局解、复习选择填空复习课程

六年级课程复习中的常见填空问题及解决方法在六年级的学习过程中，填空题是非常常见的题型之一。

然而，同学们在完成这类题目时经常会遇到各种困难和问题。

本文将针对六年级课程复习中常见的填空问题，提出解决方法，并给出一些实用的技巧和建议，帮助同学们更好地应对填空题。

一、语法规则理解不到位很多填空题需要根据语法规则来进行填写，然而同学们在掌握语法知识方面可能存在一些困难。

比如，对于时态、语态、代词和介词等的使用掌握不够，就容易在填空题中出错。

解决方法：1.加强语法学习：合理安排时间，系统学习语法知识，理解各个语法概念的含义和作用，熟悉各种语法规则的应用。

2.查漏补缺：如果发现自己在某个语法点上存在不足，可以回顾相关知识点并进行练习，与老师、同学进行交流和探讨，加深理解。

二、词汇量不足填空题通常要求填写合适的单词或短语，而同学们的词汇量可能有限，难以找到合适的词汇进行填空。

解决方法：1.积累词汇：刻意扩大自己的词汇量，在学习过程中多积累、多记忆新词汇，逐渐提高自己的词汇水平。

2.查找资源：在遇到填空题时，可以通过查找工具书、字典、词典等资源来寻找适当的词汇，以便填写题目。

三、语境理解有误填空题通常需要通过上下文的语境来确定正确答案，但是同学们可能对于语境的理解存在偏差，导致填写错误。

解决方法：1.细读题目：仔细阅读题干以及前后文，理解上下文之间的逻辑关系和脉络，把握整体语境，避免对句子的理解产生歧义。

2.注意细节：注意细读每个选项，在选项中寻找与上下文相呼应的线索，以确定最佳答案。

四、缺乏解题技巧和策略填空题是有技巧和策略可循的，但同学们可能缺乏相应的解题技巧和策略，导致解题效率低下。

解决方法：1.划关键词：在阅读题目时可以划出一些关键词，以便更好地理解句子的意思，同时能够根据关键词更准确地选择答案。

2.排除干扰项：在遇到较难的填空题时，可以先排除干扰项，将答案范围缩小，再根据上下文和语境选择合适的填空。

3.反复推敲：对于难以确定的填空题，可以多次推敲，换一种角度思考，尝试不同的可能性来确定最佳答案。

中考数学第二轮总复习精讲精练方法技巧当堂训练强化训练专题03 客观题解题技巧填空多解题知识梳理题型概述考点归纳 填空多解题是近几年中考的常题型,这类试题综合性较强,在解答时需要灵活运用分类讨论和数形结合的数学思想方法求解,解题时常因考虑不全或不严谨,导致漏解、错解,所以考生必须熟练掌握这一题型的特征与解法.分类讨论是重要的数学思想,也是重要的解题策略,很多数学问题很难从整体上去解决,若将其划分为几个局部问题,逐个予以解决.基本方法:①确定讨论对象以及所讨论对象的全体范围；②确定分类标准,合理分类,即标准统一、不重不漏、分类互斥；③对各个分类逐步进行讨论,分层进行,获取阶段性结果；④最后进行归纳总结,综合得出结论.知识点等腰三角形的腰底不确定01直角三角形的直角不确定02全等相似的对应关系不确定03图形的位置不确定04【例1】(2016·T12)如图,是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB 上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(AEP),使点P落在长方形ABCD 的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是__________.P 1P 2P 3D EBAC 等腰三角形的分类讨论①以OA为底---作OA的垂直平分线②以OA为腰---作⊙O 和⊙A如图,点A的坐标为(2,1),在坐标轴上确定一点P,使△PAO是等腰三角形,则点P的坐标为____________________.AOxy P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 8等腰三角形的分类讨论：①以OA为底---作OA的垂直平分线②以OA为腰---作⊙O 和⊙A1.已知三角形的边长都是方程x 2-6x+8=0的解,则这个等腰三角形的周长为__________.2.矩形ABCD中,AD=2AB,点P在AD边上,若△PBC是等腰三角形,则∠PBC的度数为_____________.3.等腰△ABC中AB=AC,D,E分别是AC,AB上两点,连接BD,CE,BD=CE,且BC＞BD,∠A=48º,∠BCE=36º,则∠ADB=___________.6,10或12 A C BDP 1P 2P 3H30º,45º或75º∠PBC=45º或30º或75ºD 1D 2102º或78ºAE CB48º36º4.如图,已知A(0,2),点P是直线y=0.5x+4在第一象限上一点,点B在x正半轴上,当△APB是等腰三角形时,点P的坐标为___________________.5.如图,已知点A(2,0),⊙A的半径为1,OB切⊙A于点B,点P为⊙A上的动点,当△POB是等腰三角形时,点P的坐标为_______________.y OxA BPyAB Ox知识点等腰三角形的腰底不确定01直角三角形的直角不确定02全等相似的对应关系不确定03图形的位置不确定04【例2】(2015·T14)如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60º,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为_____________.A CBOP2P3①以定点为直角顶点 ---作两条垂线②以动点为直角顶点 ---作圆知识点二典例精讲直角三角形的直角不确定A CBOP11.