三阶对称矩阵求特征值 例题

行列式例1：若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式1231,m αααβ=，1223n ααβα=，四阶行列式32112αααββ+等于多少？例2：设A 是n 阶方阵，且0=A ，则A 中( ) (A ) 必有一列元素全为零； (B ) 必有两列元素成比例；(C ) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D ) 任一列向量是其余列向量的线性组合.例3：设A 33)(⨯=ij a ，ij A 为ij a 的代数余子式，且ij A ij a =，并且011≠a ，求A . 例4：设四阶方阵A 44)(⨯=ij a ，A E x f -=λ)(，其中E 是n 阶单位矩阵，求：（1）4λ的系数；（2）3λ的系数；（3）常数项.例5：设A 为n 阶方阵，E 是n 阶单位矩阵，E AAT=，0<A ，计算E A +.例6：设A ，B 为n 阶正交矩阵，若0=+B A ，证明B A +是降秩矩阵.矩 阵例1：设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01101001A ，证明当3≥n 时，恒有E A A A n n -+=-22. 例2：设)41,31,21,1(),4,3,2,1(==βα，βαTA =，计算n A . 例3：设三阶方阵A ，B 满足关系BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=710004100031A ，求B 例4：设A 是三阶方阵，21=A ，求*12)3(AA --例5：证明：若实对称矩阵A 满足条件O A =2，则O A =例6：设'ξξ-=E A ，其中E 是n 阶单位矩阵，ξ是n 维非零列向量，证明： （1）A A =2的充要条件是1'=ξξ； （2）当1'=ξξ时，A 是不可逆矩阵.例7：已知n 阶方阵A 满足3)(2A E A A =-，求1)(--A E例8：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=803010100100001*A ，且E BAABA 311+=--，求B .例9：设10021)(x x x x f ++++= ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01000001A ，求))((),(A f f A f . 例10：设B A ,是n 阶方阵，且满足B A AB +=，证明：BA AB =例11：设A 是n 阶方阵，是否存在E B ≠，使得A AB =，若存在B ，指出求B 的办法，若不存在，说明理由.例12：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41424344313233342122232411121314a a a a a a a a a a a aa a a a B ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010100001010001P ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010010000012P 其中A 可逆，则=-1B （ ）(A )211P P A -；(B )211P A P -；(C )121-A P P ；(D )112P A P -.例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足C AQ =的可逆矩阵为（A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101001010 （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101010 （C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110001010（D ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110例14：设B A ,是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足022=++B AB A ，证明A 和BA +都是可逆矩阵，并求它们的逆.例15：设C A ,分别是m 阶和n 阶非奇异方阵，B 是n m ⨯矩阵，证明：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B AM 0为可逆矩阵；（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----111110CBCAA M 例16：求n 阶行列式10001000011000中所有元素的代数余子式的和.例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使0=mA ，又B 是n 阶可逆矩阵，证明矩阵方程XB AX =只有零解.例18：（1）设B A ,是n 阶方阵，且0=AB ，证明：n B R A R ≤+)()(（2）设A 是n 阶方阵，且E A A 22=-，证明：n A E R A E R =++-)()2(例19：已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=96342321t Q ，P 为三阶非零矩阵，且0=PQ ，则（ ） (A )6=t 时，P 的秩必为1；(B )6=t 时，P 的秩必为2；(C )6≠t 时，P 的秩必为1；(D )6≠t 时，P 的秩必为2.例20：设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，其中m n <，若E AB =，证明B 的列向量线性无关.例21：求)2(≥n n 阶方阵A 的秩，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a bbb a bb b a A例22：求设D C B A ,,,是和n 阶方阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D CB AG ，且CB AD CA AC ==,，又行列式0≠A ，求证：n G R n 2)(<≤.例23：设A 是n m ⨯矩阵，B 是s n ⨯矩阵，并且n A R =)(，证明： )()(B R AB R =例24：设n 维列向量组s ααα， ,,21线性无关，向量组t βββ， ,,21可用s ααα， ,,21线性表示，表示矩阵为C ，证明：（1）)(),,(21C R R t =βββ， （2）当s t =时，有s βββ， ,,21线性无关C ⇔是可逆矩阵. 例25：设βα,为三维列向量,矩阵 TTA ββαα+=, 其中T T βα,分别是βα,的转置.证明: )1( 秩2)(≤A r(2) 若βα,线性相关,则秩2)(<A r （2008年数学一）例26：设B A ,均为2阶方阵，**,B A 分别为B A ,的伴随矩阵,若3,2==B A ,则分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O BA O的伴随矩阵为 (A )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B O**23 . (B )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O A B O **32. (C )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O **23. (D )⎪⎪⎭⎫⎝⎛O B A O **32. (答案: B) （2009年数学一、二、三）向 量例1：设向量组321,,ααα线性无关，证明向量组211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=也线性无关.例2：设向量组m ααα， ,,21线性无关，讨论向量组211ααβ+=，322ααβ+=，1ααβ+=m m ， 的线性相关性.例3：设向量组m ααα， ,,21线性无关，向量组βααα，，m ,,21线性相关，则向量β可由向量组m ααα， ,,21线性表示.例4：设向量)',,,(21n a a a =α，A 为n 阶矩阵，如01≠-αm A ，0=αmA ，则αααα12,,,,-m AA A 线性无关.例5：设A 为n 阶矩阵，证明)()(1+=n n A R A R例6：设向量组)3(,,121≥-m m ααα， 线性相关，向量组m ααα，， 32,线性无关，问（1）1α能否由132,-m ααα，， 线性表示？（2）m α能否由121,-m ααα，， 线性表示？例7：设向量组l ααα， ,,21线性无关，向量1β可由它线性表示，向量2β不能由它线性表示，证明1+l 个向量2121,,,ββααα+k l ， 线性无关.例8：设向量组},,{21m A ααα， =与向量组},,{21l B βββ， =的秩相同，且向量组A 可由向量组B 线性表示，证明A 与B 等价.例9：设A 为n 阶矩阵，s ααα， ,,21是一组n 维向量，满足11αα=A ，s i A i i i ,,3,2,1 =+=-ααα，并且01≠α，证明向量组s ααα， ,,21线性无关.例10：设321,,ααα是线性无关的5维向量组，321,,βββ也是5维向量组，满足3,2,1,,0),(==j i j i βα。

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、 填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设A 是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α 1 =(1，2，1) T与α 2 =(1，-1，1) T，则λ=2的特征向量是 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T，t≠0．）解析：解析：设λ=2的特征向量是α=(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交．故有所以λ=2的特征向量是t(-1，0，1) T，t≠0．2.已知x= 1，y= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0） 填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：由A ～B ，知，且-1是A3.已知矩阵a= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-1） 解析：解析：由A 的特征多项式 ｜λE-A ｜= =(λ+1) 3， 知矩阵A 的特征值是λ=-1(三重根)，因为A 只有2个线性无关的特征向量，故从而a=-1．4.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2+(x 2 -x 3 ) 2+(x 3 +x 1 ) 2的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2） 填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：由于二次型的标准形是p=2．q=0．5.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x TAx=2x 2 2+2x 3 2+4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵A= 1，规范形是 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，6，-4；x 1 2+x 2 2-x 3 2）解析：解析：按定义，二次型矩阵A=．由特征多项式｜λE-A ｜λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A 的特征值是：2，6，-4． 故正交变换下二次型的标准形是2y 21 +6y 22 -4y 23 ．所以规范形是x 21 +x 22 -x 23 ． 或，由配方法，有 f=2[x 2 2+2x 2 (x 1 +2x 3 )+(x 1 +2x 3 ) 2]+2x 3 2-4x 1 x 3 -2(x 1 +2x 3 ) 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2x 1 2-12x 1 x 3 -6x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 2+6x 1 x 3 +9x 32)+12x 3 2=2(x 2 +x 1 +2x 3 ) 2-2(x 1 +3x 3 ) 2+12x 3 2， 亦知规范形是x 1 2+x 2 2-x 3 2．6.假设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2+(2x 2 +3x 3 ) 2+(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2正定，则a 的取值为 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：(x 1，x 2，x 3 )恒有平方和f(x 1，x 2，x 3)≥0，其中等号成立的充分必要条件是按正定定义，f正定=(x 1，x 2，3 ) T≠0，恒有f(x 1，x 2，x 3 )＞0．因此，本题中二次型f正定方程组(*)只有零解所以a的取值为a≠1．二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

