平行直线
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平行直线
一、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：让学生掌握平行公理及其应用．
2．教学难点：等角定理证明的掌握及其应用．
二、教学步骤
（一）两条直线的位置关系
空间中两条直线的位置关系有哪几种？
相交、平行、异面．异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线．相交直线和平行直线也称为共面直线．
异面直线的画法常用的有哪几种？
如图1－38，a 与b 都是异面直线．
如何判定两条直线是异面直线？
（1）间接证法：根据定义，一般用反证法．
（2）*直接证法（一个有用的结论：过平面外一点与平面内一点的
直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线，如图1-39，B ∉α，
A α∈，a α⊂，A ∉a ，则a 与A
B 为异面直线
（二）平行公理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
例：已知四边形ABCD 是空间四边形（四个顶点不共面的图1-41四边形），
E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，
F 、
G 分别是边CB 、CD 上的点，且
3
2==CD CG CB CF ，求证：四边形EFGHH 是梯形 证明：如图1－42，连结BD ．∵EH 是△ABD 的中位线，
FG ∥BD ，FG=3
2BD 根据公理4，EH ∥FG ， 又∵FG ＞EH ， ∴四边形EFGH 是梯形．
（三）等角定理
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
已知：∠BAC 和∠B ′A ′C ′的边AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，并且方向相同． 求证：∠BAC ＝∠B ′A ′C ′．
分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．
证明：对于∠BAC 和∠B ′A ′C ′都在同一平面内的情况，在平面几何中已经证明．下面我们证明两个角不在同一平面内的情况．
如图1－43，在AB 、A ′B ′，AC 、A ′C ′上分别取AD ＝A ′D ′、AE ＝A ′E ′，连结AA ′、DD ′、EE ′，DE 、D ′E ′．
∵AB∥A′B′，AD＝A′D′，
∴AA′DD′是平行四边形．
根据公理4，得：DD′∥EE′．
又可得：DD′＝EE′
∴四边形EE′D′D是平行四边形．
∴ED＝E′D′，可得：△ADE≌△A′D′E′．
∴∠BAC＝∠B′A′C′．
若把上面两个角的两边反向延长，就得出下面的推论．
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．
从上面定理的证明可以知道：平面里的定义、定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用．
下面请同学们完成练习．
练习
1．把一张长方形的纸对折两次，打开后如图1－44那样，说明为什么这些折痕是互相平行的？
答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的．
2、如图1-45，AA`，BB`，CC`不共面，且BB`=AA`，`CC`=AA`，BB`∥AA`，`CC`∥AA`求证：△ABC≌△A′B′C′．
∴四边形BB′C′C是平行四边形．
∴BC＝B′C′．
同理可证：AC＝A′C′，AB＝A′B′．
∴△ABC≌△A′B′C′．
本节课我们学习了平行公理和等角定理及其推论．平行公理是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础．等角定理给下一节两条异面直线所成角的定义奠定了基础．。
