范例 - 谐响应分析理论求解与ANSYS求解

]ansys谐响应分析7-实例问题描述本实例是对如下图所示的有预应力的吉他弦进行谐响应分析。

形状均匀的吉他弦直径为d ，长为l 。

在施加上拉伸力F1后紧绷在两个刚性支点间，用于调出C 音阶的E 音符。

在弦的四分之一长度处以力F2弹击此弦，要求计算弦的一阶固有频率f1，并验证仅当弹击力的频率为弦的奇数阶固有频率时才会产生谐响应。

几何尺寸：l ＝710mm c ＝165mm d ＝0.254mm材料特性：杨氏模量EX ＝1.9E5 Mpa ，泊松比PRXY ＝0.3，密度DENS ＝7.92E-9Tn/mm 3。

载荷为：F1＝84N F2＝1N取弹击力的频率范围为从0到2000Hz ，并求解频率间隔为2000/8＝250Hz 的所有解，以便观察在弦的前几阶固有频率处的响应，并用POST26时间－历程后处理器绘制出位移响应与频率的关系曲线。

一．选取菜单路径Utility Menu | File | Change Jobname ，将弹出Change Jobname (修改文件名)对话框，如图13.2所示。

在Enter new jobname (输入新文件名)文本框中输入文字“CH13”，然后单击对话框中的ok 按钮，完成对本实例数据库文件名的修改。

选取菜单路径Main Menu | Preference ，将弹出Preference of GUI Filtering (菜单过滤参数选择)对话框，单击Structural(结构)选项使之被选中，以将菜单设置为与结构分析相关的选项。

单击按钮，完成分析范畴的指定。

二.定义单元类型1．选取菜单路径Main Menu | Preprocessor | Element Type |Add/Edit/Delete ，将弹出Element Types (单元类型定义)对话框。

单击对话框中的按钮，将会弹出Library of Element Types (单元类型库)对话框2．在图13.4所示的对话框左边的滚动框中单击“Structural Link ”，选择结构连接单元类型。

第7章 谐响应分析
谐响应分析主要用来确定线性结构在承受持续的周期载荷时的周期性响应（谐响应）谐响应分析能够预测结构的持续动力学特性，从而验证其设计能否成功地克服共振、疲劳及其他受迫振动引起的有害效果。

通过本章的学习，即可掌握在★ 了解谐响应分析。

7.1 谐响应分析概述
谐响应分析（Harmonic Response Analysis ）是用于确定线性结构在承受一个或多个随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时稳态响应的一种技术。

分析的目的是计算出结构在几种频率下的响应并得到一些响应值（通常是位移）对应频率的曲线。

从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步考察频率对应的应力。

谐响应分析技术只计算结构的稳态受迫振动。

发生在激励开始时的瞬态振动不在谐响应分析中考虑。

谐响应分析是一种线性分析。

任何非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，即使被定义了也将被忽略，但在分析中可以包含非对称系统矩阵，如分析流体——结构相互作用问题。

谐响应分析同样也可以分析有预应力的结构，如小提琴的弦（假定简谐应力比预加的拉伸应力小得多）。

对于谐响应分析，其运动方程为：
[][][](){}{}(){}{}()21212
M i C K i F i F ωωφφ−+++=+ 这里假设刚度矩阵[]K 、质量矩阵[]M 是定值，要求材料是线性的、使用小位移理论（不包括非线性）、阻尼为[]C 、简谐载荷为[]F 。

谐响应分析的输入条件包括：
已知幅值和频率的简谐载荷（力、压力和强迫位移）。

简谐载荷可以是具有相同频率的多种载荷，力和位移可以相同或者不相同，但是压力分布
载荷和体载荷只能指定零相位角。

ANSYSWorkbench正弦响应分析之详细版这是 ANSYS 工程实战第 42 篇文章问题描述：正弦分析选用的项目模块为谐响应分析（Harmonic Response），这里对谐响应分析的关键知识点和正弦分析具体分析步骤和方法进行了详细介绍。

1. 谐响应分析理论介绍1.1 谐响应分析的定义谐响应分析是用于确定线性结构在承受一个或多个随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时稳态响应的一种技术。

