下载文档原格式
指数函数与对数函数重难点总结指数函数与对数函数可是数学里的一对“好兄弟”呢，它们的重难点可不少，今天咱就来好好唠唠。
一、指数函数。
指数函数的形式是y = a^x（a>0且a≠1）。
1. 图像。
- 当a > 1时，指数函数的图像是上升的，就像小火箭一样一飞冲天。
而且它过定点(0,1)，这个点可重要啦，就像是指数函数的“老家”。
不管a怎么变，只要是指数函数，都得经过这个点。
- 当0 < a < 1时，图像是下降的，就像小滑梯一样慢慢往下滑。
同样也过(0,1)这个定点。
2. 性质。
- 定义域是R，也就是全体实数。
这就意味着x可以取任何实数，就像一个超级大的舞台，x在上面可以尽情地表演。
- 值域是(0,+∞)。
这是因为不管x取啥值，a^x都大于0。
就像指数函数有个底线，不能是负数或者0，它总是积极向上（大于0）的呢。
- 单调性是个重难点哦。
当a > 1时是增函数，当0 < a < 1时是减函数。
这个单调性在比较大小的时候可有用啦。
比如说a^x_1和a^x_2比较大小，如果a > 1，x_1>x_2，那就有a^x_1>a^x_2；如果0 < a < 1，x_1>x_2，则a^x_1。
二、对数函数。
对数函数的形式是y=log_ax（a>0且a≠1），它和指数函数可是关系密切呢，就像照镜子一样。
1. 图像。
- 当a > 1时，对数函数的图像是上升的，不过它和指数函数上升的样子不太一样。
它过定点(1,0)，这个点也是对数函数的标志性地点。
- 当0 < a < 1时，图像是下降的，也过(1,0)这个点。
2. 性质。
- 定义域是(0,+∞)。
这是因为对数函数里x得是正数才行，就像只有正数才能进入对数函数这个“小城堡”。
- 值域是R，全体实数都可以是对数函数的值，就像对数函数的胸怀很宽广，可以容纳任何实数呢。
- 单调性也很重要哦。
如何解决高考数学中的指数与对数运算问题在高考数学中，指数与对数运算问题一直是考生们的难点之一。
本文将介绍一些解决这类问题的方法和技巧，帮助考生们更好地应对高考数学中的指数与对数运算。
一、指数运算问题的解决方法：1. 熟悉指数的基本运算法则：指数相乘，底数不变，指数相加；指数相除，底数不变，指数相减；指数的负指数是指数的倒数等。
掌握这些基本运算法则可以快速简化指数运算。
2. 注意指数运算的特殊情况：0的任何正指数都等于0，0的负指数为不存在；1的任何指数都等于1，1的负指数为1的倒数等。
遇到这些特殊情况，可以直接计算结果。
3. 运用指数运算的化简规则：当指数运算中有相同底数时，可以运用化简规则将指数部分合并或分解。
例如，指数相乘时可以将底数不变，指数相加；指数相除时可以将底数不变，指数相减。
灵活应用这些规则可以简化计算过程。
4. 运用对数函数化简指数：对数函数和指数函数是互逆关系，通过运用对数函数可以将指数运算转化为对数运算，并利用对数运算的性质来解决问题。
二、对数运算问题的解决方法：1. 了解对数的基本性质：对数的底数必须为正实数且不能等于1，对数的真数必须为正实数。
了解这些基本性质可以帮助我们正确应用对数运算。
2. 运用对数运算的基本公式：对数运算有两个基本公式，即对数公式和换底公式。
对数公式是ln(a/b) = ln(a) - ln(b)，换底公式是loga(b) = logc(b) / logc(a)。
根据具体情况灵活应用这些公式可以化简对数运算。
3. 善用常见对数与自然对数的计算：常见对数的底数为10，自然对数的底数为e。
掌握常见对数和自然对数的近似值，可以在计算过程中快速估算结果。
常见对数的近似值为log10(2)≈0.3010，log10(3)≈0.4771，自然对数的近似值为ln(2)≈0.6931，ln(3)≈1.0986。
4. 运用对数变换解决问题：对数变换是将原问题转化为以对数形式表示的问题，通过运用对数的性质解决问题。
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题高考中经常考到指数函数和对数函数的概念和性质，下面来介绍一些基础知识。
一、指数与指数幂的运算1.根式的概念：如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的$n$ 次方根，其中 $n>1$，且 $n\in N$。
2.分数指数幂：规定正数的分数指数幂的意义为$a^{m/n}=n\sqrt[n]{a^m}(a>0,m,n\in N^*,n>1)$，负分数指数幂没有意义。
3.实数指数幂的运算性质：$(a^r)^s=a^{rs}(a>0,r,s\in R)$，$a^r\cdot a^s=a^{r+s}(a>0,r,s\in R)$，$(ab)^r=a^r\cdotb^r(a>0,r\in R)$。
二、指数函数及其性质1.指数函数的概念：函数 $y=ax(a>0,a\neq1)$ 叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，定义域为 $R$。
注意：底数不能是负数、零和 $1$。
2.指数函数的图象和性质：当 $00$，非奇非偶函数，函数图象过定点 $(0,1)$；当 $a>1$ 时，函数图象在 $R$ 上单调递增，定义域为 $R$，值域为 $y>0$，非奇非偶函数，函数图象过定点 $(0,1)$。
利用函数的单调性，结合图象，可以得到一些性质，例如在 $[a,b]$ 上，$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$ 的值域是$[f(a),f(b)]$ 或 $[f(b),f(a)]$。
三、对数函数1.对数的概念：如果 $a^x=N(a>0,a\neq1)$，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=\log_a N$。
注意底数的限制 $a>0$，且 $a\neq1$。
