引力场中的高斯定理

本科毕业论文题目：高斯定理在空间对称引力场的应用姓名：石宇学号：20120341006 院别：工程技术学学院专业：物理学年级：2012级1班指导教师：黄永超目录1引言 (1)2引力场建立的背景及初步认识 (2)2.1引力场建立的背景 (2)2.2引力场的初步认识 (2)3静电场中高斯定理的理解与应用 (3)3.1静电场中高斯定理的理解 (3)3.1静电场中高斯定理的应用 (4)4静电场与万有引力场的分析与类比 (5)4.1静电场与万有引力场的分析 (5)4.2静电场与万有引力场的类比 (6)5高斯定理在空间对称引力场中的应用 (8)5.1质量分布具有球对称性 (8)5.2质量分布具有轴对称性 (9)5.3质量分布具有面对称性 (10)6结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (13)摘要在静电场中，当电荷具有某种对称性时，场强的计算可以通过应用高斯定理而简化计算。

所以，本文将通过比较静电场和引力场，从而用类比的方法把静电场中高斯定理的形式推广到万有引力场中。

在此基础上，通过万有引力场中的“高斯定理”，从而解决在空间对称引力场中的相关问题。

关键词：高斯定理；万有引力；空间对称引力场；应用AbstractIn the electrostatic field, when the charge has a certain symmetry, the field strength calculation can be calculated by applying the simplified Gauss theorem. Therefore, this article will compare the electrostatic field and the gravitational field, which by analogy method to form an electrostatic field Gauss theorem to the gravitational field. On this basis, through the gravitational field of the "Gauss theorem" to solve symmetric gravitational field in space related issues. Learn gravitational field Gauss theorem space symmetry.Key words: Gauss theorem; gravitation; space symmetric gravitational field; application1引言高斯定理也叫作高斯公式，或叫作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况下高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。

高斯定理1. 介绍高斯定理是电磁学中的一个基本定理，描述了电场的流量和电荷之间的关系。

它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。

高斯定理也被称为Gauss定律或Gauss-奥姆定律。

在电磁学中，电场是指由电荷产生的力场。

而高斯定理则是描述电场如何通过一个闭合曲面的总通量与该闭合曲面内的总电荷之间的关系。

2. 数学表达在数学上，高斯定理可以使用以下公式来表示：∮E S ⋅n dS=1ϵ0∭ρV dV其中：•∮ES⋅n dS表示电场E通过闭合曲面S的总通量。

•E是电场矢量。

•n是曲面元素的单位法向量。

•dS是曲面元素的面积。

•ϵ0是真空中的电介质常数，约为8.854×10−12 C2/(Nm2)。

•∭ρV dV表示闭合曲面内的总电荷量，其中ρ是电荷密度。

这个公式可以用来计算闭合曲面内的总电荷量，只要我们能够计算出电场通过该曲面的总通量。

3. 物理解释高斯定理的物理解释非常简单直观。

它告诉我们，电场通过一个闭合曲面的总通量与该曲面内的总电荷量成正比。

这是因为电场的起源是电荷，而电场的流动通过电场线来表示。

对于一个点电荷，电场是呈球对称的，其电场线由该点电荷发出，并以径向分布。

如果我们选取一个包围该点电荷的闭合曲面，根据高斯定理，通过该曲面的电场线总数与曲面上的面积成正比。

这可以通过一个简单的比喻来理解。

假设有一个喷泉，每秒喷出一定数量的水，水以喷泉为中心向四周扩散。

我们观察到每秒通过一个球面的水流量是相同的，而这个球面的面积是不同的。

换句话说，水流通过球面的总量与该球面的面积成正比。

类似地，电场线也是呈球对称的，通过一个闭合曲面的电场总通量与该曲面的面积成正比。

综上所述，高斯定理提供了电场流量和电荷之间的定量关系，为我们理解和计算电场提供了重要的工具。

4. 应用高斯定理在电磁学中有广泛的应用。

下面介绍几个重要的应用：4.1. 计算电场根据高斯定理，如果我们知道一个闭合曲面内的电荷分布情况，就可以通过计算电场通过该曲面的总通量来确定该闭合曲面内的电场分布。

引力场中的高斯定理引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程.用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,s law本质是一样的，因此引力场中也存在高斯定理，并且与万有引力定律等价.Ⅰ、预备知识引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致.引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线.引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS 的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS.引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在.一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线.引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS′=ΔScosθ的乘积.Ⅱ、通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关.证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm.以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状.在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r2×4πr2=4πGm.（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S′，根据（1）通过此球面的事情感兴趣,要勤奋地工作!”。

高斯定理在万有引力场中的应用
高斯定理是物理学界以及数学界较为重要的定理之一，它可以被广泛地用于万有引力场的研究中。

首先，我们需要了解高斯定理的核心部分——高斯梯度定理：它指出了引力场的数学表示和图像的梯度的空间表示之间的联系，即：万有引力场的空间表示有一个正定的悬赏函数，和任意点的梯度之间存在明确的联系，此外，这个悬赏函数的倒数是一个完全定义的单值函数，接下来，我们就可以用这个悬赏函数来求出万有引力场的强度以及各种有关物理量。

另一方面，万有引力场对空间上某点上发生的结构变化也有着重要的影响，它可以通过高斯梯度定理来计算这种变化。

高斯梯度定理中，梯度是一个十分重要的概念，它是三维空间中某点处的万有引力场变化速率。

对此，高斯定理可以让我们通过知道梯度 at 点 P 的方向和大小来推断出空间上某个点处的引力场的强度和变化情况，也就是我们可以根据某点的梯度来计算出空间上的点的引力场的强度以及计算出不同空间上的点之间的引力场是否在变化。

至此，我们可以看出，高斯定理在万有引力场的有效应用中发挥了重要作用，它提供了万有引力场变化情况的推断，可以让我们很快的分析出物体之间的引力场变化情况，这样使我们可以进一步研究万有引力场，更好的理解它。

此外，高斯定理也有许多其它的应用，例如他可以用于空气动力学，静电学以及地学等领域。