2022年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学四模试卷含解析

2022年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学冲刺试卷（四）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．02．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010 3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a25．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆P A的高度表示为（）米A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1 7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）9．（3分）计算：×＝．10．（3分）把多项式a2b﹣2ab+b分解因式的结果是．11．（3分）如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．12．（3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝°．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于D，且AB ＝10，则AD的长为．14．（3分）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t ＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a），其中a＝2021．16．（6分）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同，甲袋中三个小球上分别标有数字1、2、7，乙袋中三个小球上分别标有数字4、5、6，小明分别从甲、乙口袋中通随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小明摸出两个小球上的数字之和为4的倍数的概率．17．（6分）为迎接五•一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用1000元采购A 种服装的件数与用800元采购B种服装的件数相等，A种服装每件的进价比B种服装多10元，求B种服装每件的进价．18．（7分）如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连接DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）19．（7分）为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识某校数学兴趣小组设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，将测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表问卷测试成绩分组表组别分数/分A60＜x≤70B70＜x≤80C80＜x≤90D90＜x≤100（1）本次抽样调查的样本总量是；（2）样本中，测试成绩在B组的频数是，D组的频率是；（3）样本中，这次测试成绩的中位数落在组；（4）如果该校共有880名学生，请估计成绩在90＜x≤100的学生约有人．20．（7分）如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画一个△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC 的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图2中画△ABF点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形．（3）直接写出图2中四边形的面积．21．（8分）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中休息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地．图中折线（实线）、线段（虚线）分别表示甲、乙两人所走的路程y甲（km），y乙（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）图中点E的坐标是，题中m＝km/h，甲在途中休息了h；（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？22．（9分）如图，AD是△ABC的中线，过点C作直线CF∥AD．【问题】如图①，过点D作直线DG∥AB交直线CF于点E，连接AE，求证：AB＝DE．【探究】如图②，在线段AD上任取一点P，过点P作直线PG∥AB交直线CF于点E，连接AE、BP，探究四边形ABPE是哪类特殊四边形并加以证明．【应用】在探究的条件下，设PE交AC于点M．若点P是AD的中点，且△APM的面积为1，直接写出四边形ABPE的面积．23．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠DAB的平分线交边CD于点E，点P在射线AE上以每秒2个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作平行四边形PQMN，点N在射线AE上，且AP＝PN．设点P的运动时间为t秒．（1）PQ＝（用含t的代数式表示）；（2）当点M落在BC上时，求t的值；（3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分图形的面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t的函数关系式；（4）直接写出在点P运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）．24．（12分）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m，当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为G1，将G沿直线x＝m翻折后得到的函数图象为G2，函数G的图象由G1和G2两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”如函数y＝x（x≥2）的对折函数为y＝（1）写出函数y＝﹣2x+1（x≥﹣1）的对折函数；（2）若函数y＝2x﹣2（x≥﹣）的对折函数与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，求△ABC的周长；（3）若点P（m，5）在函数y＝（x﹣1）2﹣4（x≥﹣1）的对折函数的图象上，求m的值；（4）当函数y＝（x﹣1）2﹣4（x≥n）的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围．2022年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学冲刺试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．0【分析】根据数轴上的点表示的数以及实数的大小关系解决此题．【解答】解：设被挡住的数为x．由题意得，﹣2＜x＜0．∵﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜1，∴x＝﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查数轴的点表示的数以及实数的大小关系，熟练掌握数轴上的点表示的数以及实数的大小关系是解决本题的关键．2．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：7 810 000 000＝7.81×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：这个立体图形的俯视图有两层，上层三个正方形，下层一个正方形，右齐．