1.2 谐响应分析的目的谐响应分析的目的是计算出结构在几种频率下的响应并得到一些响应值对频率的曲线（如位移对频率曲线），从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步考察频率对应的应力。

1.3 谐响应分析的输入条件谐响应分析的输入条件：相同频率的多种载荷。

1.4 谐响应分析的运算求解方法谐响应分析的运算求解方法包括完全法（Full）和模态叠加法(Mode Superposition)。

完全法是一种最简单的方法，不需要先进行模态分析，但求解更耗时，对于复杂结构，8核并行运算，一般计算时间在3h以上。

模态叠加法是 Workbench 谐响应计算的默认求解方法，从模态分析中叠加模态振型。

采用模态叠加法进行谐响应分析时，首先需要自动进行一次模态分析，虽然首先进行的是模态分析，但谐响应部分的求解仍然比完全法快的多。

一般对于复杂结构，8核并行运算，谐响应部分的计算时间小于0.5h。

2. 用完全法进行正弦分析的分析步骤及设置2.1 插入响应模块完全法进行正弦分析时直接将 Analysis Systems 下的 Harmonic Response 谐响应模块拉到项目管理区中或者直接引用项目管理区中模态分析的模型（Model），如图 1 所示。

图 1 插入响应模块2.2 三维模型导入及处理在 Inventor 软件中对行波管进行建模，经过模型干涉检查合格后，将建立好的模型生成stp 格式，导入到有限元软件ANSYS Workbench 中，行波管模型如图 2 所示，包括底板、包装件、电子枪、收集极和高频等组件。

ansys谐响应分析1 002.谐响应分析的求解方法。

full(完全法)reduced(缩减法)modesuperpos'n(模态叠加法)full(完全法)允许定义各种类型的荷载;预应力选项不可用;reduced(缩减法)可以考虑预应力;只能施加单元荷载(压力，温度等)modesuperpos'n(模态叠加法)通过对模态分析的道德振型(特征向量)乘以因子并求和来计算出结果的响应。

可以包含预应力，可以考虑振型阻尼，不能施加非零位移谐响应分析的基本步骤:完全法分析过程有3个主要步骤:建模，加载求解，结果后处理1.建立模型同样非线性行为将被忽略2.加载求解*指定分析类型为:harmonic*指定分析选项:包括solutionmethod和dofprintoutformat(解的输出形式)及uselumpedmassapprox?(质量矩阵形成方式)*在模型上加载:谐响应分析所加的载荷随时间按正弦规律变化。

指定一个完整的简谐荷载需要输入3条信息。

幅值(amplitude)、相位角(phaseangle)、强制频率范围(forcingfrequencyrange)注意:谐响应分析不能同时计算多个频率的荷载作用，但可以分别计算，后叠加。

*谐响应分析荷载步选项普通选项:numberofsubstebs(谐响应节数目)，选择加载方式steppedorramped动力学选项:频率范围frequencerange，阻尼(damping)输出控制选项:*开始求解3.观察结果缩减法谐响应分析步骤1.建模2.加载并得减缩解3.观察节缩解结果4.扩展解5.观察扩展的解结果与full法不同的是，要定义主自由度。

模态叠加法谐响应分析步骤1.建模2.获取模态分析解3.获取模态叠加法谐响应分析解4.扩展模态叠加解5.观察结果有预应力作用结构的谐响应实例有预应力的谐响应分析只能用缩减法和模态叠加法进行。

若进行有预应力的缩减法谐应分析，首先要进行静力学分析结算结构的预应力，在进行谐响应分析.若进行模态叠加法谐响应应分析中包括预应力效果，应当先进行有预应力模态分析，在进行一般的模态叠加法谐响应分析。

ANSYS中的模态分析与谐响应分析模态分析是分析结构的动力特性，与结构受什么样的荷载没有关系，只要给定了质量、弹性模量、泊松比等材料参数，并施加了边界约束就可以得到此状态下的各阶自振频率和振型（也称为模态）。

