高三数学冲刺专题练习—排列组合概率(含答案详解) (2)

2014高三暑期保送复习《排列组合与概率》专题第一讲 排列组合与二项式定理【基础梳理】 1．排列(1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示． (3)排列数公式 A mn ＝(4)全排列数公式 A nn ＝(叫做n 的阶乘)． 2．组合(1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示． (3)组合数公式C m n ＝(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0n ＝1. (4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 3．二项式定理 （1）(a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n的其中的系数C rn (r ＝0,1，…，n )叫． 式中的C r n an －r b r叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r. （2）．二项展开式形式上的特点 ①项数为.②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为.③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn . (3)．二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数即②增减性与最大值： 二项式系数C kn ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项取得最大值．③各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝.【基础自测】1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有( )． A ．360种 B ．4 320种 C ．720种D ．2 160种2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有( )． A ．200个 B ．190个 C ．185个 D ．180个3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )． A ．36种 B ．42种 C ．48种 D ．54种4.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有( )．A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种 5．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．6.(2011·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )． A ．80 B ．40 C ．20 D ．107.若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )． A ．45 B ．55 C ．70 D ．808.(人教A 版教材习题改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )．A．9 B．8 C．7 D．69．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．A．6 B．7 C．8 D．9【例题分析】考向一排列问题【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．【巩固练习1】用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．考向二组合问题【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【巩固练习2】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？考向三排列、组合的综合应用【例3】►(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算x ＋y ＋z ＝6的正整数解有多少组； (3)计算x ＋y ＋z ＝6的非负整数解有多少组．【巩固练习3】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．【巩固练习4】► 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？【巩固练习5】 在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？考向四 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例4】►已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【训练6】(2011·山东)若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．考向五 二项式定理中的赋值【例7】►二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．【训练7】 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.考向六 二项式的和与积【例8】►(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为________．【训练8】(2011·广东)x ⎝⎛⎭⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________(用数字作答)．【巩固作业】一、选择题11 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ） A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 22 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．1033．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）使得()3nx n N n+⎛∈⎝的展开式中含有常数项的最小的为（）A．4B．5C．6D．744．（2013年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b,共可得到lg lga b-的不同值的个数是（）A．9B．10C．18D．2055 ．（2013年高考陕西卷（理））设函数61,.,()x xf x xx⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩, 则当x>0时, [()]f f x表达式的展开式中常数项为（）A．-20 B．20 C．-15 D．1566．（2013年高考江西卷（理））(x2-32x)5展开式中的常数项为（）A．80 B．-80 C．40 D．-40二、填空题77．（2013年上海市春季高考数学试卷(）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________88．（2013年高考四川卷（理））二项式5()x y+的展开式中,含23x y的项的系数是_________.(用数字作答)99．（2013年上海市春季高考数学试卷(）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).1010．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）将FEDCBA,,,,,六个字母排成一排,且BA,均在C的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)1111．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)1212．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.第二讲离散型随机变量和其分布列【知识梳理】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． (3)分布列设离散型随机变量X 可能取得值为x 1，x 2，…，x i ，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表为随机变量X 的概率分布列，简称(4)分布列的两个性质①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝_1_. 2．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 3．超几何分布列在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{X ＝k }发生的概率为：P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N (k＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，则称分布列为超几何分布列． 【基础自测】1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )． A ．出现正面的次数 B ．出现正面或反面的次数 C ．掷硬币的次数 D ．出现正、反面次数之和2．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )． A ．X 取每个可能值的概率是非负实数 B ．X 取所有可能值的概率之和为1C ．X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于（）A.316 B.14 C.116 D.5164．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )．A ．25B ．10C ．7D ．65．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________．考点一 由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】►(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学 (1)求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．【练习1】 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后可获收益的分布列是________． 考点二 由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X 表示取球终止时所需要的取球次数． (1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X 的分布列；(3)求甲取到白球的概率．【练习2】 (2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力． (1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．投资成功 投资失败 192次8次考点三 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列【例3】►(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.【练习3】 某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H 1N 1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列(不要求写出计算过程)，并求X 的均值(即数学期望)．【练习4】►(本题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记ξ＝|x －2|＋|y －x |. (1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列．【练习5】 某射手进行射击练习，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)； (3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列． 【巩固作业】1、如果X 是一个离散型随机变量，则假命题是( )A.X 取每一个可能值的概率都是非负数；B.X 取所有可能值的概率之和为1；C.X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）X1 2 3 4P16 1316a A ．12 B ．16 C ．13 D ．144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ）A. 一枚是3点，一枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题) 如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为A.3B.5C.6D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127D.6511.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种13 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10，则X 的取值为 15、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为16.(2007年重庆卷第4题)若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以和ξ取每一值时的概率．19.(2007年重庆卷第6题) 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷) 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少21、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的分布列．X -10 1 p 0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p 0.4 0.7 -0.1 X 5 0 -5 p 0.3 0.6 0.1 ()1,2,3,4,5,P X k k k === ④ ⑤高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B 二、填空题： 13、 ③④ 14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 20三、解答题：17、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． X 10 －1 P74 71 72 19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++⋅+⋅⋅C C C C C C （种）. 所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=⨯⨯-⨯=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ．．．n 2 ．．． P21 41 81 161 ．．． n 21 ．．．∴(10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：X 1 2 P3414第三讲 随机变量的数字特征【基础梳理】 1．条件概率和其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝ (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1；② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝，P (AB )＝(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是的． (2)二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．4.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为三种分布(1)若X 服从两点分布，则E(X)＝p ，D(X)＝p(1－p)； (2)X ～B(n ，p)，则E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)； (3)若X 服从超几何分布， 则E(X)＝n MN .期望和方差性质 (1)E (C )＝C (C 为常数)(2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数) (3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2(4)D (aX ＋b )＝a 2·D (X ) 【基础自测】1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．2 2．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：(1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值 或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差 称D (X )＝∑i ＝1n [x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均 ，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 3．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：该随机变量ξ的均值是________．4．小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．A.49B.29C.427D.2275．如果X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．3或46．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )． A.12 B.14 C.16 D.18 考点一 离散型随机变量的均值和方差【例1】►A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )．【练习1】 (2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．考点二 均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X 具有分布P (X ＝k )＝15，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2，D (2X －1)，DX －1.【练习2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求X 的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．考点三 均值与方差的实际应用【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示： 且X 1的数学期望E (X 1)＝6，求a ，b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．X 1 5 6 7 8 P0.4a b0.1注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．【练习3】 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用X 表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X 的概率分布和E (X )； (2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．考点四 条件概率【例4】►(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12【练习4】 (2011·湖南高考)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则 (1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.考点五 独立事件的概率【例5】►(2011·全国)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【练习5】 (2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．考点六 独立重复试验与二项分布【例6】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．【练习6】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．【巩固作业】1．已知X 的分布列为。

高中数学练习题附带解析排列与组合的概率与计算高中数学练习题附带解析：排列与组合的概率与计算一、排列与组合的概念简介在数学中，排列与组合是非常基础且重要的概念。

排列通俗的理解就是将对象按照一定的方式排列，而组合则是从一组对象中选择若干个对象（不考虑顺序）。

使用排列与组合，我们可以解决很多实际问题，比如说在排队、选票、集合中选择、生肖配对等许多场景中都能够应用到这些概念。

二、排列与组合的基本公式1. 排列的基本公式在排列中，我们有 n 个对象，选取其中的 r 个对象进行排列，一共会有 P(n,r) 种排列方式，其中 P(n,r) 的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示从 1 到 n 的阶乘（即 n! = 1×2×3×...×n），! 符号表示阶乘。

2. 组合的基本公式在组合中，我们有 n 个对象，选取其中的 r 个对象进行组合，一共会有 C(n,r) 种选择方式，其中 C(n,r) 的计算公式为：C(n,r) = n! / [r! × (n-r)!]三、练习题及解析1. 把“X,Y,Z”这三个字母排成三位无重复数字，其排列方式有多少种？解析：这是一个排列问题。

由于要求无重复数字，因此这里的 n 为3，r 也为 3，代入排列公式得：P(3,3) = 3! / (3-3)! = 3! / 0! = 6因此，排列方式有 6 种。

2. 从10个人中选出5人组成一个物理小组，其中必须有张三、李四，问有多少种选择方式？解析：这是一个组合问题。

由于必须选择张三、李四这两个人，因此我们只需要在剩下的 8 个人中选取 3 人即可，代入组合公式得：C(8,3) = 8! / [3! × (8-3)!] = 56因此，选择方式有 56 种。

3. 由“T,O,M”这三个字母组成的不同三位字母组合的个数是？解析：这是一个组合问题。

由于不考虑顺序，因此这里的 n 为 3，r 也为 3，代入组合公式得：C(3,3) = 3! / [3! × (3-3)!] = 1因此，不同三位字母组合个数为 1。

高考数学压轴题突破训练排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解）1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为344342nn (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求：（I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数。

（1）求的分布列，期望及方差；（2）求的分布列，期望及方差；4. 某大型商场一个结算窗口，每天排队结算的人数及相应概率如下：排队人数0—5 6—10 11—15 16—20 21—2525以上概率0.1 a 0.25 0.25 0.2 0.05（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率；（2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；（3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。

