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递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是 高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列{}n a 满足：存在正整数M 、T ，使得对一切大于M 的自然数n ，都有n Tn a a =+成立，则数列{}na 为周期数列。
例1、已知数列{}n a 满足 a 1 =2，a n+1 =1－n a 1，求a n 。
解: a n+1 =1－ n a 1 ∴ a n+2 =1－11+n a =－11-n a , 从而a n+3 = 1－21+n a =1＋a n －1=a n ,即数列{}n a 是以3为周期的周期数列。
又a 1 =2，a 2=1－ 21=21,a 3 =－12 , n=3k ＋1所以 a n =21,n=3k ＋2 ( k ∈N ) －1 , n=3k ＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式 a n = f (a n-1 )（n 2≥,n N ∈）及一个初始项a 1所确定的数列，且递推式中，各a n都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列{}n a 满足a n ＋1 =f (n) a n＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q （p 、q 为常数）时，数列{}n a 是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时 ，{}n a 是以q 为公差的等差数列。
（2）当q=0，p ≠0时，{}n a 是以p 为公比的等比数列。
（3）当p ≠1且q ≠0时，a n ＋1 =p a n ＋q 可化为a n ＋1－pq-1=p(a n－pq -1),此时｛a n －pq -1｝是以p 为公比，a 1－pq-1 为首项的等比数列，从而可求a n 。
例2、已知：1+n a =,252109+n a 且1041=a ，求数列}{n a 的通项公式n a 。
高考数学中的递归关系式及其应用数学作为一门基础学科，伴随着人类文明的发展，已经逐渐成为了人们生活的一部分。
而高考作为中国学子的重要一关，数学也是必考科目之一。
在高考数学中，递归关系式是一个涉及到数列的重要概念，优秀的学生应该对递归关系式有一定的认识，以便在考试中取得更好的成绩。
一、递归关系式的定义及表达式所谓递归关系式，就是一个数列中某一项的值与前面项的值有关。
具体的定义为：如果一个数列{an}，其中第一项a1已知，而每一项an(n>1)均表示为前面项的某种函数，那么这些函数就称为数列{an}的递归式，表示为an=f(an-1)。
在实际应用中，递归关系式的表达式分为两种：线性递推关系式和非线性递推关系式。
1. 线性递推关系式：线性递推关系式的表达式为an=a1+（n-1）d或an=an-1+d其中a1为数列的第一项，d为公差，n为项数，而an则为数列中的任意一项。
2. 非线性递推关系式：非线性递推关系式的表达式则更加复杂，不过它对于数学的应用却非常重要，具体可分为一些常见类型：（1）斐波那契数列：斐波那契数列是一种非常特殊的数列，其递归关系式为：F（n）=F（n-1）+F（n-2），其中F（0）=0，F（1）=1。
（2）杨辉三角：杨辉三角是一种特殊的三角形数表。
它的递推关系式为：C（n，m）=C（n-1，m）+C（n-1，m-1），其中C（n，m）表示由n个球中选取m个球的方案数。
二、递归关系式的应用1. 解题思路对于高考中的数学应用题，递归关系式主要应用于复杂场景下的求解，例如动态规划和数值算法等。
在递归关系式的应用过程中，我们需要掌握两种关键思路。
一是数学思路，这主要是通过把问题进行归纳或逆归纳，得到一些相关的数学公式。
二是计算机思路，这主要是通过建立动规方程或转移方程，实现数值计算或数值优化。
2. 动态规划动态规划是一种解决最优化问题的重要数值算法，递归关系式在其中扮演着重要的角色。
