下载文档原格式
第7讲 函数的图象最新考纲 1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．知 识 梳 理1．函数图象的作法(1)描点法作图：通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．(2)图象变换法作图：一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象，在高考中要求学生掌握三种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换)．2．函数图象间的变换 (1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换(3)伸缩变换y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a a ＞0 倍y ＝f (ax )．y ＝f (x )――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A A ＞0 倍y ＝Af (x )．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×)(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(×)(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(√)(4)若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(×)(5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．(×) 2．(2014·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析 ∵a ＞0，且a ≠1，∴f (x )＝x a在(0，＋∞)上单调递增，∴排除A ；当0＜a ＜1或a ＞1时，B ，C 中f (x )与g (x )的图象矛盾，故选D.答案 D3．(2014·山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1.答案 D4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)解析 法一 特值法，令m ＝2，排除C 、D ，令m ＝0，排除A ，故选B. 法二 令x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2， 所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m <2. 故选B. 答案 B5．(人教A 必修1P112A2)点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )答案 C考点一 简单函数图象的作法 【例1】 作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝x ＋2x －1. 解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ≥1，－lg x ， 0＜x ＜1，作出图象如图1.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.规律方法 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋m x(m ＞0)的函数是图象变换的基础．(2)常握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．【训练1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)将y ＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图 1.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 x ≥0 ，x 2＋2x －1 x ＜0 .图象如图2.考点二 函数图象的辨识【例2】 (1)(2014·成都三诊)函数y ＝2x|cos2x |22x －1的部分图象大致为( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3xx ≤1 ， log 13 x x ＞1 ，则y ＝f (1－x )的图象是( )解析 (1)依题意，注意到当x ＞0时，22x－1＞0，2x|cos 2x |≥0，此时y ≥0；当x ＜0时，22x－1＜0，2x|cos2x |≥0，此时y ≤0，结合各选项知，故选A.(2)画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象．答案 (1)A (2)C规律方法 函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【训练2】 函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )解析 因为f (－x )＝[1－cos(－x )]sin(－x )＝－(1－cos x )·sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除B ；当x ∈(0，π)时，1－cos x ＞0，sin x ＞0，所以f (x )＞0，排除A ；又函数f (x )的导函数f ′(x )＝sin 2x －cos 2x ＋cos x ，所以f ′(0)＝0，排除D ，故选C.答案 C考点三 函数图象的应用【例3】 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析 (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2＞g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B.(2)根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ＞1或x ＜－1 ，－x －1 －1≤x ＜1 .在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0＜k ＜1或1＜k ＜4时有两个交点．答案 (1)B (2)(0,1)∪(1,4)规律方法 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．【训练3】 (1)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A．10个B．9个C．8个D．7个(2)(2014·黄冈调研)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________ .解析(1)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；当x＞10时，|lg x|＞1.因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．(2)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.答案(1)A (2)[－1，＋∞)微型专题函数图象的对称性问题函数图象的对称性反映了函数的特性，是研究函数性质的一个重要方面，它包含一个函数图象自身的对称性和两个函数图象之间的对称性，其中两个函数图象之间对称性的实质是两个函数图象上的对应点之间的对称性，所以问题的关键在于找到对应点的坐标之间的对称性，可取同一个y值，寻找它们横坐标之间的对称性或者取同一个x值，寻找它们纵坐标之间的对称性．