三阶矩阵求特征值和特征向量的例题一、三阶矩阵A的特征多项式f(λ) = λ3 - 6λ2 + 11λ - 6 = 0的根是什么？这些根即为矩阵A的特征值。

A. λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3B. λ1 = -1, λ2 = -2, λ3 = -6C. λ1 = 6, λ2 = 1, λ3 = -1D. λ1 = 2, λ2 = 3, λ3 = 4（答案）A二、若三阶矩阵A的一个特征值为λ = 2，对应的一个特征向量为α = (1, 1, -1)T，则Aα等于多少？A. (2, 2, -2)TB. (1, 1, -1)TC. (0, 0, 0)TD. (4, 4, -4)T（答案）A三、三阶矩阵B的特征值为λ1 = λ2 = 1，λ3 = -2，那么矩阵B的迹（即所有特征值之和）是多少？A. 0B. 1C. -1D. -2（答案）A四、若三阶矩阵C的特征多项式为f(λ) = (λ - 1)(λ - 2)2 = 0，则矩阵C有几个不同的特征值？A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（答案）B五、三阶矩阵D的一个特征向量为β = (0, 1, -1)T，对应的特征值为λ = 3，那么D2β等于多少？A. (0, 3, -3)TB. (0, 6, -6)TC. (0, 9, -9)TD. (0, 1, -1)T（答案）C六、若三阶矩阵E的所有特征值都为正数，那么矩阵E的行列式det(E)的符号是什么？A. 正号B. 负号C. 零D. 无法确定（答案）A七、三阶矩阵F的特征值为λ1 = 4，λ2 = -1，λ3 = -3，那么F的逆矩阵F(-1)的特征值是什么？A. λ1' = 1/4，λ2' = -1，λ3' = -3B. λ1' = 4，λ2' = 1，λ3' = 3C. λ1' = 1/4，λ2' = -1/1，λ3' = -1/3D. λ1' = -4，λ2' = 1，λ3' = 3（答案）C八、若三阶矩阵G的特征向量为γ = (1, 0, -1)T，且Gγ = kγ，其中k为实数，那么k 是矩阵G的一个什么？A. 特征值B. 行列式C. 迹D. 逆矩阵的元素（答案）A。

对称矩阵求特征值的化简技巧【实用版4篇】目录（篇1）1.对称矩阵的定义与性质2.求特征值的一般方法3.对称矩阵求特征值的化简技巧4.实例解析5.总结正文（篇1）一、对称矩阵的定义与性质对称矩阵是指一个矩阵与其转置矩阵相等，即 A = A^T。

对称矩阵具有一些特殊的性质，例如主对角线与副对角线元素相等，且矩阵的行列式值为 0。

二、求特征值的一般方法对于一个矩阵 A，如果存在非零向量 x 和标量λ，使得 Ax = λx，则λ称为矩阵 A 的特征值。

求特征值的一般方法有如下步骤：1.构造矩阵 A - λI，其中 I 为单位矩阵。

2.计算行列式 |A - λI|。

3.求解方程 |A - λI| = 0 的根。

三、对称矩阵求特征值的化简技巧对称矩阵在求特征值时，可以利用其特殊性质进行化简。

具体技巧如下：1.对称矩阵的特征向量是正交的。

3.对称矩阵的行列式值非负。

利用这些性质，可以简化求特征值的计算过程。

例如，对于一个 3 阶实对称矩阵 A，已知其特征值之一为λ，可以构造方程组求解其他特征值：(A - λI)x = 0(A + λI)x = 0四、实例解析假设有一个 3 阶实对称矩阵 A：A = [[1, 2, 3],[2, 4, 6],[3, 6, 9]]1.计算行列式值：|A - λI| = (λ^2 - 9)(λ^2 - 4) = 0，解得特征值λ1 = 3，λ2 = -3，λ3 = 2，λ4 = -2。

2.验证特征值：计算 A - λI 的行列式值，当λ = 3 时，|A - 3I| = 0，说明 3 是特征值；当λ = -3 时，|A + 3I| = 0，说明 -3 是特征值；当λ = 2 时，|A - 2I| ≠ 0，说明 2 不是特征值；当λ = -2 时，|A + 2I| ≠ 0，说明 -2 不是特征值。

