2019高考数学一轮复习课时规范练46圆的方程理新人教A版

第3讲 圆的方程1．(2016年新课标Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2 2．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.5＋3 B ．6 5＋14C ．－5＋3D ．－6 5＋143．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 24．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的方程为______________________．5．(2015年新课标Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．6．(2016年浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．7．(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________．8．已知圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，则圆C 的标准方程为____________________．9．(2013年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．10．(2014年新课标Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C交于A ，B 两点，线段AB 的中点为点M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．11．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．第3讲 圆的方程 1．A 解析：由x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0配方，得(x －1)2＋(y －4)2＝4，所以圆心坐标为(1,4)，半径r ＝2.因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，所以|a ＋4－1|a 2＋12＝1.解得a ＝－43.故选A. 2．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即－22＋12＋3＝5＋3.故选A.3．D 解析：由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0.整理，得a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 b a ×2a b＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．2＜m ＜4 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1 解析：∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)＞0.∴2＜m ＜4，当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 解析：设圆心为(a,0)，则半径为4－a .则(4－a )2＝a 2＋22.解得a ＝32.故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. 6．(－2，－4) 5 解析：由题意，得a 2＝a ＋2，所以a ＝－1或2.当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5，a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不表示圆． 7．(x －1)2＋y 2＝2 解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝1－22＋0＋12＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.8．(x －2)2＋(y －1)2＝4 解析：因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以设圆心为(2a ，a )．因为圆C 与y 轴的正半轴相切，所以a >0，r ＝2a .又因为圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，所以a 2＋(3)2＝(2a )2，所以a ＝1.则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1.∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1.∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.10．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13. 故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0. 则点O 到直线l 的距离为d ＝|－8|12＋32＝4105. 又点N 到直线l 的距离为|1×1＋3×3－8|10＝105， 则|PM |＝2 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1052＝4105. 所以S △POM ＝12×4105×4105＝165. 11．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )，令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0，且Δ＞0，解得b ＜1，且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，且x 2＋Dx ＋F ＝0这与x 2＋2x ＋b ＝0，是同一个方程，故D＝2，F ＝b .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入，得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)×1＋b ＝0，右边＝0.所以圆C 必过定点(0,1)．同理可证圆C 必过定点(－2,1)．。

2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A 版必修2基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D 2＋E 2－4F>0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形．已知点M(x 0，y 0)和圆的方程x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆的方程？ 答案：A ＝C≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中的系数A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0． 解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73， 展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |； (3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C ) A ．两直线 B ．圆 C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)，5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)． 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________． 解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π. 答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12，化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089，故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆，它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089.巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根． 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )， A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上， ∴有2x 0－3y 0＋5＝0. 又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0， 化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D，E，F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。

