厦门二中2017-2018学年高一上数学周末测验(7)

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2017－2018学年度第一学期期末考试第Ⅰ卷（选择题 共48分）参考公式：1．锥体的体积公式1,,.3V Sh S h =其中是锥体的底面积是锥体的高2．球的表面积公式24S R π=,球的体积公式343R V π=,其中R 为球的半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A = （ )A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2．空间中，垂直于同一直线的两条直线 （ )A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能3．已知幂函数()αx x f =的图象经过点错误!，则()4f 的值等于 （ ）A ．16 B.错误! C ．2 D 。

错误!4。

函数()lg(2)f x x =+的定义域为 （ ）A 。

（—2,1）B 。

［-2，1] C.()+∞-,2 D 。

(]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则｜OP ｜的最小值为 （ ）AB ．C ．26。

设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( )A ．若m ∥n ,m ∥α,则n ∥αB ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥βC ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥αD ．若m ⊥n ，m ⊥α， n ⊥β，则α⊥β7．设()x f 是定义在R 上的奇函数,当0≤x 时，()x x x f -=22，则()1f 等于 ( ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3Ｏ ＯＯＯ１１１１8．函数y ＝2-+212x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是 （ ）A ．RB ．错误!C ．(2，＋∞） D. (0，＋∞)9．已知圆0964:221=+--+y x y x c ，圆019612:222=-+++y x y x c ，则两圆位置关系是（ )A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离10。

厦门市2017-2018学年度第一学期高一年级质量检测物理试题（考试时间90分钟 满分100分）一、单项选择题：共8小题，每小题4分，共32分。

在每一小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把答案填在答题卡中。

1. 理想实验是科学研究中的一种重要方法，它把可靠事实和理论思维结合起来，可以深刻地揭示自然规律。

以下实验中属于理想实验的是 A. 验证平行四边形定则 B ．伽利略的斜面实验C ．用打点计时器测物体的加速度D ．利用自由落体运动测定反应时间 2．下列物理量中都是矢量的是A. 速度、位移B. 路程、加速度C. 速率、力D. 时间、质量3．2017年9月21日上午7:00，首趟时速350公里的G5次“复兴号”动车组，从北京南站出发驶向上海虹桥站，京沪两地约1100公里的行程最快用时仅为4小时28分，大大缩短了运行时间，该车是我国完全自主研发，这进一步展示了我国在高铁技术方面领先全球。

根据上面材料，下列说法正确的是 A ．2017年9月21日上午7:00，指的是时间B ．约1100公里指的是动车从北京到上海的位移大小C ．时速350公里相当于每秒钟行驶约97.2米的路程D ．研究动车组从北京到上海的运动轨迹，动车组不可视为质点A ．在国际单位制中，力学的三个基本单位是长度单位m 、时间单位s 、力的单位NB ．长度是基本物理量，在国际单位制中，其单位m 、cm 、mm 都是基本单位C ．由mFa可得到力的单位1N=1kg ·m/s D ． 根据单位制运算，Rv 2(v 指速度，R 指半径)的单位是m/s 26．如图所示，在水平路面上做匀变速直线运动的汽车中，轻绳悬挂一质量为m 的小球，悬线与竖直方向稳定偏离θ角，已知重力加速度为g ，则下面说法正确的是 A ．小车一定向右加速运动 B ．小车一定向左加速运动C ．小车的加速度为g sin θ，方向水平向右D ．小车的加速度为g tan θ，方向水平向右7．杂技表演魅力无穷，给人美的视觉享受，两位同学在观看空中吊绳表演时，关于吊绳拉着演员在竖直方向运动时的物理问题展开讨论，下列说法中正确是A ．在向上匀速运动时，吊绳对演员的拉力大于演员的重力B ．在向上加速运动时，吊绳对演员的拉力大于演员的重力C ．在向上匀速运动时，吊绳对演员的拉力大于演员对吊绳的拉力D ．在向上加速运动时，吊绳对演员的拉力大于演员对吊绳的拉力 8. 如图所示，质量为m 的光滑小球A 被一轻质弹簧系住，弹簧另一端固定在水平天花板上，小球下方被一梯形斜面B 托起保持静止不动，弹簧恰好与梯形斜面平行，已知弹簧与天花板的夹角为30°，重力加速度为g =10 m/s 2，若突然向下撤去梯形斜面，则小球的瞬时加速度为A. 0B. 大小为10 m/s 2，方向竖直向下C.大小2，方向斜向右下方D. 大小5 m/s 2，方向斜向右下方二、多项选择题：共4小题，每小题4分，共16分。