2.对数的运算性质：如果 $a>0$，且 $a\neq1$，$M>0$，$N>0$，那么：$\log_a MN=\log_a M+\log_a N$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$，$\log_a M^r=r\log_aM(a>0,M>0,r\in R)$。
高考数学中的指数函数与对数函数题详解指数函数和对数函数是高考数学中的重要内容，涉及到的题型和考点较多。
本文将对指数函数和对数函数的基本定义、性质以及解题方法进行详细解析。
一、指数函数指数函数是以指数为自变量的函数，其一般形式为y = a^x （其中a>0且a≠1）。
下面，我们来讨论指数函数的基本性质。
1. 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。
2. 指数函数的图像特点当指数a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势；当0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势。
3. 指数函数的性质(1) 指数函数在定义域内具有严格单调性，即当a>1时为严格递增函数，当0<a<1时为严格递减函数。
(2) 指数函数在定义域内具有连续性，无间断点。
(3) 指数函数在定义域内具有无界性，即当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷。
(4) 指数函数具有经过点(0, 1)的特点。
接下来，我们通过解题的方式来进一步认识指数函数。
例题1：已知方程2^x = 4的解为x = 2，则方程e^(x-1) = 1的解为多少？解题思路：首先，根据指数函数的性质可知，2^x = 4 等价于 x = 2。
然后，代入方程e^(x-1) = 1，得到e^(2-1) = 1，即e^1 = 1，因此方程e^(x-1) = 1的解为x = 1。
二、对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，其一般形式为y = loga(x)（其中a>0且a≠1，x>0）。
下面，我们来探讨对数函数的基本性质。
1. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集R。
2. 对数函数的图像特点当0<a<1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势；当a>1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势。
高中数学难点解析教案——指数函数、对数函数问题一、教学目标1. 理解指数函数、对数函数的定义及性质。
2. 掌握指数函数、对数函数的图象和性质。
3. 学会运用指数函数、对数函数解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 指数函数的定义与性质2. 对数函数的定义与性质3. 指数函数、对数函数的图象4. 指数函数、对数函数的应用5. 难点解析与例题讲解三、教学重点与难点1. 教学重点：指数函数、对数函数的定义、性质、图象及应用。
2. 教学难点：指数函数、对数函数的图象特点，以及实际问题的解决方法。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究指数函数、对数函数的性质。
2. 利用数形结合法，让学生直观地理解指数函数、对数函数的图象。
3. 运用实例讲解法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4. 组织小组讨论，提高学生的合作交流能力。
五、教学过程1. 导入：通过回顾初中阶段学习的指数函数、对数函数知识，引发学生对高中阶段深入学习这些内容的兴趣。
2. 新课讲解：（1）讲解指数函数的定义与性质，让学生通过实例理解指数函数的单调性、奇偶性等性质。
（2）讲解对数函数的定义与性质，让学生了解对数函数与指数函数的互化关系，以及对数函数的单调性、奇偶性等性质。
（3）结合图象，讲解指数函数、对数函数的图象特点，以及它们之间的关系。
3. 应用拓展：通过实例让学生学会运用指数函数、对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
4. 难点解析：针对学生在学习过程中遇到的难点，如指数函数、对数函数的图象特点，以及实际问题的解决方法，进行详细讲解和分析。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调指数函数、对数函数的性质和应用。
7. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生对指数函数、对数函数概念和性质的理解程度。
高中数学难点解析教案——指数函数、对数函数问题一、教学目标：1. 理解指数函数、对数函数的定义及其性质。
2. 掌握指数函数、对数函数的图像和应用。
3. 能够解决实际问题中涉及指数函数、对数函数的问题。
二、教学内容：1. 指数函数的定义与性质2. 对数函数的定义与性质3. 指数函数、对数函数的图像4. 指数函数、对数函数在实际问题中的应用5. 常见指数函数、对数函数问题的解法及技巧三、教学重点与难点：1. 教学重点：指数函数、对数函数的定义、性质、图像及其应用。
2. 教学难点：指数函数、对数函数问题的解法及技巧。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数函数、对数函数的定义、性质、图像及其应用。
2. 利用例题，讲解指数函数、对数函数问题的解法及技巧。
3. 开展小组讨论，引导学生主动探究、发现规律。
4. 利用信息技术辅助教学，展示指数函数、对数函数的图像。
五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的指数函数、对数函数知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解：详细讲解指数函数、对数函数的定义、性质、图像及其应用。