递归数列及其性质1．递归数列及其性质1．对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方n N a ＝（f a ，a ，，a ）k k*n n﹣1 n﹣2 n﹣k程，由阶递归关系及给定的前项的值（称为初始值）所确定的数列称为阶递归数列．若是k k a，a ，，a k f1 2 k线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题．2．求递归数列的常用方法：①公式法：{a } a d a ＝a （n﹣m）d是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；n 1 n m是等比数列{a } ，首项为a ，公比为q ，则其通项为푎푛=푎푚푞푛―푚；n 1푆1，(푛=1)已知数列的前项和为，则={n S S푆푛―푆푛―1，(푛≥2)．n n②迭代法：迭代恒等式：；a a a a a a a a a a a a＝（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）n n n﹣1 n﹣1 n﹣2 n﹣2 n﹣3 3 2 2 1 1푎푛푎푛―1푎푛―2푎푛―3푎3푎2迭乘恒等式：=푎푛―3×a 푎푛―4×⋯×0푎푛―1×푎푛―2×푎2×푎1×a1，；（）ann迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知，求通项；a＝b，a ＝a （f n）a1 n 1 n n类型二：已知求通项；a＝b，a ＝（f n） a a1 n 1 n n③待定系数法：类型三：已知，求通项；a＝b，a ＝pa q1 n 1 n④特征根法：类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为，其特征方程为，x 2＝px 1 qx（n 1，p、q为常数q 0）x2＝pxq n n n其根为特征根．（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确、x ＝A n B（n n 1）A、Bn定；1/ 2（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确x ＝[A B（n﹣1）]n﹣（1 n 1）A、Bn定．典型例题：已知数列满足求数列的通项．{a } *a1＝2，a2＝3，a n2＝3a n﹣12a（n n N ）{a }a n nn解：其特征方程为，解得，令，x2＝3x﹣2x1＝1，x2＝2 a ＝A1n B2nn퐴=1푎1=퐴+2퐵=2푎2=퐴+4퐵=3，得到{ 由{퐵=1，2所以＝．a 1 2n﹣1n2/ 2。
高考命题中的递归数列项又祥对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。
常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。
本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：模式一：形如)(1n f a a n n +=+递推式。
由累加法可求得通项公式为：++=）（11f a a n)1()2(-+++n f f 。
例1．（2007北京高考题）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式模式二：形如)(1n f a a n n =+递推式。
由)(1n f a a n n =+得)(1n f a a nn =+，使用累乘法可得)1()1(1f n f a a n -⋅=。
例2．已知数列}{n a 满足，11=a ，nn a a nn 11+=+，求通项公式n a 。
模式三：形如μλ+=+n n a a 1（其中λ、μ为常数）递推式，通常解法是设=-+β1n a)(βλ-n a ，求出β，因}{1ββ--+n n a a 是等比数列则可求出通项公式。
例3．（2007全国高考卷Ⅰ）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，,2,1=n ,3．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）略。
模式四：形如)(1n f a a n n +=+λ（其中λ为常数）递推式，n n n a a μλ+=+1（λ、μ为常数）是其特殊情形。
后者的等式两边同除以n μ，得111+⋅=-+n nnn a a μμλμ，令1-=n nn a b μ，则可化归为μλ+=+n n a a 1（λ、μ为常数）型。
例4．（2007天津高考题）在数列{}n a 中，∈⋅-++==++n a a a nn n n (2)2(,2111λλλ )*N ，其中0λ>．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）略；模式五：形如)()(1n g a n f a n n +=+（其中λ为常数）递推式，设数列)}({n h ，使)1()()(+=n h n h n f ，则)()1()(1n g a n h n h a n n ++=+，即）n h n g n h a n h a n n 1()()()1(1+⋅+⋅=+⋅+，令)(n h a b n n ⋅=，则)1()(1+⋅+=+n h n g b b n n ，即已化为模式一。
