【精编】2016-2017年青海省师大附中高二(上)数学期中试卷和参考答案

2016-2017学年青海师大二附中高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．2．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点3．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．α内的任何直线都与β平行C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．直线a⊂α，直线a∥β4．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直5．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为（）A．24πcm2，12πcm3B．15πcm2，12πcm3C．24πcm2，36πcm3D．以上都不正确6．直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a、b、c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b|C．a=b且c=0 D．c=0或c≠0且a=b7．设l、m、n是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若l⊥α，l∥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若α⊥β，l⊂α，n⊂β则l⊥n8．若直线l1：ax+2y﹣9=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a的值为（）A．1或2 B．1或﹣2 C．1 D．﹣29．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD②B1D⊥面EFG③面EFG∥面ACC1A1④EF∥面CDD1C1正确结论的序号是（）A．①和②B．②和④C．①和③D．③和④10．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8）D．（﹣6，﹣8）11．已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB 的距离为4，那么tanθ的值等于（）A．B．C．D．12．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．[﹣1，5] B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成60°角，则圆台的侧面积为．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于．15．两平行直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：6x+8y﹣5=0之间的距离为．16．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．18．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．19．若ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，0），B（6，7），C（0，3）．①求BC边上的高所在直线的方程；②求BC边上的中线所在的直线方程．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．2016-2017学年青海师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】因为直线的斜率是倾斜角的正切值，所以要求倾斜角，先求直线的斜率，把直线方程化为斜截式，就可求出斜率，再根据斜率求出倾斜角．【解答】解：直线x﹣y+1=0互为斜截式，得y=x+∴直线x﹣y+1=0d的斜率为，设倾斜角为θ则tanθ=，∴θ=故选A2．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（）A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面平行的定义，判断直线与平面内的直线有平行与异面两种位置关系，从而判定答案．【解答】解：∵a∥平面α，b⊂α，∴直线a与直线b的位置关系是：a∥b或a与b异面，∴选项A、B、C错误，D正确．故选D．3．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线与β平行B．α内的任何直线都与β平行C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD．直线a⊂α，直线a∥β【考点】平面与平面平行的判定．【分析】根据面面平行的判定定理，只要其中一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面即可．【解答】解：对于选项A，α内有无穷多条直线与β平行，如果这无穷多条直线是平行的，α，β可能相交；对于选项B，α内的任何直线都与β平行，一定有两条相交直线与β平行，满足面面平行的判定定理，可以得到α∥β；对于选项C，直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α，如果a，b都平行α，β的交线，但是α与β相交；对于选项D，直线a⊂α，直线a∥β，α，β可能相交；故选B．4．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D．【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 符合题意．故选D．5．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm）则该几何体的表面积和体积分别为（）A．24πcm2，12πcm3B．15πcm2，12πcm3C．24πcm2，36πcm3D．以上都不正确【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图及其尺寸，我们易判断这个几何体是圆锥，且底面直径为6，圆锥的母线长为5，代入圆锥的表面积和体积公式，我们易得结论．【解答】解：由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5=π•r2=9π则圆锥的底面积S底面=π•r•l=15π侧面积S侧面故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm2，又由圆锥的高h==4•h=12πcm3故V=•S底面故选A．6．直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a、b、c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b|C．a=b且c=0 D．c=0或c≠0且a=b【考点】直线的一般式方程．【分析】当c=0时，直线ax+by+c=0（ab≠0）过原点，在两坐标轴上的截距相等，当c≠0时，直线在两坐标轴上的截距分别为和，由题意可得=，解得a=b，由此得出结论．【解答】解：当c=0时，直线ax+by+c=0（ab≠0）过原点，在两坐标轴上的截距相等．当c≠0时，直线在两坐标轴上的截距分别为和，由题意可得=，故a=b．综上，当c=0或c≠0且a=b时，直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，故选D．7．设l、m、n是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若l⊥α，l∥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若α⊥β，l⊂α，n⊂β则l⊥n【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理即可判断出；B．由α⊥β，l⊂α，推不出l⊥β；C．由l⊥n，m⊥n，可得l∥m、相交或为异面直线都有可能；D．由α⊥β，l⊂α，n⊂β，可得l∥n、相交或为异面直线都有可能．【解答】解：A．由l⊥α，l∥β，利用线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理可得α⊥β；B．由α⊥β，l⊂α，不一定l⊥β，不正确；C．由l⊥n，m⊥n，则l∥m、相交或为异面直线，不正确；D．由α⊥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n、相交或为异面直线，不正确．故选：A．8．若直线l1：ax+2y﹣9=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a的值为（）A．1或2 B．1或﹣2 C．1 D．﹣2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用直线与直线平行的条件求解．【解答】解：∵直线l1：ax+2y﹣9=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，∴，解得a=﹣2或a=1．故选：B．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD②B1D⊥面EFG③面EFG∥面ACC1A1④EF∥面CDD1C1正确结论的序号是（）A．①和②B．②和④C．①和③D．③和④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①利用直线垂直的定义判断．②利用线面垂直的条件进行判断．③利用面面平行的判定进行判断．④利用线面平行的定义和性质判断．【解答】解：如图连接A1C1、A1B、BC1、BD、B1D，因为E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点①因为FG∥BC1，△BDC1是正三角形，所以∠C1BD=60°，因为FG∥BC1，所以异面直线FG与BD所成的角为60°，FG⊥BD不正确，所以①不正确．②因为平面A1C1B∥平面EFG，并且B1D⊥平面A1C1B，所以B1D⊥面EFG，所以②正确．③因为EF和FG和平面面ACC1A1不平行，所以③错误．④EF∥平面CDD1C1内的D1C，所以EF∥面CDD1C1．所以④正确．故选B．10．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8）D．（﹣6，﹣8）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，建立方程组，即可求得结论．【解答】解：设点M的坐标为（a，b），则∴a=﹣6，b=﹣8∴M（﹣6，﹣8），故选D．11．已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB 的距离为4，那么tanθ的值等于（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据已知条件作出图形，根据图形即可找到角θ，根据已知的边的长度即可求出tanθ．【解答】解：如图所示，CO⊥β，垂足为O，CD⊥AB，垂足为D，且CO=3，CD=4，连接DO，∵CO⊥β，∴CO⊥DO，∴在Rt△CDO中，DO=；∵CO⊥β，AB⊂β，∴CO⊥AB，即AB⊥CO，又AB⊥CD，CD∩CO=C；∴AB⊥平面CDO，DO⊂平面CDO，∴AB⊥DO；∴∠CDO是二面角α﹣AB﹣β的平面角，∴∠CDO=θ；∴．故选D．12．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．[﹣1，5] B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：直线PA的斜率为k1==5，直线PB的斜率为k2==﹣1，结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是k2≤k≤k1，即则直线l的斜率k的取值范围是[﹣1，5]，故选A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和较大底面的一条半径相交且成60°角，则圆台的侧面积为6π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出底面半径，代入圆台的侧面积公式进行运算．【解答】解：圆台的轴截面如图由已知，∠DBE为母线和下底面的一条半径成的角，∴∠DBE=60°，设圆台上底面的半径为r，下底面的半径为R，过D作DE⊥OB于E，在RT△DEB中，母线DB=2，∴EB=R﹣r=DB•cos∠DBE=2×=1，∴R=2故圆台的侧面积等于π（r+R）l=π（1+2）×2=6π，故答案为：6π．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于60°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线夹角的定义，将EF平移至MG（G为A1B1中点），通过△MGH为正三角形求解．【解答】解：取A1B1 中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH=60°∴EF与GH所成的角等于60°故答案为：60°15．两平行直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：6x+8y﹣5=0之间的距离为．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】把两直线的方程中x，y的系数分别化为相同的，然后用两平行线间的距离公式进行运算．【解答】解：直线l1：3x+4y﹣2=0 即6x+8y﹣4=0，故两平行线间的距离等于=，故答案为：．16．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是9π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，将三棱锥扩展为正方体，它的对角线是球的直径，求解即可．【解答】解：依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径.，r=；S=4πr2=9π表面积故答案为：9π．