3. 例题解析：分析、解答典型例题，讲解解题思路与技巧。
4. 练习与讨论：学生自主完成练习题，小组内讨论解题过程，交流心得。
5. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，提出拓展性问题，激发学生课后思考。
6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估：1. 课后收集学生的作业，评估学生对指数函数、对数函数知识的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行课堂测试，测试学生对指数函数、对数函数知识的掌握情况。
3. 观察学生在课堂讨论中的表现，了解学生对指数函数、对数函数问题的理解和应用能力。
七、作业布置：1. 请学生完成课后练习题，包括选择题、填空题和解答题。
2. 请学生准备一篇关于指数函数、对数函数应用的案例分析，下节课分享。
八、课后反思：1. 总结本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和作业完成情况。
高考数学难点突破_难点09__指数对数函数指数对数函数是高考数学中的一个重要的难点，也是学生普遍认为比较难理解和掌握的内容之一、本文将从基本概念、性质、解题技巧等方面进行详细介绍，帮助学生突破这一难点。
一、基本概念1.指数函数：指数函数是以指数为自变量，以底数为底的函数。
比如y=2^x就是一个指数函数，其中2是底数，x是指数。
2. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，也就是说，指数函数和对数函数互为反函数。
比如 y = log2(x) 就是一个对数函数，其中 2 是底数，y 是对数。
二、性质1.指数函数的性质：(1)底数为正数且不等于1；(2)指数为任意实数；(3)当底数小于1时，指数函数是递减函数；(4)当底数大于1时，指数函数是递增函数。
2.对数函数的性质：(1)底数为正数且不等于1；(2)对数为任意正数；(3)对数函数的定义域是正数集合，值域是实数集合；(4)对数函数图象是一条过点(1,0)的上凸曲线。
三、解题技巧1.指数函数的解题技巧：(1)利用指数函数的性质进行函数图象的绘制；(2)将指数转化为对数的形式，利用对数的性质简化计算；(3)注意指数函数的定义域和值域，避免出现无解的情况；(4)利用指数函数的性质解决等式、不等式，注意正确应用换底公式。
2.对数函数的解题技巧：(1)利用对数函数的性质进行函数图象的绘制；(2)利用对数函数的反函数性质化简等式、不等式的解；(3)根据定义域和值域限制，判断函数是否有解；(4)注意合理利用换底公式，化简对数运算。
四、经典题型1. 解对数方程：如 log2(x+3) + log2(x-2) = 3，将对数方程转化为指数方程求解。
2.判断函数性质：如f(x)=5^(x-3)，要求判断指数函数f(x)的增减性和定义域。
3.运用指数对数函数求最值：如y=3^x-3^(1-x)，通过化简求函数的最值。
4. 判断指数函数与对数函数的关系：如 f(x) = 2^x 和 g(x) = log2(x)，要求判断两个函数的值域和定义域。
剖析对数函数中的三大难点对数函数是高中数学中的一个重要函数，也是高考的热点知识之一．学习对数函数时会遇到一些难点，使解题思维陷入困境，究其原因主要有三大难点．难点一：底数不统一对数的运算性质及相关的知识都是建立在底数相同的基础上的，但在实际问题中，对数的运算、变形却经常要遇到底数不相同的情况，出现这种情形，该如何来突破呢？主要有三种处理方法：① 化指数式．对数函数与指数函数互为反函数，所以它们之间有着密切的关系：log a N b =即为b a N =，因此在处理有关对数中遇到的问题时，经常将对数式化为指数式来帮助解决． ②利用换底公式统一底数．换底公式的主要功能就是将底数不相同的对数通过换底把底数统一起来，然后再运用相关的性质与法则进行求解． ③ 利用函数图象．函数的图象是函数的另一重要方面，它可以将函数的有关性质直观显现，因此，当对数的底数不相同时，可以借助对数函数的图象的直观性来加以理解和寻求解题的思路．例1 若1100a b a b ≠≠>>，，，，且满足关系式2log 2log 4log 3a a b ==，求a b，的值．分析：已知关系式中包含三个别底数不相同的对数式， 因此可设2log 2log 4log 3a a b m ===，转化为指数式来解决．解：设2log 2log 4log 3a a b m ===，则2m a =，42ma ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22mm a a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即22m m m a a =． 由于0m a >，122m ∴=，1m ∴=-． log 2log 31a b ∴==-，1123a b ∴==，． 例2 设2log 3a =，3log 7b =，求42log 56的值．分析：两个已知对数式的底数不相同，无法直接进行计算，所以应该首先考虑统一底数，从条件看应该把底数统一为3．解：由2log 3a =，可得31log 2a =， 所以，33342333log 56log 73log 23log 56log 42log 2log 711ab ab a ++===++++． 例3 若log 2log 20a b <<，则a b ，满足的关系是（ ）Ａ．1a b << Ｂ．1b a << Ｃ．01a b <<< Ｄ．01b a <<< 分析：此题由于两个对数式底数不同，但是真数相同，所以可以把两个对数式看成是两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不同的函数值，可通过图象来分析．