定积分的计算方法总结归纳

定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。

总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。

定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。

定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。

3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。

推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。

推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。

性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。

4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。

定积分的应用1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）。

定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。

本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。

一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。

基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。

1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。

如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。

2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。

3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。

凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。

例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。

二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。

换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。

1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。

然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。

2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。

然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。

三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。

分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。

分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。

定积分计算公式大全一、定积分的基本公式。

1. 牛顿 - 莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus）- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，即F^′(x) = f(x)，那么∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)。

- 例如：计算∫_1^2x^2dx，因为F(x)=(1)/(3)x^3是f(x) = x^2的一个原函数，所以∫_1^2x^2dx=(1)/(3)x^3big_1^2=(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)。

2. 定积分的线性性质。

- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。

- 例如：计算∫_0^1(2x + 3x^2)dx，根据线性性质∫_0^1(2x+3x^2)dx =2∫_0^1xdx+3∫_0^1x^2dx。

- 因为∫_0^1xdx=(1)/(2)x^2big_0^1=(1)/(2)，∫_0^1x^2dx=(1)/(3)x^3big_0^1=(1)/(3)，所以∫_0^1(2x + 3x^2)dx=2×(1)/(2)+3×(1)/(3)=1 + 1=2。

二、定积分的换元积分法。

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x = φ(t)满足条件：1. φ(α)=a,φ(β)=b；2. φ(t)在[α,β]（或[β,α]）上具有连续导数，且其值域R_φ⊆[a,b]，则∫_a^bf(x)dx=∫_α^βf[φ(t)]φ^′(t)dt。

例如：计算∫_0^4(dx)/(1 + √(x))。

令t=√(x)，则x = t^2，dx = 2tdt。

当x = 0时，t = 0；当x = 4时，t=2。

所以∫_0^4(dx)/(1+√(x))=∫_0^2(2t)/(1 + t)dt=2∫_0^2(t + 1-1)/(1 + t)dt=2∫_0^2(1-(1)/(1 + t))dt=2<=ft[t-ln(1 + t)]big_0^2=2(2-ln3)三、定积分的分部积分法。

定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。

定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。

定积分的符号表示为∫。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。

定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。

二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。

这就是定积分的计算方法。

在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。

这就是黎曼和的基本思想。

2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。

对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。

这个面积就是曲线下的面积。

如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。

3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。

在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。

对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。

其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。

求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。

它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。

本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。

2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。

通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。

例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。

常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。

根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。

3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。

它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。

微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。

常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。

一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。

在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。

例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。

通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。

4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。

它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。

牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。

通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。

牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。

但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。

定积分计算方法总结定积分是微积分中的一个重要概念，用于计算曲线与坐标轴之间的面积、曲线长度、质量、动量等问题。

本文将总结几种常见的定积分计算方法。

1.基本积分法：也称为不定积分法，是定积分的基础。

通过求导的逆过程，可以将一些简单的函数反求积分。

例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，都可以直接得到不定积分的表达式。

但对于复杂函数，基本积分法可能不适用。

2. 牛顿-莱布尼茨公式：也称为换元积分法。

该方法通过引入新的变量，将原积分转化为更简单的形式。

常见的换元变量有正弦函数、指数函数、幂函数等。

换元积分法的关键在于选择合适的换元变量，使得被积函数的形式变得更简单。

例如，对于∫sin(2x)dx，可以通过令u=2x进行换元，得到新的积分∫sin(u)du，再求解即可。

3. 分部积分法：也称为乘法积分法，是对乘积形式的积分进行处理的方法。

通过对乘积函数中的一个函数求导，另一个函数积分，可以将原积分转化为更简单的形式。

分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v是可以求导或积分的函数。

该方法适用于许多复杂函数的积分计算，例如多项式函数与指数函数的积分。

4. 凑微分法：也称为凑常数法，是对积分式进行代换，使得被积函数的微分形式展开后更简单，从而进行积分的方法。

例如，对于∫x/(1+x^2)dx，可以通过令u=1+x^2进行代换，得到新的积分∫(1/u)du，再求解即可。

5. 变限积分法：该方法常用于计算曲线与坐标轴之间的面积。

当被积函数为连续函数时，可以通过使用反函数求解，将定积分转化为一系列不定积分的差值。

例如，对于求解曲线y=f(x)与x轴所围成的面积，可以将其表示为∫[a,b]f(x)dx=[F(x)]a^b，其中F(x)是f(x)的原函数。

通过求F(x)的反函数，可以将定积分简化为计算两个不定积分的差值。

6. 参数方程法：该方法适用于计算平面曲线围成的面积。

当曲线由参数方程给出时，可以通过将x或y表示为参数的函数，进而将面积转化为定积分的形式。

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。

定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。

3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。

（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。

定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下方的面积、变量间的平均值、曲线的长度等问题。

在计算定积分时，有几种常见的方法可以使用。

一、基本定积分计算方法1.函数不可导情况下的计算方法：当函数在闭区间上不可导时，可以将该区间划分成多个子区间，然后在各子区间上分别求积，最后求和。

2. 函数可导情况下的计算方法：对于可导函数，可以使用Newton-Leibniz公式求解定积分。

若函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x) = f(x)，则有∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)。

二、几何意义的计算方法1.面积计算：当被积函数为非负函数时，定积分表示积分区间上的曲线与x轴之间的面积。

使用定积分计算面积时，要先找到积分区间，并选择一个适当的被积函数。

2.长度计算：当被积函数为非负函数时，定积分可以表示曲线的弧长。

通过将曲线分成小线段，并用小线段长度之和逼近曲线的弧长，然后取极限即可得到曲线的弧长。

三、换元法换元法是一种常用的定积分计算方法，通过代换变量的方式来简化被积函数。

具体步骤如下：1.将被积分函数中的变量替换为一个新的变量，使得替换后的函数能够更容易积分。

2. 计算新变量的微分形式dx，然后求解出新的积分上下限。

3.将原函数转化为新变量的函数，并根据新的上下限计算定积分。

4.最后要将新变量换回原变量的形式。

四、分部积分法分部积分法是通过Leibniz公式的一个特殊情况来进行定积分计算的方法。

具体步骤如下：1. 选择u和dv，其中u是整个被积函数的一个部分，dv是剩余的部分。

2. 求解du和v分别对x的积分。

3. 将原函数表示为uv积分减去∫vdu，其中v需要对x进行积分。

4.根据上述公式计算定积分。

五、极坐标下的计算方法当被积函数围成的区域具有对称性或者特殊的形状时，可以使用极坐标进行计算。

1.将被积函数与曲线转化为极坐标形式，即用r和θ表示。

2. 根据极坐标的面积元素dA=rdrdθ，计算出面积元素dA。

不定积分计算方法
7. 分
部定积分计算方法总结
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1） 三角代换
2） 根幕代换
3）倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
&降幕法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
二、 定积分的计算方法
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1・不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间［a, b］上，总有f
(x) >=g(x),则f f O)d尤>=［： 9O)dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之
a)当0〈x〈兀/2 时，2/兀<sinx/x<l
2.估计具体函数定积分的值
积分估值定理：设f(x)在［a,b］上连续，且其最大值为M,最小值为m则
M(b-a) <=『/(x)dx<=M(b-a)
3.具体函数的定积分不等式证法
1)积分估值定理
2)放缩法
/(x)^(x)dx
3)柯西积分不等式
*2
f (/(%)) * 2 dx [ g(x)%2dx
丿a 丿a
4.抽象函数的定积分不等式的证法
1)拉格朗日中值定理和导数的有界性
2)积分中值定理
3)常数变易法
4）利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法。