2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R2．（5分）命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）A．∃x 0∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0C．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤03．（5分）实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．36．（5分）如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π7．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．28．（5分）函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）﹣=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．10．（5分）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．25011．（5分）若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）12．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a 的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．14．（5分）设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=．15．（5分）直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．18．（12分）如图，直角梯形BDFE中，EF∥BD，BE⊥BD，EF=2，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥平面BDFE；（2）若BF与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣DF﹣C的余弦值．19．（12分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．20．（12分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，NF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．2017-2018学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x（x+1）＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．{x|x＞0}B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．R【解答】解：集合A={x|x（x+1）＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}，B={x|y=}={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，则A∩B={x|x≥1}．故选：B．2．（5分）命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是（）A．∃x 0∈R，x3﹣x+1＜0 B．∃x0∈R，x3﹣x+1≥0C．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+10≤0【解答】解：特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x 0∈R，x3﹣x+1≤0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”，故选：C．3．（5分）实数x，y满足x＞y＞0，则（）A．B．﹣＜C．（）x＞（）y D．x2＜xy【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，则＜，A错；﹣==＞0，由x+y﹣2﹣（x﹣y）=2y﹣2=2（﹣）＜0，则﹣＜，则B正确；y=（）x在R上递减，可得（）x＜（）y，C错；由x＞y＞0，可得x2＞xy，则D错．故选B．4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m ∥n【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m与α可能平行也可能相交，故A错误；若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，故B错误；若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n，故D正确．故选D．5．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值等于（）A．﹣7 B．﹣ C．2 D．3【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域，如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大．此时z最大，此时z的最大值为z=2×1=2，故选：C．6．（5分）如图所示，函数y=tan（2x+）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数y=tan（2x+），令x=0，得y=tan=×=1，∴OD=1；EF=T==，∴△DEF的面积为S△DEF=××1=．故选：A．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对角线相交于点O，P是线段BC上一点，则的最小值为（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．2【解答】解：以A为原点建立坐标系，则O（1，1），B（2，0），C（2，2），设P（2，x），则=（1，x﹣1），=（0，x﹣2），且0≤x≤2．∴=（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣，∴当x=时，取得最小值为﹣．故选：C．8．（5分）函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=（x∈[﹣2，2]）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，排除D，x=1时，f（1）=＞0，对应点在第一象限，x=2时，f（2）=＜0，对应点在第四象限；所以排除B，C；故选：A．9．（5分）△ABC中，，A，B是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若（+）﹣=0，则E的离心率为（）A．﹣1 B．C．D．【解答】解：∵（+）•=0，又=，∴===0，则，即BA=BC，则△ABC是一个角为的等腰三角形，由题意得：C点在双曲线的右支上，∴AB=BC=2c，AC=2c，又AC﹣BC=2a，即2c﹣2c=2a，解得离心率e==．故选：D．10．（5分）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图．执行该程序框图，输入m=10，则输出的S=（）A．100 B．140 C．190 D．250【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0，m=10满足条件n是奇数，a=0，S=0不满足条件n≥m，n=2，不满足条件n是奇数，a=2，S=2不满足条件n≥m，n=3，满足条件n是奇数，a=4，S=6不满足条件n≥m，n=4，不满足条件n是奇数，a=8，S=14不满足条件n≥m，n=5，满足条件n是奇数，a=12，S=26不满足条件n≥m，n=6，满足条件n是奇数，a=18，S=44不满足条件n≥m，n=7，满足条件n是奇数，a=24，S=68不满足条件n≥m，n=8，不满足条件n是奇数，a=32，S=100不满足条件n≥m，n=9，满足条件n是奇数，a=40，S=140不满足条件n≥m，n=10，不满足条件n是奇数，a=50，S=190满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．故选：C．11．（5分）若锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，则函数f（x）=sin2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：锐角φ满足sinφ﹣cosφ=，∴1﹣2sinφcosφ=，∴sin2φ=；又sinφ＞，∴2φ=，解得φ=；∴函数f（x）=sin2（x+φ）==﹣cos（2x+），∴2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥f（a+），则a 的取值范围是（）A．（0，]∪[2，）B．（0，]∪[，）C．（0，]D．（0，）【解答】解：由于a＜a+，若0＜a＜a+≤1，可得﹣log2a≥﹣log2（a+），解得0＜a≤；当1＜a＜a+≤2时，f（x）递增，不成立；由0＜a＜1＜a+＜2，可得﹣log2a≥log2（a+），可得＜a＜，且≤a≤，可得0＜a≤；由1＜a＜a+≤2，可得f（a）＜f（a+），此时a无解；由1＜a＜2＜a+＜4，即有＜a＜，由题意可得log2a≥log2（4﹣a﹣），a≥﹣a．解得a≥，可得≤a＜；由2＜a＜a+＜4，可得2＜a＜．综上可得，a的范围是（0，]∪[，）．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）复数z满足（1﹣i）z=2i，则|z|=．【解答】解：由（1﹣i）z=2i，得z=，∴|z|=．故答案为：．14．（5分）设等比数列{a n}满足a1=1，a3+a5=6，则a5+a7+a9=28．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，依题意得：q2+q4=6，解得q2=2或q2=﹣3（舍去），∴a5+a7+a9=a1（q4+q6+q8）=1×（22+23+24）=28．故答案是：28．15．（5分）直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，则k=．