重庆南开中学高三数学10月月考试题 理(含解析)(1)

重庆市南开中学2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知A、B为两个集合，若命题p：∀x∈A，都有2x∈B，则( )A．￢p：∃x∈A，使得2x∈B B．￢p：∃x∉A，使得2x∈BC．￢p：∃x∈A，使得2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题，写出它的否定命题即可．解答：解：∵A、B为两个集合，命题p：∀x∈A，都有2x∈B；∴￢p：∃x∈A，使得2x∉B．故选：C．点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据全称命题的否定是特称命题，直接写出它的否定命题，是基础题．2．已知向量，，则与( )A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：根据向量平行垂直坐标公式运算即得．解答：解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．点评：本题单纯的考两个向量的位置关系，且是坐标考查，直接考垂直或平行公式．3．设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合( ) A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪∪解答：解：由a2a4=a32=1，得a3=1，所以S3==7，又q＞0，解得=2，即q=．所以a1==4，所以=．故选B．点评：本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式．5．对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是( )A．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b B．若a∥b，b⊂α，则a∥αC．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αD．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：由面面平行的性质定理可判断A；由线面平行的判定定理可判断B；由线面垂直的判定定理可判断C；由面面垂直的性质定理可判断D．解答：解：若α∥β，α∩γ=α，β∩γ=b，则由面面平行的性质定理可得：a∥b，故A 正确；若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故B错误；若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则m，n相交时a⊥α，否则a⊥α不一定成立，故C错误；若α⊥β，a⊂α，则a与β可能平行，可能垂直，也可能线在面内，故D错误；故选：A点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定理，性质定理和几何特征，是解答的关键．6．若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是( ) A．0 B．4 C．D．考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z最小值即可．解答：解：作出可行域如图，由，可得A，由，可得B（0，），由，可得C（0，﹣5）．A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN时x+y+1=0．z都取得最小值0．故选A．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．8．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上横坐标伸长为原来的2倍后得到y=g（x）图象，若在x∈=sin（2x+）的图象；再将图象上横坐标伸长为原来的2倍后得到y=g（x）=sin（x+）图象．由x+=kπ+，k∈z，求得g（x）的图象的对称轴方程为x=kπ+．若x∈∴f′（lnx）＞f（lnx）．∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．∴h（1）＜h（2）＜h（e）＜h（3），又∵h（1）=，∴0＜b＜a；而c=﹣ef（1）=﹣e•=﹣e2h（e）＜0，a＞b＞c．故选：A．点评：如何构造新的函数，要结合题中所给的a，b的结构形式，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．10．已知函数．若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立，则实数k的取值范围是( )A．0＜k≤3B．1≤k≤4C．D．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据分数函数的特点，将函数进行化简，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k的不等式，求出各种情况下实数k的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k的取值范围．解答：解：=，令2x+2﹣x=t，则t≥2，则函数等价为g（t）=，（t≥2），则原题等价为对于t≥2，min≥max恒成立，①当k=1时，显然成立；②当k＜1时，，由2（）≥1，得﹣；③当k＞1时，1＜f（t），由2×1，得1＜k≤4，综上；实数k的取值范围是．故选：D．点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的性质，反比例函数的图象和性质，其中利用换元思想及基本不等式将函数进行转化是解答的关键．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．复数z=对应的复平面上的点在第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．解答：解：z==，∴复数z=对应的复平面上的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．故答案为：四．点评：本题考查了复数的代数表示法与其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．则f（f（2））的值为2．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．解答：解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为 2点评：本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点．13．设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的最小值是4．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；转化思想．分析：先利用条件得到a1+a2=x+y和b1b2=xy，再对所求都转化为用x，y表示后，在用基本不等式可得结论．解答：解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y；由等比数列的性质知b1b2=xy，所以，当且仅当x=y时取等号．故答案为：4．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想．14．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a=3，b=，且2acosA=bcosC+ccosB，则边c的长为2．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：首先，根据正弦定理，化简2acosA=bcosC+ccosB，得到2sinAcosA=sin（B+C），然后，根据三角形的性质得到A的值，然后，再借助于正弦定理，得到B=，从而得到C=，最后，利用勾股定理求解其值．解答：解：根据正弦定理，设，∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB∴2sinAcosA=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴B+C=π﹣A，∴2sinAcosA=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，根据正弦定理，得，∴sinB==，∴B=，∴C=，∴c=．故答案为：2．点评：本题重点考查了正弦定理及其应用、三角恒等变换公式等知识，属于中档题，准确把握正弦定理的变形公式是解题的关键．15．如图，已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x，y的正半轴上（含原点）滑动，则•的最大值是2．考点：二倍角的正弦；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，∴•的最大值是2．故答案为 2．点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．三、解答题（共6小题，满分75分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组．（1）科研攻关小组中男、女职员的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）某同学被抽到的概率是抽取人数与总人数的比值；根据分层抽样，男同学抽取的人数与抽取人数的比值和男同学的人数与总人数的比值相等，可以求出抽取的男同学的人数，进而可以求出抽取的女同学的人数；（Ⅱ）先列出总的基本事件，然后找出“选出的两名同学中恰有一名女同学”的基本事件的个数，根据古典概型公式求出概率．解答：解：（Ⅰ）P===，∴某同学被抽到的概率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设有x名男同学，则，∴x=1∴女同学的人数是1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a1），（a2，a3），（a2，b），（a3，a1），（a3，a2），（a3，b），（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种，其中有一名女同学的有6种﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点评：本题考查了分层抽样及古典概型，解决本题的关键是列举基本事件时要按照一定的顺序，不能重也不能漏．17．已知递增等比数列{a n}首项a1=2，S n为其前n项和，且S1，2S2，3S3成等比数列．（1）求的{a n}通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用S1，2S2，3S3成等差数列，确定数列的公比，即可求得数列的通项．（2）b n===32n﹣3，由此利用等比数列求和公式能求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵S1，2S2，3S3成等差数列，∴4S2=S1+3S3，∵a1=2，∴4（2+2q）=2+6（1+q+q2），即3q2﹣q=0，解得q=0（舍去）或q=．∴a n=2•（）n﹣1．（2）∵b n===32n﹣3，∴T n=3﹣1+3+33+35+…+32n﹣3==．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，属于中档题．18．如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且E，F，G，H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）DH⊥平面AEG．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用平行公理证明BC∥EF，再利用线面平行的判定，证明BC∥平面EFG；（Ⅱ）利用PA⊥平面ABCD，证明AE⊥DH，利用△ADG≌△DCH，证明DH⊥AG，从而可证DH⊥平面AEG．解答：证明：（Ⅰ）∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF，∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，∴BC∥平面EFG；（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，DH⊂平面ABCD，∴PA⊥DH，即AE⊥DH．∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°∴∠AGD+∠HDC=90°∴DH⊥AG又∵AE∩AG=A，∴DH⊥平面AEG．点评：本题考查线面平行，线面垂直，解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直的判定，属于中档题．19．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（1）求φ的值；（2）若实数α满足f（α）+f（﹣α）=，α∈（，π），试求的值．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先，化简函数解析式，得到f（x）=sin（x+φ），然后，根据函数f（x）在x=π处取最小值，确定φ=；（2）根据（1），得到f（x）=cosx，然后，根据f（α）+f（﹣α）=，得到sinα+cosα=，从而得到sinα﹣cosα=，最后，化简=﹣2sinα，从而确定其值．解答：解：（1）∵f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx，∴f（x）=2sinx•+cosxsinφ﹣sinx=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx=sin（x+φ），∴f（x）=sin（x+φ），∵函数f（x）在x=π处取最小值．且0＜φ＜π，∴φ=．（2）根据（1）得f（x）=sin（x+）=cosx，∴f（α）+f（﹣α）=cosα+cos（）=，∴sinα+cosα=，∵===﹣2sinα∵sinα+cosα=，且α∈（，π），∴sinα﹣cosα=，∴sinα=，∴的值为﹣．点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角公式等知识，属于中档题．20．如图，底面ABCD为菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，所有棱长都为2，∠BAD=60°，E为BB1的延长线上一点，D1E⊥面D1AC．