解：log 2log 2a b ，可以看成是对数函数log a y x =，log b y x =在2x =时的两个函数值，画出它们的大致图象（如右图），显然a b ，均小于1，根据对数函数的底数和图象的关系可得：01b a <<<，故选（Ｄ）．难点二：真数是和差的形式 对数的运算性质的主要功能是将运算级别较高的降低为级别较低的运算，而和与差是运算中的最低级别，所以在处理真数是和差形式的对数问题时，难度就较大，主要有两种处理方法：①整体考虑；②对真数因式分解．例4 若实数x 满足222log (21)log (24)3x x +--=，求x 的值．分析：已知关系式既有对数的相乘，又有真数的差，要将此式进行转化，可以把2log (21)x -看成整体，再对22log (24)x +-的真数因式分解．解：由222log (21)log (24)3x x +--=，得22log (21)log 4(21)3x x ⎡⎤--=⎣⎦，所以22log (21)2log (21)3x x ⎡⎤-+-=⎣⎦，所以222log (21)2log (21)30x x -+--=，解得2log (21)1x -=，或2log (21)3x -=-，故有2log 3x =，或29log 8x =． 难点三：对数与对数相乘对于对数与对数相乘，运用对数的运算性质是很难解决的．因此，在解决此类问题时，要根据所给的关系式认真分析其结构特点．其求解主要有三种方法：①利用换底公式；②整体考虑；③化各对数为和差的形式．例5 设23456783log 3log 4log 5log 6log 7log 8log log 27m =，求m 的值． 分析：已知等式是七个对数之积，其特点是：从第二个对数开始的每一个对数的底数是前一个对数的真数，因此，我们可以采用换底公式将各对数换成以2为底的两个对数的商，然后约分达到目的．解：2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log m22222222222222log 4log 5log 6log 7log 8log log 3log log 3log 4log 5log 6log 7log 8m m ==． 23log log 273m ∴==，8m ∴=．例6 已知2222(log )7log 30x x -+≤，求函数22log log 24x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域． 分析：所求函数的解析式是两个对数的积的形式，可利用对数的运算性质将其化为两个差的积．解：由2222(log )7log 30x x -+≤，得21log 32x ≤≤． 函数22222231log log (log 1)(log 2)log 2424x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 当23log 2x =，即x =min 14y =-； 当2log 3x =，即8x =时，max 2y =．所以函数的值域为124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．。
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
难点9 指数函数、对数函数问题指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.●难点磁场(★★★★★)设f (x )=log 2xx -+11,F (x )=x-21+f (x ).(1)试判断函数f (x )的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；(2)若f (x )的反函数为f －1(x ),证明：对任意的自然数n (n ≥3),都有f －1(n )>1+n n ;(3)若F (x )的反函数F －1(x ),证明：方程F －1(x )=0有惟一解.●案例探究［例1］已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一条直线上；(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.知识依托：(1)证明三点共线的方法：k OC =k OD .(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A 点坐标.错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A 的坐标.(1)证明：设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题意知：x 1>1,x 2>1,则A 、B 纵坐标分别为log 8x 1,log 8x 2.因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,点C 、D 坐标分别为(x 1,log 2x 1),(x 2,log 2x 2),由于log 2x 1=2log log 818x ===2log log log ,log 38282218x x x 3log 8x 2,所以OC 的斜率：k 1=118212log 3log x x x x =,OD 的斜率：k 2=228222log 3log x x x x =，由此可知：k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一条直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴知：log 2x 1=log 8x 2 即：log 2x 1=31log 2x 2,代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2得：x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1知log 8x 1≠0,∴x 13=3x 1.