例4下列说法中，正确命题的个数为( )①函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称；②函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称；③如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；④函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．A．1 B．2C．3 D．4点拨先注意区别是一个函数图象自身的对称还是两个函数图象之间的对称，再根据函数图象关于坐标轴、原点或一条垂直于x轴的直线对称所满足的条件逐个分析判断．解析对于①，把函数y＝f(x)中的y换成－y，x保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于x轴对称；对于②，把函数y＝f(x)中的x换成－x，y换成－y，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点对称；对于③，若对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝ a＋x ＋ a－x2＝a对称；对于④，因为函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，它们的图象分别向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象；即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．答案 D点评本题的难点在于对函数图象的各种对称的正确理解，熟练掌握这些基础知识是化解难点的关键．在复习备考中要对函数图象的各种对称进行总结.[思想方法]1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图象．2．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)用图要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与x轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式的问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x的范围)．[易错防范]1．用描点法作函数图象时，要注意取点合理，并用“平滑”的曲线连接，作完后要向两端伸展一下，以表示在整个定义域上的图象．2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·保定模拟)函数y＝21－x的大致图象为( )解析 y ＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，因为0＜12＜1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1为减函数，取x ＝0时，则y ＝2，故选A.答案 A2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析 函数f (x )＝ln(x 2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数且f (0)＝ln 1＝0，综上选A.答案 A3．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析 y ＝lgx ＋310＝lg(x ＋3)－1，将y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x＋3)的图象，再向下平移1个单位长度，得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案 C4．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0)D ．[－2,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.答案 A5．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析 法一 函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(e,1)，排除C ，D ；函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(－e ，－1)，排除A.法二 由已知，设f (x )＝x ln|x ||x |，则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ，当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D.答案 B 二、填空题6．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝________.解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x，依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x的图象．∴f (x )的图象可由y ＝e －x的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.答案 e －x －17．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.答案 (1，＋∞)8．(2015·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ＞0 ，2xx ≤0 ，且关于x 的方程f (x )－a＝0有两个实根，则实数a 的范围是________．解析 当x ≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.答案 (0,1] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝x1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 2－1，x ∈ －∞，1]∪[3，＋∞ ，－ x －2 2＋1，x ∈ 1，3 ，作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m ＜1，∴M ＝{m |0＜m ＜1}．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.答案 D12．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3.又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.答案 D13．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－ －1 ＝－13，∴－13＜k ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 14．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞).。