（1）求线段B 1E的长度及三棱锥E﹣D1AC的体积V；（2）设AC和BD交于点O，在线段D1E上是否存在一点P，使EO∥面A1C1P？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，说明理由．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．由题意可得A，C（0，2，0），D1（0，0，2），B，．设E，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系可得E，再利用三棱锥E﹣D1AC的体积V=即可得出．（2）假设在线段D1E上存在一点P，使EO∥面A1C1P．连接A1C1、B1D1，相交于点O1，连接O1P，则O1P∥OE．另一方面．利用向量共线定理即可得出．解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．由题意可得A，C（0，2，0），D1（0，0，2），B，．设E，=，=，=（0，2，﹣2）．∵D1E⊥面D1AC，∴，解得z=3．∴E．∴|B1E|=2．∵|D1A|==|D1C|，|AC|=2，∴==，∵|D1E|==．∴三棱锥E﹣D 1AC的体积V===．（2）假设在线段D1E上存在一点P，使EO∥面A1C1P．连接A1C1、B1D1，相交于点O1，连接O1P，则O1P∥OE．O，O1，∴=，∴，另一方面，∴，解得x=，y=，z=，，μ=．∴．∴，∴．点评：本题考查了建立空间直角坐标系解决线面垂直、向量共线、三棱锥的体积等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx（a∈R）．（1）若a=，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若a为整数，且函数的y=f（x）图象与x轴交于不同的两点，试求a的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=代入函数解析式，求出导函数，得到函数在x=1时的导数，求出f（1）的值，然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）把函数的y=f（x）图象与x轴交于不同的两点转化为其最大值大于0，然后利用导数求其最大值，解关于a的不等式得答案．解答：解：（1）a=，则f（x）=x2+x+lnx，．．又f（1）=．∴f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为．即30x﹣5y﹣7=0；（2）由f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx（a∈R）．得x＞0，．当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＜0时，可知x时f′（x）＞0，x时，f′（x）＜0．∴x时，f（x）为增函数，x时，f（x）为减函数．故当x=﹣时函数有极大值，也是最大值．由f（﹣）==＞0，得．由a为整数，验证a=﹣1时，，，满足．当a＜﹣1时，，，不满足．∴a的值为﹣1．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．。

2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}124x A x -=≥，{}2230B x x x =--<，则()R AB ð等于（ ）A.{}3x x ≥B.{}3x x >C.{}13x x -<< D.{}31x x x ≥≤-或【答案】A【解析】解出集合A 、B ，再利用交集和补集的定义求出集合()R A B ð.【详解】解不等式124x -≥，即12x -≥，得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式2230x x --<，解得13x -<<，{}13B x x ∴=-<<， 则{}13R B x x x =≤-≥或ð，因此，(){}3R A B x x ⋂=≥ð，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题. 2．“成立”是“成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件 【考点】1．解不等式；2．充分条件与必要条件3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D ．p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：'()1cos f x x =-+，当(0,)2x π∈，'()0f x <，因此()f x 是减函数，所以(0,)2x π∈，()(0)0f x f <=，命题p 是真命题，p ⌝是：000,,()02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭，故选D ．【考点】命题的真假，命题的否定． 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式()()22log 22f a f x x ≤-+可化为()()22log 22f a f x x ≤-+，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以22log 22a x x ≤-+，而()222211x x x -+=-+的最小值为1，所以2log 1a ≤，21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤． 6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上恒成立，即在恒成立，而在递减，在递增，且，即；故选C.7．设函数()144x f x ex -=+-，()1ln g x x x=-，若()()120f x g x ==，则（ ）A.()()120g x f x <<B.()()120g x f x <<C.()()210f x g x <<D.()()210f x g x <<【答案】B【解析】分析函数()y f x =和()y g x =的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出()2f x 与()1g x 的正负. 【详解】()144x f x e x -=+-Q ，()140x f x e -'∴=+>，则函数()y f x =为增函数， ()00f <Q ，()10f >，且()10f x =，由零点存在定理知101x <<.()1ln g x x x =-Q ，则()221110x g x x x x+'=+=>，所以，函数()y g x =为增函数， 且()10g <，()12ln 202g =->，又()20g x =，由零点存在定理可知212x <<.()()210f x f ∴>>，()()110g x g <<，因此，()()120g x f x <<，故选：B.【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.8．设实数,,a b c 分别满足322,a a +=2log 1b b =，5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.a c b >>【答案】C【解析】令3()22f x x x =+-，则3()22f x x x =+-在R 上单调递增，且(0)(1)2110f f ⋅=-⨯=-<，即(0,1)a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题. 9．已知函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ） A.650,2252⎛⎤⎡⎫⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，B.650,2252⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， C.{}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D.56,,225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【解析】关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，等价于()y f x =和y ax =有两个交点，如图所示：作出函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的图象，()2,5A -，()1,2B ，65,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，625OC k =，由图可得60,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与21y x =+有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程21y kxy x =⎧⎨=+⎩得：210x kx -+=，由240k =-=解得2k =±，切点坐标为()1,2-和()1,2且52OA k =-，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足5,22k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，综上可得650,,2252k ⎛⎤⎡⎫∈⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选A.二、填空题10．设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z =__________．【答案】1+【解析】分析：根据条件先将z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可.详解：3)13i i z ===+点睛：考查复数的计算，属于基础题.11．6⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答）【答案】-160【解析】试题分析：由6662166(1)(2)rrr r r r rr T C C ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以6⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.【考点】二项式定理.12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 ．【答案】【解析】试题分析：由图知，当时，,由得即所以不等式解集为【考点】利用函数性质解不等式14．已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】由题意得直线y a =和函数()y f x =的图象有两个交点，故函数()y f x =在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数3y x =和2y x =的图象，结合图象可得所求的结果． 【详解】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．15．函数()()4ln (1)f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为___________。

重庆南开中学高2017-2018级高三10月月考数学试题(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷(选择题共50分)一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A ，B 为两个集合，若命题:p x A ∀∈，都有2x B ∈则( ) A ．:p x A ⌝∃∈使得2x B ∈ B ．:p x A ⌝∃∉使得2x B ∈ C ．:p x A ⌝∃∈使得2x B ∉ D ．:p x A ⌝∀∉，2x B ∉2．已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，则a 与b ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 3．设集合2{|20M x x x =--＜｝，{|y 2,N y x x M ==∈｝则集合()R C M N ⋂=( )A ．(—2，4)B ．(—1，2)C ．∞⋃∞（-,-1][2,+）D ．(∞⋃∞（-,-2)4,+）4．已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前项和n ，且2431,7a a S ==则5=S （ ）A ．152B ．314C ．334D ．1725．对于平面a 、b 、m 和直线a 、b 、m 、n 下列命题中真命题是( )A ．若//,a a b βγ⋂=，则//a bB ．若//a b b α⊂， 则//a αC ．若,,,a m a n m α⊂⊥⊥则a α⊥D ．,a a βα⊂⊥，则a β⊥2350x y +-≤ 6．若实数,x y满足约束条件 250x y --≤，则目标函数|1|z x y =++的最小值是（ ）0x ≤A ．0B ．4C ．83D ．727．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．29π B ．23π C ．169πD ．3π8．将函数()sin f x = 的图像向右平移6π个单位，再将图象上每一点横坐标伸长为原来的2倍后得到()y g x =图像，若在[0.2)x π∈上关于x的方程有两个7212x π+不等的实根．1x ,2x 则12+x x 的值为( )A ．52ππ或 B ．322ππ或 C ．3ππ或 D ．522ππ或9．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且'()()0f x f x -＞ (其中'()()f x f x 是导函数)恒成立．若(ln 3)(ln 2),,(1)32f f a b c ef ===-,则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c ＞＞B ．c a b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．b c a ＞＞10．已知函数421()421x x x x k f x +⋅+=++，，若对任意的实数．123,,x x x ，不等式123()()()f x f x f x +＞恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．03k ≤＜B ．14k ≤≤C ．