又x 1>1,∴x 1=3,则点A 的坐标为(3，log 83).［例2］在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…,对每个自然数n 点P n位于函数y =2000(10a )x(0<a <1)的图象上，且点P n ,点(n ,0)与点(n +1,0)构成一个以P n 为顶点的等腰三角形.(1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式；(2)若对于每个自然数n ,以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；(3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由.命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级题目.知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10a )21+n .(2)∵函数y =2000(10a )x(0<a <10)递减，∴对每个自然数n ,有b n >b n +1>b n +2.则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ,即(10a )2+(10a)－1>0,解得a <－5(1+2)或a >5(5－1).∴5(5－1)<a <10.(3)∵5(5－1)<a <10,∴a =7∴b n =2000(107)21+n .数列{b n }是一个递减的正数数列，对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1.于是当b n ≥1时，B n <B n －1,当b n <1时，B n ≤B n －1,因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n≥1且b n +1<1,由b n =2000(107)21+n ≥1得：n ≤20.8.∴n =20.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法有：(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )之和，如果f (x )=lg(10x +1),其中x ∈(－∞,+∞),那么( )A.g (x )=x ,h (x )=lg(10x +10－x +2)B.g (x )=21［lg(10x +1)+x ］,h (x )= 21［lg(10x +1)－x ］C.g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x D.g (x )=－2x ,h (x )=lg(10x +1)+2x2.(★★★★)当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( )二、填空题3.(★★★★★)已知函数f (x )=⎩⎨⎧<<--≥)02()(log )0( 22x x x x .则f -－1(x －1)=_________.4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L 水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y =ae －nt ,那么桶2中水就是y 2=a －ae －nt ,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有8a .三、解答题5.(★★★★)设函数f (x )=log a (x －3a )(a >0且a ≠1),当点P (x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，点Q (x －2a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点.(1)写出函数y =g (x )的解析式；(2)若当x ∈［a +2,a +3］时，恒有|f (x )－g (x )|≤1,试确定a 的取值范围.6.(★★★★)已知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1),(x ∈(0,+∞)),若x 1,x 2∈(0,+∞),判断21［f (x 1)+f (x 2)］与f (221x x +)的大小，并加以证明.7.(★★★★★)已知函数x ,y 满足x ≥1,y ≥1.log a 2x +log a 2y =log a (ax 2)+log a (ay 2)(a >0且a ≠1),求log a (xy )的取值范围.8.(★★★★)设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值.参考答案难点磁场解：(1)由xx-+11>0,且2－x ≠0得F (x )的定义域为(－1，1)，设－1＜x 1＜x 2＜1,则 F (x 2)－F (x 1)=(122121x x ---)+(11222211log 11log x x x x -+--+) )1)(1()1)(1(log )2)(2(212122112x x x x x x x x -++-+---=,∵x 2－x 1>0,2－x 1>0,2－x 2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1. 因此F (x 2)－F (x 1)>0,F (x 2)>F (x 1),∴F (x )在(－1，1）上是增函数.(2)证明：由y =f (x )=xx -+11log 2得：2y =1212,11+-=-+y y x x x ,∴f －1(x )=1212+-x x ,∵f (x )的值域为R ，∴f -－1(x )的定义域为R .