换元法在中学数学解题中的应用及推广

换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。

它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。

一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。

例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。

2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。

例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。

这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。

二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。

其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。

例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。

微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。

换元法在高中数学解题中的应用王凤梅(山东省青岛市城阳区第一高级中学㊀２６６１０８)摘㊀要:换元法是高中生数学解题中较为常用的方法ꎬ对换元法进行灵活应用ꎬ将数学解题中的问题实施转化ꎬ以促使许多难题迎刃而解.因此ꎬ在高中数学的解题中运用换元法ꎬ将复杂结构实现简单化ꎬ混乱的思路清晰化ꎬ这不仅有助于学生思路的简化ꎬ而且还能使学生清晰的找到解题思路ꎬ从而实现高效解题.关键词:高中数学ꎻ换元法ꎻ解题ꎻ教学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３３－００１６－０２收稿日期:２０２０－０８－２５作者简介:王凤梅(１９７０.８－)ꎬ女ꎬ山东省临沂人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀换元法作为高中数学具体教学中ꎬ较为常见的一种解题方法ꎬ在数学的解题中ꎬ通常会出现较为复杂或存有两个及其以上的未知条件的相关数学题ꎬ在解题的时候ꎬ可依据知识之间存在的内在联系ꎬ对数学题中存有的数量关系实施转化ꎬ并通过各变量的条件转换ꎬ将一种问题转变成另种问题ꎬ以实现整个解题的简化.同时ꎬ换元方法有许多种ꎬ如函数换元㊁变量换元㊁不等量换元㊁三角函数的换元等.在具体解题的时候ꎬ教师通过换元法的灵活应用ꎬ不仅能够对学生自身的思维敏捷度进行锻炼ꎬ而且还能使学生自身的思维能力得到有效提高.㊀㊀一㊁换元法内涵及其应用技巧归纳１.换元法内涵所谓的换元法ꎬ其主要就是把数学题目中原先的部分变量通过另一些变量进行替代ꎬ经过换元ꎬ通常能够产生缩减变量㊁简化形式的效果.较为常见的换元方式包含三种ꎬ具体为:(１)整体换元ꎬ如将ｘ表达式的ｆ(ｘ)进行整体替换成ｔꎬ并通过ｔ表示成其他的与ｘ有关的表达式ꎻ(２)利用关系ꎬ其主要指将较为相似的表达式进行换元ꎬ其主要是通过已知代数式和三角知识的联系实施换元ꎬ也就是在解题的时候ꎬ通过相同的参数ꎬ对两个变量进行表示ꎬ以减少变元ꎬ促使问题简化ꎻ(３)均值换元ꎬ当能够确切求出两个变量和的时候ꎬ就能通过均值换元.不论是何种换元ꎬ在换元之后ꎬ都能够对新变量实施运算ꎬ在对变量完成计算后ꎬ再对原变量进行取值ꎬ通过这样的解题思路ꎬ需确保换元时的等效变换ꎬ特别是定义域转变ꎬ只有确保变换的等效ꎬ才能确保计算结构的有效性.