2019-2020学年陕西省西安市西北大学附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①x R ∀∈，2104x x -+≥；②0x ∃>，1ln 2ln x x+≤；③若命题p q ∨是真命题，则p 是真命题；④22xxy -=-是奇函数；其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】根据全称命题、特称命题的真假性判断①②的真假性.根据含有逻辑联结词命题的真假性判断③的真假性.根据函数的奇偶性判断④的真假性. 【详解】对于①，由于214y x x =-+开口向上且11404∆=-⨯=，所以①为真命题. 对于②，当x e =时，1ln 22ln e e+=≤，故②为真命题. 对于③，p q ∨为真命题，可能p 假q 真，故③为假命题. 对于④，构造函数()22xxf x -=-，函数()f x 的定义域为R ，且()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，所以()f x 为奇函数.故④为真命题.综上所述，真命题的个数有3个. 故选：C 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题、含有逻辑联结词命题的真假性，考查函数的奇偶性，属于基础题.2．点B 是点(1,2,3)A 在坐标平面yoz 内的射影，则||OB 等于（ ）A B C ．D 【答案】B【解析】根据题意得A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影B ，利用两点之间的距离公式得到结果． 【详解】∵点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影， ∴B 在坐标平面yOz 上，竖标和纵标与A 相同，而横标为0，∴B 的坐标是（0，2，3），∴|OB |= 故选：B ． 【点睛】本题考查空间中的点的坐标，考查两点之间的距离公式，考查正投影的性质，是一个基础题．3．已知()():280,:340xp q x x ->--≥，则（ ）A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q ⌝的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q ⌝的必要不充分条件 【答案】D【解析】先分解化简命题p,q 再根据范围大小判断充分必要性. 【详解】:2803x p x ->⇒>()():3404q x x x --≥⇒≥或3x ≤34q x ⌝⇒<<所以p 是q 的既不充分也不必要条件p 是q ⌝的必要不充分条件故答案选D 【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，抓住范围的大小关系是解题的关键.4．已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．2D ．【答案】D【解析】分析：由离心率计算出b a，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：e c a ===Q 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±= 所以点（4，0）到渐近线的距离d ==故选D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．5．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2 BC．D【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A．3B．155C．105D．3【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D-，则所求角为21111,2,21221cos603,5 BC D BC BD C D AB∠==+-⨯⨯⨯︒===Q，易得22211C D BD BC=+，因此111210cos55BCBC DC D∠===，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．7．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x ya ba b+=>>右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2AF FB=u u u v u u u v，则该椭圆的离心率为（）A3B．23C．22D3【答案】B【解析】设B到右准线距离为d，因为2AF FB=u u u v u u u v，所以A到右准线距离为2d，从而2,3AF ed BF ed AB ed==∴=Q倾斜角为4π，2cos43deedπ∴=∴=，选B. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c的方程或不等式，再根据,,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于,,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．设1111ABCD A B C D -是边长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则有（ ）A ．211AB AC a ⋅=u u u u r u u u r B．21AB AC ⋅=u u u r u u u r C ．21CD AB a ⋅=u u u r u u u rD ．112AB AO a ⋅=u u u r u u u r 【答案】A【解析】利用向量数量积的运算对选项逐一计算进行验证，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，1111,,,,4A B a AC A B AC AB AC π====u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，所以211cos 4A B AC a a π⋅=⋅=u u u u r u u u r ，所以A 选项正确.对于B选项，11111,,,,AB a AC AB AC A B AC ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以222111111cos A B AB AC a CA B a A C ⋅=⋅∠=⋅==u u u r u u u r ，所以B 选项错误. 对于C选项，11113,,,,4CD a AB CD AB BA AB B AB ππ====-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以213cos 4CD AB a a π⋅=⋅=-u u u r u u u r ，所以C 选项错误. 对于D选项，11111,,,,2AB a A O a AB A O A B A C ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以2221111111cos 2A B AB AO a CA B a AC ⋅=⋅∠=⋅==u u u r u u u r ，所以D 选项错误. 故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量的数量积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒>10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点,则C 的方程为（ ）A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x = 【答案】C【解析】∵抛物线C 方程为22(0)y px p =>,∴焦点(,0)2pF ， 设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52px =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52， 由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.11．记动点P 是棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 的对角线1BD 上一点，记11D PD Bλ=．