Hermite-Hadamard不等式的一些改进和涉及平均的不等式

第37卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) V ol. 37 No. 12024年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2024由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式时统业, 董芳芳(海军指挥学院, 江苏 南京 211800)摘 要: 考虑由一个推广的Hermite-Hadamard 不等式的右边部分的连续加细所生成的两个差函数. 引入参数求最值的方法, 在Lipschitz 条件下给出了关于这两个差函数的不等式.关键词: Hermite-Hadamard 型不等式; Lipschitz 条件; 凸函数; 加强 中图分类号: O178; O174.13文章编号: 1672-5298(2024)01-0001-06Inequalities Generated by a Generalized Form ofHermite-Hadamard InequalitySHI Tongye, DONG Fangfang(PLA Naval Command College, Nanjing 211800, China)Abstract : In this paper, we consider two difference functions generated by a continuous refinement of the right-hand side of a generalized Hermite-Hadamard inequality. By using the method of introducing a parameter to find the minumum value, inequalities involving these two difference functions are established under Lipschitz condition.Key words : Hermite-Hadamard type inequality; Lipschitz condition; convex function; strengthen0 引言本文假设,(0,1),1p q p q Î+=, 且pa qb x =+. 对于[,]a b 上的凸函数f , 成立()()()1()d ,22b a f a f b a b f f x x b a ≤≤++-ò (1) 式(1)称为Hermite-Hadamard 不等式[1−3].Dragomir 等[4]引入定义在[0,1]上的函数()1()(1)d 2ba ab H t f tx t x b a +=+--⎰, 证明当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()H t 是[0,1]上单调递增的凸函数. 利用()H t 可加细Hermite-Hadamard 不等式的左边部分.王良成[5]给出Hermite-Hadamard 不等式的一个推广:()(,)()(),f pa qb C p q pf a qf b ++≤≤ (2)其中f 是[,]a b 上的凸函数,(,)()d ()d .()()bapq C p q f x x f x x q b a p b a ξξ=+--⎰⎰于永新和刘证[6]引入另一个与Hermite-Hadamard 不等式相关的函数:1()((1))d ((1))d bq pa q p H t p f qtx t x q f ptx t xb aξξξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰. 当12p q ==时, ()H t 即为Dragomir 等定义的()H t . 当1t =时, ()H t 即为王良成给出的式(2)中的插值函数. 文[6]证明当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()H t 是[0,1]上单调递增的函数, 并且建立不等式收稿日期: 2023-08-12作者简介: 时统业, 男, 副教授. 主要研究方向: 数学不等式2湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷()()()()()11()2222t t t t f pa qb pf a qf b H t ≤≤≤x x ++-++- ()d ()d (1)()(,)bap qt f x x f x x t f pa qb C p q b a qpξξ⎡⎤++-+⎢⎥-⎣⎦⎰⎰≤, (3) 从而加细了式(2)的左边部分. 文[7]研究由式(3)生成的差值在Lipschitz 条件下的估计.与Hermite-Hadamard 不等式有关的函数的研究还有很多[8−14]. 文[14]引入函数1()((1))d ((1))d bq p a q p H t p f qtx t a x q f ptx t b x b a ξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ , 证明了当f 是[,]a b 上的凸函数时, ()Ht 是[0,1]上单调递减的函数, 并且利用()H t 加细了式(2)的右边部分, 即12()d ()d ()d ()d (1)()bbaapqp q t f x x f x x f x x f x x t f b a q pb a qpξξξξξ⎡⎤⎡⎤-++--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰≤≤ ()()d ()d (1)[()()]()()bapqt Ht f x x f x x t pf a qf b pf a qf b b a qpξξ⎡⎤++-++⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ ≤≤. (4) 通过积分变量替换可以将()Ht 化为 1()((1))d ((1))d bap qHt f tx t a x f tx t b x b a qpξξ⎡⎤=+-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ . 由式(4)生成两个差值:12()()()d ()d (1)()bap qt t H t f x x f x x t f b a qpξξ∆ξ⎡⎤-=-++-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ , 2()()d ()d (1)[()()]()bap qt t f x x f x x t pf a qf b H t b a qpξξ∆⎡⎤=++-+-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰ . 本文将证明当f 是定义在[,]a b 上的Lipschitz M -函数时, ()H t 是[0,1]上的()Lipschitzpq b a M --函数, 而且给出更强的结果. 另外, 还要在Lipschitz M -条件下给出1()t ∆和2()t ∆ 的估计. 1 主要结果定理1 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有()()()2222121111()()11()()1112244U VU Vpq t t b a M pq t t b a M M MM⎡⎤⎡⎤-----+----+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤≤()()22212111()()()()11144U VH t H t pq t t b a M M M⎡⎤------+⎢⎥⎣⎦≤≤()2211()()1122V Upq t t b a M M ⎡⎤----+⎢⎥⎣⎦, (5)其中222((1))()()f t t a f a U t q b a ξ+--=-, 222()((1))()f b f t t b V t p b a ξ-+-=-.证明 利用函数2x 的凸性知式(5)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 令1211()((1))d ,()((1))d ()()baH t f tx t a x H t f tx t b x q b a p b a ξξ=+-=+---⎰⎰ ,则有12()()()H t pH t qH t =+ . (6) 下面证明对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有第1期时统业, 等: 由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式 3()2211211()1()()()11,22q t t U H t H t b a M M -⎡⎤----⎢⎥⎣⎦ ≤ (7)()2212221()1()()()11.22p t t V H t H t b a M M -⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ ≤ (8) 先考虑1201t t <<≤情形. 对任意1[0,()]t q b a ε∈-, 令211221(1)t t s t t a t ξε-=+--, 则有 2112111()()t t H t H t t ε---= (){}1111112111[()()]d [((1))()]d ()a t t aaa f a f s s f t t a f s s qb a t t εξεξ++-+⎛⎛⎫--++--+ ⎪ -⎝⎭⎝⎰⎰{}122111(1)1122(1)21[()((1))]d [()((1))]d s t t at t as f s f t t a s f s f t t a s t ξξξξ+-+-⎫-+-+-+-⎪⎭⎰⎰≤()11(1)111211()d {[(1)]}d ()a t t a aa M s a s t t a s s qb a t t εξεξ++-+⎡⎛⎫--++--+ ⎪⎢-⎝⎭⎣⎰⎰()122111(1)1122(1)21{[(1)]}d {[(1)]}d s t t at t as s t t a s t t a s s t ξξξξ+-+-⎤-+-++--=⎥⎦⎰⎰2221121(){[()]}2()t t M t q b a t q b a εε-+---,()2221211211121()()()1()()()11()22q t t t t b a U H t H t b a M M qt εε---⎡⎤----+-⎢⎥⎣⎦≤, (9) 其中()11()12t q b a U M ε-=-. 