中考数学复习第1部分基础过关第四单元三角形课时21锐角三角函数练习无解答

2020-2021中考数学锐角三角函数的综合复习附答案一、锐角三角函数1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝2263-（2）＝26，∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（3）米．在直角△BEQ中，333+3）=（3）米．∴3（3）3（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12 BM．∴BF=12PE，即BF1PE2=．（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．4．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ． （1）求证：直线CP 是⊙O 的切线． （2）若BC=2，sin ∠BCP=，求点B 到AC 的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC3，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋3∵∠MCF ＝30° ∴FC ＝3MF ，即x ＋203＝3 ( x －20) 解得：x ＝40331- ＝60＋203≈95m答：电视塔MN 的高度约为95m ．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.7．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F . (Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标； (Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H . ①求证BDE DBA ∆≅∆； ②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒. 【解析】【分析】(Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，5OB =，过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ， ∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =，∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-，在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF 为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB ，FO ⊥AB ，∴OA=12AB=2， ∴cos ∠BAF=OA AF =12， ∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时，同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.8．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.（1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO =，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，∴4BO =，又∵4ABO S ∆=， ∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =.故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒，∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，∴90POC ∠=︒，OP OC =，∴90POD EOC ∠+∠=︒，∴OPD EOC ∠=∠，∴POD OCE ∆≅∆，∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，∠ABE ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）92【解析】【分析】 （1）利用角平分线的性质得到∠OAE ＝∠DAE ，再利用半径相等得∠AEO ＝∠OAE ，等量代换即可推出OE ∥AD ，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°， 在Rt △ADE 中，AD=cos30°×AE 即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×32=33在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°3339 2 .【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.10．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

锐角三角函数培优练习一、课标导航二、核心纲要1.锐角三角函数的概念(1)定义:在Rt△ABC中，锐角 A的正弦、余弦和正切统称为锐角 A 的三角函数.(2)如下图所示，在Rt△ABC中, ∠C=90°,①正弦：锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作 sinA,即sinA=ac.②余弦：锐角 A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作 cosA,即cosA=bc.③正切：锐角 A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作 tanA,即tanA=ab.注：(1)锐角三角函数没有单位.(2)锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小和位置无关.(3)sinA是一个整体符号，即表示∠A的正弦，习惯省去角的符号“∠”，但不能写成 sin·A，三个大写字母表示一个角时，角的符号“∠”不能省略，如：sin∠BAC.(4)当0°<∠A<90°时, 0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0.2.特殊角的三角函数(注：特殊角的锐角三角函数值的记忆方法(1)数形结合记忆法如下左图、中图所示，由定义可得各角的三角函数值.(2)增减规律记忆法①sinα的值随α的增大而增大，依次为：√12,√22,√32.②cosα的值随α的增大而减小，依次为：√32,√22,12.③tanα的值随α的增大而增大，依次为：√33,1,√3.3.锐角三角函数之间的关系如下右图所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°.(1)互余关系:sinA=cos(90°-∠A)=cosB,cosA=sin(90°-∠A)=sinB.(2)平方关系: sin²A+cos²A=1.(3)倒数关系:tanA·tanB=1.(4)商数关系: tanA=sinAcosA.4.