132k -≤≤ D ．142k -≤≤第Ⅱ卷(非选择题共100分)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．复数21i z i+=对应的复平面上的点在第 象限．12．若()f x =则((2))f f 的值为 ．13．已知正实数12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则12,2x e x -＜33log (1),2x x -≥21212()a a b b +的最小值是．14．在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c若3,a b =且2cos cos cos a A b C c B =+ 则边c 的长为 ．15．如图，已知边长为1的正方形ABCD 位于第一象限，且顶点分别 在,x y的正半轴上(含原点)滑动，则OB OC⋅ 的最大值是 ．三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16：(本小题满分13分)某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组． (1)科研攻关小组中男、女职员的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率．17．(本小题满分13分)已知递增等差数列{}n a 首项12,n a S =为其前n 项和，且1232,23S S S 成等比数列．(1) 求{}n a 的通项公式； (2) 设14n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n T18．(本小题满分13分)如图所示，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且．E F G 、、分别是线段PA PD CD BC 、、、的中点． (1) 求证：//BC EFG 平面(2) 求证：DH AEG ⊥平面19．(本小题满分12分) 设函数2()2sin cos cos sin sin (02f x x x x ϕϕϕπ=+-＜＜）在x π=处取最小值．(1)求ϕ的值； (2)若实数α满足1()(),(,)252f f ππαααπ+-=∈试求sin 2cos 21sin cos αααα+--的值．20．(本小题满分12分)如图，底面ABCD 为菱形的直四棱柱1111ABCD A BC D =，所有棱长都为2, 60BAD ∠= ，E 为1BB 的延长线上一点，11D E D AC ⊥面．(1) 求线段1B E 的长度及三棱锥1E D AC =的体积1E D AC V -(2) 设AC BD 和交于点O ，在线段1D E 上是否存在一点P ，11//EO AC P 使面？若存在，求1:D E PE 的值；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分) 设函数2()2(4)()f x ax a x lnx a R =+++∈(1) 若15a =，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2) 若a 为整数，且函数()y f x =的图象与x 轴交于不同的两点，试求a 的值．。

重庆南开中学2007—2008学年度高三10月月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项正确） 1．函数)2lg(34)(-+--=x x xx f 的定义域为（ ）A ．),2[+∞B ．]4,3()3,2(C ．]4,2(D ．（2，4）2．已知向量与则),2,3(),3,2(=-= （ ）A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 3．“11<<-x ”是“1||<x ”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．若数列}{n a 的前n 项和为：122-=n S n ，则数列}{n a 的通项公式为（ ）A ．24-=n a nB ．24+=n a nC ．⎩⎨⎧≥+==22411n n n a n D ．⎩⎨⎧≥-==22411n n n a n 5．下列各式中，值为43-的是（ ） A ．︒⋅︒15cos 15sin 2 B ．︒-︒15sin 15cos 22C ．115sin 22-︒D ．︒-15cos 212 6．要得到函数)621sin(2π+=x y 的图象，只需将函数x y 21sin 2=的图象（ ） A ．向右移3π个单位 B ．左移3π个单位C ．右移6π个单位 D ．左移6π个单位7．若)2(,1log 1)2()(2-⎩⎨⎧≥<+=f x x x x f x f 则的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－28．各项都是正数的等比数列}{n a 中，132,21,a a a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为（ ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215-或215+ 9．设函数)(x f y =满足),2[)(),2()2(+∞-=+在又x f x f x f 是减函数，且)0()(f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2≥aB ．a<0C ．0<a 4≤D ．40≥<a a 或10．等差数列}{n a 各项都是负数，且,92832823=++a a a a 则它的前10项和S 10=（ ）A ．－9B ．－11C ．－13D ．－1511．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n nn nn f 22)(，且}{),1()(n n a n f n f a 数列++=的前n 项和为S n ，则S 10等于 （ ）A ．0B ．10C ．－10D ．10012．函数],32[cos 2sin 2απ-+=在区间x x y 上的最小值为41-，最大值为2，则α的范围是（ ）A ．]32,32[ππ-B ．]32,32(ππ-C ．]32,0[πD ．]32,0(π二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13．在VABC 中，A =60°，BC=2，AC=332，则CABC 的形状为 . 14．已知向量b a 与的夹角为30°，|2|,4||,3||b a b a -==则= . 15．若R x ∈，且满足条件3cos 3sin 5++=θθx，则二次函数12)(222+-=x a x a x f （a 为常数）的值域为 .16．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意R b a ∈,满足下列关系式：)(2)2(*),()2(,2)2(),()()(+∈=∈==+=⋅N n f b N n n f a f a bf b af b a f nn n n n ， 考察下列结论：①)1()0(f f =②)(x f 为偶函数③数列}{n a 为等比数列④数列}{n b 为等差数列，其中正确的结论是： .三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知⊥∈--=+=且),2,4(),66),24(sin(),66),2,4(sin(ππααπαπ，求 αα2cos 22sin 2+的值.18．已知二次函数*))(,(,}{,2321)(2N n S n S n a x x x f n n n ∈+=点项和的前数列在函数)(x f y =的图象上.（1）求}{n a 的通项公式； （2）设}{,11n n n n b a a b 求数列+=的前n 项和T n .19．在△ABC 中，a ，b ，c 为角，A ，B ，C 所对的三边，已知,)(22bc c b a =-- （1）求角A ；（2）若BC=23，内角B 等于x ，周长为y ，求)(x f y =的最大值.20．（13分）已知函数12log)(21--=x axx f （a 是常数）.（1）若常数a <2且a ≠0，求)(x f 的定义域；（2）若常数0<a <2，且知)(x f 在区间（2，4）上是增函数，求a 取值范围.21．已知二次函数)0()(2≠∈+=a R a x ax x f 且， （1）当)(,45)(sin ,210x f x f a 求的最大值为时<<的最小值. （2）若1|)(sin |,]2,0[≤∈x f x 时π恒成立，求a 的范围.22．已知数列满足：)2(34,732:}{),1(3111≥-==-=--n b b b b a S n n n n n n 满足数列 （1）求n n b a 及 （2）令n n n nn n a c u b c 43,7142-=-=求的最小值.参考答案BAADDB BBCDBC13．直角三角形 14．2 15．]1,1[2a - 16．①③④ 17．解： 由061)24sin()24sin(:=--+⊥απαπ得b a 61)24cos()24sin(=++∴απαπ则αααααπ2sin 2112cos 24cos ,34cos 31)44sin(22-=-===+又故 且),2(2)2,4(ππαππα∈⇒∈ 332sin ,362cos =-=∴αα .362sin 2,36112cos cos 22=-=+=∴ααα 1cos 22sin 22=+∴αα18．解：（1）由题意得：n n n f S n 2321)(2+== 1+=∴n a n（2）2111)2)(1(111+-+=++==+n n n n a a b n n n )2(22121)2111()4131()3121(+=+-=+-+++-+-=∴n nn n n T n19．解：（1）由bc c b a bc c b a -=--=--22222:)(得212cos 222=-+=∴bc a c b A又π<<A 0 3π=∴A（2）,sin sin ABCx AC =x x x BC AC sin 4sin 2332sin 3sin=⋅=⋅=∴π同理：)32sin(4sin sin x C A BC AB -=⋅=π32)32sin(4sin 4+-+=∴x x y π32)6sin(34++=πx3π=A 320π<=<∴x B 故)65,6(6πππ∈+x 36,326max ==⇒=+∴y x x 时故πππ20．（1）由012>--x ax可知， ①当a<0时，函数的定义域为);,1()2,(+∞-∞ a③当20<<a 时，函数的定义域为)2,1(a. （2）令u x f x axu 21log )(,12=--=则减函数 )4,2(1212在+-+-=--=∴x a a x ax u 上是减函数， 则：210200144202min ≤<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<≥--=>-a a a u a21．解：（1）210<<a ]1,1[sin 121-∈=-<-∴x t a令则a a t a t at t f x f 41)21()()(sin 22-+=+== ,)(221sin 1时即当Z k k x x t ∈+=⇒==∴ππ351)(sin =+a x f 有最大值 41=∴a 故1)2(4141)(22-+=+=x x x x f 21)(min -=-=∴x x f 此时（2）由1sin sin 1:1|)(sin |2≤+≤-≤x x a x f 得令]1,0[sin ∈=t x t 则112≤+≤-∴t at 对任意]1,0[∈t 恒成立当x=0时，1|)(sin |0)(≤=x f t f 使成立当]1,0[41)211(1141)211(11,02222∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--≥--=-≤≠t t t t a tt t a x 对任意时恒成立 ]1,0[∈t;041)211(112≥--≥∴t t 则 241)211(2-≤++-t 02≤≤-∴a22．解：（1）由11133)2(3:33---+-=≥-=-=n n n n n n n a a a n a S a S 则得)2(431≥=∴-n a a n n 当n=1时，11133a a S =-= 431=∴a故43,34,}{1==q a a n 且等比 n n a )43(=∴ 由nn nn n n n n n n b d b b n b b 4414434:)2(341111=+⋅-=≥-=----令得得： )2)(71(43)71()2(414311≥--=-⇒≥+-=--n d d n d d n n n n;1717871471,7111=-=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴b d d n 首项等比公比43-=q 1)43(71--=-∴n n d 71)43(1+-=∴-n n d n n n b 4]71)43[(1⋅+-=∴-（2）1)1(2)1(21)43(3)43(3)43(4)43(3)43(714-----=-=-=-=n n n n nn n n n u b c 则 43)21(30)43(43]21)43[(3321--=>=--=-u y u x n 则令当121,,210≤<≤<u y u 当为减函数时时，y 为增函数又当161|21)43(|,3,41|21)43(|,21312=-==-=--时时n n当n=4时，645|21)43(|14=--161644645=> |21)43(|,31-=∴-n n 时最小25618943)161(3}{23-=-⨯=∴u u n 的最小项为。