五、总结对称矩阵在求特征值时，可以利用其特殊性质进行化简，例如特征向量正交、特征值为实数、行列式值非负等。

考研数学三（矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设3阶矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=0，λ3=-1，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，记P=(α3，α2，α1)，则P－1AP=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于Aα1=1α1，Aα2=0α2，Aα3=(-1)α3，所以即又由于α1，α2，α3是不同的特征值对应的特征向量，所以α1，α2，α3，线性无关，从而P=(α3，α2，α1)可逆．故知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化2．已知矩阵则与A相似的矩阵是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：显然于是r(E－B)=1．故B相似于A．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0．B．λ2≠0．C．λ1=0．D．λ2=0．正确答案：B解析：【解法1】应选(B)．设k1α1+k2A(α1+α2)=0，得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而所以α1，A(α1+α2)线性无关即选项(B)正确．【解法2】由于(α1，A(α1+α2))=(α1，λ1α1+λ2α2)=(α1，α2)故α1，A(α1+α2)线性无关，即α1，A(α1+α2)的秩为2的充要条件为即λ2≠0，故选(B)．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化填空题4．设A=(aij)3×3，B=(bij)3×3，且A相似于B，A的特征值为1，2，3．则B的伴随矩阵B*的迹trB*=___________．正确答案：11解析：由于A相似于B，所以B的特征值为1，2，3．从而|B|=1×2×3=6，于是得B*的特征值为故trB*=6+3+2=11．故应填11．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化5．设3阶矩阵只有一个线性无关的特征向量，则t=_________．正确答案：－2解析：由于矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以矩阵A有3重特征值，设λ是A的特征值．所以有3λ=4－2+1，从而λ=1．于是得t=－2．故应填－2．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化6．设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为___________，特征向量为___________.正确答案：特征值为A=|A|，特征向量k1e1+k2e2+…knen，其中e1，e2，…，en为Rn的标准正交基，k1，k2，…，kn是不同时为零的任意常数．解析：由于矩阵A可逆，故|A|≠0，又因为AA*=|A|E，即得|AA*－|A|E|=0，因此矩阵AA*的全部特征值为λ=|A|，是n重特征值．对于λ=|A|，λE－AA*=|A|E －|A|E=O，显然任何一个非零的n维向量都是方程组(λE－AA*)x=0的非零解，从而矩阵AA*的属于λ=|A|的特征向量为k1e1+k2e2+…+knen，其中e1，e2，…，en为Rn中的标准正交基，k1，k2，…，kn是不同时为零的任意常数．知识模块：矩阵的特征值和特征向量及方阵的相似对角化解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型一:有效数字1,确定113的首位数字x 1,要使113的近似值x *的相对误差不超过0.5×10-5，至少要保留几位有效数字.(2010-2011)1*1151211||10100.5102226n n r x n e x n ---=≤⨯=⨯≤⨯⨯≥=解答：设至少要保留位有效数字，则有解得， n 5.7取位有效数字.2，要使112的相对误差不超过0.5×10-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010) 3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)*6*118711||102111||1010102224n r e e x ----=⨯=⨯=⨯=⨯⨯解答：4,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B)5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005)题型二：插值多项式1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0，2]内的近似根x *.(2010-2011)11111202012012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()()(2)(5)(2)(1)012(12)(15)(52)(51)2991422884y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=⋅+⋅+⋅------+-+-=+⨯+⨯+-+-=+-解答：对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229(0)42y x L ≈=故，2,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1, f(0)=2, f ’(0)=3, f(1)=7; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x);(2),x ∈[-1,1], 确定用H 3(x)代替f(x)的误差界（已知|f (4)(x)|≤M 4，x ∈[-1,1]).(2010-2011)32001001201232233)),(0,1,2)()()[,]()[,,]()()1(1)2(1)(0)232()()(1)(0)(1)232()'(i i H x f x i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x H x N x k x x x x x k x x H ===+-+--=++++-=++=++--=+++-解答：(1),满足插值条件（（的二次插值多项式为：也可用拉格朗日插值法满足题设插值条件的插值多项式为：2323(4)23443)43(31)'(0)'(0)3()232()(2),(1)(0)(1),(1,1)4!1||=4!496x x k x H f H x x x f R x x x M M R ζζ=++-===+++--∈-≤⨯由得：k=0故：误差（x)=则误差界（x)3,已知f(x)的函数值：f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010) 4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1, f(2)=2, f ’(1)=3, f(3)=9; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2)计算f(1.6)的近似值；若M 4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H ’(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)x i -1 0 2 3 f(x i )-7-1177,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1, f(1)=3, f ’(1)=1, f(2)=9, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；(2),计算f(1.8)的近似值：若M 4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2007-2008) 8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2, f(2)=4, f ’(2)=5, f(3)=8, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2),计算f(2.5)的近似值：若M 4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2006-2007） 9,已知f(x)的如下函数值表x i 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x i )1.122.652.811.68选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx 的如下函数值表x i 1.0 1.5 2.0 sinx i0.84150.99750.9093用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)11,用f(x)的关于互异节点集112{}{}n ni i i i x x -==和的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集1{}ni i x =的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）-11111121111{}(),()(){}(),()()()()))()())]()n n i i i i n n n n n n n n n n n n n n q x q x g x x x x x x x x x g A x x g x ==------=----=-解答：法一：设关于节点集x 的插值多项式为则与有共同插值节点x ，则设：q(x)=g(x)+Aw w f(x (x )由q(x )=f(x 得，w w 故：q(x)=g(x)+[f(x (x )w 法二：设q(x)=g(x)+1-122311111()()(){}()()()()(),01()=()[()()]()[()()]()()()()()()[()()]=-n n i i n n n n n n n n n n x g x h x B g x h x B x x x x x x B x x x g x h x BAx x g x h x Bq x f x h x Ah x g x x x g x h x BA B -=---=---≠----===+--Aw 由于和有共同插值节点x ，则存在常数，使得则，w 故：q(x)=g(x)+由得得1111()[()()]()n n x x x x h x g x x x ----则：q(x)=g(x)+12,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L 2(x); (2),若同时已知：f ’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H 3(x)； (3),当(3)(4)1|()|2|()|4,[0,3]fx fx x ≤≤≤≤∈及3时，x 不取节点，[0,3]x ∈，求32()()||()()f x H x f x L x --的上界.(2011-2012)题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表：x -2 -1 0 1 2 y121用二次多项式y=C 0+C 1X+C 2X 2按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）()000102030410111213142021222324012()()()()()11111()()()()()21012()()()()()4101401210,5010010010034T T T T x x x x x A x x x x x x x x x x y A AC A y c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝解答：法一：线性拟合的法方程组为：即()()01222*20000100011402583,0,3575833570581358||||=(y,y)-Y 01210402023531701(,)0,(,)(T c c y x C x xx δϕϕϕαϕαϕϕϕα⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭===-=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====解得:c 则平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：（x)=1（x)=x-111211021100002*22022220,)0(,)(,)2,()()2(,)(,)46583()()0(2)(,)514357(,)8||||=(y,y)-(,)35i i i i i i i i i x x y x x x x y ϕϕϕϕϕβααϕβϕϕϕϕϕϕϕϕϕδϕϕ======----==++-=-=∑∑（x)（x)=x 则,平方逼近误差：2,求21()1f x x=+在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去权函数ρ(x)=x).