图形sin15°tan15°5.求三角函数值的常用方法①根据特殊角的三角函数值求值.②借助边的数量关系求值.③借助等角求值.④根据三角函数关系求值.本节重点讲解：一个概念，一个特殊值，一个方法.三、全能突破基础演练1.(1)在△ABC中,. ∠C=90∘,cosB=25,AB=15则 BC的长为( ).A.3√21B.3√29C.6D. 23(2)在 Rt△ABC中,∠C=90°,若 BC=1,AB= √5,则 tanA 的值为( ).,则A.√55B.2√55C. 12D.22.如图28-1-1 所示,菱形 ABCD的边长为10cm, DE⟂AB,sinA=35,则这个菱形的面积为( )cm².A. 40B. 60C. 80D.1003.在平面直角坐标系中,已知点 A(2,1)和点 B(3,0),则 sin∠AOB 的值等于( ).A.√55 B. 52C.√32D. 124.如图28-1-2 所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,若AC=2√3,AB=3√2,则tan∠BCD的值为( ).A./₂B./₂C.√63 D.√335.点 A(sin30°,-tan30°)关于原点对称的点 A ₁ 的坐标是 .6.在△ABC 中,若∠A 、∠B 满足 |cos (A −15∘)−12|+(sinB −√22)2=0,则∠C= .7.计算: cos 260∘+tan30∘sin60∘−(cos45∘−√2+cos30∘)∘+(sin30∘)−1−√tan45∘+3tan60∘.8.如图28-1-3 所示,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,CD ⊥AB,垂足为点 D,F 是. ⌢AC 的中点，OF 与AC 相交于点.E,AC=8cm,EF=2cm. (1)求 AO 的长. (2)求 sinC 的值.能力提升9.已知α为锐角，且 12<sinα<√22,则α的取值范围是( ).A.0°<α<30°B.60°<α<90°C.45°<α<60°D.30°<α<45° 10.直线y=2x 与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是( ). A.tanα=2 B.cotα=2 C.sinα=2 D.cosα=211.如图28-1-4 所示,在四边形 ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则 tanC 等于( ). A. 34 B. 43C. 35D. 4512.在 Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 的对边是a 、b,且满足 a²−ab −b²=0,则tanA=( ). A.1 B.√5+12 C.1−√52 D.1±√5213.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将图28-1-5 所示的矩形纸片 ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是( ). A.√3+1 B.√2+1 C.2.5 D. √514.(1)如图28-1-6 所示，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点都在图中相应的格点上，则 sin ∠A的值为 .(2)如图28-1-7 所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上,AB 、CD 相交于点 P,则tan ∠APD 的值是 .,AC=2,则cosB 的值为 .15.(1)如图 28-1-8 所示,⊙O是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O的直径,若⊙O的半径为32(2)如图28-1-9 所示,已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1,D、E 分别为AB、AC 的中点,则sin∠BAC的值等于线段的长.16.如图28-1-10所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB 的垂直平分线与BC、AB的交点分别为D、E.,求 AC的长和tanB的值.(1)若AD=10,sin∠ADC=45的值(用 sina和cosα的值表示).(2)若 AD=1,∠ADC=α,参考(1)的计算过程直接写出: tanα217.已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,关于x的一元二次方程( a(1−x²)+2bx+c(1+x²)=0有两个相等的实数根，且3c=a+3b.(1)判断△ABC的形状.(2)求 sinA·sinB 的算术平方根.18.当0<α<60时，下列关系式中有且仅有一个正确.A.2sin(α+30∘)=sinα+√3B.2sin(α+30∘)=2sinα+√3C.2sin(α+30∘)=√3sinα+cosα(1)正确的选项是 .(2)如图28-1-11(a)所示,在△ABC中,AC=1,∠B=30°,∠A=α,请利用此图证明(1)中的结论.(3)两块分别含45°和30°的直角三角板按图28-1-11(b)所示方式放置在同一平面内，.BD=8√2,求.S△A D C.中考链接19.(四川乐山改编)如图28-1-12所示,定义:在) Rt△ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作co tα,即根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot30°=.(2)已知tanA=34,其中∠A 为锐角,试求 cotA的值.(3)已知第一象限内的点 A 在反比例函数y=2x 的图像上，第二象限内的点 B 在反比例函数y=kx的图像上，且OA⟂OB,cotA=√33,直接写出k的值.20.(广东湛江改编)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30∘=12,cos30∘=√32,则. sin²30°+cos²30°=.①sin45∘=√22,cos45∘=√22,则: sin²45°+cos²45°=.②sin60∘=√32,cos60∘=12,则. sin²60°+cos²60°=.③观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有：sin²A+cos²A=.(1)如图28-1-13 所示，在锐角三角形 ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想.(2)已知:∠A 为锐角(cosA>0),且sinA=35,求 cosA.(3)在 Rt△ABC中,∠C=90°,且 sinA、cosA是关于x的方程3x²−mx+1=0的两根，m 为实数，则sin⁴A+cos⁴A=.巅峰突破21.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1,则 AC=( ).A.2+√3B.2−√3C.0.3D.√3−√222.如图28-1-14所示,在等腰直角三角形 ABC中,∠C=90°,D 为 BC 的中点,将△ABC折叠,使 A 点与 D 点重合,若 EF 为折痕,则 sin∠BED 的值为 , DEDF的值为 .基础演练1.(1)C (2)C2. B3. A4. B5.(−12,√33)6.60° 7.1 348.(1)∵F 是AC 的中点。