【解答】解：直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，直线经过抛物线的焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=，直线y=k（x﹣1）与抛物线y2=4x交于A，B两点，若|AB|=，可得：|AB|=x1+x2+p=，即+2=，可得k2=3，解得k=．故答案为：．16．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG==，GC==，∴OC=，∴三棱锥外接球表面积为4π×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，单位圆O与x，y轴正半轴的交点分别为A，D，圆O上的点C在第一象限．（1）若点C的坐标为（，），延长CD至点B，使得DB=2，求OB的长；（2）圆O上的点E在第二象限，若∠EOC=，求四边形OCDE面积的最大值．【解答】解：（1）由点C（，）可知∠AOC=30°，∠COD=60°．∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=1，∴BC=3，在△OBC中，由余弦定理可得OB2=1+9﹣2×1×3×cos60°=7，∴OB=．（2）设∠COD=θ，则∠DOE=﹣θ，∵C在第一象限，E在第二象限，故0＜﹣θ＜，∴＜θ＜．∴S △COD =sinθ，S △DOE =（﹣θ，∴四边形OCDE 的面积为S=sinθ+sin （﹣θ）=sinθ+cosθ=sin（θ+）．∵，∴当θ=时，四边形OCDE 的面积取得最大值为．18．（12分）如图，直角梯形BDFE 中，EF ∥BD ，BE ⊥BD ，EF=2，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB=2CD=4，且平面BDFE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为，求二面角B ﹣DF ﹣C 的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE ⊥BD ，平面BDFE ∩平面ABCD=BD ， ∴BE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥BE ， 又∵AC ⊥BD ，且BE ∩BD=B ， ∴AC ⊥平面BDFE ．解：（2）设AC ∩BD=O ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，，AB=2CD=4，∴OD=OC=，OB=OA=2，∵FEOB ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴OF ∥BE ，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴∠FBO 为BF 与平面ABCD 所成的角， ∴，又∵，∴OF=OB=2，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（0，﹣，0），F（0，0，2），C（﹣，0，0），A （2，0，0），=（0，），=（，0），∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为=（1，0，0），设平面DFC的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=2，得=（2，2，﹣1），cos＜＞===．∴二面角B﹣DF﹣C的余弦值为．19．（12分）数列{a n}满足++…+=．（1）若数列{a n}为公差大于0的等差数列，求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）由已知：++…+=．当n=1时，=①，即a1a2=2．当n=2时，+=，②②﹣①，=；即a2a3=6，设等差数列{a n}为d，由a1a2=2，a2a3=6，有a1（a1+d）=2，（a1+d）（a1+2d）=6，∵d＞0，解得a1=1=d，则a n=1+n﹣1=n．（2）由已知：++…+=．③当n≥2时，++…+=．④③﹣④得：当n≥2时，=，即a n a n+1=n（n+1），结合a1a2=2，得：a n a n+1=n（n+1），b n=（﹣1）n a n a n+1=（﹣1）n n（n+1）．∴b2n+b2n=﹣（2n﹣1）•2n+2n•（2n+1）=4n．﹣1数列{b n}的前2n项和S2n=4×（1+2+…+n）==2n2+2n．20．（12分）已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，NF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．【解答】解：（1）由已知得：|NF1|=|NM|，∴|NF1|+|NF2|=|MN|+|NF2|=|4，又|F1F2|=2，∴点N的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长等于4的椭圆，∴2a=4，2c=2，即a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=4﹣2=2，∴点N的轨迹方程是+=1．证明：（2）设直线AB：y=kx+1，（k≠0），设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则B′（﹣x2，y2），联立直线AB与椭圆得，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，显然△=8（1+4k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣∴k AB′=，∴直线AB′：y﹣y1=（x﹣x1），∴令x=0，得y===+1=2，∴直线AB′过定点Q（0，2），∴△PAB′的面积S=|x1+x2|==≤，当且仅当k=±时，等号成立．∴△PAB′的面积的最大值是．21．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（1）若a≥0，函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由题意，f'（x）=（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x=﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]=﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．．（ⅰ）当a=0时，f'（x）=﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）=，不合题意．（ⅱ）当a＞0时，1﹣＜1，令f'（x）＞0，得1﹣＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1﹣或x＞1，所以f（x）在（1﹣，1）单调递增，（﹣∞，1﹣），（1，+∞）单调递减．所以f（x）的极大值为f（1）==，得a=1．综上所述a=1．（2）令g（a）=e﹣x（x2+x）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0），当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+x）≥0，则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于g（a）≤g（0）≤bln（x+1），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意．（ⅱ）当b＞0时，令h（x）=bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h'（x）=﹣（e﹣x﹣xe﹣x）=，其中（x+1）e﹣x＞0，∀x∈（0，+∞），令p（x）=be x+x2﹣1，x∈[0，+∞，则h（x）在区间[0，+∞）上单调递增，①b≥1时，p（x）≥p（0）=b﹣1≥0，所以对，∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，从而h（x）在[0，+∞）上单调递增，所以对任意，∀x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）=0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立．②0＜b＜1时，由p（0）=b﹣1＜0，p（1）=be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得P（x0）=0，且x∈（0，x0）时，p（x0）＜0．从而x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）=0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．综上所述，b≥1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：θ=α，其中0＜α＜．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求|OA|•|OB|的最小值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）化为直角坐标方程为：．再转化为极坐标方程为：．（2）根据题意：射线O的极坐标方程为或所以：|OA|=，=，所以：|OA||OB|=ρ1ρ2=，当且仅当sin2α=cos2α，即时，函数的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f（x）=|x﹣1|+|2x+a|．（1）当a=1时，求证：f（x）+|x﹣1|≥3；（2）若f（x）的最小值为2，求实数a的值．【解答】解：（1）依题意：f（x）+|x﹣1|=|x﹣1|+|2x+1|+|x﹣1|=|2x﹣2|+|2x+1|≥|2x﹣2﹣2x﹣1|=3，当且仅当2x﹣2=﹣（2x+1），即x=时，等号成立．（2）①当1＞﹣，即a＞﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=+1=2，故a=2；②当1＜﹣，即a＜﹣2时，f（x）=，则当x=﹣时，f（x）min=f（﹣）=|﹣﹣1|=﹣﹣1=2，故a=﹣6；③当1=﹣时，即a=﹣2时，f（x）=3|x﹣1|有最小值0，不符合题意，舍去；故a=2或﹣6．。