(2009-2010) 3,通过实验获得以下数据：x i 0 1 2 3 y i13610请用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式.(2008-2009)T T A AC A y =解析：4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式1{()}i i g x ∞=,有下列公式：010111()1()()()()(),(1,2,...)k k k k k g x g x x g x x g x g x k ααβ+--==-=--=其中：111(,),(0,1,2...)(,)(,),(1,2...)(,)k k k k k k k k k k xg g k g g g g k g g αβ---====(1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式（权函数ρ(x)=1),g 0(x),g 1(x),g 2(x)(2),以上述正交多项式为基，求sinx 在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)010000110001201111211021102110000*010001(1),()1(,)11,()(,)221()(,)121(,)2()2(,)11,()()()()(,)126(,)(,)(2),()(,)(g x xdx xg g g x x x g g dx x x dx xg g g g x dx g g g x x g x g x x x g g g f g f x g g g g αααβαβϕ=====-=--===-===--=-+=+⎰⎰⎰⎰解答：21212211120020111222000222*220(,),)(,)11()sin ()sin sin 11621()()1126()()260.00746 1.09130.23546(,)||||(,)0.000623.(,)i i i i g f g g g g g x x xdx x xdx xdx x x x dx x dx x x dx x x f g f f f g g ϕ=+-+-=⋅+⋅-+⋅-+--+=-+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑平方逼近误差：5,以正交多项式为基，求函数21()1f x x=+在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))20120122201201()1,(),(),111()2,()1,()2242211112234211113454111112224561.0656,0.503x x x x x f In f f In C F In c c c In ϕϕϕπϕϕϕπ=====-=-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-解答：法一：取解得，，，正规方程组为：H 即：解得：c c 2*222*00001000111110110002,0.07423() 1.06560.503020.07423=(f,f)-F 0.000029041()11(,)223,()1(,)332(,)8(,)1,(,)15(,)T n p x x x C g x xg g g x x x g g xg g g g g g g g δαααβ=-=--======-=-====c 故二次最佳平方逼近多项式：平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：221100*201220120011222*1882163()()()()()()15318510(,)(,)(,)()()()() 1.06560.503020.07423(,)(,)(,)=(f,f)-F 0.00002904T n g x x g x g x x x x x f g f g f g p x g x g x g x x x g g g g g g C αβδ=--=---=-+=++=--=则：平方逼近误差：6,通过实验获得以下数据：u i 0 1 9 16 v i11/21/31/4请用最小二乘法求形如011v c c u=+的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)011:c c u v=+解答转化题型四：代数精确度1,确定参数α，使求积公式20()[(0)()]['(0)'()]2hhf x dx f f h h f f h α≈++-⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)23322442320()1,,()1(),=121()()(0)(03)2121()()0+)(04)212()[(0)()]['(0)'()]2h h h f x x f x f x x h f x x f x dx h h h h f x x f x dx h h h hf x dx f f h h f f h αα====++-=≠+-≈++-⎰⎰⎰解答：令显然成立令得又时：时：（故具有三次代数精确度.2,确定参数A 1，A 2，使求积公式12()()(0)()3hhhf x dx A f h A f f h -≈-++⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2009-2010) 3,建立高斯型求积公式1211221()()()x f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2009-2010)231212113112211224112211335112211212000010001,23025031,53()1(,)0,()(,)x A A x dx A x A x x dx A x A x x dx A x A x x dx x A A g x xg g g x x xg g ααα----+==+==+==+===-=-======-=⎰⎰⎰⎰解答：法一：已知求积公式有3次代数精确度，令f(x)=1,x,x 得解上述方程组得：x 法二：构造二次正交多项式11110110022110021211222112111221121(,)(,)30,(,)(,)53()()()()53()0,511,33133()[()()]355xg g g g g g g g g x x g x g x x g x x x x x x A x dx A x dx x x x x x f x dx f f βαβρ---=====--=-==-=---=⋅==⋅=--≈-+⎰⎰⎰令得高斯点： x 故高斯型求积公式为：方法三：设[-1,1]上权(x)2221221122122121122221122331122212121().223()0,+0,5352()0,0,053().52:3250()()(),(g x x ax b b x g x dx b a x xg x dx a g x x A A A x A x A x A x A x A x x x x x x x c x c x ϕϕ--=++===-⋅====-+=+=+=+==--=++⎰⎰=x ,首项系数为1的二次正交多项式为则有：即即所以剩下步骤同法二.法四显然222221122111122212211221112221222332211122211221112221122112)()0()()()()()()()2230,535()()()()()20,053(),5x A x A x A x c x c A x c x c A x A x c A x A x c A A c c A x x A x x A x A x c A x A x c A x A x c c x x ϕϕϕϕϕϕ==+=+++++=+++++=+==-+=+++++====-剩下步骤同法二.4,确定求积公式()()(0)()hhf x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰中的参数A,B,C ，使其代数精度尽量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B) 5,确定求积公式1211123()()()()343234f x dx f f f ≈-+⎰的代数精确度.(2006-2007B) 6,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰.(2005-2006)7,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰.(2004-2005)8,已知h>0，建立高斯型求积公式：21122()()()hhx f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2011-2012)题型五：求积公式的最少节点数1,设定积分32x e dx -⎰，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)(4)2244(4)461(),()16301[]||()|101801801696017.0519.x xS f x e fx eb a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答：复化辛普森公式截断误差：|R 解得：h<0.176,n>故应取个节点2,设定积分13x edx -⎰，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？（2009-2010）(2)3322(2)261(),()9101[]||()|10121891622.8.x x T f x e f x e b a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答：复化梯形公式截断误差：|R 解得：h<0.357,n>故应取4个节点3,给定积分2cos2xdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（注：2(2)4(4)[](),[](),[,]122880T S b a b a R f h f R f h f a b ηηη--=-=-∈）(2008-2009B) 4,给定积分14x edx -⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008） 5，给定积分21Inxdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？ （已知：2(2)4(4)1212[](),[](),,(,)12180T S b a b a R f h f R f h f a b ηηηη--=-=-∈）（2006-2007） 6,用积分82122dx In x=⎰计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（2005-2006）4(4)8(4)52(4)-744(4)4-7[](),[2,8]18011122,(),()223|()|,[2,8]817[]102631[]||()|101801808802820.04472,S S S b a R f h f In dx f x f x x x xf x x R f b a h R f h f h h n hηηη-=-∈===≤∈≤⨯-=-≤⋅=≤⨯-≤≥=⎰解答：复化辛普森公式截断误差公式：则使所得的近似值具有位有效数字，即令：|134.2137故至少需要取个节点.7，用积分6213dx In x=⎰计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005） 8,对于定积分1()If x dx =⎰，当M 2=1/8,M 4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I 的截断误差为R s [f],用n 个节点的复化梯形求积公式求I 的截断误差为R T [f],要使R T [f]≤R s [f]，n 至少是多少？（M 2=max|f ”(x)|,M 4=max|f (4)(x)|,[0,1]x ∈).(2011-2012)题型六：Doolittle 分解及方程组求解1,求矩阵212454635⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Doolittle 分解.(2010-2011) 212100212454210030635321001LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解答：A=2,求矩阵114103241⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的Doolittle 分解.(2009-2010) 3,设线性方程组123410135114152410162116x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)1234123410001013101311000132114124100013224101119162116210001313191,,,)(5,0,11,)13,,,)(1,1,1,1).T TT T A LU LY b y y y UX Y x x x --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-⎪=== ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==---==--解答：由得：(y 由得：(x4,设线性方程组123411415101312410762118x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2006-2007)5,设线性方程组：12312312323153478113x x x x x x x x x ++=+-=-++=-(1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)6,用高斯顺序消去法求解线性方程组：13241234242532431737x x x x x x x x x x +=+=+++=+=.