直角三角形和锐角三角函数【命题趋势】在中考中，直角三角形在中考常结合勾股定理、面积法在选择题、填空题考查.锐角三角形函数常在选择题、填空题考查，并且结合实际问题考查。

【中考考查重点】一、直角三角形的性质于判定二、锐角三角函数三、30°、45°、60°的三角函数值考点一：直角三角形的性质与判定1．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三性质 1. 两锐角之和等于90°2. 斜边上的中线等于斜边的一半3. 30°角所对的直角边等于斜边的一半4. 若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）5. 勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a ，b,斜边为c,则cb a 222=+判定1. 有一个角为90°的三角形时直角三角形2. 有两个角的和时90°的三角形是直角三角形3. 一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c 若满足，那么这个三角形为直角三角形。

面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高ch S 21ab 21==cb a 222=+块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4 2．（2021•商河县校级模拟）如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°3．（2020•南海区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．3B．4C．5D．6 4．（2021•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB 的距离为（）A．3B．4C．5D．2.45．（2021•黔东南州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC 为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（）A．B．C．D．5 6．（2021•荆州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB 于D，则CD的值为（）A．B．C．D．7．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺8．（2021•东胜区二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．cm B．13cm C．cm D．cm9．（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6考点二：锐角三角函数Rt▲ABC 在Rt▲ABC中，∠C-90°，∠A为▲ABC中一个锐角正弦∠A的正弦：余弦∠A的余弦：正切∠A的正切：30°、45°、60°的三角函数值10．（2021•腾冲市模拟）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC等于（）A．B．C．D．11．（2020•长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝12．（2018•呼和浩特）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i＝1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B 处测得山顶A 的仰角为33°，在斜坡D 处测得山顶A 的仰角为45°．求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）13．（2021•徐州）如图，斜坡AB 的坡角∠BAC ＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A ，过其另一端D 安装支架DE ，DE 所在的直线垂直于水平线AC ，垂足为点F ，E 为DF 与AB 的交点．已知AD ＝100cm ，前排光伏板的坡角∠DAC ＝28°． （1）求AE 的长（结果取整数）.（2）冬至日正午，经过点D 的太阳光线与AC 所成的角∠DGA ＝32°，后排光伏板的前端H 在AB 上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH 的最小值为多少（结果取整数）？ 参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．锐角A 三角函数 13°28°32°sin A 0.22 0.47 0.53 cos A 0.97 0.88 0.85 tan A0.230.530.621．（2021•福建模拟）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（ ）A．，，B．32，42，52C．D．0.3，0.4，0.52．（2021•太原三模）如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（）A．B．C．D．3．（2021•广州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为．4．（2020•黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B ＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3，则BD的长度为．5．（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝°．6．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．7．（2020•雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．8．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．9．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．10．（2021•东莞市校级一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝11．（2021•饶平县校级模拟）已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于．12．（2021•玉州区二模）附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5.②5，12，13.③7，24，25.④9，40，41.…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：．13．（2020•呼和浩特）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．（1）直接写出∠C的度数.