课时作业(四十八) [第48讲 圆的方程][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．圆心在(2，－1)且经过点(－1,3)的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝25B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝52．直线y ＝x ＋b 平分圆x 2＋y 2－8x ＋2y ＋8＝0的周长，则b ＝( )A ．3B ．5C ．－3D ．－53．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝04．[2011·厦门质检] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点与圆x 2＋y 2＋mx －4＝0的圆心重合，则m 的值是________．能力提升5．[2011·安徽卷] 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－36．一条线段AB 长为2，两端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 的中点的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．圆D ．半圆7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，则光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )A ．30＋226B ．30＋426C ．30＋213D ．30＋4139．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2)10．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋43y ＝0的圆心到直线x ＋3y ＝0的距离是________．11．[2011·江西九校联考] 经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2的圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．12．在平面区域⎩⎨⎧2≤x ≤4，0≤y ≤2内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________________________________________________________________________．13．[2011·牡丹江一中期末] 点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA →·PB →的取值范围．15．(13分)点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P 、Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．难点突破16．(1)(6分)若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________．(2)(6分)圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0课时作业(四十八)【基础热身】1．A [解析] 因为圆的圆心为(2，－1)，半径为r ＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25.故选A.2．D [解析] 圆心为(4，－1)，由已知易知直线y ＝x ＋b 过圆心，所以－1＝4＋b ，所以b ＝－5.故选D.3．B [解析] 由圆的几何性质知，弦PQ 的中点与圆心的连线垂直于弦PQ ，所以直线PQ 的斜率为－12，所以方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选B.4．－2 [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以－m 2＝1，得m ＝－2.【能力提升】5．B [解析] 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆的圆心(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.6．C [解析] 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AB 的中点到原点的距离总等于1，所以AB 的中点轨迹是圆，故选C.7．D [解析] A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.8．B [解析] (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1,1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.9．B [解析] 如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－5.故选B.10．2 [解析] 圆C 的圆心是C (2，－23)，由点到直线的距离公式得|2－23×3|1＋3＝2.11．x －2y －3＝0 [解析] 圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为12，所以直线方程为y＋1＝12(x －1)，即x －2y －3＝0.12．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3,1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.13．[2－1，＋∞) [解析] 令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m ≥－x －y ＝－1－(sin θ＋cos θ)＝－1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1. 14．[解答] (1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|－4|1＋3＝2， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得，(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎨⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1，所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．15．[解答] (1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.【难点突破】 16．(1)(0，－1) (2)D [解析] (1)将圆的方程化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24，因为r 2＝1－3k 24≤1，所以k ＝0时r 最大，此时圆心为(0，－1)．(2)抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－12，圆与抛物线的准线及x 轴都相切，则圆心在直线y ＝x ＋12(y >0)上，与y 2＝2x (y >0)，联立可得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，半径为1，则方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0，故选D.。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