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设出圆锥的母线与底面半径，根据所给的圆锥的侧面积和圆心角，做出圆锥的母线长与底面半径，利用表面积公式和体积公式做出结果．【解答】解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=∴l=3，∴120°=，∴r=1，∴圆锥的高是∴圆锥的表面积是πr2+πrl=4π圆锥的体积是=18．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．【考点】直线的一般式方程；直线的斜率．【分析】（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣5=﹣（x+2），化为一般式．（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0，由点到直线的距离公式求得待定系数c 值，即得所求直线方程．【解答】解：（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣5=﹣（x+2），化简为3x+4y﹣14=0．（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0，由点到直线的距离公式，得，即，解得c=1或c=﹣29，故所求直线方程3x+4y+1=0，或3x+4y﹣29=0．19．若ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，0），B（6，7），C（0，3）．①求BC边上的高所在直线的方程；②求BC边上的中线所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】①由已知中ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，0），B（6，7），C（0，3）．我们可以求出直线BC的斜率，进而求出高的斜率，进而根据点斜式，求出答案．②由已知中ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，0），B（6，7），C（0，3）．我们可以求出直线BC的中点的坐标，进而根据二点式，求出答案．【解答】解：①∵B（6，7），C（0，3）．∴直线BC的斜率k AB==故BC边上的高所在直线的斜率k=设BC边上的高所在直线的方程为y=x+b∵A（4，0），解得b=6故y=x+6即3x+2y﹣12=0②∵B（6，7），C（0，3）．∴BC边上的中点为（3，5）∵A（4，0），则BC边上的中线所在的直线方程为即5x+y﹣20=020．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）要证BC1⊥面A1B1CD；应通过证明A1B1⊥BC1．BC1⊥B1C两个关系来实现，两关系容易证明．（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．在RT△A1BO中求解即可．【解答】解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1．所以A1B1⊥BC1．又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PB的中点O，连接ON，OA，通过证明四边形MNOA为平行四边形．得出MN∥AO，根据判定定理即可证明．（2）容易得出∠PAB为平面PDA与平面ABCD成二面角的平面角，在RT△PBA中，求出椎体的高PB，利用锥体体积公式计算即可．【解答】（1）证明：取PB的中点O，连接ON，OA，∵O，N分别是PB，PC的中点，∴ON∥BC，ON=BC又AD∥BC，AM=AD，∴ON∥AM，ON=AM．∴四边形MNOA为平行四边形．∴MN∥AO而MN⊄平面PAB，AO⊂平面PAB∴MN∥平面PAB．（2）解：∵PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PB⊥AD，又AB⊥AD，AB∩PB=B，∴AD⊥面PAB，∴AD⊥PA．∴∠PAB为平面PDA与平面ABCD成二面角的平面角，∴∠PAB=60°，在RT△PBA中，PB=tan∠PAB•AB=a，=S ABCD×PB=×a2×a=∴V P﹣ABCD22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：2016年12月10日。

2015-2016学年第一学期青海师大附属中学高二期末数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“”的否定是（）A． B． C． D．2.经过两点，的直线的倾斜角为，则（）A．-1 B．-3 C．0 D．23.已知直线与直线平行，则实数的值为（）A． B． C．2 D．-24.对两条不相交的空间直线和，则（）A．必定存在平面，使得B．必定存在平面，使得C．必定存在直线，使得D．必定存在直线，使得5.某四面体的三视图如图，正（主）视图、侧（左）视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A． B． C． D．6.若直线与圆相切，则的值为（）A．1或-1 B．2或-2 C．1 D．-18.在四面体中，，，且平面平面，为中点，则与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．9.圆与圆的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离10.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．11.边长为的正四面体的外接球半径为（）A． B． C． D．12.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.长、宽、高分别为3,4,5的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为.14.过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为 .15.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是 .16.如图所示，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过直线的平面分别与棱分别交于两点，设，，给出以下四个结论：①平面平面；②直线平面始终成立；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常数；以上结论正确的是 .三、解答题（第17题10分，18-22题，每题12分）17.四棱锥中，底面是正方形，边长为，.（1）求证：平面；（2）求证：直线与垂直.18.已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.19.已知三棱锥，其中，，平面，，为的中点.（1）求证：面；（2）求证：平面平面；（3）求四棱锥的体积.20.已知圆心的坐标为，圆与轴和轴都相切.（1）求圆的方程；（2）求与圆相切，且在轴和轴上的截距相等的直线方程.21.如图，在四面体中，平面，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且.（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的大小.22.如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径，是过点P且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点D.（1）求椭圆的方程；（2）求面积取最大值时直线的方程.。

高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

一、选择题1．(0分)[ID ：13008]为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95D ．6.152．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．453．(0分)[ID ：12979]统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数为60；④分数在区间[)120,140的人数占大半．则说法正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④4．(0分)[ID ：12973]从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ． A ．12B ．13C ．23D ．15．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．566．(0分)[ID ：12961]执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．27．(0分)[ID ：12954]执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．118．(0分)[ID ：12947]将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ）A ．5108B ．113C ．17D ．7109．(0分)[ID ：13024]已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m =+和曲线24y x =-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ） A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦10．(0分)[ID ：13020]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．711．(0分)[ID ：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．1812．(0分)[ID ：13014]运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <13．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x14．(0分)[ID ：13006]右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1415．(0分)[ID ：12980]某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A ．7B ．15C ．25D ．35二、填空题16．(0分)[ID ：13127]在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.17．(0分)[ID ：13116]已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______．18．(0分)[ID ：13112]某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ .19．(0分)[ID ：13102]若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为__________．20．(0分)[ID ：13092]某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个.21．(0分)[ID ：13082]如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________.22．(0分)[ID ：13053]为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校,,A B C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）若从高校,B C 抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C 的概率P =__________．23．(0分)[ID ：13041]如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.24．(0分)[ID ：13039]甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．25．(0分)[ID ：13038]某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车出发，并且发出前在车站停靠３分钟，则乘客到站候车时间大于10分钟的概率为________．（结果用分数表示）三、解答题26．(0分)[ID ：13222]某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料： 日期1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日 昼夜温差()x c 10 11 13 12 8 6 就诊人数y (个） 222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程 ；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？附：对于一组数据11(,)u v ，2,2)u v （ ，…，（,)n n u v ，其回归直线V u αβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为i 1i i i 12i n()(?)u )ˆ(n u u v u β==∑-=∑-，ˆ-ˆu ανβ= . 27．(0分)[ID ：13200]为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果： 表1：男生上网时间与频数分布表：表2：女生上网时间与频数分布表：（1）若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（2）完成表3的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？