（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）14．（2021•宜城市一模）在抗击“新冠病毒”期间，某路口利用探测仪对过往的物体进行检查，探测仪A测得某物体的仰角∠BAD＝35°，俯角∠DAC＝45°，探测仪到货物表面的距离AD＝3米，求货物高BC的长．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，结果精确到0.1）15．（2021•贵阳模拟）如图，建筑物AB后有一座小山，∠DCF＝30°，测得小山坡脚C点与建筑物水平距离BC＝25米，若山坡上E点处有一凉亭，且凉亭与坡脚距离CE＝20米，某人从建筑物顶端A点测得E点处的俯角为48°．（1）求凉亭到地面的距离.（2）求建筑物AB的高．（精确到0.1m）（参考数据：≈1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）1．（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（）A．2km B．3km C．km D．4km 2．（2019•朝阳）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°3．（2020•荆门）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为（）A．B．C．D．4．（2020•河南）如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C 为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（）A．6B．9C．6D．3 5．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4 6．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC 的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°7．（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．8．（2020•广西）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸9．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°10．（2020•苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他做了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α.（2）量得测角仪的高度CD＝a.（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A．a+b tanαB．a+b sinαC．a+D．a+1．（2021•平谷区一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．∠1+∠2＝90°B．∠2＝∠3C．∠1＝∠4D．∠1＝30°2．（2021•河南模拟）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个直尺如图放置，∠ACB ＝90°，点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D．若∠ABP ＝15°，AC＝6，则AD的长为（）A．B．8C．6D．6 3．（2021•坪山区一模）如图，在△ABC中，∠B＝90°，C是BD上一点，BC＝10，∠ADB＝45°，∠ACB＝60°，则CD长为（）A．10﹣B．10﹣10C．10﹣3D．10﹣10 4．（2021•长沙模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BP平分∠ABC，BP＝CP＝2，则AB的长为（）A．4B．6C．4D．4 5．（2021•广西模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（）A．4B．6C．8D．10 6．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N 在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．6 7．（2021•饶平县校级模拟）如图，在三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，三角形DEF 的周长是7，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝（）A．B．C．D．7 8．（2020•安徽模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC 边的中点，则点E到中线CD的距离EF的长为（）A．3B．4C．D．9．（2021•大荔县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（）A．8B．12C．18D．20 10．（2021•岳池县模拟）如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（）A．6B．6πC．10πD．12 11．（2021•威宁县模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A．12cm2B．18cm2C．22cm2D．36cm2 12．（2021•浙江模拟）如图，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点A爬到点B，圆周率π取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为（）A．6cm B．6cm C．2cm D．10cm13．（2021•双阳区一模）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图，他们在距离楼房35米的C处测得楼顶的仰角为α，则楼房AB的高为（）A．35sinα米B．35tanα米C．米D．米14．（2021•涪城区模拟）如图，小刚同学为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点5m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为（）m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）A．8.2B．9.1C．9.5D．10.3 15．（2021•河南模拟）如图，某小坡前有一幢楼房CD，坡脚A处离楼房底部D的距离为306m，斜坡AB的长度为195m，坡度i＝1：2.4，在坡顶B处观测到楼房顶部C 的俯角为20°，则楼房CD的高度是多少？（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364．结果精确到0.1m）。