２.应用技巧归纳首先ꎬ常规换元法的掌握.对于不同换元法ꎬ其通常具有相应的形式ꎬ特别是三角换元.因此ꎬ对于难度较低的题目ꎬ学生只要充分掌握较为常规化的换元规律ꎬ并做出迅速反应ꎬ就能实现迅速解题.其次ꎬ注重题目形式的观察.对于难度相对较高的数学题型ꎬ其题目的条件通常具有较强的隐藏性ꎬ此时ꎬ就需对题目条件实施相应的梳理与分析ꎬ并找到换元实施的突破点.需要注意的是ꎬ题型的难度通常不会对换元的相关条件造成影响ꎬ因此ꎬ对条件实施初步解算以及分析ꎬ不仅有利于学生打开解题思路ꎬ而且还能实现高效解题.最后ꎬ注意等效的条件.应用换元法的前后ꎬ其等效性通常是其正确应用的重要保证ꎬ但也是在解题中最容易被忽略的部分.不论是哪种题型ꎬ难度如何ꎬ都需对等效性进行牢固记忆.㊀㊀二㊁换元法在高中数学解题中的应用策略１.基于换元法的三角函数教学高中数学的解题中ꎬ三角换元已经得到广泛应用.三角换元的解题中ꎬ其主要是通过相应的三角换元ꎬ把代数表达转变成三角表达ꎬ也就是把代数式解答或者证明转变成三角式解答与证明ꎬ以达到简化题目㊁理顺思路的作用.可应用同角三角关系ꎬ或者辅助角公式ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎ(ｘ＋φ)ꎬ其中的ａ㊁ｂ均是非零实数ꎬφ角则能通过ｔａｎφ＝ｂａ进行确定ꎬ以此对解题过程进行简化ꎬ从而使解题效率得到有效提高.例１㊀已知ｘ㊁ｙ满足ｘ２－ｘｙ＋ｙ２＝１ꎬ求ｘ２－ｙ２的取值６１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.范围.解㊀设ｘ＝ρｃｏｓθꎬｙ＝ρｓｉｎθꎬ那么ꎬρ２－ρ２ｓｉｎθｃｏｓθ＝１ꎬ也就是ρ２＝２２－ｓｉｎ２θꎬ因此ꎬｘ２－ｙ２＝２ ｃｏｓ２θ２－ｓｉｎ２θ.设ｋ＝ｃｏｓ２θ２－ｓｉｎ２θꎬ由此可知ꎬｋｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝２ｋꎬｓｉｎ(２θ＋φ)＝２ｋｋ２＋１ꎬ其中ｔａｎφ＝１ｋꎬθɪ[０ꎬ２π).根据三角函数的有界性可得:２ｋｋ２＋１ɤ１ꎬ也就是－３３ɤｋɤ３３ꎬ因此ꎬｘ２－ｙ２的取值范围是－２３３ɤｘ２－ｙ２ɤ２３３.２.基于构造辅助的函数换元基于构造辅助的函数换元属于极其重要的一种解题方法.对于函数而言ꎬ其作为高中数学具体教学中的核心知识ꎬ通常具有相应的导向性与工具性ꎬ大部分问题都能够以巧妙的构造进行函数辅助ꎬ促使复杂难解的问题转变为直观明了ꎬ转变为程序化.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｍｘ－ａＩｎｘ－ｍꎬｇ(ｘ)＝ｅｘ/ｅｘꎬ其中的ｍꎬａ都是实数ꎬ设ｍ＝１ꎬａ<０ꎬ如果对任意的ｘ１ꎬｘ２ɪ[３ꎬ４](ｘ１ʂｘ２)ꎬ且ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<１ｇ(ｘ２)－１ｇ(ｘ１)恒成立ꎬ求取ａ最小值.解㊀若ｍ＝１ꎬａ<０的时候ꎬｆ(ｘ)＝ｘ－ａＩｎｘ－１ꎬｘɪ(０ꎬ＋ɕ).由于ｆᶄ(ｘ)＝ｘ－ａｘ>０位于[３ꎬ４]上恒成立ꎬ那么ꎬｆ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为增函数假设ｈ(ｘ)＝１ｇ(ｘ)＝ｅｘｅｘꎬ因此ꎬｈᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１(ｘ－１)ｘ２>０位于[３ꎬ４]上恒成立ꎬ即ｈ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为增函数.