因为||U M ≤, 所以11[0,()]t q b a e Î-. 在式(9)中取1εε=即可得到式(7)．类似地可证明式(8), 只要注意到对任意21[0,()()]t t p b a ε∈--, 令211(1)s t t b ξ=+-, 32s t ξ=+2(1)t b -, 有{}3233222132211()()[()()]d [()()]d ()s s s s H t H t V f s f s s f s f s s p b a t εεε++⎛-+=-+-+ -⎝⎰⎰121122121211[()()]d [()()]d t b b t t t s b t t f s f s s f s f b s t t εε----⎫⎧⎫⎛⎫--+-⎪⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭⎭⎰⎰． 再考虑120, (0,1]t t =∈情形. 对任意2[0,()]t q b a ε∈-, 有121()(0)H t H U ε--= {}222222(1)(1)22(1)21[()()]d [()((1))]d ()t t a t t aat t a f s f a s f s f t t a s t q b a ξεξξεξ+--+-+---+-+--⎰⎰≤()222222(1)(1)22(1)2()d {[(1)]}d ()t t a t t a at t a M s a s t t a s s t q b a ξεξξεξ+--+-+---++--=-⎰⎰2222{[()]}2()M t q b a t q b a εε+---, ()222121221()(0)()11(),22()qt U MH t H b a M M t q b a εε⎡⎤----+-⎢⎥-⎣⎦ ≤ (10) 其中()22()12t q b a U M ε-=-. 由||U M ≤可知22[0,()]t q b a ε∈-. 在式(10)中取2εε=即知式(7)也成立.类似地可证明式(8), 只要注意到对任意2[0,()]t p b a ε∈-, 有222()(0)H t H V ε-+= {}222222(1)22(1)(1)21[()((1))]d [()()]d ()t t b bt t bt t b f s f t t b s f s f b s t p b a ξεξξεξ+-++-+-+-+-+--⎰⎰.综合式(6)~(8), 则式(5)从右边数起的第二个不等式得证. 又f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(5)从左边数起的第二个不等式得证.推论1 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意12,[0,1]t t ∈, 12t t <, 有4湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷22121||1|()()|()()11.22U V H t H t pq t t b a M M ⎡⎤-⎛⎫-----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ≤ 定理2 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2222(1)(1)(2)()1222t t P t t Q t pq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪-+------⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 2222212(1)(1)(2)1()1()222222t t t t t Q P t pq b a M t t tpqM t tpqM ∆⎡⎤---⎛⎫⎛⎫-------⎢⎥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤≤ 222222(1)(1)(2)1()1222222t t t P t t t Q pq b a M t tpqM t tpqM ⎡⎤⎛⎫⎛⎫------+--⎢⎥ ⎪ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤2222(1)(1)(2)()1222t t P t t Q t pq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+----+⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭, (11) 其中1{[((1))()][((1))()]}P p f t t a f a q f t t b f b b aξξ=+--++---,1{[((1))()][((1))()]}Q p f t t a f q f t t b f b aξξξξ=+--++---.证明 利用函数2x 的凸性知式(11)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 可直接验证2112()(1)(2),t t I t t I ∆=-+- (12) 其中{}(1)1(1)1[()((1))]d [()((1))]d ()t t abat t bp q I f x f t t a x f x f t t b x t b a qpξξξξ+-+-=-+-+-+--⎰⎰,(1)2(1)2(1)21[((1))()]d [()()]d ()t att a t t at p I f t t a f x x f f x x t b a q ξξξξξξ+--+-+--⎛⎧⎫=+--+-+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ (1)(1)2(1)2[()()]d [((1))()]d t bt t b tt b t q f f x x f t t b f x x p ξξξξξξ+-+--+--⎫⎧⎫-++--⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 对于任意[0,()]tq b a ε∈-, 有{}(1)11[()()]d [()((1))]d ()a t t aaa p P I f x f a x f x f t t a x tq tb a qεξεεξ++-+⎛+=-+-+-+ -⎝⎰⎰(1)[()((1))]d [()()]d pb b q p t t bb q q f x f t t b x f x f b x p εξεξ-+--⎫⎧⎫-+-+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰≤ ()(1)()d {[(1)]}d ()a t t aaa p M x a x t t a x x tb a qεξεξ++-+⎡-++--+⎢-⎣⎰⎰22(1){[(1)]}d ()d {[()]},()pb b q p t t b b q q pMx t t b x b x x tq b a p tq b a ξεξεε-+--⎤⎛⎫-+-+-=+--⎥ ⎪-⎝⎭⎦⎰⎰ 221321()11()22()pM P I tpq b a M tpqM tq b a εε⎡⎤⎛⎫--++-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦≤, (13) 其中3()122tq b a P tpqM ε-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为||2P tpqM ≤, 所以3[0,()]tq b a ε∈-. 在式(13)中取3εε=即得 211()1122P I tpq b a M tpqM ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦≤． (14)第1期时统业, 等: 由Hermite-Hadamard 不等式的一个推广形式所生成的不等式 5类似可证22222(1)(22)1()222(2)t t t Q t t I pq b a M t tpqM t t ⎡⎤--+⎛⎫---+⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎣⎦≤, (15) 只要注意到对任意2(1)1(),()22t t q b a q b a t t ε⎡⎤--∈---⎢⎥--⎣⎦, 有(1)2(1)2(1)21[((1))()]d [()()]d ()t at t a t t a t Q p I f t t a f x x f f x x tq t b a q ξεξξξεεξξ+-+-+-+-+-⎛⎧⎫+=+--+-+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰(1)(1)2(1)2[()()]d [((1))()]d t b pt t b t q t b p t q q f f x x f t t b f x x p ξεξξξεξξ+--+--+--⎫⎧⎫-++--⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 综合式(12)、(14)、(15), 则式(11)从右边数起的第二个不等式得证. f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(11)从左边数起的第二个不等式得证.