福建省厦门市重点名校2017-2018学年高一下学期期末复习检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A 2．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（ ） A ．3- B ．3C ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】因为等比数列{}n a ,故335212713a a q ⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列性质求解某项的方法,属于基础题.3．在ABC 中，π4ABC ∠=，AC =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10B ．5C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理,代入即可求解. 【详解】因为ABC ∆中,π4ABC ∠=,5AC =,3BC = 由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠代入可得3sin sin 10BC ABCBAC AC⨯∠∠===故选:C 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题. 4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B ．98 C ．2 D ．94【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题得z=x 2+4y 2-3xy≥4xy -3xy=xy(x,y,z>0), 即z≥xy,zxy≥1.当且仅当x=2y 时等号成立, 则x+2y-z=2y+2y-(4y 2-6y 2+4y 2) =4y-2y 2=-2(y 2-2y) =-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.当y=1时,x+2y-z 有最大值2.故选C.5．已知数列{}n a 中，12213,6,n n n a a a a a ++===-,则2016a =（ ） A ．6 B ．6-C ．3D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推关系21n n n a a a ++=-，可得数列的周期性，再求解即可. 【详解】解:因为21n n n a a a ++=-,①则321n n n a a a +++=-,②①+②有: 3n n a a +=-,即63n n a a ++=-,则6n n a a +=, 即数列{}n a 的周期为6,又123,6a a ==,得3453,3,6a a a ==-=-，63a =-, 则2016a =633663a a ⨯==-, 故选:D. 【点睛】本题考查了数列的递推关系，重点考查了数列周期性的应用，属基础题. 6．已知a,b ∈R ,若关于x 的不等式20x ax b ++≥的解集为R ,则( ) A ．20a b -≥ B ．20a b -≤ C ．240a b -≥ D ．240a b -≤【答案】D 【解析】 【分析】由不等式20x ax b ++≥的解集为R ，得2y x ax b =++的图象要开口向上，且判别式0∆≤，即可得到本题答案. 【详解】由不等式20x ax b ++≥的解集为R ，得函数2y x ax b =++的图象要满足开口向上，且与x 轴至多有一个交点，即判别式240a b ∆=-≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.7．若(3,1)P 为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y --= C ．250x y --= D ．270x y +-=【答案】D 【解析】 【分析】圆222240x y x +--=的圆心为O ，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到OP AB ⊥，求出直线OP 的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线AB 的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.【详解】设圆222240x y x +--=的圆心为O ，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：OP AB ⊥，因为011132OP k -==-，所以2AB k =-， 因此直线AB 的方程为12(3)270y x x y -=--⇒+-=，故本题选D. 【点睛】本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式. 8．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 【答案】A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.9．已知0a b +<，且0b >，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．b a b a -<<<- B ．b a a b -<<-< C ．a b a b <-<-< D ．a b b a <-<<-【答案】D 【解析】 【分析】直接用作差法比较它们的大小得解. 【详解】()()0,a b a b a b --=-+>∴->； ()20,b b b b b --=>∴>-； ()0,b a a b b a --=-+>∴->.故a b b a <-<<-. 故选：D 【点睛】本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10．用数学归纳法证明()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>≥++的过程中，设()111122k f k k k =++⋅⋅⋅+++，从n k =递推到1n k =+时，不等式左边为（）A ．()112k f k ++ B ．()111212k k f k ++++ C ．()11112121k k f k k +++⋅⋅⋅+-++ D ．()11121k f k k ++-+【答案】C 【解析】 【分析】比较n k =与1n k =+时不等式左边的项，即可得到结果 【详解】()()11111111112222212k k k k f k f k k k k +=++⋅⋅⋅+∴+=+⋅⋅⋅++++++++ 因此不等式左边为()11112121k k f k k +++⋅⋅⋅+-++，选C. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题11．已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A ．变量x ，y 之间呈现正相关关系B ．可以预测，当5x =时， 5.37y =C ． 2.09m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.5【答案】C 【解析】 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【详解】已知线性回归直线方程为y =0.82x+1.27，b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y =0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m+3.1+4.3）8.24m +=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．12．已知点()1,2A -，()1,4B ，若直线l 过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．y x =或0x =B ．y x =或0y =C ．y x =或4y x =-D ．y x =或12y x =【答案】A 【解析】 【分析】分为斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式得到答案. 【详解】当斜率不存在时：直线l 过原点0x ⇒=，验证满足条件. 当斜率存在时：直线l 过原点，设直线为：y kx =1k =⇒= 即y x =故答案选A 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，忽略斜率不存在的情况是容易犯的错误. 二、填空题：本题共4小题13．正项等比数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，21a =，则3S 的取值范围是____________． 【答案】[3,)+∞ 【解析】 【分析】利用2123=1a a a =结合基本不等式求得3S 的取值范围【详解】由题意知，31232S a a a a =++≥+2213a a a =，所以3233S a ≥=，当且仅当13=1a a =等号成立，所以3[3,)S ∈+∞. 故答案为：[3,)+∞ 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和及性质，利用性质结合基本不等式求最值是关键 14．已知1tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα-=+______. 【答案】53- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】解：sin 3cos tan 3sin cos tan 1αααααα--=++，1tan 2α=13sin 3cos tan 3521sin cos tan 1312αααααα---∴===-+++ 故答案为：53-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，齐次式的计算，属于基础题. 15．空间两点(1,2,4)M --，(1,1,2)N -间的距离MN 为_____．【答案】3 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案 【详解】由空间中两点间的距离公式可得; 3MN ==; 故距离为3 【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。