(2010-2011)432110205102051020*******101301013=124317022312002160103701037000242,2,1, 1.x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====解答：增广矩阵回代求解：x 7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:1231231233472212320x x x x x x x x x -+=-+-=---=.(2009-2010)题型七：条件数及范数1,求线性方程组1212391078981510x x x x x --=+==的系数矩阵A 的条件数cond 1(A),并说明其含义.（2010-2011）1111191008900015910089010015()||||||||19193611A A cond A A A A b ----⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭==⨯=解答：系数矩阵条件数远大于，这说明当和有小扰动时会引起解的较大误差，即该方程组是病态的.2,设矩阵15000910089A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求cond ∞(A).（2009-2010） 3,设三阶对称矩阵A 的特征值分别为：-2,1,3，求||A||2及cond 2(A).(2007-2008)222max max max 111-122-12max max max 1222||||()()()3||||(())()=()=1()|||||||| 3.T T A A A A A A A A A A cond A A A λλλλλλ----========解答：（）则：4,若n 元线性方程组Ax=b 为病态的，可以得到关于系数矩阵A 的什么性质.(2006-2007)5,若111123124A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求cond 1(A).（2005-2006）求cond ∞(A).(2004-2005) 6,设1231032475A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,求1||||||||A A ∞与.(2007-2008)7,若1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求谱半径()A ρ.(2005-2006)5332ρ+解答：最大特征值：（A)=题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代1，写出求解方程组1231231237321241021534818x x x x x x x x x -+=--=--=的雅可比迭代公式，并说明其收敛性.(2010-2011)(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)1(3212)71(4215)101(3418)87324102348.k k k k k k k k k J x x x x x x x x +++=-+=--++=--++-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭解答：雅可比迭代公式为：x 雅可比迭代法迭代矩阵：B 严格对角占优，故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛2，设有方程组：132********2112212x x x x x x x -=+=-++=，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2010-2011)112330200030000202100002000121221000200020031()002110211||0,=0=-=-12J J J L D U B D L U E B B λλλλρ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭-=解答：A=雅可比迭代矩阵：得，（）<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意(0)1123(0)20031-()00211001211||0,=012-S S S B D L U E B B λλλλρ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-===初始向量x 都收敛.高斯赛德尔迭代矩阵：得，（）<1,故用高斯赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x 都收敛.3,写出求解方程组：123123123532124721535818x x x x x x x x x -+=--=--=的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以313132323A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为系数矩阵的线性方程组时，确定其收敛性.(2009-2010)5,设线性方程组123123123221162222x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)6,设线性方程组：1231231232215202225x x x x x x x x x +-=-++=++=-(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛；(2),取(0)(0,0,0)T x =，用雅可比迭代法进行求解，要求(1)()5||||10k k xx +--<.(2007-2008)11231123022()101220||0,===0)1022()023002||0,0,2,)1-J J J S S S D L U E B D L U E λλλλρλλλλρ---⎛⎫ ⎪=-+=-- ⎪⎪--⎝⎭-=<-⎛⎫⎪=-+=- ⎪⎪⎝⎭-====>解答：(1):B B 解得：，（B B 解得：（B 所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛,而用高斯赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛.(2):(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)(1)(2)(3)(4)2215202225(0,0,0)(15,20,25)(105,60,35)(205,160,65)(205,160,65)k k k k k k k k k T T T TTx x x xx x x x x x x x x +++=-+-=--+=---==--=--=-=-雅可比迭代公式：x 当时，计算得：（精确解）.7,设线性方程组:123123123821027325431111x x x x x x x x x ++=--++=-+=-(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定其收敛性； (2),取(0)(0,0,0)T x=，用高斯-赛德尔迭代法计算x(3).(2006-2007)8,设线性方程组Ax=b 的系数矩阵232131t A t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中t<0，问t 取何值时雅可比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)12122223021()0310422||()0=0=-,=)12||<1,t<-2,or t>20, 2.J J J t t D L U t t t t E B t t ttt t λλλλλλρ-⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-=-=<<<-解答：雅可比迭代矩阵B 得，，雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛，则（B 即：得又故9,1),设线性方程组：121232343243430424x x x x x x x +=+-=-+=-写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性；2),设线性方程组：123123123104413410811481025x x x x x x x x x ++=++=++=写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)10,给定方程组：1231231232251223x x x x x x x x x +-=++=++=(1),用三角分解法解此方程组；(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量x 0=(0,0,0)T,当21||||10k kx x -+-<时，求其解.(2011-2012)11,设()21253sin 3421sincos 4134tan 5k k k k k k k Ak k k kkk⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，求()lim k k A →∞.(2007-2008)()020lim 021205K k A →∞⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解答：12,若()()11,lim 1sin sin k k k k k k AA k k k k →∞⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎪⎝⎭求.(2004-2005)()01lim 10K k A→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解答： 题型九：非线性迭代1,设计一个算法求125的值.(2008-2009B)101125(),0.2k k kx x x +=+>解答：牛顿迭代公式：x2,给出用牛顿法求6170的近似值的迭代公式，并确定初值的取值范围.(2010-2011)6661556'5"4"*600066601050517017001701170[5]66()170,()60,()300170()()0,.1170170170(5)17061170()(5)6k k k k k kx x x x x x x x f x x f x x f x x x f x f x x x x x x g x x x +=-=-=-=+=-=>=>>⋅><-=+-=+-解答：转化为方程的正根.由牛顿迭代法得迭代公式：当时，故此时收敛到当0<时，设66'6666611*60170,(0,170)1850()(5)0,(0,170),()(170)0,6:1700,170,(0,170),.0.x g x x g x g xx x x x x ∈=-<∈>=->>∈>故故回到前段.所以当迭代公式也收敛到综上：3,给出用牛顿法求5140近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2009-2010)解答：方法同上.4,设φ(x)=x+c(x 2-5),当c 为何值时，x k+1=φ(x k )，(k=0,1,2…)产生的序列{x k }收敛于5；又c 为何值时收敛最快？(2010-2011)2''**1**'*5),||<1,||<1110,=50;51.25k k cx x c ϕϕϕϕϕ+-=-<<-<<解答：(x)=x+c(x (x)=1+2cxx (x )收敛，则有(x )即1+2cx 又，则当(x )=0,即c=-时，收敛最快5,设2()(3)x x c x ϕ=+-，应如何选取常数c 才能使迭代1(),(0,1,2)k k x x k ϕ+==具有局部收敛性？C 取何值时，这个迭代收敛最快？取x 0=2,123c =-计算()x ϕ的不动点，要求当61||10k k x x -+-<时结束迭代.(2004-2005)****21*2'****'**1(),(3)3,()(3)()|133|12|1,11,3,-0,,0.333(2),()0+0,636(3),k k k x x x x c x x x x c x x cx cx x c or c x x ϕϕϕϕ++==+-=±=+-<+<-<<=±<<<<==±±解答：(1),令x 收敛于则故要局部收敛，即|又得根据收敛阶定理，当时，迭代至少二阶收敛，即12cx 得c=故c=时，迭代收敛最快.迭代公式为：2012346*431(3)2321.7113248651.7319268031.7320508041.732050808|10,: 1.732050808.k k x x x x x x x x x x -=--=====-<=又因为|故6,方程x 3-3x-1=0在x=2附近有一根，构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2009-2010)3'3223132(1.5) 1.765174168,(2.5) 2.040827551[1.5,2.5]()[1.5,2.5]11()|||0.33,(13) 5.5xx x x x x ϕϕϕϕϕ+===∈∈=≤<+解答：(x)=取的邻域[1.5,2.5]当时，又因为|故迭代在[1.5,2.5]上整体收敛.7,已知方程42()440f x x x =-+=有一个两重根02x =,请以初值x 0=1.5,用m 重根的牛顿迭代法计算其近似值，要求51||10k k x x -+-<.