谐响应分析是分析结构在不同频率的简谐荷载作用下的动力响应，是与结构所受荷载相关的，只是结构所受荷载的都是简谐荷载，而且荷载频率的变化范围在谐响应分析时要给出来。

比如，在ANSYS谐响应分析中要给出这样的语句FK,3,FX,7071,7071 ！指定点荷载的实部和虚部（或者幅值和相位角）HARFRQ,0,2.5, ！指定荷载频率的变化范围，也就是说只分析结构所受频率从0到2.5HZ之间的荷载NSUBST,100, ！指定频率从0到2.5之间分100步进行计算这样，结构所受的这个点荷载的表达式实际上是F=(7071+i*7071)*exp(i*omiga*t) !式中omiga从0到2.5*2*3.1415926变化分析得到结果是各点物理量随频率变化的，但物理量的值一般为复数，包括实部的虚部，这可以从后处理LIST结点值看出来。

个人认为进行谐响应分析并不一定要先进行模态分析（也叫振型分析、振型分解等），而直接进行谐响应分析后查看结构的物理量随频率变化曲线时也会看到在结构的自振频率处响应会放大（共振）。

如果已经进行过模态分析的话，会发现谐响应分析时的共振频率和模态分析提到的自振频率是一致的。

但有些时候模态分析中得到的有些频率在谐响应分析的频响曲线里可能很不明显。

因此，只能说在谐响应分析前进行一下模态分析可以对结构的自振特性有个了解，以便验证谐响应分析结果是否合理。

另外，谐响应分析应该是频域分析方法的一个部分。

对于相地震那样的时间过程线，直接进行时域分析（ANSYS里用暂态分析）可得到结构随时间的响应。

而如果进行频域分析，就应该通过傅立叶变换把时域地震曲线变为由多个简谐荷载的叠加，然后再以此简谐荷载做为谐响应分析时的荷载进行谐响应分析，最后再对谐响应分析得到的结果进行傅立叶逆变换得到时域的结果。

ANSYS谐响应分析谐响应分析是用于确定线性结构在受正弦载荷作用时的稳态响应，目的是计算出结构在几种频率下的响应，并得到响应随频率变化的曲线。

其输入为已知大小和频率的谐波载荷（力、压力和强迫位移）；同一频率的多种载荷，可以是相同或不相同的。

其输出为每一个自由度上的谐位移，通常和施加的载荷不同；或其它多种导出量，例如应力和应变等。

谐响应分析能预测结构的持续动力特性，从而验证设计能否成功地克服共振、疲劳，以及其他受迫振动引起的不良影响。

同时，通过谐响应分析可以用来探测共振响应；可以确定一个给定的结构能否能经受住不同频率的各种正弦载荷（例如：以不同速度运行的发动机）。

谐响应分析有三种求解方法:完整法、缩减法及模态叠加法。

三种方法都有其相应的适用条件。

这里主要介绍模态叠加法。

模态叠加法是通过对模态分析得到的振型乘上因子并求和计算出结构的响应，是所有求解方法中最快的。

使用何种模态提取方法主要取决于模型大小和具体的应用场合。

模态叠加法可以使解按结构的固有频率聚集，可产生更平滑且更精确的响应曲线图，同时可以包含预应力效果。

（对于机械结构来看，预应力含义为预先使其产生应力，其好处是可以提高构造本身刚性，减少振动和弹性变形，改善受拉模块的弹性强度，提高结构的抗性。

）有预应力的谐响应分析可用缩减法和模态叠加法进行。

对于有预应力的谐响应分析，为了在模态叠加法谐响应分析中包含预应力效果，必须首先进行有预应力的模态分析。

在完成了有预应力模态分析后，就可以像一般的模态叠加法那样进行分析了。

而对于对于有预应力的模态分析，由于结构预应力会改变结构的刚性，因此预应力结构模态分析是结构设计中必须考虑的因素。

预应力模态分析步奏与常规模态分析大致相同，其差别在于:（1）先对造成预应力的外力进行静力分析；（2）在静力分析和模态求解中打开PSTRES，on命令，表示考虑了预应力效应。

模态叠加法进行谐响应分析的步骤如下：一、建模1）只能用线性的单元和材料，忽略各种非线性的性质。

* 谐响应分析的概述* 1谐响应分析的概念谐响应分析（Harmonic Response Analysis）用于确定线性结构在承受一个或多个随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时的稳态响应的一种技术，分析过程中只计算结构的稳态受迫振动，不考虑激振开始时的瞬态振动，谐响应分析的目的在于计算出结构在几种频率下得响应值（通常是位移）对频率的曲线，从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步考虑频率对应的应力。