微专题8 三角函数(一）三角函数与解直角三角形考点1锐角三角函数的定义1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,则 sin A 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.432.如图,边长为1的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上,cos ∠AED = .3.如图,在△ABC 中,CA=CB =4, cos C =14,则sinB 的值为 . 考点2 特殊角的三角函数值4.(1) sin 30°= ; cos 60°= ;tan 45"= ;(2)3sin 60"—2cos 30°—tan 60°= .5.在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,若|sinA 一22|+(32-cosB )2=0,则∠C = 度. 考点3 解直角三角形及其实际应用6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,AC=2,cosC =35.则AB 边的长为 .7.如图,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一座隧道(B,C 在同一水平面上),为了测量B ，C 两地之间的距离,某工程队员乘坐热气球从C 地出发垂直上升100m 到达A 处,在A 处观察B 地的俯角为30°,则B,C 两地间的距离为 m .8.如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港,然后再沿北偏西40°方向航行至C 港,C 港在A 港北偏东20°方向,则A,C 两港之间的距离为 km.DOB AECAC ABCB第1题图第2题图第3题图30°30°B CC A CAB AB 第6题图 第7题图 第8题图9.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AD.10.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1：1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1.(1)求新坡面的坡角α的度数;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由. :C BC微专题8 三角函数(一）三角函数与解直角三角形考点精练精练1锐角三角函数的定义1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =8,则 sin A 等于( A ) A.35 B.45 C.34 D.432.如图,边长为1的小正方形网格中, ⊙O 的圆心在格点上,cos ∠AED =255. 3.如图,在△ABC 中,CA=CB =4, cos C =14,则sinB 的值为104.精练2 特殊角的三角函数值4.(1) sin 30°=12; cos 60°=12;tan 45"= 1 ;(2)3sin 60"—2cos 30°—tan 60°= 32 .5.在△ABC 中,∠A ,∠B 为锐角,若|sinA 一22|+(32-cosB )2=0,则∠C =105度. 精练3 解直角三角形及其实际应用6.如图,在△ABC 中,∠B =30°,AC=2,cosC =35.则AB 边的长为165.DOB AECAC ABCB第1题图第2题图第3题图30°30°BC CACABAB第6题图第7题图第8题图7.如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B，C两地之间的距离,某工程队员乘坐热气球从C地出发垂直上升100m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地间的距离为.8.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为(30+km.9.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,求山高AD.解:设AD=x米,则BDx米.CD=AD=xx-x=100.解得：x=50.答:山高为（50）米.10.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为1：1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为1.(1)求新坡面的坡角α的度数;(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除?请说明理由. 解:(1)30°:(2)过点C作CD⊥AB于点D.则BD=CD=6.AD∴AB=AD-BD一6<8∴文化培PM不需要拆除．C B。

2021年中考数学 专题21 锐角三角函数及解直角三角形（基础巩固练习，共40个小题）一、选择题（共15小题）：1.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（ ）A ．1013√13B ．913√13C ．813√13D ．713√13【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC =√22+32=√13，∵S △ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3=3.5，∴12AC ⋅BD =72，∴√13⋅BD =7，∴BD =7√1313，故选：D ．2.（2019秋•龙岩期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，若EF ＝2，则DF ＝（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D【解析】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∠ACB＝30°，∴∠CED＝∠CDE=12∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE=12∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．3.（2020•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB=BCAB=（）A．35B．45C．√74D．34【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC=√42−32=√7，∴cosB=BCAB =√74．故选：C．4.（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sinB=bc，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；tanB=ba，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．故选：B．5．（2019•无锡）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA=23，BC＝4，则AB长为（）A．6 B．4√55C．83D．2√13【答案】A【解析】解：如图所示：∵sinA=23，BC＝4，∴sinA=BCAB =23=4AB，解得：AB＝6．故选：A．6.（2020•玉林）sin45°的值是（）A．12B．√22C．√32D．