose the experiences that fit in with their interests and needs.【答案】better【解析】考查副词比较级。

2016-2017学年浙江省杭州市西湖高中高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）角α的终边过点P（﹣1，2），则sinα＝（）A．B．C．D．2．（4分）已知α是第二象限角，且cosα＝﹣，得tanα＝（）A．B．﹣C．﹣D．3．（4分）计算sin43°cos13°+sin47°cos103°的结果等于（）A．B．C．D．4．（4分）已知sinα＝，cosβ＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin（α﹣β）等于（）A．B．C．﹣D．﹣5．（4分）已知x∈（﹣，0），cos x＝，则tan2x＝（）A．B．C．D．6．（4分）已知简谐运动的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（）A．T＝6，φ＝B．T＝6，φ＝C．T＝6π，φ＝D．T＝6π，φ＝7．（4分）已知M是△ABC的BC边上的中点，若向量，，则向量等于（）A．B．C．D．8．（4分）如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为（）A．2B．3C．2D．39．（4分）将函数y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．10．（4分）函数f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）是（）A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）若，且，则tanα的值是．12．（4分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，m），＝（﹣1，2），若（+）∥，则m＝．13．（4分）若向量＝（3，m），＝（2，﹣1），•＝0，则实数m的值为．14．（4分）已知sin x＝，则sin2（x﹣）＝．15．（4分）若3sinα+cosα＝0，则的值为．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，2），（3，8），向量＝（x，3）．（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）若，求x的值．17．（14分）已知sin（π+α）＝﹣．计算：（1）cos（α﹣）；（2）sin（+α）；（3）tan（5π﹣α）．18．（14分）已知函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x﹣1（x∈R）．（1）把f（x）化简成f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的形式（2）求函数f（x）的单调增区间．一、选择题（每小题5分，共10分）卷II19．（5分）已知，，那么的值为（）A．B．C．D．20．（5分）函数y＝log a（x2+2x﹣3），当x＝2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣1，+∞）二、填空题（每小题5分，共10分）：21．（5分）若||＝||＝|﹣|＝1，则|+|＝．22．（5分）若cos（α+β）＝，cos（α﹣β）＝，则tanαtanβ＝．三、解答题（每小题15分，共30分）23．（15分）已知函数f（x）＝sin2x sinφ+cos2x cosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y ＝g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．24．（15分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（﹣2）＝f（0）＝0，f（x）的最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数h（x）＝log2[n﹣f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数n的取值范围．2016-2017学年浙江省杭州市西湖高中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）角α的终边过点P（﹣1，2），则sinα＝（）A．B．C．D．【解答】解：，由三角函数的定义得，故选：B．2．（4分）已知α是第二象限角，且cosα＝﹣，得tanα＝（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵α是第二象限角，且cosα＝﹣，∴sinα＝＝，则tanα＝＝﹣．故选：C．3．（4分）计算sin43°cos13°+sin47°cos103°的结果等于（）A．B．C．D．【解答】解：sin43°cos13°+sin47°cos103°＝sin43°cos13°+sin（90°﹣43°）cos（90°+13°）＝sin43°cos13°﹣cos43°sin13°＝sin（43°﹣13°）＝sin30°＝．故选：A．4．（4分）已知sinα＝，cosβ＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin（α﹣β）等于（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：因为α是第二象限角，且sinα＝，所以cosα＝﹣＝﹣．又因为β是第四象限角，cosβ＝，所以sinβ＝﹣＝﹣．sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝×﹣（﹣）×（﹣）＝＝．故选：A．5．（4分）已知x∈（﹣，0），cos x＝，则tan2x＝（）A．B．C．D．【解答】解：由cos x＝，x∈（﹣，0），得到sin x＝﹣，所以tan x＝﹣，则tan2x＝＝＝﹣．故选：D．6．（4分）已知简谐运动的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（）A．T＝6，φ＝B．T＝6，φ＝C．T＝6π，φ＝D．T＝6π，φ＝【解答】解：由题意知图象经过点（0，1），即2sinφ＝1，又因可得，，由函数的周期得T＝＝6，故选：A．7．（4分）已知M是△ABC的BC边上的中点，若向量，，则向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，有．故选：C．8．（4分）如图，为互相垂直的单位向量，向量可表示为（）A．2B．3C．2D．3【解答】解：观察图形知：，＝，，∴＝（）+（）+（）＝．故选：C．9．（4分）将函数y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（x+）的图象，再将图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y＝sin（x+）的图象，故所求函数的解析式为，故选：A．10．（4分）函数f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）是（）A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数【解答】解：f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）＝sin（+x）sin[﹣（+x）]＝sin（+x）cos（+x）＝sin（2x+）＝cos2x，∵ω＝2，∴T＝＝π，又函数y＝cos2x为偶函数，∴f（x）为偶函数，则f（x）为周期是π的偶函数．