2023年高考数学考点复习——排列组合考点一、排列例1、A ，B ，C ，D ，E 五人站成一排，如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．60种答案：A解析：A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，考虑A ，B 作为一个整体，所以不同的排法种数为4424A =种.故选：A例2、七人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙､丙两人必须相邻，则排法共有（ ） A ．48种 B ．96种 C ．240种 D ．480种答案：D解析：特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有12A 种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余四个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有152252480A A A =(种)．故选：D例3、某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ ） A ．216种 B ．240种 C ．288种 D ．384种答案：D解析：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性， 乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性， 所以6人的名次排列情况可能有4444384A ⨯⨯=种． 故选：D ． 跟踪练习1、A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A ，B ，C 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B 说：“你的名次在C 之前．”对C 说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（ ） A ．108 B ．120 C ．144 D ．156答案：A解析：因为A ，B ，C 都没有得到冠军，所以从D ，E ，F 中选一个为冠军，有13C 种可能． 因为C 不是最后一名，B 的名次又在C 之前，所以最后一名有13C 种可能，剩下4个位置．因为B ，C 定序，所以有442212 A A =种可能，所以6人的名次排列有3312108⨯⨯=种不同情况．故选：A2、十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（）A．14B．16C．512D．724答案：A解析：用根6算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为1,2,3；1,2,7；1,3,6；1,6,7，三位数有1,2,3；1,2,7；1,3,6；1,6,7这四种情况每一种情况三个数的全排列，有334A种，能被3整除的基本事件的个数为1,2,3的全排列，有33A种，所以这个三位数能被3整除的概率为3333A14A4=，故选：A.3、为了援助湖北抗击疫情，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分别为1，2，3，4，5，6，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）A．112B．16C．15D．13答案：D解析：总共的降落方法有66720A=(种)，1号与6号相邻降落的方法有：42521202240A A=⨯=(种)1号与6号相邻降落的概率为：2401 7203=，故选:D4、甲､乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲､乙两人分配到延安､西安､汉中这3个赛区，则甲､乙都被分到汉中赛区的概率为（）A．19B．16C．13D．12答案：A解析：当甲､乙两人分配到不同的赛区时，有236A=种分法，当甲､乙两人分配到相同的赛区时，有3种分法， 则总共有6+3=9种分法，而甲､乙都被分到汉中赛区仅1种分法， 所以甲､乙都被分到汉中赛区的概率为19.故选：A.5、将甲、乙、丙、丁、戊5位同学排成一横排，要求甲、乙均在丙的同侧，且丙丁不相邻，则不同的排法共有__________种．(用数字作答) 答案：48 解析：根据题意，分3步进行分析：安排甲乙丙，要求甲、乙均在丙的同侧，有2224A =种情况；将戊安排在3人的空位中，有4种情况；4人排好后，有5个空位，由于丙丁不相邻，则丁的安排方法有3种； 则有44348⨯⨯=种不同的排法， 故答案为：48．6、某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有___________种. 答案：120解析：根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有3560A =种安排方法，则有260120⨯=种不同的安排方法， 故答案为：120.7、杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A 、B 、C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A 、B 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有__________种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答） 答案：52解析：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都不参加志愿活动，在剩下的4人中任选3人参加即可，有3424A =种选拔方法；②甲参加但乙不参加志愿活动，甲只能参加C 项目，在剩下的4人中任选2人参加A 、B 项目，有2412A =种选拔方法；③乙参加但甲不参加志愿活动，乙只能参加A 项目，在剩下的4人中任选2人参加B 、C 项目，有2412A =种选拔方法；④甲乙都参加志愿活动，在剩下的4人中任选1人参加B 项目，有144A =种选拔方法，则有241212452+++=.故答案为：528、6人排成一行，甲、乙相邻且丙不排两端的排法有（ ） A ．288种 B ．144种 C ．96种 D ．48种答案：B解析：把甲乙两人捆绑成一个元素，有222A =种排法，现在相当于有5个元素排在5个位置上，先将丙排在中间3个位置中的某一个，有133A =种排法，再将剩余的4个元素排在剩余的4个位置上，有4424A =种排法，所以共有2324144⨯⨯=种排法.故选:B.9、由1，2，3，4，5，6六个数字按如下要求组成无重复数字的六位数，1必须排在前两位，且2，3，4必须排在一起，则这样的六位数共有（ ） A ．48个 B ．60个 C ．72个 D ．84个答案：B解析：把2，3，4捆绑在一起，作为一个元素排列，当1排在第一位时，有333336A A ⋅=种排法；当1排在第二位时，2，3，4作为一个元素只能排在第三、四、五位或第四、五、六位，故共有3232224A A ⋅=种排法.由分类加法计数原理得，共有60种排法. 故选：B.10、高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ） A ．42种 B ．96种 C ．120种 D ．144种答案：C解析：因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻， 所以课程编排方案共有52521A A 1202=种，故选：C.11、一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________． 答案：49解析：将4个白球和5个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排， 每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为99A ，其中第4个球是白球的排法数为1848A A ，故所求概率为184899A A 4A 9P ==，故答案为：4912、某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）答案：25200解析：一共有10条灯谜，共有1010A 种方法，由题意可知而其中按2，3，3，2组成的4列相对位置不变，所以结合倍缩法可知共有10102332233225200A A A A A =种，也即是这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法有25200种故答案为：25200. 考点二 组合例1、从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，则不同的选取方案数为（ ） A ．10 B ．20 C ．540 D ．1080答案：A解析：从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人， 即6个志愿者名额分到3个小区，每个小区至少1个， 等价于6个相同的小球分成3组，每组至少1个， 将6个小球排成一排，除去两端共有5个空，从中任取2个插入挡板，共有2510C =（种）方法，即从三个小区中选取6人做志愿者，每个小区至少选取1人，不同的选取方案数为10. 故选：A例2、试题安排6名志愿者扶贫干部到甲、乙、丙三个贫困村做扶贫工作，每人只做1个村的脱贫工作，甲村安排1名，乙村安排2名，丙村安排3名，则不同的安排方式共有___________种． 答案：60解析：先选一个人安排到甲村，有16C 种方法；再从剩下的5个人中选2个人安排到乙村，有25C ,最后把剩下的3个人安排到丙村，有33C 种方法，根据乘法分步原理共有12365360C C C =种方法.故答案为：60例3、某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ） A ．10 B ．20 C ．60 D ．100答案：A解析：从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了） 故选：A 跟踪练习1、某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲､乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到A 和B 两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲､乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．12答案：B解析：由题意，分情况讨论，若A 和B 两个社区一个社区1个志愿者，另一个社区3个志愿者，则只需让甲或乙单独去一个社区即可，共224⨯=种情况； 若A 和B 两个社区分别有两个志愿者，则共有1224C ⨯=种情况； 因此共：448+=种不同的分配方案 故选：B2、某城市新修建的一条道路上有10盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有___________种（请用数字作答） 答案：20解析：先将亮的7盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有6个符合条件的空位，进而在6个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有36=20C 种方法. 故答案为：203、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=______． 答案：5142728解析：从9个球中任取3个球有3984C =种不同的方法，1-9中能被3整除的有3,6,9，除3余1的有1,4,7，除3余2的有2,5,8，故将1-9划分为以上三类，显然来自同一类的三个数和为3的倍数，每个类别抽1个的三个数和也为3的倍数（其余数为0+1+2=3为3的倍数），所以在其中取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有111333330C C C +=种，所以取出的3个球的标号之和能被3整除的概率3058414P ==． 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有： ①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个； ②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个； ③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个．则()123339327918428C C P C ξ====． 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个，则()123339327928428C C P C ξ====， 所以()5992701214282828E ξ=⨯+⨯+⨯=． 故答案为：514；2728． 4、从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ） A ．20 B ．55 C ．30 D ．25答案：B解析：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有3735C =种选法，若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有3510C =种， 则有351025-=种不同的选取方案，故选：B ．5、国外新冠肺炎不断扩散蔓延，某地8名防疫工作人员到A 、B 、C 、D 四个社区做防护宣传，每名工作人员只去1个社区、A 社区安排1名、B 社区安排2名、C 社区安排3名，剩下的人员到D 社区，则不同的安排方法共有（ ） A ．39种 B ．168种 C ．1268种 D ．1680种答案：D解析：首先从8名工作人员中选1名去A 社区，方法数有18C ；然后从其余7名工作人员中选2名去B 社区，方法数有27C ；再从其余5名工作人员中选3名去C 社区，方法数有35C ：最后剩下的2名工作人员去D 社区，故不同的安排方法共有1238751680C C C ⋅⋅=种.故选：D.6、从将标号为1，2，3，…，9的9个球放入标号为1，2，3，…，9的9个盒子里，每个盒内只放一个球，恰好3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ） A ．84 B ．168 C ．240 D ．252答案：B解析：根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的3个球， 即从9个球中取出3个，有39C 种，而这3个球的排法有2×1×1=2种，则共有392168C =种，故选:B.7、某盒中有9个大小相同的球，分别标号为1，2，…，9，从盒中任取3个球，则取出的3个球的标号之和能被3整除的概率是______；记ξ为取出的3个球的标号之和被3除的余数，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=______． 答案：5142728解析：从9个球中任取3个球有3984C =种不同的方法，1-9中能被3整除的有3,6,9，除3余1的有1,4,7，除3余2的有2,5,8，故将1-9划分为以上三类，显然来自同一类的三个数和为3的倍数，每个类别抽1个的三个数和也为3的倍数（其余数为0+1+2=3为3的倍数），所以在其中取出的3个球的标号之和能被3整除的情况有111333330C C C +=种，所以取出的3个球的标号之和能被3整除的概率3058414P ==． 由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，取出的3个球的标号之和被3除余1的情况有： ①标号被3除余数为1的球1个和标号被3整除的球2个； ②标号被3除余数为1的球2个和标号被3除余数为2的球1个； ③标号被3除余数为2的球2个和标号被3整除的球1个．则()123339327918428C C P C ξ====． 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有：①标号被3除余数为1的球2个和标号被3整除的球1个； ②标号被3除余数为1的球1个和标号被3除余数为2的球2个； ③标号被3除余数为2的球1个和标号被3整除的球2个，则()123339327928428C C P C ξ====， 所以()5992701214282828E ξ=⨯+⨯+⨯=．故答案为：514；2728．考点三排列组合综合运用例1、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（）A．720 B．100 C．150 D．345答案：B解析：根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分为3组，若分为3,1,1的三组，有3510C=种分组方法，若分为2,2,1的三组，有22532215C CA=种分组方法，则有101525+=种分组方法，②将甲所在的组安排在B或C班，剩下2组任意安排，有224⨯=种安排方法，则有254100⨯=种分配方案；故选：B．例2、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（）A．10种B．14种C．20种D．28种答案：B解析：4份不同的礼物分成两组有两种情况：1份和3份；2份和2份；所以不同的分法有22132242432222C C6C C A A412214A2+⋅=⨯⨯+⨯=种，故选：B.例3、将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（）A．24种B．36种C．60种D．72种答案：B解析：先取2人为一组有24C种取法，取出的2人与剩余2人看作三组安排不同工作有33A种，根据分步乘法计数原理不同的安排方式共有234336,C A =故选：B跟踪练习1、现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A ．420种B ．780种C ．540种D ．480种答案：B解析：依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图.①若用5种颜色完成涂色，则55120A =种方法；②若用4种颜色完成涂色，颜色有45C 种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1，4同色，故有44544480C A ⨯⨯=种；③若用3种颜色完成涂色，颜色有35C 种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色，或者1，3同色且 2，4同色，故有33533180C A ⨯⨯=种.所以不同的着色方法共有120480180780++=种. 故选：B.2、重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A ，B ，C 三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A 班的分配方案种数是（ ） A ．720 B ．100C ．150D ．345答案：B解析：根据题意，分2步进行分析： ①将5名学生分为3组，若分为3,1,1的三组，有3510C =种分组方法，若分为2,2,1的三组，有22532215C C A =种分组方法，则有101525+=种分组方法，②将甲所在的组安排在B 或C 班，剩下2组任意安排，有224⨯=种安排方法， 则有254100⨯=种分配方案； 故选：B ．3、现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲､乙两人，要求每人至少分得1份，则不同的分法共有（ ） A ．10种 B ．14种 C ．20种 D ．28种答案：B解析：4份不同的礼物分成两组有两种情况：1份和3份；2份和2份；所以不同的分法有22132242432222C C 6C C A A 412214A 2+⋅=⨯⨯+⨯=种，故选：B.4、现有甲、乙、丙、丁四名义工到A ，B ，C 三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少分一名义工，则甲单独被分到A 社区的概率为（ ） A ．16B ．12C ．13D ．34答案：A解析：依题意得，甲、乙、丙、丁到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分一名义工的方法数是2343C A ，其中甲被分到A 社区的方法数是2232C A ，因此甲被分到A 社区的概率2232234316C A C A P ==．故选：A ．5、5名同学到甲､乙､丙3个社区协助工作人员调查新冠疫苗的接种情况，若每个社区至少有1名同学，每名同学只能去1个社区，且分配到甲､乙两个社区的人数不同，则不同的分配方法的种数为（ ） A ．60 B ．80 C ．100 D ．120答案：C解析：根据题意，分2种情况讨论： ①将5人分为1、1、3的三组， 此时5人分三组有3510C =种分组方法，分配到甲、乙两个社区的人数不同，有12224C A =种情况，则此时有10440⨯=种分配方法； ②将5人分为1、2、2的三组，此时5人分三组有2215312215C C C A =种分组方法， 分配到甲、乙两个社区的人数不同，有12224C A =种情况，则此时有15460⨯=种分配方法； 则有4060100+=种分配方法， 故选：C6、某部门安排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作.因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，丙､丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ） A ．36 B ．30 C ．24 D ．18答案：B解析：因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种；又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种，所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-=.故选：B.7、《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）A ．54431384322C C C A AB ．54421384233C C C A AC ．544138422C C C AD ．5441384C C C答案：A解析：依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为544138422C C C A ，再分配给3个人，方法种数为54431384322C C C A A ⨯. 故选：A.8、一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（ ）种． A ．36 B ．48 C ．72 D ．120答案：B解析：先排高一年级学生，有22A 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A 种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223C C C ⋅⋅种排法，所以共有()221112422348A A C C C ⋅+=种排法．故选：B ．9、2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审．初评环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取4个依次进行分析，若同时选中哪吒、赤兔，则哪吒和赤兔连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（ ） A ．4704种 B ．2800种 C ．2688种 D ．3868种答案：A解析：①同时选中哪吒和赤兔，则只需从剩余的8个初选名字中选出2个，再进行排列即可，有223823336C A A =种情况；②哪吒和赤兔有一个入选，则需从剩余的8个初选名字中选出3个，再进行排列，有1342842688C C A =种情况；③哪吒和赤兔都不选，则需从剩余的8个初选名字中选出4个，再进行排列，有481680A =种情况；∴不同的分析情况共有336268816804704++=种．故选：A.10、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ）． A ．204 B ．260 C ．384 D ．480答案：C解析：两个数字之和等于5的情形只有两种：23145+=+=．下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有12C 种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有113243C C A ⋅⋅种方法，若2，3都选取，则有112423C C A 种方法．由乘法原理可得：11131122243423()C C C A C C A ⋅⋅+方法．同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有11131122243423()C C C A C C A ⋅⋅+方法．利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为111311222434232()384C C C A C C A ⨯⋅⋅+=种方法．故选：C11、从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ） A ．51个 B ．54个 C ．12个 D ．45个答案：A解析：由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有123322C AA (个).（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有123233C C A （个）. （3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有33A （个）由分类加法计数原理得共有1212333323332251C A C C A A A +=+(个)．故选：A ．12、在1，2，3，4，5，6，7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为（ ）． A ．204 B ．260 C ．384 D ．480答案：C解析：两个数字之和等于5的情形只有两种：23145+=+=．下面先考虑第二行选取1，4作为元素，有12C 种方法；再安排第一行、第三行，若只选取2，3中的一个有113243C C A ⋅⋅种方法，若2，3都选取，则有112423C C A 种方法．由乘法原理可得：11131122243423()C C C A C C A ⋅⋅+方法．同理可得：第二行选取2，3作为元素，也有11131122243423()C C C A C C A ⋅⋅+方法．利用加法原理可得：可组成不同矩阵的个数为111311222434232()384C C C A C C A ⨯⋅⋅+=种方法．故选：C13、数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门]选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ） A ．60种 B ．78种 C ．84种 D ．144种答案：B解析：由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,1,3或0,2,2若是1,1,2，则先将4门学科分成三组共11243222C C C A 种不同方式.再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有112343232236C C C A A ⋅=种，若是0,1,3，则先将4门学科分成三组共1343C C 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有13343324C C A ⋅=种，若是0,2,2，则先将门学科分成三组共224222C C A 种不同方式，再分配到三个学年共有33A 种不同分配方式，由乘法原理可得共有2234232218C C A A ⋅=种所以每位同学的不同选修方式有36241878++=种， 故选：B.14、2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心.八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A ，B ，C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援的概率为______. 答案：775解析：分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1，1，3和1，2，2两种分法， 当分成1，1，3时，有3510C =种情况，当分成1，2，2时，有12541152C C =种情况；第二步，把这三组分到三个城市.则共有3325150A =种情况.A 城市恰好只有医生甲去支援，即将剩下的4名医生分配到2个城市.则共有3224421142C C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（种），因此所求概率14715075P ==. 故答案为：77515、南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种． 答案：156解析：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有166C =种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有155C =种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有222422226C C A A ⨯=种情况，所以小李和小王不受限制的排法有656180⨯⨯=种，若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有14C 4=种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有133C =种情况，最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有24324⨯⨯=种， 所以小李和小不在一起的排法有18024156-=种， 故答案为：156。