高三 数学学科第一次月考考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上，答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效，考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（共 45分）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}21,0M x x N x x =-<≤=<，则()R M N ⋂=ð（ ）A. {}2x x >-B. {}2x x ≥-C. {}1x x ≤ D. {}01x x ≤≤2. “()sin 2024π0α->”是“α为第一象限角”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 函数()1cos ex x xf x -=的图象大致为（ ）B.A.D.C.4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x 12345销售量y （千只）50.8 1.0 1.215若x 与y 线性相关，且线性回归方程为4ˆ0.2ay x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.24个单位B. 线性回归方程4ˆ0.2ayx =+中ˆ0.26a =C. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）5. 96494log 32log 27log 2log ⋅+⋅=（ ）A.94B. 2C.138D.29246. 设13260.5,log 3,log 11a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b<< C. b a c<< D. <<c a b7. 已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A. 直线7π6x =是函数()f x 图象的对称轴B. ()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有两个极值点C. ()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 函数()f x 的图象可由cos2y x =向左平移π6个单位长度得到8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦..的9. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的0x >，()()220f x f x ++=恒成立，当[]0,2x ∈时()sin 2xf x π=．若对任意[](),0x m m m ∈->，都有()12f x -≤，则m 的最大值是（ ）A.73 B.103D.C. 4133第Ⅱ卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 复数12i3iz -=+的模为__________．11. 122x ⎛⎝展开式中常数项为__________.12. 已知函数()()22log 15f x x ax =-++ 在14,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为________.13. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__________；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为__________.14.若sin 2α=，()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是______．15. 若()22f x x ax ax =---+有四个零点，则实数a 的取值范围为______三、解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 设0a >且1a ≠，函数()()()()()log 1,log 2a a f x x g x x t t =-=+∈R .（1）当1t =时，求不等式()()2f x g x ≤的解集；（2）若函数()()222f x h x atx t =+++在区间(]1,3上有零点，求t 的取值范围.17. 已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函的.数()g x 的图象，若()65g α=-，且π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求cos2α的值．18. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90,ADC BAD F ∠=∠=︒为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求平面ABCD 与平面BCP 的夹角的余弦值；（3）求点F 到平面BCP 的距离．19. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，上､下顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F 的面积为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：(0)y kx m m =+>与椭圆C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于原点的对称点分别为M ，N ，若22OP OQ +是一个与m 无关的常数，则当四边形PQMN 面积最大时，求直线l 的方程.20. 已知函数()()sin ln 1f x a x x =-+.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若对(]1,0x ∀∈-时，()0f x ≥，求正实数a 的最大值；（3）若函数()()1e sin x g xf x a x +=+-的最小值为m ，试判断方程()1e ln 10x m x +--+=实数根的个数，并说明理由.高三 数学学科第一次月考考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上，答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效，考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（共 45分）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}21,0M x x N x x =-<≤=<，则()R M N ⋂=ð（ ）A. {}2x x >-B. {}2x x ≥-C. {}1x x ≤ D. {}01x x ≤≤【答案】D 【解析】【分析】根据补集的运算求出R N ð，再由交集的运算可得答案.【详解】{}{}21,0M x x N x x =-<≤=<，则{}R 0N x x =≥ð，所以(){}R 01M N x x ⋂=≤≤ð.故选：D .2. “()sin 2024π0α->”是“α为第一象限角”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.【详解】易知()sin 2024πsin αα-=，所以()sin 2024π0sin 0αα->⇒>⇒α为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，显然不满足充分性，满足必要性.故选：B 3. 函数()1cos ex x x f x -=的图象大致为（ ）B.A.D.C.【答案】A 【解析】【分析】求出y =f (x )为奇函数，排除CD ；由()π1ππ0e f --=<排除B ，得到答案.【详解】()1cos ex x xf x -=定义域为R ，()()()11cos cos eex x x x x xf x f x -------===-，函数y =f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ；又()π1ππ0ef --=<，排除B .故选：A4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.21.5若x 与y 线性相关，且线性回归方程为4ˆ0.2ay x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y 平均增加0.24个单位B. 线性回归方程4ˆ0.2ay x =+中ˆ0.26a =C. 由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <D. 可以预测6x =时，该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【答案】B 【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断C 选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B 选项；根据回归方程判断AD 选项.【详解】根据线性回归方程ˆ0.240.28yx =+可得x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.24个单位，故A 正确.由已知数据得()11234535x =++++=，()10.50.8 1.0 1.2 1.515y =++++=，代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.240.28a =-⨯=，故B 错误；从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故C 正确；将6x =代入ˆ0.240.28yx =+中得到ˆ0.2460.28 1.72y =⨯+=，故D 正确.故选：B.5. 96494log 32log 27log 2log ⋅+⋅=（ ）A.94B. 2C.138D.2924【答案】C 【解析】【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.【详解】96494log 32log 27log 2log ⋅+⋅lg 32lg 27lg 2lg 9lg 64lg 9=⨯+35322622lg 2lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2=⨯+⨯3lg 35lg 23lg 3lg 222lg 36lg 22lg 32lg 2=⨯+⨯5313488=+=.故选：C6. 设13260.5,log 3,log 11a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b<< C. b a c<< D. <<c a b【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“32”即可比较大小.【详解】1030.50.51a =<=，222113log 3log 9log 8222b ==>=，66631log 6log 11log 2c =<=<=.综上，a c b <<．故选：B .7. 已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A. 直线x =是函数()f x 图象的对称轴B. ()f x 区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上有两个极值点C. ()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D. 函数()f x 的图象可由cos2y x =向左平移π6个单位长度得到【答案】C 【解析】【分析】利用整体代入法判断A ，利用整体换元法判断B ，利用三角函数的单调性判断C ，利用三角函数平移的性质判断D 即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2πsin 203ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得()4ππ3k k ϕ+=∈Z ，结合0πϕ<<，得23ϕπ=，所以()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于A ，7π7π2πsin 2sin3π0663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在所以直线7π6x =不是函数()f x 图象的对称轴，故A 不正确；对于B ，当11,1212x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上只有一个极值点，故B 不正确；对于C ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；对于D ，cos2y x =左移π6个单位长度后得到πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：C ．8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,∞+B. ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()g x 的解析式，再根据题意得到()232h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得()()22f x g x ax x -+-=-+，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()22f x g x ax x -+=-+，联立()()()()2222f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()22g x ax =+，又因为对于任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，所以()()121255g x g x x x -<-+，即()()112255g x x g x x +<+成立，构造()()2552h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得()252h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，若0a <，则对称轴0522x a =-≥，解得5<04a -≤；若0a =，则()52h x x =+在()1,2x ∈单调递增，满足题意；若a >0，则对称轴0512x a=-≤恒成立；综上，5,4a ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭．故选：B9. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的0x >，()()220f x f x ++=恒成立，当[]0,2x ∈时()sin 2xf x π=．若对任意[](),0x m m m ∈->，都有()12f x -≤，则m 的最大值是（ ）A.73 B.103D.C. 4133【答案】B 【解析】【分析】先分析x ∈[0,2]、(]2,4x ∈、(]4,6x ∈时()f x 解析式以及值域，然后作出()f x 的图象，结合图象确定出符合条件的x 的范围，再根据[],m m -与所求x 的取值范围的关系求解出m 的最大值.