故选：D．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）若，且，则tanα的值是．【解答】解：∵sin（π﹣α）＝sinα，∴sinα＝﹣，∵α∈（﹣，0），∴cosα＝＝，∴tanα＝＝﹣．故答案为：﹣．12．（4分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，m），＝（﹣1，2），若（+）∥，则m＝﹣1．【解答】解：∵+＝（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）＝0，所以m＝﹣1故答案为：﹣113．（4分）若向量＝（3，m），＝（2，﹣1），•＝0，则实数m的值为6．【解答】解：根据题意，向量＝（3，m），＝（2，﹣1），•＝3×2+m×（﹣1）＝6﹣m＝0，解可得m＝6；故答案为：6．14．（4分）已知sin x＝，则sin2（x﹣）＝2﹣．【解答】解：sin2（x﹣）＝﹣cos2x＝﹣（1﹣2sin2x）＝﹣（1﹣）＝2﹣故答案为2﹣15．（4分）若3sinα+cosα＝0，则的值为5．【解答】解：∵3sinα+cosα＝0，即3sinα＝﹣cosα，∴tanα＝＝﹣，则＝＝＝＝5．故答案为：5三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，2），（3，8），向量＝（x，3）．（Ⅰ）若，求x的值；（Ⅱ）若，求x的值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，，…（2分）∵，∴2×3﹣6x＝0…（5分）∴x＝1．…（7分）（Ⅱ）∵，，∴2x+6×3＝0…（10分）∴x＝﹣9．…（12分）17．（14分）已知sin（π+α）＝﹣．计算：（1）cos（α﹣）；（2）sin（+α）；（3）tan（5π﹣α）．【解答】解：∵sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣，∴sinα＝．（1）cos（α﹣）＝cos（﹣α）＝﹣sinα＝﹣．（2）sin（+α）＝cosα，cos2α＝1﹣sin2α＝1﹣＝．∵sinα＝，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin（+α）＝cosα＝．②当α为第二象限角时，sin（+α）＝cosα＝﹣．（3）tan（5π﹣α）＝tan（π﹣α）＝﹣tanα，∵sinα＝，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cosα＝，∴tanα＝．∴tan（5π﹣α）＝﹣tanα＝﹣．②当α为第二象限角时，cosα＝﹣，tanα＝﹣，∴tan（5π﹣α）＝﹣tanα＝．18．（14分）已知函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x﹣1（x∈R）．（1）把f（x）化简成f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的形式（2）求函数f（x）的单调增区间．【解答】解：函数f（x）＝2cos2x+2sin x cos x﹣1（x∈R）．（1）化简f（x）＝2（cos2x）+2sin x cos x﹣1＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）．（2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得kx﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．一、选择题（每小题5分，共10分）卷II19．（5分）已知，，那么的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由，，则tan（α+）＝tan[（α+β）﹣（β﹣）]＝＝＝．故选：C．20．（5分）函数y＝log a（x2+2x﹣3），当x＝2时，y＞0，则此函数的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣1，+∞）【解答】解：当x＝2时，y＝log a5＞0，∴a＞1．由x2+2x﹣3＞0⇒x＜﹣3或x＞1，易见函数t＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣3）上递减，故函数y＝log a（x2+2x﹣3）（其中a＞1）也在（﹣∞，﹣3）上递减．故选：A．二、填空题（每小题5分，共10分）：21．（5分）若||＝||＝|﹣|＝1，则|+|＝．【解答】解：∵||＝||＝|﹣|＝1，∴，∴|+|＝，∴|+|＝，故答案为：．22．（5分）若cos（α+β）＝，cos（α﹣β）＝，则tanαtanβ＝．【解答】解：由已知，，∴cosαcosβ＝，sinαsinβ＝∴故应填三、解答题（每小题15分，共30分）23．（15分）已知函数f（x）＝sin2x sinφ+cos2x cosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y ＝g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）＝sin2x sinφ+cos2x cosφ﹣sin（+φ）（0＜φ＜π），又因为其图象过点（，）．∴φ﹣解得：φ＝（II）由（1）得φ＝，∴f（x）＝sin2x sinφ+cos2x cosφ﹣sin（+φ）＝∴∵x∈[0，]∴4x+∈∴当4x+＝时，g（x）取最大值；当4x+＝时，g（x）取最小值﹣．24．（15分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（﹣2）＝f（0）＝0，f（x）的最小值为﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数h（x）＝log2[n﹣f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数n的取值范围．【解答】解：（1）由题意设f（x）＝ax（x+2），∵f（x）的最小值为﹣1，∴a＞0，且f（﹣1）＝﹣1，∴a＝1，∴f（x）＝x2+2x．（2）解1，函数h（x）＝log2[n﹣f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有n﹣f（x）＞0有解，且n﹣f（x）＝1无解．∴n＞f min（x），且n不属于f（x）+1的值域，又∵f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴f（x）的最小值为﹣1，f（x）+1的值域为[0，+∞），∴n＞﹣1，且n＜0∴n的取值范围为（﹣1，0）．（2）解2.令t＝﹣x2﹣2x+n＝﹣（x+1）2+n+1，必有0＜t≤n+1，得h（x）≤log2（n+1），因为函数h（x）＝log2[n﹣f（x）]在定义域内不存在零点，所以log2（n+1）＜0，得n+1＜1，即n＜0，又n＞﹣1（否则函数定义域为空集，不是函数）所以；n的取值范围为（﹣1，0）．。