2023年高考数学复习----排列组合专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E 已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD 四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．84【答案】D 【解析】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类： 当种植的鲜花为两种时：A 和C 相同，B 和D 相同，共有24A 12=种种植方法；当种植鲜花为三种时：A 和C 相同或B 和D 相同，此时共有23432C A 24648=⨯⨯=种种植方法；当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有44A 432124=⨯⨯⨯=种种植方法，综上：则不同的种植方法的种数为12482484++=种，故选：D ．2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）某医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT 、电图、血压测量等五个检查项目．为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT 两项不连在一起接着检查．则不同顺序的检查方案一共有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【解析】由题意不同顺序的检查方案一共有2223A A 12=种．故选：B ．3．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）某单位准备从新入职的4名男生和3名女生中选2名男生和1名女生分配到某部门3个不同的岗位，不同的分配方案有（ ）A ．18种B ．36种C ．60种D ．108种【答案】D 【解析】首先选出2名男生和1名女生，共有2143C C 种情况，再把选出来的人进行全排列，共有33A 种情况．所以不同的分配方案有213433C C A 108=种． 故选：D4．（2022春·河南许昌·高三阶段练习）中国空间站（China Space Station ）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）A ．9种B ．24种C ．26种D ．30种【答案】B 【解析】依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有15C 5=种安排方案，再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有224222C C 613A 2⨯==种安排方案， 接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有22A 2=种安排方案，所以这5名航天员的安排方案共有53230⨯⨯=种，其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有2131C C 3=种，同在“问天实验舱”内的安排方案有2131C C 3=种， 即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有336+=种，所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有30624−=种．故选：B ．5．（2022·四川南充·统考一模）在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（ ）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种【答案】A 【解析】若从红方选出一架飞机，则有112342C C C 12=种选法．若从蓝方选出一架飞机，则有211424C C C 48=种选法．则共有124860+=种选法．故选：A6．（2022春·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）某群主发了15元的红包，分成四份，四人领取，均为正整数元，已知其中“运气王”（“运气王”是指领到红包金额最多的人）领到7元，则这四个人不同领取红包的方法总数为（ ）A ．84B ．96C ．108D ．120【答案】A 【解析】依题意15元，分成4份有{}1,1,6,7、{}1,2,5,7、{}1,3,4,7、{}2,2,4,7、{}2,3,3,7， ∴四个人领取{}1,1,6,7的方案：2242C A ； 四个人领取{}1,2,5,7的方案：44A ；四个人领取{}1,3,4,7的方案：44A ； 四个人领取{}2,2,4,7的方案：2242C A ； 四个人领取{}2,3,3,7的方案：2242C A ； ∴一共有2244243C A 2A 84+=种领取方案．故选：A7．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（ ）A ．144B ．96C ．72D ．60【答案】D 【解析】将6串香蕉编号为1，2，3，4，5，6．把“2，3，4，5，6”取完，方法为23456，24356，24536，24563，42356，42536，42563，45263，45623，45236，共10种，再把1插入其中，每个有6种插法．共有60种方法，故选：D ．8．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，若分配到3个小区的志愿者人数均不相同，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．180种D ．360种【答案】D 【解析】若分配3个小区的志愿者人数均不相同，则1个小区1人，1个小区2人，1个小区3人，则不同的分配方案共有12336533C C C A 360=种．故选：D ．二、多选题9．（2022春·吉林·高三东北师大附中校考开学考试）某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37C B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为12212525C C C C + C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C − D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C − 【答案】ABC【解析】对于A ．若任意选择三门课程，选法总数为37C 种，可判断A 正确； 对于B ．若物理和化学选一门，有12C 种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有25C 种选法，若物理和化学选两门，有22C 种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有15C 种选法 由分步乘法计数原理知，总数为12212525C C C C +种选法，故B 正确； 对于C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3213172575C C C C C −=−种，故C 正确；对于D ．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有1214C C 种选法；②选化学，不选物理，有1215C C 种选法；③物理与化学都选，有2124C C 种选法， 故总数为121221141524C C C C C C 610420++=++=种，故D 错误．故选：ABC ．10．（2022春·江苏镇江·高三校考开学考试）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A ，B ，C ，D ，E 五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）A ．所有可能的安排方法有125种B ．若A 医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C ．若专家甲必须去A 医院，则不同的安排方法有16种D ．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种【答案】AB【解析】对于A ，每名专家有5种选择方法，则所有可能的安排方法有35125=种，A 正确； 对于B ，由选项A 知，所有可能的方法有35种，A 医院没有专家去的方法有34种， 所以A 医院必须有专家去的不同的安排方法有335461−=种，B 正确；对于C ，专家甲必须去A 医院，则专家乙、丙的安排方法有2525=种，C 错误；对于D ，三名专家所选医院各不相同的安排方法有35A 60=种，D 错误．故选：AB ．11．（2022·全国·高三专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（ ）A ．甲乙都不选的方案共有432种B ．选甲不选乙的方案共有216种C ．甲乙都选的方案共有96种D ．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种【答案】ABC【解析】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班甲乙都不选的方案共有224434C C A 432=种，A 正确选甲不选乙的方案共有12132433C C C A 216=种，B 正确甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一乙排星期一的方案共有11122432C C C A 48=种乙不排星期一的方案共有21122432A C C A 48=种∴甲乙都选的方案共有4848+=96种，C 正确这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选选乙不选甲的方案共有11233443C C C A 432=种∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+432+96=1176种，D 错误故选：ABC ．12．（2022·全国·高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（）A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法【答案】ABC【解析】A：6门中选2门共有2615C=种选法，故A正确；B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有22A种排法，然后全排列有55120A=种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有2525240A A=种，故B正确；C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有336A=种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有3424A=种排法，根据分步乘法计数原理，得共有33 34144A A=种排法，故C正确；D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有55A种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有114444C C A种排法，所以，共有51145444504A C C A+=种排法，故D错误．故选：ABC．三、填空题13．（2022·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶．如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形．若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种．【答案】72【解析】由题意，一共4种颜色，板块A 需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色．又板块,,B C D 两两有公共边不能同色，故板块,,,A B C D 必定涂不同颜色．①当板块E 与板块C 同色时，则板块,F G 与板块,B D 或板块,D B 分别同色，共2种情况； ②当板块E 与板块B 同色时，则板块F 只能与D 同色，板块G 只能与C 同色，共1种情况．又板块,,,A B C D 颜色可排列，故共()4421A 72+⨯=种．故答案为：7214．（2022·上海金山·统考一模）从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）．【答案】420【解析】从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为211754C C C 2154420=⨯⨯=．故答案为：420．15．（2022春·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）某校安排5名同学去A ，B ，C ，D 四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A 基地的排法总数为____________．【答案】60【解析】当A 基地只有甲同学在时，那么总的排法是2343C A 36=种；当A 基地有甲同学还有另外一个同学也在时，那么总的排法是1343C A 24=种；则甲同学被安排到A 基地的排法总数为362460+=种．故答案为：60．16．（2022·上海宝山·统考一模）从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种．（结果用数值表示）【答案】96【解析】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有1344C A 96=种．故答案为：96。