（3）从表3的男生中“上网时间少于60分钟”和“上网时间不少于60分钟”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取两人，求至少有一人上网时间超过60分钟的概率.表3：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，28．(0分)[ID ：13154]某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.3000,3500的频率；（1）求居民收入在[)（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按2500,3000的这段应抽取多少人？分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)29．(0分)[ID：13136]一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率；(Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.30．(0分)[ID：13133]在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．B4．C5．A6．D7．C8．B9．D10．A11．A12．C13．D14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：17．【解析】该组数据的方差为18．【解析】由题意可知与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积即所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为答案19．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的20．24【解析】【分析】设应在高一年级抽取学生数为n首先求出高一年级人数占总人数的百分比然后通过分层抽样的性质由此能求出应在高一年级抽取学生数【详解】设应在高一年级抽取学生数为n因为某校高一年级有60021．12【解析】试题分析：第一圈是x=2;第二圈否x=4否x=5；第三圈是x=6否x=8否x=9；第四圈是x=10否x=12是输出x=12故答案为12考点：程序框图功能识别点评：简单题程序框图功能识别一22．【解析】根据分层抽样的方法可得解得所以若从高校抽取的人中选人作专题发言共有种情况则这二人都来自高校共有种情况所以概率为点睛：本题主要考查了分层抽样和古典概型及其概率的计算问题其中解答中涉及分层抽样的23．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可24．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传25．【解析】由题意知这是一个几何概型因为公共汽车每隔15分钟有一辆车出发所以基本事件总数包括的时间长度为15由于出发前要停靠3分钟所以乘客到站候车时间大于10分钟的事件包括的时间长度为则乘客到站候车时间三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】 根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a=，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案． 【详解】 由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====， 即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7y x a =+，即79ˆ0.722a =⨯+， 解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+， 当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．C解析：C【解析】【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率．【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=． 故选C ．【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．3．B解析：B【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解.【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯， 故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③.故选B.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.4．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 5．A解析：A【解析】【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】 由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A【点睛】 本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.6．D解析：D【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解．【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==； 满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ；…观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得：满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2．故选D ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．7．C解析：C【解析】循环依次为123,123;S K =+==+=369,325;S K =+==+=91019,527;S K =+==+=191433,729;S K =+==+=结束循环,输出9;K =选C.8．B解析：B【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案.【详解】3311166617()216A P AB C C C +==，11155561116691()1216C C C P B C C C =-= ()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B【点睛】 本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．D解析：D【解析】【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案．【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ，若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．10．A解析：A【解析】【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.11．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】 因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 12．C解析：C【解析】【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体．【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=，3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=，5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”.故选：C ．【点睛】本题考查循环结构程序框图.解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．13．D解析：D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97 于是得0m <e m <x .考点：统计初步.14．B解析：B【解析】【分析】【详解】由a=14，b=18，a ＜b ，则b 变为18﹣14=4，由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10，由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6，由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2，由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选B ．15．B解析：B【解析】试题分析：抽样比是，所以样本容量是．考点：分层抽样二、填空题16．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为： 解析：34【解析】【分析】【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 17．【解析】该组数据的方差为解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴= 该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-= 18．【解析】由题意可知与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积即所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为答案 解析：1515π- 【解析】由题意可知，与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积，即2π，所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积302π-。

2015-2016学年青海师大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“”的否定是（）A．B．C．D．2．（5分）经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．23．（5分）已知直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，则实数m的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．（5分）对两条不相交的空间直线a和b，则（）A．必定存在平面α，使得a⊂α，b⊂αB．必定存在平面α，使得a⊂α，b∥αC．必定存在直线c，使得a∥c，b∥cD．必定存在直线c，使得a∥c，b⊥c5．（5分）某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为（）A．B．3πC．D．π6．（5分）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）A．﹣1，1 B．﹣2，2C．1 D．﹣17．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F 分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M 为AB中点，则CM与平面ABD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离10．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x11．（5分）边长为a的正四面体的外接球半径为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）长、宽、高分别为3，4，5的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．14．（5分）已知过点（1，1）的直线与圆x2+y2﹣4x﹣6y+4=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为．15．（5分）若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是．16．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M，N两点，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②直线AC∥平面MENF始终成立；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常数；以上结论正确的是．三、解答题（第17题10分，18-22题，每题12分）17．（10分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，P A=PC=a，（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证，直线PB与AC垂直．18．（12分）已知x，y是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0．19．（12分）已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．20．（12分）如图，圆心C的坐标为（1，1），圆C与x轴和y轴都相切．（1）求圆C的方程；（2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．21．（12分）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2．