2017年浙江省杭州高级中学高三下学期人教A版数学第一次月考试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 设集合，，则．A. B.C. D.2.A. B. C. D.3. 若条件，条件且是的充分不必要条件，则取值范围是A. B. C. D.4. 已知函数的部分图象如图所示，点，是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于，两点，则的值为A. B. C. D.5. 抛一枚均匀硬币，正，反面出现的概率都是，反复投掷，数列定义：第次投掷出现正面，若，则事件的概率为第次投掷出现反面A. B. C. D.6. 已知函数，，则二项式展开式中常数项是A. 第项B. 第项C. 第项D. 第项7. 双曲线的左右焦点分别为，渐近线分别为，，位于第一象限的点在上，若，，则双曲线的离心率是A. B. C. D.8. 若向量，满足，则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.9. 已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为A. B. C. D.10. 已知方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共7小题；共35分）11. 若，则；．12. 抛物线的焦点坐标是；双曲线的顶点到渐近线的距离为．13. 设离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则；．14. 已知，且，（）若，则；（）的最大值为．15. 已知等差数列满足，，，数列的前项和为，则的值为．16. 已知平面区域夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为，若点，且的最小值为，的最大值为，则等于．17. 设，在上恒成立，则的最大值为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 的内角，，所对的边分别为，，，且，．（1）求的面积；（2）若，求边上的中线的长．19. 在平面直角坐标系中，已知点，直线，为平面上的动点，且过点作直线的垂线，垂足为，满足：．（1）求动点的轨迹的方程；（2）在轨迹上求一点，使得到直线的距离最短，并求出最短距离．20. 已知函数，．（1）若，求证：当时，；（2）若对任意恒成立，求的取值范围．21. 设椭圆：的左、右焦点分别是、，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图．若抛物线：与轴的交点为，且经过，点．（1）求椭圆的方程；（2）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于、两点，求面积的最大值．22. 数列各项均为正数，且对任意，满足（且为常数）．（1）若，，依次成等比数列，求的值（用常数表示）；（2）设，是数列的前项和，（ⅰ）求证：；（ⅱ）求证：．答案第一部分1. B 【解析】，，所以．2. A 【解析】．3. A4. D5. C6. C7. C 【解析】因为双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，点在第一象限内且在上，所以，，，渐近线的直线方程为，渐近线的直线方程为，因为，所以，即，因为点在上即，所以即，所以，因为，所以，即，因为，所以，即，所以离心率．8. B 9. D 10. A【解析】由得，因为，所以方程等价为，设，则函数是偶函数，当时，，则由得，得，即，得，此时函数单调递增，由得，得，即，得，此时函数单调递减，即当时，时，函数取得极大值，作出函数的图象如图：要使，有个不同的交点，则满足．第二部分11. ，12. ，13. ，14. ，15.16.17.【解析】当时，，，故在上恒成立，可转化为，．所以，所以，所以；当时，令，则，在上不恒成立，不符合题意；当时，由题意知，恒成立，所以，所以，所以．综上所述，的最大值为．第三部分18. （1）已知等式，利用正弦定理化简得：，整理得：，因为，所以，则．又因为， 所以 ， 所以解得 ，所以．（2） 因为由 ，可得： ，解得：，又因为由（ ）可得： ， 所以解得： ， ， 又因为 所以所以 ，即 边上的中线 的长为．19. （1） 设 ，则 ， ，所以 ， ， ， ， ． 所以 ，化简得： ， 所求轨迹为： ．（2） 设，则 到直线 的距离为，所以 时， ， 此时 为所求．20. （1） 时， ， ， 即证；令则，所以 在 上单调递增， 所以 ， 即；（2） 由 ， 令， 首先由 ，此时，令，因为，所以，所以恒成立，即，在递增，故，综上，．21. （1）由题意可知，则，故．令得即，则，，故．所以．于是椭圆的方程为：．（2）设，由于知直线的方程为：．即．代入椭圆方程整理得：，，，，故．设点到直线的距离为，则．所以，的面积．当时取到" "，经检验此时，满足题意．综上可知，的面积的最大值为．22. （1）对任意，满足（且为常数）．所以，．因为，，依次成等比数列，所以，所以，，化为．所以，，化为：，解得或（舍去）．（2）（ⅰ）由（且为常数），．所以即．（ⅱ）由（ⅰ）可得：．所以，所以由，可得．所以．所以．。

2025届杭州高级中学高三一诊考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．2．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：函数4()f x x x=+的最小值为4. 给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()()p q ⌝∧⌝，其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<5．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且3SD ．22S ，且23S6．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．87．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞8． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．459．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20B ．24C ．25D ．2610．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 11．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,212．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省杭州市2017-2018学年高三数学第一次月考试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{P x =∈R 3}x ≥，{21,x Q y y x ==-∈R }，则PQ =A ．(,3](1,)-∞-+∞B ．(,3](1,)-∞--+∞C ．(,1)[3,)-∞+∞ D ．(,1)[3,)-∞-+∞2．已知a R ∈,则“|1|||1a a -+≤”是“函数xy a = 在R 上为减函数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列不可能成立的是 A ．()2016201620150a S S -= B ．()2016201620140a S S -=C ．()()20162013201620130a a S S --=D ．()()20162012201620120a a S S --=4．已知单位向量a 和b 满足+=-a b b ，则a 与b 的夹角的余弦值为A ．13-B ．23-C ．13D ．235．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6、将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象向右平移m （0m >）个单位，得到函数()y f x =的图象，若()y f x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则m 的最小值为 A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π7.