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a2【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．【解答】解：A、6a表示6×a，此选项不符合题意；B、a2•a3＝a5，此选项不符合题意；C、（a3）2＝a6，此选项符合题意；D、a12÷a2＝a10，此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则．5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据怪兽和怪鸟的头数及脚数，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆P A的高度表示为（）米A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1【分析】根据题意可得，四边形ABDC是矩形，根据锐角三角函数即可表示旗杆P A的高度．【解答】解：根据题意可知：四边形ABDC是矩形，∴∠PCD＝90°，AC＝BD＝1米，在Rt△PCD中，PC＝CD tanα＝5tanα，∴P A＝PC+AC＝（5tanα+1）米．答：旗杆P A的高度表示为（5tanα+1）米．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠ABN的度数，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．【解答】解：∵AB＝BN，∠A＝74°，∴∠ANB＝74°，∠ABN＝180°﹣2×74°＝32°，由作图痕迹可得，BN平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABN＝64°，∴△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣74°﹣64°＝42°，故选：B．【点评】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等．8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5【分析】直接根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，由D点坐标即可求出反比例函数的解析式，故可得出△OBC的面积，由S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC即可得出结论．【解答】解：∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，3），∴D（2，），把D（2，）代入反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×＝3，∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBC＝×3＝，∴S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC＝×4×3﹣＝．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中k＝xy的特点是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）9．（3分）计算：×＝2．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：×＝＝＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（3分）把多项式a2b﹣2ab+b分解因式的结果是b（a﹣1）2．【分析】直接提取公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：a2b﹣2ab+b＝b（a2﹣2a+1）＝b（a﹣1）2．故答案为：b（a﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．11．（3分）如果关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k＝9﹣8k＝0，解得：k＝．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．12．（3分）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝68°．【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠C＝45°，由三角形的外角性质得出∠AGB ＝68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【解答】解：∵△ABC是含有45°角的直角三角板，∴∠A＝∠C＝45°，∵∠1＝23°，∴∠AGB＝∠C+∠1＝68°，∵EF∥BD，∴∠2＝∠AGB＝68°；故答案为：68．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于D，且AB ＝10，则AD的长为5．【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用∠ACD＝∠BCD得到AD＝BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AD的长度．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD＝AB＝10×＝5．故答案为5．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14．（3分）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t ＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是2≤t＜11．【分析】根据抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，可以求得b的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当﹣1＜x＜4时，y的取值范围，然后令y＝t，即可转化为方程x2+bx+3﹣t＝0，从而可以得到t的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，得b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是2≤y＜11，当y＝t时，t＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣t＝0，∵关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，∴t的取值范围是2≤t＜11，故答案为：2≤t＜11．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题：（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（2a﹣1）2+2a（3﹣2a），其中a＝2021．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项即可化简原式，最后将a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝4a2﹣4a+1+6a﹣4a2＝2a+1，当a＝2021时，原式＝2×2021+1＝4042+1＝4043．【点评】本题主要考查整式的混合运算—化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则．16．（6分）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同，甲袋中三个小球上分别标有数字1、2、7，乙袋中三个小球上分别标有数字4、5、6，小明分别从甲、乙口袋中通随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求小明摸出两个小球上的数字之和为4的倍数的概率．