推论2 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2221|(1)(2)|2(1)|()|()1.222t P t t Q t t t pq b a M t t tpqM ∆⎧⎫⎡⎤-+-⎪⎪-----⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 定理3 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有2222(1)(1)1()1122t t P t Q tpq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤--+⎪⎪-----⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤ 22222(1)111()1()121222t Q t t P tpq b a M t t t t tpqM pqM ∆⎡⎤-⎛⎫⎛⎫---------⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ≤≤ 2222(1)111()1121222t Q t t P tpq b a M t t t tpqM pqM ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫----+--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤ 2222(1)(1)1()1122t t P t Q tpq b a M t t tpqM ⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+---+⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭, (16) 其中,P Q 与定理2中的定义相同.证明 利用函数2x 的凸性知式(16)的左边第一个不等式和右边第一个不等式成立. 可直接验证有22212()(1),t t J t J ∆=-+ (17) 其中()(1)1()111[()()]d [((1))()]d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p J f a f x x f t t a f x x t b a q ξξ-++-+-++⎛⎧⎫=-++--+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ ()1()(1)1[((1))()]d [()()]d tp b a b b ttp b a t t b b t q f t t b f x x f b f x x p ξξ--+-+--+⎫⎧⎫+--+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰, {}(1)2(1)1[()((1))]d [()((1))]d ()t t bt t ap q J f x f t t a x f x f t t b x t b a qpξξξξξξ+-+-=-+-+-+--⎰⎰.对任意2()(),11tq b a t q b a t t ε⎡⎤--∈-⎢⎥++⎣⎦, 有 ()(1)1()111[()()]d [((1))()]d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p P J f a f x x f t t a f x x tq t b a q εξεεξ-+++-+-+++⎛⎧⎫-=-++--+ ⎨⎬ -⎩⎭⎝⎰⎰ ()1()(1)1[((1))()]d [()()]d tp b a pb b t q tp b a p t t b b t q q f t t b f x x f b f x x p εξεξ---+-+---+⎫⎧⎫+--+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰≤6湖南理工学院学报(自然科学版)第37卷()(1)1()1()d {[(1)]}d ()tq b a a t t a t tq b a a a t p M x a x t t a x x t b a q εξεξ-++-+-+++⎡⎛⎫-++--+⎢ ⎪-⎝⎭⎣⎰⎰()1()(1)1{[(1)]}d ()d tp b a pb b t q tp b a p t t b b t q q x t t b x b x x p εξεξ---+-+--+⎤⎛⎫-+-+-=⎥ ⎪⎝⎭⎦⎰⎰ 222()()()11pMtq b a t q b a tq b a t tεε⎧⎫⎡⎤⎪⎪--⎡⎤++-⎨⎬⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭, 2221422111()()212()(1)pM t t P J tpq b a M t tpqM tq b a t εε⎡⎤⎛⎫+---++-⎢⎥ ⎪+-+⎝⎭⎣⎦≤, (18) 其中4()1212tq b a t P t tpqM ε-⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭. 因为||2P tpqM ≤, 所以24()(),11tq b a t q b a t t ε⎡⎤--∈-⎢⎥++⎣⎦. 在式(18)中取4εε=即得2212111()212(1)t t P J tpq b a M t tpqM t ⎡⎤⎛⎫+---+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦≤. (19) 类似可证2221()(1)1,22pq Q J b a M t t t pqM ⎡⎤⎛⎫----+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦≤ (20) 只要注意到对任意常数[0,(1)()]t q b a ε∈--, 有{}2(1)1[()((1))]d [()()]d ()t t aQ p J f x f t t a x f x f x tq t b a qξεξξξεεξξ-+--⎛+=-+-+-+-⎝⎰⎰(1)[()()]d [()((1))]d pt t b q p q q f x f x f x f t t b x p ξξξξεξξ++-+⎫⎧⎫-+-+-⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭⎰⎰. 综合式(17)、(19)、(20), 则式(16)从右边数起的第二个不等式得证. f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 故f -也是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 对f -应用已证结果, 则式(16)从左边数起的第二个不等式得证.推论3 设f 是[,]a b 上的Lipschitz M -函数, 则对任意(0,1]t ∈, 有22222(1)|(1)|1|()|()1.122t t P t Q t tpq b a M t t tpqM ∆⎧⎫⎡⎤⎪⎪--+----⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎪⎪⎩⎭ ≤ 参考文献:[1] DRAGOMIR S S, PEARCE C E M. Selected topics on Hermite-Hadamard inequalities and applications[D]. Victoria: Victoria University, 2000.[2] 匡继昌. 常用不等式[M]. 第五版. 济南: 山东科学技术出版社, 2021.[3] 张小明, 褚玉明. 解析不等式新论[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2009.[4] DRAGOMIR S S, GOMM I. Some new bounds for two mappings related to the Hermite-Hadamard inequality for convex functions[J]. Numer. AlgebraControl Optim., 2012, 2 (2): 271−278.[5] 王良成. 凸函数的Hadamard 不等式的若干推广[J]. 数学的实践与认识, 2002, 32(6): 1027−1030.[6] 于永新, 刘 证. 另一个新的与Hadamard 不等式相关的映射[J]. 纯粹数学与应用数学, 2008, 24(3): 547−550.[7] 时统业. 由一个Hermite-Hadamard 型不等式生成的差的不等式[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2022, 31(1): 5−13.[8] DRAGOMIR S S, MILOŠEVI Ć D M, SÁNDOR J. On some refinements of Hadamard’s inequalities and applications[J]. Univ. Beograd, Publ. Elektrotelm.Fak, Ser. Mat., 1993, 4: 3−10.[9] DRAGOMIR S S, CHO Y J, KIM S S. Inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings and their applications[J]. Journal of MathematicalAnalysis and Applications, 2000, 245(2): 489−501.[10] WANG L C. New inequalities of Hadamard’s type for Lipschitzian mappings[J]. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2005, 6(2): 37. [11] TSENG K L, HWANG S R, DRAGOMIR S S. New Hermite-Hadamard-type inequalities for convex functions (Ⅰ)[J]. Applied Mathematics Letters, 2012,25(6): 1005−1009.[12] TSENG K L, HWANG S R, DRAGOMIR S S. New Hermite-Hadamard-type inequalities for convex functions (Ⅱ)[J]. Computers and Mathematics withApplications, 2011, 62(1): 401−418.[13] DRAGOMIR S S. Further properties of some mappings associated with Hermite-Hadamard inequalities[J]. Tamkang Journal of Mathematics, 2003, 34(1):45−57.[14] 时统业. 也谈一个Hermite-Hadamard 型不等式推广形式的加细[J]. 高等数学研究, 2022, 25(4): 44−47.。