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对任意x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ． 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ． ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 8．不等式组220,10,2340x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域绕着原点旋转一周所得到的平面图形的面积为 A ．1225π B ．1725π C ．3π D ．165π9．已知实数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则151959149a a a a a a ++ A ．有最大值12 B ．有最小值12 C ．有最大值52 D ．有最小值5210．对于函数()f x ，若存在0Z x ∈，满足()014f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近零点”．已知函数()()20f x ax bx c a =++>有四个不同的“近零点”，则a 的最大值为A ． 2B ． 1C ．12 D ．14第Ⅱ卷（共110分）二、填空题 (本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．) 11．函数()2cos(4)13f x x π=+-的最小正周期为 ▲ ，()3f π= ▲ ．12．已知数列}{n a 中，满足33=a ，且21+=+n n a a ，则=+42a a ▲ ，n a = ▲ ． 13．已知正数y x ,满足1=+y x ，则x y -的取值范围为 ▲ ，yxx +1的最小值为 ▲ ． 14．对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x R ∈恒成立，则称()f x 为关于a 的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“倒函数”，且当]1,0[∈x 时，)(x f 的取值范围为]2,1[，则当[1,2]x ∈时， ()f x 的取值范围为__▲__，当]2016,2016[-∈x 时，()f x 的取值范围为__▲__.15．设1221,0,(),0,x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若x 满足()3f x ≥，则21log ()1x x +-的最大值为 ▲ .16．正△ABC 的边长为1，向量AC y AB x AP +=，且2321,1,0≤+≤≤≤y x y x ，则动点P 所形成的平面区域的面积为 ▲ ．17．已知函数|1|2-=x y 的图象与函数2)2(2++-=x k kx y 的图象恰有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题满分15分)在△ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，．已知sin sin sin tan A B C C =．（I ）求222a b c+的值； （II）若2a c =，且△ABC 的面积为4，求c 的值．19. (本小题满分15分)如图，已知△ABC 的面积为14 cm 2，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD ∶DB ＝BE ∶EC ＝2∶1，求△APC 的面积．20． (本小题满分15分)已知函数4)(2--=ax x x f （a ∈Ｒ）的两个零点为12,,x x 设12x x < . （Ⅰ）当0a >时，证明：120x -<<．（Ⅱ）若函数|)(|)(2x f x x g -=在区间)2,(--∞和),2(+∞上均单调递增，求a 的取值范围.21．（本题满分15分）已知函数2()2ln ,f x x a x a R =+∈． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.22（本小题满分14分）数列{}n a 是公差不为零的等差数列，56a =．数列{}n b 满足：13b =，11231n n b b b b b +=⋅⋅⋅+．()I 当2n ≥时，求证：111n n n b b b +-=-； ()II 当31a >且3a *∈N 时，3a ，5a ，1k a ，2k a ，⋅⋅⋅，n k a ，⋅⋅⋅为等比数列．()i 求3a ；()ii 当3a 取最小值时，求证：1231231111111141111n n k k k k b b b b a a a a ⎛⎫+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪----⎝⎭．数学答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．B 2．B 3．A 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．D 10．D 二、填空题 (本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．,02π12．32,6-n ， 13．(1,1),3- 14．.1[,1]2，1[,2]215．22log 5-+ 16．833 17． 0≤k 或1=k 或4≥k 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18．(本小题满分15分)解：（I ）由已知sin sin sin tan A B C C ⋅=⋅得2cos c C ab =．…………………………2分又222cos 2a b c C ab +-=， …………………………4分故2223a b c +=，故222a b c +的值为3． …………………………6分（II ）由2a c =，2223a b c +=得2b c =． …………………………8分由余弦定理得cos 5C =， 故sin 5C =． …………………………12分故1422⋅=，得4c =． …………………………15分 19解 设AB →＝a ，BC →＝b 为一组基底，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝13a ＋b .因为点A ，P ，E 与D ，P ，C 分别共线， 所以存在λ和μ使AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC →＝13μa ＋μb .又AP →＝AD →＋DP →＝(23＋13μ)a ＋μb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23＋13μ，23λ＝μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝67，μ＝47.所以S △PAB ＝47S △ABC ＝14×47＝8(cm 2)，S △PBC ＝(1－67)·S △ABC ＝14×17＝2(cm 2)，于是S △APC ＝14－8－2＝4(cm 2)．20．