从而使设计人员能预测结构的持续性动力特性，验证设计是否能克服共振、疲劳以及其他受迫振动引起的有害效果。

谐响应分析技术只计算结构的稳态受迫振动。

发生在激励开始时的瞬态振动不在谐响应分析中考虑。

谐响应分析是一种线性分析。

任何非线性特性，如塑性和接触单元，即使定义了也被忽略，但在分析中可以包含非对称系统矩阵。

谐响应分析同样也可分析有预应力的结构。

* 2谐响应分析的理论基础谐响应分析的基本运动方程为：(4-1)通用运动方程为：（4-2）简谐运动的分析方程为：（4-3）（4-4）其中：—激振力矩阵—刚度矩阵—质量矩阵—位移矩阵—载荷幅值—实部载荷—虚部载荷—载荷函数的相位角—位移幅值这里假设刚度矩阵、质量矩阵是定值，要求材料是线弹性的、使用最小位移理论（不包括非线性）、阻尼为、激振力（简谐载荷）为。

谐响应分析的输入条件包括：（1）已知幅值和频率的简谐载荷（力、压力和强迫位移）（2）简谐载荷可以是具有多种频率的多种载荷，力和位移可以相同或者不相同，但是压力分布载荷只能指定零相位角。

谐响应分析的输出结果分析包括：（1）每个自由度的谐响应位移，通常情况下谐响应位移和施加的载荷是不相同的。

（2）应力和应变等其它导出值。

* 3谐响应分析的求解基本方法（1）完整法(full)—为缺省方法，是最容易的方法；—使用完整的结构矩阵，且允许非对称矩阵（例如：声学矩阵）。

—允许定义各种类型的荷载；预应力选项不可用；（2）缩减法(reduced)—使用缩减矩阵，比完整法更快；—需要选择主自由度，据主自由度得到近似的 [M]矩阵和[C]矩阵。

§2.1谐响应分析的定义与应用任何持续的周期载荷将在结构系统中产生持续的周期响应（谐响应）。

谐响应分析是用于确定线性结构在承受随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时的稳态响应的一种技术。

分析的目的是计算出结构在几种频率下的响应并得到一些响应值（通常是位移）对频率的曲线。

从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步观察峰值频率对应的应力。

该技术只计算结构的稳态受迫振动，而不考虑发生在激励开始时的瞬态振动。

（见图1）。

谐响应分析使设计人员能预测结构的持续动力特性，从而使设计人员能够验证其设计能否成功地克服共振、疲劳，及其它受迫振动引起的有害效果。

图1（a）典型谐响应系统。

F0及ω已知，u0和Φ未知。

（b）结构的瞬态和稳态动力学响应。

谐响应分析是一种线性分析。

任何非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，即使定义了也将被忽略。

分析中可以包含非对称系统矩阵，如分析在流体─结构相互作用中问题（参见<<ANSYS耦合场分析指南>>的第5章）。

谐响应分析也可以分析有预应力结构，如小提琴的弦（假定简谐应力比预加的拉伸应力小得多）。

§2.2谐响应分析中用到的命令建模过程与执行谐响应分析可以使用其它类型分析相同的命令。

同样，无论进行何种类型的分析，均可以从用户图形界面（GUI）中选择等效的选项来建模和求解。

在后面的“谐响应分析实例（命令或批处理方式）”中，将会给出进行一个谐响应分析需要执行的命令（GUI方式或者批处理方式运行ANSYS时用到的）。

而“谐响应分析实例（GUI方式）”则描述了如何用ANSYS用户图形界面的菜单执行同样实例分析的过程。

（要了解如何用命令和用户图形界面进行建模，请参阅《ANSYS建模与网格指南》）。

《ANSYS命令参考手册》中有更为详细的ANSYS命令说明，它们是按字母顺序进行组织的。

§2.3三种求解方法谐响应分析可采用三种方法：完全法（Full）、缩减法（Reduced）、模态叠加法（Mode Superposition）。

ANSYS动⼒分析—谐响应分析（转载）…谐响应分析1.谐响应分析的定义：谐响应分析是⽤于确定线性结构在承受随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时稳态响应的⼀种技术。