课时跟踪训练(四十六) 圆的方程[基础巩固]一、选择题1．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中高三测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.[答案] D2．(2017·江西南昌检测)直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0[解析] 在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于x 轴的对称点P ′(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0，故选A.[答案] A3．(2017·山西忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．x －2y ＝0C ．2x －y －3＝0D ．2x －y ＋3＝0[解析] 因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l 对称，所以直线l 的斜率为2，且直线l 过点(2,1)，故选C.[答案] C4．(2018·河北师大附中)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围为( )A ．{k |k ≠±5且k ≠1}B ．{k |k ≠±5且k ≠－10}C ．{k |k ≠±1且k ≠0}D ．{k |k ≠±5}[解析] 三条直线围成一个三角形，则三条直线互不平行，且不过同一点，∴－k ±5≠0，且5×1－k －15≠0，∴k ≠±5且k ≠－10.故选B.[答案] B5．若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限，则m 的取值范围是( )A ．{m |m <2}B.⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m >32C.⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <－32D.⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<m <2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2m ＋1，2x ＋3y ＝m ，得x ＝2m ＋37，y ＝3m －621＝m －27.∵其交点在第四象限，∴2m ＋37>0，且m －27<0.解得－32<m <2.[答案] D6．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B.21313 C.52613 D.72010 [解析] 由题意知，m ＝2，把3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，则两平行线间的距离为d ＝|1－－62＋22＝72010. [答案] D 二、填空题7．直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．[解析] 直线l 1：3x －3y ＋23＝0，直线l 2：3x ＋y －23＝0，联立方程组可求得x ＝1，y ＝ 3.[答案] (1，3)8．直线2x －y －4＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π4所得直线的方程是________．[解析] 由已知得所求直线过点(0，－4)，且斜率k ＝2＋tan45°1－2tan45°＝－3，故所求直线的方程为y ＋4＝－3x ，即3x ＋y ＋4＝0.[答案] 3x ＋y ＋4＝09．过点P (－4,2)，且到点(1,1)的距离为5的直线方程为__________________． [解析] 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x ＋4)，即kx－y ＋4k ＋2＝0，由点到直线的距离公式得|k －1＋4k ＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝125，此时直线方程为12x －5y ＋58＝0.当直线的斜率不存在时，x ＝－4也满足条件．综上可知所求直线方程为12x －5y ＋58＝0或x ＝－4.[答案] 12x －5y ＋58＝0或x ＝－4 三、解答题10．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.[能力提升]11．(2017·武汉调研)在直角坐标系中，过点P (－1,2)且与原点O 距离最大的直线方程为( )A ．x －2y ＋5＝0B ．2x ＋y ＋4＝0C ．x －3y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0[解析] 所求直线过点P 且与OP 垂直时满足条件，因为直线OP 的斜率为k OP ＝－2，故所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0，选A.[答案] A12．(2017·湖北孝感五校4月联考)已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)[解析] 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－－·(x ＋4)，即x－3y ＋10＝0.联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.[答案] C13．(2017·湖南岳阳二模)已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且 Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( )A.92B.94C ．1D ．9 [解析] 因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，∴－2＋－m2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.[答案] B14．过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．[解] 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB |＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2－48k －7＝0，解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.。

课时作业(四十五)B [第45讲 圆的方程][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．圆(x －3)2＋(x ＋1)2＝2的圆心和半径分别为( ) A ．(－3,1)，2 B ．(－3,1)， 2 C ．(3，－1)， 2 D ．(3，－1)，22．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝53．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为( ) A ．2 2 B.2－1 C ．22－1 D ．14．若原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝8的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．－22<m <2 2 B ．0<m <2 2 C ．－2<m <2 D ．0<m <2 能力提升5．[2011·y 2－1)＝0所表示的曲线图形是( )6．曲线x 2＋y 2＋22x －22＝0关于( ) A ．直线x ＝2轴对称 B ．直线y ＝－x 轴对称 C ．点(－2，2)中心对称 D ．点(－2，0)中心对称7．一动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点轨迹是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C.⎝⎛⎭⎫x ＋322＋y 2＝1 D ．(2x －3)2＋4y 2＝1 8．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( ) A ．(－23，4) B ．[－23，4] C ．[－4,4] D ．[－4,23]9．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|PA |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是________．10．在圆x 2＋y 2＝9上，到直线3x ＋4y ＋24＝0的距离最小的点的坐标是________． 11．已知对于圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋(m －2)x ＋(m ＋1)y ＋m －2＝0，根据下列条件确定实数m 的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．(1)圆的面积最小；(2)圆心距离坐标原点最近．难点突破13．(12分)已知定点A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，动点P 满足：AP →·BP →＝k |PC →|2. (1)求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；(2)当k ＝2时，求|2AP →＋BP →|的最大、最小值．课时作业(四十五)B【基础热身】1．C [解析] 圆心坐标为(3，－1)，半径为 2. 2．A [解析] 把x ，y 分别换成－x ，－y 即得．