假设ｘ２>ｘ１ꎬ那么ꎬｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<１ｇ(ｘ２)－１ｇ(ｘ１)等价为ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)<ｈ(ｘ２)－ｈ(ｘ１)ꎬ即ｆ(ｘ２)－ｈ(ｘ２)<ｆ(ｘ１)－ｈ(ｘ１).构造函数ｕ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｈ(ｘ)＝ｘ－ａｌｎｘ－１－１ｅｅｘｘꎬ那么ꎬｕ(ｘ)位于[３ꎬ４]区间内为减函数ꎬ因此ꎬｕᶄ(ｘ)＝１－ａｘ－１ｅ ｅｘ(ｘ－１)ｘ２ɤ０位于[３ꎬ４]区间恒成立ꎬ也就是ａȡｘ－ｅｘ－１＋ｅｘ－１ｘ恒成立.假设ｖ(ｘ)＝ｘ－ｅｘ－１＋ｅｘ－１ｘꎬ由于ｖᶄ(ｘ)＝１－ｅｘ－１＋ｅｘ－１(ｘ－１)ｘ２＝１－ｅｘ－１[(１ｘ－１２)２＋３４]ꎬｘɪ[３ꎬ４]ꎬ因此ꎬｅｘ－１[(１ｘ－１２)２＋３４]>３４ｅ２>１ꎬ那么ｖᶄ(ｘ)<０ꎬｖ(ｘ)是减函数ꎬ因此ꎬｖ(ｘ)位于[３ꎬ４]上的最大值是ｖ(３)＝３－２３ｅ２ꎬ由此可知ꎬａ的最小值是３－２３ｅ２.通过构造辅助函数方法ꎬ对具体问题进行分析ꎬ明确原问题和和辅助函数之间的联系ꎬ并通过相应的推理ꎬ构造出合理的辅助函数ꎬ从而对问题进行有效解决.３.基于换元法的不等式解题不等的证明与解答相关问题属于高中数学中的重要模块ꎬ通过换元法ꎬ对题实施新元替换ꎬ不仅有助于学生解题思路进行梳理ꎬ而且还能实现高效解题.例３㊀若(ｘ－１)２９＋(ｙ＋１)２１６＝１ꎬ不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０恒成立ꎬ则ｋ值的取值范围是多少?解㊀首先进行换元ꎬ即ｘ－１３＝ｃｏｓαꎬ且ｙ＋１４＝ｓｉｎαꎬ由此可知ꎬｘ＝１＋３ｃｏｓαꎬｙ＝－１＋４ｓｉｎα.将其代入到不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０当中ꎬ可得出ｋ<４ｓｉｎα＋３ｃｏｓα＝５ｓｉｎ(α＋φ)ꎬ而－５ɤ５ｓｉｎ(α＋φ)ɤ５ꎬ所以ｋ<－５.在实际解题中ꎬ经过换元法进行新不等式的构建ꎬ不仅使解题思路得到有效简化ꎬ而且还能促使解题方式实现简便化ꎬ这对不等式相关问题解答是个重要突破口ꎬ也是一种高效的解法.综上所述ꎬ高中数学的具体教学中ꎬ换元法属于较为常见的一种解题方法ꎬ其不仅指解题过程的简化ꎬ而且还有助于学生形成良好的解题思路ꎬ并形成发散思维ꎬ同时ꎬ灵活的应用各种换元法ꎬ还能使繁琐且复杂的数学问题实现简化计算.㊀㊀参考文献:[１]潘帅.换元法在高中数学解题中的应用[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１９(０１):１３０.[２]钟文.高中数学解题中换元法的有效运用探析[Ｊ].读与写(教师)ꎬ２０１９(０２):２６４.[３]李京玉.高中数学解题思想方法之一 换元法[Ｊ].教育教学论坛ꎬ２０１７(５０):２０５－２０６.[４]程子祺.关于换元法在高中数学数列部分的应用讨论[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１９(０１):１０５.[５]杜娟.换元法在高中数学中的应用[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(２６):７２.[６]黄高乐.如何利用换元法解高中数学题[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０１):４２.[责任编辑:李㊀璟]７１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