1【答案】B【解析】解：sin45°=√22．故选：B．7.（2020•鸡西）如图，在△ABC 中，sinB =13，tanC ＝2，AB ＝3，则AC 的长为（ ）A ．√2B ．√52C ．√5D ．2 【答案】B【解析】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，则∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵tanC ＝2=AD DC ，sinB =13=AD AB ， ∴AD ＝2DC ，AB ＝3AD ，∵AB ＝3，∴AD ＝1，DC =12，在Rt △ADC 中，由勾股定理得：AC =√AD 2+DC 2=√12+(12)2=√52，故选：B ． 8.（2019•营口）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，BC =12AD ，AC 与BD交于点E ，AC ⊥BD ，则tan ∠BAC 的值是（ ）A ．14B ．√24C ．√22D ．13 【答案】C【解析】解：∵AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，∴∠ABC ＝180°﹣∠DAB ＝90°，∠BAC+∠EAD ＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴ABDA =BCAB，∵BC=12AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB=√2BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB =√2BC=√22；故选：C．9.（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=57，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4√3D．2√6【答案】D【解析】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC=57，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2√6x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2√6；故选：D．10.（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是（）上的一个动点，则CD+√55A．2√5B．4√5C．5√3D．10【答案】B【解析】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，=2，设AE＝a，BE＝2a，∵tanA=BEAE则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2√5或﹣2√5（舍弃），∴BE ＝2a ＝4√5，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB ，∴CM ＝BE ＝4√5（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴sin ∠DBH =DH BD =AE AB =√55， ∴DH =√55BD ， ∴CD +√55BD ＝CD+DH ， ∴CD+DH ≥CM ，∴CD +√55BD ≥4√5， ∴CD +√55BD 的最小值为4√5．方法二：作CM ⊥AB 于M ，交BE 于点D ，则点D 满足题意．通过三角形相似或三角函数证得√55BD ＝DM ，从而得到CD +√55BD ＝CM ＝4√5． 故选：B ．11.（2020•广西）如图，要测量一条河两岸相对的两点A ，B 之间的距离，我们可以在岸边取点C 和D ，使点B ，C ，D 共线且直线BD 与AB 垂直，测得∠ACB ＝56.3°，∠ADB ＝45°，CD ＝10m ，则AB 的长约为（ ）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）A．15m B．30m C．35m D．40m 【答案】B【解析】解：设AB＝xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝xm，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB=ABBC，∴BC=ABtan∠ACB =xtan56.3°≈23x，由BC+CD＝BD得23x+10＝x，解得x＝30，∴AB的长约为30m，故选：B．12.（2020•济南）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【解析】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，，∴tan∠E=DFDE=2.8（m），故选：B．∴DE≈1.120.413.（2020•长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sinA=BDAB B．cosA=ABADC．tanA=ADBDD．sinA=ADAB【答案】A【解析】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sinA=BDAB ，cosA=ADAB，tanA=BDAD，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．14.（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（）A．√26B．√2626C．√2613D．√1313【答案】B【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB =√32+22=√13，AC =√32+32=3√2，∵S △ABC =12AC •BD =12×3√2•BD =12×1×3，∴BD =√22， ∴sin ∠BAC =BD AB =√22√13=√2626．故选：B ． 15.（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝45m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）A ．76.9mB ．82.1mC ．94.8mD ．112.6m【答案】B【解析】解：如图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，作DE ⊥BC 交BC 的延长线于点E ， 由题意得，∠ADF ＝28°，CD ＝45m ，BC ＝60m ，在Rt △DEC 中，∵山坡CD 的坡度i ＝1：0.75，∴DE EC =10.75=43，设DE ＝4x ，则EC ＝3x ，由勾股定理可得CD ＝5x ，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27（m），DE＝4x＝36（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11（m），∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1（m），故选：B．