关于-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式
李慧平
【期刊名称】《内蒙古农业大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2012(33)2
【摘要】本文研究了-凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式,得到了一类结果,并给出了一些应用。

【总页数】8页(P203-210)
【关键词】-凸函数;Hermite-Hadamard型积分不等式
【作者】李慧平
【作者单位】包头轻工职业技术学院
【正文语种】中文
【中图分类】O178.1
【相关文献】
1.分数积分下的关于m-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式 [J], 徐冬;叶小彩;黄敏杰;邱克娥
2.预不变凸函数的Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式的推广 [J], 孙文兵;郑灵红
3.区间凸函数的量子积分Hermite-Hadamard型不等式 [J], 娄天依;叶国菊
4.有关(α,m)-对数凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式 [J], 黄滢;韩盼盼;齐静;王芳;王文;魏茂森
5.区间值h-凸函数的整合分数阶积分Hermite-Hadamard型不等式 [J], 史芳芳;叶国菊;刘尉;赵大方
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关于琴生不等式的一些加细
文家金;王挽澜
【期刊名称】《成都大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(021)002
【摘要】本文给出琴生不等式的一些加细,它包括若干相关结果的推广(如正文的注释1指出).从文献上看,结果中出现涉及f1,n与 fn,n线性组合的不等式(7)和(8),在同类结果中似乎是新型.此外,推论1和2还给出了(7)和(8)成立的另一类型充分条件.
【总页数】4页(P1-4)
【作者】文家金;王挽澜
【作者单位】成都大学,计算机科学系,成都,610081;成都大学,计算机科学系,成都,610081
【正文语种】中文
【中图分类】O178.1
【相关文献】
1.Hermite-Hadamard不等式的一些新的加细 [J], 马秀芬;孟开成
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3.加细Jensen不等式的一些进展 [J], 唐兴莉;文家金
4.αS-弱θ-加细子集与S-弱θ-加细和空间 [J], 吴昭鑫;张焰杰;曹金文
5.一些平均值不等式的加细 [J], 王挽澜
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调和拟凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式何春颖;双叶;王妍;宝音特古斯【摘要】根据调和拟凸函数的定义,利用调和拟凸函数和H?lder积分不等式,建立了若干个调和拟凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式.【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(032)001【总页数】5页(P15-19)【关键词】调和拟凸函数;Hermite-Hadamard不等式;积分不等式;凸函数【作者】何春颖;双叶;王妍;宝音特古斯【作者单位】内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽 028043;内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽 028043;内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽 028043;内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽 028043【正文语种】中文【中图分类】O174.13;O178先引进几个凸函数类的概念，下面的定义大家熟知的：定义1.1 设函数f:I⊆R→R,若对任意x,y∈I和任意的λ∈[0,1]，有则称f为I上的凸函数.文〔1～3〕中引入了下列拟凸函数的概念：定义1.2〔1～3〕设函数f:I⊆R→R，若对任意的x,y∈I,λ∈[0,1]，有则称f为I上的拟凸函数.1985年，文〔4〕引入了m-凸函数的概念：定义1.3〔4〕设f:[0,b]→R(b＞0)，m∈(0,1]，若对任意的x,y∈[0,b]，λ∈[0,1]，有则称f为[0,b]上的m-凸函数.1993年，文〔5〕定义了(α,m)-凸函数的概念：定义1.4〔5〕设函数f:[0,b]→R(b＞0)，(α,m)∈(0,1]2，若对任意的x,y∈[0,b]，λ∈[0,1]，有则称f为[0,b]上的(α,m)-凸函数.张天宇等人在文〔11〕中定义了调和拟凸函数的概念：定义1.5〔11〕设函数f:I⊆R+=(0,∞)→R，若对任意的x,y∈I和任意的t∈[0,1]，有则称f为区间I上的调和拟凸函数.例设f(x)=x-r,x∈R+，对任意的t∈[0,1]，若r≥1，有当r≥1时，f(x)=x-r为R+上的调和拟凸函数.席博彦和祁锋在文〔6〕中引进了调和算术m-凸函数的定义：定义1.6〔6〕设m∈(0,1]，函数f:(0,b]⊆R+=(0,∞)→R，若对任意x,y∈(0,b]和任意的t∈[0,1]，有则称f为(0,b]上的调和算术m-凸函数.关于凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式的研究一直是非常活跃的研究课题，首先文〔7〕中S. S.Dragomir等人给出了如下的凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式：定理1.1（〔7〕）设函数f:I∘⊆R→R为I∘上的可微函数，a,b∈I∘，a＜b.则（i）若|f′|为[a,b]上的凸函数，则（ii）若为[a,b]上的凸函数，p＞1，则文〔9〕给出了下面的积分等式：引理1.1设f:I⊆R+→R在I上的可微函数，a,b∈I，a＜b.若f′∈L1([a,b])，则关于调和凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式方面的研究见文〔10～13〕，有关相关的文献见文〔14～28〕.笔者研究调和拟凸函数的一类Hermite-Hadamard型积分不等式问题，得到了若干个不等式.定理2.1 设函数f:I⊆R+→R，a,b∈I，a＜b，且|f′|∈L1([a,b]).若|f′|为[a,b]上的调和拟凸函数，则定理2.2 设函数f:I⊆R+→R，a,b∈I，且a＜b，|f′|∈L1((0,b]).若|f′|q为[a,b]上的调和拟凸函数，q＞1，则定理2.3 设函数f:I⊆R+→R，a,b∈I，且a＜b，|f′|∈L1((0,b]).若|f′|q为[a,b]上的调和拟凸函数，q＞1，则则定理2.3证毕.定理2.4 设函数f:I⊆R+→R为调和拟凸函数.若a,b∈I，a＜b，且f∈L1() [a,b],则故定理2.4可证.定理2.5 设函数f:I⊆R+→R为调和拟凸函数.若a,b∈I，a＜b，且f∈L1() [a,b],则故定理2.5证毕.定理2.6 设f:I⊆R+→R为调和拟凸函数.若a,b∈I，a＜b，且f∈L1() [a,b],则证根据GA不等式和定理2.5可得结果.故定理2.6证毕.〔1〕W Fenchel，Convex cones，sets，functions.Mimeographed Lectures notes〔M〕.New Jersey，Princeton：Princeton University，1951.〔2〕K L Arrow，C Enthovena.Quasi-concave programming〔J〕.Econometrica，1961，29：779-800.