已知x、y为直角三角形的两边的长,且满足 ,则第三边的长为_____________.2.直线y=kx+2过点A(2,4),与x轴相交于点B,若点P是坐标轴上一点,△PAB是直角三角形,则点P的坐标______________________________________.3.如图,在□ABCD中,AD=10,tanB=2,AE⊥BC于点E,且AE=4cm,点P是BC边上一动点,若△PAD是直角三角形,则BP的长为_________cm.知识点二当堂训练直角三角形的直角不确定A P 1P 3y x O BP 6P 5P 4P 2P 2P 1A DC BP 32,4或104.如图,两个等边△ABC和△DEF的边BC,EF均在直线l上,AB=3,DE=6,CE=2,将△ABC沿直线l向右平移,连接AE,AD,当△AED为直角三角形时,平移的距离为_________.AFE DC B lFEDAC BlADlAC B FE D2,8或11知识点二当堂训练直角三角形的直角不确定知识点等腰三角形的腰底不确定01直角三角形的直角不确定02全等相似的对应关系不确定03图形的位置不确定04【例3】如图,已知直角梯形ABCD,∠A=∠B=90º,AD=2,BC=8，AB=10.在线段AB上一点P,使△ADP与△BCP相似,则AP的长为____________.AD CBP3x10-x81.如图,矩形ABCD的边AB=4,AD=10.点P是BC边上的一点,若△ABP与△CDP 相似,则BP的长为__________. 点,若△PAE与△PBC是相似三角形,则AP=__________2或5或8A PCB4x 10-xDP34x 8-x3.在平面直角坐标系中,已知A(4,0),B(0,8),C(-2,0),D(0,-4),那么△ABO 与△CDO相似,若点D在y轴上移动后,以C、D、O为顶点的三角形仍与△ABO 相似,则点D的坐标可能是_________________4.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标是(2,0),点B的坐标是(0,4),点C在x轴上运动(不与点A重合),点D在y轴上运动(不与点B重合),当点C的坐标为____________________时,以点C,O,D为顶点的三角形与△AOB全等.(0,-1),(0,1),(0,4)(-4,0),(-2,0),(4,0) y O xAB DC 1C 3DD C 2知识点等腰三角形的腰底不确定01直角三角形的直角不确定02全等相似的对应关系不确定03图形的位置不确定04【例4】(2017·T12)已知点A(0,4),B(7,0),C(7,4),连接AC,BC得到矩形AOBC,点D的边AC上,将边OA沿OD折叠，点A的对应边为A´.若点A´到矩形较长两对边的距离之比为1:3,则点A´的坐标为_____________________.ABCx Oy DA´A´A´利用隐圆找出点P ；1.如图,点A,B,C在数轴上对应的数分别为-3,1,9.它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动,设同时运动时间为t秒.若A,B,C三点中,有一点恰好为另外两点所连线段的中点,则t的值为__________.9-112345678-2-3A CB 1或6或162.(2012·T14)如图正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕其顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是__________.3.(2013·T14)平面内有四个点A,O,B,C,其中∠AOB=120º,∠ACB=60º,AO=BO=2,则满足题意的OC长度为整数的值可以是__________．15º或165ºAE FCD B EFO BACC2,3或4【变式】在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=72º,点P在△ABC的外部,如果PA=CA,那么∠BPC=__________.36º或144º4.(2019·T12)在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直线AB上,若DA=1,CP⊥DP于点P,则点P的坐标为_________________________.CBAy xOD 1D 2P 1P 2P 3①利用隐圆找出点P；②利用用一线三直角求解.5.(2014·T14)在Rt△ABC中,∠A=90º,有一个锐角为60º,BC=6.若P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30º,则CP的长为_____________.6.(2018·T12)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为_____________．P 1AB C P 2P 3知识点四当堂训练图形的位置不确定AO DC B P P P1.解题策略不确定性问题几个确定性问题分类转化简、易繁、难2.基本思路 (1)找：找到题中的不确定因素和确定条件；(2)分：确定分类标准,进行合理分类,对各个分类逐步进行分层讨论； (定位)→作垂直平分线，垂线，圆(圆弧)…； (定值)→解直角三角形，三角函数，勾股定理. (3)综：归纳总结，得出结论.知识梳理课堂小结填空多解题。