3．C [解析] 圆心(－2,1)到已知直线的距离为d ＝22，圆的半径为r ＝1，故所求距离d min ＝22－1.4．C [解析] 依题意，得m 2＋m 2<8，∴－2<m <2. 【能力提升】5．C [解析]x －1lg(x 2＋y 2－1)＝0等价于x －1＝0，或者lg(x 2＋y 2－1)＝0，即等价于x ＝1或x ≥1且x 2＋y 2＝2.选项C 中的图形正确．6．D [解析] 把x 2＋y 2＋22x －22＝0化为(x ＋2)2＋y 2＝2＋22，可知，该曲线为圆，选项中两条直线都不经过圆心，所以只有关于圆心对称．7．D [解析] 设圆上任意一点为A (x ′，y ′)，AB 的中点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋x ′2，y ＝y ′2，即⎩⎨⎧x ′＝2x －3，y ′＝2y ，由于A (x ′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，所以满足x ′2＋y ′2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1.8．B [解析] 由于y ≥0，∴x 2＋y 2＝4表示上半圆，又3x ＋y －m ＝0是直线(如图)，且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2,0)时，m ＝－2 3.∴⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．9.⎝⎛⎭⎫185，245 [解析] 设P (x 0，y 0)，则|PA |2＋|PB |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2，显然x 20＋y 20的最大值为(5＋1)2，∴d max ＝74，此时OP →＝－6PC →，结合点P 在圆上，解得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫185，245.10.⎝⎛⎭⎫－95，－125 [解析] 由于直线和圆相离，过圆心O 作直线OQ ⊥直线3x ＋4y ＋24＝0，交圆于点Q ，则点Q 即为所求点，设Q 点坐标为(x ，y )，则k OQ ＝y x ＝43①，又Q 在圆上，∴x 2＋y 2＝9②，由①②解得x ＝－95，y ＝－125，即所求的点的坐标为⎝⎛⎭⎫－95，－125. 11．[2－1，＋∞) [解析] 方法1：不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立等价于－m ≤x ＋y 恒成立，等价于－m ≤[x ＋y ]min ，令t ＝x ＋y ，由于点P 在圆上，故圆心到直线的距离不大于圆的半径，即|1－t |2≤1，解得1－2≤t ≤1＋2，即－m ≤1－2，故m ≥2－1.∴m 的取值范围是[2－1，＋∞)．方法2：设点P 的坐标为(cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)． ∴x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.∵x ＋y ＋m ≥0恒成立，∴cos θ＋sin θ＋1＋m ≥0恒成立，即m ≥－(sin θ＋cos θ＋1)恒成立．∴只需m 不小于－(sin θ＋cos θ＋1)的最大值．令u ＝－(sin θ＋cos θ)－1＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1，∴u max ＝2－1，即m ≥2－1.∴m 的取值范围是[2－1，＋∞)．12．[解答] (1)因为(m －2)2＋(m ＋1)2－4(m －2)＝2m 2－6m ＋13＝2⎝⎛⎭⎫m －322＋172>0恒成立，无论m 为何值，方程总表示圆．圆心坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2－m2，－m ＋12，圆的半径为r ＝122m 2－6m ＋13.圆的半径最小时，面积最小， r ＝122m 2－6m ＋13＝122⎝⎛⎭⎫m －322＋172≥344， 当且仅当m ＝32时，等号成立，此时面积最小．所以当圆的面积最小时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫14，－54，半径r ＝344.(2)圆心到坐标原点的距离d ＝122⎝⎛⎭⎫m －122＋92≥324.当且仅当m ＝12时，距离最近．此时，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，－34，半径r ＝424.【难点突破】13．[解答] (1)设动点坐标P 为(x ，y )，则AP →＝(x ，y －1)，BP →＝(x ，y ＋1)，PC →＝(1－x ，－y )． 因为AP →·BP →＝k |PC →|2，所以x 2＋y 2－1＝k [(x －1)2＋y 2]，即(1－k )x 2＋(1－k )y 2＋2kx －k －1＝0.若k ＝1，则方程为x ＝1，表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线；若k ≠1，则方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 1－k 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k 2，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，0为圆心，以1|1－k |为半径的圆．(2)当k ＝2时，方程化为(x －2)2＋y 2＝1，因为2AP →＋BP →＝(3x,3y －1)， 所以|2AP →＋BP →|＝9x 2＋9y 2－6y ＋1.又x 2＋y 2＝4x －3，所以|2AP →＋BP →|＝36x －6y －26. 方法1：问题归结为求6x －y 的最值，令t ＝6x －y ， 由于点P 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，故圆心到直线t ＝6x －y 的距离不大于圆的半径， 即|12－t |37≤1，解得12－37≤t ≤12＋37，结合|2AP →＋BP →|＝36x －6y －26，得|2AP →＋BP →|的最大值为46＋637＝3＋37， 最小值为46－637＝37－3.方法2：因为(x －2)2＋y 2＝1，所以令x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， 则36x －6y －26＝637cos(θ＋φ)＋46∈[46－637，46＋637]． 所以|2AP →＋BP →|的最大值为46＋637＝3＋37， 最小值为46－637＝37－3.。

课时作业(四十七) [第47讲圆地方程] [时间：45分钟分值：100分] 基础热身1．圆心在(2，－1)且经过点(－1，3)地圆地标准方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋2)2＋(y－1)2＝25C．(x－2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋2)2＋(y－1)2＝52．直线y＝x＋b平分圆x2＋y2－8x＋2y＋8＝0地周长，则b＝( )A．3 B．5C．－3 D．－53．若PQ是圆x2＋y2＝9地弦，PQ地中点是(1，2)，则直线PQ地方程是( )A．x＋2y－3＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＝04．已知抛物线y2＝4x地焦点与圆x2＋y2＋mx －4＝0地圆心重合，则m地值是________．能力提升5．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y ＝0地圆心，则a地值为( )A．－1 B．1C．3 D．－36．一条线段AB长为2，两端点A和B分别在x 轴和y轴上滑动，则线段AB地中点地轨迹是( )A．双曲线B．双曲线地一支C．圆D．半圆7．一条光线从点A(－1，1)出发，经x轴反射到⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上，则光走过地最短路程为( )A．1 B．2C．3 D．48．实数x、y满足x2＋(y＋4)2＝4，则(x－1)2＋(y－1)2地最大值为( )A．30＋226B．30＋426C．30＋213D．30＋4139．已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x －1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积地最大值与最小值分别是( )A．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5)C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 10．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋43y ＝0地 圆心到直线x ＋3y ＝0地 距离是________．