高考数学知识点专题精讲与知识点突破排列、组合、二项式、概率一、分类计数原理和分步计数原理：分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：（1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。

（2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-=+---= 注意：①全排列：n ； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；排列数的性质：①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成：第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上；第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成：第一类：个元素中含有a ，分两步完成：第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。

第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置上）即有11--m n mA 种不同的方法。

专题02概率与排列组合【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16 B.13 C.12 D.23【答案】�【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题．【解答】解：由题可知，总的取法有�72=21种，不互质的数对情况有：两个偶数，3和6．所以两个数互质的概率为�=1−�42+121=23．【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A.12种 B.24种 C.36种 D.48种【答案】�【分析】本题考查排列、组合的运用，属于基础题．【解答】解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有�22�33�21=24种．【命题意图】第1题考察计数原理，考察排列组合的应用，考察古典概型的计算，考察应用排列组合计算古典概型问题的概率。

第2题考察排列组合的捆绑法、插空法等计算方法。

试题通过设计优化情境，应用型、创新性的考察。

【命题方向】排列组合与概率是高考必考的知识点之一，其中概率是相对容易排列组合则时难时易。

主要考察分类、分布计算原理的应用，考察古典概型及几何概型，突出考察分类讨论思想，考察转化化归数学思想应用，试题在问题情境的设置上越来越接近生活，把实际问题合理、正确的转化为排列组合概率问题，以此来考察思想、应用、创新等能力。

排列、组合与概率常以现实生活、社会热点为载体【得分要点】涉及到排列组合的综合问题，处理此类问题一般先分析如何安排，在安排时是分类还是分步，元素之间是否讲顺序，以及分组问题注意重复情况的处理，对各种情况一定要仔细斟酌题意，写全切不要重复1.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2.古典概率中的“人坐座位模型基础”：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。

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排列组合一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种（正确答案）D【分析】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．把工作分成3组，然后安排工作方式即可．【解答】解：4项工作分成3组，可得：，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D．2. 5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是A. 40B. 36C. 32D. 24（正确答案）B解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站1，3中的一个位置，不同的排法有种；甲站第3个位置，则乙站2，4中的一个位置，不同的排法有种；甲站第4个位置，则乙站3，5中的一个位置，不同的排法有种，故共有．故选：B．分类讨论，对甲乙优先考虑，即可得出结论．本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，比较基础．3. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96（正确答案）D解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种情况，、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种选法，则此时共有种选法，则有种不同的参赛方案；故选：D．根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，、选出的4人没有甲，、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素．4. 为了迎接一年一度的元宵节，某商场大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A. 1190秒B. 1195秒C. 1200秒D. 1205秒（正确答案）B解：根据题意，共有5种不同的颜色，其闪烁的顺序有个不同的闪烁，而每个闪烁时间为5秒，闪烁的时间共秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，闪烁间隔的时间秒．那么需要的时间至少是秒．故选：B．根据题意，先依据排列数公式计算彩灯闪烁时间的情况数目，进而分析可得彩灯闪烁的总时间以及闪烁之间的间隔总时间，将其相加即可得答案．本题考查的是排列、组合的应用，要求把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题．5. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A. 24B. 48C. 60D. 72（正确答案）D解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有个．故选：D．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．6. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个（正确答案）B解：因为，，，，，，，所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个，当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个，当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个，当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个，当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有．故选B．根据，，，，，，，所以可以分为7类，分别求出每一类的三位数，再根据分类计数原理得到答案．本题主要考查了分类计数原理，关键是找到三个数字之和为6的数分别是什么，属于中档题．7. 哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为A. 40B. 60C. 120D. 240（正确答案）B解：此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为种，第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有，故不同的安排方案有种，故选：B．本题是一个计数问题，由题意可知，可分两步完成计数，先对四名大学生分组，分法有种，然后再排到5个部门的两个部门中，排列方法有，计算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数，再选出正确选项本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解事件“某公司共有5个部门，有4名大学毕业生，要安排到该公司的两个部门且每个部门安排2名，”将问题分为两步来求解．8. 世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种（正确答案）C解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，其中有一个人与甲在同一个场馆，有种情况，没有人与甲在同一个场馆，则有种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有种；故选C．根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，，其中有一个人与甲在同一个场馆，没有人与甲在同一个场馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合运用，注意题意中“每个展馆至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论．9. 五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有A. 48种B. 24种C. 20种D. 12种（正确答案）B解：根据题意，先将A、B看成一个“元素”，有2种不同的排法，将C、D单独排列，也有2种不同的排法，进而分2种情况讨论：若A、B与第5个元素只有一个在C、D之间，则有种情况，若A、B与第5个元素都在C、D之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有种情况；故选：B．根据题意，首先分析A、B与C、D的安排情况：A，B两种必须连排，将A、B看成一个“元素”，而C，D 两种不能连排，将C、D单独排列；进而根据题意分2种情况讨论A、B与第5个元素与C、D的关系，进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类讨论，注意要优先满足受到限制的元素．10. 在2016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为A. 216B. 108C. 432D. 120（正确答案）A解：根据题意，最左边只能排甲或乙，则分2种情况讨论：、最左边排甲，则先在剩余5个位置选一个安排乙，乙有5种情况，再将剩余的4个人全排列，安排在其余4个位置，有种安排方法，此时有种情况，、最左边排乙，由于最右端不能排甲，则甲有4个位置可选，有4种情况，再将剩余的4个人全排列，安排在其余4个位置，有种安排方法，此时有种情况，则不同的排法种数为种；故选：A．根据题意，分2种情况讨论：、最左边排甲，、最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意要先分析特殊元素，由本题的甲、乙．11. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个（正确答案）B解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，共有个．故选：B根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为5时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．12. 将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是A. 40B. 60C. 80D. 100（正确答案）A解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有种选法，剩下的3个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这3个盒子的编号为4、5、6，则4号小球可以放进5、6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放进剩下的2个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是；故选：A．根据题意，分2步进行分析：、在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，、假设剩下的3个盒子的编号为4、5、6，依次分析4、5、6号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，关键是编号与放入的小球编号不相同的情况数目的分析．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种（正确答案）30解：因为甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，、2、1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：种；、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：种；所以，选派方案共有种．故答案为30．甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于中档题．14. 现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______ 种（正确答案）1080解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次被测出，第六次，或者第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有故答案为：1080．第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，有分步原理计算即可本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，对问题的理解、转化也很关键．15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_________种用数字填写答案（正确答案）16解：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有根据分类计数原理可得，共有种，方法二，间接法：种，故答案为：16方法一：直接法，分类即可求出，方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．本题考查了分类计数原理，属于基础题16. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______ 个用数字作答（正确答案）1080解：根据题意，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有种取法，将取出的4个数字全排列，有种顺序，则有个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有个；故答案为：1080．根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．。