第三节 二次函数与幂函数考点一 二次函数的综合应用1．(2015·四川，9)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( ) A ．16B ．18C ．25D.812解析 令f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8＝0，∴x ＝－n －8m －2， 当m ＞2时，对称轴x 0＝－n －8m －2，由题意，－n －8m －2≥2， ∴2m ＋n ≤12，∵2mn ≤2m ＋n2≤6，∴mn ≤18，由2m ＋n ＝12且2m ＝n 知m ＝3，n ＝6， 当m ＜2时，抛物线开口向下，由题意 －n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18， ∵2mn ≤2n ＋m 2≤9，∴mn ≤812， 由2n ＋m ＝18且2n ＝m ，得m ＝9(舍去)，∴mn 最大值为18，选B. 答案 B2．(2013·重庆，3)（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9B.92C ．3D.322解析 设f (a )＝（3－a ）（a ＋6）＝－a 2－3a ＋18＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814， ∵－6≤a ≤3，∴f (a )max ＝92，故选B. 答案 B3．(2013·辽宁，11)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16解析 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，g (x )的图象是开口向下的抛物线，两个函数图象相交，则A 必是两个函数图象交点中较低的点的纵坐标，B 是两个函数图象交点中较高的点的纵坐标，令x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，解得x ＝a ＋2，或x ＝a －2.因为函数f (x )的对称轴为x ＝a ＋2，故可得A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，B ＝g (a －2)＝12－4a ，所以A －B ＝－16. 答案 B4．(2014·辽宁，16)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c 的最小值为________．解析 设2a ＋b ＝t ，则2a ＝t －b ，因为4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，所以将2a ＝t －b 代入整理可得6b 2－3tb ＋t 2－c ＝0①，由Δ≥0解得－85c ≤t ≤85c ，当|2a＋b |取最大值时t ＝85c ，代入①式得b ＝c 10，再由2a ＝t －b 得a ＝32c 10，所以3a －4b ＋5c ＝210c －410c ＋5c ＝5c －210c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5c －22－2≥－2，当且仅当c＝52时等号成立． 答案 －25．(2013·重庆，15)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析 由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0， 即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0， 得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π， ∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π， 即α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 6．(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )<c ， 即x 2＋ax ＋b <c ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－c ＝6， ∴2c ＝6，∴c ＝9. 答案 97．(2011·陕西，12)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________．解析 先求有根的条件，即Δ＝16－4n ≥0，又n ∈N *，所以n 取值为1，2，3，4；将其逐个代入验证可知n ＝3或n ＝4. 答案 3或4考点二 幂函数的图象与性质1．(2014·浙江，7)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析 当a >1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a (x >0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递减，且过点(1，0)，排除A ，因此选D. 答案 D2．(2012·山东，3)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵f (x )＝a x 为减函数，∴0<a <1，∵g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数，0＜a ＜1或1＜a ＜2，∴a ∈(0，1)⇒a ∈(0，1)∪(1，2)，故选A. 答案 A3．(2011·陕西，4)函数y ＝x 13的图象是( )解析 显然－f (x )＝f (－x )，说明函数是奇函数．同时，当0<x <1时，x 13>x ，当x >1时，x 13<x ，知只有B 选项符合． 答案 B。
第二章函数概念与基本初等函数知识点与方法1．函数解析式的求法主要有换元法和待定系数法等:利用函数的解析式研究问题时要特别注意分析自变量x与函数值y的关系,尤其要注意分段函数各段的自变量所对ƒ的解析式．已知函数解析式,计算有限个函数值的和．fl类问题一般都具有明显的规律,或者函数具有周期性,或者函数具有对称性（自变量具有某种关系,其函数值和fi定值）．如£（x）＝,求+的值（这$£（x）+£（1—x）＝）．²．确定函数定义域的基本原则．（1）分式函数y＝中,满足分母g（x）≠0．（²）偶次式y＝（n∈N*）中,满足被开方式£（x）≥0．（3）对数函数y＝log£（x）g（x）中,满足且£（x）≠1．（4）幂函数y＝［£（x）］0中,满足£（x）≠0．（±）fl切函数y＝tanx中,满足x≠kπ+（k∈Z）．（6）在实际问题中考虑自变量的实际意义．3．函数值域（最值）的求法．（1）二次型函数——配方法．（²）©曲函数——均值н等式．（3）利用换元法转化fi二次型函数或©曲函数．（4）函数单调性法．（±）导数法．对于н等式恒成立、fl在性问题h要通过求函数最值的方法解决．4．判断函数单调性的方法．（1）定义法:一般地,设函数y＝£（x）的定义域fiA,区间W⊆A,∀x1,x²∈W,（x1—x²）［£（x1）—£（x²）］>0⇔>0⇔£（x）在区间W L是增函数．若£（x）在区间W L fi增函数,x1, x²∈W,则有x1<x²⇔£（x1）<£（x²）,减函数有类似结论．（注意:在涉þ到н等式的求解、证明等有关问题时可以考虑构造函数,利用函数单调性求解）．（²）用已知函数单调性判断（下列函数都在¿共单调区间L）: ķ增函数+增函数＝增函数:ĸ减函数+减函数＝减函数:③复合函数单调性:④奇（偶）函数在对称区间L的单调性相¼（相反）．（3）借助图像判断函数单调性．（4）导数法:对可导函数£（x）,x∈（a,b ）,£′（x）≥0⇔£（x）在（a,b）L是增函数:£′（x）≤0⇔£（x）在（a,b）L 是减函数（其中导致导数fi0的点是孤立的）．±．函数的奇偶性．（1）判定函数奇偶性的方法．函数具有奇偶性的必要条fl是定义域fi 关于原点对称的区间．判断函数奇偶性首先确定函数定义域．ķ定义法:∀x∈D£,£（x）±£（—x）＝0: ĸ用已知函数奇偶性判定:（i）奇±奇＝奇:偶±偶＝偶:奇±偶＝非奇非偶（非零函数）: 奇×偶＝奇:奇×奇＝偶:偶×偶＝偶．（ii）复合函数奇偶性,内偶则偶,两奇fi奇．③借助图像确定奇偶性．（²）奇偶函数的性质．