第一章 头部复习题一、填空题1.头部由_____________和______________两部分组成。

2.额顶枕区软组织的层次由浅入深为：____、_____、___、___和___。

3.在________与_____相交处可角触及面动脉博动,面动脉供血区出血时，可压迫此处止血。

4.腮腺分为浅、深两部，浅部覆盖于___浅面；深部位于____的深面。

5.腮腺管在_________处向前横行越过咬肌表面，开口于_______。

腮腺管的体表投影相当于的_______中点至________连线的中 1/3段。

6.帽状腱膜前连______________，后连________________。

7.缝合头皮时应注意将_____缝合，头皮撕脱伤多自______层分离。

8.面静脉经______、_____与海绵窦相交通，借______与翼丛相连通。

9 纵行穿经腮腺内部的血管神经有_________、_______及_________。

10.面神经穿经腮腺后分支______、______、_____、______及______。

11.头皮由________，___________，_________________组成。

12.面部危险三角指_________与__________之间的三角形区域。

13.管理面部感觉是三叉神经的分支_____，_____，与_____神经分布。

14.腮腺床由__________，____________，_______________组成。

二、名词解释1.头皮2.颅顶部的"危险区"3.面部“危险三角”4.腮腺床5.腮腺鞘）三、是非题（对的打“√”、错的打“×”1.头部包括颅脑部和颌面部。

2.额顶枕区软组织称头皮。

3.面动脉的体表投影是下颌骨下缘和咬肌的交点经口角外侧 1cm处至内眦的连线。

4.颅骨骨膜下血肿常限于一块颅骨范围。

5.颞区由于有颞肌和颞筋膜的保护，故为开颅手术常采用的部位。

大 题 数 大 解析几第 1 讲快速解决选择填空题知识前言高考各类题型所占分值与建议解题时间比例示意6050 40 30 20 10分值时间题 题 题 小 小 大般 新 道一 创 三前题 导 何 题创新大【教师备案】⑴ 从图中可以看出只有在解一般小题和前三道大题时提高解题效率，节约考试时间才能保证有充 足的时间冲刺高分；⑵ 解选择填空题时一定要灵活使用直接法与间接法；由于平时对直接法已经作了充分的训练，在 本讲中集中系统的讲解间接法；⑶ 不要苛求一气呵成的解决选择填空题，对使用间接法解决的题目，可以先做好标记，然后在有 空余时间时再进行一般性检查．【教师备案】选择填空题解题策略对于简单题目和选择支对解题思路没有明显帮助时使用直接法；其他情形可以尝试使用间接法． 当间接法不能奏效时，还需回到直接法进行求解．无论使用何种方法，一定要尽量做到：能使用逻 辑知识判断的就不使用具体数学知识；能使用低级数学知识的就不使用高级数学知识；能粗略的定性 判断的就不做精细的定量计算．【教师备案】三轮复习·第 1 讲·尖子班·教师版1； 讲次尖子班 目标班 说明第 1 讲 快速解决选择填空题 第 2 讲 前三道解答题满分策略 第 3 讲 导数解答题针对性突破第 4 讲 解析几何解答题应对策略与计算技巧 第 5 讲 创新小题类型全解 第 6 讲 创新大题高分攻略 第 7 讲知识点与易错题精讲第 8 讲 查漏补缺1 11.51.5 1.5 0 1.50 10.511.5 1.511.5板块一 特殊值法与排除法特殊值法和排除法都属于间接法，在实际解题中这两种方法往往交替使用．间接法总的原则是两个 方面：“利己排他”． “利己”的意思是尽量挑选容易思考和计算的方面进行思考，这是特殊值法的主要 思想；“排他”的意思是要以排除错误选择支为目的，这是排除法的主要思想．特殊值法知识点睛以下这里的“值”，不再指“数值”，而是各参数的具体取值的总和，表征一种状态．当选择支互斥（或互斥程度很高时）时，可以考虑将条件特殊化为方便求解结论的形式，得到最 终答案．例如所要求的结论是定值，就是选择支完全互斥的一种常见体现．如果选择支并不完全互斥， 那么特殊值法可能只能排除个别选择支，此时特殊值法就相当于排除法．特殊值法的具体的步骤为： ① 判断选择支的互斥程度；② 特殊化条件，使得结论易求； ③ 求解结论．由于对于填空题而言并不是所有的题目所要求的结论均为定值，因此在有空余时间时需要进一步 的一般性证明．步骤如下：① 判断所要求的结论是否为定值（也就是说如果用特殊值法求解，答案是否具有排他性） ② 特殊化条件，使得结论易求； ③ 求解结论；④ 对于结论可能不为定值的，进行一般性检查．常见的特殊值取法有以具体数值代替约束条件、特殊函数（数列） 特殊几何图形等等．2三轮复习·第 1 讲·尖子班·教师版⑴（2012 年山东理）设变量 x , y 满足约束条件 ⎨2 x + y ≤ 4 ，则目标函数 z = 3x - y 的取值范⎪4 x - y ≥ -1 A ． ⎢- ,6⎥ B ． ⎢- , - 1⎥ C ． [-1, 6] D ． ⎢-6 , ⎦C ． ⎪⎝ 3 ⎭ D ．B ． ⎪ A ． -B ．C ． -1D ．1⑵ （2011 年福建理）已知O 是坐标原点，点 A (-1, 1) ，点 M (x , y )为平面区域 ⎨ x ≤1上 ⎪ y ≤ 2考点 1：以具体数值代替约束条件经典精讲例1围是（ ）⎧ x + 2 y ≥ 2 ⎪ ⎩⎡ 3 ⎣ 2 ⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 3 ⎤ 2 ⎥⑵（2012 年大纲）已知数列{an} 的前 n 项和为 S ， a = 1 ， S = 2a n 1 n n +1，则 S = （ ）nA ． 2n -1⎛ 3 ⎫n -1⎝ 2 ⎭⎛ 2 ⎫n -1 12n -1⑶（2012 年重庆）若 f (x ) = (x + a )(x - 4) 为偶函数，则实数 a = ；⑷（2011 年浙江）在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c ，若 a cos A =b sin B ，则 sin2 A + cos2 B = （ ）1 1 22【解析】⑴ A ．⑵ B ． ⑶ 4 ．⑷ D ．备选1⑴ 若 a > b > c ，则 1 1 3 +a -b b -c a - c（填“ > ”、“ = ”或“ < ”）⎧ x + y ≥ 2⎪ ⎩的一个动点，则 OA ⋅ OM 的取值范围是（ ） A ． [-1, 0] B ． [0 , 1] C ． [0 , 2]D ． [-1, 2]【解析】⑴ > ． ⑵ C ．备选2⑴（2011 年辽宁文）若等比数列{a n}满足 a an n +1= 16n ，则公比为（ ）A ． 