排列与组合练习题1．如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（A ）37 （B ）47 （C ）114 （D ）1314 答案：D解析：若取出3个数，任意两个不同行也不同列，则只有6种取法；而从9个数中任意取3个的方法是39C ．所以39613114C -=． 2．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）13种答案：B解析：设四人分别是甲、乙、丙、丁，他们写的卡片分别为,,,a b c d ，则甲有三种拿卡片的方法，甲可以拿,,b c d 之一．当甲拿b 卡片时，其余三人有三种拿法，分别为,,badc bcda bdac ．类似地，当甲拿c 或d 时，其余三人各有三种拿法．故共有9种拿法．3．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴正半轴上这5个点和y 轴正半轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（A ）30个 （B ）20个 （C ）35个 （D ）15个答案：A解析：设想x 轴上任意两个点和y 轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第一象限，适合题意．而这样的四边形共有302325=⋅C C 个，于是最多有30个交点．推广1：．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有m 个点，y 轴正半轴上有n 个点，将x 轴正半轴上这m 个点和y 轴正半轴上这n 个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有22m n C C ⋅个变式题：一个圆周上共有12个点，由这些点所连的弦最多有＿＿个交点．答案：412C4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ） 45答案：B111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：由古典概型的概率公式得522155222233232222=+-=A A A A A A A P ． 5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34答案：A解析：每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=． 6．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A =A ．18B ．14C ．25D ．12答案：B 解析：2()5P A =，1()10P AB =，()1(|)()4P AB P B A P A ==． 7．甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12 B ．35 C ．23 D ．34 答案：D解析：由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率11132224P =+⋅=．所以选D ． 8．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为KA 2A 1A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576答案：B解析：系统正常工作概率为120.90.8(10.8)0.90.80.80.864C ⨯⨯⨯-+⨯⨯=，所以选B.9．甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（A ）136 （B ）19 （C ）536 （D ）16 答案：D解析：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有1111111166554433C C C C C C C C 种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有11111116554433C C C C C C C 种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是11111116554433111111116655443316C C C C C C C p C C C C C C C C ==，故选D ． 10．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m n =( ) （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23答案：B解析：基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故51153m n ==. 11．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C解析：显然ABE ∆面积为矩形ABCD 面积的一半，故选C ．12．在204(3)x y +展开式中，系数为有理数的项共有 项．答案：6解析：二项式展开式的通项公式为20204412020(3)(3)(020)r r r r r r r r T C x y C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.13．集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}M =，从集合M 中取出4个元素构成集合P ，并且集合P 中任意两个元素,x y 满足||2x y -≥，则这样的集合P 的个数为＿＿＿＿．答案：35解析：其实就是从1到10这十个自然数中取出不相邻的四个数，共有多少方法的问题．因此这样的集合P 共有4735C =个．14．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如右图所示，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有＿＿＿种栽种方案．答案：732解析：共分三类：（1）A 、C 、E 三块种同一种植物；（2）A 、B 、C 三块种两种植物（三块中有两块种相同植物，而与另一块所种植物不同）；（3）A 、B 、C 三块种三种不同的植物．将三类相加得732．15．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望()E X ．解：（I ）设A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示购买乙种保险． ()A B A A B =并且A 与A B 是互斥事件，所以()()()0.50.30.8P A B P A P A B =+=+=答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8． （II ）由（I ）得任意1位车主两种保险都不购买的概率为()10.80.2p p A B ==-=． 又(3,0.2)XB ，所以()20E X =．所以X 的期望()20E X =．。

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种 (D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列与组合1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。

取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。

2．排列、组合问题的求解方法与技巧①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。

一、走进教材1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24二、走近高考3．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。

(用数字作答)三、走出误区微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。

5．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种。

6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种。

考点一简单的排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻。

【变式训练】(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种(2)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种考点二组合问题【例2】(1)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。

计数原理（2）排列与组合1、公司安排五名大学生从事、、、A B C D四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A工作仅安排一人，甲同学不能从事B工作，则不同的分配方案种数为（）A．96B．120C．132D．2402、今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有（）A．210种B．162种C．720种D．840种3、有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上,若快车A不能停在第3道上,货车B 不能停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为( )A.56B.63C.72D.784、5位同学站成一排照相,其中甲与乙必须相邻,且甲不能站在两端的排法总数是( )A.40B.36C.32D.245、某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（）A.16B.18C.24D.326、《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

设AA是正六棱1柱的一条侧棱,如图,若阳马以该六棱柱的顶点为顶点,以AA为底面矩形的一边,则这个阳马1的个数是( )A.4B.8C.12D.167、从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有()A.36种B.30种C.42种D.60种8、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中比4000大的偶数共有( )个A.120B.96C.60D.729、由数字0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的两位数的个数是( )A.30种B.25种C.36种D.20种10、将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有( )A.24B.28C.32D.3611、已知2110100x xC C+-=,则x=__________12、安排7位老师在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有__________种.(用数字作答)13、《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有__________种.(用数字作答)14、将4个颜色互不相同的球放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有种．15、从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:1.能组成多少个没有重复数字的七位数?2.上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?3.在1中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?4.在1中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：A 解析：3答案及解析： 答案：D解析：若没有限制,5列火车可以随便停,则有55A 种不同的停靠方法,若快车A 停在第3道上,则5列火车不间的停靠方法数为44A ;若货车B 停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为44A ;若快车A 停在第3道上,且货车B 停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为33A ,故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为543543212048678A A A -+=-+=。