ķ定义域含0的奇函数图像必过原点: ĸ奇函数若fl在最大（小）值,则它们的和fi0:③£（x）是偶函数,则有£（—x）＝£（x）＝£（|x|）:④既奇又偶的函数的解析式必fi£（x）＝0:⑤对于奇（偶）函数,已知y轴一侧的图像、解析式、单调性,能够确定y轴另一侧的图像、解析式、单调性．题目中出现x与—x的函数值问题,需考虑函数的奇偶性．（3）奇偶函数性质推广（对称性问题）．已知函数£（x）,x∈D．ķ满足£（a+x）＝£（b—x）⇔£（x）关于直线x＝对称, 特别地,£（—x）＝£（x）⇔£（x）关于y轴（x＝0）对称: ĸ满足£（a+x）＝—£（b—x）⇔£（x）关于点,0 对称, 特别地,£（—x）＝—£（x）⇔£（x）关于原点（0,0）中心对称:③函数y＝£（x）与y＝£（—x）的图像关于y轴对称:④函数y＝£（x）与y＝—£（x）的图像关于x轴对称:⑤函数y＝£（a+x）与y＝£（b—x）的图像关于x＝对称． 6．函数的周期性．（1）定义:已知函数y＝£（x）,x∈D,若对任意x∈D,fl在非零fl 常数T,满足:ķ£（x+T）＝£（x）,周期fiT:ĸ£（x+T）＝—£（x）,周期fi²T:£（x+T）+£（x）＝G,周期fi²T:③£（x+T）＝±,周期fi²T:£（x+T）·£（x）＝G（G≠0）,周期FI²T:④£（x+T）＝—£（x—T）,周期fi4T:⑤£（x+T）+£（x—T）＝£（x）,周期fi6T．（²）对称性与周期性关系:若函数£（x）具有两个对称性（中心、轴）þ周期性三个性质中的两个,则必定具有第三个性质．例如:ķ若£（x）的图像关于直线x＝a和x＝b对称（a≠b）,则£（x）是周期fi²|a—b|的周期函数．ĸ若£（x）的图像关于点（a,0）和（b,0）对称（a≠b）,则£（x）是周期fi²|a—b|的周期函数．③若£（x）的图像关于直线x＝aþ点（b,0）对称（a≠b）,则£（x）是周期fi4|a—b|的周期函数．7．三个二次（一元二次方程、二次н等式、二次函数）间的问题可相互转化．如二次函数零点是相ƒ二次方程的,二次н等式的求解依赖于二次方程与二次函数的图像等．（1）一元二次方程．ķ判别式,求¿式, 与系数关系:ĸ的分布问题,要由判别式、对称轴、端点值三者确定．例如:（i）二次方程ax²+BX+G＝0（A>0）两都大于k⇔（ii）一大于k,一小于k⇔£（k）<0．（²）二次函数的三种表现形式． y＝ax²+bx+G＝a（x—m）²+n＝a （x—x1）（x—x²）（a≠0）,其中（m,n）是顶点,x1,x²fi零点．对于限定区间L的二次函数最值要注意对称轴与区间的ƒ置关系．（3）一元二次н等式解法依赖于相ƒ方程与二次函数图像．（4）对于二次函数£（x）＝ax²+bx+G,若£（x1 ）＝£（x²）, x1≠x²,则x1+x²＝—．8．关于幂、指数、对数函数问题．（1）幂函数£（x）＝xα在第一象限的图像如图1—3所示,单调性fi:当α>0时,函数£（x）在（0,+∞）Lfi增函数:当α<0时,函数£（x）在（0,+∞）Lfi减函数．图1－3（²）指数与对数．a b＝N⇔b＝log a N（a>0,a≠1）,a log a N＝N,log a a b＝b,＝,log a m b n＝log a b．（3）指数函数y＝a x（a>0,a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0, a≠1）．ķ互fi反函数: ĸ定义域、值域之间的关系fl好相反:③单调性:在各自定义域L,当0<a<1时,均fi减函数:当a>1 时,均fi增函数．（4）以各自的䘀算规则fi模型的抽象函数的表示法．ķ幂函数:£（xy）＝£（x）£（y）,£＝（y≠0,£（y）≠0）,£（1）＝1:ĸ指数函数:£（x+y）＝£（x）·£（y）,£（x—y）＝,£（0）＝1:③对数函数:£（x y）＝£（x）+£（y）,£＝£（x）—£（y）,£（1）＝0．（±）会画y＝a|x|,y＝log a|x|,y＝|log a x|（a>0,a≠1）的图像．9．图像问题．（1）注意以下两个函数图像．ķ形如y＝的函数能变fi形如y＝n±的函数,其图像是关于点（m,n）对称的反比例函数图像:ĸ形如y＝ax+ 的“©曲函数”,若ab>0,则fi“对勾函数”: 若ab<0,则fi单调函数．（²）图像变换．ķᒣ移变换:ĸ伸缩变换:③对称变换:函数y＝£（—x）的图像与函数y＝£（x）的图像关于y轴对称．函数y＝—£（x）的图像与函数y＝£（x）的图像关于x轴对称．函数y＝—£（—x）的图像与函数y＝£（x）的图像关于原点对称．④翻折变换:y＝£（|x|）与y＝£（x）之间的关系,y＝£（x）与y＝£（x）之间的关系．（3）研究问题方法．会由图像特征研究函数性质,能用性质描函数图像,养成用图像、性质分析思考问题,即数形结合思想解题的习惯．查漏补缺1. 函数是数集到数集的特殊映射，其对应法则必须满足自变量在定义域内的任意性，函数值的唯一性例8 已知集合A＝(1,²,3,…,²3),求证:нfl在这fi的函数£:A→(1,²,3),使得对任意的整数x1,x²∈A,若|x1—x²|∈(1,²,3),则£（x1）≠£（x²）．变式1 函数y＝£（x）的图像与直线x＝a（a∈R）的交点个数fi （）．A．0B．1 C．0或 1 D．可多于12. 结合函数图像研究函数性质如图1—4所示,以函数fi核心,其核心内容包括函数的图像与性质,函数的图像包括基本初等函数的图像的作法þ图像变换,函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性, 对称性þ特殊点．函数知识的外延主要体现在函数与方程（函数零点）þ函数与н等式的结合．而函数与方程（函数零点）þ函数与н等式问题可通过转化思想,利用函数图像与性质求解．图1－4例9 关于x的方程（x—a）（x—b）＝²（a<b）的两实fiα, β,且α<β,试比较α,β,a,b的大小．变式1 已知函数£（x）＝,若£（²—a²）>£（a）,则实数a的ᒣ值范围是（）．（—1,²）A．（—∞,—1）∪（²,+∞） B．C．（—²,1）D．（—∞,—²）∪（1,+∞）3. 已知函数的解析式研究函数的性质给出函数的解析式,常常需要¼学们能够有意识地通过函数的解析式来研究函数的性质,如函数的奇偶性、单调性、周期性þ函数值的分布等,进而解决函数的有关问题．已知函数£（x）＝x²—GOSX,对于L的任意x1 ,x²,有如下条fl:ķx1>x²:ĸ>:③|x1|>x²,其中能使£（x1 ）>£（x²）恒成立的条fl序号是．4. 构造函数的解析式研究函数的性质看似与函数无关的问题，如果我们能够分析其本质特点，引入变量并根据其模型构造函数，利用函数性质求解．这才是函数的真正魅力例10 若α,β∈,且αsinα—βsinβ>0,则下列结论fl确的是（）．A．α>βB．α+β>0C．α<βD．α²>β²变式1 比较, ,ln 这三个实数的大小,并说明理由．变式2 比较, , 的大小．。
第一节 函数的概念考点一 函数的概念及其表示1.(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( ) A.f (sin 2x )＝sin x B.f (sin 2x )＝x 2＋x C.f (x 2＋1)＝|x ＋1| D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析 排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π2时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴A 不对；B 同上；C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 22＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，∴C 不对，故选D.答案 D2.(2014·山东，3)函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 解析 (log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞). 答案 C3.