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递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是 高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列{}n a 满足：存在正整数M 、T ，使得对一切大于M 的自然数n ，都有n Tn a a =+成立，则数列{}na 为周期数列。
例1、已知数列{}n a 满足 a 1 =2，a n+1 =1－n a 1，求a n 。
解: a n+1 =1－ n a 1 ∴ a n+2 =1－11+n a =－11-n a , 从而a n+3 = 1－21+n a =1＋a n －1=a n ,即数列{}n a 是以3为周期的周期数列。
又a 1 =2，a 2=1－ 21=21,a 3 =－12 , n=3k ＋1所以 a n =21,n=3k ＋2 ( k ∈N ) －1 , n=3k ＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式 a n = f (a n-1 )（n 2≥,n N ∈）及一个初始项a 1所确定的数列，且递推式中，各a n都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列{}n a 满足a n ＋1 =f (n) a n＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q （p 、q 为常数）时，数列{}n a 是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时 ，{}n a 是以q 为公差的等差数列。
（2）当q=0，p ≠0时，{}n a 是以p 为公比的等比数列。
（3）当p ≠1且q ≠0时，a n ＋1 =p a n ＋q 可化为a n ＋1－pq-1=p(a n－pq -1),此时｛a n －pq -1｝是以p 为公比，a 1－pq-1 为首项的等比数列，从而可求a n 。
例2、已知：1+n a =,252109+n a 且1041=a ，求数列}{n a 的通项公式n a 。
高考数学中的递归关系式及其应用数学作为一门基础学科，伴随着人类文明的发展，已经逐渐成为了人们生活的一部分。
而高考作为中国学子的重要一关，数学也是必考科目之一。
在高考数学中，递归关系式是一个涉及到数列的重要概念，优秀的学生应该对递归关系式有一定的认识，以便在考试中取得更好的成绩。
一、递归关系式的定义及表达式所谓递归关系式，就是一个数列中某一项的值与前面项的值有关。
具体的定义为：如果一个数列{an}，其中第一项a1已知，而每一项an(n>1)均表示为前面项的某种函数，那么这些函数就称为数列{an}的递归式，表示为an=f(an-1)。
在实际应用中，递归关系式的表达式分为两种：线性递推关系式和非线性递推关系式。
1. 线性递推关系式：线性递推关系式的表达式为an=a1+（n-1）d或an=an-1+d其中a1为数列的第一项，d为公差，n为项数，而an则为数列中的任意一项。
2. 非线性递推关系式：非线性递推关系式的表达式则更加复杂，不过它对于数学的应用却非常重要，具体可分为一些常见类型：（1）斐波那契数列：斐波那契数列是一种非常特殊的数列，其递归关系式为：F（n）=F（n-1）+F（n-2），其中F（0）=0，F（1）=1。
（2）杨辉三角：杨辉三角是一种特殊的三角形数表。
它的递推关系式为：C（n，m）=C（n-1，m）+C（n-1，m-1），其中C（n，m）表示由n个球中选取m个球的方案数。
二、递归关系式的应用1. 解题思路对于高考中的数学应用题，递归关系式主要应用于复杂场景下的求解，例如动态规划和数值算法等。
在递归关系式的应用过程中，我们需要掌握两种关键思路。
一是数学思路，这主要是通过把问题进行归纳或逆归纳，得到一些相关的数学公式。
二是计算机思路，这主要是通过建立动规方程或转移方程，实现数值计算或数值优化。
2. 动态规划动态规划是一种解决最优化问题的重要数值算法，递归关系式在其中扮演着重要的角色。
递归数列及其性质1．递归数列及其性质1．对于任意的，由递推关系确定的关系称为阶递归关系或称为阶递归方n N a ＝（f a ，a ，，a ）k k*n n﹣1 n﹣2 n﹣k程，由阶递归关系及给定的前项的值（称为初始值）所确定的数列称为阶递归数列．若是k k a，a ，，a k f1 2 k线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题．2．求递归数列的常用方法：①公式法：{a } a d a ＝a （n﹣m）d是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；n 1 n m是等比数列{a } ，首项为a ，公比为q ，则其通项为푎푛=푎푚푞푛―푚；n 1푆1，(푛=1)已知数列的前项和为，则={n S S푆푛―푆푛―1，(푛≥2)．n n②迭代法：迭代恒等式：；a a a a a a a a a a a a＝（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）n n n﹣1 n﹣1 n﹣2 n﹣2 n﹣3 3 2 2 1 1푎푛푎푛―1푎푛―2푎푛―3푎3푎2迭乘恒等式：=푎푛―3×a 푎푛―4×⋯×0푎푛―1×푎푛―2×푎2×푎1×a1，；（）ann迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知，求通项；a＝b，a ＝a （f n）a1 n 1 n n类型二：已知求通项；a＝b，a ＝（f n） a a1 n 1 n n③待定系数法：类型三：已知，求通项；a＝b，a ＝pa q1 n 1 n④特征根法：类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为，其特征方程为，x 2＝px 1 qx（n 1，p、q为常数q 0）x2＝pxq n n n其根为特征根．（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确、x ＝A n B（n n 1）A、Bn定；1/ 2（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为，其中由初始值确x ＝[A B（n﹣1）]n﹣（1 n 1）A、Bn定．典型例题：已知数列满足求数列的通项．{a } *a1＝2，a2＝3，a n2＝3a n﹣12a（n n N ）{a }a n nn解：其特征方程为，解得，令，x2＝3x﹣2x1＝1，x2＝2 a ＝A1n B2nn퐴=1푎1=퐴+2퐵=2푎2=퐴+4퐵=3，得到{ 由{퐵=1，2所以＝．a 1 2n﹣1n2/ 2。