排列组合一、一、 选择题选择题1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有名女生的选法共有 （ A ）A ．36种B ．30种C ．42种D ．60种 2．将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案有( B )种 .A 240 .B 150 .C 60 .D 1803．甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ C ）A ．72种B ．54种C ．36种D ．24种 4．某班要从6名同学中选出4人参加校运动会的4×100m 接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有（入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有（ B ）A ．24种B ．72种C ．144种D ．360种 5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（三位数的个数是（ B ）A ．36 B ．48 C ．52 D ．54 6.某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（法种数为（ C ）A ．12B ．16C ．24D ．327.(7.(某小组有某小组有4人，负责从周一至周五的班级值日，每天只安排一人，每人至少一天，则安排方法共有C A ．480种 B B．．300种 C C．．240种 D D．．120 8.8.从从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有12. D A ．100种 B B．．400种 C C．．480种 D D．．2400种9、(江苏省启东中学高三综合测试三)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位学要站在一起，则不同的站法有并且乙、丙两位学要站在一起，则不同的站法有A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种 答案：B 10、将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为１，２，３，４的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 （ ）Ａ．１５；Ａ．１５； Ｂ．１８；Ｂ．１８； Ｃ．３０；Ｃ．３０； Ｄ．３６；Ｄ．３６； 11、在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( ) A 、56个B 、57个C 、58个D 、60个本题主要考查简单的排列及其变形. 解析：万位为3的共计A44＝24个均满足；个均满足；万位为2，千位为3，4，5的除去23145外都满足，共3×3×A33A33－1＝17个；个； 万位为4，千位为1，2，3的除去43521外都满足，共3×3×A33A33－1＝17个；个；以上共计24＋17＋17＝58个 答案：C 12、(北京市东城区2008年高三综合练习二)某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ） A ．120种 B ．48种C ．36种D ．18种答案：C 13、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B 14、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有的情况共有 （ ）A 18种 B 30种 C 45种 D 84种 答案：C 15、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有（人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有（ ） A ．412CB ．1312121236C C C C CC ．12121336C C C CD ．221312121136A C C C C C答案：C 16、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：节目编排成节目单，如下表：序号序号 1 2 3 4 5 6 节目节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有号位置，那么节目单上不同的排序方式有 （ ）A 192种B 144种C 96种D 72种答案：B 17、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)设有甲、乙、丙三项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，现在从10人中选派4人承担这项任务，不同的选派方法共有( ) A ．1260种 B ．2025种 C ．2520种 D ．5040种 答案：C 18、若x ∈A 则x 1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ） A ．15 B ．16 C ．28 D ．25答案：A 具有伙伴关系的元素组有－1，1，21、2，31、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C 14+ C 24+ C 34+ C 44=15, 选A ．19、(吉林省吉林市2008届上期末)有5名学生站成一列，要求甲同学必须站在乙同学的后面（可以不相邻），则不同的站法有（，则不同的站法有（ ）A ．120种B ．60种C ．48种D ．150种 答案：B 20、若国际研究小组由来自3个国家的20人组成，其中A 国10人，B 国6人，C 国4人，按分层抽样法从中选10人组成联络小组，则不同的选法有（人组成联络小组，则不同的选法有（ ）种. )()))且甲车在乙车前开出，那么不同的调度方案有 种．种数是 . 种数是（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？个整除的四位数？ （4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？大的数有多少个？ 解：（1）1355300A A =(2)31125244156A A A A +=(3)11233421A A A +=(4)312154431112A A A A +++=8、()()34121x x +-展开式中x 的系数为__2_________。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高考数学专题复习训练排列组合概率与统计一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．某房间有四个门，甲要进、出这个房间，不同的走法有多少种？ A ．12B ．7 C ．16D ．642．假设二项式2)n x的展开式的第5项是常数项，那么自然数n 的值是〔〕A ．6B ．10C ．12D ．153．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为〔〕A ．87B.83C.81D.31 4．要完成以下2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购置力的某项指标；②从某高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.应采用的抽样方法是〔〕A ．①用随机抽样法②用系统抽样法B ．①用分层抽样法②用随机抽样法C ．①用系统抽样法②用分层抽样法D ．①、②都用分层抽样法5．设两个HY 事件Ａ和Ｂ都不发生的概率为91，Ａ发生Ｂ不发生的概率与Ｂ发生Ａ不发生的概率一样，那么事件Ａ发生的概率Ｐ〔Ａ〕是〔〕A ．92 B ．181 C ．31 D ．32 6．有一名同学在书写英文单词“error 〞时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为A ．120119B ．109 C ．2019 D ．21 7．从2021名学生中选取50名组成参观团，假设采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 2021人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进展。

那么每人入选的概率 A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为100225D ．都相等，且为4018．〔理科做〕随机变量ξ满足E ξ=2，那么E 〔2ξ+3〕= 〔〕A ．4B ．8C ．7D ．58．〔文科做〕将容量为100的样本数据，按由小到大排列分成8组如表： 第3组的频率和累积频率为〔〕A．0.03和0.06B ．371141和C ．0.14和0.37D ．376143和 9．将9个人〔含甲、乙〕平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为 A ．70B ．140 C ．280D ．84010．某人制定了一项旅游方案，从7个旅游城中选择5个进展游览。

排列组合二项式概率统计 （虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）4、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ．答案：41 （虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科）7、已知6)1(ax +的展开式中，含3x 项的系数等于160，则实数=a ．答案：2=a（普陀区2013学年度第一学期高三年级数学学科）4. 在n x )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .答案：3（普陀区2013学年度第一学期高三年级数学学科）12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种.答案：31（杨浦区2013学年度第一学期高三年级数学学科文）12．若21()n x x +的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则n 等于 ．答案：6（杨浦区2013学年度第一学期高三年级数学学科文）13．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则恰含1件二等品的概率是 .（结果精确到0.01） 答案：0.30（杨浦区2013学年度第一学期高三年级数学学科理）12． 若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为 ．答案： 15（杨浦区2013学年度第一学期高三年级数学学科理）13．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是 ．答案：95 （静安区2013学年度第一学期高三年级数学学科）7、若6(12)2a b +=+（其中a b 、为有理数），则a b += .答案：169（静安区2013学年度第一学期高三年级数学学科文）8、排一张4 独唱和4个合唱的节目表，则合唱不在排头且任何两个合唱不相邻的概率是 （结果用最简分数表示）.答案：2（静安区2013学年度第一学期高三年级数学学科理）5．某班有38人，现需要随机抽取5人参加一次问卷调查，抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 种. （结果用数值表示）答案：8. 某小组有10人，其中血型为A 型有3人，B 型4人，AB 型3人，现任选2人，则此2人是同一血型的概率为 .（结论用数值表示）答案：415 8、不透明的袋子中装有除颜色不同其它完全一样的黑、白小球共10只，从中任意摸出一只小球得到是黑球的概率为25．则从中任意摸出2只小球，至少得到一只白球的概率为 ．答案：1513 10、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ,12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则_______.ab =答案：210.59、若n x x )2(2-的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．答案：180 11. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ,y ,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为 。

2021高考冲刺二项式、排列组合、概率统计难题突破（含解析）二项式、排列组合、概率统计难题突破一．选择题（共18小题）1．把平面图形M上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M′叫作图形M在这个平面上的射影．如图，在三棱锥A��BCD中，BD⊥CD，AB⊥DB，AC⊥DC，AB=DB=5，CD=4，将围成三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为S1，S2，S3，S4，设面积为S2的三角形所在的平面为α，则面积为S4的三角形在平面α上的射影的面积是（）A．2 B． C．10 D．302．三棱锥A��BCD中，AB，AC，AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A��BCD的侧面积为S，则S的最大值为（） A．4B．6C．8 （D．16��ex）dx，若（1��ax）2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021的值为（）D．e，其中m∈{2，4，6，8}，n∈{1，3，3．已知a=（x∈R），则A．0B．��1 C．14．已知函数5，7}，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在（1，f（1））处的切线相互平行的概率是（） A．B．C．D．以上都不对5．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A．12种 6．记A．1B．18种 C．24种 D．36种，则a0+a1+a2+…a6的值为（）B．2 C．129 D．2188第1页（共44页）7．已知：A．��28B．��448 C．112 D．448，则a6=（）8．有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（）A．AC．2A种 B．3A种 D．A种种9．某班级需要把6名同学安排到周一、周二、周三这三天值日，每天安排2名同学，已知甲不能安排到周一，乙和丙不能安排到同一天，则安排方案的种数为（）A．24 B．36 C．48 D．7210．在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥件“|x��y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，P2为事”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3 B．P2＜P3＜P1 C．P3＜P1＜P2 D．P3＜P2＜P111．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩12．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第2页（共44页）13．若双曲线C：��=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x��2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（） A．2B．C．D．14．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（） A．B．C．D．115．过抛物线x2=2y上两点A、B分别作切线，若两条切线互相垂直，则线段AB的中点到抛物线准线的距离的最小值为（） A． B．1C．D．2的直线与抛物线交于A，16．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为B两点，若AB的垂直平分线经过点（0，2），M为抛物线上的一个动点，则M到直线11：5x��4y+4=0和l2：x=��A．B．C．的距离之和的最小值为（）D．17．如图，O是坐标原点，过E（p，0）的直线分别交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x=p相交于点N．则|ME|2��|NE|2=（）A．2p2 B．2p C．4p D．p18．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，OA⊥OB，△AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为（） A．B．C．D．第3页（共44页）二．填空题（共4小题） 19．在数列{an}中，a1=1，an=和Tn= ．20．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．an��1（n≥2，n∈N*），则数列{}的前n项21．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为．（用数字作答） 22．在△ABC中，∠A=θ，D、E分别为AB、AC的中点，且BE⊥CD，则cos2θ的最小值为．第4页（共44页）三．解答题（共18小题）23．为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别月用电范围（度）第一阶梯（0，210] 第二阶梯（210，400] 第三阶梯（400，+∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号用电量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．第5页（共44页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。