〔3〕S S Dragomir，J Pe aric，L E Persson.Some inequalities of Hadamardtype〔J〕.Soochow J Math，1995，21（3）：335-341.〔4〕G Toader.Some generalizations of the convexity〔C〕.Cluj-Napoca：Proceedings of the Colloquium on Approximation and Optimization，Univ Cluj-Napoca，1985.〔5〕V G Miheşan.A generalization of the convexity〔C〕.Cluj-Napoca （Romania）：Seminar on Functional Equations，Approx. and Convex.，1993.〔6〕Bo-Yan Xi，Tian-Yu Zhang，Feng Qi.Some inequalities of Hermite-Hadamard type for m-harmonic-arithmetically convex functions〔J〕.ScienceAsia，2015，41（5）：357-361.〔7〕S S Dragomir，R P Agarwal.Two inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to trapezoidal formula〔J〕.Appl Math Lett，1998，11：91-95.〔8〕U S Kirmaci.Inequalities for di§erentiable mapping s and applications to special means of real numbers and to midpoint formula〔J〕p，2004，147：137-146.〔9〕I Iscan.Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions〔J〕.arXov.preprint axxov：1303、6089，2013.〔10〕Tian-Yu Zhang，Feng Qi.Integral inequalities of Hermite-Hadamard type for m-AH convex functions〔J〕.Turkish Journal of Analysis and Number Theory，2014，2（3）：60-64.〔11〕Tian-Yu Zhang，Ai-Ping Ji，Feng Qi.Integral inequalities of Hermite-Hadamard type for harmonically quasi-convex functions〔J〕.Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society，2013，16：399-407.〔12〕张天宇，荷花，冀爱萍.关于调和凸函数的一些性质〔J〕.内蒙古民族大学学报：自然科学版，2007，21（4）：361-363.〔13〕张天宇，王淑红.关于算术调和凸函数的Hermite-Hadamard型不等式〔J〕.内蒙古民族大学学报：自然科学版，2012，27（4）：397-399.〔14〕白淑萍，石德平，谷桂花.凸函数的关于Riemann-Liouville分式积分的Hermite-Hadamard型不等式〔J〕.湖北民族学院学报：自然科学版，2015，33（4）：384-387.〔15〕S S Dragomir.On some new inequalities of Hermite-Hadamard type for m-convex functions〔J〕.Tamkang J Math，2002，33：45-55.〔16〕S S Dragomir，G.Toader.Some inequalities for m-convex functions 〔J〕.Studia Univ.Bab s-Bolyai Math，1993，38：21-28.〔17〕Bo-Yan Xi，Feng Qi.Some new integral inequalities of Hermite-Hadamard type for （Log，（α，m））-convex functions on co-ordinates〔J〕.Studia Universitatis Babe\c{s}-Bolyai Mathematica，2015，60（4）：509-525. 〔18〕Bo-Yan Xi，Feng Qi.Integral inequalities of Hermite-Hadamard type for（（α，m），Log）-convex functions on co-ordinates〔J〕.Problemy Analiza-Issues of Analysis，2015，22（2）：73-92.〔19〕Bo-Yan Xi，Feng Qi.Hermite-Hadamard type inequalities for geometrically r-convex functions〔J〕.Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica，2014，51（4）：530-546.〔20〕Ju Hua，Bo-Yan Xi，Feng Qi.Inequalities of Hermite Hadamard type involving an s-convex function with applications〔J〕.Applied Mathematics and Computation，2014，46：752-760.〔21〕Bo-Yan Xi，Feng Qi.Some Hermite-Hadamard type inequalities fordifferentiable convex functions and applications〔J〕. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics，2013，42（3）：243-257.〔22〕Bo-Yan Xi，Feng Qi.Integral inequalities of Simpson type for logarithmically convex functions〔J〕.Advanced Studies in Contemporary Mathematics，2013，23（4）：559-566.〔23〕Feng Qi，Bo-Yan Xi.Some integral inequalities of Simpson type for GA-ε-convex functions〔J〕.Georgian Mathematical Journal，20（4）：775-788.〔24〕Bo-Yan Xi，Feng Qi.Hermite-Hadamard type inequalities for functions whose derivatives are of convexities〔J〕.Nonlinear Functional Analysis and Applications，2013，18（2）：163-176.〔25〕牛潇萌，李书海，汤获.近于凸函数的新子类〔J〕.西南民族大学学报：自然科学版，2016，42（3）：318-323.〔26〕王淑红.广义算子s-预不变凸函数及其积分不等式〔J〕.湖北民族学院学报：自然科学版，2016，34（2）：121-124.〔27〕敖特根.一类广义凸多目标变分控制问题的对偶模型的有效性的几个补定定理〔J〕.呼伦贝尔学院学报：自然科学版，2001，9（1）：61-64.〔28〕文晓霞.一类Hermite-Fejér插值多项式的逼近〔J〕.河北科技师范学院学报：自然科学版，2001，24（2）：44-45.〔29〕吴先兵.关于E-凸集，E-凸函数和半-E-凸函数性质的研究〔J〕.长春大学学报：自然科学版，2007，17（6）：15-17.。