分析的⽬的是计算结构在⼏种频率下的响应并得到⼀些响应值对频率的曲线。

该技术只计算结构的稳态受迫振动，不考虑结构发在激励开始时的瞬态振动。

谐响应分析使设计⼈员能预测结构的持续动⼒特性，从⽽使设计⼈员能够验证其设计是否能够克服，疲劳，共振，及其他受迫振动应起的有害效果。

谐响应分析是⼀种线性分析，⾮线性特性被忽略。

2.谐响应分析的求解⽅法。

full（完全法）reduced（缩减法）mode superpos'n(模态叠加法)full（完全法）允许定义各种类型的荷载；预应⼒选项不可⽤；reduced（缩减法）可以考虑预应⼒；只能施加单元荷载（压⼒，温度等）mode superpos'n(模态叠加法)通过对模态分析的道德振型（特征向量）乘以因⼦并求和来计算出结果的响应。

可以包含预应⼒，可以考虑振型阻尼，不能施加⾮零位移谐响应分析的基本步骤：完全法分析过程有3个主要步骤：建模，加载求解，结果后处理1.建⽴模型同样⾮线性⾏为将被忽略2.加载求解*指定分析类型为：harmonic*指定分析选项：包括solution method和dof printout format（解的输出形式）及use lumped mass approx？（质量矩阵形成⽅式）*在模型上加载：谐响应分析所加的载荷随时间按正弦规律变化。

指定⼀个完整的简谐荷载需要输⼊3条信息。

幅值(amplitude)、相位⾓(phase angle)、强制频率范围(forcing frequency range)注意：谐响应分析不能同时计算多个频率的荷载作⽤，但可以分别计算，后叠加。

*谐响应分析荷载步选项普通选项：number of substebs(谐响应节数⽬)，选择加载⽅式 stepped or ramped动⼒学选项：频率范围 frequence range ，阻尼(damping)输出控制选项：*开始求解3.观察结果缩减法谐响应分析步骤1.建模2.加载并得减缩解3.观察节缩解结果4.扩展解5.观察扩展的解结果与full法不同的是，要定义主⾃由度。

八、谐响应分析8.1问题描述单自由度系统如图所示，质量m=1kg,弹簧刚度k=10000N/m，阻尼系数c=63，作用在系统上的激振力N t t f F F 2000,sin )(00==ω,ω为激振频率。

单自由度系统8.2求解步骤1、建立工作文件名和工作标题2、定义单元类型及实常数1）定义单元类型：Main Menu→Preprocessor→Element Type→Add/Edit /Delete。

弹出对话框，单击“Add”按钮；弹出对话框，在左侧列表中选“Structural Mass”，在右侧列表中选“3D mass 21”，单击“Apply”按钮；再在左侧列表中选“Combination”，在右侧列表中选“Spring-damper14”,单击“Ok”按钮；单击对话框的“Close”按钮。

2）定义实常数：Main Menu→Preprocessor→Real Constants→Add/Edit /Delete。

单击“Add”按钮，弹出对话框，在列表中选择“Type 1MASS21”，单击“OK”按钮，弹出对话框，在“MASSX”文本框中输入1，单击“OK”按钮；返回对话框，单击“Add”按钮，再次弹出对话框，在列表中选择“Type 2COMBIN14”，单击“OK”按钮，弹出图所示的对话框，在“K”文本框中输入10000，在“CV1”文本框中输入63，单击“OK”按钮；返回，单击“Close”按钮。

3、生成几何模型，划分网格1）创建节点：Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create→Nodes→In ActiveCS。

弹出对话框，在“NODE”文本框中输入1，在“X,Y,Z”文本框中分别输入0,0,0，单击“Apply”按钮；在“NODE”文本框中输入2，在“X,Y,Z”文本框中分别输入1,0,0，单击“OK”按钮。

2）设置要创建单元的属性：Main Menu→Preprocessor→Modeling→Create →Elements→Elem Attributes。

最小网原创教程——AnsysWorkBench11.0振动电机轴谐响应分析 AnsysWorkBench11.0振动电机轴谐响应分析 最小网站长：kingstudio最小网Ansys 教程频道为您打造最IN 的教程/1．谐响应分析简介任何持续的周期载荷将在结构系统中产生持续的周期响应（谐响应）。