专题11.2 排列与组合1．（2021·福建宁德·高三期中）三名学生报名参加校园文化活动，活动共有三个项目，每人限报其中一项，则恰有两名学生报同一项目的报名方法种数有（ ）A ．6种B ．9种C ．18种D ．36种【答案】C 【分析】根据题意首先从三名学生中选2名选报同一项目，再从三个项目中选2项项目，全排即可.【详解】由题意可得22233233218C C A ⋅⋅=⨯⨯=，故选：C2．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ）A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种【答案】C 【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.3．（2021·全国·高三月考（理））某地计划在10月18日至11月18日举办“菊花花会”，如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择摆放，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（）练基础A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种【答案】D 【分析】先放A ，分B 、D 选则同一种花和不同种花两种情况，再考虑C 、E ，由分步乘法和分类加法原理可得答案.【详解】先放A ，共有5种选择，若B 、D 选则同一种花，有四种选择，剩下的C 、E 均有三种选择，共5433180⨯⨯⨯=种，若B 、D 选则不同种花，有24A 种选择，剩下的C 、E 均有两种选择，共245A 22240⨯⨯⨯=种，故共有180+240=420种.故选：D.4．（2021·全国·高二课时练习）某工程队有卡车､挖掘机､吊车､混凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的派法种数是（ ）A ．18B ．9C ．27D ．36【答案】D 【分析】利用捆绑法，先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，即可得到答案；【详解】先把4辆车分成3组，再把分好的3组分别派给3个工地，则不同的派法共有2343C A 36=（种）.故选：D5．（2021·浙江·模拟预测）若从1,2,3,9, 这个9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a b c d ,,,，则使得a b c d ⨯⨯+为偶数的不同排列方法有（ ）A ．1224B ．1200C ．1080D ．840【答案】A 【分析】考虑d 为偶数和d 为奇数两种情况，判断a b c ⨯⨯的奇偶性，根据,,a b c 中偶数的个数计算得到答案.【详解】d 为偶数，则a b c ⨯⨯为偶数，有11221334353533()1104C C C C C C A ++=；d 为奇数，则a b c ⨯⨯为奇数，四个数均为奇数，有45120A =.故共有1224种．故选：A.6．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（ ）A ．22B ．25C ．20D ．48【答案】C 【分析】将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，据此即可的解.【详解】解：将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，因为每个盒子都有球，所以每个盒子至少又一个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有3620C =种，所以每个盒子都有球的放法种数为20.故选：C.7.【多选题】（2021·福建省漳州第一中学高二月考）男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）A ．1人B ．2人C ．3人D ．4人【答案】BC 【分析】设女生有n 人，则男生有8-n 人，由21830n n C C -⋅=求解.设女生有n 人，则男生有8-n 人，由题意得：21830n n C C -⋅=，即()()87302n n n --⋅=，解得2n =或3n =，故选：BC8．（2021·上海·闵行中学高三期中）从4男2女六名航天员中选出三名作为神舟十四号乘组，则恰好有一名女航天员被选中的选法有______种．（用数字作答）【答案】12【分析】利用组合数来计算出选法数.【详解】依题意可知，选法有214212C C =种.故答案为：129．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））新型冠状肺炎疫情发生后，新疆某医院有2名医生，4名护士自愿报名参加援助武汉医疗队，现要将这6名医护人员分成2个小组，分别安排到武汉市的两所方舱医院参加医疗救助活动，每个小组由1名医生和2名护士组成，不同的安排方案共有_________种．（用数字作答）【答案】12【分析】先从2名医生中选1名去一所方舱医院，再从4名护士选2名护士去同一所方舱医院，利用分步乘法计数原理即可求出.【详解】先从2名医生中选1名去一所方舱医院，有122C =种，再从4名护士选2名护士去同一所方舱医院，有246C =种，剩下的1名医生2名护士去另一所方舱医院，则不同的安排方案共有2612⨯=种.故答案为：12.10．（2021·全国·高二课时练习）求下列各式中的正整数n ：（1）33210n n A A =；（2）101098765nA =⨯⨯⨯⨯⨯．【答案】（1）8n =（2）6（1）根据排列数公式列出方程即可求解；（2）根据排列数公式列出方程即可求解；（1）解：因为33210n n A A =，所以()()()()221221012n n n n n n ⨯-⨯-=⨯⨯-⨯-，解得8n =；（2）解：因为101098765nA =⨯⨯⨯⨯⨯，又()10109101n A n =⨯⨯⨯-+ ，所以1015n -+=，解得6n =.1．（2020·上海市沪新中学高三月考）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为________(结果用数值表示)【答案】180【分析】利用组合和排列的含义分别求出从6名学生中选出四名且甲必须参赛和甲不担任四辩的情况种数，然后按照分步乘法原理计算即可.【详解】首先从6名学生中选出四名且甲必须参赛共有35C 种情况，甲不担任四辩的情况共有333A 种，故不同的安排方法种数为33533180C A ⋅=.故答案为：180.2．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访.期间工作的任务有A ，B ，C ，D 四项，每项任务至少一人参加，但两名女记者不参加A 任务，则不同的安排方案数共有_______.【答案】126【分析】采用分类计数原理，排列组合进行计算可得.【详解】两名女记者不参加A 任务，由题意分两类情况：①1男参加A 任务；②2男参加A 任务,其余人员再排列;即:①1男参加A 任务，将3男选1排在A 任务，再将剩下4人选两人打捆,再排在其它3项任务，即11233143108C A C A =种.②2男参加A 任务，将3男选2人排在A 任务,再将剩下的人排在其它3项任务,练提升即233318C A =种,所以选出符合条件参加活动的人员共有: 108+18= 126种，故答案为: 126种3．（2021·全国·高三月考）某学校安排甲，乙等5位中层干部深入4个班级进行班级课堂教学调研，每班至少安排一位中层干部，若甲、乙不能安排到同一个班级，则不同的安排方法共有______________________种(用数字作答)．【答案】216【分析】先将5位中层干部分成4组，有1组2人其他3组各1人，除去甲、乙分在一起的情况，所以分组结果有25C 19-=种，再分配到4个班级，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】首先把5位中层干部分成4组，有1组2人其他3组各1人．又甲、乙不能分在一起，因此有25C 19-=种，再对分好的4组分配到4个班级有44A 24=种，根据分步乘法原理得：924216⨯=种，故答案为：216.4．利用组合数公式证明111m m m n n n C C C ++++=．【答案】证明见解析【分析】利用组合数公式分别计算等式左右两边即可证明.【详解】证明：因为()11(1)!1!()!m n n C m n m +++=+-，()()()1!11!!!(1)!(1)!!()!(1)!()!(1)!()!m mn n n n m m n n n C C n m m m n m m n m m n m +⎡⎤-+++⎣⎦++==--+-+--=+，所以111m m m nn n C C C ++++=．5．（2021·全国·高二课时练习） 把分别标有1，2，3，4号的4个不同的小球放入3个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法共有多少种？【答案】12【分析】由于4号球没有限制，所以以4号球分两类讨论：一类是4号球与1，2，3号球中的一个在一个盒子，另一类是4号球单独放在一个盒子，其他3个球放入两个盒子.【详解】由于4号球没有限制，所以以4号球分类：当4号球与1，2，3号球中的一个在一个盒子时，它们有2个盒子可选，其他两个球只有1种放法，共有11326C C =种放法；当4号球单独放在一个盒子，其他3个球放入两个盒子时，首先在1，2，3号球中先选出两个球占一个盒子有23C 种，再分配剩下那个球与4号球，满足条件的放法种数为22326C A =种，所以共有6612+=种不同放法.6．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为多少种？（请写出分类过程）【答案】360【分析】根据题意，按甲校安排的人数分4种情况讨论，求出每种情况下安排方案的数目，由加法原理计算可得答案.【详解】分四种情况讨论：甲校安排1名老师，分配方案种数有()11422325542532150C C C A C C A +=，甲校安排2名老师，分配方案种数有()213222543242140C C C A C C +=，甲校安排3名老师，分配方案种数有3122532260C C C A =，甲校安排4名老师，分配方案种数有41152110C C C =所以分配方案共有150+140+60+10=360种.7．（2021·全国·高二课时练习）现有编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的7个不同的小球，将这些小球排成一排（1）若要求A ，B ，C 相邻，则有多少种不同的排法？（2）若要求A 排在正中间，且B ，C ，D 各不相邻，则有多少种不同的排法？【答案】（1）720；（2）216.【分析】（1）利用“捆绑法”可求；（2）分B ，C ，D 中有1个在A 的左侧和有2个在A 的左侧讨论求解.【详解】（1）把A ，B ，C 看成一个整体与剩余的4个球全排列，则不同的排法有3535A A 720=（种）．（2）A 在正中间，所以A 的排法只有1种．因为B ，C ，D 互不相邻，所以B ，C ，D 不可能同时在A 的左侧或右侧．若B ，C ，D 中有1个在A 的左侧，2个在A 的右侧且不相邻，则不同的排法有22133233C A C A 108=（种），若B ，C ，D 中有2个在A 的左侧且不相邻，1个在A 的右侧，则不同的排法有22133233C A C A 108=（种）．故所求的不同排法有108108216+=（种）．8．（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：（1）能组成多少个不同的四位数？（2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？（3）两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）【答案】（1）216（2）108（3）108【分析】（1）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将取出的四个数全排列，最后利用分步计数原理求解；（2）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，最后利用分步计数原理求解；（3分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，最后利用分步计数原理求解.（1）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C 种方法，第二步，取两个奇数，有23C 种方法，第三步，将取出的四个数全排列，有44A 种方法，由分步计数原理得：共能组成423422163A C C ⋅=⋅个不同的四位数；（2）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C 种方法，第二步，取两个奇数，有23C种方法，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有2323A A⋅种方法，由分步计数原理得：共能组成22232333108C C A A⋅⋅⋅=个不同的四位数；（3）解：分三步完成：第一步，取两个偶数，有23C种方法，第二步，取两个奇数，有23C种方法，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有2223A A⋅种方法，由分步计数原理得：共能组成22222333108C C A A⋅⋅⋅=个不同的四位数；9．（2021·全国·高二课时练习）甲、乙、丙、丁、戌五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次．甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列共有多少种不同的情况．【答案】54【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数.【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有33A种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种.39．（2021·全国·高二课时练习）在3000—7000之间有多少个没有重复数字的5的倍数？【答案】392【分析】分各位数字是0和5两种情况进行讨论即可.【详解】第一类，个位是5时，首位从3，4，6中选，中间两位从0到9的数中，去掉5与首位的数中选2个排列，所以共有1238168C A=个；第二类，个位是0时，首位从3，4，5，6中选，中间两位从0到9的数中，去掉0与首位的数中选2个排列，所以共有1248224C A=个；所以共有168224392+=个.10．（2021·江西·横峰中学高二期中（理））1.如图，已知图形ABCDEF ，内部连有线段.（用数字作答）（1）由点A 沿着图中的线段到达点E 的最近路线有多少条？（2）由点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线有多少条？（3）求出图中总计有多少个矩形？【答案】（1）20（2）175（3）102【分析】（1）由题意转化条件为点A 需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；（2）设出直线DE 上其它格点为G 、H 、P ，按照A E C →→、A G C →→、A H C →→、A P C →→分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在CD 上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.（1）由题意点A 沿着图中的线段到达点E 的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A 到达点E 的最近路线的条数为336320C C ⋅=；（2）设点G 、H 、P 的位置如图所示：则点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线可分为4种情况：①沿着A E C →→，共有33263360C C C ⋅⋅=条最近路线；②沿着A G C →→，共有3222524260C C C C ⋅⋅⋅=条最近路线；③沿着A H C →→，共有32345340C C C ⋅⋅=条最近路线；④沿着A P C →→，共有246415C C ⋅=条最近路线；故由点A 沿着图中的线段到达点C 的最近路线有60604015175+++=条；（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：①矩形的边不在CD 上，共有224690C C ⋅=个矩形；②矩形的一条边在CD 上，共有124312C C ⋅=个矩形；故图中共有9012102+=个矩形.1．（2020·海南省高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C2.（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志练真题愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C ⨯=种不同的分配方案，故选：C.3．（2018·浙江高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.【解析】若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.4．（2017·天津高考真题（理））用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】41345454A C C A 1080+= 5.（2015·上海高考真题（理））在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．【答案】120【解析】①1男4女，1436C C 45=种；②2男3女，2336C C 60=种；③3男2女，3236C C 15=种；∴一共有456015120++=种．故答案为：120.6.（2020·全国高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =⨯=种根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636故答案为：36.。