(本小题满分15分)解： （Ⅰ）证法1：由求根公式得：12a x =因为0a >，所以，一方面：1022a a x =<=，…………………4分另一方面，由120x +==> ， 得1 2.x >- 于是，120.x -<< …………………………7分证法2：因为()f x 在区间(,)2a -∞ 上单调递减，在(,)2a +∞ 上单调递增，所以，当0a > 时，()f x 在区间（-2,0）上单调递减.………………………4分又因为：(2)(0)2(4)0f f a -⋅=⋅-<，所以：120x -<<．…………………………7分(Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<+=.,4;,42;,4)(22121x x ax x x x ax x x x ax x g …………………………９分若,0≤a 则)-)(1x x g ，在（∞上单调递减，从而)(x g 在区间)2,(--∞上不可能单调递增，于是只有0>a . …………………………11分当 0>a 时，由（1）知：021<<-x ，于是，由)(x g 在),(1x -∞上单调递增可知，)(x g 在)2,(--∞也是单调递增的． …………………………13分又因为)(x g 在),4(2x a 和),(2+∞x 均单调递增，结合函数图象可知，),4()(+∞a x g 在上单调递增，于是，欲使)(x g 在（2，+∞）上单调递增，只需42a≥，亦即8≤a ． 综上所述，]8,0(∈a a 的范围是. …………………………15分21．解：（Ⅰ）2'22()()2a x a f x x x x+=+=由'(1)220f a =+=，得1a =-. 经检验，当1a =-时取到极小值，故1a =-.（Ⅱ）由()0f x >，即22ln 0,x a x +>对任意[1,)x ∈+∞恒成立.（1）当1x =时，有a R ∈；（2）当1x >时，22ln 0,x a x +>得22ln x a x>-令2()(1)2ln x g x x x =->，得'2(2ln 1)()2ln x x g x x-=-； 若1x <<'()0g x >；若x >'()0g x <.得()g x 在上递增，在)+∞上递减。

浙江省杭州市2016-2017学年高一下学期第一次质检数学试卷一、选择题（5&#215;8=40）1．下列函数中，周期为1的奇函数是（）A．y=1﹣2sin2πx B．C．D．y=sinπxcosπx2．已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的解析式是（）A．B．y=2sin2x C．D．y=2sin4x3．在等差数列{an }中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．254．在数列{an }中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），则a2007=（）A．4 B．﹣1 C．1 D．55．等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）A．28 B．29 C．30 D．316．在等比数列{an }中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣17．函数f（x）=|sinx+2cosx|+|2sinx﹣cosx|的最小正周期为（）A．2π B．πC．D．8．关于函数y=sin|2x|+|cos2x|下列说法正确的是（）A．是周期函数，周期为π B．在上是单调递增的C．在上最大值为D．关于直线对称二、填空题（6+6+4+6+4+4+4=34）9．在等比数列{an }中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= ，a 4，a6的等比中项为，数列的最大值是．10．在△ABC 中，已知向量=（cos18°，cos72°），=（2cos63°，2cos27°），则= ，= ，△ABC 的面积为 ．11．若一个三角形两内角α、β满足2α+β=π，则y=cos β﹣6sin α的范围为 ．12．在△ABC 中，已知a=5，b=4，cos （A ﹣B ）=，则cosC= ，AB= ．13．在△ABC 中，已知a ，b ，c 是角A 、B 、C 的对应边，则 ①若a ＞b ，则f （x ）=（sinA ﹣sinB ）•x 在R 上是增函数； ②若a 2﹣b 2=（acosB+bcosA ）2，则△ABC 是Rt △；③cosC+sinC 的最小值为；④若cos2A=cos2B ，则A=B ；⑤若（1+tanA ）（1+tanB ）=2，则，其中错误命题的序号是 ．14．在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n +3（n ≥1），则该数列的通项a n = ．15．已知数列{a n }满足：a 1=m （m 为正整数），a n+1=若a 6=1，则m 所有可能的取值为 ．三、解答题（15×4+16=76）16．已知向量．（1）若f （α）=的值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足（2a ﹣c ）cos B=bcos C ，若f（A ）=，试判断△ABC 的形状．17．已知公差大于零的等差数列a n 的前n 项和为S n ，且满足：a 3•a 4=117，a 2+a 5=22． （1）求数列a n 的通项公式a n ；（2）若数列b n 是等差数列，且，求非零常数c ；（3）若（2）中的b n 的前n 项和为T n ，求证：．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点（a n +2，S n+1）在一次函数图象y=4x ﹣5上，其中n ∈N *．令b n =a n+1﹣2a n ，且a 1=1． （1）求数列{b n }通项公式； （2）求数列{nb n }的前n 项和T n ．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，E ，F 分别是AC ，AB 的中点， （1）若∠C=60°，b=1，c=3，求△ABC 的面积；（2）若3AB=2AC ，＜t 恒成立，求t 的最小值．20．设数列{a n }的各项都是正数，a 1=1，，b n =a n 2+a n ．（1）求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）求证：＜1．浙江省杭州市2016-2017学年高一下学期第一次质检数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（5&#215;8=40）1．下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）A ．y=1﹣2sin 2πxB ．C ．D ．y=sin πxcos πx【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H3：正弦函数的奇偶性．【分析】对A 先根据二倍角公式化简为y=cos2πx 为偶函数，排除；对于B 验证不是奇函数可排除；对于C 求周期不等于1排除；故可得答案．【解答】解：∵y=1﹣2sin 2πx=cos2πx ，为偶函数，排除A ．∵对于函数，f （﹣x ）=sin （﹣2πx+）≠﹣sin （2πx+），不是奇函数，排除B ．对于，T=≠1，排除C ．对于y=sin πxcos πx=sin2πx ，为奇函数，且T=，满足条件．故选D ．2．已知函数的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f （x ）的图象向左平移个单位长度得到函数y=g （x ）的图象，则y=g （x ）的解析式是（ ）A ．B ．y=2sin2xC ．D ．