M 是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．22．（12分）如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．参考答案一、选择题1．D【解析】因为特称命题的否定是全程命题，所以，“”的否定是：．故选：D．2．B【解析】因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）所以直线AB的斜率k==y+2又因为直线的倾斜角为，所以k=﹣1，所以y=﹣3．故选：B．3．A【解析】∵直线l1：x﹣2y+1=0与直线l2：mx﹣y=0平行，∴，解得m=．故选：A．4．B【解析】对于A，若两条直线a、b是异面直线时，则不存在平面α使得a⊂α且b⊂α成立，故A不正确；对于B，因为a、b不相交，所以a、b的位置关系是平行或异面：①当a、b平行时，显然存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立；②当a、b异面时，设它们的公垂线为c，在a、b上的垂足分别为A、B．则经过A、B且与c垂直的两个平面互相平行，设过A的平面为α，过B的平面为β，则α∥β，且a、b分别在α、β内，此时存在平面α，使得a⊂α且b∥α成立．故B正确；对于C，若两条直线a、b是异面直线时，则不存存在直线c，使得a∥c且b∥c成立，故C不正确；对于D，当a、b所成的角不是直角时，不存在直线c，使得a∥c且b⊥c成立，故D不正确．综上所述，只有B项正确．故选：B5．C【解析】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，四面体ABCD满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为R=，所以此四面体的外接球的体积V==．故选C．6．D【解析】圆x2+y2﹣2x=0 即（x﹣1）2+y2 =1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，再根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离d==1，求得a=﹣1，故选：D．7．B【解析】取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH 为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故选B．8．D【解析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，∴DB=．∴O（0，0，0），A（0，0，），B（0，，0），M（0，，），C（，0，0）．∴=（﹣，，）．取平面ABD的法向量=（1，0，0），∴CM与平面ABD所成角的正弦值===．故选：D．9．B【解析】圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选B．10．A【解析】椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，可得，可得，解得，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为：y=±x．故选：A．11．B【解析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，∴棱长为a的正四面体的外接球半径为a．故选：B．12．B【解析】因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．二、填空题13．50【解析】设长方体的长、宽、高分别为3，4，5，即SA=3，SB=4，SC=5．由长方体，得SA，SB，SC两两垂直，所以VA﹣SBC=SA•S△SBC=×3××4×5=10，于是V S﹣ABC=V A﹣SBC=10．故剩下几何体的体积V=3×4×5﹣10=50．故答案为：50．14．4【解析】圆x2+y2﹣4x﹣6y+4=0 即（x﹣2）2+（y﹣3）2=9，表示以C（2，3）为圆心、半径等于3的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大．而弦心距d的最大值为=，∴|AB|的最小值为2=4，故答案为：4．15．【解析】由题意设双曲线方程为﹣=1，离心率为e椭圆x2+=1长轴的端点是（0，），∴a=．∵椭圆x2+=1的离心率为∴双曲线的离心率e=，⇒c=2，∴b=，∴双曲线的方程是．故答案为：．16．①②④【解析】对于①：显然，EF⊥BD，又EF⊥DD′，∴EF⊥平面BDD′B′，∴平面MENF⊥平面BDD′B′；∴①正确；对于②：由已知条件，E、F是所在棱的中点，则EF∥ac，且EF⊂平面MENF，AC⊄平面MENF，∴直线AC∥平面MENF始终成立，故②正确；对于③：M在A时，N在D′，MENF的周长最大，MN在所在棱的中点时，MENF的周长最小，M在B′，N在B时，MENF的周长最大，四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]不是单调函数．故③不正确；对于④：连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常函数，所以④正确．综上，正确的有①②④．故答案为：①②④．三、解答题17．（1）证明：∵PD=a，AD=a，P A=a，∴PD2+DA2=P A2，同理∴∠PDA=90°．即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．（2）证明：连结BD，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，∵PD∩BD=D∴AC⊥平面PDB，∵PB⊂平面PDB，∴AC⊥PB，∴PB与AC所成的角为90°，∴直线PB与AC垂直．18．解：充分性：若xy＞0，则﹣=＜0，即＜成立．必要性：若＜，则﹣=＜0，∵x＞y，∴y﹣x＜0，∴xy＞0，综上＜的充要条件是xy＞0．19．证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点，∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等，∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC.（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形，∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC，∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC．∵EF∥BG，∴EF⊥面ADC∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．解：（Ⅲ）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．．方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，∴AO为V A﹣BCDE的高，，∴．20．解：（1）由题意，圆心C的坐标为（1，1），圆C与x轴和y轴都相切，则半径r=1 所以圆C的方程是：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；（2）由题意，在x轴和y轴上截距相等的直线一定为斜率为﹣1，可设为y=﹣x+b，∵直线与圆相切，∴=1，∴b=2±，故直线方程为x+y﹣2±=0．21．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BD cosθ=2cosθ，CG=CD sinθ=sinθcosθ，BG=BC sinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°22．解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==，令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f（t）===，∴S△=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为．。

2016-2017学年福建省师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）（创新班）一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分）1．在△ABC中,若,则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．在等差数列｛a n｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7﹣a8的值为（）A．4 B．6 C．8 D．103．若ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4},那么对于函数f（x）=ax2+bx+c应有（) A．f(5）＜f(﹣1）＜f（2）B．f（2)＜f(﹣1）＜f（5）C．f（﹣1）＜f(2）＜f(5） D．f（5）＜f（2)＜f（﹣1）4．若a，b，c为实数,下列结论正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0,则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0,则D．若a＜b＜0，则5．等差数列｛a n｝中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和,对任意自然数n，若点（n，S n）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A．B．C．D．6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定7．已知函数f（x）=4x2﹣1,若数列｛｝前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．C．D．8．不等式的解集是（）A．(﹣3，﹣2）（0,+∞）B．（﹣∞，﹣3）（﹣2，0）C．（﹣3,0）D．（﹣∞，﹣3）（0,+∞)9．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+B=C B．B2=AC C．(A+B）﹣C=B2D．A2+B2=A（B+C）10．设 a ＞b ＞0，那么 a 2+的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 11．已知数列{a n ｝满足:a 1=1，a n +1=(n ∈N *）．若b n +1=(n ﹣λ）（+1）,b 1=﹣λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范为（ ）A ．λ＞2B ．λ＞3C ．λ＜2D ．λ＜312．若实数a ，b 满足,则的最大值为（ )A ．1B ．C ．D ．2二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）13．(6分)《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus 是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为 磅．14．(6分)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°，则塔AB 的高是 米．15．（6分）已知｛a n ｝是由正数组成的数列，前n 项和为S n ,且满足:a n +=（n ≥1,n ∈N +），则a n = ．16．（6分）若对于任意实数x,|x +a |﹣｜x +1｜≤2a 恒成立，则实数a 的最小值为 ． 17．(6分）设f （x)=，则f （﹣5）+f （﹣4）+…f(0）+…+f(5）+f （6)的值为 ． 18．（6分)研究问题:“已知关于x 的不等式ax 2﹣bx +c ＞0，令y=，则y ∈（，1），所以不等式cx 2﹣bx +a ＞0的解集为（，1)”．类比上述解法,已知关于x 的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（2，3），则关于x 的不等式+＜0的解集为 ．三、解答题（共5小题，满分54分）19．（12分)已知｛a n}是由正数组成的等比数列，a2=2，且a4,3a3，a5成等差数列．(1）求数列{a n}的通项公式；(2）数列{a n+1﹣λa n｝的前n项和为S n，若S n=2n﹣1(n∈N*）,求实数λ的值．20．（12分）已知△ABC中,A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边,2(sin2A﹣sin2C）=(a﹣b)sinB,△ABC的外接圆半径为，（1）求角C；(2）求△ABC面积S的最大值．21．(6分）（1）已知a、b∈R+,且a+b=3，求ab2的最大值．（2）设函数f（x)=｜2x+1|﹣｜x﹣2|，求不等式f（x）＞2的解集．22．（10分）某工厂要制造A种电子装置42台，B种电子装置55台，为了给每台装置配上一个外壳，需要从甲乙两种不同的钢板上截取．已知甲种钢板每张面积为2m2,可作A外壳3个B外壳5个；乙种钢板每张面积为3m，可作A外壳和B外壳各6个．用这两种钢板各多少张,才能使总的用料面积最小？23．（14分）已知数列｛a n｝满足：a1=1,a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1(n≥2，n∈N+)．(Ⅰ)设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列;(Ⅱ）(i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证:对于任意n∈N+都有++…++＜成立．2016—2017学年福建省师大附中高二(上）期中数学试卷(理科）（创新班）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题,每小题5分，满分60分）1．在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】根据所给的等式和正弦定理,得到要求角的正弦和余弦相等，由根据这是一个三角形的内角得到角的度数只能是45°．