(2008-2009B)(P204例7.7）8,(1),已知方程240xex +-=在0.6附近有一根x ，迭代法214,0,1,2kx k x ek +=-=是否局部收敛？如果不收敛，试构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2),取x 0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程，迭代至x 5. (3),给出牛顿法求120的近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2007-2008)2'2'**1'''1(1):()4,()2|()|1,(0),1(4)211(4),()22(4)1(0)2,(1)3()[0,1]21()||(1)|161(4)2x xk k k k x e x e x x x In x In x x x In In x x x In x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=-=->>=---=-==∈≤=<=-解答：故该迭代公式不是局部收敛的.构造：理由：取邻域[0,1](x)=故又|故迭代式在[0,1]上整体收敛11021324354101(2),(4),21(4)0.61188771521(4)0.61013645921(4)0.61039483321(4)0.61035672221(4)0.61036234421120(3),(),0.2k k k k kx In x x In x x In x x In x x In x x In x x x x x ++=-=-==-==-==-==-==+>.则9,给定方程x 2+x-2=0,[0,2]x ∈,采用迭代公式xk+1=x k +c(x k 2+x k -2),(k=0,1,2…)求其根，问当c 为何值时，迭代法收敛？又当c 为何值时，迭代法收敛最快?(2011-2012)*2'''1,()(2)()1(21)2(1)||1(21)|1,-0.31(1)=03x x x c x x x c x c c ϕϕϕϕ==++-=++=++<<<解答：当|即时，线性收敛当，即c=-时收敛最快.10,给定方程230x xe -=，[3,4]x ∈(1),构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因）； (2),构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因).(2011-2012)21111'12102'"0(1),()(3),3.29(3)()(4) 3.8712(),[3,4]23(3),(0,1,2,)[3,4].(2),()3,[3,4](3)0,(4)0()60,()60,[3,4]3k k x x x x In x x x x In x k x f x x e x f f f x x e f x e x x ϕϕϕϕϕ+==≤≤=≤≤∈==∈=-∈><=-<=-<∈=解答：故不动点迭代公式:x 对于任意初值收敛取初值时，牛顿213.6kkx kk k x k x ex x x e+-=--迭代法：收敛，且二次收敛11,方程x 3-x 2-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式，并证明其收敛性.(2004-2005)122''33312111.51()1(1.3) 1.591715976,(1.6) 1.390625[1.3,1.6]()[1.3,1.6]222(),|()|||0.921.311k k k kx x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ++=+==+==∈∈=-=-≤<=+解答：取的邻域[1.3,1.6]故当时，又故迭代公式：在[1.3,1.5]上整体收敛.12,(1),已知方程1020x e x +-=在0.09附近有一根x,迭代法1(210),(0,1,2)k k x In x k +=-=是否局部收敛？如果不收敛，请构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由；(2),取x 0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x 5； (3),用牛顿法求3234的近似值，并给出初值的取值.(2006-2007)'''*1''5(1),()(210),()15|()|1,[0,1],|()|>1.11510111(),()51010(0)0.1,(0.12)0.087250323[0,0.12]()[0,0.12]()|kx k x xx In x x xx x x x e x e x e x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-=-=->∈=-=-=-==∈∈≤解答：显然故该迭代公式不是局部收敛的构造：因为取[0,0.12]邻域考察故当时，又|'0.12110.09010.09058257820.09051881530.0905241|(0.12)|||0.1131101151011(2),510110.09,0.090582578510110.090518815510110.09052579651011510k kx k x k e x e x e x x e x e x e x e ϕ++=-<<=-=-==-==-==-==-故迭代公式：在[0,0.12]上整体收敛.57960.09052503151200.090525031110.0905251155102117(3),()30.k k k x e x x x +==-==+>使用迭代公式：进行求解.初值:x13,设方程x 3-3x-1=0在x=2附近有根;1),证明该方程在区间[1.5,2.5]内有唯一根x *;2),确定迭代函数φ(x).当初始值x 0在何区间取值时，迭代公式x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)收敛到x *,并说明理由. 3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式，当初始值x 0在何区间取值时，牛顿法迭代公式收敛到x,并说明理由.取x 0=1.8,用牛顿法迭代公式计算x,要求(1)()4||||10k k x x +--<.4),写出求解该方程的弦截法迭代公式，当初始值在何区间取值时，弦截法迭代公式收敛到x,并说明理由.(2005-2006)3'2'331223(1),()31,()33(1.5) 2.125,(2.5)7.125(1.5)(2.5)0,()0()0,[1.5,2.5][1.5,2.5].(2),3121(3),,3333()3k k k k k k k f x x x f x x f f f f f x f x x x x x x x x x f x x +=--=-=-=⋅<=>∈--+=-=--=-解答：证明：故在[1.5,2.5]内有根.又故方程在区间内有唯一根牛顿法迭代公式：'2"1,()33,()6x f x x f x x-=-=题型十:稳定算法1,对给定的x ，下列两式能否直接计算，说明理由；如果不能，请给出变换算式：（1）21x x +-，x 很大；（2）311x +-，|x|很小.(2010-2011)223331(1):1111=.1+1x x x x x x x +-=+++-+解答：不能直接计算，因为两个相近的数相减，会产生较大的误差：；2,为了提高计算精度，当正数x 很大时，计算1x x +-时应转化成什么形式.（2005-2006）3,给出计算积分1,(0,1,2,10)10nnx I dx n x ==+⎰的递推稳定算法和初值.(2010-2011) 1111111000-11110002010101101010101=101011111)11101010(1)11121[].2111)101)220(1)n n n n n n n n n n x x dx x dx x dx I I x x nn n x x x dx dx dx n x n n n n ----+-===-=-++-=<<=+++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：I 该算法不稳定，变形得：I 因为（取初值I （（4,设计一种求1x n nI e x dx =⎰（n 为非负整数）稳定的递推算法，包括递推公式，初值的确定；当初值201221e I =⋅时，利用上述稳定的递推公式计算三个连续的积分值.(2011-2012)题型十一:部分证明题1,利用差分的性质证明：12+22+…n 2=n(n+1)(2n+1)/6222()12,g n n n =++证明：设函数对任意的建立差分表：g(n)(n+1)22n+3 2 g(n+1) (n+2)2 2n+5 2 g(n+2) (n+3)2 2n+7 g(n+3) (n+4)2 g(n+4)函数g(n)的三阶差分是与n 无关的非零常数，故g(n)是n 的三次多项式：3(1)1,(2)5,(3)14,(4)30111()()14521231(1)(2)(1)(2)(3)(1)(21)14521!2!3!6g g g g n n n g n N n n n n n n n n n n ====---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------++=+⋅+⋅+⋅=按等距节点牛顿向前插值公式建立三次插值多项式，则2,证明：n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n.(2010-2011)(1)0()(),.(1)!n nbi ai f x x dx n ζ+=-+∏⎰证明：截断误差R[f]=易证 3,若0{()}ni i l x =是关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数组，函数0011()()()(),(1)n n f x x l x x l x x l x n =++≥，证明：f(x)≡x.（2009-2010）00110()()()()()()()()n n i i n n i f x L x f x l x x l x x l x x l x f x x=≈==+++≡∑证明：故：4,证明：0101'()[()()]"()2hf x f x f x f h ζ=--，其中h=x 1-x 0,01(,)x x ζ∈.(2009-2010)"'20000"'211001010'"010())()()()2!(),())()()()2!1()[()()]()2f f x x x x x f x x f x f x x x x x hf x f x f x f h ζζζ+-+-==+-+-=--证明：由泰勒公式得f(x)=f(x 令则f(x 整理得： 5,证明：关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数0{()}ni i l x =满足恒等式012()()()()1n l x l x l x l x +++≡.(2008-2009B)(2006-2007B)(2004-2005)120(1)(1)1010()1,(),,1=L ()()()()()()()1,()0,()()0(1)!()()()()1n n n n i n i n n n n ni n i f x f x x x x x R x l x f x R x f f x fx R x W x n l x l x l x l x ζ=+++==+=+=≡==+=+++≡∑∑证明：令对在上进行拉格朗日插值，有因故故：6,证明求积公式()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰的截断误差：3"()[](),12f R f b a ηη=--∈其中：（a,b).(2007-2008) (1)001(2)(2)(2)33()()(1)!1,,()()()1"()()()()()()()2!2!2!612n nb i ai b b aa f x x dx n n x a xb f f f f x a x b dx x a x b dx a b b a ζζηηη+=-+===--=--=⋅-=--∏⎰⎰⎰证明：插值型求积公式截断误差R[f]=R[f]=7,设矩阵A 为可逆上三角阵，证明A -1仍为上三角阵，并导出求逆算法.(2006-2007B)8,设x k =a+kh(k=0,1,2;h>0),f(x)的三阶导数连续，证明：2(3)102021'()[()()](),(,)26h f x f x f x f x x h ζζ=-+-∈其中为中值.(2011-2012)001122120201201201021012202112020101222,),,),,)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22x y x y x y x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x h h h ------=++------------=-+证明：过（（（的拉格朗日插值多项式为：L 12'2102(3)201202(3)'''1210122'(3)10202)1()[()()]2()()()()()(),(,)3!()()()[()()()]3!1()[()()](),(,)26x x L x f x f x hf f x L x x x x x x x x x f f x L x x x x x x x h f x f x f x f x x h ηηηζζ==-+-=---∈-=---=-+-∈又故：。