关于Hermite-Hadamard积分型不等式的推广包图雅;宝音特古斯【摘要】利用r-平均凸函数的定义,将把凸函数的Hermite-Hadamard积分型不等式推广到了r-平均凸函数,从而加细了r-平均凸函数的Hadamard积分型不等式,并改进了相关文献的结果.【期刊名称】《内蒙古民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(025)006【总页数】3页(P617-619)【关键词】r-平均凸函数;Hermite-Hadamard积分型不等式【作者】包图雅;宝音特古斯【作者单位】内蒙古民族大学,数学学院,内蒙古,通辽,028043;内蒙古民族大学,数学学院,内蒙古,通辽,028043【正文语种】中文【中图分类】O151.25大家熟悉的Hermite-Hadamard积分型不等式〔1〕为：设f（x）为区间上的凸函数，则文〔2〕对凸函数的Hermite-Hadamard积分型不等式（1）进行了如下推广：设（fx）为区间〔a，b〕上的凸函数，则存在使得对任意的有下面将把凸函数的Hermite-Hadamard积分型不等式（2）推广到r-平均凸函数上，得到了r-平均凸函数的Hermite-Hadamard积分型不等式.为此先引入r-平均凸函数.设（fx）为区间上的正值函数记特别，当时，有定义1〔3〕（r-平均凸函数）设（fx）为区间上的正值函数，若对任意的且，有则称为I上的r-平均凸函数；若不等式（5）中反向不等号成立，则称为I上的r-平均凹函数.引理1〔2〕设g（x）为区间上的连续函数，且则存在使得定理1 设（fx）为区间上的r-平均凸函数，r∈R+，定义函数则函数上的增函数.证对任意的因上的r-平均凸函数，所以，有同理，有把不等式（6）和（7）相加，可得即的任意性知，函数上的递增函数.证毕.定理2 设为区间上的连续r-平均凸函数，r＞0，则存在使得对任意的和有证先证不等式（8）中的α的存在性，即存在，使得实际上，由于f（x）为〔a，b〕上连续的r-平均凸函数，令那么，根据引理1，存在从而，有即不等式（9）成立.又由定理1中函数F（x）在上的单调递增性可知，不等式（8）成立.证毕.推论〔4〕设f（x）为区间［a，b］⊂R+上的连续r-平均凸函数，r＞0，则定理3 设（fx）为区间上的连续r-平均凹函数，r＜0，则存在使得对任意的和【相关文献】〔1〕胡克.解析不等式的若干问题〔M〕.武汉：武汉大学出版社，2003.121-140.〔2〕柯源，杨斌，胡明.Hermite-Hadamard不等式的推广〔J〕.数学的实践与认识，2007，37（12）：161-164.〔3〕吴善和.rp-凸函数与Jensen型不等式〔J〕.数学的实践与认识，2005，35（3）：220-228. 〔4〕邓勇平，吴善和.Hadamard不等式的若干推广〔J〕.贵州师范大学学报，2007，25（1）：63-67.。