【解答】解：∵，又由正弦定理知，∴sinB=cosB，∵B是三角形的一个内角，∴B=45°，故选B．【点评】本题考查正弦定理，是一个基础题，解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时，一定要说清楚这个角的范围，这样好确定角度．2．在等差数列{a n｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7﹣a8的值为(）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】等差数列的性质．【专题】整体思想．【分析】利用等差数列的性质先求出a6的值，再用a1与d表示出a7﹣•a8,找出两者之间的关系，求解即可．【解答】解：由已知得:（a2+a10）+（a4+a8）+a6=5a6=80,∴a6=16，设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a7﹣a8=a1+6d﹣（a1+7d）=（a1+5d）=a6=8．故选C．【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，应用了基本量思想和整体代换思想．等差数列的性质:{a n}为等差数列，当m+n=p+q（m,n，p，q∈N+)时，a m+a n=a p+a q．特例:若m+n=2p（m，n,p∈N+），则a m+a n=2a p．3．若ax2+bx+c＞0的解集为｛x|﹣2＜x＜4}，那么对于函数f(x）=ax2+bx+c应有（）A．f（5）＜f(﹣1）＜f（2）B．f（2）＜f(﹣1）＜f(5）C．f（﹣1)＜f（2）＜f（5）D．f（5）＜f（2）＜f(﹣1）【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由已知，可知﹣2，4是ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系,得出，化函数f（x)=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a（x2﹣2x﹣8），利用二次函数图象与性质求解．【解答】解：ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜4}，可知﹣2，4是ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系，所以且a＜0，所以,函数f（x）=ax2+bx+c=ax2﹣2ax﹣8a=a（x2﹣2x﹣8)，抛物线对称轴为x=1，开口向下,所以f（5）＜f（﹣1)＜f（2）故选A【点评】本题为一元二次不等式的解集的求解，结合对应二次函数的图象是解决问题的关键,属基础题．4．若a，b，c为实数，下列结论正确的是（）A．若a＞b,c＞d，则ac＞bd B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C．若a＜b＜0,则D．若a＜b＜0，则【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题；转化思想;定义法；不等式．【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可【解答】解：对于A：若a＞0，b，c，d均小于0，则不正确，对于B：若a＜b＜0,则a2＞ab＞b2，正确，对于C:若a＜b＜0,则＜，即＜，故C不正确，对于D：若a＜b＜0,则a2＞b2，则＞，即＞，故D不正确，故选：B．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质,属于基础题5．等差数列｛a n}中，a1＞0，公差d＜0,S n为其前n项和,对任意自然数n，若点（n，S n)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】等差数列的前n项和，等价于二次函数，根据二次函数的图象和性质即可到答案．【解答】解：∵等差数列{a n｝中，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和,∴S n=na1+×d=n2+（a1﹣）n,∴点（n，S n）在曲线y=x2+（a1﹣）x，∵d＜0，∴二次函数开口向下，∵对称轴x=﹣＞0，∴对称轴在y轴的右侧,故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式以及二次函数的性质，属于基础题．6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增加的长度决定【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】先设出原来的三边为a、b、c且c2=a2+b2，以及增加同样的长度为x，得到新的三角形的三边为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，所以所对的角最大，然后根据余弦定理判断出余弦值为正数，所以最大角为锐角,得到三角形为锐角三角形．【解答】解:设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，c为最大边；新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边,其对应角最大．而（a+x）2+（b+x)2﹣(c+x）2=x2+2（a+b﹣c）x＞0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦=＞0，则为锐角,那么它为锐角三角形．故选A【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力,以及掌握三角形一些基本性质的能力．7．已知函数f（x）=4x2﹣1，若数列{｝前n项和为S n，则S2015的值为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由f(x）=4x2﹣1得到，然后利用裂项相消法求得S2015的值．【解答】解:由f（x)=4x2﹣1，得=，∴S2015==．故选:D．【点评】本题考查数列的函数特性，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．8．不等式的解集是（）A．（﹣3，﹣2)（0,+∞） B．（﹣∞，﹣3）（﹣2，0)C．（﹣3,0）D．(﹣∞，﹣3）(0，+∞）【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】原不等式等价于＞0．把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．【解答】解:不等式等价于＞0．如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为（﹣3，﹣2)∪(0,+∞）,故选A．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想,属于中档题．9．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A,B，C，则（）A．A+B=C B．B2=AC C．（A+B）﹣C=B2D．A2+B2=A（B+C）【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．【解答】解：由题意可得：S n=A，S2n=B，S3n=C．由等比数列的性质可得：，，所以，所以整理可得：A2+B2=A（B+C）．故选D．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质,并且进行正确的运算，一般以选择题的形式出现．10．设a＞b＞0，那么a2+的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】先利用基本不等式求得b（a﹣b）范围,进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．【解答】解：因为a＞b＞0，，所以，当且仅当，即时取等号．那么的最小值是4,故选C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立．11．已知数列｛a n}满足：a1=1，a n+1=(n∈N＊）．若b n+1=(n﹣λ)（+1），b1=﹣λ,且数列｛b n｝是单调递增数列，则实数λ的取值范为（）A．λ＞2 B．λ＞3 C．λ＜2 D．λ＜3【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】,分别令n=1，2，3，依次求出a2=，a3=，a4=，=(n﹣λ）（+1）=由此猜想a n=,并用用数学归纳法证明．由a n=．知b n+1（n﹣λ）•2n，再由b1=﹣λ，数列{b n}是单调递增数列，能求出λ的取值范围．【解答】解:∵，∴a2==，a3==,a4==，由此猜想a n=．用数学归纳法证明：①当n=1时，=1，成立；②假设n=k时，等式成立，即,===,成立．则当n=k=1时，a k+1∴a n=．=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ)•2n，∴b n+1∴b2=（1﹣λ）•2=2﹣2λ，∵b1=﹣λ,数列{b n}是单调递增数列，∴b1=﹣λ＜b2=2﹣2λ，解得λ＜2．故选C．【点评】本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题,仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用．12．若实数a，b满足，则的最大值为（)A．1 B．C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题;不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】由题意作平面区域，化简=+，从而可知是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数，从而解得．【解答】解:由题意作平面区域如下,,=+，是过原点与阴影内的点的直线的斜率的倒数，故当过点A（，）时，k OA==3，故此时有最小值，此时有最大值=+=+=，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用及直线的斜率的应用,同时考查了化简运算．二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分)13．《莱茵德纸草书》Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为磅．【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想;转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设此等差数列为｛a n}，公差为d,可得d=10，（a3+a4+a5）×=a1+a2,解出即可得出．【解答】解：设此等差数列为{a n}，公差为d,则d=10，(a3+a4+a5)×=a1+a2,即=2a1+d．解得a1=，d=．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°,则塔AB的高是米．【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题．【分析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有,在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=60°，AB=x, 从而有，在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得,可得,=则x=10故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用,解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．15．已知{a n}是由正数组成的数列,前n项和为S n，且满足:a n+=(n≥1，n∈N+），则a n=n．【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想;等差数列与等比数列．【分析】a n+=(n≥1，n∈N+）,n=1时，a1+=,解得a1．n≥2时，平方相减可得﹣=2a n，化为:（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，可得a n﹣a n﹣1=1,再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+=（n≥1，n∈N+），∴n=1时，a1+=，解得a1=1,n≥2时，=2S n+，=2，∴﹣=2a n,化为：﹣=0,∴(a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=1,∴数列｛a n｝是等差数列，首项为1,公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．故答案为:n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．若对于任意实数x,｜x+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想;转化法；函数的性质及应用．【分析】利用绝对值的几何意义求解．【解答】解：由题意:|x+a|﹣｜x+1｜表示数轴上的x对应点到﹣a对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，故它的最大值为|a﹣1|．由于对于任意实数x,有|x+a｜﹣|x+1|＜2a恒成立，可得｜a﹣1｜＜2a，解得：a．∴实数a的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查了绝对值的几何意义．属于基础题．17．设f(x）=,则f(﹣5）+f（﹣4）+…f(0）+…+f（5）+f（6）的值为．【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；探究型．