2B ． 4C ． 8D ．16⑵（2012 年江西文）等比数列 {a n}的前 n 项和为 S n，公比不为1 ．若 a = 1 ，则对任意的 n ∈ N *1都有 an +2【解析】⑴ B ． ⑵ 11．+ an +1- 2a = 0 ，则 S = ．n 5三轮复习·第 1 讲·尖子班·教师版3B ．C ．D ．n}的前 n项和为S1 B ⋅备选3（2011 年浙江理）若函数 f (x ) = x 2 - x + a 为偶函数，则实数 a =；【解析】 0 ．备选4（2012 年湖北理 11 改编）设 △ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ．若 (a + b - c )( a + b + c ) =3 ab ，则 C = （ ）A ． π π π π6 3 4 2【解析】B ．考点 2：以特殊函数（数列）代替抽象函数（数列）经典精讲例2⑴ 函数 f (x ) 的定义域为 R ， f (-1) = 2 ，对任意 x ∈ R ， f ' (x ) > π ，则 f (x ) >x + 3 的解集为（ ） A ． (-1, 1)B ． (-1, + ∞ )C ． (-∞ , - 1)D ． (-∞ , + ∞ )⑵（2009 年辽宁理）等差数列{a n，且 6S - 5S = 5 ，则 a = ．5 3 4【解析】⑴ B ．⑵． 3备选5⑴ 函数 f (x ) = M sin (ω x + ϕ ) （ ω > 0 ）在 [a , b ]上是增函数，且 f (a ) = -M ， f (b ) = M ， 则函数 g (x ) = M cos (ω x + ϕ )在 [a , b ]上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值 MD ．可以取得最小值 -M ⑵ （2012 年江苏）已知函数 f (x ) = x 2 + ax + b （ a , b ∈ R ）的值域 [0 , + ∞ ) ，若关于 x 的不 等式 f (x ) < c 的解集为 (m , m + 6) ，则实数 c 的值为．【解析】⑴ C ．⑵ 9 ．考点 3：以特殊几何图形代替一般几何图形．经典精讲例3⑴（2012 年浙江理）在 △ABC 中，M 是 BC 的中点，AM = 3 ，BC = 10 ，则 A AC = ________．4三轮复习·第 1 讲·尖子班·教师版A ． -B ． -C ．D ．⋅BPC + + = 6 cosC ，则 +b cA ．B ． 8 - 4 3C ． 1D ．⑵在 △ABC 中，M 是 BC 的中点，AM = 1 ，点 P 在 AM 上且满足 AP = 2PM ，则 PA P ( )等于（ ）4 4 4 4 9 3 3 9⑶ （ 2010 年江苏）在锐角三角形 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．若b a tan C tan Ca b tan A tan B【解析】⑴ -16 ．⑵ A ． ⑶ 4 ．的值是 ．备选6（2011 年重庆理）若 △ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、 、 ，满足 (a + b )2 - c 2 = 4 ，且 C = 60︒ ，则 ab 的值为（）4 233【解析】A ．排除法知识点睛如果我们发现没有较好的特殊值可以方便的排除选择支，此时可以从选择支出发从选择支的互斥部分（可以是特殊值也可以是某些性质）中抽取方便计算的待检样例或是方便验证的性质，通过代回 题干对这些待检样例或性质的检验可以排除一个或多个选择支，这种方法称为排除法．根据互斥部分 的不同，排除法可以是特例排除和性质排除．排除法的具体的步骤为：① 判断选择支的互斥部分；② 从互斥部分中抽取方便计算的待检样例；③ 将对待检样例进行检验，从而达到排除错误选择支的目的．无论从哪个角度进行排除，其思路核心都是找到最有效的待检样例或性质．要做到这一点，就必 须在解题过程中保持对选择支的关注，并对其进行认真细致的观察．考点 4：性质排除三轮复习·第 1 讲·尖子班·教师版5D⎪ ，则当 0 ≤ t ≤12 时，动点 A 的纵坐标 y 旋转一周，已知时间 t = 0 时，点 A 的坐标是 , ⎭⑴（2012 年山东理）若θ ∈ ⎢ , ⎥ ， sin 2θ = ，则 sin θ = （）A ．B ．C ．D ．A ． y = ⎢ ⎥B ． y = ⎢C ． y = ⎢D ． y = ⎢⎣10 ⎦ ⎣ 10 ⎦ ⎣ 10 ⎦⎣ 10 ⎦74经典精讲例4⑴（2011 年山东）函数 y = yx 2- 2sin x 的图象大致是（ ）y y yOx O x O xO xA ．A. B ．B. C ．C.D. ⑵（2010 年安徽理）动点 A (x , y ) 在圆 x 2 + y 2 = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒⎛ 1 3 ⎫⎝ 2 2 ⎪关于 t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ） A ． [0 , 1]B ． [1 , 7]C ． [7 , 12]D ． [0 , 1]和 [7 , 12]【解析】⑴ C ．⑵ D ．考点 5：特例排除经典精讲例5⎡ π π ⎤ 3 73 4 3 5 5 4⑵ 为了了解某树林中树木的健康情况，在每 10 棵树中挑选 1 棵进行检查，树木数量除以 10 的余数大于 6 时再增加 1 棵进行检查．那么，需要检查的树木数量 y 与树木的总数量 x 之间 的函数关系用取整函数 y = [x ] （ [x ]表示不大于 x 的最大整数）可以表示为（）⎡ x ⎤⎡ x + 3 ⎤⎡ x + 4 ⎤⎡ x + 5 ⎤⎥⎥ ⎥【解析】⑴ D ．⑵ B ．备选7（2011年江西理）若f(x)=x2-2x-4ln x，则f'(x)>0的解集为（）A．(0,+∞)B．(-1,0)(2,+∞)C．(2,+∞)D．(-1,0)6三轮复习·第1讲·尖子班·教师版⎧⎪m1-x2,x∈(-1,1]A．B．C． ，⎪D． ，7⎪，⎪⎪，7⎪⎪【解析】C．备选8已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1，g(x)=mx，若对于任一实数x，f(x)和g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．(0,2)B．(0,8)C．(2,8)D．(-∞,0)【解析】B．考点6：从选项中提炼出合适的待检样例经典精讲例6⑴（2012年大纲卷理）已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．