解析换元法在初中数学解题中的应用换元法是指，在解题中将恰当的辅助未知数引入其中，用其替换题目中的一些字母表达式，从而实现连接未知与已知、化难为易、化繁为简目的的一种解题方法。

初中数学题目普遍较为复杂，很多难以通过直接求解的方式快速获得答案，而将换元法应用其中，就可使得原本复杂、繁琐的数学算式变得更为简洁与直观，有助于学生找到便捷的解题思路，可大幅降低出错率。

本文就换元法在初中数学解题中的应用策略，进行了细致的研究。

一、恰当应用换元法，提高学生解答因式分解问题能力因式分解指的是在具体范围内（如实数范围）分解一个多项式，将其变成每一项都是单项式的几个整式相乘的形式，该变形后的式子即是对原多项式进行了因式分解的结果。

因式分解为初中数学教学中的重点内容，也是恒等变形内容的核心，其被普遍应用在初等数学解题中，尤其经常应用在一元二次方程、求根作图等方面，是解决大多数数学问题中需要用到的有力工具。

因此，在初中数学解题教学中，教师应深入分析因式分解问题的特点，并恰当地把换元法应用其中，借助科学设置一些新元，将原本復杂的多项式变得更为简洁，以帮助学生快速、正确解题。

在初中数学解题教学中，很多学生面对具有较高复杂性的多项式，都十分迷茫，不知该如何下手。

而将换元法恰当应用到因式分解类题目中，就可用一个字母科学地替代多项式中的一个部分，这就使得原本十分复杂的多项式结构变得非常简化，这就大幅降低了解题难度，有利于学生顺利完成因式分解任务。

二、合理应用换元法，优化学生解答方程类型问题能力方程，指的是涵盖有未知数的一种等式。

换句话说，方程是代表两个数学式（像运算、函数、两个数量）之间完全相等关系的等式，可确保等式成立的未知数对应的数值就是方程的“根”或“解”。

纵观初中数学教材，方程类型的内容占有很大比重，也是重点与难点教学内容，学生解答方程类型问题的能力对学生是否能应用数学知识解决生活问题能力的高低产生直接影响。

因此，在初中数学教学中，教师应充分重视方程类问题教学，将换元法合理应用到解题中，以推动学生解答方程问题能力的优化。

换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中的一种重要解题方法，它常常应用在代数、微积分和函数等领域。

换元法是一种通过引入新的变量或函数来简化原问题的方法，它能够将原问题转化为更容易处理的形式，从而解决原问题。

本文将着重介绍换元法在高中数学解题中的应用，探讨它的作用和优势。

在代数中，换元法常常用于简化复杂的代数式或方程。

当我们要求解一个关于变量的复杂方程时，可以通过引入新的变量或代数式来简化原方程，从而更容易求解。

当我们要对一个复杂的代数式进行因式分解或化简时，也可以运用换元法来转化成更简单的形式，便于进行后续操作。

对于如下代数式：x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1，我们可以引入新的变量y=x+1，从而将原式转化为y^4的形式，进而进行简化或因式分解操作。

这种方法能够大大简化代数式的求解过程，提高解决问题的效率。

二、换元法在微积分中的应用在微积分中，换元法是一种常用的积分方法，它常常用于求解含有根式、三角函数等特殊形式的积分。

通过引入新的变量或函数，可以将原积分转化为更容易处理的形式，从而利用已知积分的性质或方法求解原积分。

对于积分\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}} dx，我们可以通过引入新的变量u=x^2+1，从而将原积分转化为\int \frac{1}{2\sqrt{u}} du的形式，利用已知积分\int\frac{1}{\sqrt{u}} du的性质求解原积分。

这种方法在解决含有根式的积分时具有很大的优势，能够简化积分的求解过程，提高解题的效率。

在函数的研究中，换元法也具有重要的应用价值。

当我们要对一个复杂的函数进行求导或积分时，可以通过引入新的变量或函数来简化原函数，从而利用已知函数的性质或方法求解原函数。

换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。

换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。

在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。

通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。

换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。

通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。

通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。

换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。

换元法还可以用于证明数学定理。

通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。

换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。

换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。

换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。

2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。

初等数学中的换元法及其应用罗 伟(数学与信息科学学院2006级1班)指导老师 刘妮副教授1.换元法及其相关的定义1.1换元法的一些基本概念换元法(substitution method;substitution;changing yuan)这种引辅助未知元素解题的方法我们称为换元法。