【分析】此题数值较多，探究其形式发现，此十二个数的自变量可分为六组,每组的自变量的和为1，故解题思路寻求到﹣﹣即验证自变量的和为1时,两数的函数值的和是多少．【解答】解:令x+y=1，则f(x）+f（y）=+=+=+=+=（1+）═×=故f（﹣5）+f（﹣4）+…f（0)+…+f(5）+f（6)=6×=3故应填3【点评】本题考查根据题设条件探究规律的能力与意识，此类题最明显的标志是数据较多,一一求值运算较繁,如果想到了探究其规律,则会使解题过程变得简单，请注意此类题的特征及做题方式．18．研究问题:“已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0，令y=，则y∈（，1），所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（，1）”．类比上述解法，已知关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣1）(2，3），则关于x的不等式+＜0的解集为（﹣，﹣)∪（，1）．【考点】类比推理．【专题】综合题;转化思想；演绎法；推理和证明．【分析】先明白题目所给解答的方法，然后依照所给定义解答题目即可．【解答】解：关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2,﹣1）∪（2，3），用﹣替换x,不等式可以化为:+＜0,可得﹣∈（﹣2，﹣1）∪（2，3），可得﹣＜x＜﹣或＜x＜1．故答案为：（﹣，﹣）∪（,1）．【点评】本题是创新题目,考查理解能力，读懂题意是解答本题关键，将方程问题和不等式问题进行转化是解答本题的关键．三、解答题（共5小题，满分54分）19．（12分）（2016春•眉山期末）已知｛a n}是由正数组成的等比数列,a2=2，且a4，3a3，a5成等差数列．（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2)数列{a n+1﹣λa n}的前n项和为S n,若S n=2n﹣1(n∈N*），求实数λ的值．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；定义法;转化法；等差数列与等比数列．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系求出公比即可,（2)根据等比数列的求和公式利用分组法求出S n的值，利用对比法进行求解即可．【解答】解：（1）∵a2=2，且a4，3a3，a5成等差数列．∴a4+a5=2×3a3,即qa3+q2a3=6a3，即q2+q﹣6=0，得q=2或q=﹣3，∵｛a n}是由正数组成的等比数列，∴q＞0，即q=2，则a n=a2q n﹣2=2•2n﹣2=2n﹣1．（2）∵数列｛a n+1﹣λa n｝的前n项和为S n，∴S n=（a2+a3+a4+…+a n+1）﹣λ（a1+a2+a3+a4+…+a n)=﹣λ•=2（2n﹣1）﹣λ(2n﹣1)=(2n﹣1）（2﹣λ），若S n=2n﹣1（n∈N*），∴S n=2n﹣1=(2n﹣1）（2﹣λ），则2﹣λ=1,则λ=1．【点评】本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算,根据方程组法求出公比是解决本题的关键．20．已知△ABC中，A、B、C分别为三个内角，a、b、c为所对边，2（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB,△ABC的外接圆半径为，（1）求角C;（2）求△ABC面积S的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式的右边，整理后再利用余弦定理变形，求出cosC 的值,由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；(2)由C的度数求出A+B的度数,用A表示出B,利用三角形的面积公式列出关系式，利用正弦定理化简后，将sinC的值及表示出的B代入,利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可得出面积的最大值．【解答】解:（1）利用正弦定理化简已知的等式得：2(a2﹣c2）=2b（a﹣b)，整理得：a2﹣c2=ab﹣b2，即a2+b2﹣c2=ab，∵c2=a2+b2﹣2abcosC,即a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=ab，即cosC=，则C=；（2）∵C=,∴A+B=，即B=﹣A，∵==2，即a=2sinA，b=2sinB，=absinC=absin=×2sinA×2sinB×∴S△ABC=2sinAsinB=2sinAsin(﹣A）=2sinA（cosA+sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A+（1﹣cos2A)=sin2A﹣cos2A+=sin(2A﹣)+,=．则当2A﹣=，即A=时，S△ABCmax【点评】此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式,以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．(1）已知a、b∈R+,且a+b=3，求ab2的最大值．(2）设函数f（x）=｜2x+1｜﹣|x﹣2|，求不等式f（x)＞2的解集．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【专题】转化思想；转化法;不等式．【分析】（1）化简得a=3﹣b，0＜b＜3；从而可得f(b）=ab2=（3﹣b）b2=﹣b3+3b，f′（b）=﹣3b2+3=﹣3(b+1）（b﹣1)，从而求得；（2）通过讨论x的范围,去掉绝对值,求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）解:∵a，b∈R+且a+b=3，∴a=3﹣b，0＜b＜3；f（b）=ab2=（3﹣b）b2=﹣b3+3b，f′（b）=﹣3b2+3=﹣3（b+1）（b﹣1),故f(b）在（0,1）上是增函数，在（1，3）上是减函数；（2）f（x）=，当x＜﹣时，﹣x﹣3＞2,解得：x＜﹣5,所以x＜﹣5，当﹣≤x＜2时，3x﹣1＞2，解得:x＞1，所以1＜x＜2，当x≥2时，x+3＞2，解得：x＞﹣1，所以x≥2，综上所述，不等式f（x)＞2的解集为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞)．【点评】本题考查了导数的综合应用及单调性的判断与应用,考查解绝对值不等式问题，是一道中档题．22．（10分)（2016秋•福建期中）某工厂要制造A种电子装置42台，B种电子装置55台，为了给每台装置配上一个外壳,需要从甲乙两种不同的钢板上截取．已知甲种钢板每张面积为2m2，可作A外壳3个B外壳5个；乙种钢板每张面积为3m，可作A外壳和B外壳各6个．用这两种钢板各多少张,才能使总的用料面积最小？【考点】简单线性规划的应用．【专题】综合题；转化思想;演绎法;不等式．【分析】根据已知条件中解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种的外壳分别为3x+6y个,B种的外壳分别为5x+6y个，由题意得出约束条件，及目标函数,然后利用线性规划，求出最优解．【解答】解:设用甲种钢板x张,乙种钢板y张，总的用料面积为zm2由题意得：z=2x+3y且作出可行域如图:…（4分)解方程组,得A点坐标为（，）,z=2x+3y=24非整数．调整,可得最优整数解是（5，5）和（8,3)），此时z min=25．答：用甲种钢板5张，乙种钢板5张或用甲种钢板8张，乙种钢板3张才能使总的用料面积最少．…（10分）【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组,即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．23．（14分）（2015•温州二模）已知数列｛a n}满足:a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n ∈N+)．（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证｛b n}是等比数列；(Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式;（ii）求证：对于任意n∈N+都有++…++＜成立．【考点】数列的求和；等比关系的确定;数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】(Ⅰ)利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列．(Ⅱ）（i）根据(Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式．(ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．【解答】证明:（Ⅰ）已知数列｛a n｝满足：a1=1,a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n∈N+）．则:a n+1+a n=3（a n+a n﹣1）即：,所以：，数列{b n}是等比数列．（Ⅱ)（i)由于数列{b n}是等比数列．则:，整理得：所以:则:是以（)为首项，﹣1为公比的等比数列．所以：求得:（ii)由于:,所以:，则：(1）当n为奇数时，，当n为偶数时,，所以：=…++＜1++++…=1++,所以：n∈k时，对任意的k都有恒成立．【点评】本题考查的知识要点:利用定义法证明数列是等比数列，利用构造数列的方法来求数列的通项公式，放缩法的应用．。

2016—2017学年青海师大二附中高二（上)第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．下列说法中正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等2．某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是（)A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱3．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．4．体积为78的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是（）A．54 B．54πC．81 D．81π5．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为（)A．7 B．6 C．5 D．36．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8π C．16+16πD．8+16π7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若E为A1C1中点，则直线CE垂直于(）A．AC B．BD C．A1D D．A1A8．下列命题中,错误的是（)A．一个平面与两个平行平面相交，交线平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交9．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①、②B．①、③C．②、③D．②、④10．已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC，BD的中点,若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF 与CD所成的角的度数为（）A．90°B．45°C．60°D．30°11．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为（)A．B．C．D．12．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（)A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．用一个与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为．14．已知棱台的上下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为．15．一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点,过点A,P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜时,S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分)已知圆台的两个底面面积分别为4π和25π，圆台的高为4,求圆台的体积与侧面积．18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：（1）E,C，D1，F四点共面；（2）CE,D1F,DA三线共点．19．(12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,O是底ABCD对角线的交点．求证：(1)C1O∥面AB1D1；(2）面OC1D∥面AB1D1．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ)求证AC1∥平面CDB1（Ⅱ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．21．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G是C1D1的中点，H是A1B1的中点(1）求异面直线AH与BC1所成角的余弦值；（2）求证:BC1∥平面B1DG．22．（12分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D,A′B,BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A′﹣BC′D的体积．(2）若球O1使得其与三棱锥A′﹣BC′D的六条棱都相切，三棱锥A′﹣BC′D外接球为O2，内切球为O3，求球O1,O2,O3半径的比值．