当n ≥3时，f -1(n )>1221111221112121+>⇔+->+-⇔+>+-⇔+n n n n n n n n n n . 用数学归纳法易证2n >2n +1(n ≥3),证略.(3)证明：∵F (0)=21,∴F －1(21)=0,∴x =21是F －1(x )=0的一个根.假设F －1(x )=0还有一个解x 0(x 0≠21),则F -1(x 0)=0,于是F (0)=x 0(x 0≠21).这是不可能的，故F -1(x )=0有惟一解.歼灭难点训练一、1.解析：由题意：g (x )+h (x )=lg(10x +1)① 又g (－x )+h (－x )=lg(10－x +1).即－g (x )+h (x )=lg(10－x +1)②由①②得：g (x )=2x ,h (x )=lg(10x +1)－2x . 答案：C2.解析：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选，又a >1时，y =(1－a )x 为减函数.答案：B二、3.解析：容易求得f -－1(x )=⎩⎨⎧<-≥)1(2)1( log 2x x x x,从而：f －1(x －1)=⎩⎨⎧<-≥--).2(,2)2(),1(log 12x x x x答案：⎩⎨⎧<-≥--)2( ,2)2(),1(log 12x x x x4.解析：由题意，5分钟后，y 1=ae－nt,y 2=a －ae－nt,y 1=y 2.∴n =51l n 2.设再过t 分钟桶1中的水只有8a ,则y 1=ae －n (5+t )=8a ,解得t =10. 答案：10三、5.解：(1)设点Q 的坐标为(x ′,y ′),则x ′=x －2a ,y ′=－y .即x =x ′+2a ,y =－y ′. ∵点P (x ,y )在函数y =log a (x －3a )的图象上，∴－y ′=log a (x ′+2a －3a ),即y ′=log aax -21,∴g (x )=log aax -1. (2)由题意得x －3a =(a +2)－3a =－2a +2>0;ax -1=a a -+)3(1>0,又a >0且a ≠1,∴0＜a ＜1,∵|f (x )－g (x )|=|log a (x －3a )－log aax -1|=|log a (x 2－4ax +3a 2)|·|f (x )－g (x )|≤1,∴－1≤log a (x 2－4ax +3a 2)≤1,∵0＜a ＜1,∴a +2>2a .f (x )=x 2－4ax +3a 2在［a +2,a +3］上为减函数，∴μ(x )=log a (x 2－4ax +3a 2)在［a +2,a +3］上为减函数，从而［μ(x )］max =μ(a +2)=log a (4－4a ),［μ(x )］mi n =μ(a +3)=log a (9－6a ),于是所求问题转化为求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-<<1)44(log 1)69(log 10a a a aa 的解.由log a (9－6a )≥－1解得0＜a ≤12579-,由log a (4－4a )≤1解得0＜a ≤54, ∴所求a 的取值范围是0＜a ≤12579-.6.解：f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+log a x 2=log a x 1x 2,∵x 1,x 2∈(0,+∞),x 1x 2≤(221x x +)2(当且仅当x 1=x 2时取“=”号)，当a >1时，有log a x 1x 2≤log a (221x x +)2,∴21log a x 1x 2≤log a (221x x +)，21(log a x 1+log a x 2)≤log a 221x x +, 即21[f (x 1)+f (x 2)］≤f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号) 当0＜a ＜1时，有log a x 1x 2≥log a (221x x +)2,∴21(log a x 1+log a x 2)≥log a 221x x +,即21［f (x 1)+f (x 2)］≥f (221x x +)(当且仅当x 1=x 2时取“=”号）.7.解：由已知等式得：log a 2x +log a 2y =(1+2log a x )+(1+2log a y ),即(log a x －1)2+(log a y －1)2=4,令u =log a x ,v =log a y ,k =log a xy ,则(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0),k =u +v .在直角坐标系uOv 内，圆弧(u －1)2+(v －1)2=4(uv ≥0)与平行直线系v =－u +k 有公共点，分两类讨论.(1)当u ≥0,v ≥0时，即a >1时，结合判别式法与代点法得1+3≤k ≤2(1+2); (2)当u ≤0,v ≤0,即0＜a ＜1时，同理得到2(1－2)≤k ≤1－3.x 综上，当a >1时，log a xy 的最大值为2+22，最小值为1+3；当0＜a ＜1时，log a xy 的最大值为1－3，最小值为2－22.8.解：∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)( 21log x +3)≤0.∴－3≤21log x ≤－23. 即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1. ∵22≤x ≤8,∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2,即x =4时y mi n =－1;当log 2x =3,即x =8时，y max =0.。