解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难以直接得出结论时，往往需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新元”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。

这种解决问题的方法称为换元法。

又称变量代换法或辅助元素法。

1.2换元的实质换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。

换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的[1]。

常见的换元法有两种：(1)设()x F 是一个比较复杂的表达式 ,如果()x F 可以表示为一个以()t ψ为中间变量的复函数 ,则可以设()u t =ψ，于是()()()()u G t G x F =ψ=。

如果()u G 比()x F 容易解决 ,这里的换元就起了化繁为简的作用。

这是第一种换元法。

(2)设()x F 是一个比较复杂的表达式 ,为了解题的需要 ,设()t x Φ=,于是()()()()t t F x F Γ=Φ=。

只要()t Γ比较容易解决 ,同样也能起到化难为简的作用。

这是第二种换元法。

1.3 换元法的关键利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元”，引进适当的代换，找到较容易的解题思路，能使问题简化。

1.4换元法的基本思想即把未知问题转化为已知问题，把复杂问题转化为简单问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。

1.5换元法的一般步骤①设元（或构造元） ②求解 ③回代 ④检验 转化 等量代换 等价原则2.常见的换元法的类型2.1 从结构上分类 2.1.1整体换元法例2.1 已知()43+=x x f ,求()[]x f f 和()[]{}x f f f 。