-2或2B．-9或3C．-1或1D．-3或1⑵（2009年重庆）已知以T=4为周期的函数f(x)=⎨，其中m>0．若⎪⎩1-x-2,x∈(1,3]方程3f(x)=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）⎛158⎫⎛15⎫⎛48⎫⎛4⎫⎝33⎭⎝3⎭⎝33⎭⎝3⎭【解析】⑴A．⑵B．备选9（2011年四川文）数列{an }的前n项和为Sn，若a=1，a1n+1=3S（n≥1），则a=（）n6A．3⨯44B．3⨯44+1C．45D．45+1【解析】A．板块二极限思想有时候我们无法得到方便求解结论的特殊值（或者出题人有意避免我们取方便求解结论的特殊值），此时可以利用极限的思想把条件极端化，利用状态连续变化的特点（中学阶段问题的一大特征）解决问题．考点7：极限思想三轮复习·第1讲·尖子班·教师版7⑵（2012 年新课标全国卷）已知ω > 0 ，函数 f (x ) = sin ω x + ⎪ 在 , π ⎪ 上单调递减，则ωA ． ⎢ ,B ． ⎢ ,C ． 0, ⎥【解析】⑴ π ，π ⎪ ( )【解析】 ， (n + 1)(n + 2)．经典精讲例7⑴ 在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ；的取值范围是（ ）⎛ ⎝π ⎫ ⎛ π 4 ⎭ ⎝ 2 ⎫ ⎭⎡ 1 ⎣ 2 5 ⎤ ⎡ 1 4 ⎥⎦ ⎣ 2 3 ⎤ ⎛ 1 ⎤ 4 ⎥⎦ ⎝ 2 ⎦D ． (0, 2]⎛ n - 2 ⎫ ⎝ n ⎭ ⑵ A ．备选10 已知四面体四个面的面积分别为 S 、 S 、 S 、 S ，且 S ≤ S ≤S ≤S ，则 1 2 3 4 1 2 3 4 S + S +S1 2S43 的取 值范围是（）A ． (2 , 3)B ． (2 , 3]C ． [1, 3]D ． (1 , 3]【解析】D ．备选11 点 P 为锐角 △ABC 的外心，且 AC = 4 , AB = 2 ，则 AP ⋅ AC - AB = （）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8【解析】C ．备选12 （2009 年湖南理）将正△ABC 分割成 n 2 （ n ≥ 2 ， n ∈ N * ）个全等的小正三角形（图中分别给出了 n = 2 和 n = 3 的情形），在每个三角形的定点各放置一个数，使位于 △ABC 的三边及平 行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于 3 时）都分别依次成等差数列．若顶点 A 、B 、 C 处 的 三 个 数 互 不 相 同 和 为 1 ， 记 所 有 顶 点 上 的 数 之 和 为 f (n ) ， 则 有 f (2) = 2 ，f (3) =，…， f (n ) =．AABC B C10 1 3 68三轮复习·第 1 讲·尖子班·教师版某同学已正确算得 OE 的方程为 - ⎪ x + - ⎪ y = 0 ，那么直线 OF 的方程为 ________x + - ⎪ y = 0 ． 【解析】⑴ - ．（2010 年天津理）设函数 f (x ) = ⎨log (- x ) , x < 0 ，若 f (a ) > f (-a ) ，则实数 a 的取值范围⎪⎩板块三 对称思想考点 8：对称思想经典精讲例8⑴（2008 年江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A (0, a ) ， B (b , 0)， C (c , 0)；点 P (0, p ) 在线段 AO 上（异于端点），设 a , b , c , p 为非零常数．设直线 BP 、 CP 分别与边 AC 、 AB 交于点 E 、 F ．y AFP EBOC x⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝ b c ⎭ ⎝ p a ⎭ ⎛ 1 1 ⎫ ⎝ p a ⎭⑵（2011 年安徽理）函数 f (x ) = ax m (1 - x )n 在区间 [0 , 1]上的图象如图所示，则 m , n 的值可能是（）yO0.5 1 xA ． m = 1 ， n = 1B ． m = 1 ， n = 2C ． m = 2 ， n = 1D ． m = 3 ， n = 11 1c b⑵ B ．备选13是（ ） ⎧log x , x > 0⎪ 2 12A ． (-1, 0)(0 , 1) B ． (-∞ , - 1) (1, + ∞ )C ． (-1, 0) (1, + ∞ )D ． (-∞ , - 1) (0 , 1)三轮复习·第 1 讲·尖子班·教师版 9AQ = (1 - λ ) A C ， λ ∈ R ．若 BQ ⋅ CP = - ，则 λ = （）B ．C ．D ．f ) 已知 x , y , z > 0 ， x + y + z = 1 ，则 ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ 的最小值为．备选14 （ 2012 年天津理）已知 △ABC 为等边三角形， AB = 2 ．设点 P 、 Q 满足 AP = λ AB ，32A ．1 21 ±2 1 ± 10 -3 ± 2 2 2 2 2【解析】A ．备选15 （2012 年海淀二模）某同学为研究函数 f (x ) = 1 + x 2 + 1 + (1 - x )2 （ 0 ≤ x ≤1 ）的性质，构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ，点 P 是边 BC 上的一个动点，设CP = x ， 则 AP + PF = ( x ． 请 你 参 考 这 些 信 息 ， 推 知 函 数 f (x ) 的 图 象 对 称 轴 方 程 是；函数 g (x ) = 4 f (x ) - 9 的零点的个数是．DC FPABE【解析】 x = 1； 2 ．2考点 9：对称最值问题知识点睛由于在中学数学阶段状态都是连续变化，于是对称最值问题的最值状态往往是参数在平均状态（这种 状态一般称为均值）或者极端状态（这种状态一般称为边界值）时取得，因此我们可以利用这一特点 快速解决对称最值问题．需要注意在实际解题时可以跳过较难考虑的某些边界值．此外，在中学阶段均值处一定是极值位置， 但并非所有对称最值问题的最值都是在均值处或边界值处取得的，在时间允许的情况下，应该对一般 性进行检验．【备注】“连续变化”这个条件很重要．中学阶段破坏“连续变化”常见的情况有分段产生跳跃点（高斯函数）和离散化（数列）．