高考数学中的递推数列高考数学中的递推数列是一个比较重要的知识点。
在高考中，递推数列可能作为单独的一道题出现，也可能作为其他数学知识点的一个重要组成部分出现。
递推数列既涉及到数列的性质和规律，又涉及到数学问题的解决方法，因此在高考中得到了广泛的应用。
下面我将从递推数列的定义、性质、应用、解法和实例等几个方面来详细讲述递推数列的相关知识。
一、递推数列的定义和性质递推数列又称为递归数列，是一种数列计算的方法。
形式上，它可以定义为数列中每个数都是前面某个数的函数，这个函数称为递推公式。
递推数列有许多性质，其中最基本的性质是：递推数列中的每一项都可以由它前面的若干项表示。
根据这个性质，我们可以用递推公式来计算递推数列的任意项。
递归数列除了可以通过递推公式来定义，还可以根据数列中每一项之间的关系来定义。
例如斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它定义为f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
斐波那契数列的递推公式是比较简单的，但要想计算其中的具体值却需要一定的技巧和方法。
递推数列还有一些其他的性质，例如递推数列的每一项都是其前面若干项的和或乘积，或者是一些特殊的序列，例如等比数列和等差数列等。
递推数列中常常出现的一种情况是，递推数列的递推公式可以用一些特定的方法来求得，例如变形法、差法、配方法、拆分法等。
二、递推数列的应用递推数列在各种数学问题中都有广泛的应用。
例如，在终值分析中，递推数列可以用来计算利息的复利和单利；在数学模型中，递推数列可以用来表述动态方程式，模拟实际系统的动态变化；在数学中，递推数列可以用来计算金融投资、工程设计等。
另外，递推数列还有一些其他的应用，例如在计算机科学中，递推数列可以用来设计和分析算法的效率，分析算法的时间复杂度；在生物学和物理学中，递推数列可以用来描述生物进化和物理变化的规律。
三、递推数列的解法递推数列的解法比较多样化，最基本的方法是使用递推公式来计算递推数列的值。
例如斐波那契数列就是一种基于递推公式的解法，它可以使用递推公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)来计算数列的任意项。
高考数学冲刺递归数列考点全面解析在高考数学的备考征程中，递归数列一直是一个重点和难点考点。
对于即将踏入高考考场的同学们来说，透彻理解和熟练掌握递归数列相关知识，无疑是取得高分的关键之一。
首先，我们来明确一下什么是递归数列。
简单来说，递归数列就是通过前一项（或前几项）的值以及一个特定的关系式来确定后续项的数列。
常见的递归数列类型包括等差数列型、等比数列型以及更为复杂的线性递归数列等。
等差数列型递归数列的特点是，相邻两项的差值为一个常数。
例如，若数列\（＼｛a_n\｝＼）满足\（a_{n ＋ 1} a_n ＝ d\）（＼（d\）为常数），则\（＼｛a_n\｝＼）为等差数列。
在处理这类递归数列时，我们通常可以利用通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）来求解。
等比数列型递归数列则是相邻两项的比值为一个常数。
比如，若数列\（＼｛b_n\｝＼）满足\（＼frac{b_{n ＋ 1}｝｛b_n} ＝ q\）（＼（q\）为常数且\（q ＼neq 0\）），那么\（＼｛b_n\｝＼）就是等比数列。
其通项公式为\（b_n ＝ b_1 ＼cdot q^｛n 1}＼）。
而线性递归数列就相对复杂一些，常见的形式如\（a_{n ＋ 1} ＝pa_n ＋ q\）（＼（p\）、＼（q\）为常数且\（p ＼neq 1\））。
对于这种类型的递归数列，我们可以通过构造等比数列的方法来求解。
具体来说，将其变形为\（a_{n ＋ 1} ＋＼frac{q}｛p 1} ＝p\left(a_n ＋＼frac{q}｛p 1}＼right)＼），这样就构造出了一个新的等比数列\（＼｛a_n ＋＼frac{q}｛p 1}＼｝＼），从而可以求出\（a_n\）的表达式。
在解决递归数列问题时，要特别注意初始值的给定。
因为递归关系式只是给出了数列项之间的关系，而初始值则决定了整个数列的具体取值。
高考中，关于递归数列的考查形式多种多样。
有时会直接要求求出数列的通项公式，有时则会考查数列的前\（n\）项和，或者通过与其他知识点的综合，如函数、不等式等，来考查同学们的综合运用能力。