换元法在高中数学解题中的应用
换元法是一种常用的数学解题方法，特别是在高中数学中，它广泛应用于函数的求导、不定积分、定积分等问题的解答中。

本文将从函数的定义、基本思想和具体应用三个方面
来介绍换元法在高中数学解题中的应用。

一、函数的定义
在解析几何中，我们知道函数可以看作是平面坐标系中一个个有序的点。

而在数学分
析中，函数被定义为一个集合关系，即对于给定的定义域上的每一个自变量，函数给出了
唯一的依赖变量。

换句话说，函数就是一个输入与输出之间的对应关系。

二、基本思想
换元法的基本思想是将原问题转化为一个新的问题，通过变量的代换，将原问题转化
为处理起来更加方便的形式。

具体而言，就是通过代换变量的方式使得原问题的求解变得
容易或者更加直观。

换元法的核心就在于合适的代换，这需要根据具体的问题来确定。

三、具体应用
1. 函数的求导
在高中数学中，函数的求导是一个常见的问题。

利用换元法可以简化求导的过程。

对
于多项式函数y = f(x) = x^n来说，可以通过变量变换x = t^k，将其转化为y = g(t) = t^m的形式。

然后再求导也就更加容易了。

2. 函数的不定积分
不定积分是求原函数的过程。

换元法可以使得不定积分的计算更加简单。

对于一个复
杂的函数，通过合适的变量代换，可以将其转化为一个更简单的形式，从而使得求不定积
分的过程更加容易。

目录1. 引言 (1)一、换元法研究的背景 (1)二、换元法研究的意义 (1)三、换元法研究的方法 (2)2. 换元法的发展脉络 (2)3. 换元法的概念 (3)4. 换元法在中学解答问题中的应用 (4)一、换元法在方程中的应用 (4)二、换元法在解方程组当中的应用 (6)三、换元法在解不等式中的用法 (6)四、换元法在数列方面的应用 (7)五、换元法在复数中的应用 (8)六、换元法在三角函数和函数中的应用 (9)5. 换元法在中学解题中的常见错误 (12)一、“元”与“新元”选择不合理； (12)二、将复合函数与原函数混淆； (13)三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围； (14)6. 结论 (14)参考文献 (17)致谢 (18)换元法在中学数学解题中的应用及推广王秀芳（闽江学院数学系；福建福州350108）1. 引言近年来，随着数学思想越来越受到重视，关于换元法研究也取得了新的进展. 本文研究换元法在中学解题中的应用及其推广.首先给出了换元法的概念整理了换元法的发展脉络，然后着重讲换元法在中学解题中的具体应用以及在应用的过程中常见的错误分析，最后阐述换元法在生活中的推广.一、换元法研究的背景数学课程标准中谈及数学的学习要使学生能够熟练把握当代生活所必要的数学的常识与技能，思想与活动的经历.对数学问题的理解认识与思考，学会须要的数学思维方式是数学解题必不可少的.对生活也是有需要的.中学中常用的数学解决问题的方法有很多，例如:待定系数法，数学的不完全归纳法，类比的方法，配方法，换元法等，每一种方法都是必不可少的，其中换元法更是起着举足轻重的地位，采用换元法能够化繁为简使得看似不能解决的问题变得可以操作.二、换元法研究的意义学会换元法的使用是素质教育的一项内容.我们都知道素质教学是针对全体的学生，并且是促进学生全方面成长的一种教育，而不是传统教育下的死记硬背、复制、模仿，不是为了应试教育而学习数学，数学不是只存在数学课堂.推行和实施素质教育是要在愉快教育的教学环境下突破过于强调分数，应试教育的围墙学习数学，做到学懂会用、学以致用，更重要的是将数学课堂学习到的数学方法迁移到其他学科，社会生活和解决实际问题当中去.换元法是培养学生能力的需求.换元法不仅是一种方法更渗透的是一种数学思想.在心理学知识的理论内，思想活动是存在于元认知领域.它对整个认知活动起着计划、监督控制、适当的调整的作用.让人们能够意识到在学习活动中我们缺乏什么然后就去提高什么，对学生能力的培养起着指导引领的作用.三、换元法研究的方法文献研究法：查找国内外有文献，通过对不同专家学者文献的分析比较不同国家、不同领域对换元法的不同观点，作为本文的理论基础.2. 换元法的发展脉络1944年美国国籍，匈牙利的伟大教育家乔治·波利亚《怎样解题》.被翻译成16中文字，销售量爆表.著名的瓦尔登是一位伟大的数学家，他曾经在瑞士的苏黎世大学主办的会议中说到：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读一读这本引人入胜的数.”读后发现波利亚关于怎样解题深入的研究想法非常棒，特别是书中提及的解题思想对于广大的中学生都是非常有实用价值的.1969年，日本著名数学家米山国藏的《数学的精神、思想与方法》.以启发性的实例为主要依据，系统地阐述了换元法在解题，探究“元”的数学思考.1975年，希拉里·普特南 Putnam，1926~)，美国逻辑学家、科学哲学家发表的《数学、物质与方法》美国教育部、美国数学会和全美数学教师联合会等组织举办的美国数学邀请赛，美国中学生数学竞赛.