线性代数自考题分类模拟13(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.三阶矩阵A的特征值为-1，1，2，则B=E+A*的特征值为______．SSS_FILL分值: 2.53，-1，0 [解析] 设λ为三阶矩阵A的特征值，|A|=-1×1×2=-2.A -1的特征值为的-1，1，，A*的特征值为2，-2，-1，故得：B的特征值为：3，-1，0．2.设，则A的全部特征向量为______．SSS_FILL分值: 2.5每一个非零的三维向量 [解析]故λ=a为A的三重特征值．因为A=aE，对任何非零的三维向量ξ右乘A=aE，得Aξ=aξ，故A的全部特征向量为每一个非零的三维向量．3.若三阶矩阵，则A的三个特征向量的关系为______．SSS_FILL分值: 2.5线性无关[解析] A～B知A和B有相同的特征值，故A有1，2，3三个不同的特征值，A为三阶的，故A的三个特征值对应的三个特征向量线性无关．4.设λ=2是n阶方阵A的一个特征且|A|≠0，则n阶方阵B=A 3 -3E+A -1必有特征值______．SSS_FILL分值: 2.5[解析] |A|≠0，因此A 可逆，又λ=2是A 的特征值，因此存在非零向量α使得Aα=2α，所以A 3 α=A 2 (Aα)=A 2 (2α)=2A(Aa)=4Aα=8α， ，所以 ，所以B 有特征值．5. 方阵的全部特征值为______．SSS_FILL分值: 2.5λ 1 =λ 2 =λ 3 =1，λ 4 =-1 [解析] A 的特征多项式为 所以A 的全部特征值为λ 1 =λ 2 =λ 3 =1，λ 4 =-1． 6.设A 为n 阶方阵，|A|≠0，若A 有特征值λ，则A*的特征值______．SSS_FILL分值: 2.5[解析] 由于|A|≠0，因此A 可逆并且，即A*=|A|·A -1 ；如果Aα=λα，则A -1 ·Aα=λA -1 α，所以 ，所以 是A*的特征值． 7.设B=P -1 AP ，如果Aα=λ 0 α，则B 的关于λ 0 的特征向量为______．SSS_FILL分值: 2.5P -1 α [解析] ∵P -1 AP=B ∴A=PBP -1又Aα=λ 0 α ∴PBP -1 α=λ 0 α ∴B(P -1 α)=λ 0 (P -1 α)． 8.已知三阶方阵A 的三个特征值为1，-2，-3，|A|及A -1 ，A*，A 2 +2A+E 的特征值分别为______．SSS_FILL分值: 2.56；1， ；6，-3，-2；4，1，4 [解析] 本题考查利用公式求特征值与特征向量，设λ i 为n 阶方阵A 的特征值，P i 为A 的对应于特征值λ i 的特征向量，i=1，2，…，n ，则(1)f(A)的特征值为f(λ i )，对应于f(λ i )的特征向量为p i ，i=1，2，…，n ，其中f(x)为x 的多项式；(2)设A可逆，则A -1的特征值为，对应的特征向量为pi，i=1，2，…，n；(3)设A可逆，则A*的特征值为，对应的特征向量为pi，i=1，2，…，n；(4)A T的特征值为λi ，i=1，2，…，n，对应的特征向量为pi，i=1，2，…，n；(5)若B=P -1 AP，则B的特征值为λ，对应的特征向量为P -1 pi，i=1，2，…，n；从而有：|A|=1·(-2)·(-3)=6A -1的特征值为：A*的特征值为：6，-3，-2；A 2 +2A+E的特征值为：4，1，4．9.设三阶方阵A的行列式|A|=8，又已知A有特征值-2和4，则A的另一个特征值为______.SSS_FILL分值: 2.5-1 [解析] 设A的特征值为：λ1，λ2，λ3，则|A|=λ1·λ2·λ3，所以另一特征值为λ，有8=(-2)×4×λ．10.设三阶方阵A的特征值为λ1 =-1，λ2=1，λ3=2，则|A|=______．SSS_FILL 分值: 2.5-2 [解析] |A|=λ1·λ2·λ3=-2．11.设2是矩阵A的一个特征值，则矩阵3A必有一个特征值为______．SSS_FILL分值: 2.56[解析] 因为Z是A的一个特征值，则Aα=2α．两同乘3则3Aα=6α，即3A 的特征值为6．答案为6．12.若λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵必有特征值______．SSS_FILL分值: 2.5[解析] A有特征值λ=2，则必有特征值必有特征值．13.设A、B是n阶方阵，E为n阶单位方阵且A+2E=B，如果5是B的一个特征值，则A必有特征值______．SSS_FILL分值: 2.53[解析] 由于5是B的特征值，所以|5E-B|=0，又A=B-2E，所以|3E-A|=|5E-A-2E|=|5E-B|=0，因此3是A的一个特征值．14.若，则A 2 -2A+E的特征值为______．SSS_FILL分值: 2.50，4，16 [解析] 令A的特征值为λ，，故λ为1，3，5．代入λ 2 -2λ+1中知A 2 -2A+E的特征值为0，4，16．15.实对称矩阵A满足A 3 +A 2 +A=3I，则A=______．SSS_FILL分值: 2.5I [解析] 设矩阵A的特征值为λ，则有λ 3+λ 2+λ=3，即(λ-1)(λ 2+2λ+3)=0．由于实对称矩阵的特征值是实数，故λ 2+2λ+3=(λ+1) 2 +2＞0，由此可得A只有惟一的三重特征值1，即存在可逆矩阵P，使得P -1 AP=I，于是有A=PIP -1 =I．16.与矩阵相似的对角矩阵为______．SSS_FILL分值: 2.5[解析] 先求特征值，(λ-3)=(λ-1)(λ-3)=0，所以λ1 =1，λ2=3，所以矩阵A的相似对解阵为或17.已知向量，方阵A满足Ap1 =p1，Ap2=0，Ap3=-p3，则A 5=______．SSS_FILL分值: 2.5[解析] 由特征值和特征向量的定义和已知条件知，三阶方阵A有特征值1，0，-1，对应的特征向量分别为p1，p2，p3，方阵A有不同的特征值，故A相似于对角矩阵，令矩阵则有P -1 AP=D，故A 5 =(PDP -1 )(PDP -1)…(PDP -1 )=PD 5 P -1 =PDP -1 =A18.设n阶方阵A与B相似且A 2 =A，则B 2 =______．SSS_FILL分值: 2.5B [解析] 由于A与B相似，存在可逆矩阵P，使得B=P -1 AP，所以B 2 =P -1 AP·P -1 AP=P -1 A 2 P=P -1 AP=B．19.已知方阵A相似于对角矩阵，则A 10 =______．SSS_FILL分值: 2.5E [解析] 存在可逆矩阵P使，因此所以20.设三阶矩阵A与B相似，若A的特征值为，则行列式|B -1 |=______．SSS_FILL分值: 2.524 [解析] 因为A与B相似，所以A与B有相同的特征值，因为|BB -1 |=1，所以B与B -1的特征值互为倒数，21.已知方阵A与方阵相似，则A的特征值为______．SSS_FILL分值: 2.5λ1=λ2=2，λ3=-2 [解析] 由于B的特征多项式为因此B的特征值为λ1=λ2=2，λ3=-2而A与B相似，因此有相同的特征值．22.矩阵与相似，则x=______．SSS_FILL分值: 2.50[解析] ∵A与B相似∴tr(A)=tr(B)，即1+0+x=1+1-1，∴x=0．23.如果可对角化，则x=______．SSS_FILL分值: 2.50 [解析] A可对角化，故三维矩阵A有3个不相关的特征向量，设λ为A的特征值故λ=1，λ=2(2重)．λ=2时，因为2为2重特征根，故λ=2时必须有两个线性无关的特征向量，故r(2E-A)=3-2=1．只有-x=0时，即x=0时，r(2E-A)=1，这时λ=2才对应2个线性无关的特征向量．24.设向量α=(1，2，3，4)，则α的单位化向量为______．SSS_FILL分值: 2.5[解析] 单位化即使各元素的平方加起来为1，，所以单位化向量为．25.设向量，则α与β的内积(α，β)=______．SSS_FILL分值: 2.5-3[解析] (α，β)=1×1+2×1+(-2)×2+1×(-2)=-3．26.在R 3中向量与任意向量均正交，则||α||=______．SSS_FILL分值: 2.50 [解析] 由于(α1，e1)=a1=0，(α1，e2)=α2=0，(α1，e3)=a3=0，所以a为零向量，故||α||=0．27.若α=(1，2，3)，则．SSS_FILL分值: 2.5[解析]28.向量α=(2，4)，β=(a，-1)若α⊥β，则a=______．SSS_FILL分值: 2.52[解析] ∵α⊥β，∴2a-4=0，∴a=2．29.正交矩阵A的行列式的值为______．SSS_FILL分值: 2.5±1 [解析] ∵A·A T =E，∴|A·A T||A|·|A T |=|A| 2 =|E|=1，∴|A|=±1．30.已知P是三阶正交矩阵，向量，则内积(Pα，Pβ)=______．SSS_FILL分值: 2.55 [解析] 对于任意n维列向量α，β都有内积等式(Aα，Aβ)=(α，β)．所以(Pα，Pβ)=(α，β)=1×1+3×0+2×2=5．31.设A为实对称矩阵，和是A属于不同特征值λ1和λ2的特征向量，则a=______．SSS_FILL分值: 2.55 [解析] 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α 2)=a-8+3=a-5=0，所以a=5．32.设λ1 =1，λ2=-1是实对称矩阵A的两个特征向量所对应的特征值，则k=______．SSS_FILL分值: 2.52 [解析] 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α 2)=-4+8k-12=0，所以k=2．二、计算题1.已知二阶矩阵A的特征值为λ1 =1，λ2=9，对应的特征向量依次为α1=(-1，1) T，α2=(7，1) T，求矩阵A．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2.5解：由于α1，α2线性无关，令P=(α1，α2)，则由，得到2.已知α=(1，1，-1) T是的特征向量，求a，b．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2.5解：[提示]设对应于特征向量α的特征值为λ，则有得a=2 b=-3．3.已知，a，b＞0且a 2 +b 2 =1．求：(1)A的特征值；(2)将A对应的二次型化为标准形，并写出所用的变换．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2.5解：=λ 2 -a 2 -b 2=λ 2 -1=0．所以A的特征值为λ1 =1，λ2=-1．标准形为设三阶实对称矩阵A满足A 2 +2A=O，而且r(A)=2．SSS_TEXT_QUSTI4.求出A的全体特征值．分值: 2.5解：[提示]设矩阵A的特征值为λ，则由A 2 +2A=O知，λ 2+2λ=0，故λ=0或λ=-2．因为r(A)=2，λ=0不可能是二重根，故λ=-2是二重根．SSS_TEXT_QUSTI5.当k为何值时，kE3+A必为正定矩阵?分值: 2.5解：[提示] kE3 +A的特征值为k+λ，kE3+A为正定矩阵的充要条件是kE3+A有3个大于0的特征值，故当k＞2时，k+λ＞0，kE3+A必为正定矩阵．设方程A有特征值λ1 =2，λ2=-1，又和是A属于λ1=2和λ2=-1的特征向量，向量SSS_TEXT_QUSTI 6.将β表示成α1，α2的线性组合．分值: 3.75解：以α1，α2，β为列向量的矩阵作初等行变换，有所以β=3α1+α2．SSS_TEXT_QUSTI7.求Aβ．分值: 3.75解：1。