如下题：⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎣ x ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣ z ⎦10+⎢⎥+⎢⎥的最小值位置可以由(x,y,z)= ,,⎪调整得到：将(x,y,z)从 ,,⎪调整到 +ε,+ε,-2ε⎪（其中ε足够小），则 ⎢⎥,⎢⎥,⎢⎥⎪从(3,3,3)调整为(2,2,3)．接下来证明⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥≥7．⎢x⎥+⎢⎥+⎢⎥> -1⎪+ -1⎪+ -1⎪=⎣⎦11⎝y x⎭⎝z y⎭⎝z⎪≥6．即⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥>6，但⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥是整数，因此⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥≥7．例9⎛1⎫⎛1⎫⎛1⑴若a,b,c>0，且a+b+c=1，则 -1⎪-1⎪-1⎪的最小值是．(D．(-∞,2-2)⎡1+3,+∞⎡2+22,+∞⎦⎦⎣⎦⎦⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎛111⎫⎢x⎥⎣y⎦⎣z⎦⎝333⎭⎛111⎫⎛1⎫⎝333⎭⎝333⎭⎛⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎫⎝⎣x⎦⎣y⎦⎣z⎦⎭⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎣x⎦⎣y⎦⎣z⎦⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫y+z z+x x+y⎣⎦⎣y⎦⎣z⎦⎝x⎭⎝y⎭⎝z⎭x+y+z⎛x y⎫⎛y z⎫⎛x=+⎪++⎪++z⎫x⎭⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎣x⎦⎣y⎦⎣z⎦⎣x⎦⎣y⎦⎣z⎦⎣x⎦⎣y⎦⎣z⎦经典精讲⎫⎝a⎭⎝b⎭⎝c⎭⑵（2009年安徽理）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120︒．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC=xOA+yOB，其中x,y∈R，则x+y的最大值是．B CO A⑶（2012年天津）设m,n∈R，若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．⎡⎣1-3,1+3⎤B．-∞,1-3⎤C．⎡2-22,2+22⎤2⎤⎣⎣)【解析】⑴8．⑵2．⑶D．备选16（2011年陕西）植树节某班20名学生在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相11B ．C ． 2 3D ．c c距 10 米．开始时需将树苗集中放置在某一棵树旁边．现将树坑从 1 到 20 依次编号，为使各 位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号 为（ ）A ．1 和 20B ．9 和 10C ．9 和 11D ．10 和 11【解析】D ．π 备选17 如图，P 是 ∠AOB 内的一点，∠AOB =，OP = 2 ．过 P 向角的两边作垂线，垂足分别为 M 、4N ．则 △PMN 面积的最大值为．边界值处B B B NNNPP均值处 POM AO MA边界值处O M A【解析】 2 - 1 2．备选18 过圆 x 2 + y 2 = 4 内一点 P (1 , 1) 作互相垂直的弦 AB 、 CD ，则 A 、 B 、 C 、 D 形成的四边形面积的最大值为．【解析】 6 ．备选19 ⑴ （2010 年全国大纲卷 I 理）已知半径为 2 的球面上有 A 、B 、C 、D 四点，若 AB = CD = 2 ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（ ）A ． 2 3 4 3 8 3 3 3 3⑵ （2012 年上海理）如图，AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱，BC = 2 ．若 AD = 2 ， 且 AB + BD = AC + CD = 2a ，其中 a 、 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值为． ABCD【解析】⑴ B ．⑵2c3a 2 - c 2 - 1 ．123π()()( )()实战演练练习1已知方程 (x - a )2 + ( y - b )2 = r 2 的曲线如图，则直线 ax + by + r = 0 与直线 x - y + 1 = 0 的交点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限yOx【解析】 A ．练习2（2011 年江西理）已知数列 {a n }的前 n 项和 S n满足 S + S = Sn mn +m，且 a = 1 ，那么 a =（ ）1 10A ．1B ． 9C ． 10D ． 55【解析】A ．练习3（2012 年江西理）在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 P A 2 + PB 2= （PC 2）A ．2B ．4C ．5D ．10【解析】D ．练习4（2010 年天津理）设集合 A = {x | x - a < 1, x ∈ R }，B = {x | x - b > 2}，若 A ⊆ B ，则实数 a , b必满足（ ） A ． a + b ≤ 3B ． a + b ≥ 3C ． a - b ≤ 3D ． a - b ≥ 3【解析】 D ．练习5在平面直角坐标系中，点 O (0 , 0) ， P (6 , 8)，将向量 OP 绕点 O 按逆时针旋转量 OQ ，则点 Q 的坐标是（）4后得到向 A ． -7 2 , - 2B ． -7 2 , 2C ． -4 6 , - 2D ． -4 6 , 2【解析】A ．练习6对任意的锐角 α , β ，下列不等关系中正确的是（ ）13A．sin(α+β)>sinα+sinβB．sin(α+β)>cosα+cosβC．cos(α+β)<sinα+sinβD．cos(α+β)<cosα+cosβ【解析】D．练习7在△ABC中，a+b+c=10，cos C=7，则△ABC面积的最大值为．8【解析】15．14。