【分析】画树状图得出所有9种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：如图所示：，P（小明摸出的两个小球上的数字之和为4的倍数）＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．17．（6分）为迎接五•一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用1000元采购A 种服装的件数与用800元采购B种服装的件数相等，A种服装每件的进价比B种服装多10元，求B种服装每件的进价．【分析】直接根据题意表示出采购A、B种服装的件数，进而得出等式求出答案．【解答】解：设B种服装每件的进价为x元，由题意可得：＝，解得：x＝40，经检验得：x＝40为原方程的解，且符合题意，答：B种服装每件的进价为40元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．18．（7分）如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连接DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）【分析】（1）连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠DAB＝∠C，然后根据圆周角定理和等量代换得到结论；（2）连接OD，如图，利用（1）中结论得到∠BED＝∠C＝50°，再利用圆周角定理得到∠BOD的度数，然后根据弧长公式计算的长度．【解答】（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC切⊙O于点A∴CA⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABD＝90°，而∠DAB+∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠C，∵∠DAB＝∠BED，∴∠C＝∠BED；（2）解：连接OD，如图，∵∠BED＝∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠BED＝100°，∴的长度＝＝π．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和弧长公式．19．（7分）为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识某校数学兴趣小组设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，将测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表问卷测试成绩分组表组别分数/分A60＜x≤70B70＜x≤80C80＜x≤90D90＜x≤100（1）本次抽样调查的样本总量是200；（2）样本中，测试成绩在B组的频数是0.15，D组的频率是B；（3）样本中，这次测试成绩的中位数落在132组；（4）如果该校共有880名学生，请估计成绩在90＜x≤100的学生约有132人．【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查的样本总量；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据可以分别求得测试成绩在B组的频数和D组的频率；（3）根据统计图中的数据可以得到中位数落在那一组；（4）根据统计图中的数据可以计算出成绩在90＜x≤100的学生人数．【解答】解：（1）本次抽样调查的样本总量是：60÷30%＝200，故答案为：200；（2）样本中，测试成绩在B组的频数是20×36%＝72，在D组的频率是：30÷200＝0.15，故答案为：72，0.15；（3）样本中，这次测试成绩的中位数落在B组，故答案为：B；（4）880×＝132（人），故答案为：132．【点评】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（7分）如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画一个△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC 的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图2中画△ABF点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形．（3）直接写出图2中四边形的面积．【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出图形即可．（2）根据中心对称图形的性质作出图形即可．（3）利用平行四边形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求．（2）如图，四边形ABEC即为所求．（3）四边形ABEC的面积＝4×2＝8．【点评】本题考查作图应用与设计，勾股定理，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（8分）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m千米的速度匀速行驶，途中休息了一段时间后，仍按照每小时m千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地．图中折线（实线）、线段（虚线）分别表示甲、乙两人所走的路程y甲（km），y乙（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象提供的信息，回答下列问题：（1）图中点E的坐标是（2，160），题中m＝100km/h，甲在途中休息了1 h；（2）求线段CD的解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km？【分析】（1）根据速度和时间列方程：60×1+m＝160，可得m＝100，根据D的坐标可计算直线OD的解析式，从图中知E的横坐标为2，可得E的坐标，根据点E到D的时间差及速度可得休息的时间；（2）利用待定系数法求直线CD的解析式；（3）先计算第二次相遇的时间：y＝360时代入y＝80x可得x的值，再计算x＝5时乙行驶的路程，可得路程差为40km，所以存在两种情况：两人相距20km，列方程可得结论．【解答】解：（1）由图形得D（7，560），设OD的解析式为：y＝kx，把D（7，560）代入得：7k＝560，k＝80，∴OD：y＝80x，当x＝2时，y＝2×80＝160，∴E（2，160），由题意得：60×1+m＝160，m＝100，7﹣2﹣（560﹣160）÷100＝1，故答案为：（2，160），100，1；（2）∵A（1，60），E（2，160），∴直线AE：y＝100x﹣40，当x＝4时，y＝400﹣40＝360，∴B（4，360）∴C（5，360），∵D（7，560），∴设CD的解析式为：y＝kx+b，把C（5，360），D（7，560）代入得：，解得：，∴直线CD的解析式为：y＝100x﹣140（5≤x≤7）；（3）∵OD的解析式为：y＝80x（0≤x≤7），当x＝5时，y＝5×80＝400，400﹣360＝40，∴出发5h时两个相距40km，把y＝360代入y＝80x得：x＝4.5，∴出发4.5h时两人第二次相遇，①当4.5＜x＜5时，80x﹣360＝20，x＝4.75，4.75﹣4.5＝0.25（h），②当x＞5时，80x﹣（100x﹣140）＝20，x＝6，6﹣4.5＝1.5（h），答：两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时，首先要理解横纵坐标表示的含义，数形结合思想的应用是解题关键．22．（9分）如图，AD是△ABC的中线，过点C作直线CF∥AD．【问题】如图①，过点D作直线DG∥AB交直线CF于点E，连接AE，求证：AB＝DE．【探究】如图②，在线段AD上任取一点P，过点P作直线PG∥AB交直线CF于点E，连接AE、BP，探究四边形ABPE是哪类特殊四边形并加以证明．【应用】在探究的条件下，设PE交AC于点M．若点P是AD的中点，且△APM的面积为1，直接写出四边形ABPE的面积．