谐响应分析是用于确定线性结构在承受随时间按正弦（简谐）规律变化的载荷时的稳态响应的一种技术。

分析的目的是计算出结构在几种频率下的响应并得到一些响应值（通常是位移）对频率的曲线。

从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步观察峰值频率对应的应力。

该技术只计算结构的稳态受迫振动，而不考虑发生在激励开始时的瞬态振动。

（见图1）。

谐响应分析使设计人员能预测结构的持续动力特性，从而使设计人员能够验证其设计能否成功地克服共振、疲劳，及其它受迫振动引起的有害效果。

谐响应分析是一种线性分析。

任何非线性特性，如塑性和接触（间隙）单元，即使定义了也将被忽略。

分析中可以包含非对称系统矩阵，如分析在流体─结构相互作用中问题。

谐响应分析也可以分析有预应力结构，如小提琴的弦（假定简谐应力比预加的拉伸应力小得多）。

谐响应分析的定义与应用介绍：/ArticleContent.asp?ID=7852. 工程背景在长距离振动输送机、概率振动筛等变载荷振动机械中，由于载荷的变化幅度较大，且多为冲击或交变载荷，使得作为动力源与振动源的振动电机寿命大为缩短，其中振动电机阶梯轴的弹塑性变形又会中速振动电机的失效，故研究振动电机轴的谐响应，进而合理设计其尺寸与结构，是角决振动电机在此类场合过早失效的主要途径之一。

现以某型振动电机阶梯轴为分对象，振动电机属于将动帮源与振动源合为一体的电动施转式激振源，在振动电机轴两端分别装有两个偏心块，工作时电机轴还动两偏心块作顺转无能无力产生周期性激振力t sin F F 1ω=，其中为施加载荷，由些电机轴受到偏心块施加的变载荷冲击，极易产生变形和疲劳损坏，更严重者，当激振力的频率与阶梯轴的固有频率相等时，就会发生共振，造成电机严重破坏，故对电机进行谐应力分析很必要。

虽然在ANSYS中进行谐响应分析是一个很简单的过程，只需要几行代码就可以实现。

很多朋友根据书上或者网上已有的分析代码稍作修改就可以进行分析了。

但是其中很多概念是否理解了呢，得到的结果有什么实际意义呢。

下面通过介绍一个单自由度的弹簧振子的谐响应分析理论求解，然后在ANSYS中求解。

通过两种结果的对比，以解释一些概念。

这个例子是Help手册中的VM86，很多振动学的教材中都会有这样的例子。

1.问题描述如上图是一个典型的单自由度弹簧振子系统。

假设此系统承受谐激励载荷。

其中为激励载荷的幅值，为载荷的周期。

2.理论基础此系统的动力方程为：(1)这个方程的求解方法很多，下面介绍一种最常用的求解方式：方程两边同除以，得到(2)如果令，则上式可以写成：(3)这个方程的解分为两部分，一部分为齐次方程的解，就是阻尼系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫瞬态响应。

另一部分是特解，也就是强迫振动响应。

不会随时间衰减，所以称为稳态响应。

由于系统是线性系统，瞬态响应和稳态响应可分别求解，然后合成为系统的总响应。

下面介绍如何求解系统的稳态响应，即方程(3)的特解。

由于激振力为简谐力，可以证明系统的稳态响应也是简谐的，并且与激振力有同样的频率。

设系统的稳态响应有如下形式：(4)其中，和分别是系统响应的幅值和相位。

将式(4)代入方程式(3)，可得(5)利用三角函数关系故有，(6)求解上式可得到(7)这样就得到了系统稳态响应的幅值和相位角对于方程(3)的齐次方程的解，也就是瞬态解这里只是给出求解结果，以后有机会再写详细的求解过程。

有阻尼系统的自由振动方程为：(8)工程中阻尼一般比较小，此方程的解可以表示为：于是振动微分方程的(1)的解为：画出此响应曲线如下图：从图中可以看到，正如前面所说的，由于阻尼的存在，瞬态响应部分随时间的增加很快就消失了。

所以通常进行谐强迫振动分析时，我们只需关注系统的稳态解，也就是求解幅值和相位角。