y=2sin4x【考点】HK ：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ ：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】函数f （x ）=2sin （ωx ﹣），根据它的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于，求得ω=2．图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin[2（x+）﹣）]=2sin （2x ）的图象，由此求得y=g （x ）的解析式．【解答】解：∵函数=2sin（ωx﹣），根据它的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，可得=，∴ω=2．将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin[2（x+）﹣）]=2sin（2x）的图象，故y=g（x）的解析式是 y=2sin2x，故选B．3．在等差数列{an }中，首项a1=0，公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【考点】8F：等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质，我们可将ak =a1+a2+a3+…+a7，转化为ak=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得ak =7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{an}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵ak =（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A4．在数列{an }中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），则a2007=（）A．4 B．﹣1 C．1 D．5【考点】8H：数列递推式．【分析】利用a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），先分别求出a3，a4，a5，a6，a7，得到数列{an}是以6为周期的周期数列，由此能求出a2007．【解答】解：∵a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N*），∴a3=5﹣1=4，a4=4﹣5=﹣1，a5=﹣1﹣4=﹣5，a6=﹣5+1=﹣4，a7=﹣4+5=1，a8=1+4=5，…∴数列{an}是以6为周期的周期数列，∵2007=334×6+3，∴a2007=a3=4，故选A．5．等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）A．28 B．29 C．30 D．31【考点】8E：数列的求和．【分析】方法一：利用奇数项与偶数项的差为a（2n+1）﹣nd，从而可求．方法二：等差数列有2n+1，S奇﹣S偶=an+1，即可求得答案．【解答】解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项：a1，a3，a5，…，a（2n+1），令其和为Sn=319，偶数项共n项：a2，a4，a6，…，a2n，令其和为Tn=290，有Sn ﹣Tn=a（2n+1）﹣{（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+[a（2n）﹣a（2n﹣1）]}=a（2n+1）﹣nd=319﹣290=29，有a（2n+1）=a1+（2n+1﹣1）d=a1+2nd，则a（2n+1）﹣nd=a1+nd=29，数列中间项为a（n+1）=a1+（n+1﹣1）d=a1+nd=29．故选B．方法二：由等差数列的性质，若等差数列有2n+1，则S奇﹣S偶=（a1+a3+a5+…+a2n+1）﹣（a2+a4+a6+…+a2n）=（an +an+2）﹣an+1=an+1=319﹣290=29，故an+1=29，故选B．6．在等比数列{an }中，a1=2，前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣1【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据数列{an }为等比可设出an的通项公式，因数列{an+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出sn．【解答】解：因数列{an }为等比，则an=2q n﹣1，因数列{an+1}也是等比数列，则（an+1+1）2=（an+1）（an+2+1）∴an+12+2an+1=anan+2+an+an+2∴an +an+2=2an+1∴an（1+q2﹣2q）=0∴q=1即an=2，所以sn=2n，故选C．7．函数f（x）=|sinx+2cosx|+|2sinx﹣cosx|的最小正周期为（）A．2π B．πC．D．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意，不难发现sinx和cosx相互置换后结果不变．根据诱导公式化简可得周期．【解答】解：由f（x）的表达式可知，sinx和cosx相互置换后结果不变．∴f（x+）=|sin（x+）+2cos（x+）|+|2sin（x+）﹣cos（x+）|=|cosx﹣2sinx|+|2cosx+sinx|=f（x）；可见为f（x）的周期，下面证明是f（x）的最小正周期．考察区间[0，]，当0≤x≤时，f（x）=2cosx，f（x）单调递减，f（x）由2单调递减至；当≤x≤时，f（x）=2sinx，f（x）单调递增，f（x）由单调递增至2；由此可见，在[0，]内不存在小于的周期，由周期性可知在任何长度为的区间内均不存在小于的周期；所以即为f（x）的最小正周期，故选C8．关于函数y=sin|2x|+|cos2x|下列说法正确的是（）A．是周期函数，周期为π B．在上是单调递增的C．在上最大值为D．关于直线对称【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】分类讨论、利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数y=sin|2x|+|cos2x|，当2x∈[0，），y=sin2x+cos2x=sin（2x+）；当2x∈[，π），y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）；当2x∈[π，），y=﹣sin2x﹣cos2x=﹣sin（2x+）；当2x∈[，2π），y=﹣sin2x+cos2x=﹣sin（2x﹣）；故函数y的周期为2π，故排除A．在上，2x∈[﹣π，﹣]，即2x∈[π，]，2x+∈[π，]，函数y=﹣sin（2x+）单调递减，故B正确．由于函数y的最大值最大值为，不会是，故排除C；当时，函数y=1，不是最值，故函数的图象不会关于直线对称，故排除D，故选：B．二、填空题（6+6+4+6+4+4+4=34）9．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= 3 ，a4，a6的等比中项为243 ，数列的最大值是．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】对于第一空：根据已知条件得出2S5﹣2S4=a6﹣3﹣（a5﹣3）=a6﹣a5=2a5，得出3a5=a6，然后根据两项的关系得出3a5=a5q，答案可得q的值；对于第二空：由a 5=2S 4+3求得a 1的值，易得该数列的通项公式，求出a 4，a 6的值，由等比中项的性质计算可得答案；对于第三空：设b n =，计算可得数列的通项公式为b n =，分析可得b n+1﹣b n =﹣=，结合n 的范围可得b n+1﹣b n =＜0，即数列b n =为递减数列，可得n=1时，数列有最大值，将n=1代入计算可得答案．