加拿大、瑞士、前苏联各国举办的数学奥林匹克竞赛.奥林匹克数学竞赛，把中学生的数学竞赛命名为"数学奥林匹克"的是前苏联，采用这一名称的原因是数学竞赛与体育竞技有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克运动精神.竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞技的强国，这给了人们一定的启示.1994年，厦门海沧实验中学校长、党总支书记肖学平.从事数学教学与研究工作，荣获“苏步青数学教育奖”，从事教育科学研究，出版了《中学数学的基本思想和方法》等四部专著，发表了30余篇论文.被评为福建省优秀校长，使学校实现了跨越式发展，快速成为省一级达标学校.联系我国中学数学教育给出许多优秀的例子.汪祖亨在1996年编写的《数学常用解题方法与技巧》不仅总结出一系列的换元方法，并探讨了结合中学数学教学如何进行应用.解恩泽、徐本顺主编的《数学思想方法》，欧阳维诚、肖果能及张矗合写的《初等数学思想方法选讲》中，则对换元法这一思想方法进行了较为系统的归纳阐述，为中学数学教学校本教研提供了很好的课例研究.李明振在2000年发表的《数学方法与解题研究》，也是把换元法与数学教育紧密结合在一起的论著.有关换元法解题的专题文章(如用换元法证明不等式，求函数的值域，因式分解等等)也相继发表在“中学生数学”、“数学通报”、“高中数学教与学”等各种数学杂志、报纸、期刊上.随着全国仞、高中数学竞赛的开展，换元思想方法的应用越来越多，一些竞赛试题也被纳入了中学生课外辅导的材料.3. 换元法的概念表示未知数、变数的字母统称为“元”.广义地说，表示研究对象(如常数、代数式、函数、命题、集合、向量等)的文字符号都可以称为“元”.解数学问题，碰到直接解原问题很困难不易下手的，或者由原问题的条件难以直接得出结论的时候，往往需要引入一个或几个“新元”代换问题中原来的“元”，使得以“新元”为基础的问题的求解比原来的问题容易，解决“新元”问题以后将结果倒回去恢复原来的“元”，便可得原有问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法，又称辅助元素法、变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，使问题发生有利的转化，从而更为简单快速的解决原来的问题.故换元的实质就是转化与化归.在中学数学教学活动过程中，教师要有意识的培养学生解决问题的时候灵活的使用换元法.要针对不同的题型，不同的问题来确定原题中的“元”，然后适当的选择最有效的“新元”，两者之间建立联系.由于“元”的存在形式有很多，故在“新元”的选择上是灵活多变和相对复杂的.但是在转换的这个过程中，有三个特点是很明显与确定的.第一，“新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二，“新元”得到的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元”，我们要对原有的问题进行转换，当然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主要是应用在逻辑命题的相关知识上）.4. 换元法在中学解答问题中的应用一、换元法在方程中的应用例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程：（1）√x+√2x−1+√x−√2x−1=√2；（2）√x+√2x−1+√x−√2x−1=1；（3）√x+√2x−1+√x−√2x−1=2；解：（1）将√2x−1看成“元”，用“新元”y代替它，即√2x−1=y则原方程转化为：|y+1|+|y−1|=2需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是：−1≤y≤1，又∵ y=√2x−1≥0，∴ 0≤√2x−1≤1，≤x≤1解得这个不等式的解为：12≤x≤1时，方程√x+√2x−1+√x−√2x−1=√2成立故，当12（2）将√2x−1看成“元”，用“新元”y代替它，即√2x−1=y则原方程转化为：|y+1|+|y−1|=√2，得到的关于“新元”的方程是无解的，故原来方程也是无解.（3）将√2x −1看成“元”，用“新元”y 代替它，即√2x −1=y 则原方程转化为：|y +1|+|y −1|=2√2当y ≤−1时，新元方程可以化为y =−4，即y =−4；当y ≥1时，新元方程可以化为y =4，即y =4；当−1<y <1时，新元方程化为y +1−y +1=2√2，明显无解综上所述，转换后的新元方程的解为y =−4或y =4.又∵ y =√2x −1≥0， ∴ y =4，即原方程的解为：x =8.5这是代数转化为代数的例题，下面给的例题2是将三角形式的方程转化为代数形式的方程.