二、填空题（共10小题）：16.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．【答案】5【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，∴∠ADB＝90°，∴AB=√AD2+BD2=√82+62=10，∵AE＝EB，∴DE=1AB＝5，2故答案为5．17.（2020•绥化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．【答案】17【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案为：17．18.（2020•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是．【答案】513【解析】解：在Rt△ABC中，cosA=ACAB =513，故答案为：513．19.（2020•鄂尔多斯）计算：√27+（13）﹣2﹣3tan60°+（π−√2）0＝．【答案】10【解析】解：原式＝3√3+9﹣3√3+1＝10．故答案为：10．20.（2020•宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝米．【答案】48【解析】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝48米，∴AC＝48米．故答案为：48．21.（2020•黔南州）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB=13，则AD长度是．【答案】10【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2，sin∠ACB=ABAC =13，∴AC＝2÷13=6．在Rt△ADC中，AD=√AC2+CD2=√62+82＝10．故答案为：10．22.（2020•广西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA=45，点C关于直线AB的对称点为D ，点E 为边AC 上不与点A ，C 重合的动点，过点D 作BE 的垂线交BC 于点F ，则DF BE 的值为 ．【答案】2425 【解析】解：如图，设DF 交AB 于M ，CD 交AB 于N ，BE 交DF 于J ．∵∠ACB ＝90°，∴sinA =BC AB =45，∴可以假设BC ＝4k ，AB ＝5k ，则AC ＝3k ，∵C ，D 关于AB 对称，∴CD ⊥AB ，CN ＝DN ，∵S △ABC =12×BC ×AC =12×AB ×CN ，∴CN ＝DN =125k ， ∴CD =245k ，∵∠FCD+∠DCA ＝90°，∠DCA+∠A ＝90°，∴∠DCF ＝∠A ，∵DF ⊥BE ，CD ⊥AB ，∴∠BJM ＝∠DNM ＝90°，∵∠BMJ ＝∠DMN ，∴∠D ＝∠ABE ，∴△DCF ∽△BAE ，∴DF BE =DC BA =245k 5k =2425． 23.（2020•深圳）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ＝∠DAC ＝90°，tan ∠ACB =12，BO OD =43，则S△ABD S △CBD = ．【答案】332【解析】解：如图，过点D 作DM ∥BC ，交CA 的延长线于点M ，延长BA 交DM 于点N ， ∵DM ∥BC ，∴△ABC ∽△ANM ，△OBC ∽△ODM ，∴AB BC =AN NM =tan ∠ACB =12，BC DM =OB OD =43，又∵∠ABC ＝∠DAC ＝90°，∴∠BAC+∠NAD ＝90°，∵∠BAC+∠BCA ＝90°，∴∠NAD ＝∠BCA ，∴△ABC ∽△DAN ，∴AB BC =DN NA =12，设BC ＝4a ，由BC DM =OB OD =43得，DM ＝3a ，∴AB ＝2a ，DN =35a ，AN =65a ，∴NB ＝AB+AN ＝2a +65a =165a ， ∴S △ABDS △BCD =12AB⋅DN 12BC⋅NB =35a 2325a 2=332． 故答案为：332．24.（2020•赤峰）如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部C 的仰角是30°，测得底部B 的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD 是9米，那么该建筑物的高度BC 为 米（结果保留根号）．【答案】12√3【解析】解：根据题意可知：在Rt △ADC 中，∠CAD ＝30°，AD ＝9，∴CD ＝AD •tan30°＝9×√33=3√3，在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，AD ＝9，∴BD ＝AD •tan60°＝9√3，∴BC＝CD+BD＝3√3+9√3=12√3（米）．答；该建筑物的高度BC为12√3米．故答案为：12√3．25．（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝m．（结果保留根号）【答案】2√3【解析】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD=BDBC，∴sin60°=BD4=√32，∴BD＝2√3（m），故答案为：2√3．三、解答题（共15小题）：26.（2020•青海）计算：（13）﹣1+|1−√3tan45°|+（π﹣3.14）0−√273． 【答案】√3【解析】解：原式＝3+|1−√3|+1﹣3＝3+√3−1+1−3=√3．27.（2020•呼伦贝尔）计算：（−12）﹣1+√83+2cos60°﹣（π﹣1）0．【答案】0【解析】解：原式=−2+2+2×12−1＝0，故答案为：0．28.（2020秋•龙口市期末）计算：√(sin30°−tan45°)2cos 245°−tan60°•cos30°． 【答案】−12【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式=√(12−1)2(√22)−√3×√32 =1212−32＝1−32=−12．29.（2020秋•莱州市期末）计算：2sin45°−√(cos60°−sin60°)2+tan60°2．【答案】=2√2+12【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式=2×√22−|12−√32|+√32=√2−√32+12+√32=2√2+12．30.（2020秋•崇明区期末）计算：tan60°+2cos30°+cot45°2sin30°−sin245°．【答案】2√3+12【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式=√3+2×√32+12×12−（√22）2=√3+√3+1−12＝2√3+12．31.（2020秋•普陀区期末）计算：cos30°﹣2sin245°+22sin60°+tan45°．【答案】=3√32−2【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．解：原式=√32−2×（√22）22×√32+1=√32−2×12√3+1=√32−1+√3−1 =3√32−2．32.