若干Hermite-Hadamard型不等式的改进曾志红;时统业【摘要】考虑利用导数来估计由Hermite-Hadamard型不等式生成的差值.利用可微凸函数的导函数的性质或者通过建立涉及导函数的积分恒等式,给出若干Hermite-Hadamard型不等式的改进.【期刊名称】《中州大学学报》【年(卷),期】2018(035)006【总页数】6页(P114-119)【关键词】Hermite-Hadamard型不等式;凸函数;可微函数【作者】曾志红;时统业【作者单位】广东第二师范学院学报编辑部,广东广州510303;海军指挥学院,江苏南京211800【正文语种】中文【中图分类】O1781 引言若f是区间I上的凸函数，则对于任意a，b∈I，a<b，有(1)式(1)就是著名的Hermite-Hadamard不等式。

对Hermite-Hadamard不等式的加细和推广以及利用导函数来估计由Hermite-Hadamard不等式生成的差值已有很多结果，比如文献[1-20]。

文献[9-10]通过考虑[a，b]上满足a≤x<y≤y′<x′≤b，x+x′=y+y′的4个点x，y，y′，x′，建立了凸函数的Hermite-Hadamard型不等式，文献[11]通过考虑[a，b]上满足a≤x<y≤y′<x′≤b，λx+λ′x′=λy+λ′y′(λ,λ′>0)的4个点x，y，y′，x′，推广了文献[9]的结果。

设f是[a，b]上的可积函数，a≤x<y≤y′<x′≤b，t∈[0,1]，λ,λ′>0，记当λx+λ′x′=λy+λ′y′时，可将H(t)和P(t)分别化为文献[11]中的H1(t)和P1(t)。

由文献[11]的引理1.2得在f为[a，b]上可微的凸函数，且λx+λ′x′=λy+λ′y′的情况下，文献[11]利用不等式给出了结果：(2)(3)(4)(6)本文的定理1给出式(2)～(6)的改进。

Hermite-Hadamard不等式的一些新的加细
马秀芬;孟开成
【期刊名称】《教育教学论坛》
【年(卷),期】2012(000)017
【摘要】Hermite-Hadamard不等式是经典的不等式之一,应用比较广泛。

关于Hermite-Hadamard不等式的推广、改进和加细等已有很多成果,大多数都是通过两边作差,研究其单调性。

而本文用不等式的性质对其进行研究,在有理数域上给出了Hermite-Hadamard不等式的无限加细（定理1.1）;进而推广到实数域,得出Her-mite-Hadamard不等式的另一种加细（定理1.2）。

【总页数】3页(P59-60,246)
【作者】马秀芬;孟开成
【作者单位】重庆师范大学涉外商贸学院数学与计算机学院,重庆401520;重庆师范大学涉外商贸学院数学与计算机学院,重庆401520
【正文语种】中文
【中图分类】G642
【相关文献】
1.Hermite-Hadamard不等式的一个推广与加细 [J], 时统业;尹亚兰;邓捷坤
2.基于凸函数积分性质的Hermite-Hadamard不等式的加细 [J], 时统业;李军;
3.基于单调函数的Hermite-Hadamard不等式的加细 [J], 时统业
4.调和凸函数及其Hermite-Hadamard型不等式的加细 [J], 黄永忠;吴洁;韩志斌
5.基于单调函数的Hermite-Hadamard不等式的加细 [J], 时统业
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一类推广的 Hermite-Hadamard 不等式柏传志;杨丹丹【摘要】We establish some Hermite-Hadamard type inequalities involving Riemann-Liouville fractional in-tegrals for s-(β,m)-convex functions including triple differentiable mappings .Our results extend some recent known results .%建立了涉及带三阶导数的s-（β，m）-凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分Hermite-Hadamard型不等式。