2016—2017学年青海师大二附中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2016秋•城东区校级月考)下列说法中正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等【考点】棱柱的结构特征．【专题】阅读型．【分析】从棱柱的定义出发判断A、B、D的正误，找出反例否定C，即可推出结果．【解答】解：棱柱的侧面都是四边形,A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱,正确；所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展开为平面图形，C不正确；棱柱的各条棱都相等，应该为侧棱相等，所以D不正确；故选B【点评】本题考查棱柱的结构特征,考查基本知识的熟练情况，是基础题．2．（2015秋•岳阳校级期末）某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【考点】简单空间图形的三视图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是什么图形．【解答】解：根据该几何体的三视图，得出该几何体是平放的三棱柱,如图所示；故选：B．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图,得出几何体表示什么图形,是基础题．3．(2014秋•元宝山区期末）棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题．【分析】棱长都是1的三棱锥,四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．【解答】解：因为四个面是全等的正三角形,则．故选A【点评】本题考查棱锥的面积,是基础题．4．（2016秋•城东区校级月考）体积为78的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是（）A．54 B．54πC．81 D．81π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；空间位置关系与距离．【分析】设截得这个圆台的圆锥的体积是V．设两个底面半径分别为:r，R,则=，解得．再利用=，即可得出．【解答】解：设截得这个圆台的圆锥的体积是V．设两个底面半径分别为:r,R，则=，解得=．∴==，解得V=81．故选：C．【点评】本题考查了圆台的体积计算公式及其性质、相似三角形的性质、圆的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（2013•宣武区校级模拟）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【专题】计算题．【分析】设出上底面半径为r,利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84π，求出上底面半径，即可．【解答】解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r)l=84π，r=7故选A【点评】本题是基础题，考查圆台的侧面积公式，考查计算能力,送分题．6．(2016•衡水模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8π C．16+16πD．8+16π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，∴半圆柱的体积为：×π•22×4=8π；长方体的长宽高分别为4，2,2，∴长方体的体积为4×2×2=16，∴该几何体的体积为V=16+8π．故选:A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图得出该几何体的结构特征，是基础题目．7．（2012•北京模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（)A．AC B．BD C．A1D D．A1A【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【专题】向量法．【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出向量的坐标，以及、、的坐标，可以发现•=0,因此,⊥,即CE⊥BD．【解答】解:以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x,y，z轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0），C（1，1,0）,B(1，0,0），D（0,1，0），A1（0，0，1），E（，，1）,∴=（﹣，﹣，1）,=（1，1,0），=（﹣1,1,0)，=（0，1，﹣1），=（0，0，﹣1），显然•=﹣+0=0，∴⊥，即CE⊥BD．故选：B．【点评】本题考查利用空间直角坐标系求向量的坐标,再利用2个向量的数量级等于0，证明两个向量垂直，属于中档题．8．（2016秋•城东区校级月考)下列命题中，错误的是(）A．一个平面与两个平行平面相交,交线平行B．平行于同一个平面的两个平面平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交【考点】四种命题．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面以及平面与平面的平行关系，对每一个命题进行判断即可．【解答】解:对于A，一个平面与两个平面相交，它们的交线平行，是正确的；对于B,平行于同一个平面的两个平面互相平行，是正确的;对于C，平行于同一条直线的两个平面不一定平行，是错误的，如竖直的旗杆与所有竖直的墙面是平行的,但所有竖直的墙面并不一定平行；对于D，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，是正确的．故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行关系的应用问题，解题时应明确空间中的线线、线面以及面面之间的平行关系,是基础题．9．（2012春•黄州区校级期末)下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（)A．①、②B．①、③C．②、③D．②、④【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别利用线面平行的判定定理，在平面MNP中能否寻找一条直线和AB平行即可．【解答】解：在①中NP平行所在正方体的那个侧面的对角线,从而平行AB，所以AB∥平面MNP；在③中设过点B且垂直于上底面的棱与上底面交点为C，则由NP∥CB，MN∥AC可知平面MNP∥平行平面ABC，即AB∥平面MNP．故选B．【点评】本题主要考查线面平行的判定，利用线面平行的判定，只要直线AB平行于平面MNP内的一条直线即可．10．（2016春•牡丹江校级期末）已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点,若AB=2，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（）A．90°B．45°C．60°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】设G为AD的中点,连接GF，GE，利用三角形中位线定理，可证出EF⊥GF且∠FEG或其补角即为EF与CD所成角．最后在Rt△EFG中，利用正弦的定义算出∠GEF=30°，即得EF与CD所成的角的度数．【解答】解:设G为AD的中点,连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线．由此可得，GF∥AB且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF因此，Rt△EFG中，GF=1，GE=2，由正弦的定义,得sin∠GEF==,可得∠GEF=30°．∴EF与CD所成的角的度数为30°故选：D【点评】本题给出空间四边形相对的棱长,在已知对角线的中点连线与一条棱垂直的情况下求异面直线所成的角，着重考查了是异面直线所成的定义及其求法等知识，属于中档题．本题利用三角形中位线定理，平行线的性质是解决问题的关键．11．(2014•赣州二模）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图,我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d,球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．12．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义,结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．【解答】解:分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB,∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0,0),B（0，0，1）,B1（0,2,1)，C1（0，2,0)∴=（0，2,﹣1），=(﹣2，2，1)可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3,且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．(2012•上海二模)用一个与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1 cm，小圆的半径,通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为r==所以球的体积为:πr3=π故答案为：π【点评】本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系,考查计算能力，是基础题．14．(2013秋•聊城期末）已知棱台的上下底面面积分别为4，16,高为3，则该棱台的体积为28．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．【解答】解：故答案为：28．【点评】本题考查棱台的体积,考查计算能力,是基础题．15．（2016秋•城东区校级月考)一个半球的全面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是Q．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由半球的全面积求出半径,再根据一个圆柱与此半球等底等体积,可求出圆柱的高，代入圆柱的全面积进行运算．【解答】解：半球的全面积，故答案为Q．【点评】本题考查半球的表面积、体积的求法，圆柱的体积、全面积的求法．16．（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==,故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ,即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N,使D1N=,连接AN交A1D1于S,连接NQ交C1D1于R，连接SR,可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q:D1N=1：2,故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时,只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF,可知截面为APC1F为菱形,故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三、解答题（本大题包括6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分）(2016秋•城东区校级月考）已知圆台的两个底面面积分别为4π和25π，圆台的高为4,求圆台的体积与侧面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】对应思想；综合法；立体几何．【分析】求出圆台的上下底面半径和母线长，代入侧面积各体积公式计算即可．【解答】解：圆台的体积V=(4π+25π+)•4=42π．圆台的上下底面半径分别为r=2,R=5,∴圆台的母线长为l==5，∴圆台的侧面积S侧=πrl+πRl=10π+25π=35π．【点评】本题考查了旋转体的结构特征，体积与侧面积计算，属于中档题．18．（12分）(2015秋•蒙城县校级期末）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1）E，C，D1,F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题;空间位置关系与距离．【分析】（1）由三角形中位线定理和平行公式,得到EF∥D1C，再由两条平行线确定一个平面，得到E，C，D1，F四点共面．（2）分别延长D1F，DA,交于点P，由P∈DA，DA⊂面ABCD,知P∈面ABCD．再由三角形中位线定理证明CE,D1F,DA三线共点于P．【解答】证明:（1）连接EF,A1B,D1C,∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B，A1B∥D1C，∴EF∥D1C，∴由两条平行线确定一个平面，得到E，C,D1，F四点共面．（2）分别延长D1F，DA，交于点P，∵P∈DA,DA⊂面ABCD，∴P∈面ABCD．∵F是AA1的中点，FA∥D1D，∴A是DP的中点，连接CP，∵AB∥DC,∴CP∩AB=E，∴CE，D1F，DA三线共点于P．【点评】本题考查四点共面和三点共线的证明，解题时要认真审题，仔细解答,注意平行公理和三角形中位线定理的合理运用．19．(12分）(2016秋•镜湖区校级期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）面OC1D∥面AB1D1．【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．【专题】作图题;证明题；转化思想;空间位置关系与距离．【分析】(1）线面平行，只需要证明线线平行．连接A1C1交于O1．连接AO1只需要证明AO1∥C1O即可．（2）面面平行，只需要证明一个平面内条的两条相交直线与平面平行即可，B1D1∥BD，AO1∥C1O，BD∩C1O=O，那么可证得面OC1D∥面AB1D1．