【分析】【问题】如图①，过点D作直线DG∥AB交直线CF于点E，连接AE，只要证明△ABD≌△EDC即可；【探究】如图②，四边形ABPE是平行四边形，方法一，过点D作DN∥PE交直线CF 于点N，只要证明四边形PDNE是平行四边形，推出PE＝DN，由问题结论可得AB＝DN，推出PE＝AB，推出四边形ABPE是平行四边形；方法二，如图③中，延长BP交直线CF于点N，只要证明△ABP≌△EPN，即可解决问题；【应用】如图④，延长BP交CF于H．想办法求出△AEM的面积即可解决问题；【解答】【问题】证明：如图①∵DG∥AB，∴∠1＝∠2，∠B＝∠4，∵CF∥AD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB＝DE．（或证明四边形ABDE是平行四边形，从而得到AB＝DE．）【探究】四边形ABPE是平行四边形．方法一：如图②，证明：过点D作DN∥PE交直线CF于点N，∵CF∥AD，∴四边形PDNE是平行四边形，∴PE＝DN，∵由问题结论可得AB＝DN，∴PE＝AB，∴四边形ABPE是平行四边形．方法二：如图③，证明：延长BP交直线CF于点N，∵PG∥AB，∴∠1＝∠2，∠5＝∠4，∵CF∥AD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵AD是△ABC的中线，CF∥AD，∴BP＝PN，∴△ABP≌△EPN，∴AB＝PE，∴四边形ABPE是平行四边形．【应用】如图④，延长BP交CF于H．由上面可知，四边形ABPE是平行四边形，∴AE∥BH，∴P A∥EH，∴四边形APHE是平行四边形，∴P A＝EH，∵BD＝DC，DP∥CH，∴BP＝PH，∴CH＝2PD，∵AP＝PD，∴EC＝3P A，∵P A∥EC，∴＝＝，∴S△AEM＝3S△APM＝3，∴S△ABP＝S△APE＝4，∴S平行四边形ABPE＝8．【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．23．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∠DAB的平分线交边CD于点E，点P在射线AE上以每秒2个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作平行四边形PQMN，点N在射线AE上，且AP＝PN．设点P的运动时间为t秒．（1）PQ＝t（用含t的代数式表示）；（2）当点M落在BC上时，求t的值；（3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分图形的面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t的函数关系式；（4）直接写出在点P运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）．【分析】（1）判断出△APQ是等腰直角三角形即可得出结论；（2）先判断出点Q是AB中点，进而求出AQ＝2，即可得出结论；（3）分三种情形讨论①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是平行四边形PQMN．②如图5中，当＜t≤2时，重叠部分是五边形PQMGE．③如图6中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K．分别求解即可．（4）分三种情形讨论即可）①如图7中，当点Q是AB中点时，△APQ≌△QMB．②如图8中，当点P与点E重合时，△APQ≌△AED．③如图9中，当△PEK≌△QGB时，分别求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠BAE＝∠BAD＝45°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝45°＝∠BAE，∠AQP＝90°，即：△APQ是等腰直角三角形，由运动知，AP＝t，∴PQ＝t，故答案为：t；（2）如图1，∵四边形PQMN是平行四边形，∴PQ∥MN，∵点M在BC上，∴BN∥PQ，∵AP＝PN，∴AQ＝BQ＝AB＝2，在Rt△APQ中，∠P AQ＝45°，∴AP＝AQ＝2，由运动知，AP＝t，∴t＝2，∴t＝2；（3）①如图2中，当0＜t≤时，重叠部分是平行四边形PQMN，S＝t2，②如图3中，当＜t≤2时，重叠部分是五边形PQMGE，∴S＝S平行四边形PQMN﹣S△NGE＝t2﹣[]2＝﹣t2+6t﹣．③如图4中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K．S＝S矩形QBCK﹣S△KPE﹣S△QBG＝3（4﹣t）﹣（）2﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t ﹣，综上所述，S＝．（4）①如图5中，当点Q是AB中点时，△APQ≌△QMB，此时t＝2．②如图6中，当点P与点E重合时，△APQ≌△AED，此时t＝3．③如图7中，当△PEK≌△QGB时，由EK＝BQ得到：＝4﹣t，解得t＝，综上所述，t＝2s或3s或s时，整个图形中形成的三角形存在全等三角形．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、平移变换、全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形，学会利用分割法求面积，属于中考压轴题．24．（12分）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m，当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为G1，将G沿直线x＝m翻折后得到的函数图象为G2，函数G的图象由G1和G2两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”如函数y＝x（x≥2）的对折函数为y＝（1）写出函数y＝﹣2x+1（x≥﹣1）的对折函数；（2）若函数y＝2x﹣2（x≥﹣）的对折函数与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，求△ABC的周长；（3）若点P（m，5）在函数y＝（x﹣1）2﹣4（x≥﹣1）的对折函数的图象上，求m的值；（4）当函数y＝（x﹣1）2﹣4（x≥n）的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围．【分析】（1）当y＝﹣2x+1＝0时，x＝，即点B（，0），则点C（﹣，0），即可求解；（2）参考（1）求出对折后函数表达式即可求解；（3）求出对折函数，将点P（m，5）代入函数表达式，即可求解；（4）分当n＜﹣1、n＝﹣1、﹣1＜n＜3、n＝3、n＞3，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，设对折点为A，则点A（﹣1，3），设对折图象与x轴的交点为A、B，。

2022年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠校区中考数学四模试卷一、选择题（共8小题，满分32分）1．在下列各数中，比﹣2021小的数是（）A．2022B．﹣2022C．2020D．﹣20202．中国科学技术大学构建的量子计算原型机，被命名为“九章”，可在一分钟完成经典超级计算机100000000年才能完成的任务，100000000这个数用科学记数法表示为（）A．10×107B．10×108C．1×108D．1×1093．将3个完全相同的长方体按如图方式摆放，其中每个长方体的长、宽、高分别为10，6，1，则这3个长方体组成的图形左视图面积为（）A．10B．18C．30D．604．如图，在▱ABCD中，AB＝4，对角线BD＝3，则▱ABCD面积的最大值为（）A．25B．20C．15D．125．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（）A．30B．60C．120D．1806．如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，已知三角形①的面积是3，则三角形②的面积为（）A．3B．4C．2D．37．如图，分别以线段AB的端点A，B为圆心，大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN交AB于点C；以点C为圆心，AC长为半径向上作优弧，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧，交优弧于点D，连结AD、BD，BD交MN于点E．