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7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式
• 建立状态空间表达式的方法:一是机理分析，选 择适当的状态变量，建立其状态空间表达式； 二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态 空间表达式。
例：试列写下面两种简单系统——电路系统和力 学系统的机理方程，选择适当的变量作为状态 变量，并建立相应的状态空间表达式。
y(t) Cx(t) Du(t)
问题：1 什么是状态？ 2 状态是否唯一？
系统状态空间描述的结构示意图
1
两种描述方式的比较：
例1．考虑传递函数
H(s) 1 s 1
系统不稳定，欲使其稳定，可在H（s）前 面串联一个补偿器
得：
H c (s)
s s
1 1
H
c
(s)H
(s)
s s
1 1
s
1 1
s
1
方程组：
dx1 dt
R L
x1
1 LC
x2
1u L
dx2 dt
x1
写成状态方程：
x
再根据输出y ec
xx1，12 可i dt得1RL相应L01C的 输xx12出 方 L10 程 u 为：
C
y 0
1 x1
C
x2
值得注意的是：状态变量选择的不同，得到的状 态空间表达式也是不同的，这点与传递函数所 代表的外部描述不同，对于一个系统，如果输 入和输出确定，那么传递函数就是唯一确定的 ，而状态空间描述则根据状态变量选择的不同 而不同，同一个系统可以具有不同的状态空间 表达式。
实验指导书： 自动控制原理实验指导书，本校自动 化系编
学习方式： 授课、习题、实验、考试
第7章 状态空间分析设计方法
线性系统理论的两大分支
经典控制论
现代控制论
数学基础 拉普拉斯变换 线性代数、矩阵分析
系统模型 传递函数
状态空间表达
处理域
频域
时域
应用对象 SISO系统
MIMO系统
本章主要内容——现代控制论的重要 分支：状态空间设计方法
仅限于单输入单输出线性定常系统：
y(n) an1 y(n1) ... a0 y bmu(m) ... b0u
引入微分算子 p d / dt ，则系统可以写成:
解：(1)弹簧-质量-阻尼器系统，外加拉力
Fi为输入，质量单元的位移y为输出，根
据牛顿第二定律可得:
ma
F
m
d2 y dt 2
其中合力：
F Fi Fk Ff Fk ky
dy Ff f dt
整理得：
d2 y dy
m dt 2
f
dt
ky Fi
选定变量：x1 y 得到状态方x程2 ：y x1
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学 时： 48（包含上机4学时）
教 材： 自动控制原理
厉玉鸣等主编，化学工
业出版社，2005年
参考书： • 自动控制原理（第四版）胡寿松主编， 国防工业出版社，2002年 • 自动控制原理 孙亮等主编，北京工业 大学出版社 1999年
习题集： 控制原理例题习题集，周春晖，厉玉鸣主 编，化工出版社（归纳总结，例题分析）
•内部描述——状态空间，能够完全表征 系统的一切动力学特征：
完全描述
（1）状态方程：输入作用引起系统状态发生变化， 通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：
x(t) Ax(t) Bu(t)
（2）输出方程：状态和输入的改变决定u Fi , y y ,
dx1 dt
x2
x
x1
x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
u
dx2 dt
f m x2
k m x1
1u m
y 1
0
x1 x2
(2) RLC电路，设ei为输入，电压ec为
输出，根据基本电路定律有：
L
di dt
Ri
1 C
i
dt
ei
选择状态变量为 x1 i, x2 ，可idt推导出2个一阶微分
• 系统模型 状态空间模型的建立、与传递 函数描述之间的相互转化；
• 系统分析 状态空间运动分析；能控性和 能观性的基本概念与判据、能控、能观 标准形及结构分解；
• 系统综合 基于状态空间模型的控制系统 设计方法——极点配置和观测器设计。
第一节 线性系统的状态空间数学模型
7.1.1 系统状态空间表达的基本概念 7.1.2 线性系统的状态空间描述 7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式 7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式 7.1.5 由传递函数建立状态空间表达式 7.1.6 状态空间表达式与传递函数矩阵
7.1.1 系统状态空间表达的基本概念
状态
表示系统在过去、现在和未来时刻的状况
选取的不唯一性
状态变量
能够完全描述系统行为的最小一组变量，只 要给定了当前时刻的这组变量以及未来时 刻作用在系统上的输入，那么系统在未来 任意时刻的行为就可以完全确定。
状态向量
x1 (t)
x(t)
x
2
(t
)
xn
(t
x PA(xAPPx1x1xBuP)Bu ) Ax Bu
y
C
Px1xDuDu
Cx
Du
那么就称这两个状态空间描述是代数等价的。
• 由于坐标系的选择带有人为的性质，而系统的 特性却带有客观性，因此系统在坐标变换下的 不变性和不变属性就反映出系统的固有特征。 2
7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式
)
以完全表征系统的状态变量为元构成的向 量就是状态向量
状态空间
以n个状态变量为基底所构成的n维空间就 称为状态空间，状态空间中的一点就代 表系统在某一特定时刻的状态。
7.1.2 线性系统的状态空间描述
不完 全描
述 •外部描述——传递函数：不表征系统的
内部结构和内部变量，只反映外部变量组
输入与输出间的因果关系
1
系统结构图：
理论上，零极点对消，系统稳定 实际中，系统往往会出现失效或达到饱和
从状态空间的角度分析上述实现中主要变量 的演变过程
系统状态方程为
x1 x1 2v x2 x2 u x2 x1 v y x2
求解可得：
x1(t) et x10 2et v, 为卷积运算 y x2(t) et x20 0.5(et et )x10 et v
问题：例如上面例题中提到的RLC电路，如果以
x1 i, x2 ec
作为一组状态变量， 则状态空间表达为…..?
• 系统的不同的状态空间描述就是同一个系统在 不同的坐标系下的表征
代数等价：给定一线性定常系统 (A, B,C，, D如) 果引
入一非奇异变换： 其x 中PPx是, 非奇异矩阵，经
过状态变换后，系统可以写成