2017—2018学年度第二学期教学质量检查 高一数学参考答案及评分标准二、填空题(每小题5分,满分20分)13.52 14．7； 15．0.95； 16．5三、解答题 17．解:（1）与垂直，得0a b ⋅= 即021=+-k ……………………3分解得21=k ．……………………5分 （2）依题意，10102521||||cos =⨯+-==b a b a θ，……………………7分 54110121cos 22cos 2-=-⨯=-=∴θθ.……………………10分18．（本小题满分l2分）(1)由题意：第2组的人数：70＝5×0.07×n ，得到：n ＝200，故该组织有200人.……………………………………………… 3分(2)第3组的人数为0.3×200＝60，第4组的人数为0.2×200＝40，第5组的人数为0.1×200＝20. ∵第3，4，5组共有120名志愿者，∴利用分层抽样的方法在120名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：60120×6＝3；第4组：40120×6＝2；第5组：20120×6＝1. ……………… 5分记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1， B 2， 第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)， (A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)， (A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)， 共有15种.……………………………………………… 8分其中第3组的3名志愿者A 1，A 2，A 3，至少有一名志愿者被抽中的有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，共有12种.…………………………………………… 10分则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为P ＝1215＝45. ………12分19. （本小题满分l2分） 解：（1）66880838490+++++=q y ，又80y =，75=∴q . ……………………………………………………3分（2）4567891362x +++++==， ………………………………………………………………4分2133050680241327162b ∧-⨯⨯∴==-⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………………………………………………6分 ()138041062a ∧∴=--⨯= ………………………………………………………………7分 4106y x ∧∴=-+ ………………………………………………………………8分（3）4106y x ∧=-+1111410690,909001y x y y ∧∧∴=-+=-=-=<，所以()()11,4,90x y =是“理想数据”；2222410686,|868421y x y y ∧∧=-+=-=-=，所以()()22,5,84x y =不是“理想数据”;3333410682,838211y x y y ∧∧=-+=-=-==，所以()()33,6,83x y =是“理想数据”.所以所求的“理想数据”为)90,4( ，)83,6(. …………………………………………12分 20. （本小题满分l2分） 解析: （1）()2ππ2sin 1cos 242f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π1sin22sin 213x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，………………………3分令222232k x k πππππ-+≤-≤+ k Z ∈51212k x k ππππ∴-+≤≤+ k Z ∈ …………………3分∴()f x 单调增区间为5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈.令ππ2π32x k -=+， k Z ∈，得5ππ122k x =+， k Z ∈，………………………4分∴()f x 的对称轴为5ππ122k x =+， k Z ∈． ………………………………5分(2) 关于x 的方程()2f x m -=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解∴()2f x m -=∴π2sin 2123x m ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两解 ………………………6分 ∴函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像和直线12m y +=在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点……8分ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ππ2π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由图可知，1122m +≤< ………………10分11m ≤<． ……………………………12分 21.（1）解：设点Q (x ，y )、P (x 0，y 0). ……………………………… 1分∵点P 在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－5)2＝4. ………………………………………… 2分又∵P A 的中点为点Q ，∴⎩⎨⎧2x ＝x 0＋12y ＝y 0＋1②③………………………………………… 3分由②③得x 0＝2x －1，y 0＝2y －1代入①得 (2x －1－3)2＋(2y －1－5)2＝4，化简得(x －2)2＋(y －3)2＝1.………………………………………… 4分（2） 假设存在直线l ，使得6=∙OM ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2 (x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－(2k ＋4)x ＋4＝0， ………… 6分由△＝(2k ＋4)2－16(1＋k 2)＞0得0＜k ＜43，且x 1＋x 2＝2k ＋41＋k 2，x 1x 2＝41＋k 2，…………………………………… 8分 又ON OM ∙＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)41＋k 2＋2k ×2k ＋41＋k 2＋4＝10， …………… 10分解得2k =-±2k =-不满足△＞0， ………… 11分所以当2k =-+l ，使得10=∙ON OM .……… 12分22.解：（1）当1=a 时，1cos sin cos sin )(-++-=x x x x x f ，令x x t c o s s i n +=，则]2,2[-∈t ，21cos sin 2-=t x x ，22)1(21121)(--=-+--=t t t t g ，当1=t 时，0)(m ax =t g ，当2-=t 时，223)(m in --=t g ，所以)(x f 的值域为]0,223[-- ………………………………………………………………4分（2）1)cos (sin cos sin )(-++-=x x a x x x f ，令sin cos t x x =+，则当3[0,]4x π∈时，t ∈，21sin cos 2t x x -=， 2221111()1()2222t h t at t a a -=-+-=--++， …………………………… 5分 )(x f 在3[0,]4π内有且只有一个零点等价于()h t 在[0,1){2}内有且只有一个零点，)2,1[无零点.因为1≥a ， ………………………………………………………………6分 ∴()h t 在[0,1)内为增函数，①若()h t 在[0,1)内有且只有一个零点，)2,1[无零点，故只需10(1)01(0)0020302a h h h ⎧⎪->⎧>⎪⎪-⎪≤⇒≤⎨⎨⎪⎪>⎩->得423>a ；…………10分 ②若2为()h t 的零点，)2,1[内无零点，则0232=-a ，得423=a ，经检验，423=a 不符合题意. 综上，423>a .…………12分。