所得结果推广了已有的相关结论。

【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(015)004【总页数】7页(P283-289)【关键词】Hermite-Hadamard 型不等式;Riemann-Liouville分数阶积分;s-(β,m)-凸【作者】柏传志;杨丹丹【作者单位】淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300;淮阴师范学院数学科学学院，江苏淮安 223300【正文语种】中文【中图分类】O178经典的Hermite-Hadamard不等式有很多推广,其中主要思路是拓广不等式中的函数类．最近,Odemir等人将(s,m)-凸的概念[1]推广到下面的s-(β,m)-凸[2]:定义1 函数f:[0,∞)→(-∞,+∞),如果∀x,y∈[0,∞)及μ∈[0,1],下列不等式成立:,Odemir等人[2]利用下列涉及二阶导数的两个积分等式,建立了包含m-凸函数及(s,m)-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式．最近涉及m-凸函数及(s,m)-凸函数的一些相关的研究，见文[3-6]．引理1[3] 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微.如果f″∈L[a,b],则t.引理2[1] 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微,且m∈(0,1].如果f″∈L[a,b],则t.文[4]推广了引理1,获得了下列涉及二阶导数的Riemann-Liouville型分数阶积分等式:引理3[4] 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上二次可微. 如果f″∈L[a,b], 则t.受上述研究工作的启发,本文的目的是推广现有的工作,建立了涉及带s-(β,m)-凸函数的Riemann-Liouville分数阶积分的Hermite-Hadamard型不等式.引理4 设f:[a,b]→R在开区间(a,b)上三次可微.若f‴∈L[a,b], α∈R+,则‴证明由引理3, 只需证‴(a).‴(ta+(1-t)b)dt=‴(ta+(1-t)b)dt=‴(ta+(1-t)b)dt‴‴(ta+(1-t)b)dt为方便起见,引进记号引理5 设p>1, α∈R+, 则不等式成立:|证明接下来，将证明分为3个步骤.步骤1：令h(t)=1+(1-t)α+2-tα+2-(α+2)th′(t)=-(α+2)[(1-t)α+1+tα+1+1]<0,h(t*)=0, h(t)>0,t∈[0,t*), h(t)<0, t∈(t*,1].步骤2：易得步骤3：由式(8), 得到|h(t)||||k(t)|pdt=.定理1 假设f:[na,mb]→R是一个三次可微映射,且na<mb.若|f‴|q是可测的,并且在[na,mb]上对于某个固定的q≥1是s-(β,m)-凸的,(βs,m)∈(0,1]2,α∈R+,则[|f‴(na)|qI1+m|f‴,,|f″(na)|证明情形1：假设q=1.由引理4,有.|f‴(tna+(1-t)mb)|≤tβs|f‴(na)|+m(1-tβs)|f‴(b)|.||≤||[tβs|f‴(na)|+m(1-tβs)|f‴(b)|]dt+I2≤情形2：假设q>1. 由引理4, 幂q的中值不等式,有|k(t)f‴(tna+m(1-t)b)|dt≤|k(t)||k(t)f‴|f‴(tna+(1-t)mb)|q≤tβs|f‴(na)|q+m(1-tβs)|f‴(b)|q|k(t)||k(t)f‴|k(t)|注1 在定理1中, 假设s=β=n=m=1, 式(11)将化简为[|f‴m|f‴|f″(a)|.定理2 假设f:[na,mb]→R,na<mb. 若|f‴|q是可测的, 且对于某个固定的q>1在[na,mb]上是s-(β,m)-凸的, (βs,m)∈(0,1]2,α∈R+, 则当有||≤.证明由引理4, Holder’s不等式, 有|k(t)f‴(tna+(1-t)mb)||f″(na)|≤.|.|f‴(tna+m(1-t)b)|qdt≤|f‴|f‴|f‴|f‴(b)|q.注2 若s=m=β=n=1,不等式简化为|f″(a)|.定理3 假设f:[na,mb]→R, na<mb. 若|f‴|q是可测的, 且对于某个固定的q>1在[na,mb]上是s-(β,m)-凸的, (βs,m)∈(0,1]2,α∈R+, 则m|f‴证明由引理4,应用Holder’s不等式, 有|f″(na)|≤||注3 在定理3中, 若选择s=m=β=n=1, 则不等式(19)化为|f‴|f″(a)|.【相关文献】[1] Muddassar M, Bhatti A I, Irshad W.Generalisations of integral inequalities of the type of Hermite-Hadamard through convexity[J].Bull Aust Math Soc,2013 (88):320-330.[2] Odemir M, Avci M, Kavurmaci H.Hermite-Hadamard-type inequalities via (s,m)-convexity[J].Comput Math Appl,2011(61):2614-2620.[3] Odemir M E, Avci M, Set E.On some inequalities of Hermite-Hadamard type via m-convexity[J].Appl Math Lett,2010(23):1065-1070.[4] Wang J, Li X, Feckan M, etal.Hermite-Hadamard-type inequalities for Riemann-Liouville fractional integrals via two kinds of convexity[J].Appl Anal,2013(10):2241-2253.[5] Sarikaya M Z, Set E, Yaldiz H, etal.Hermite-Hadamard's inequalities for fractional integrals and related fractional inequalities[J].Math Comput Model,2013(57):2403-2407.[6] Gao Z, Li M, Wang J.On some fractional Hermite-Hadamard inequalities via s-convex and s-Godunova-Levin functions and their applications[J].Bol Soc Mat Mex, DOI10.1007/s40590-016-0087-9.[7] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam: Elsevier Science B V,2006.[8] Miller K S, Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations[M].New York: John Wiley & Sons,1993.[9] Podlubny I.Fractional Differential Equations[M].San Diego: Academic Press,1999.。