【详解】当x ∈[0,2]时，()sin2xf x π=，此时()[]0,1f x ∈当(]2,4x ∈时，()()()2222sin2x f x f x π-=--=-，此时()[]2,0f x ∈-当(]4,6x ∈时，()()()()422444sin2x f x f x f x π-=--=-=，此时()[]0,4f x ∈，结合()f x 为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出(),2,2y f x y y ===-的图象如下图所示：由图象可知，若要()2f x ≤恒成立，只需要分析[]6,6x ∈-内图象即可，因为图象的对称性，不妨考虑[]0,6x ∈时()2f x =的情况，当()2f x =-时，()(]22sin2,2,42x x π--=-∈，所以3x =，当()2f x =时，()(]44sin2,4,62x x π-=∈，所以133x =或173x =，结合图象，若()12f x -≤成立，则有1313133x -≤-≤，所以101633x -≤≤，又因为若对任意[](),0x m m m ∈->，都有()12f x -≤，则有[]1016,,33m m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，所以1031630m m m ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩，所以1003m <≤，所以m 的最大值为103，故选：B.【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.第Ⅱ卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10. 复数12i3i z -=+的模为__________．【解析】公众号：高中试卷君的【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i 2,3i 3i 3i 10z z ----===∴==++-11. 122x ⎛⎝的展开式中常数项为__________.【答案】1760-【解析】【分析】写出其展开式的通项，然后令指数部分为0，求解即可.【详解】122x ⎛- ⎝的二项展开式的通项为()()4121212311212C 2·12C rrr r r r r r T x x ---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令41203r-=，得9r =，其展开式的常数项为9129931212(1)2C 8C 1760--⋅⋅=-=-.故答案为：1760-12. 已知函数()()22log 15f x x ax =-++ 在14,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为________.【答案】[)8,∞+【解析】【分析】根据对数函数性质分析可知：()215g x x ax =-++在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且g (x )>0，结合二次函数列式求解即可.【详解】因为2log y x =在定义域(0,+∞)内单调递增，由题意可得：()215g x x ax =-++在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且g (x )>0，则a2≥4=23916+14a >0，解得8a ≥，所以实数a 的取值范围为[)8,∞+.故答案为：[)8,∞+.13. 某射击小组共有10名射手，其中一级射手3人，二级射手2人，三级射手5人，现选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为__________；若一､二､三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为__________.【答案】 ①.58##0.625 ②. 0.66##3350【解析】【分析】计算出至少有一人是一级射手的情况有几种，再求出选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况的种数，根据条件概率的计算公式即得答案；求出任选一名射手，分别是一、二、三级射手的概率，根据全概率公式即可求得任选一名射手能够获胜的概率.【详解】由题意得至少有一人是一级射手的情况共有211337C C C 24+=种，选出的2人中1人是一级射手另一人是三级射手的情况1135C C 15=种，故选出2人参赛，在至少有一人是一级射手的条件下，另一人是三级射手的概率为155248=；任选一名射手，分别是一、二、三级射手概率分别为311,,1052，而一、二、三级射手获胜概率分别是0.9，0.7，0.5，则任选一名射手能够获胜的概率为3110.90.70.50.661052⨯+⨯+⨯=，故答案为：58，0.6614. 若sin 2α=，()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是______．【答案】7π4【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系式，解出相关角的三角函数值，继而求得αβ+的余弦值，结合角的范围即可求解.【详解】因为π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin 20α=>，所以π2,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2α==ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π5π,24βα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又()sin βα-=π,π2βα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则()cos βα-==，所以()()cos cos 2αββαα⎡⎤+=-+⎣⎦()()cos cos 2sin sin 2βααβαα=---⎛⎛=⨯ ⎝⎝=又5π,2π4αβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以7π4αβ+=.故答案为:7π4.15. 若()221f x x ax ax =---+有四个零点，则实数a 的取值范围为______【答案】(),-∞⋃+∞【解析】【分析】令2()||g x x ax =-，()|2|1h x ax =--，将函数()f x 零点问题转化为函数()g x 与()h x 的图象交点问题，分类讨论0,0,0a a a =><时，函数()g x 与()h x 图象的交点个数，即可求解.【详解】由()0f x =，得2|||2|10x ax ax ---+=，即2|||2|1x ax ax -=--，令2()||g x x ax =-，()|2|1h x ax =--，则函数()f x 有四个零点等价于函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，若0a =，则2()1f x x =-，由()0f x =，解得1x =±，仅有两个零点，不满足题意；若0a >， 由()0g x =，解得0x =或x a =，由()0h x =，解得1x a=或3x a =，当102030a a a a a a⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即a >如图①所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有两个交点；同理，在[,)a +∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，函数()f x 有四个零点，满足题意；当10203a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≥⎪⎩a <≤如图②所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有一个交点；同理，在[,)a +∞上，没有交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当1023a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，即1a <≤如图③所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 有一个交点；同理，在[,)a +∞上，没有交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当123a a a a a a ⎧≥⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，即01a <≤时，当(0,)x a ∈时，2|||2|10x ax ax ---+=可化为2()(2)10x ax ax --+-+=，即2210x ax -+=，因为判别式2440a ∆=-<，所以2210x ax -+=无解所以函数()g x 与()h x 的图象在(0,)a 上没有交点，如图④所示，在(,0]-∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(0,)a 上，函数()g x 与函数()h x 没有交点；同理，在[,)a +∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；若0a <，当102030a a a a a a⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即a <如图⑤所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有两个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有四个交点，函数()f x 有四个零点，满足题意；当10203a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪≤⎪⎩，即a ≤<时，如图⑥所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故没有交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有且仅有一个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当1023a a a a a a ⎧<<⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，即1a ≤<-时，如图⑦所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故没有交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 有且仅有一个交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；当123a a a a a a ⎧≤⎪⎪⎪≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，即10a -≤<时，当(,0)x a ∈时，2|||2|10x ax ax ---+=可化为2()(2)10x ax ax --+-+=，即2210x ax -+=，因为判别式2440a ∆=-<，即2210x ax -+=无解所以函数()g x 与()h x 的图象在(,0)a 上没有交点，如图⑧所示，在(,]a -∞上，由于函数()g x 的增长速度大于函数()h x 的增长速度，故有且仅有一个交点；在(,0)a 上，函数()g x 与函数()h x 没有交点；同理，在[0,)+∞上，有且仅有一个交点，所以函数()g x 与()h x 的图象有两个交点，函数()f x 有两个零点，不满足题意；综上所述，实数a 的取值范围为(,)-∞⋃+∞.故答案为：(,)-∞⋃+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点问题，关键在于将零点问题转化为直线与曲线的交点问题，应用数形结合、分类讨论思想判断交点个数.三、解答题：本大题共5小题，共75分. 解答应公众号：高中试卷君写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 设0a >且1a ≠，函数()()()()()log 1,log 2a a f x x g x x t t =-=+∈R .（1）当1t =时，求不等式()()2f x g x ≤的解集；（2）若函数()()222f x h x atx t =+++在区间(]1,3上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）答案见解析 （2）24311t -<≤-【解析】【分析】（1）化简不等式()()2f x g x ≤为()()2log 1log 21a a x x -≤+，按照01a <<和1a >分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可；（2）将零点问题转化为2121x t x +=-+有解，设(]12,4m x =+∈，则132m t m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，利用函数32y m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的单调性求解参数范围即可.【小问1详解】当1t =时，不等式()()2f x g x ≤可化为()()2log 1log 21a a x x -≤+，若01a <<，则()210210121x x x x ⎧->⎪⎪+>⎨⎪-≥+⎪⎩，解得4x ≥，所以不等式()()2f x g x ≤的解集为[)4,+∞；若1a >，则()210210121x x x x ⎧->⎪⎪+>⎨⎪-≤+⎪⎩，解得14x <≤，所以不等式()()2f x g x ≤的解集为(]1,4；综上所述，当01a <<时，不等式()()2f x g x ≤的解集为[)4,+∞；当1a >时，不等式()()2f x g x ≤解集为(]1,4；【小问2详解】的由题意可知()()log 1222221a x h x atx t tx x t -=+++=+++，令2210tx x t +++=，即()()221t x x +=-+，因为(]1,3x ∈，所以(]12,4x +∈，所以20,20t x ≠+≠，所以2121x t x +=-+，设(]12,4m x =+∈，则()212132m m t m m -+⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，因函数32y m m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在(]2,4上单调递减，所以111342t -≤<-，所以24311t -<≤-.17. 