电容的充放电过程及其应用
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电容的充放电过程及其应用
一、实验目的
1．观察RC电路的矩形脉冲响应。
2．了解RC微分电路、积分电路及耦合电路的作用及特点。
3．学习双踪示波器的使用方法。
二、实验原理
1．RC串联电路的充放电过程
在由电阻R及电容C组成的直流串联电路中，暂态过程即是电容器的充放电过程（图
1），当开关K打向位置1时，电源对电容器C充电，直到其两端电压等于电源E。这个暂
态变化的具体数学描述为q＝CUc，而I = dq / dt ，故
dt
dUc
C
dt
dq
i=
=（1）
E
iR
Uc=
+（2）
将式(1)代人式(2)，得
E
RC
Uc
RC
dt
dUc1
1
=
+
考虑到初始条件t=0时，u C=0，得到方程的解：
[]
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
-
=
-
=
-
=
=
RC
t
E
U
E
U
RC
t
R
E
i
RC
t
E
U
C
R
/
exp
/
exp
）
/
-
（
exp
-
1
C
上式表示电容器两端的充电电压是按指数
增长的一条曲线，稳态时电容两端的电压等于电
源电压E，如图2(a) 所示。式中RC=τ具有时间
量纲，称为电路的时间常数，是表征暂态过程进
行得快慢的一个重要的物理量，由电压u c上升
到0.63E，1/e≈0.37，所对应的时间即为τ。
当把开关k1打向位置2时，电容C通过电阻R放电，放电过程的数学描述为
将
dt
dUc
C
i=，代人上式得0
1
=
+Uc
RC
dt
dUc
由初始条件t＝0时，Uc＝E，解方程得
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
-
-
=
-
-
=
-
=
)
/
exp(
)
/
exp(
)
/
exp(
RC
t
E
U
RC
t
R
E
i
RC
t
E
Uc
R
表示电容器两端的放电电压按指数律衰减到零，τ也可由此曲线衰减到0.37E所对应的
时间来确定。充放电曲线如图2所示。
2. 半衰期T1/2
图2 RC电路的充放电曲线
（a）电容器充电过程（b）电容器放电过程
U R
Uc
K
1
2
V
E
R
C
图1 RC串联电路
与时间常数τ有关的另一个在实验中较容易测定的特征值，称为半衰期T 1/2，即当U C （t ）下降到初值（或上升至终值）一半时所需要的时间，它同样反映了暂态过程的快慢程度，与t 的关系为：T 1/2 =τln2 = 0.693τ（或τ= 1.443T 1/2）
3. RC 电路的矩形脉冲响应。
若将矩形脉冲序列信号加在电压初值为零的RC 串联电路上，电路的瞬变过程就周期性地发生了。显然，RC 电路的脉冲响应就是连续的电容充放电过程。如图3所示。
图3 RC 电路及各元件上电压的变化规律
若矩形脉冲的幅度为U ，脉宽为t p 。电容上的电压可表示为：
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤⋅≤≤-=-
-211
0)1()(t t t e U t t e U t u t
t c τ
τ 电阻上的电压可表示为：
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤⋅-≤≤⋅=-
-2
110)(t t t e U t t e U t u t
t
R ττ
即当10t t ≤≤时，U t u i =)(，电容被充电；当21t t t ≤≤时，电容器经电阻R 放电。 4．RC 电路的应用
（1）微分电路。取RC 串联电路中的电阻两端为输出端，并选择适当的电路参数使时间常数τ< dt t du RC dt du RC i R t u i c c ) ()(0⋅≈⋅ =⋅= (t u i )(t R ) (t C )(t u i (t u R (t u C u u u -t t t