（2020秋•肇州县期末）计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°； （2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．【答案】(1)3−3√22；(2)=−√612.【解析】（1）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减混合运算法则计算；（2）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算． 解：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60° ＝2×12−3×1×√22+4×12＝1−3√22+2＝3−3√22； （2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°=√22√32−√3+√22×√32=√2−√3+√64 =−√63+√64=−√612．33.（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA=√3，∠ABC的平分线BD交AC3于点D，CD=√3，求AB的长？【答案】AB的长为6，【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=√33∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD=√3，=3，∴BC=CDtan30°在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，=6．∴AB=BCsin30°答：AB的长为6．34.（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（√3取1.7）；（2）若主塔斜拉链条上的LED 节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC 上灯带的总造价是多少元？【答案】(1)CD ＝91（米）；(2)斜拉链条AC 上的LED 节能灯带造价是145600元. 【解析】解：（1）∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°， 设CD ＝x ，在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝30°， ∴tan30°=CDAD ，即xAD =√33， ∴AD =√3x ，在Rt △BDC 中，∠B ＝45°， ∴CD ＝BD ＝x ， ∵AB ＝AD+BD ． ∴√3x +x =260， ∴x =√3+1，∴x =130(√3−1)=130×0.7=91， ∴CD ＝91（米）．（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴AC＝182，∵LED节能灯带每米造价为800元，∴800×182＝145600（元），答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．35.（2020•眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．【答案】小山BC的高度为（10+40√3）米【解析】解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．在直角△DBC中，tan60°=DCBC =DCx，则DC=√3x米．∴CE＝（√3x﹣80）米．在直角△ACE中，tan60°=ACCE =√3x−80=√3．解得x＝10+40√3．答：小山BC的高度为（10+40√3）米．36.（2020•吉林）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【答案】塔AB的高度约27m【解析】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA=AF，DF∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．37.（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【答案】这栋楼高BC为270米【解析】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC为270米．38.（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4√3，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【答案】(1)见解析；(2)sin∠B=AC2R =2(√2+√6)8=√2+√64.【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE=BCBE =a2R，∴asinA=2R，同理：bsin∠B =2R，csin∠C=2R，∴asin∠A =bsin∠B=csin∠C=2R；（2）解：由（1）得：ABsinC =BCsinA，即ABsin45°=4√3sin60°=2R，∴AB=4√3×√22√32=4√2，2R=√3√32=8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝4√2×12=2√2，CH=√22BC＝2√6，∴AC＝AH+CH＝2（√2+√6），∴sin∠B=AC2R =2(√2+√6)8=√2+√64．39.（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30√3米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．（1）求∠CAD的大小；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．【答案】(1)∠CAD＝75°；(2)CD＝（30+30√3）米. 【解析】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝30√3米，在Rt△AEC中，tan∠CAE=CEAE =√33，则∠CAE＝30°，则∠CAD＝30°+45°＝75°；（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝30√3米，CD＝CE+ED＝（30+30√3）米．40.（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C 走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：√3≈1.73，结果保留整数）【答案】(1)A与C之间的距离是30米；(2)天线BE的高度为27米. 【解析】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A与C之间的距离是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，∴AE＝30•tan60°＝30√3（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（30√3−25）米，∵√3≈1.73，∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天线BE的高度为27米．。