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《离散型随机变量的分布列的应用》教学设计喀左四高中王德江教材说明人教B版选修2-3第二章第二节课型习题课课时1课时学情分析学生对选修2-3第二章《离散型随机变量及其分布列》中的离散型随机变量的概念，如何求离散型随机变量分布列，二点分布的概念及其应用都有了一定程度的掌握，但对分布列的性质还不能很好的理解和应用，故拟定通过本课加强学生对离散型随机变量的分布列性质的掌握和应用教学内容分析一、教学主要内容在“离散型随机变量及其分布列”这一小节中，两点分布、超几何分布、二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位，因此本节内容的重点是离散型随机变量的分布列二、教材编写特点由于随机变量与离散型随机变量不同于从前学习函数时遇到的变量，所以教材的编写体现了知识形成的过程,按学生的现有知识和认识水平难以透彻理解，所以教学难点是建立随机变量与离散型随机变量的概念，以及对它们有正确的理解；关键是多考察实际例子，通过它们加深对随机试验、随机变量及离散型随机变量的认识，并熟悉它们的分布列三、教材内容的数学核心思想函数的思想,化归与转化的思想等教学目标知识与技能:能根据分布列求出某事件的概率；会求离散型随机变量的分布列；培养学生的收集信息、分析问题和解决问题的实际应用能力过程与方法:通过学生自主独立思考，解决一些较容易的问题；帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习情感态度与价值观:优化学生的思维品质；通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识；充分体会数学生的应用意识教学重点与教学难点重点:1．通过分布列计算随机事件的概率；2．会求离散型随机变量的分布列难点:1．确定随机变量的取值范围；2．计算相关随机事件的概率教学策略选择与设计本节课根据内容特点尽量采用“过程完整化”教学模式，小结如何解离散型随机变量及其分布列问题，在选题方面以基础题为主，题的背景都是学生熟悉的生活情境，有助于基础较差学生的理解由于本节课是复习课，根据学生答题情况和教学目标，实施过程中以问题和任务为载体，以师生合作探究为主线，以思维训练为核心，以能力发展为目标，充分调动一切可利用的因素，激发学生的参与意识，使学生经历知识的理解、分析和升华的过程，在和谐、愉悦的氛围中获取知识，掌握解题思路和方法整个教学中既突出了学生的主体地位，又发挥了教师的指导作用教学资源与手段资源：多媒体课件，实物投影仪．手段：多媒体辅助教学，形象直观．教学过程设计。
2．3.2离散型随机变量的方差[对应学生用书P37]A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床B机床次品数X2012 3P 0.80.060.040.10问题1：试求E(X1)，E(X2)．提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量？提示：样本方差．1．离散型随机变量的方差(1)设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率分别为p1，p2，…，p n，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n叫做这个离散型随机变量的方差．D(X)的算术平方根D(X)叫做离散型随机变量X的标准差．(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值相对于期望的平均波动大小．方差或标准差越小，则随机变量偏离于期望的平均程度越小．2．二点分布和二项分布的方差1．离散型随机变量的方差的意义：随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中和离散程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．2．随机变量的方差和样本方差之间的关系：(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而客观存在； (2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的．对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．[对应学生用书P37][例1] X 0 10 20 50 60 P1325115215115求随机变量的均值和方差．[思路点拨] 利用方差公式求解，首先求出均值E (X )，然后利用D (X )的定义求方差． [精解详析] E (X )＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (X )＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.[一点通]已知分布列求离散型随机变量的方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．1．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．n ＝100，p ＝0.08 B ．n ＝20，p ＝0.4 C ．n ＝10，p ＝0.2D ．n ＝10，p ＝0.8解析：由于X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6. 所以np ＝8，np (1－p )＝1.6，解之得n ＝10，p ＝0.8. 答案：D2．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k p 1－k (k ＝0,1)，则E (X )、D (X )的值分别是( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．1－p 和p (1－p )解析：随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝(1－p )k ·p1－k(k ＝0,1)，则P (X ＝0)＝p ，P (X ＝1)＝1－p ，所以E (X )＝0×p ＋1×(1－p )＝1－p ，所以D (X )＝[0－(1－p )]2×p ＋[1－(1－p )]2×(1－p )＝p (1－p )．答案：D[例2] 1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X ，求随机变量X 的分布列、均值和方差．[思路点拨] 确定随机变量X 的取值，列出其分布列，再计算均值和方差． [精解详析] 由题意可知，X ＝5,4,3.P (X ＝5)＝C 22C 14C 36＝15；P (X ＝4)＝C 12C 24C 36＝35；P (X ＝3)＝C 34C 36＝15.故X 的分布列为X 5 4 3 P153515E (X )＝5×15＋4×35＋3×15＝4.D (X )＝(5－4)2×15＋(4－4)2×35＋(3－4)2×15＝25.[一点通]1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件，相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值和方差． 解：(1)X 的可能的取值为0,1,2，P (X ＝k )＝C k 2C 3－k4C 36，k ＝0,1,2. X 的分布列为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.4．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以10016枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80； 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16.(n ∈N )． (2)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.[例3] (10分以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况为：加较好？[思路点拨]可以先比较两运动员的平均得分(即均值)，再比较两运动员的稳定性，即方差，由此决定派谁．[精解详析]由题意，E(X1)＝0×0.2＋1×0.5＋2×0.3＝1.1，E(X2)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1.