则下列结论不成立的是（）A．AD⊥BD B．DE＝CE C．BD＝CD D．BC＝2CE8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，3），动点D在边BC上，且不与点B重合，连结AD，把△ABD沿AD翻折得到△AED，点E 落在双曲线y＝上，当CE长度最小时，k的值为（）A．B．C．D．6二、填空题（共6小题，满分24分）9．分解因式：a2﹣4a＝．10．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．11．净月潭景区门票价格为每人每次30元，小致办理了年卡，年卡费用是每人240元，一年内进入景区次数不限，小致一年内共去了净月潭景区n次（n＞8），则小致这一年在该景区门票费用上节约了元．12．如图，△ABC是等腰直角三角形，以斜边AB的中点D为圆心作半圆，分别与AC、BC 相切于点E、F，若AB＝4，则的长度为．（结果保留π）13．将一架长为3米的梯子斜靠在竖直的墙AB上，梯子与地面的夹角∠BCA＝65°，则梯子底端C与墙根A点的距离为米．（结果精确到0.1米）[参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14]14．在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上任意两点，其中x1＜x1，设抛物线的对称轴为直线x＝m，若对于任意x1+x2＞4，都有y1＞y2，则m的取值范围为．三、解答题（共10小题，满分94分）15．先化简，再求值：（a+1）2﹣2a（a+1），其中a＝．16．在学习三角形时，老师拿了4张卡片，背面完全一样，正面分别标有30°、40°、50°、75°，小致从4张卡片中随机抽了两张卡片，以卡片上的角度作为三角形的两个内角画三角形，求画出的三角形是锐角三角形的概率．17．如图是7×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）（1）边AC的长度为；（2）作△ABC的角平分线AD；（3）已知点P在线段AB上，点Q在（2）作出的线段AD上，当PQ+BQ的长度最小时，在网格中作出△PBQ．18．在一次10km跑步锻炼中，先匀速跑了4km，之后提速20%并匀速跑完剩余路程，这样小致一共用了0.9h跑完全程，求小致前4km的速度是多少？19．如图，在▱ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，点E、F在对角线BD上，且DM ＝BN，BE＝DF．（1）求证：四边形ENFM是平行四边形．（2）若点M是AD中点，AB＝4，MF＝1，∠EMF＝90°，则EM＝．20．根据2007年印发的《关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时，某初中学校为了解本校学生的睡眠情况，将同学们某天的睡眠时长t（小时）分为A、B、C、D、E（A：9≤t ≤24；B：8≤t＜9；C：7≤t＜8；D：6≤t＜7；E：0≤t＜6）五个选项，进行了一次问卷调查，随机抽取100名同学的调查问卷并进行了整理，绘制成如图所示条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）a＝；b＝；（2）根据统计结果，估计该学校800名学生中睡眠不足7小时的人数；（3）教育部办公厅在2021年4月印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，对学生的必要睡眠时间、学校作息时间、晚上就寝时间等3个“重要时间”作出明确要求，若这次统计睡眠时长不达标的学生每天多睡一个小时，能否使该校60%的学生睡眠时长达远标？说明理由．21．甲、乙两人共同制作一批手工艺品，甲先开始制作，两个小时以后乙也开始制作，乙每小时制作30个，一段时间后，甲、乙两人互相配合制作，这样每小时制作的数量是两人各自制作1小时数量和的1.6倍，b小时两人完成任务，设甲、乙两人制作手工艺品的数量和为y（件），甲制作的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）a＝；b＝；（2）当2≤x≤a时y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两人配合比a小时后仍各自加工完成这批手工艺品少用多少小时．22．教材呈现：如下是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．如图23.4.2，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明．请结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝6，S＝12．D、E、F分别为AB、AC、△ABCAE的中点，则DF＝；＝．（2）如图③，在（1）的条件下，延长FD、CB相交于点G，则S△DGB23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D是AB中点，点P从点A 出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿折线AB﹣BC向终点C运动，连结PQ，取PQ的中点E，连结DE，P、Q两点同时出发，设点P运动的时间为t秒．（1）点P到AB的距离为．（用含t的代数式表示）（2）当点Q在AB上运动时，求tan∠PQA的值．（3）当DE与△ABC的直角边平行时，求DQ的长．（4）当△DEQ为直角三角形时，直接写出t的值．24．在平面直角坐标系中，已知函数y＝x2﹣2ax+2a（a为常数）．（1）若a＝1．①当0≤x≤3时，y的取值范围是．②若﹣2≤x≤b时，1≤y≤10，则b的取值范围是．（2）当时，此函数的最大值与最小值的差是4，求a的值．（3）设此函数图象与y轴交点为点M，过点M作y轴的垂线l，将函数图象在直线l上方部分沿直线l翻折后的图象记为G1，原函数图象末翻折部分记为G2，G1与G2组成的图记为G，当G在直线x＝与直线x＝2a+之间所夹的图象y随x增大而减小时，接写出a的取值范围．2022年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠校区中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵|﹣2022|＞|﹣2021|＞|﹣2020|，∴﹣2022＜﹣2021＜﹣2020＜2020＜2022，∴比﹣2021小的数是﹣2022．故选：B．2．解：100000000＝1×108．故选：C．3．解：由题意可知，这个长方体的左视图是一个矩形，它的长为10，高为3，所以左视图面积为：10×3＝30．故选：C．4．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∴▱ABCD面积＝AB•DE，当DE最大时，▱ABCD面积最大，当DE与BD重合时，即BD⊥AB时，DE最大，此时▱ABCD面积＝4×3＝12．故选：D．5．解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转＝60°后，能与其自身重合．故选：B．6．解：如图：设三角形①为△AOB，三角形②为△BOC，由题意得：∠AOB＝∠BOC＝360°÷12＝30°，设AB＝x，在Rt△AOB，∠AOB＝30°，∴AO＝AB＝x，OB＝2AB＝2x，∵△AOB∽△BOC，∴＝（）2＝，∵三角形AOB的面积是3，∴三角形BOC的面积是4，故选：B．7．解：由作法得MN垂直平分AB，AD＝AC，∴AC＝BC，CE⊥AB，∴C点为弧所在圆的圆心，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，所以A选项的结论成立；∵AC＝AD＝CD，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠EDC＝90°﹣60°＝30°，∠ECD＝90°﹣60°＝30°，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC，所以B选项的结论成立；在Rt△ABD中，∠B＝∠ACD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝CD，所以C选项的结论成立；在Rt△BCE中，∵∠B＝30°，∴BE＝2CE，BC＝CE，所以D选项的结论不成立；故选：D．