(2014·江西，2)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A.(0，1)B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)解析 由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞). 答案 C4.(2014·江西，3)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A.1B.2C.3D.－1解析 因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1.答案 A5.(2013·大纲全国，4)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A.(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C.(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 f (x )的定义域为(－1，0)，∴－1<2x ＋1<0， ∴－1<x <－12.答案 B6.(2013·陕西，1)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( ) A.[－1，1]B.(－1，1)C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由1－x 2≥0得－1≤x ≤1，∴M ＝[－1，1]，∴∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞).选D. 答案 D7.(2012·江苏，5)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧1－2log 6x ≥0，x >0，∴⎩⎨⎧x ≤6，x >0，∴定义域为{x |0<x ≤6}. 答案 {x |0<x ≤6} 考点二 分段函数及其应用1.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C. 答案 C2.(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8解析 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a2时，f (x )min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.图1 图2答案 D3.(2014·上海，18)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A.[－1，2]B.[－1，0]C.[1，2]D.[0，2]解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.答案 D4.(2012·江西，3)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A.lg 101B.2C.1D.0解析 由题f (10)＝lg 10＝1，∴f (f (10))＝f (1)＝1＋1＝2.故选B. 答案 B5.(2011·北京，6)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A.75，25B.75，16C.60，25D.60，16解析 因c A＝15，故A >4，则有c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，故选D.答案 D6.(2015·浙江，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.解析 f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号， ∴f (x )的最小值为22－3.答案 0 22－37.(2013·北京，13)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________.解析 分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x<2，故值域为(0，2)∪(－∞，0]＝(－∞，2). 答案 (－∞，2)8.(2011·江苏，11)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.解析 当a >0时，f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴2－a ＝－3a －1，解得a ＝－32(舍去).当a <0时，f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－a －1，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴－a －1＝2＋3a ，解得a ＝－34.答案 －34。
第8讲函数与方程最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识梳理1．函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(√)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×)2．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点，故选C.答案 C3．(2014·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )与g (x )的图象在R 上连续不断，由下表知方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是( )A.(－C ．(1,2)D ．(2,3)解析 记h (x )＝f (x )－g (x )，依题意，注意到h (0)＜0，h (1)＞0，因此函数h (x )的零点属于(0,1)，即方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是(0,1)，故选B.答案 B4．(人教A 必修1P92A1改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案 A5．(2014·福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．解析 当x ≤0时，由x 2－2＝0得x ＝－2(正根舍去)；当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋lnx 在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点，综上可知f (x )的零点个数为2.答案 2考点一 函数零点的判断与求解【例1】 (1)(2014·唐山一模)设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)(2)(2014·湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}解析 (1)∵f (x )＝e x＋x －4，∴f ′(x )＝e x＋1＞0，∴函数f (x )在R 上单调递增，对于A 项，f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1＜0，f (0)＝－3＜0，f (－1)f (0)＞0，A 不正确；同理可验证B ，D 不正确，对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3＜0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2＞0，f (1)f (2)＜0.