已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=-，且π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z （2【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据整体角范围求余弦值，再由ππ2266αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】为()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππsin cos cos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭11cos cos cos 22x x x x x =+-+πcos 2sin 6x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.由ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦Z 时，函数单调递减，所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+,2π+,33k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），则得到函数π(2)2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，所以πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.若()65g α=-，则π6()2sin 265g αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， π3sin 265α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得ππ2π2,623α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又πsin 206α⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以ππ2,062α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭.故cos2α18. 如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90,ADC BAD F ∠=∠=︒为PA 的中点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 为矩形．（1）求证：//AC 平面DEF ；（2）求平面ABCD 与平面BCP 的夹角的余弦值；（3）求点F 到平面BCP 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2； （3）14.【解析】【分析】（1）设CP DE G = ，由三角形中位线性质可得//AC FG ，由线面平行判定推理即可.（2）以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面BCP 的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果.（3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果.【小问1详解】令CP DE G = ，连接FG ，由四边形PDCE 为矩形，得G 为PC 中点，又F 为PA 中点，则//AC FG ，又FG ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以//AC 平面DEF .【小问2详解】由PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90ADC ∠=︒，得直线,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，直线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,0),(1,1,0),B C P，(1,1,0),(0,BC CP =-=- ，设平面BCP 的法向量(,,)n x y z =，则020BC n x y CP n y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，得n = ，由z 轴⊥平面ABCD ，得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m = ，则|||cos ,|||||m n m n m n ⋅〈〉== ，所以平面ABCD 与平面BCP.【小问3详解】由（2）知：1(2F，则1(,0,2PF = ，而平面BCP的法向量n = ，所以点F 到平面BCP 的距离1||1224||PF n d n ⋅=== .19. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，上､下顶点分别为1A ，2A ，且四边形1122A F A F的面积为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：(0)y kx m m =+>与椭圆C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 关于原点的对称点分别为M ，N ，若22OP OQ +是一个与m 无关的常数，则当四边形PQMN 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的性质及已知条件可得a ，b ，c 的关系，从而可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆C 的标准方程；（2）直线l 方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP |2+|OQ |2，由|OP |2+|OQ |2是一个与m 无关的常数，可求出k 的值，表示出四边形PQMN 面积，求出当四边形PQMN 面积最大时m 的值，即可求解直线l 的方程．【小问1详解】12c e a ==，112212222A F A F S c b bc =⋅⋅==四边形bc =，因为a 2＝b 2+c 2，所以a ＝2，b =，c ＝1，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】如图，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， ()()22222222221122112233||3344OP OQ x y x y x x x x +=+++=+-++-()(2221212121166[)244x x x x x x ⎤=++=++-⎦，联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，Δ＝（8km ）2﹣4（4m 2﹣12）（3+4k 2）＞0，即m 2＜3+4k 2，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+.，22222218824||6[)43434km m OP OQ k k ⎛⎤--+=+- ⎥++⎝⎦ 22222213224967264(34)k m m k k -++=+⋅+，因为|OP |2+|OQ |2是一个与m 无关的常数，所以32k 2﹣24＝0，234k =，k =，1243km x x -+=，212263m x x -=，PQ ===点O 到直线l 的距离O d =，所以12POQ O S PQ d ==≤= ，=，即m 2＝3，因为m ＞0，所以m =因为S 四边形MNPQ ＝4S △POQ △POQ 最大时，S 四边形MNPQ 最大，所以l y x =+：y x =+．20. 已知函数()()sin ln 1f x a x x =-+.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）若对(]1,0x ∀∈-时，()0f x ≥，求正实数a 的最大值；（3）若函数()()1esin x g x f x a x +=+-的最小值为m ，试判断方程()1e ln 10x m x +--+=实数根的个数，并说明理由.【答案】（1）y x =（2）1（3）1个实数根，理由见解析【解析】公众号：高中试卷君【分析】（1）根据导数的几何意义，求解即可；（2）两次求导后，分01a <≤和1a >两种情况，结合隐零点问题，分析()f x 的单调性，确定使得()0f x ≥对(]1,0x ∀∈-恒成立时正实数a 的值即可；（3）先结合隐零点问题的处理方法，求得m 的取值范围，再将原问题转化为求方程()1ee ln 10x m x +-+=的实数根的个数，然后构造函数()1()ee ln 1x m H x x +=-+，并再次运用隐零点证明()H x 有唯一零点，进而得解.【小问1详解】当2a =时，()()2sin ln 1f x x x =-+，1()2cos 1f x x x '=-+，所以(0)0f =，(0)1f '=，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为y x=【小问2详解】由题意知，1()cos 1f x a x x '=-+，令1()cos 1h x a x x =-+，所以()21()sin 1h x a x x '=-++，因为(]1,0x ∈-，所以sin 0x <，而a 为正实数，所以()21()sin 01h x a x x '=-+>+在(]1,0x ∈-上恒成立，所以函数()()f x h x '=在区间(]1,0-上单调递增，且(0)1f a '=-，①当01a <≤时，()(0)0f x f ''≤≤在区间(]1,0-上恒成立，所以函数()f x 在(]1,0-上单调递减，此时()(0)0f x f ≥=，符合题意；②当1a >时，(0)10f a =->'，11(1)cos(1)0f a a a a a a'-=--<-=，由零点存在定理知，011,0x a ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，所以函数()f x 在0(1,)x -上单调递减，在0(,0)x 上单调递增，则当0(,0)x x ∈时，有()(0)0f x f <=，不符合题意，综上，正实数a 的最大值为1【小问3详解】方程()1e ln 10x m x +--+=实数根有且只有一个，理由如下：()()11e sin e ln(1)x x g x f x a x x ++=+-=-+()1x >-，所以()11e 1x g x x +'=-+，令()11e 1x G x x+=-+，则()()121e 01x G x x +'=+>+在(1,)-+∞上恒成立，所以()()g x G x '=在(1,)-+∞上单调递增，因(0)e 10g '=->，1()202g '-=-<，所以11(,0)2x ∃∈-，使得1()0g x '=，即1111e 1x x +=+，两边同时取对数得，11111lnln(1)1x x x +==-++，而()g x 在()11,x -上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，所以111111min ()()n 1e l (1)11x m g x g x x x x +-+=++==+=，令11t x =+，则1(,1)2t ∈，所以1m t t=+，在1(,1)2t ∈上单调递减，所以522m <<因为()()11e ln 1e e e ln 10x m m x m x x +--+⎡⎤-+=-+=⎣⎦，且e 0m -≠，所以方程()1e ln 10x m x +--+=的实数根等价于()1e e ln 10x m x +-+=的实数根，设()1()e e ln 1x m H x x +=-+，其中522m <<，则1e ()e 1m x H x x+'=-+，令1e ()e 1m x t x x+=-+，则()12e ()e 01m x t x x +'=+>+在(1,)-+∞上恒成立，所以()()H x t x '=在(1,)-+∞上单调递增，又(0)e e 0mH '=-<，e (1)(1)0m m H m m -'-=>，所以2(0,1)x m ∃∈-，使得2()0H x '=，即212e e 1m x x +=+，两边取对数得，221ln(1)x m x +=-+，即221ln(1)m x x =+++，为又1111ln 1x x +=+，且11111m x x =+++，所以1111ln 11m x x +=++，设()ln m x x x =+，则1()10m x x '=+>在(0,)+∞上恒成立，所以函数()m x 在(0,)+∞上单调递增，所以21111x x +=+，且()2111ln 1ln 11x x x +==++，因为函数()H x 在2(1,)x -上单调递减，在2()x +∞上单调递增，所以()()()21min 2222221()()e e ln 1e ln 1e 1101x m m m H x H x x x x x x +⎡⎤==-+=-+=+-+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎣⎦，即函数()H x 只有唯一零点2x ，故方程()212e e ln 10x m x +-+=的实数根有且只有一个，即方程()1e ln 10x m x +--+=实数根有且只有一个.【点睛】关键点睛：第二问的关键是两次求导得当()f x '的单调性，结合隐零点以及零点存在定理分类讨论得到()f x 的单调性，第三问的关键是将方程()1e ln 10x m x +--+=的实数根等价于()1e e ln 10x m x +-+=的实数根，构造函数()1()e e ln 1x m H x x +=-+，结合导数研究根的个数.。