8．解：由折叠可知，AE＝AB，∠AED＝∠B＝90°，∴CE≥AC﹣AE＝2，∴当且仅当点A，E，C三点共线时，CE最小．∵OA＝4，OC＝3，∴AC＝5．如图，过点E作EM⊥OA于点M，∴EM：OC＝AE：AC＝AM：OA＝3：5，解得EM＝，AM＝，∴OM＝．∴E（，），∵点E在双曲线y＝上，∴k＝×＝．故选：A．二、填空题（共6小题，满分24分）9．解：a2﹣4a＝a（a﹣4）．故答案为：a（a﹣4）．10．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，即：22﹣4（﹣m）＝0，解得：m＝﹣1，故选答案为﹣1．11．解：由题意得：节约的费用为：（30n﹣240）元，故答案为：（30n﹣240）．12．解：连接OE、OF，∵AB＝4，点D为AB的中点，∴AD＝2，∵AC、BC是半圆的切线，∴DE⊥AC，DF⊥BC，∵∠C＝90°，∴∠EDF＝90°，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴DE＝AD＝，∴的长＝＝π，故答案为：π．13．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝65°，AB＝3米，则AC＝AB•cos∠BCA≈3×0.42≈1.3（米），故答案为：1.3．14．解：∵y1＞y2，∴ax12+bx1+c＞ax22+bx2+c，∴a（x12﹣x22）＞﹣b（x1﹣x2），∵a＜0，x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴x1+x2＞﹣＝2m，当x1+x2＞4时，都有x1+x2＞2m，∴2m≤4，∴m≤2，∴满足条件的值为：m≤2．故答案为：m≤2．三、解答题（共10小题，满分94分）15．解：原式＝a2+2a+1﹣2a2﹣2a＝﹣a2+1，当a＝时，原式＝﹣2+1＝﹣1．16．解：根据题意列表如下：30°40°50°75°30°（40°，30°）（50°，30°）（75°，30°）40°（30°，40°）（50°，40°）（75°，40°）50°（30°，50°）（40°，50°）（75°，50°）75°（30°，75°）（40°，75°）（50°，75°）一共有12种情况，其中画出的三角形是锐角三角形的有6种情况，则画出的三角形是锐角三角形的概率是＝．17．解：（1）根据勾股定理，得AC＝＝5．故答案为：5；（2）如图，AD即为所求；（2）如图，△PBQ即为所求．18．解：设小致前4km的速度是xkm/h，根据题意，得+＝0.9．解得x＝10．经检验x＝10是原方程的解，且符合题意．答：小致前4km的速度是10km/h．19．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD．在△BNE和△DMF中，，∴△BNE≌△DMF（SAS）．∴MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．∴EN∥FM．∴四边形ENFM是平行四边形；（2）连接MN，由（1）知，四边形ENFM是平行四边形，∵∠EMF＝90°，∴四边形ENFM是矩形，∴MN＝EF，∵点M是AD中点，∴AM＝DM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵DM＝BN，∴AM＝BN，∴四边形ABNM是矩形，∴MN＝AB＝4，∵MF＝1，∴EM＝＝＝，故答案为：．20．解：（1）a＝100×19%＝19，b＝100﹣19﹣24﹣16﹣6＝37，故答案为：19；37；（2）800×（+）＝160（人），答：该学校800名学生中睡眠不足7小时的人数为160人；（3）不能，理由如下：19%+37%＝56%，因为56%＜60%，所以不能使该校60%的学生睡眠时长达远标．21．解：（1）由图可知，甲每小时做＝20个，依题意可得，20（a﹣2）+30（a﹣2）＝190﹣40 解得a＝5．甲乙合作每小时做1.6（20+30）＝80个∴（270﹣190）÷80＝1合作后用时为1小时∴b＝5+1＝6小时．即a＝5．b＝6．（2）设y与x之间的函教关系成为y＝kx+b将（2，40），（5，190）代入，得解得，所以当2≤x≤5时，y与x之间的函教关系为y＝50x﹣60．（3）当y＝270，50x﹣60＝270，解得k＝6.6∴6.6﹣6＝0.6答：甲．乙两人配合少用0.6小时．22．教材呈现：证明：∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，，∴DE∥BC，DE＝BC；（1）过点E作EH⊥BC于H，∵E为AC的中点，S△ABC＝12．∴S△BEC ＝BC•EH＝S△ABC＝6．∵BC＝6，∴EH＝2．∵∠C＝45°，∴CH＝EH＝2，BH＝4，∴BE＝＝2，∵D、F分别为AB、AE的中点，DF＝BE＝，故答案为：；（2）∵E 为AC 的中点，S △ABC ＝12．∴S △BEC ＝S △ABE ＝S △ABC ＝6．∵D 、F 分别为AB 、AE 的中点，∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴△ADF ∽△ABE ，∴，∴S △ADF ＝S △ABE ＝．∴S 四边形DBEF ＝6﹣＝．∵DF ∥BE ，∴△BCE ∽△GCF ，∴，∴S △CFG ＝S △BEC ＝，∴S △DGB ＝S △GCF ﹣S △BEC ﹣S 四边形DBEF ＝﹣6﹣＝3， 故答案为：3．23．解：（1）过点P 作PF ⊥AB 于点F ，如图：则∠PFA ＝90°＝∠ACB ，∴sin A ＝＝，即＝， 解得：PF ＝t ，故答案为：t；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝＝，∴AF＝PF＝×t＝t，∴QF＝AQ﹣AF＝2t﹣t＝t，∴tan∠PQA＝＝＝；（3）分情况讨论：①如图，当DE∥BC时，过P作PF⊥AB于点F，过E作EG⊥AB于点G，∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∴tan∠ADE＝＝tan B＝＝＝，∴GD＝EG，∵点E为PQ中点，EG∥PF，∴EG＝PF＝t，∴GD＝EG＝t，∵QF＝AQ﹣AF＝t，DQ＝2t﹣5，∴GQ＝QF＝t，∴GD＝GQ﹣DQ＝t﹣（2t﹣5）＝5﹣t，即t＝5﹣t，解得：t＝，∴DQ＝2×﹣5＝；②当DE∥AC时，如图，点Q与B重合，∴DQ＝DB＝AB＝5；综上所述，DQ的长为或5；（4）分情况讨论：①∠EDQ＝90°，如图：过P作PF⊥AB于F，则PF∥ED，∵E为PQ的中点，∴D是FQ的中点，∴DF＝DQ，由（2）可知，AF＝t，∴DF＝AD﹣AF＝5﹣t，∵DQ＝AQ﹣AD＝2t﹣5，∴5﹣t＝2t﹣5，解得：t＝；②当Q在AB上，∠DEQ＝90°时，连接DP，如图：则DE⊥PQ，∵E是PQ的中点，∴DP＝DQ，过P作PF⊥AB于F，由①得：DF＝AD﹣AF＝5﹣t，∵DP2＝DF2+PF2，DQ＝2t﹣5，∴（5﹣t）2+（t）2＝（2t﹣5）2，解得：t＝4或t＝0（舍去），∴t＝4；③当Q在BC上，∠DEQ＝90°时，连接DP，如图：则DE⊥PQ，∵E是PQ的中点，∴DP＝DQ，过P作PF⊥AB于F，过Q作QM⊥AB于M，∵BQ＝2t﹣10，sin B＝＝＝＝，cos B＝＝＝＝，∴QM＝BQ＝×（2t﹣10）＝t﹣8，BM＝BQ＝×（2t﹣10）＝t﹣6，∴DM＝BD﹣BM＝5﹣（t﹣6）＝11﹣t，∵DP2＝DF2+PF2，DQ2＝QM2+DM2，∴（t）2+（t﹣5）2＝（t﹣8）2+（11﹣t）2，解得：t＝或t＝8（舍去），∴t＝；④∠DQE＝90°，如图：过D作DN⊥BC于N，则DN∥AC，∵D是AB的中点，∴N是BC的中点，∴CN＝BN＝BC＝3，DN是△ABC的中位线，∴DN＝AC＝4，∵∠ACB＝∠DQE＝90°，∠CQP+∠CPQ＝∠CQP+∠NQD＝90°，∴∠CPQ＝∠NQD，∵∠ACB＝∠QND＝90°，∴△CPQ∽△NQD，∴＝，即＝，解得：t＝；综上所述，当△DEO为直角三角形时，t的值为或4或或．24．解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴顶点坐标为（1，1），①当0≤x≤3时，当x＝0，y＝2，当x＝3，y＝5，∴y的取值范围是1≤y≤5，故答案为：1≤y≤5；②当1≤y≤10时，当y＝1，x＝1，当y＝10，x＝﹣2或4，∵﹣2≤x≤b，∴1≤b≤4，故答案为：1≤b≤4；（2）∵0≤a+2，∴a≥﹣4，∵y＝x2﹣2ax+2a＝（x﹣a）2+2a﹣a2，∴顶点坐标为（a，2a﹣a2），当﹣4≤a≤0时，最低点（0，2a），最高点为（a+2，﹣a2+4），∴﹣a2+4﹣2a＝4，∴a＝0或﹣，当0＜a≤时，最低点（a，2a﹣a2），最高点为（a+2，﹣a2+4），∴﹣a2+4﹣（2a﹣a2）＝4，∴a＝0（舍去）或8（舍去），当＜a≤4时，最低点（a，2a﹣a2），最高点为（0，2a），∴2a﹣（2a﹣a2）＝4，∴a＝2或﹣2（舍去），当a＞4时，不合题意，综上所述：a＝0或﹣或2；（3）当a+1＞2a+时，即a＜1，当对称轴在y轴左侧时，即a＜0，由题意可得：或2a+≥0，解得：a≤﹣2或﹣≤a＜0，当对称轴在y轴右侧或y轴上时，a≥0，由题意可得：或2a+≥2a，解得：a≤﹣（舍去）或0≤a＜1，即a≤﹣2或﹣≤a＜1，当a+1＜2a+时，即a＞1，由题意可得：或a+1≥2a，解得：﹣≤a≤﹣（舍去）或1＜a≤2，综上所述：a≤﹣2或﹣≤a＜1或1＜a≤2．。