当APC ∠为钝角时，则λ的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．1(,1)3C ．1(0,)3D ．(1,3)【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用∠APC 不是平角，可得∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0，即 ，从而可求λ的取值范围．【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ，则有A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），1D （0，0，1） ∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ），∴=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） =+=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC ＜0∴ 0PA PC ⋅<u u u r u u u r∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1因此，λ的取值范围是（，1），故选B.点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 12．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设出直线1l ，2l 的方程，联立直线1l ，2l 的方程与抛物线方程，写出韦达定理，根据抛物线的弦长公式，求得AB DE +的表达式，再结合基本不等式求得AB DE +的最小值. 【详解】抛物线的焦点坐标为()1,0F ，依题意可知直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l 的方程为()1y k x =-，则直线2l 的方程为()11y x k=--.由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 得()2222240k x k x k -++=，所以2222442A B k x x k k++==+，所以244A B AB x x p k =++=+. 同理可求得244C D CD x x p k =++=+.所以22484816AB k k DE =++≥+=+，当且仅当2244,1k k k ==±时取得最小值. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．若命题“2,0x R x x a ∃∈-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据特称命题是假命题进行转化即可 【详解】Q 命题“20x R x x a ∃∈-+<，”是假命题，则命题“20x R x x a ，∀∈-+≥”是真命题， 则140a =-≤n ，解得14a ≥则实数a 的取值范围是14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故答案为14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题．14．设x ∈R ，则21x -<是220x x +->的_______________条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）【答案】充分不必要【解析】求出两个不等式的解集，根据集合的包含关系说明． 【详解】2113x x -<⇔<<，2202x x x +->⇔<-或1x >，∵(1,3)(,2)(1,)-∞-+∞U Ü，∴21x -<是220x x +->的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的概念是解题关键．充分必要条件与集合的包含之间关系：命题p 对应集合是A ，命题q 对应集合是B ，则A B ⊆⇔p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，A B =⇔p 是q 的充要条件，A B Ü⇔p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BA 11A C 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为10，则线段BD 的长为_______．【答案】2【解析】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，设(0,,2)(11)D t t -≤≤，用空间向量法求得t ，进一步求得BD. 【详解】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图．31(0,0,0),(,2),(0,1,0),(0,,2)(11)2E F B D t t --≤≤ 31,2),(0,1,2)22EF BD t ==+u u u v u u u v2(1)4102cos 5(1)4t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 解得t=1，所以22BD =，填22．【点睛】利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.16．已知直线1l 是抛物线C ：28y x =的准线，P 是C 上的一动点，则P 到直线1l 与直线2l ：34240x y -+=的距离之和的最小值为________. 【答案】6【解析】将P 到准线的距离，转化为到焦点的距离，由此利用焦点到直线34240x y -+=的距离求得所求的最小值.【详解】依题意，抛物线的准线为2x =-，焦点坐标为()2,0F .由于P 到准线的距离等于到焦点的距离，所以P 到直线1l 与直线2l ：34240x y -+=的距离之和，等于P 到焦点与直线2l 的距离之和，最小值为焦点F 到直线34240x y -+=的距离，即最小值为32402465⨯-⨯+=.故答案为：6 【点睛】本小题主要考查抛物线上的点到准线和到定直线的距离之和，考查抛物线的定义，属于基础题.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足22230(0)x ax a a --<>，命题q ：实数x 满足204xx -≥-． （I ）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（II ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）[)23，；（II ）43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【解析】分析：（1）将问题转化为当1a =时求不等式组的解集的问题．（2）将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件转化为两不等式解集间的包含关系处理，通过解不等式组解决． 详解：（1）当1a =时， 由2230x x --<得13x -<<，由204xx -≥-得24x ≤<， ∵p q ∧为真命题，∴命题,p q 均为真命题， ∴13,24,x x -<<⎧⎨≤<⎩解得23x ≤<，∴实数x 的取值范围是[)2,3．（2）由条件得不等式22230x ax a --<的解集为(),3a a -， ∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， ∴[)()2,4,3a a -，∴2,34,a a -<⎧⎨≥⎩解得43a ≥，∴实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．18．求适合下列条件的曲线的标准方程：（1）4,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程； （2）4,3a b ==，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程；（3）焦点在x 轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.【答案】(1)22116x y +=；(2)2211625y x -=；(3)24x y =或24x y =-.