11． 经过圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2地 圆心，且与直线2x ＋y ＝0垂直地 直线方程是________．12．在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤x ≤4，0≤y ≤2内有一个最大地圆，则这个最大圆地 一般方程是________________________________________________________________________．13． 点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 地 坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 地 取值范围是________．14．(10分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心地圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O地方程；(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内地动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA→·PB→地取值范围．15．(13分)点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上地定点，点B(1，1)是圆内一点，P、Q为圆上地动点．(1)求线段AP地中点地轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ地中点地轨迹方程．难点突破16．(12分) 已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P地轨迹为曲线C，求此曲线地方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|地最小值．课时作业(四十七)【基础热身】1．A [解析] 因为圆地圆心为(2，－1)，半径为r＝(2＋1)2＋(－1－3)2＝5，所以圆地标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝25.故选A.2．D [解析] 圆心为(4，－1)，由已知易知直线y＝x＋b过圆心，所以－1＝4＋b，所以b＝－5.故选D.3．B [解析] 由圆地几何性质知，弦PQ地中点与圆心地连线垂直于弦PQ，所以直线PQ地斜率为－12，所以方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0，故选B.4．－2 [解析] 抛物线y 2＝4x 地 焦点为(1，0)，所以－m 2＝1，得m ＝－2. 【能力提升】5．B [解析] 圆地 方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线经过圆地 圆心(－1，2)，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.6．C [解析] 由直角三角形斜边上地 中线等于斜边地 一半，得AB 地 中点到原点地 距离总等于1，所以AB 地 中点轨迹是圆，故选C.7．D [解析] A (－1，1)关于x 轴地 对称点B (－1，－1)，圆心C (2，3)，所以光走过地 最短路程为|BC |－1＝4.8．B [解析] (x－1)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y ＋4)2＝4上动点(x，y)到点(1，1)距离d地平方，因为26－2≤d≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.9．B [解析] 如图，圆心(1，0)到直线AB：2x－y＋2＝0地距离为d＝45，故圆上地点P到直线AB地距离地最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB|＝5，故△PAB面积地最大值和最小值分别是2＋52，2－52.故选B.10．2 [解析] 圆C地圆心是C(2，－23)，由点到直线地距离公式得|2－23×3|1＋3＝2.11．x－2y－3＝0 [解析] 圆心为(1，－1)，所求直线地斜率为12，所以直线方程为y＋1＝12(x－1)，即x－2y－3＝0.12．x2＋y2－6x－2y＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形地内切圆，圆心是(3，1)，半径为1，得圆地方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－6x－2y＋9＝0.13．[2－1，＋∞) [解析] 令x＝cosθ，y＝1＋sinθ，则m≥－x－y＝－1－(sinθ＋cosθ)＝－1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1.14．[解答] (1)依题设，圆O 地 半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4地 距离，即r ＝|－4|1＋3＝2， 所以圆O 地 方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2，0)，B (2，0)．设P (x ，y )，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列得， (x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2，由此得y 2<1，所以PA →·PB →地 取值范围为[－2，0)．15．[解答] (1)设线段AP 地 中点为M (x ，y )， 由中点公式得点P 坐标为P (2x －2，2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 地 中点地 轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设线段PQ 地 中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ地中点地轨迹方程为x2＋y2－x－y －1＝0.【难点突破】16．[解答] (1)设点P地坐标为(x，y)，则(x＋3)2＋y2＝2(x－3)2＋y2，化简得(x－5)2＋y2＝16，即为所求．(2)由(1)知曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径地圆，如图．设直线l2是此圆地切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|地最小值为32－16＝4.。

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.掌握确定圆的几何要素． 2.掌握圆的标准方程与一般方程.圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如2012年江苏T12等. [归纳·知识整合] 1．圆的定义 (1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． (2)确定一个圆的要素是圆心和半径． 2．圆的方程 (1)标准方程 两个条件：圆心(a，b)，半径r； 标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆的一般方程 一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； 方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0； 圆心坐标，半径r＝. [探究]　1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示： 3．点与圆的位置关系 (1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆上； (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点在圆外； (x0－a)2＋(y0－b)2<r2点在圆内． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( ) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：选D　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是( ) A．－1<k<4 B．－4<k<1 C．k1 D．k4 解析：选D　由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k4. 3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( ) A．－10)， 则 解得D＝－4，E＝－2，F＝－5. 