厦门市2017～2018学年度第二学期高一年级质量检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知α为第四象限角，2sin 3α=-，则cos α等于 A ．13B ．19C ．19-D ．13- 2．已知直线a ，b ，c ，平面α，则下列结论错误．．的是 A. 若//a b ，//b c ，则//a c B. 若a b ⊥，b c ⊥，则//a c C. 若a α⊥，b α⊥，则//a b D. 若//a b ，a α⊥，则b α⊥3．已知扇形的圆心角为56π，半径为4，则该扇形的面积为A ．53πB ．103πC ．203πD ．403π4．已知=(3,1)a x -，(,2)b x =，若a 与b 的方向相反，则实数x 的值为A ．2B ．3C ．2或3D ．2或3- 5．已知点(3,2)A 和(1,4)B -到直线30mx y ++=的距离相等，则实数m 的值为A ．0或21-B ．6-或21C ．6-或21-D ．0或21 6．已知点(1,2)A ，(3,1)B ，则AB 在y 轴正方向上的投影为 A ．3 B ．2 C ．2 D ．3 7．如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由关系式2sin()3h t π=+确定．下列结论正确的是A ．小球的最高点和最低点相距2厘米B ．小球在0t =时的高度1h =C ．每秒钟小球往复运动的次数为2πD ．从1t =到3t =，弹簧长度逐渐变长8．榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，是中国古建筑、家具及其它器械的主要结构方式，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件．图1所示的榫卯结构由两部分组成，其中一部分结构的三视图如图2所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该部分的表面积为A ．185164π+ B ．185194π+ C ．105162π+ D ．105192π+ 9．若圆224260x y x y m +-+++=与y 轴的交点,A B 位于原点同侧，则实数m 的取值范围是A ．1m <-B ．5m <-C ．65m -<<-D ．61m -<<-10．如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱长为1，M 为AB 的中点，则直线1A M 与1BC 所成角的正弦值是A.74B. 34C.3711．如图，在ABC △中，2ABC π∠=，AD 平分BAC ∠，过点B 作AD 的垂线，分别交AD ，AC 于E ，F ．若6AF =，8BC =，则=AE A ．13210AB AC + B ．1123AB AC +C ．23510AB AC +D ．2153AB AC +12．已知()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y m m =>的三个相邻交点的横坐标分别是21014,,333．当[,]x m A ∈时，)(x f 的值域为22[,]33-，则A 的值是A . 23B . 43C . 2D . 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．过圆22(4)(2)25x y ++-=上的点)21(--，M 作切线l ，则l 的方程是________． 14．已知sin()2cos απα+=，则2sin 2cos αα-=________．15．已知a ，b ，c 均是单位向量，若3a b c +=，则a 与b 的夹角为________． 16．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，过1A C 的平面截此正方体所得四边形周长的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知ABC △中，点(4,3)A ，(2,1)B -，点C 在直线l ：220x y -+=上．（1）若C 为l 与x 轴的交点，求ABC △的面积；（2）若ABC △是以AB 为底边的等腰三角形，求点C 的坐标．18．（12分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，E 是1CC 的中点，122AA AB ==. （1）证明：1A E BD ⊥；（2）求直线E A 1与平面ABCD 所成角的大小．19．（12分）如图，角,αβ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，锐角α的终边与单位圆交于点A .（1）若点A 的坐标为43(,)55，OA 绕原点逆时针旋转4π，与角β的终边重合，求sin β；（2）已知点(0,3)C ，(1,0)D ，角α终边的反向延长线与单位圆交于点B ，求当角α取何值时，四边形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．20．（12分）一木块如图所示，点G 是SAC △的重心，过点G 将木块锯开，使截面平行于侧面SBC ． （1）在木块上画出符合要求的线，并说明理由； （2）若底面ABC 为等边三角形，232SA SB SC AB ====，求截面与平面SBC 之间的几何体的体积．21．（12分）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的周期为π，其图象关于直线4x π=对称．（1）求()f x 的解析式，并画出其在区间[]0,π上的图象；（2）将()f x 图象上的点的横坐标缩短至原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移8π个单位得到()g x 的图象．当[]0,10x π∈时，求函数()()(21)()1F x g x a f x a =++--(01)a ≤<的零点个数．22．（12分）如图，圆C 与x 轴交于点(1,0)A -，(1,0)B ，其在x 轴下方的部分和半圆221x y +=(0)y ≥组成曲线Γ．过点A 的直线l 与Γ的其它两个交点为E ，F ，且点E 在x 轴上方．当E 在y 轴上时，2FA AE =．（1）求C 的方程；（2）延长EB 交Γ于点G ．求证：CFG △的面积为定值．厦门市2017～2018学年度第二学期高一年级质量检测数学参考答案一、选择题1~5 ABCAB ；6~10 DDCCB ；11~12 AB 第12题参考解答：21014()()()0333f f f m ===>，142433T ∴=-=，22T ππω∴==， 又10214103333->-，∴当1023322x +==时，()f x 取最小值， 则32222k ππϕπ⨯+=+，2,2k k πϕπ∴=+∈Z ， ()sin()cos 222f x A x A x πππ∴=+=2()32A m f ∴==．依题意23A ≥，若23A =，222A T A m -=≥=，与23A =矛盾，舍去；若23A >，则()f x 在[],m A 上单调，2T A m ∴-<，即4A <．()()22033f m f A +=-+=，()02m Af +∴=，则222m A k πππ+⨯=+，4833A k ∴=+,k ∈Z ，43A ∴=． 二、填空题13．3450x y --= 14．1- 15．60︒ 16．三、解答题17．本题考查直线平行与垂直的性质、点到直线的距离、两点距离公式以及三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想与数形结合的数学思想．本题满分10分． 解：（1）法一：点C 在直线l 上，∴当0y =时，2x =-，(2,0)C ∴- ····················· 1分2AB k =，∴直线AB 的方程为250x y --=， ··········· 2分C 到直线AB的距离d =························ 3分AB=， ······························ 4分 1122ABC S AB d ∆∴=⨯⨯=⨯ ··················· 5分法二：点C 在直线l 上，∴当0y =时，2x =-，(2,0)C ∴- ····················· 1分 2AB k =，直线AB 的方程为250x y --=， ············ 2分令0y =，则52x =， ···························· 3分15(2)(13)922ABC S ∆∴=⨯+⨯+= ······················ 5分（2）AB 中点的坐标为(3,1)，2AB k = ···················· 6分AB ∴的中垂线方程为11(3)2y x -=--，即250x y +-= ··········· 7分联立250220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， ··························· 8分得3274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点37(,)24C ························· 10分18．本题考查线面的位置关系、线面角等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力，考查化归转化的数学思想．本题满分12分． 解：（1）证明：连结AC ， 四边形ABCD 是菱形∴AC BD ⊥ ··················· 1分1AA ⊥平面ABCD∴1AA BD ⊥ ··················· 2分又1AA AC A = ···························· 3分∴BD ⊥平面1ACEA ···························· 5分 ∴1A E BD ⊥ ······························· 6分（2）法一：取1AA 中点F ，连结CF ，则1//A E CF ·············· 7分 ∴CF 与平面ABCD 所成角等于1A E 与平面ABCD 所成角又1AA ⊥平面ABCD∴ FCA ∠为CF 与平面ABCD 所成角 ········ 9分又60BAD ∠=︒，1AB = ∴3AC =···················10分 3tan 3AF FCA AC ∠===························ 11分 ∴30FCA ∠=︒即1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ······················ 12分法二：1//CE AA ，且1CE AA ≠分别延长1A E 与AC ，相交于点G ······· 7分 且1AA ⊥平面ABCD∴ 1A GA ∠为1A E 与平面ABCD 所成角 ····· 9分又60BAD ∠=︒，1AB =∴3AC =················10分 又223AG AC ==∴113tan 323AA AGA AG ∠===······················ 11分 ∴130AGA ∠=︒ ∴1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ······················ 12分法三：平面//ABCD 平面1111A B C D∴1A E 与平面ABCD 所成角等于1A E 与平面1111A B C D 所成角 ·········· 7分连结11A C ，又1CC ⊥平面1111A B C D∴11C A E ∠为1A E 与平面1111A B C D 所成角 ········ 9分又11160B A D ∠=︒，111A B =∴113AC = ···················· 10分 ∴111113tan 3A E C A E AC ∠=== ··········· 11分 ∴1130C A E ∠=︒，∴1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ············· 12分19．