高中数学总复习——专题 排列与统计概率数学考试姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题 1.从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )A. ①B. ②④C. ③D. ①③ 2.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在 [10,50] ，（单位：元）之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 [10,30) （单位：元）内的同学有33人，则支出在 [40,50] （单位：元）内的同学人数为（ ）A. 100B. 120C. 30D. 300 3.ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A. 1−π4B. 1−π8C. π4D. π84.已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量Y 满足 Y =3X −1 ，则Y 的方差 D(Y)= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 9 5.(1−x 3)(1−x)10的展开式中，x 5的系数是（ ）A. -297B. -252C. 297D. 207 6.盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为 328 ，从盒中取出2个球都是黄球的概率是 514 ，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是（ ） A. 1328 B. 57 C. 1528 D. 377.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 α=π6 ，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D.8.若干个人站成一排，其中为互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾” C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”9.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从 1~160 编号，若第1组抽出的号码为6，则第6组中抽取的号码是（ ） A. 66 B. 56 C. 46 D. 12610.已知随机变量服从正态分布N （0，σ2），且P （﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P （ξ＞2）=（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.611.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如表所示：根据上表可得回归直线方程y ∧=0.56x+a ∧， 据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为（ ）A. 70.09 kgB. 70.12 kgC. 70.55 kgD. 71.05 kg 12.样本4，2，1，0，－2的标准差是：（ ）A. 1B. 2C. 4D. 2√5 13.某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到所示联表：附：K 2=n (n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n 1+n 2， 则下列结论正确的是（ ）A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”B. 有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”C. 在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”14.已知X 是离散型随机变量，P （X=1）=23 ， P （X=a ）=13 ， E （X ）=43 ， 则D （2X ﹣1）等于（ ）A. 89 B. −19 C. 43 D. 1315.A 、B 两位同学各有3张卡片，现以投掷硬币的形式进行游戏．当硬币正面向上时，A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率为（ ）A. 116B. 18C. 332D. 316 16.设随机变量X 的概率分布如右下，则P （X≥0）=（ ） 23A. 16 B. 13 C. 12 D. 56 17.（1+x ）10的二项展开式中的一项是（ ）A. 45xB. 90x 2C. 120x 3D. 252x 4二、填空题18.从 {1,2,3,4,5,6} 中随机选一个数 a ，从 {1,2,3} 中随机选一个数 b ，则 a <b 的概率等于________.19.一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为________．20.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组 1~20 号，第二组 21~40 号，…，第五组 81~100 号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为________． 21.国家气象局统计某市2016年各月的平均气温（单位：C ）数据的茎叶图所示，则这组数据的中位数是________.22.若(x−1ax )6的二项展开式中常数项为−52，则常数a的值是________.23.掷一枚骰子，出现的点数X是一随机变量，则P（X＞5）的值为________．24.已知样本数据a1,a2,a3,a4,a5的方差s2=15(a12+a22+a32+a42+a52−20)，则样本数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1,2a5+1的平均数为________．25.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为________26.在(x−2√x)5的展开式中，x2的系数为________27.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.28.西部五省，有五种颜色供选择涂色，要求每省涂一色，相邻省不同色，有________种涂色方法．29.若(√a−1)6的展开式中的第5项等于152，则limn→∞(a+a2+⋯+a n)的值为________．30.分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________31.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为________.32.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务，每个社区1到2人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为________．33.两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为________.34.若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a2+a4+…+a12=________三、解答题35.某校书法兴趣组有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛(每人被选到的可能性相同)．(I)用表中字母列举出所有可能的结果；(II)设M为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M发生的概率．36.2020年4月21日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽1000名中学生进行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周体育锻炼时长不足4小时的体育锻炼的中学生有100人，求直方图中a，b的值；（2）为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从[10,12)和[12,14]两组中共抽取了6名中学生参加线上座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示，求这2名学生来自不同组的概率．37.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定A省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，A省某高中高一（1）班（共40人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单料全班排名），知这次摸底考试中的物理成绩（满分100分）频率分布直方图，化学成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理82分，化学70多分．（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为60分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率．38.已知一个科研小组有4位男组员和2位女组员，其中一位男组员和一位女组员不会英语，其他组员都会英语，现在要用抽签的方法从中选出两名组员组成一个科研攻关小组．（Ⅰ）求组成攻关小组的成员是同性的概率；（Ⅱ）求组成攻关小组的成员中有会英语的概率；（Ⅲ）求组成攻关小组的成员中有会英语并且是异性的概率．39.衡州市临枣中学高二某小组随机调查芙蓉社区160个人，以研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：下面临界值表：K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分别列和期望；（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？40.根据国家统计局数据，1999年至2019年我国进出口贸易总额从3万亿元跃升至31.6万亿元，中国在国际市场上的贸易份额越来越大对外贸易在国民经济中的作用日益突出.将年份1999，2004，2009，2014，2019分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t，y表示全国进出口贸易总额.参考数据：① 0.142+0.342+0.662+1.862+2.042=8.192 ② 0.142+0.342+1.862+2.042+2.142=12.336 ③ 8.192555.792≈0.0147 ④ 12.336555.792≈0.0222参考公式：线性回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b̂=∑(x i −x̅)(y i −y ̅)ni=1∑(x i −x̅)2n i=1 ， a ̂=y ̅−b̂x̅ ，相关指数 R 2=1−∑(y i −y ̂i )2ni=1∑(y i −y ̅)2ni=1 .（1）根据以上统计数据及图表，给出了下列两个方案，请解决方案1中的问题. 方案1：用 y ̂=bt +a 作为全国进出口贸易总额 y 关于 t 的回归方程，根据以下参考数据，求出 y 关于 t 的回归方程，并求相关指数 R 12 . 方案2：用 y ̂=ce dt 作为全国进出口贸易总额 y 关于 t 的回归方程，求得回归方程 ŷ=2.3259e 0.5721x ，相关指数 R 22 . （2）通过对比（1）中两个方案的相关指数，你认为哪个方案中的回归方程更合适，并利用此回归方程预测2020年全国进出口贸易总额.41.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的 COVID −9 病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为1，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.2（1）求一个接种周期内出现抗体次数K的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案.42.参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.参考数据: ∑i=16(x i -x ¯)·(y i -y ¯)=-34580,∑i =16(x i -x̅)·(z i -z̅)=-175.5,∑i=16(y i -y̅)2 ， =776840,∑i=16(y i -y̅)·(z i -z̅)=3465.2 . （1）根据散点图判断y 与x,z 与x 哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)? （2）根据(1)的判断结果及数据,建立y 关于x 的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字). （3）当定价为150元/千克时,试估计年销量.附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n ),其回归直线 y ＾=b＾x+ a ＾ 的斜率和截距的最 小二乘估计分别为 b ＾=∑i=1n(x i -x ¯)⋅(y i -y ¯)∑i=1n(x i -x̅)2=∑i=1nx i ⋅y i -n⋅x̅⋅y̅∑i=1nx i 2-n⋅x̅2,a ＾=y ̅-b ＾x̅43.某中学有一调查小组为了解本校学生假期中白天在家时间的情况，从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天在家的时间（在家时间在4小时以上的就认为具有“宅”属性，否则就认为不具有“宅”属性）参考公式： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n=a+b+c+d ． 参考数据：（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否具有‘宅’属性与性别有关？”（2）采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生里抽取一个6人的样本，其中男生和女生各多少人？从6人中随机选取3人做进一步的调查，求选取的3人至少有1名女生的概率．44.某商超为庆祝店庆十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案∶方案①∶一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案②∶一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3（1）现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；（2）如果某顾客获得一次抽奖机会.那么他选择哪种方案更划算.45.从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x̅和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ近似为样本平均数x̅，δ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用（i）的结果，求E（X）．附：√150≈12.2．若Z∼N(μ,δ2)，则P(μ−δ<Z<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<Z<μ+2δ)=0.9544．46.某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．47.用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）可组成多少个无重复数字的自然数？（2）可组成多少个无重复数字的四位偶数？48.为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动.附：K2=n(ad−bc)2.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人会外语），抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？49.为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．理科：79，81，81，79，94，92，85，89文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；（参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差：S2=1[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x n−x̅)2]，其中x̅为样本平均数）n（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．50.盒中有标号分别为0，1，2，3的球各一个，这些球除标号外均相同．从盒中依次摸取两个球（每次一球，摸出后不放回），记为一次游戏．规定：摸出的两个球上的标号之和等于5为一等奖，等于4为二等奖，等于其它为三等奖．（1）求完成一次游戏获三等奖的概率；（2）记完成一次游戏获奖的等级为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】【解答】解：根据对立事件的定义，只有③中两事件符合定义.故答案为：C.【分析】由对立事件的定义直接求得答案。