【解答】解：∵a 5=2S 4+3，a 6=2S 5+3，即2S 4=a 5﹣3，2S 5=a 6﹣3 ∴2S 5﹣2S 4=a 6﹣3﹣（a 5﹣3）=a 6﹣a 5=2a 5 即3a 5=a 6 ∴3a 5=a 5q 解得q=3，则由a 5=2S 4+3得到：34a 1=2×+3，解得a 1=3，则a 4=a 1×q 3=34，a 6=a 1×q 5=36，则a 4，a 6的等比中项为±=±243，设b n =，又由a 1=3，q=3， 则a n =a 1×q n ﹣1=3n ，则有=，即数列的通项公式为b n =，b n+1﹣b n =﹣=，当n ≥1时，有b n+1﹣b n =＜0，即数列b n =为递减数列，则其最大值为b 1==；故答案为：3，±243，．10．在△ABC 中，已知向量=（cos18°，cos72°），=（2cos63°，2cos27°），则=1 ，= 2 ，△ABC 的面积为．【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】根据向量的模长=可得答案．在根据向量加减的运算求出，可得||，即可求出三角形的面积．【解答】解：向量=（cos18°，cos72°），=（2cos63°，2cos27°），则=c=，=a=，∵+==（2cos63°+cos18°，2cos27°+cos72°）可得||=b=）=由余弦定理，可得cosB=﹣，则sinB=则△ABC 的面积S=acsinB=．故答案为：1，2，．11．若一个三角形两内角α、β满足2α+β=π，则y=cos β﹣6sin α的范围为 （﹣5，﹣1） ．【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】先由：2α+β=π，结合配方法将y=cos （π﹣2α）﹣6si α转化为：y=2（sin α﹣）2﹣，再令t=sin α∈（0，1），用二次函数的性质求解．【解答】解：∵一个三角形两内角α、β满足2α+β=π，∴α、β均大于零，∴2α＜π，∴α∈（0，）．则y=cos β﹣6sin α=cos （π﹣2α）﹣6sin α=﹣cos2α﹣6sin α=2sin 2α﹣6sin α﹣1=2（sin α﹣）2﹣，令t=sin α，根据α∈（0，），可得t ∈（0，1），则y=2﹣，∴当t=0时，y=﹣1；当t=1时，y=﹣5，且函数y 在（0，1）上单调递减，∴y∈（﹣5，﹣1），故答案为：（﹣5，﹣1）．12．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos（A﹣B）=，则cosC= ，AB= 6 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】由已知得A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，设BD=x，则AD=x，DC=5﹣x．在△ADC中，cos∠DAC=cos（A﹣B）=，由余弦定理求出x=4，从而cosC=•=，再由余弦定理能求出AB．【解答】解：∵在△ABC中，a=5，b=4，cos（A﹣B）=，∴a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，设BD=x，则AD=x，DC=5﹣x．在△ADC中，cos∠DAC=cos（A﹣B）=，由余弦定理得：（5﹣x）2=x2+42﹣2x•4•，即：25﹣10x=16﹣x，解得：x=4．∴在△ADC中，AD=AC=4，CD=1，∴cosC=•=，∴AB===6．故答案为：，6．13．在△ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则①若a＞b，则f（x）=（sinA﹣sinB）•x在R上是增函数；②若a2﹣b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值为；④若cos2A=cos2B，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中错误命题的序号是③⑤．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①由正弦定理，可知命题正确；②由余弦定理可得acosB+bcosA==c，可得a2=b2+c2；③由三角函数的公式可得，由的范围可得∈（1，]；④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π﹣2B，A=π﹣B，A+B=π（舍）；⑤展开变形可得，即tan（A+B）=1，进而可得【解答】解：①由正弦定理，a＞b等价于sinA＞sinB，∴sinA﹣sinB＞0，∴f（x）=（sinA ﹣sinB）x在R上是增函数，故正确；②由余弦定理可得acosB+bcosA==c，故可得a2﹣b2=c2，即a2=b2+c2，故△ABC是Rt△，故正确；③由三角函数的公式可得，∵0＜c＜π，∴＜c＜，∴∈（﹣，1]，∴∈（﹣1，]，故取不到最小值为，故错误；④由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=2π﹣2B，A=π﹣B，A+B=π（舍），∴A=B，故正确；⑤展开可得1+tanA+tanB+tanA•tanB=2，1﹣tanA•tanB=tanA+tanB，∴，即tan（A+B）=1，∴，故错误；∴错误命题是③⑤．故答案为③⑤14．在数列{an }中，若a1=1，an+1=2an+3（n≥1），则该数列的通项an= 2n+1﹣3 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】由题意知a n+1+3=2（a n +3）（n ≥1），由此可知该数列的通项a n =2n+1﹣3． 【解答】解：在数列{a n }中，若a 1=1，a n+1=2a n +3（n ≥1）， ∴a n+1+3=2（a n +3）（n ≥1）， 即{a n +3}是以a 1+3=4为首项， 为公比的等比数列，a n +3=4•2n ﹣1=2n+1， 所以该数列的通项a n =2n+1﹣3．15．已知数列{a n }满足：a 1=m （m 为正整数），a n+1=若a 6=1，则m 所有可能的取值为 4，5，32 ． 【考点】8H ：数列递推式．【分析】由题意知{a n }中任何一项均为正整数，若a 5为奇数，得到a 5=0不满足条件．若a 5为偶数，则a 5=2a 6=2，满足条件；若a 4为奇数，得不满足条件．若a 4为偶数，则a 4=2a 5=4，满足条件．由此能求出m 的取值．【解答】解：由题意知{a n }中任何一项均为正整数，∵a 6=1， 若a 5为奇数，则3a 5+1=1，得a 5=0不满足条件． 若a 5为偶数，则a 5=2a 6=2，满足条件．∴a 5=2．若a 4为奇数，则3a 4+1=2，得不满足条件．若a 4为偶数，则a 4=2a 5=4，满足条件．∴a 4=4． （1）若a 3为奇数，则3a 3+1=4，a 3=1满足条件． 若a 2为奇数，则3a 2+1=1，a 2=0不满足条件． 若a 2为偶数，则a 2=2a 3=2满足条件．若a 1为奇数，则3a 1+1=2，得不满足条件．若a 1为偶数，则a 1=2a 2=4，满足条件． （2）若a 3为偶数，则a 3=2a 4=8，满足条件．若a 2为奇数，则3a 2+1=8，得不满足条件．若a 2为偶数，则a 2=2a 3=16，满足条件．若a1为奇数，则3a1+1=16，得a1=5，满足条件．若a1为偶数，则a1=2a2=32，满足条件．故m的取值可以是4，5，32．故答案为：4，5，32．三、解答题（15×4+16=76）16．已知向量．