吉林省长春市东北师范大附属中学2024届中考数学模拟精编试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知AE 垂直于ABC ∠的平分线于点D ，交BC 于点E ， 13CE BC =，若ABC ∆的面积为1，则CDE ∆的面积是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．1102．满足不等式组21010x x -≤⎧⎨+>⎩的整数解是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．13．已知关于x 的不等式组﹣1＜2x+b ＜1的解满足0＜x ＜2，则b 满足的条件是（ ） A ．0＜b ＜2B ．﹣3＜b ＜﹣1C ．﹣3≤b≤﹣1D ．b=﹣1或﹣34．已知y 关于x 的函数图象如图所示，则当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜0B ．﹣1＜x ＜1或x ＞2C ．x ＞﹣1D ．x ＜﹣1或1＜x ＜25．安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是（ ） A ．3804.2×103B ．380.42×104C ．3.8042×106D ．3.8042×1056．下列说法不正确的是（ ）A ．选举中，人们通常最关心的数据是众数B ．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大C ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S 甲2=0.4，S 乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定D ．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 7．平面直角坐标系中的点P （2﹣m ，12m ）在第一象限，则m 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ．B ．C ．D ．8．如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE ，BF ，DF ，DG ，CG 分别交于点,,,,P Q K M N ，设BPQ ，DKM △，CNH △的面积依次为1S ，2S ，3S ，若1320S S +=，则2S 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．129．2017年，小榄镇GDP 总量约31600000000元，数据31600000000科学记数法表示为（ ） A ．0.316×1010B ．0.316×1011C ．3.16×1010D ．3.16×101110．如图，函数y =﹣2x +2的图象分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点C 在第一象限，AC ⊥AB ，且AC =AB ，则点C 的坐标为（ ）A ．（2，1）B ．（1，2）C ．（1，3）D ．（3，1）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．不等式5x ﹣3＜3x+5的非负整数解是_____． 12．计算：（2+1）（2﹣1）= ． 13．如图，在ABCD 中，AB =8，P 、Q 为对角线AC 的三等分点，延长DP 交AB 于点M ，延长MQ 交CD 于点N ，则CN =__________．14．已知函数y=1x-1，给出一下结论： ①y 的值随x 的增大而减小②此函数的图形与x 轴的交点为（1，0） ③当x>0时，y 的值随x 的增大而越来越接近-1 ④当x≤12时，y 的取值范围是y≥1 以上结论正确的是_________（填序号）15．如图，点E 在正方形ABCD 的外部，∠DCE=∠DEC ，连接AE 交CD 于点F ，∠CDE 的平分线交EF 于点G ，AE=2DG ．若BC=8，则AF=_____．16．已知a +1a ＝2，求a 2+21a＝_____． 三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．设x 天后每千克苹果的价格为p 元，写出p 与x 的函数关系式；若存放x 天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y 元，求出y 与x 的函数关系式；该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？ 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(1,0)M 和(3,0)N 两点，且与y 轴交于(0,3)D ，直线l 是抛物线的对称轴，过点(1,0)A -的直线AB 与直线相交于点B ，且点B 在第一象限．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线AB和直线l、x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．19．（8分）两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=2，反比例函数y=kx的图象经过点B．求k的值．把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y=kx图象上时，求点D经过的路径长．20．（8分）某区教育局为了解今年九年级学生体育测试情况，随机抽查了某班学生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：说明：A级：90分～100分；B级：75分～89分；C级：60分～74分；D级：60分以下（1）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是；（2）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是；（3）请把条形统计图补充完整；（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数之和.21．（8分）已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．求证：△ABF≌△CDE；如图，若∠1=65°，求∠B的大小．22．（10分）校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．23．（12分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是人；（2）图2中α是度，并将图1条形统计图补充完整；（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．24．解不等式组：2(2)3{3122x xx+>-≥-，并将它的解集在数轴上表示出来.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、B【解题分析】先证明△ABD ≌△EBD ，从而可得AD=DE ，然后先求得△AEC 的面积，继而可得到△CDE 的面积. 