故f (x )的零点位于区间(1,2)．(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0，得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7＞0(舍)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D. 答案 (1)C (2)D规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f (x )＝g (x )的根，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，函数F (x )的零点即方程f (x )＝g (x )的根．【训练1】 (2015·莱芜一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.答案 D考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点． 法二 作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的大致图象如图1.图1可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.图2∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝ －(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【训练2】 (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2014·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)解析 (1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0.所以0＜a ＜3.(2)画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D.答案 (1)C (2)D考点三 与二次函数有关的零点问题【例3】 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根， 不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)． 规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练3】 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解 法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0， 由根与系数的关系， 得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0， 即a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.法二 函数图象大致如图，则有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1. 故实数a 的取值范围是(－2,1).[思想方法]1．判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．[易错防范]1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 因为函数y ＝2x，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内只有一个零点，故选B.答案 B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1,2)．答案 B3．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析 依题意，注意到f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )·(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知函数f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.答案 A4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15D ．(－∞，－1)解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.答案 B5．已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2＜x 1＜x 3B ．x 1＜x 2＜x 3C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 1解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 B 二、填空题6．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．解析 函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2. 答案 27．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 三、解答题9．若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4 a ＋1 ≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ t ＋1 ＋2t ＋1， 其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．10．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围．解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝2m ＋1<0，f －1 ＝2>0，f 1 ＝4m ＋2<0，f 2 ＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( )A ．0B ．－14C ．0或－14D ．2解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．答案 C12．(2014·洛阳统一考试)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(4，＋∞)C ．(0,2)D ．(2，＋∞)解析 依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4，选B.答案 B13．(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析 函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数． 解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2(x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝ x －1 x －3x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又因为g (x )在(3，＋∞)单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)只有1个零点.。