【解析】试题分析：（1）利用几何元素的值和焦点位置直接写出椭圆的标准方程；（2）利用几何元素的值和焦点位置直接写出双曲线的标准方程；（3）利用抛物线的定义（抛物线22(0)y px x =>的焦点到准线的距离等于p ）进行求解.试题解析：（1）根据题意知4,1a b ==， 焦点在x 轴上， ∴2216,1a b ==，故椭圆的标准方程为：221161x y +=，即22116x y +=.（2）解:由题意，设方程为()222210,0y x a b a b-=>>，∵4,5a b ==， ∴2216,25a b ==，所以双曲线的标准方程是2211625y x -=.（3）∵焦点到准线的距离是2， ∴24p =，∴当焦点在y 轴上时，抛物线的标准方程为24x y =或24x y =-.19．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，点,,E F G 分别是,,AB AD CD 的中点，设,,,AB a AC b AD c a b c ===u u u v u u u v u u u v v v v v v v，，为空间向量的一组基底，计算：（1）EF BA ⋅u u u v u u u v ;（2）EG u u u v .【答案】(1)14；（2）22. 【解析】（1）先根据条件确定,a b c v v v，的模以及相互之间的夹角，再根据向量共线以及加减法表示EF BA u u u v u u u v ，，最后根据向量数量积求结果，（2）根据向量减法表示EG u u u v，再根据向量模的定义以及向量数量积求结果. 【详解】(1） 因为空间四边形ABCD 的每条边和对角线都等于1，所以π1,,,,3a b c a b b c c a ======v v v v v v v v v ，因为点,E F 分别是,AB AD 的中点，所以111()()222EF BD AD AB c a ==-=-u u u v u u u v u u u v u u u v v v，EF BA ∴⋅u u u v u u u v 1111=()()(111)2224c a a -⋅-=-⨯⨯+=v v v （2）因为11()22EG EF FG c a b =+=-+u u u v u u u v u u u v vv v ，所以21111112||()1112112112112222222EG c a b =-+=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯u u u v v v v【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为2斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭ 共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=；；（Ⅲ）1. 【解析】（Ⅰ）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程； （Ⅱ）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（Ⅲ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=；（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x =-=， 易得当20m=时，max ||AB =AB ； （Ⅲ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213kx xk+=-+，即2131211213kx xk=--+，又1112ykx=+，代入①式可得13171247xxx--=+，所以13147yyx=+，所以11117124747x yCx x⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yDx x⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,44QC x y⎛⎫-⎪⎭=+⎝uuu v，4471,44QD x y⎛⎫-⎪⎭=+⎝uuu v，因为,,Q C D三点共线，所以344371714444x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D的坐标代入化简可得12121y yx x-=-，即1k=．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式2211AB k x x=+-变形为221212||1()4AB k x x x x=+⋅+-，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.21．如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，2SA AB BC===，1AD=.（1）若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD；（2）当2SM MB=时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置.【答案】（1）见解析；（2）66（3）即点N在线段CD上且115ND=【解析】（1）取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．可证AMED 是平行四边形，从而有//AM DE ，则可得线面平行；（2）以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，求出两平面AMC 与平面SAB 的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<，求出MN u u u u r，由MN 与平面SAB 所成角的正弦值为MN u u u u r与平面SAB 的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论． 【详解】（1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．在中，ME 为中位线，∴//ME BC 且12ME BC =， ∵//AD BC 且12AD BC =，∴//ME AD 且ME AD =， ∴四边形AMED 为平行四边形． ∴//AM DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴//AM 平面SCD ．（2）解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()A 0,0,0，()B 0,2,0，()C 2,2,0，()D 1,0,0，()S 0,0,2，由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点．于是2142(0,,)3333AM AB AC =+=u u u u r u u u r u u u r ，即42M 0,,33⎛⎫⎪⎝⎭，设平面AMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00AM n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u v v ， 将坐标代入并取1y =，得(1,1,2)n =--r．另外易知平面SAB 的一个法向量为m u r()1,0,0=，所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为m nm n ⋅u r ru r r 66=． （3）设()N x,2x 2,0-，其中1x 2<<．由于42M 0,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN u u u u r 102x,2x ,33⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．所以22sin 401041041401553993MN m MN m x x x xθ⋅===-+⋅-⋅+u u u u r u r u u u u r u r ， 可知当401153208x 269-=-=，即26x 15=时分母有最小值，此时有最大值，此时，2622N ,,01515⎛⎫⎪⎝⎭，即点N 在线段CD 上且115ND = 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．。