本题考查三角函数定义、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查化归转化、数形结合等数学思想．本题满分12分． 解：（1）依题意得43cos ,sin 55αα== ···················· 1分 角α的终边绕原点逆时针转4π与角β的终边重合，∴=+2,4k k πβαπ+∈Z ·························· 2分FDEBCG∴sin sin()4πβα=+··························· 3分sin coscos sin44ππαα=+ ························· 4分324272525210=⨯+⨯=························· 5分 （2）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --，由三角函数的定义得0cos x α=，0sin y α=，∴(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B αα--， ·················· 7分 ∴四边形ABCD 的面积OAD ODC OCB S S S S ∆∆∆=++111||sin ||||||cos 222OD OD OC OC αα=⋅+⋅+⋅ 133sin 2αα=++························· 9分 3sin()3πα=++···························· 10分 02πα<<，∴5336πππα<+<····················· 11分 ∴当32ππα+=时，即6πα=时，四边形ABCD 的面积达到最大值31 ···· 12分 20．本题考查线面、面面位置关系、空间几何体体积公式等基础知识，考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归转化与数形结合等数学思想．本题满分12分． 解：（1）如图所示，过点G 作直线//EG SC ，分别交AC ，SA 于D ，E 两点， 再过点E 作直线//EF SB ，交AB 于点F ，连接DF . ············· 2分//DE SC ， DE SBC ⊄平面，SC SBC ⊂平面//DE SBC ∴平面，同理，//EF SBC 平面 ···· 4分又DE EF E =，DE DEF ⊂平面，EF DEF ⊂平面 ，G DE DEF ∈⊂平面.DEF G SBC ∴平面即过点且平行于平面的截面DE ∴，EF ，FD 即为所求． ······················· 6分（2）法一：32SA SB AB === 222SA SB AB ∴+=，即SA SB ⊥， ····················· 7分同理SB SC ⊥，SC SA ⊥， 又SB SC S =，故SA SBC ⊥面， ···················· 8分∴1119=3322S ABC SBC V S SA SB SC SA -∆=⋅⨯⋅⋅= ················ 9分 由（1）知，//DEF SBC 平面平面，所以，SA DEF ⊥平面. 点G 是SAC ∆的重心，//DE SC ，//EF SB ∴23DE AE EF SC SA SB === 311128332=111327332DEF A DEF A SBCSBC S AE DE EF AEV V S SA SC SB SA ∆--∆⋅⨯⋅⋅⎛⎫∴===⎪⎝⎭⋅⨯⋅⋅ ··········· 11分 891919(1)272276DEF SBC A SBC V V --∴=⋅-=⨯=·················· 12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.法二：同法一得92S ABC V -=，23DE AE EF SC SA SB ===2DE AE EF ∴=== DE EF ⊥11143323A DEF DEF V S AE DE EF AE -∆∴=⋅=⨯⋅⋅= ···············11分9419236DEF SBC A SBC A DEF V V V ---∴=-=-= ··················12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.法三：取BC 的中点H ,连接AH ，过点S 作SO ABC ⊥平面于点O ，再过点E 作EO ABC '⊥平面于点O '.依题意可知三棱锥S ABC -是正三棱锥. ······· 7分 SOABC ⊥面于点O，∴点O 是ABC ∆的重心，从而22332AO AH AB ==⨯=. SO ∴=，∴122ABC S BC AH =⋅=△， 1932S ABC ABC V S SO -∆∴=⋅=. ························ 9分点G 是SAC ∆的重心，//DE SC ，//EF SB ， ∴23ED EA EF SC SA SB===，2ED EA EF ∴=== 又由//DEF SBC 平面平面的易得//DF BC ， ADF ABC ∴∽△△，ADF ∴△也是等边三角形，且AD DF FA ===，∴三棱锥E ADF -也是正三棱锥，12ADF S DF AO =⋅=△，233EO SO '==， ∴1143333E ADF ADF V S EO -∆'=⋅=⨯= ················ 11分 9419236DEF ABC A SBC A DEF V V V ---∴=-=-= ··················12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.21．本题考查三角函数图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解与推理论证等能力；考查函数与方程、分类讨论、数形结合等思想．本题满分12分． 解：（1）2ππω=，2ω∴=；······················· 1分 函数()f x 图象关于4x π= 对称，∴sin()12πϕ+=±法一： ∴,22k k ππϕπ+=+∈Z ，22ππϕ-<<，∴0ϕ= ····· 3分法二：∴cos 1ϕ=±，22ππϕ-<<，∴0ϕ= ··············· 3分∴函数()f x 的解析式为()sin 2f x x =····································· 5分 （不列表格不扣分，在图中找到5个关键点1分，图象1分）（2）依题意得()sin(4)2g x x π=+······················ 6分∴()sin(4)(21)sin 212F x x a x a π=+++-- cos 4(21)sin 21x a x a =++--······················· 7分 2(12sin 2)(21)sin 21x a x a =-++-- ············ 8分22sin 2(21)sin 2(2sin 21)(sin 2)x a x a x x a =-++-=---令()0F x =，∴1sin 22x =或sin 2x a = ··················· 9分 1sin 22x =在上有2个实根，1sin 22x =在(]0,10π上有20个实根， （i ）当12a =时，又，函数()F x 在区间[]0,10π上有20个零点． ····································· 10分 （ii ）当0a =时，sin 20x =在上有2个根 ，则()F x 在(]0,10π有20个根，又sin 20x =在[]0,10π上有21个实根，函数()F x 在区间[]0,10π上有41个零点． ································· 11分 （iii ）当102a <<或112a <<时，sin 2x a =在上有2个实根，sin 2x a =在(]0,10π 上有20个实根，又函数()F x 在区间[]0,10π上有40个零点． ····································· 12分22．本题考查圆的方程、直线和圆的位置关系、两点距离公式以及向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想与数形结合等数学思想．本题满分12分．解：（1）法一：由题意，当E 在y 轴上时，坐标为()0,1E ，设(),F x y ，∴()1,1AE =，()1,FA x y =---，2FA AE =，122x y --=⎧∴⎨-=⎩， ∴3,2x y =-=-，∴()3,2F --． ····················· 2分 圆C 过A ，B 两点，∴圆心C 位于AB 的中垂线上，即点C 在y 轴上，设()0,C c，则半径||CA =C 方程为()2221x y c c +-=+， 圆C 过()3,2F --，∴()22921c c ++=+，∴3c =- ············ 4分 ∴圆C 方程为()22310x y ++=. ······················ 5分 法二：同法一，得()3,2F -- ························ 2分 易知线段AB 的中垂线与线段AF 中垂线的交点为圆心C ．AF 的中点为()2,1--，直线AF 的斜率1AF k =，∴AF 中垂线的方程为3y x =--， ····················· 3分 又AB 的中垂线为0x =，∴ C ()0,3-，∴半径||CA =， ····················· 4分 ∴圆C 方程为()22310x y ++=. ······················ 5分 （2）法一：设直线l 的方程为()10x my m =->，联立直线l 与圆C 方程，得()()221310my y -++=， (]0,π∴1sin 02≠∴(]0,πsin 00=∴∴(]0,π∴sin 0a ≠∴即()()221620m y m y ++-=，解得0y =或2261m y m -=+， ··········· 6分 所以2261F m y m -=+， 点F 在x 轴下方，∴260m -<，即3m <； 将F y 代入直线l ，F 的横坐标为22611F m m x m --=+， ∴点F 坐标为2226126(,)11m m m m m ---++； ···················· 7分 同理，设直线EB 的方程为1l ：11x y m=-+， 与圆C 方程()22310x y ++=联立，得到2212160y y m m ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得0y =或22261m m y m -=+，所以点G 的纵坐标为22261G m m y m -=+， ······ 8分 点G 在x 轴下方，∴2260m m -<，即13m >； 将G y 代入直线1l ，G 的横坐标为22611G m m x m +-=+； ∴点G 坐标为22226126(,)11m m m m m m +--++ ··················· 9分FG ∴==6 ··············· 11分 CFG △为等腰三角形，∴CFG △的高1h ===， 132CFG S FG h ∆∴=⋅=为定值． ······················ 12分 法二：注意到ABE ∠为圆C 内接四边形ABGF 中ABG ∠的外角，故由圆内接四边形的几何性质知=ABE EFG ∠∠，同理， =EAB EGF ∠∠；EGF ∴△∽AEB △，=EG EF FG EA EB AB∴= ······· 8分 联结,AC BF ，12ACO ACB EFB ∠=∠=∠， 又EFB △与AOC △均为直角三角形，EFB AOC ∴∽△△， ········· 10分 3EF OC EB OA ∴==，=3FG AB∴，2AB =，6FG ∴=为定值 ·········· 11分 以下同法一． ······························· 12分。