矩阵求特征值例题矩阵求特征值可能是初学线性代数时的一大难点。

这里我们来看一个简单的例题，分步骤解析矩阵求特征值的方法。

例题：求解特征值和特征向量$$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}$$解析：1. 先写出特征值和特征向量的定义：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在数 $\lambda$ 与 $n$ 维非零向量 $x$，使得$$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$$则称 $\lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，$\boldsymbol{x}$ 称为对应于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量。

2. 求解特征值：根据特征值的定义式，我们需要求解：$$\begin{vmatrix}A - \lambda I\end{vmatrix} = 0$$其中，$I$ 为 $n$ 阶单位矩阵。

展开式子可得：$$\begin{vmatrix}2-\lambda & -1 & 0 \\-1 & 2-\lambda & -1 \\0 & -1 & 2-\lambda\end{vmatrix} = (\lambda - 1)^2 (\lambda - 3) = 0$$因此，矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 1$ 和 $\lambda_2 = 3$。

3. 求解特征向量：接下来我们需要求解对应于特征值 $\lambda_1 = 1$ 的特征向量 $\boldsymbol{x}_1$ 和对应于特征值 $\lambda_2 = 3$ 的特征向量 $\boldsymbol{x}_2$。

对于 $\lambda_1 = 1$：首先，我们需要解线性方程组：$$(A - \lambda_1 I)\boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{0}$$即：$$\begin{pmatrix}2-1 & -1 & 0 \\-1 & 2-1 & -1 \\0 & -1 & 2-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$化简可得：$$\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\-1 & 1 & -1 \\0 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$解得 $x_1 = x_2$，$x_2 = x_3$，因此：$$\boldsymbol{x}_1 = k_1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \quad (k_1 \neq 0)$$接下来，我们需要对 $\boldsymbol{x}_1$ 进行单位化，即：$$\boldsymbol{x}_1' = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$对于 $\lambda_2 = 3$：同理，我们需要解线性方程组：$$(A - \lambda_2 I)\boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{0}$$即：$$\begin{pmatrix}2-3 & -1 & 0 \\-1 & 2-3 & -1 \\0 & -1 & 2-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$化简可得：$$\begin{pmatrix}-1 & -1 & 0 \\-1 & -1 & -1 \\0 & -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$解得 $x_1 = -2x_2$，$x_3 = -x_2$，因此：$$\boldsymbol{x}_2 = k_2\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \quad (k_2 \neq 0)$$同样地，我们需要对 $\boldsymbol{x}_2$ 进行单位化，即：$$\boldsymbol{x}_2' = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$至此，我们得到了矩阵 $A$ 的全部特征值和对应的特征向量。