局解复习内容提要及自我检测下肢【内容提要】一、下肢浅层结构(一)大隐静脉最大、行径最长的人体浅静脉。

1.行径始于足背静脉网内侧端，行经内踝尖前方一横指，髌骨内缘四横指，最后达耻骨结节下外3—4cm处，穿隐静脉裂孔注入股静脉。

2.高位属支大隐静脉的五种高位属支是腹壁浅静脉，旋髂浅静脉，阴部外静脉，股内侧浅静脉，股外侧浅静脉。

其中前三种有同名浅动脉伴行（源于股动脉）。

高位属支形式多样，通常汇入大隐静脉的最后5—7cm段。

3.穿通支大隐静脉本干通过穿通支与深静脉沟通。

穿通支规则地沿着肌间隔行走，多出现在膝关节上、下10cm及小腿中下1/3交界段。

4.瓣膜静脉瓣配布于浅静脉穿深筋膜之前以及穿通支汇入深静脉之前，其中以穿筛筋膜之前，以及大隐静脉末端注入股静脉处两对瓣膜最为重要。

5.伴行结构行径中在小腿段有隐神经，膝段有膝降动脉隐支，股段有股内侧皮神经与之伴行。

(二)腹股沟浅淋巴结位于腹股沟韧带下方、浅筋膜内。

1.纵群 4—5个沿大隐静脉上端纵行排列，引流足、小腿内侧及大腿的浅淋巴。

2.横（斜）群 5—7个沿腹股沟韧带下方排列引流腹壁下部、臀部、会阴部及外生殖器的浅淋巴。

二、股前内侧区(一) 深筋膜即阔筋膜。

有下述特点：①在耻骨结节下外方3~4厘米大隐静脉汇入股静脉处，深筋膜变得稀疏多孔，称筛筋膜。

围界筛筋膜的圆形或椭圆形的裂孔，即隐静脉裂孔。

②外侧份增厚形成髂胫束。

③向深部发出内、外、后三个肌间隔，附着于股骨粗线。

(二)股三角1.境界底边：腹股沟韧带顶：阔筋膜外侧界：缝匠肌内侧缘底：髂腰肌、耻骨肌、长收肌内侧界：长收肌内侧缘尖：缝匠肌、长收肌内侧缘交界处，距底边10—15cm。