所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为＝，故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. [答案]　(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)　(2)(x＋1)2＋y2＝2 ——————————————————— 求圆的方程的两种方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： 几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量． 1．求下列圆的方程： (1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)． 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有 解得a＝1，b＝－4，r＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为 y＋2＝x－3. 与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)， 所以半径r＝＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 则 解得D＝－2，E＝－4，F＝－95， 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11)， kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0. 同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 联立得 即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100. 与圆有关的最值问题 [例2]　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． [自主解答]　(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±. 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 本例条件不变，求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值． 解：圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝， P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为＋，最小值为－. ——————————————————— 与圆有关的最值问题及解题方法 (1)形如u＝型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题； ?2?形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；?3?形如?x－a?2＋?y－b?2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题. 2．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是多少？ 解：由题意知，r2＝＝， 所以当m＝－1时，r＝，所以Smax＝πr2＝π. 与圆有关的轨迹问题 [例3]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． [自主解答]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. ——————————————————— 求轨迹方程的一般步骤 (1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x，y)； (2)列式：列出几何等式； (3)坐标化：用坐标表示得到方程； (4)化简：化简几何等式得到的方程； (5)证明作答：除去不合题意的点，作答． 3．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程． 解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心． 由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)， 则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式得， 则 代入x2＋y2＝1，整理得，所求轨迹方程为 2＋y2＝(y≠0)． 1种方法——待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； (2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 3个性质——常用到的圆的三个性质 在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任意一弦的垂直平分线上； (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 创新交汇——高考中与圆有关的交汇问题 1．近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点．圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题． 2．对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题． [典例]　(2011·江苏高考)设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，yR}．若A∩B≠，则实数m的取值范围是________． [解析]　由题意知A≠，则≤m2，即m≤0或m≥.因为A∩B≠，则有： (1)当2m＋1<2，即m2，即m>1时， 圆心(2,0)到直线x＋y＝2m的距离为d2＝≤|m|， 化简得m2－4m＋2≤0， 解得2－≤m≤2＋， 所以10，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为( ) A．4 B．2 C．1 D. 解析：选C　圆C的圆心坐标为(－4，－1)， 则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4. 所以ab＝(4a·b)≤2＝×2＝1. 当且仅当a＝，b＝2时取等号． 2．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________． 解析：由点P在平面区域 上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示． 记Q所在曲线的圆心为点M(0，－2)，又(－1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(－1,0)与M的连线垂直于阴影区域的下边界．因此，|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1. 答案：－1 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0的相切，则a的值为( ) A．± B．±5 C．3 D．±3 解析：选B　圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以＝，即a＝±5. 2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是( ) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 解析：选C　因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心，从而－＋3＝0，即m＝6. 3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：选B　设P(x，y)，由题意知有，(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π. 4．(2012·广州模拟)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( ) A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 解析：选D　设圆心为(a,0)(a0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是( ) A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0 C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－x－2y＋＝0 解析：选D　抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋(y>0)上，与y2＝2x(y>0)，联立可得圆心的坐标为，半径为1，则方程为2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋＝0. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·开封模拟)若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是________． 解析：由圆的几何性质知kPQkOM＝－1.kOM＝2， kPQ＝－，故直线PQ的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 8．(2013·金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB＝，则该圆的标准方程是________． 解析：依题可设C：(x－1)2＋(y－b)2＝1(b>0)，且2＋b2＝1，可解得b＝， 所以C的标准方程为(x－1)2＋2＝1. 答案：(x－1)2＋2＝1 9．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合A，则称A为一个开集，给出下列集合： ；； ； . 其中是开集的是________(请写出所有符合条件的序号)． 解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)， 由开集的定义知，集合A应该无边界，故由表示的图形知，只有符合题意． 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程． 解：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6， 其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23. 又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，即5x＋7y－50＝0上， 则解得圆心为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37. 11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)， 直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)则由P在CD上得a＋b－3＝0. 又直径|CD|＝4，|PA|＝2. (a＋1)2＋b2＝40. 由解得或 圆心P(－3,6)或P(5，－2)． 圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 12．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切． (1)求圆O的方程； (2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围． 解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线 x－y＝4的距离，即r＝＝2， 所以圆O的方程为x2＋y2＝4. (2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)． 设P(x，y)，则|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得， · ＝x2＋y2， 即x2－y2＝2. ·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)， 由于点P在圆O内，故 由此得y2<1，所以·的取值范围为[－2,0)． 1．一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2＋8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 解析：选C　设圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2＋8x＋12＝0的圆心为O1(－4,0)，O′为动圆的圆心，r为动圆的半径，则|O′O1|－|O′O|＝(r＋2)－(r＋1)＝1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 2．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________． 解析：过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，kCM＝＝1，最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案：x＋y－1＝0 3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝2，过点A(－1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为13的两段圆弧，则直线l的方程为________． 解析：设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，圆心C(1,0)到直线l的距离为，因为直线l将圆C分成弧长之比为13的两段圆弧，所以直线l被圆所截得的弦所对的圆心角为，又圆C的半径为，所以 cos＝，得k2＝，即k＝±， 故直线l的方程为y＝(x＋1)或y＝－(x＋1)． 答案：y＝(x＋1)或y＝－(x＋1) 4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大值、最小值及对应的P点坐标． 解：若设P(x0，y0)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2，欲求d的最值，只需求w＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求． 设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点， 则wmin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2， 此时dmin＝2×16＋2＝34，P1； wmax＝(|OC|＋1)2＝36＝|OP2|2， 此时dmax＝2×36＋2＝74，P2.。

课时练46 圆的方程1.(2019浙江绍兴模拟,5)已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是( ) A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0)D.(0,-1)2.(2019江西南昌八中、二十三中、十三中联考,7)圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A (-3,0)和B (1,0)的圆的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+(y+1)2=√5C.(x-1)2+(y+1)2=5D.(x+1)2+(y-1)2=√53.(2019福建宁德模拟,6)已知点M (3,1)在圆C :x 2+y 2-2x+4y+2k+4=0外,则k 的取值范围为( ) A.(-6,12)B.(-∞,-6)∪(12,+∞) C.(6,+∞)D.(-∞,12)4.(2019河南林州一中模拟,5)已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( ) A.12√2 B.3√2C.6√2D.4√25.(2019安徽天长模拟,8)如果圆(x-a )2+(y-a )2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,则实数a 的取值范围为( ) A.[√2,2] B.[√2,2√2] C.[1,√2]D.[1,2√2] 6.(2019浙江湖州模拟,4)若圆C 1:(x+2)2+(y-1)2=1与圆C 2关于原点对称,则圆C 2的方程是( ) A.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x-1)2+(y+2)2=1 C.(x-2)2+(y-1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=17.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .8.设点P 是函数y=-√4-(x -1)2图象上的任意一点,点Q 坐标为(2a ,a-3)(a ∈R ),则|PQ|的最小值为 .9.已知等腰三角形ABC ,其中顶点A 的坐标为(0,0),底边的一个端点B 的坐标为(1,1),则另一个端点C 的轨迹方程为 .10.已知圆M 与y 轴相切,圆心在直线y=12x 上,并且在x 轴上截得的弦长为2√3,则圆M 的标准方程为 .11.设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.-12,12 C.[-√2,√2]D.-√22,√2212.