厦门双十中学2017-2018学年（上）周末考试高三数学（理科）试题（05）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填涂在答题卷的相应位置．1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B ＝（ ）A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d ，公式为d =13，根据“开立圆术”的方法求球的体积为（ ） A ．481πB ．6π C ．481D ．61 4．已知函数()()π17πsin cos 0326f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足π364f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则满足题意的ω的最小值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．25．某几何体的三视图如图所示，设正方形的边长为a ，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．2aB 2C ．26a D ．26．已知以O 为中心的双曲线C 的一个焦点为F ，P 为C 上一点，M 为PF 的中点.若OMF ∆为等腰直角三角形，则C 的离心率等于（ ）（A 1（B ）1 （C ）2（D ）127．在梯形ABCD 中，∠B ＝π2，AB =BC ＝2，点E 为AB 的中点，若向量CD 在向量BC 上的投影为12-，则CE BD ⋅=（ ）A ．－2B ．12-C ．0D 8．已知函数()2,1{ 1,1x ax x f x ax x -+≤=->，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．2a >C ．22a -<<D ．2a <-或2a >9．已知直线,PA PB 分别与半径为1的圆O 相切于点,A B ，2PO =，2(1)PM PA PB λλ=+-.若点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是（ ） （A ）(1,1)-（B ）2(0,)3（C ）1(,1)3（D ）(0,1)10．已知函数cos y x x =+，有以下命题,①()f x 的定义域是()2π,2π2πk k +；②()f x 的值域是R ；③()f x 是奇函数；④()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为π2，其中推断正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知椭圆的标准方程为22154x y +=，12,F F 为椭圆的左右焦点，O 为原点，P 是椭圆在第一象限的点，则12PF PF PO-的取值范围（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1CC 的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F 、B 、E 、G 、H 为面MBN 过三点B 、E 、F 的截面与正方体1111ABCD A B C D -在棱上的交点，则下列说法错误的是（）A ．HF //BEB ．BM =C ．∠MBND ．五边形FBEGH第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若312S =，则3a = ▲ ．14．已知椭圆22:143x y C +=的左顶点、上顶点、右焦点分别为,,A B F ，则AB AF ⋅= ▲ ．15．已知在体积为12π的圆柱中，,AB CD 分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥A BCD -的体积最大值等于 ▲ ．16．已知函数()e x f x =，2()g x ax ax =-.若曲线()y f x =上存在两点关于直线y x =的对称点在曲线()y g x =上，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卷相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222cos cos sin sin sin B C A A B --=-，()()sin cos A B A B -=+．（1）求角A 、B 、C ； （2）若a =ABC 的边长b 的值及三角形ABC 的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =,11n n n a n a a ++=-,n N *∈（1）设2nn nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .(2)证明：22221232n a a a a ++++<.19．（本小题满分12分）如图所示，直棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，1113AA AB B D ===，2BC =，E 是边11B C 的中点，F 是边1CC 上的动点．（1）求证：1D E BF ⊥；（2）当1C F BC =时，（Ⅰ）求证：BF ⊥平面1D EF ．（Ⅱ）求面1D BF 与底面1111A B C D 所成的二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知动圆C 过点()1,0F ，且与直线1x =-相切.（Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程，并求当圆C 的面积最小时的圆1C 的方程；（Ⅱ）设动圆圆心C 的轨迹为曲线E ，直线12y x b =+与圆1C 和曲线E 交于四个不同的点，从左到右依次为,,,A B C D ，且,B D 是直线与曲线E 的交点，若直线,BF DF 的倾斜角互补，求AB CD +的值.21．（本小题满分12分）设函数ln ()1xf x x =+， （1）求证：()211f x x -+≤； （2）当x ≥1时，()ln (1)f x x a x --≥恒成立，求a 的取值范围．22．（本小题满分10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l的极坐标方程为3cos sin 60ρθρθ+-=，圆C的参数方程为1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，（1）求直线被圆所截得的弦长；（2）已知点()0,2P -，过P 的直线'l 与圆所相交于A B 、不同的两点，求PA PB ⋅．周末考试高三数学（理科）（05）参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．6； 14．6； 15．8； 16．(0,1)(1,)+∞．17．（本小题满分12分）【解析】（1）因为A ，B 均为锐角，()()sin cos A B A B -=+， ∴()()sin cos sin cos cos sin A B B A B B +=+∵B 为锐角，∴cos sin 0B B +≠， ∴sin cos A A =，则A 的大小为4π，·································3分 在△ABC 中，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-，∴222sin sin sin sin sin C BA AB --=-， ∴222a b c ab +-=-，∴1cos 2C =，∴3C π=，················· (6)分 ∴53412B ππ=π--=π．··········································7分 （2）根据正弦定理sin sin a bA B=，得sin 5πππ2sin 2sin()sin 1264a B b A ===+=，·····9分 ∴113=sin =22224ABC S C ab +⋅⋅=⨯△··············12分 18．（本小题满分12分）【解析】（1）由11n n n a a n a ++-=得1(1)n n n a na ++=,即11+=+n na a n n ，(2分)∴312412321123212341n n n n a a a a a n n a a a a a n n -----⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯- 即11n a a n =，∵11a =, 所以na n 1= ································4分∵22nn n nb n a ==⋅ ∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②①－②得23122222n n n T n +-=++++-⋅∴1(1)22n n T n +=-⋅+ ································8分（2）证明：∵k k k k k111)1(112--=-<,k=2,3,4…,n.∴2222123n a a a a ++++=22221111123n++++111111223(1)n n<++++∙∙-∙1111111()()()112231n n =+-+-++-- 122n=-< ························12分 19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为底面1111A B C D 是平行四边形，所以11113AB B D D C ===，E 是11B C 的中点，所以1D E ⊥11B C ．在直棱柱1111ABCD A B C D -，因为1CC ⊥底面1111A B C D ，1D E ⊂底面1111A B C D ，所以1D E ⊥1CC ，因为11B C ∩1CC ＝1C ，所以1D E ⊥平面B 1BCC 1，又BF ⊂平面B 1BCC 1，所以1D E ⊥BF ． ··········4分 （2）（Ⅰ）由（1）知1D E ⊥BF ，在矩形11BB C C 中，因为1CF C E =＝1，12BC C F ==，∴1Rt Rt BCF FC E △≌△．∴1CFB FEC ∠=∠，1CBF C FE ∠=∠，∴90BFE ∠=︒，∴BF EF ⊥， 又∵1D EEF E =，∴BF ⊥平面1D EF ．· ·························8分（Ⅱ）以1D 为原点，分别以11A D ，11D C 和11D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建系：则()10,0,0D ，()2,3,3B ，()0,3,2F ，()0,0,3D 所以()12,3,3D B =，()10,3,2D F =，()10,0,3D D =，设面1D BF 的法向量为(),,n x y z =，则1100n D B n D F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得2330320x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1z =-，所以12,,123n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由已知可知1D D ⊥底面1111A B C D ，所以1D D 是底面1111A B C D 的一个法向量， 设面1D BF 与底面1111A B C D 所成的二面角为θ，则11cos 6161D D n D D nθ⋅===-⋅．所以面1D BF 与底面1111A B C D 所成的二面角的余弦值为．···········12分 20．（本小题满分12分）【解析】(Ⅰ) 依题意圆心C 的轨迹是以),(01F 为焦点,直线1-=x 为准线的抛物线,故其方程为24.y x = ····································································································· 3分 当圆心C 在原点时,圆的面积最小,所以圆1C 的方程为.122=+y x ············································· 4分(Ⅱ)(1,0)F ，设11223344(,),(,),(,),(,)B x y D x y A x y C x y ，由2124y x b y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(416)40x b x b +-+=. 由0∆>,得2b <．所以12164+=-x x b ，2124=x x b. ··························································· 6分因为直线,BF DF 的倾斜角互补，所以0BF DF k k +=.··························································· 7分 ∴2112(1)(1)0-+-=y x y x ，即,))((02212121=-+-+b x x b x x 214()(164)202b b b b +---=.解得12b =.····················································································································· 9分 由2211229y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得,035252=-+x x···················································· 10分································································· 11分································································ 12分 21．（本小题满分12分）【解析】（1）要证明()211f x x -+≤，即ln 111x x x x -++≤，又因为0x >， 也就是要证明ln 1x x -≤，即ln 10x x -+≤，下面证明ln 10x x -+≤恒成立，· 令()ln 1g x x x =-+，()11'1xg x x x-=-=，令()'0g x =，得1x =，···············3分 可知：()g x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()()1ln1110g x g =-+=≤， 即证．···························································5分 （2）当1x ≥时，()ln (1)f x x a x --≥恒成立，ln ln (1)1xx a x x --+≥，即()2ln 1x x a x --≤0， 令()()2ln 1h x x x a x =--，()1x ≥，()'ln 12h x x ax =+-， 令()ln 12H x x ax =+-，所以()112'2axH x a x x-=-=，··············6分 ①当a ≤0时，()'0H x >恒成立，所以()H x 在[)1,+∞上递增，()()()'1120h x H x H a ==->≥， 所以()h x 在[)1,+∞上递增，所以()()10h x h =≥，所以a ≤0不符合题意．·······8分 ②当102a <<时，112a >，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0H x >，()H x 递增， ()()()'1120h x H x H a ==->≥，从而()h x 在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，所以()()10h x h =≥，所以102a <<不符合题意．·····································10分③当12a ≥时，112a<，()'0H x <恒成立，所以()H x 在[)1,+∞上递减， ()()()'1120h x H x H a ==-<≤，所以()h x 在[)1,+∞上递减，所以()()10h x h =≤，所以12a ≥符合题意．综上所述：a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．··················12分22．（本小题满分10分）【解析】（1）将圆C 的参数方程化为直角坐标系方程：22240x y y +--=，化为标准方程是()2215x y +-=，直线l ：360x y +-=．由()2215x y +-=，所以圆心()0,1C ，半径r =；所以圆心C 到直线l ：360x y +-=的距离是2d ==；直线l 被圆C 所截得的弦长为AB ===．5分 （2）设直线'l 的参数方程为cos 2sin x t y tθθ=⋅⎧⎨=-+⋅⎩，将其带入圆的方程()2215x y +-=，可得：()()22cos 2sin 15t t θθ⋅+-+⋅-=，化简得：26sin 40t t θ-⋅+=， 所以126sin t t θ+=，124t t ⋅=，所以124PA PB t t ⋅=⋅=．···········10分。