2.肌腔隙和血管腔隙腹股沟韧带与髋骨间的间隙被髂耻弓（连于腹股沟韧带与髂耻隆起之间）分隔为内、外侧两部，分别称为血管腔隙和肌腔隙。

（1）肌腔隙位于外侧。

前界为腹股沟韧带，后外侧界为髂骨，内侧界为髂耻弓。

髂腰肌和股神经通过此间隙。

（2）血管腔隙前界为腹股沟韧带，外侧界为髂耻弓，内侧界为腔隙韧带（陷窝韧带），后界为耻骨梳韧带。

专题一 选择、填空题常用的10种解法抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原那么与策略：1.基本原那么：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的顺序排列.2.注重基本知识、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法灵活多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法那么等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．假设|F 1A |＝|F 1F 2|，那么C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，那么由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.应选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如[本例]中根据双曲线的定义和条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后根据椭圆定义求出其长轴长，最后就可根据离心率的定义求值．[技法体验]1．(2017·广州模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，假设x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，那么|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2016·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.假设点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，那么|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.假设△F 1PF 2为锐角三角形，那么由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排除法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排除干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略． [例2] (2016·高考浙江卷)实数a ，b ，c ( )A ．假设|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，那么a 2＋b 2＋c 2<100 B ．假设|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，那么a 2＋b 2＋c 2<100 C ．假设|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，那么a 2＋b 2＋c 2<100 D ．假设|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，那么a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排除法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项．[技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12| ＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排除A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排除C.综上，选B. 答案：B2．E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，那么1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动〞直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，那么AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.应选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，显然，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.应选A. 答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2017·安庆模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，假设存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，那么实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 应选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解．[技法体验]1．(2017·珠海摸底)|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，那么向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，因为|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，那么|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，因为点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，那么点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等．[例4] (2017·天津红桥区模拟)椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，那么椭圆C 的标准方程是( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，因为焦点在y 轴上，应选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，根据列方程求解．[技法体验]1．假设等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，那么前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660 D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，那么前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如下图，那么f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，应选D. 答案：D方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量． [例5] 假设a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，那么( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；因为sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .应选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较复杂的计算，节省时间，是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要注意估算也要有依据，如[本例]是根据指数函数与对数函数的单调性估计每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较．[技法体验]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.假设f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，那么φ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：因为函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，假设取φ＝π2，那么2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，假设取φ＝π12，那么2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A. 答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导矛盾；(3)得结论，即说明命题成立． [例6] x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，那么以下说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，那么有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.显然两者矛盾，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少〞“至多〞类型的问题比较方便．其关键是根据假设导出矛盾——与条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．如[本例]中导出等式的矛盾，从而说明假设错误，原命题正确．[技法体验]如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，那么( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，那么△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，那么由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，显然该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．应选D. 答案：D方法七 换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 正数x ，y 满足4y －2yx＝1，那么x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×y x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝y x ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值．[技法体验]1．(2016·成都模拟)假设函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，那么t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1.令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22. ∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减， ∴t ＝0时，y max ＝1. 答案：1方法八 补集法补集法就是问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立事件，求出问题的结果，那么所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多．[例8]某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况，从三个年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，假设再从中任意抽取两个班级进行测试，那么两个班级不来自同一年级的概率为________．解析：记高一年级中抽取的班级为a 1，高二年级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三年级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一年级〞为事件A ，那么事件A 为抽取的两个班级来自同一年级． 由题意，两个班级来自同一年级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115.所以两个班级不来自同一年级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，一定要准确把握所求问题的对立事件．如[本例]中，“两个班级不来自同一年级〞的对立事件是“两个班级来自同一年级〞，而高一年级只有一个班级，所以两个班级来自同一年级的可能性仅限于来自于高二年级，或来自于高三年级，显然所包含基本事件的个数较少．[技法体验]1．(2016·四川雅安中学月考)命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，那么实数a的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.应选B. 答案：B2．函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，那么实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)假设函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，那么f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)假设函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，那么f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，假设函数f (x )在区间(1,2)上单调，那么实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以假设函数f (x )在区间(1,2)上不单调，那么实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况．[例9] 假设不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，那么a 的最小值是________．解析：由于x >0，那么由可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52，∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，那么分离参数时应注意不等号的变化，否那么就会导致错解．[技法体验]1．(2016·长沙调研)假设函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，那么实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，那么有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，那么t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，应选C.答案：C2．(2016·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，那么a 的最小值为________．解析：假设方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x 有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋2x≥1，故a 的最小值为1.答案：1方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点采取相应的解决办法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来研究另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等．[例10] m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，那么( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，那么f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 因为f (n )<f (m )，所以n <m .应选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，根据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，那么a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，那么f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，那么球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，那么正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。