重庆南开中学高2014级高三10月月考数 学 试 题（理）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 43cos()6π-=（ ） A ．12- B ．12C ．3-D ．32. 集合{|lg }U x y x ==，1{|,2}P y y x x==>，则U C P =（ ）A ．1(,)2-∞B ．1(0,)2C ．1(,)2+∞D ．1[,)2+∞3. “1()42x<”是“lg(2)1x +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知tan 3α=，则23sin 2sin cos ααα-⋅=（ ）A ．2110 B ．2410 C ．2510D ．26105. 已知m N ∈，函数37()m f x x -=关于y 轴对称且在(0,)+∞上单调递减，则m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 6. 已知1sin cos 3αα+=，则(tan cot )(1tan )sin αααα+⋅+=( ) A ．1681 B ．8116 C ．1627 D ．27167. 若5log 4a =,25(log 3)b =,4log 5c =，则（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c << 8. 如题(8)图，在第一象限由直线2y x =，12y x =和曲线1y x=所围图形的面积是（ ）A ．ln 2B ．2ln 2C ．1ln2-D ．1ln2+9. 若关于x 的方程|1|20xa x --=有两个不相等的实题(14)图数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)(1,)e e UB ．1(0,)(1,2)2e e UC ．221(0,)(1,)e eU D ．2(1,)e10. 已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：(1)[()()]0'-->x f x f x ，22(2)()--=x f x f x e ，则下列判断一定正确的是（ ）A ．(1)(0)<f fB ．(2)(0)>f efC ．3(3)(0)>f e f D ．4(4)(0)<f e f第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11. 函数212()log (23)f x x x =--的单调递减区间为________________．12. 函数y x =+________________． 13. 若非空．．集合2{|,}A x m x Z =>∈至多含有4个元素，则实数m 的取值范围是________________．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14. 如题(14)图，O e 是ABC ∆的外接圆，过点C 作O e 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =，3AB BC ==，则AC =________________．15. 在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．若曲线1ρ=和2cos()3πρθ=+交于,A B两点，则||AB =________________．16. 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是________________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分13分）已知函数22()(sin cos )2cos 2f x x x x =++-． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当3[,]44x ππ∈时，求()f x 的值域． 18. （本小题满分13分）已知函数()22x xf x -=-． （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并证明；（Ⅱ）若2(1)(1)0f m f m -+-<，求实数m 的取值范围．19. （本小题满分13分）已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-． （Ⅰ）求()f x 的对称轴方程； （Ⅱ）已知3sin()5αβ+=-，4cos()45πβ+=-，3,()24ππαβ∈，求()f α的值．20. （本小题满分12分）已知函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++()a R ∈. （Ⅰ）若()f x 在(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围； （Ⅱ）若()f x 在(0,)e 内有极小值12，求a 的值.21. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，焦点到其相应准线的距离是3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，使得81||||7AM AN ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22. （本小题满分12分）已知()=xf x e ，24()2+-=x xg x ．（Ⅰ）若关于x 的方程2[()]()40f x m f x +⋅+=有两个不相等的正根，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）直线(1)=>y t t 与(),0,()y f x x y g x ===的图象分别交于,,M S N 三点．求证：不存在两个不同的t 使得||||SM SN 的值相等．重庆南开中学高2014级高三10月月考数学试题答案（理）一、选择题1~5 CDBAB 6~10 DDACC 二、填空题11. (3,)+∞ 12. (,1]-∞ 13. [222,45)-+ 14.37215. 3 16. [2,4]-三、解答题17.解：（I ）2()12sin cos 2cos 2sin 2cos 22sin(2)4f x x x x x x x π=++-=+=+故的单调增区间为（II ）∴∴当时，的最大值为1,最小值为2-18.解：（Ⅰ）()f x 定义域为R ，当x 递增时，2x递增，12x-递增，∴()f x 在R 上递增； ∵()22()xx f x f x --=-=-，∴()f x 是奇函数（Ⅱ）∵()f x 是奇函数，∴原不等式等价于22(1)(1)(1)f m f m f m -<--=- ∵()f x 在R 上递增，∴211m m -<-，解得(,2)(1,)m ∈-∞-+∞U19.解：（Ⅰ）7733()sin coscos sin cos cos sin sin4444f x x x x x ππππ=+++ 222sin()4x x x π==-令42x k πππ-=+，解得()f x 的对称轴是34x k ππ=+，k Z ∈（Ⅱ）()2sin()2sin[()()]44f ππαααββ=-=+-+2sin()cos()2cos()sin()44ππαββαββ=++-++…………（*） ∵324ππαβ<<≤ ∴3(,)2παβπ+∈，3(,)44ππβπ+∈ ∴4cos()5αβ+=-，3sin()45πβ+= 代入（*）式得∴48()25f α=20.解：（Ⅰ）∵()f x 在(2,)+∞上单调递增，∴2(1)()0x a x af x x-++'=≥在(2,)+∞恒成立即2(1)0x a x a -++≥在(2,)+∞恒成立，即2(1)0x a x x -+-≥在(2,)+∞恒成立即2(1)x a x x --≥在(2,)+∞恒成立，即a x ≤在(2,)+∞恒成立 ∴实数a 的取值范围是(,2]-∞（Ⅱ）()f x 定义域为(0,)+∞，2(1)()(1)()x a x a x a x f x x x-++--'==①当1a >时，令()0f x '>，结合()f x 定义域解得01x <<或x a > ∴()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 上单调递减此时21()()ln 2f x f a a a a a ==--+极小值 若()f x 在(0,)e 内有极小值12，则1a e <<，但此时211ln 022a a a a --+<<矛盾②当1a =时，此时()f x '恒大于等于0，不可能有极小值 ③当1a <时，不论a 是否大于0，()f x 的极小值只能是1(1)2f a =-- 令1122a --=，即1a =-，满足1a < 综上所述，1a =-21.解：（Ⅰ）由题得12c a =，23a c c -= 联立222a c b =+ 解得 2a =，1c =，23b = ∴椭圆方程为22143x y += （Ⅱ）易知直线m 斜率存在，设直线:m (4)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y 与椭圆方程联立得 2222(34)3264120k x k x k +-+-= ∴2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，解得1122k -<< 21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+又12||||4|4|AM AN x x ⋅=--212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++∴223681(1)347k k +=+，解得k =1122k -<<∴直线m的方程为(4)4y x =±-22.解：（Ⅰ）∵2()40x x e m e +⋅+=有两个不相等的正根，令xt e =∴关于t 的方程240t m t +⋅+=有两个大于1且不相等的根∴214016012m m m ⎧⎪++>⎪∆=->⎨⎪⎪->⎩ 解得(5,4)m ∈-- （Ⅱ）联立y t =和()xf x e =，解得ln x t =，∴||ln SM t =联立y t =和()=g x 21t x t -=，∴21||t SN t-=∴2||ln ||1SM t t SN t =-，令2ln ()1t th t t =- 不存在两个不同的t (1)t >使得||||SM SN 的值相等⇔不存在两个不同的t (1)t >使()h t 的值相等2222ln ln 1()(1)t t t t h t t ---'=-令22()ln ln 1u t t t t t =--- ∴1()2ln u t t t t t '=--，21()12ln u t t t''=-- ∵当1t >时，21()12ln 0u t t t''=--< ∴()u t '在(1,)+∞上单调递减 ∴当1t >时，()(1)0u t u ''<= ∴()u t 在(1,)+∞上单调递减 ∴当1t >时，()(1)0u t u <=∴当1t >时，22()()0(1)u t h t t '=<- ∴()h t 在(1,)+∞上单调递减∴不存在两个不同的t (1)t >使()h t 的函数值相等，结论得证。

【方法综述】导数中的参数问题主要指的是形如“已知不等式恒成立、存在性、方程的根、零点等条件，求解参数的取值或取值范围”.这类问题在近几年的高考中，或多或少都有在压轴选填题或解答题中出现，属于压轴常见题型。

而要解决这类型的题目的关键，突破口在于如何处理参数，本专题主要介绍分离参数法、分类讨论法及变换主元法等，从而解决常见的导数中的参数问题。

【解答策略】一．分离参数法分离参数法是处理参数问题中最常见的一种手段，是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边（当然部分题目半分离也是可以的），从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离. 1．形如()()af x g x =或()()af x g x <(其中()f x 符号确定)该类题型，我们可以把参数和自变量进行完全分离，从而把含参数问题转化为不含参数的最值、单调性或图像问题.例1．已知函数432121()ln 432e f x x x ax x x x =-++-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．21[,)e e++∞B ．(0,]eC ．21[2,)e e--+∞ D ．[21,)e -+∞【来源】广东省茂名市五校2020-2021学年高三上学期第一次（10月）联考数学（理）试题 【答案】A【解析】32()2ln 0f x x ex ax x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立2ln 2xa ex x x⇔≥+-， 设2ln ()2x p x ex x x =+-，221ln 2()()x e x x p x x-+-'=， 当0x e <<时，()0p x '>；当x e >时，()0p x '<；()p x ∴在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减，21()()p x p e e e∴≤=+，21a e e ∴≥+.故选：A .专题6.2 导数中的参数问题【举一反三】1.（2020·宣威市第五中学高三（理））若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++， 记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x-'=+-=+， 当1x >时，2210x x ->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x=++有解，得2k ≥，所以k 的最小值为2.故选：C. 2．（2020·广东中山纪念中学高三月考）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（ ）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B【解析】由12f a -=-+（） ，可得222alnx x a --≤-+ 在0x ＞ 恒成立， 即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e = 时，0e -＞ 2显然成立；当0x e ＜＜ 时，有10lnx -＞ ，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==-- 由0x e ＜＜ 时，223lnx ＜＜ ，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜ ， 可得0a ≥ ；当x e ＞ 时，有10lnx -＜ ，可得21x a lnx ≤- ， 设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（）， 由32 e x e ＜＜ 时，0g x g x （）＜，（）' 在32 e e （，）递减， 由32x e >时，0g x g x '（）＞，（） 在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， 即有)g x （ 在32x e = 处取得极小值，且为最小值32e ， 可得32a e ≤ ，综上可得302a e ≤≤ ．故选B ．3.（2020湖南省永州市高三）若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】原不等式等价于：令，则存在，使得成立又 当时，，则单调递增；当时，，则单调递减，，即当且仅当，即时取等号，即，本题正确选项：2．形如()(),f x a g x =或()()af x g x <（其中(),f x a 是关于x 一次函数）该类题型中，参数与自变量可以半分离，等式或不等式一边是含有参数的一次函数，参数对一次函数图像的影响是比较容易分析的，故而再利用数形结合思想就很容易解决该类题目了.