(4分)∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49，D(X2)＝(0－1.1)2×0.3＋(1－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.4＝0.69，(8分)∴D(X1)<D(X2)，所以甲运动员的技术好一些，应选派甲参加．(10分)[一点通]离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．5．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．答案：乙6．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.设甲射击时射中的环数变量为X，乙射击时射中的环数变量为Y.(1)求X，Y的分布列．(2)求X，Y的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解：(1)依据题意，0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1，解得a ＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以X ，Y 的分布列分别为(2)结合(1)中X ，Y 的分布列可得：E (X )＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E (Y )＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D (X )＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (Y )＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E (X )＞E (Y )，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为D (X )＜D (Y )，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求解． 2．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，可直接用它们的均值、方差公式计算．[对应课时跟踪训练(十六)]1．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则D (X )等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 解析：E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.D (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.答案：A2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m .令随机变量Z ＝⎩⎨⎧1，A 发生，0，A 发生，则Z的方差D (Z )等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：由题意知，E (Z )＝m ，则D (Z )＝m (1－m )． 答案：D3．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为( )A ．0.48B ．1.2C ．0.72D ．0.6解析：∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.4)，∴D (X )＝3×0.4×0.6＝0.72.答案：C4．若X ～B (n ，p )且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8解析：∵X ～B (n ，p )， ∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np (1－p )＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112·(12)1(1－12)11＝3·2－10. 答案：C5．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：256．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：成功次数X ～B (100，p )，所示D (X )＝100p (1－p )≤100×⎝⎛⎭⎫p ＋1－p 22＝25，当且仅当p ＝1－p 即p ＝12时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.答案：1257．根据以往经验，一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元，小雨天盈利163元，中雨天盈利90元．根据天气预报，明天无雨的概率是0.2，有小雨的概率是0.3，有中雨的概率是0.5.问：明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元？方差和标准差各是多少？解：用X 表示明天发一辆车的盈利，由题意知P (X ＝230)＝0.2，P (X ＝163)＝0.3，P (X ＝90)＝0.5，所以E (X )＝230×0.2＋163×0.3＋90×0.5＝139.9(元)． 所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元．方差D (X )＝(230－139.9)2×0.2＋(163－139.9)2×0.3＋(90－139.9)2×0.5＝3 028.69， 标准差D (X )＝ 3 028.69≈55. 所以方差和标准差各是3 028.69,55.8．有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位 月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，可得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位．。
《离散型随机变量的分布列》教学设计临汾市第三中学杜鹍一、教学内容解析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-3）中第二章《随机变量及其分布》第一节“离散型随机变量及其分布列”的第二课时。
随机变量是将随机现象的结果数量化，把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究，离散型随机变量的分布列反映了随机变量的概率分布，将实验的各个孤立事件联系起来，从整体上研究随机现象。
本节主要内容是分布列的定义、性质、应用和两点分布模型。
离散型随机变量的分布列是高中阶段的重点内容，它作为概率与统计的桥梁与纽带，既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，起到承上启下的作用，并为后续定义离散型随机变量的数学期望和方差奠定基础，揭示了离散型随机变量的统计规律。
二、教学目标设置1．通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性；类比函数的几种表示法学习离散型随机变量的表示方法；探索离散型随机变量的性质。
2．通过学生的自主探究，进一步体会数学抽象、数学建模的思想，培养学生抽象概括能力。
3．通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法，在解决实际问题的过程中，同学们加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学解决一些实际问题。
4．通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感，经历数学建模的过程并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。
三、学生学情分析1．学生程度，我所授课的对象是临汾市第三中学高二461班的学生。
学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强。
虽然已经经历了概率的学习，但是对随机变量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强。
2．知识层面，学生已经学习过概率的知识并掌握了计数原理；掌握了离散型随机变量的定义。
3．能力层面，具有一定的数学抽象的能力；具有一定的数学建模的基础。