【解答】解：（1）由题意：几何体ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，O是底ABCD对角线的交点，∴B1D1∥BD，连接A1C1交于O1，连接AO1，C1O1∴C1O1AO是平行四边形．∴AO1∥C1O．∵AO1⊂面AB1D1；∴C1O∥面AB1D1;得证．（2）．∵B1D1∥BD，即OD∥B1D1，OD⊂面OC1D,∴OD∥面AB1D1．由（1）可得C1O∥面AB1D1；OD∩C1O=O，所以：面OC1D∥面AB1D1．【点评】本题考查了线面平行和面面平行的证明．线面平行转化为线线平行;面面平行转化为线面平行．属于基础题．20．（12分)（2013秋•肇庆期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点．（Ⅰ)求证AC1∥平面CDB1（Ⅱ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定;异面直线及其所成的角．【专题】计算题;空间角．【分析】(I）由OD是△ABC1的中位线，得OD∥AC1，再由线面平行的判定定理证明．(II)根据异面直线所成角的定义，判断∠COD为异面直线所成的角，利用余弦定理求解．【解答】解：（I）证明：记BC1与CB1交于点O,连OD∵OD是△ABC1的中位线，∴OD∥AC1∵AC1⊄面CDB1OD⊂面CDB1∴AC1∥平面CDB1;（II）由（I）知OD∥AC1∴∠COD为异面直线AC1与B1C所成的角，∵在Rt△ACC1中,AC=3，CC1=4∴AC1=5∴OD=，在正方形CBB1C1中,B1C=4，∴OC=2，∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，∴CD==，在△COD中，cos∠COD==．【点评】本题考查了线面平行的证明,考查了求异面直线所成的角，考查学生的空间想象能力与运算能力．21．（12分)（2016秋•城东区校级月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，G是C1D1的中点，H是A1B1的中点(1)求异面直线AH与BC1所成角的余弦值;(2）求证：BC1∥平面B1DG．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离;空间角．【分析】（1）连结AD1，HD1,说明∠D1AH为异面直线AH与BC1所所成的角，在△AD1H 中，求解cos∠D1AH的值即可．（2)证明：连结BD1交B1D于点O，连结OG,证明OG∥BC1，然后证明BC1∥平面B1DG 【解答】解：（1）连结AD1，HD1，∵AB∥C1D1AB=C1D1∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1,∴∠D1AH为异面直线AH与BC1所所成的角，…．…．（2分）设正方体棱长为1，在△AD1H中，AD1=,AH=D1H=，∴cos∠D1AH==…..…．∴异面直线AH与BC1所成角的余弦值为…．(6分)（2)证明:连结BD1交B1D于点O，连结OG，易知O为BD1的中点，在△BC1D1中，OG为中位线，∴OG∥BC1又OG⊂平面B1DG且SC1⊄平面B1DG，∴BC1∥平面B1DG …．（12分)【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及异面直线所成角的求法，考查计算能力．22．（12分）（2016秋•城东区校级月考)如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：（1）三棱锥A′﹣BC′D的体积．(2）若球O1使得其与三棱锥A′﹣BC′D的六条棱都相切，三棱锥A′﹣BC′D外接球为O2,内切球为O3，求球O1，O2，O3半径的比值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;球内接多面体．【专题】综合题;转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用割补法，求三棱锥A′﹣BC′D的体积．（2）分别求出球O1,O2，O3半径，即可求球O1，O2，O3半径的比值．【解答】解：（1）三棱锥A′﹣BC′D的体积=a3﹣4×=；（2）设三棱锥A′﹣BC′D的六条棱长为1个单位，则棱锥的高为，O2，O3半径为,,O2与O3半径比为3：1,三棱锥对棱的距离为=，所以球O1半径为，∴球O1，O2,O3半径的比值为：3：1．【点评】本题考查体积的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．。

师大二附中2016----2017学年第一学期期中考试试卷高一 数 学（满分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题只有一个选项是符合题目要求的）1．设集合{1,2}A =，则（ ）A ．1A ⊆B ．1A ∉C ．{1}A ∈D ．1A ∈2．已知函数f(x ＋1)=3x ＋2，则f(x)的解析式是( )A ．3x ＋2B ．3x ＋1C ．3x －1D ．3x ＋43、下列函数为幂函数的是（ ）A.21y x =-B.2y x = C.21y x = D.3y x =-4. 若函数1)a ,0(1)83(log 5)(≠>+-=且a x x f a ，则)(x f 过定点( )A.（1，3）B. （1，1）C.（5，1）D.（3，1）5.如果奇函数)(x f 在区间]7,3[上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是( )A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最大值是-5D. 减函数且最小值是-56. 若函数(21)x y a =-在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是( )A. 1a >B. 112a << C. 1a ≤ D. 12a >7．已知122a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>8．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f （ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．39．若集合12{|log 2}A x x =≥，则=A C R （ ）A ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1(,0],4⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．1(,0],4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10. 已知函数⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,1)(x x x e x f x ，那么()()f f e 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．eD ．1e -11．使得函数2x 21x ln )x (f -+=有零点的一个区间是 ( ) A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4) 12．函数x y a =与log (0,1)a y x a a =->≠且在同一坐标系中的图像只可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共5个小题，共20分。

上师大附中高二期中数学卷2016.11一. 填空题1. 直线210x y -+=的一个法向量为2. 若向量a 、b 满足||2b =，且a 与b 的夹角为34π，则b 在a 方向上的投影为 3. 设(2,3)a =-，1||||2a b =，且a 、b 同向，则b 的坐标为 4. 某方程组的增广矩阵是102011⎛⎫ ⎪⎝⎭，它的解记为(,)a b ，则行列式2123210b a = 5. 已知矩阵30x A y -⎛⎫=⎪⎝⎭，20112y B y x -⎛⎫= ⎪--⎝⎭，3301C -⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B C +=，则x y + 的值为6. 直线350x y -+=关于直线y x =对称的直线方程为 （用一般式表示） 7. 若行列式12311311a a a a--中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a =8. 如图，根据右边的框图所打印出数列的第四项是9. 已知直线l 过点(3,6)P 且与,x y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则当 ||||OA OB +取得最小值时的直线方程是 （用一般式表示）10. 当θ在实数范围内变化时，直线sin 30x y θ+-=的倾斜角的取值范围是11. 已知位置向量222(log (38),log (22))OA m m m =+--，(1,0)OB =，若以OA 、OB 为邻边的平行四边形OACB 的顶点C 在函数12y x =的图像上，则实数m = 12. 直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于A 、B 两点，若直线AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为13. 在△ABC 所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则△PBC 与△ABC 的面积之比为14. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的 是 （写出所有正确命题的编号）① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；② 如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点；③ 如果直线l 经过两个不同的整点，则直线l 必经过无穷多个整点；④ 直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线；二. 选择题15. 若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要16. 两直线12,l l 的方程分别为0x b +=和sin 0x a θ+=（,a b 为实常数），θ为第三象限角，则两直线12,l l 的位置关系是（ ）A. 相交且垂直B. 相交但不垂直C. 平行D. 不确定17. 若,a b 是互不平行的两个向量，且1AB a b λ=+，2AC a b λ=+，12,R λλ∈，则A 、 B 、C 三点共线的充要条件是（ ）A. 121λλ==B. 121λλ==-C. 121λλ=D. 121λλ=-18. 下列四个命题：① 经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示； ② 经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示；③ 不经过原点的直线都可以用 方程1x y a b+=表示；④ 经过任意两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程 121121()()()()y y x x x x y y --=--表示；其中真命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题19. 已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1，它们之间的夹角均为120°；（1）求证：()a b c -⊥；（2）若||1ka b c ++>，k R ∈，求k 的取值范围；20. 已知关于,x y 的方程组()*60(2)32x my m x y m++=⎧⎨-+=-⎩；（1）写出方程组()*的增广矩阵；（2）解方程组()*，并对解的情况进行讨论；21. 已知△ABC 的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -；（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标；22. 已知点(0,2)A ，(4,6)B ，12OM t OA t AB =+，其中1t 、2t 为实数；（1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围；（2）求证：当11t =时，不论2t 为何值，,,A B M 三点共线；（3）若21t a =，OM AB ⊥，且△ABM 的面积为12，求a 和2t 的值；23. 如图，已知直线1:0l kx y +=和直线2:0l kx y b ++=(0)b >，射线OC 的一个法向量 为3(,1)n k =-，点O 为坐标原点，且0k ≥，直线1l 和2l 之间的距离为2，点A 、B 分别是 直线1l 、2l 上的动点，(4,2)P ，1PM l ⊥于点M ，PN OC ⊥于点N ；（1）若1k =，求||||OM ON +的值；（2）若||8PA PB +=，求PA PB ⋅的最大值；（3）若0k =，2AB l ⊥，且(4,4)Q --，试求||||||PA AB BQ ++的最小值；参考答案一. 填空题1. (2,1)-2.3. (4,6)-4. 2-5. 66. 350x y --=7. 28. 8709.60y +-= 10. 3[0,][,)44πππ 11. 2或5 12. 23- 13. 23 14. ①③⑤二. 选择题15. C 16. A 17. C 18. B三. 解答题19.（1）略；（2）0k <或2k >；20.（1）16232m m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭；（2）①1m =-，无解；②3m =，无穷解；③1m ≠-且3m ≠，唯一解；21.（1）240x y +-=；（2）(3,4)、(3,0)-；22.（1）(,1)(1,0)-∞--；（2）略；（3）2a =±，21t =-；23.（1）（2）15；（3）2。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。