【例2】已知函数2ln 1()x mx f x x+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意2ln 1()0x mx f x x+-==，得2ln 1x m x +=， 设2ln 1()(0)x h x x x +=>，求导4332(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)()x x x x x h x x x x-+-+-+'=== 令()0h x '=，解得12x e -=当120x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12x e ->时，()0h x '<，()h x 单调递减； 故当12x e -=时，函数取得极大值，且12()2e h e -=又1=x e时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →； 作出函数大致图像，如图所示：又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44eh +== 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2ln 1()x h x x+=的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214em ≤< 故选：B.【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【举一反三】1．（2020·重庆市第三十七中学校高三（理））已知函数32()32f x x x ax a =-+--，若刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，则实数a 的取值范围是( )A ．20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】令32()3,()(2)()()()g x x x h x a x f x g x h x =-+=+∴=-，且2'()36g x x x =-+， 因为刚好有两个正整数(1,2)i x i =使得()0i f x >，即()()i i g x h x >， 作出(),()g x h x 的图象，如图所示，其中()h x 过定点(2,0)-，直线斜率为a ，由图可知，203a ≤≤时， 有且仅有两个点()()1,2,2,4满足条件， 即有且仅有121,2x x ==使得()0i f x >. 实数a 的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎦⎝，故选：A2（2020济宁市高三模拟）已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是( ) A ．(3，4) B ．(4，5)C ．(5，6)D ．(6．7)【答案】C 【解析】由xlnx+（3﹣a ）x+a ＝0，得，令f （x ）（x ＞1），则f′（x ）．令g （x ）＝x ﹣lnx ﹣4，则g′（x ）＝10，∴g（x ）在（1，+∞）上为增函数， ∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g （6）＝2﹣ln6＞0， ∴存在唯一x 0∈（5，6），使得g （x 0）＝0，∴当x∈（1，x 0）时，f′（x ）＜0，当x∈（x 0，+∞）时，f′（x ）＞0． 则f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C3.（2020蚌埠市高三）定义在上的函数满足，且，不等式有解，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，故，因，所以即.不等式有解可化为即在有解.令，则，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；故，所以，故选C.二．分类讨论法分类讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用，常见的有二次型和指对数型讨论. 1.二次型根的分布或不等式解集讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参数二次不等式或二次方程， 可以依次考虑依次根据对应定性（若二次项系数含参），开口，判别式，两根的大小（或跟固定区间的端点比较）为讨论的依据，进行分类讨论，然后做出简图即可解决.【例3】（2020·全国高三专题）函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞C ．3360,6e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解.【详解】()()()()22331x xx x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e-=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根，且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内， 或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内.令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D【举一反三】1．（2020·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( )A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)e D ．1(,)e+∞【答案】A【解析】易知当k ≤0时，方程只有一个解，所以k >0．令2()ln h x kx x =-，2121(21)(21)()2kx k x k x h x kx x x x--+=-=='， 令()0h x '=得12x k =，12x k=为函数的极小值点， 又关于x 的方程()f x =()g x 在区间1[,]e e内有两个实数解，所以()01()01()02112h e h e h k e ek ≥⎧⎪⎪≥⎪⎪⎨<⎪⎪⎪<<⎪⎩，解得211[,)2k e e ∈，故选A.2.（2020扬州中学高三模拟）已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】∵，∴．∵函数有两个不同的极值点，，∴，是方程的两个实数根，且，∴，且，解得．由题意得．令，则，∴在上单调递增，∴．又不等式恒成立，∴，∴实数的取值范围是．故答案为．2．指数对数型解集或根的讨论该类题型在进行求解过程，关键步骤出现求解含参指对数型不等式或方程， 可以依次考虑依次根据对应指对数方程的根大小(或与固定区间端点的大小)为讨论的依据,进行分类讨论. 即可解决.【例4】（2020•泉州模拟）已知函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae ，若存在a ∈（﹣1，1），使得关于x 的不等式f （x ） ﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）【答案】A【解析】不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，即k ≤f （x ）恒成立； 则问题化为存在a ∈（﹣1，1），函数f （x ）＝ae x ﹣x ﹣ae 有最小值，又f ′（x ）＝ae x ﹣1，当a ∈（﹣1，0]时，f ′（x ）≤0，f （x ）是单调减函数，不存在最小值； 当a ∈（0，1）时，令f ′（x ）＝0，得e x ＝，解得x ＝﹣lna ， 即x ＝﹣lna 时，f （x ）有最小值为f （﹣lna ）＝1+lna ﹣ae ； 设g （a ）＝1+lna ﹣ae ，其中a ∈（0，1），则g ′（a ）＝﹣e ，令g ′（a ）＝0，解得a ＝，所以a ∈（0，）时，g ′（a ）＞0，g （a ）单调递增；a ∈（，1）时，g ′（a ）＜0，g （a ）单调递减；所以g （a ）的最大值为g （）＝1+ln ﹣•e ＝﹣1； 所以存在a ∈（0，1）时，使得关于x 的不等式f （x ）﹣k ≥0恒成立，则k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A ． 【举一反三】1．函数()()211,12x f x x e kx k ⎛⎫⎛⎤=--∈⎪⎥⎝⎦⎝⎭,则()f x 在[]0,k 的最大值()h k =（ ） A . ()32ln22ln2-- B . 1- C . ()22ln22ln2k -- D . ()31k k e k --【答案】D2．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域，当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x 的“转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是 A ．[]0,e B ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞ 【答案】B【解析】由题可得()2xf x e ax =--'，则在()00,x y 点处的切线的斜率()0002xk f x e ax ==--'，0200122x y e ax x =--，所以函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线方程为：00200001(2)(2)()2x x y e ax x e ax x x ---=---，即切线()00200001:=(2)()+22x xl y g x e ax x x e ax x =-----，令()()()h x f x g x =-， 则002200011()2(2)()222x x xh x e ax x e ax x x e ax x =-------++，且0()0h x = 0000()2(2)=+x x x x h x e ax e ax e ax e ax =-------'，且0()0h x '=，()x h x e a ='-'，（1）当0a ≤时，()0xh x e a =-'>'，则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（2）当01a <<时， ()0xh x e a =-'>'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，所以当[)00,x x ∈，0()()0h x h x ''<=，当(]0,1x x ∈，0()()0h x h x ''>=，则()h x 在区间[)00,x 上单调递减，0()()0h x h x >=，在(]0,1x 上单调递增，0()()0h x h x >=，所以当[)00,x x ∈时，0()()0h x x x -<，不满足题意，舍去，（3）当1a =，()10x h x e =-'≥'（[]0,1x ∈），则()h x '在区间[]0,1上单调递增，取00x =，则()10x h x e x =-->'，所以()h x 在区间(]0,1上单调递增，0()()0h x h x >=，当00x x ≠=时，0()()0h x x x ->恒成立，故00x =为函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上的一个“转折点”，满足题意。

重庆南开中学2015届高三10月月考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷(选择题共50分)一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A ，B 为两个集合，若命题，都有则( )A ．使得B ．使得C ．使得D ．，2．已知向量，，则与 ( )A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向3．设集合，{|y 2,N y x x M ==∈｝则集合 ( )A ．(—2，4)B ．(—1，2)C ．D ．4．已知正项等比数列中，为其前项和，且则（ ）A ．B ．C ．D ．5．对于平面、、和直线、、、下列命题中真命题是( )A ．若，则B ．若则C ．若则D ．，则6．若实数满足约束条件 ，则目标函数的最小值是（ ）A ．0B ．4C ．D ．7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．B ．C ．D ．8．将函数 的图像向右平移个单位，再将图象上每一点横坐 标伸长为原来的2倍后得到图像，若在上关于的方程有两个不等的实根．,则的值为( )A ．B ．C ．D ．9．已知函数是定义在R 上的奇函数，且(其中导函数)恒成立．若(ln 3)(ln 2),,(1)32f f a b c ef ===-,则的大小关系是( )A ．B ．C ．D ．10．已知函数，，若对任意的实数．，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．复数对应的复平面上的点在第 象限．12．若 则的值为 ．13．已知正实数成等差数列，成等比数列，则的最小值是．14．在中，角对应的边分别为若且2cos cos cos a A b C c B =+ 则边的长为 ．15．如图，已知边长为1的正方形位于第一象限，且顶点分别在的正半轴上(含原点)滑动，则的最大值是 ．三．解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16：(本小题满分13分)某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组．(1)科研攻关小组中男、女职员的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中7212x π+恰有一名女职员的概率．17．(本小题满分13分)已知递增等差数列首项为其前项和，且成等比数列．(1) 求的通项公式；(2) 设求数列的前项和18．(本小题满分13分)如图所示，平面，四边形为正方形，且．分别是线段的中点．(1) 求证：(2) 求证：19．(本小题满分12分) 设函数2()2sin cos cos sin sin (02f x x x x ϕϕϕπ=+-＜＜）在处取最小值． (1)求的值；(2)若实数满足1()(),(,)252f f ππαααπ+-=∈试求的值．20．(本小题满分12分)如图，底面为菱形的直四棱柱，所有棱长都为2,，E 为的延长线上一点，．(1) 求线段的长度及三棱锥的体积(2) 设交于点，在线段上是否存在一点，？若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)设函数2()2(4)()f x ax a x lnx a R =+++∈(1) 若，求在点处的切线方程；(2) 若为整数，且函数的图象与轴交于不同的两点，试求的值．。

重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。