(2019安徽江南十校二联,14)已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,32),若点P满足OP=1,PA的中点为M,则BM的最大值为.13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求n-3m+2的最大值和最小值.14.(2019河北邢台模拟,18)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.15.如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)16.(2019宁夏石嘴山四模,14)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则1a+1+1b的最小值为.参考答案课时练46圆的方程1.D当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为(-k2,-1),半径为r=√4-3k22,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D.2.A由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=√(-1+3)2+(1-0)2=√5,则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.3.A∵圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1-2k,∴圆心坐标(1,-2),半径r=√1-2k,若M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则满足√(3-1)2+(1+2)2>√1-2k,且1-2k>0,即13>1-2k且k<12,即-6<k<12,故选A.4.A圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,且|BD|=2√32-1=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2,故选A.5.B(x-a)2+(y-a)2=1(a>0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为√2a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d∈[2,4],即2≤√2a≤4⇒√2≤a≤2√2,故选B.6.D由题意可得圆C1的圆心为(-2,1),半径为1,由对称性,关于原点对称的圆心(2,-1),半径也是1,∴圆C2的圆心为(2,-1),半径为1,∴圆C2的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.7.(x-1)2+y2=2由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为√(2-1)2+(-1-0)2=√2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.√5-2 函数y=-√4-(x -1)2的图象表示圆(x-1)2+y 2=4在x 轴上及下方的部分,令点Q 的坐标为(x ,y ),则{x =2a ,y =a -3,得y=x2-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=√1+(-2)=√5>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y 2=4相离,因此|PQ|的最小值是√5-2.9.x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)) 设C (x ,y ),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x 2+y 2=2.考虑到A ,B ,C 三点要构成三角形,因此点C 不能为(1,1)和(-1,-1). 所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 设圆M 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,由题意可得{12a -b =0,|a |=r ,b 2+3=r 2,解得{a =2,b =1,r =2或{a =-2,b =-1,r =2,所以圆M 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.A 如图所示,设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ,则点P 在圆O 上,且MP 与圆O 相切,而点M 在直线y=1上运动,圆上存在点N 使∠OMN=45°, 则∠OMN ≤∠OMP=∠OMA ,∴∠OMA ≥45°,∴∠AOM ≤45°. 当∠AOM=45°时,x 0=±1.∴结合图象知,当∠AOM ≤45°时,-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1]. 12.3 由A (4,0),B (0,32),OP=1,则P 点轨迹为x 2+y 2=1,设M (x ,y ),则P (2x-4,2y )⇒(2x-4)2+(2y )2=1⇒(x-2)2+y 2=14,M 的轨迹为圆心为D (2,0),半径为12的圆,故BM的最大值为|BD|+12=52+12=3.13.解 (1)由圆C :x 2+y 2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C 的坐标为(2,7),半径r=2√2.又|QC|=√(2+2)2+(7-3)2=4√2>2√2,所以点Q 在圆C 外,所以|MQ|max =4√2+2√2=6√2, |MQ|min =4√2-2√2=2√2.(2)由题意可知n -3m+2表示直线MQ 的斜率, 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2), 即kx-y+2k+3=0,则n -3m+2=k. 因为直线MQ 与圆C 有交点, 所以√1+k≤2√2,所以2-√3≤k ≤2+√3,所以n -3m+2的最大值为2+√3,最小值为2-√3.14.解 (1)因为圆M 的圆心M (-a ,a )在直线y=x 上,所以-a=a ,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M 相切,所以r=√3+4=3,故圆M 的方程为x 2+y 2=9.(2)由(1)知,圆心M (0,0),A (-3,0),B (3,0).设P (x ,y ),因为点P 在圆M 内,所以x 2+y 2<9.因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x 2+y 2=√(x +3)2+y 2·√(x -3)2+y 2, 所以2x 2-2y 2=9.因为直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2, 所以k 1=yx+3,k 2=yx -3, 则k 1k 2=y 2x 2-9=2x 2-92x 2-18=1+92x 2-18.因为{2x 2-2y 2=9,x 2+y 2<9,所以92≤x 2<274,所以-29<12x 2-18≤-19, 则-1<1+92x 2-18≤0.故k 1k 2的取值范围为(-1,0].15.①②④ 当-2≤x ≤-1,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆,当-1≤x≤1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为√2的1圆,当1≤x≤2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的1圆,当3≤x≤4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的1圆,∴函数y=f(x)的周期是4.画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.①根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.②由图象可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.16.1曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=√(x+6)2+(y-6)2,则d表示圆上的点到(-6,6)的距离,则d max=√(2+6)2+(0-6)2+5=15,∴t max=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,∴1 a+1+1b=141a+1+1b(a+1+b)=14×1+ba+1+a+1b+1.又ba+1+a+1b≥2√ba+1·a+1b=2当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号,∴1a+1+1 b ≥14×4=1,即1a+1+1b的最小值为1.。