（1）若f（α）=的值；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cos B=bcos C，若f（A）=，试判断△ABC的形状．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算可得函数解析式f（x）=sin（+）+，由f（α）=，可得α=4kπ+，k∈Z，代入即可计算得解cos（﹣α）的值．（2）利用正弦定理化简已知等式，利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，进而可求B=，由f（A）=，可求A的值，即可判定三角形形状．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵由已知可得：f（x）=sin cos+cos2=sin+cos+=sin（+）+， (2)分∵f（α）=，可得：sin（+）+=，∴α=4kπ+，k∈Z，∴cos（﹣α）=cos（﹣4kπ﹣）=1，…6分（2）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，…8分∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，可得：cosB=，∴B=，∵f （A ）=，…10分∴sin （+）+=，可得： +=或，∴解得：A=或π，又∵0，∴A=，∴△ABC 为等边三角形…12分17．已知公差大于零的等差数列a n 的前n 项和为S n ，且满足：a 3•a 4=117，a 2+a 5=22． （1）求数列a n 的通项公式a n ；（2）若数列b n 是等差数列，且，求非零常数c ；（3）若（2）中的b n 的前n 项和为T n ，求证：．【考点】8E ：数列的求和；84：等差数列的通项公式；8F ：等差数列的性质．【分析】（1）利用等差数列的性质可得，联立方程可得a 3，a 4，代入等差数列的通项公式可求a n（2）代入等差数列的前n 和公式可求s n ，进一步可得b n ，然后结合等差数列的定义可得2b 2=b 1+b 3，从而可求c（3）要证原不等式A ＞B ⇔A ＞M ，B ＜M ，分别利用二次函数及均值不等式可证．℃ 【解答】解：（1）a n 为等差数列，a 3•a 4=117，a 2+a 5=22 又a 2+a 5=a 3+a 4=22∴a 3，a 4是方程x 2﹣22x+117=0的两个根，d ＞0 ∴a 3=9，a 4=13∴∴d=4，a 1=1∴a n =1+（n ﹣1）×4=4n ﹣3（2）由（1）知，∵∴，，，∵bn 是等差数列，∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0，∴（c=0舍去），当时，bn=2n为等差数列，满足要求．（3）由（2）得，2Tn ﹣3bn﹣1=2（n2+n）﹣3（2n﹣2）=2（n﹣1）2+4≥4，但由于n=1时取等号，从而等号取不到2Tn ﹣3bn﹣1=2（n2+n）﹣3（2n﹣2）=2（n﹣1）2+4＞4，∴，n=3时取等号（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以．18．已知数列{an }的前n项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在一次函数图象y=4x﹣5上，其中n∈N*．令b n =an+1﹣2an，且a1=1．（1）求数列{bn}通项公式；（2）求数列{nbn }的前n项和Tn．【考点】8E：数列的求和；8I：数列与函数的综合．【分析】（1）将点代入直线方程，求得Sn+1=4an+3，当n≥2时，Sn=4an﹣1+3，两式相减即可求得a n+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）（n≥2），即可求得数列{bn}是与2为公比的等比数列，由a1=1，即可求得b1，根据等比数列通项公式即可求得数列{bn}通项公式；（2）由（1）可知，利用“错位相减法”即可求得数列{nbn }的前n项和Tn．【解答】解：（1）∵将点（an +2，Sn+1）代入y=4x﹣5，即Sn+1=4（an+2）﹣5，∴Sn+1=4an+3，当n≥2时，Sn=4an﹣1+3，∴两式相减an+1=4an﹣4an﹣1，∴an+1﹣2an=2（an﹣2an﹣1）（n≥2）．∴由bn =an+1﹣2an，则=2，（n≥2）．∴数列{bn }是与2为公比的等比数列，首项b1=a2﹣2a1，而a2+a1=4a1+3，且a1=1，∴a2=6，∴b1=a2﹣2a1=4，∴bn=4×2n﹣1=2n+1，数列{bn }通项公式bn=2n+1；（2）∵nbn=n2n+1，数列{nbn }的前n项和Tn=b1+2b2+3b3+…+nbn，=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，①2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n×2n+2，②①﹣②得﹣Tn=22+23+24+25+…+n×2n+1﹣n×2n+2，=﹣n×2n+2，=﹣4（1﹣2n）﹣n×2n+2，∴Tn=4+（n﹣1）2n+2，数列{nbn }的前n项和Tn，Tn=4+（n﹣1）2n+2．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，E，F分别是AC，AB的中点，（1）若∠C=60°，b=1，c=3，求△ABC的面积；（2）若3AB=2AC，＜t恒成立，求t的最小值．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，代入解得a．可得S△ABC=．（2）令AC=6m，AB=4m，则AE=3m，AF=2m．在△ABE中，BE2=16m2+9m2﹣24m2cosA．在△ACF中，CF2=40m2﹣24m2cosA．可得==1﹣．即可得出．【解答】解：（1）由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，∴32=a 2+12﹣2acos60°，化为：a 2﹣a ﹣8=0，解得a=．∴S △ABC ===．（2）令AC=6m ，AB=4m ，则AE=3m ，AF=2m ．在△ABE 中，BE 2=AB 2+AE 2﹣2AB•AEcosA=16m 2+9m 2﹣24m 2cosA ． 在△ACF 中，CF 2=AC 2+AF 2﹣2AC•AFcosA=40m 2﹣24m 2cosA ．∴==1﹣．∵﹣1＜cosA ＜1，∴16＜40﹣24cosA ＜64，∴t ≥．∴t min =．20．设数列{a n }的各项都是正数，a 1=1，，b n =a n 2+a n ．（1）求数列{b n }的通项公式； （2）求数列{a n }的通项公式；（3）求证：＜1． 【考点】8K ：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式；8H ：数列递推式．【分析】（1）利用数列{b n }与数列{a n }的关系得出数列{b n }相邻项之间的关系是解决本题的关键，常常要转化为特殊数列问题，要注意特殊数列的相关公式的运用；（2）利用（1）中求得的b n 的通项公式，通过方程思想解出数列{a n }的通项公式；（3）根据数列{a n }的单调性寻找所证和式中的每一项与特殊数列的关系是解决本题的关键，通过放缩转化为特殊数列求和从而达到证明该不等式的目的． 【解答】解：（1）由条件得：a n+12+a n+1=2（a n 2+a n ）∴b n+1=2b n ．∵b 1=a 12+a 1=2∴∴{b n }为等比数列∴b n =2n ．（2）由a n 2+a n =2n 得又an＞0∴．（3）证明：∵=∴{an}为递增数列．∴an 2+an=（1+an）an＜（1+an）an+1从而∴=．。