【题目详解】 ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠EBD ， ∵AE ⊥BD ，∴∠ADB=∠EDB=90°， 又∵BD=BD ， ∴△ABD ≌△EBD ， ∴AD=ED ，∵1CE BC 3=，ΔABC 的面积为1， ∴S △AEC =13S △ABC=13，又∵AD=ED ， ∴S △CDE =12 S △AEC =16， 故选B. 【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积之比等于底边长度之比是解题的关键. 2、C 【解题分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可． 【题目详解】21010x x -≤⎧⎨+⎩①＞②∵解不等式①得：x≤0.5， 解不等式②得：x ＞-1， ∴不等式组的解集为-1＜x≤0.5， ∴不等式组的整数解为0， 故选C ． 【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 3、C根据不等式的性质得出x的解集，进而解答即可．【题目详解】∵-1＜2x+b＜1∴1122b bx---＜＜，∵关于x的不等式组-1＜2x+b＜1的解满足0＜x＜2，∴12122bb--⎧≥⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：-3≤b≤-1，故选C．【题目点拨】此题考查解一元一次不等式组，关键是根据不等式的性质得出x的解集．4、B【解题分析】y<0时，即x轴下方的部分，∴自变量x的取值范围分两个部分是−1<x<1或x>2.故选B.5、C【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【题目详解】∵3804.2千=3804200，∴3804200=3.8042×106；故选：C．【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6、D试题分析：A、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A选项的说法正确；B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B选项的说法正确；C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，所以C选项的说法正确；D、数据3，5，4，1，﹣2由小到大排列为﹣2，1，3，4，5，所以中位数是3，所以D选项的说法错误．故选D．考点：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法7、B【解题分析】根据第二象限中点的特征可得：2-m0 1m0 2>⎧⎪⎨>⎪⎩，解得：m2 m0<⎧⎨>⎩.在数轴上表示为：故选B.考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征8、B【解题分析】由条件可以得出△BPQ∽△DKM∽△CNH，可以求出△BPQ与△DKM的相似比为12，△BPQ与△CNH相似比为13，由相似三角形的性质，就可以求出1S，从而可以求出2S．【题目详解】∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴∠BQP=∠DMK=∠CHN，∴△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴12AB BQAD DM==，13AB BQAC CH==，∵EF=FG= BD=CD ，AC ∥EH ，∴四边形BEFD 、四边形DFGC 是平行四边形， ∴BE ∥DF ∥CG ，∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ， 又∵∠BQP=∠DMK=∠CHN ， ∴△BPQ ∽△DKM ，△BPQ ∽△CNH ，∴221211()24S BQ S DM ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，221311()39S BQ S CH ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 即214S S =，319S S =，1320S S +=，∴11920S S +=，即11020S =， 解得：12S =， ∴214S S =42=⨯8=，故选：B ． 【题目点拨】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出S 2=4S 1，S 3=9S 1是解题关键． 9、C 【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数． 【题目详解】31600000000＝3.16×1．故选：C ． 【题目点拨】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示. 10、D 【解题分析】过点C 作CD ⊥x 轴与D ，如图，先利用一次函数图像上点的坐标特征确定B （0,2），A （1,0），再证明△ABO ≌△CAD ，得到AD ＝OB ＝2，CD ＝AO ＝1，则C 点坐标可求.【题目详解】如图，过点C作CD⊥x轴与D.∵函数y=﹣2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴当x＝0时，y＝2，则B （0,2）；当y＝0时，x＝1，则A（1,0）.∵AC⊥AB，AC＝AB，∴∠BAO＋∠CAD＝90°，∴∠ABO＝∠CAD.在△ABO 和△CAD中，，∴△ABO≌△CAD，∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3，∴C点坐标为（3,1）.故选D.【题目点拨】本题主要考查一次函数的基本概念。

2024年吉林省长春市南关区东北师大附中中考四模数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大是( )A. aB. bC. cD. d2.长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小明同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小明这样走的数学依据是( )A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短C. 三角形任意两边之和大于第三边D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是( )A. 主视图相同B. 左视图相同C. 俯视图相同D. 三种视图都不相同4.若a<b，则下列不等式一定成立的是( )A. ax<bxB. 3a<2bC. −a+3>−b+3D. 2−a<2−b5.如图，直线a与直线b、c分别交于点A、B，将含45°角的直角三角板BCD如图所示放置，∠1=120°.若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转的最小角度为( )A. 5°B. 15°C. 30°D. 45°6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ABD为等边三角形，下列作法不正确的是( )A. B. C. D.7.如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，坡比i=1，则这两棵树之2间的坡面AB的长为( )A. 1mB. 9mC. 210mD. 35m8.小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y(分钟)与录字速度x(字/分钟)成反比例函数的图象，该图象经过点(150,10).根据图象可知，下列说法不正确的是( )A. 这篇文章一共1500字B. 当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟C. 小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字D. 小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。