例题2.（第四届的国际数学竞赛题第4题）解下列方程：cos 2x +cos 22x +cos 23x =1分析：这是一个二次三角形式的方程，直接解决是无法解决的，但是通过“换元法”就可以将无从下手的三角方程转化为代数方程.解： 将cos2x 看成“元”，用“新元”y 代替，则cos2x =y则有：cos 2x +cos 23x =12(1+cos2x +1−cos6x )=1+12[cos2x +(4cos 32x −3cos2x )]=1+y (2y 2−1)=2y 3−y +1故，原有的方程转化为：y 2+1+y (2y 2−1)=1，即y (2y 2+y −1)=0 ∴y 1=0，y 2=−1，y 3=12所以，将新元方程得到的结果带回原方程；（1）cos2x 1=y 1=0，2x 1=π2+kπ，即有x 1=π4+kπ2 (k =0，±1，±2，⋯)； （2）cos2x 2=y 2=−1，2x 2=π+2kπ， 即有x 2=π2+ kπ (k =0，±1，±2，⋯)；（3）cos2x 3=y 3=12，2x 3=±π3+2kπ，即有x3=±π6+ kπ (k=0，±1，±2，⋯)；综上所述，以上三种数都是原方程的解.二、换元法在解方程组当中的应用换元法在方程组中的作用主要是用来简便计算量的.因为有些方程组如果用常规方法做也是可以行得通的，但是计算量就有点太大了，特别是在复杂一点的分式方程组或者是高次方程组中利用换元法就是特别明智的选择.换元的目的就是将复杂的分式方程组化成简单的整式方程组，也是能够把高次的方程组化成为低次的.例题3.解方程组：解：设a=13x−2y ，b=12x−5y；则原来方程组可以转化为：即有，代回求解x和y的值，即有：解得，即为原方程的解.三、换元法在解不等式中的用法例题5. （第二届国际数学竞赛第2题）存在哪些值使得下面的不等式成立？4x2(1−√1+2x)2<2x+9解：将√1+2x看做“元”，用“新元”y替换，则√1+2x=y；既有x=y 2−12；故，原不等式可以转化为：(y 2−1)2(1−y)<y2−1+9易得y ≠1；既(1−y )2>0；故(y 2−1)2<(1−y )2(y 2+8)；解得：y <72 故，0≤√1+2x <72；即原不等式解得：−12≤x <458例题6.如果p +q +r =1，且满足0≤p ，q ，r ≤1，请证明：√p +√q +√r ≤√3.分析：例题4是代数之间的换元，这一题由于0≤p ，q ，r ≤1，即符合了三角函数值域取值的范围，故可以尝试做三角代换.证明：令p =cos 2x ，q =sin 2xcos 2y ，r =sin 2xsins 2y ，其中有x ，y ∈[0，π2]；则有：√p +√q +√r =√cos 2x +√sin 2xcos 2y +√sin 2xsins 2y=cosx +sinxcosy +sinxsiny=cosx +sinx (siny +cosy )=cosx +√2sinxsin (y +π4)≤cosx +√2sinx=√3sin (x +z )≤√3故，原命题得证. 四、换元法在数列方面的应用例题7.已知数列{αn }由循环公式α1=1，αn+1=116(1+4αn +√1+24αn )构成，其中n =1，2，3，⋯，求αn 的通项公式是什么？解： 将√n 看成“元”，用x n 为“新元”替换，既有√n =x n ； 则有αn =124(x n 2−1)由此可得：α1=1，α2=58，α3=1532，α4=51128，⋯，既有：x1=5，x2=4，x3=312，x4=314，⋯，根据前面几组的数据可以猜测含有“新元”数列{ x n}的通项公式为：x n= 3+(12)n−2接下来用数学归纳的方法去证明，之后还要还原成原数列（证明略）.例题8.已知在数列{a n}中，α1=1，α1+2α2+3α3+4α4+⋯+na n=n+12a n+1(nϵN∗)，求数列{a n}的通项公式a n.解：将na n看成“元”，用“新元”b n替换，设na n=b n；则有{b n}的前n项和为：s n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n=12(n+1)a n+1=12b n+1由b n=s n−s n−1=12b n+1−12b n故，32b n=12b n+1既有，b n+1b n=3，且b1=a1=1；所以b n=3n(n≥2)；故，当a n=2∙3n−2n(n≥2)，a1=1五、换元法在复数中的应用复数及其运算不仅具有三角函数的式样、代数的形式而且还有几何意义，因此运用复数能够处理很多看似复杂的数学难题与偏题.灵活转化为恰当有效的复数，把一些实数看成某些复数的虚数部分或者是实数部分，然后就可以用复数的相关知识与运算去解决问题.例题9.已知a，b，c均为大于0的数，求函数y=√x2+a2+√(c−x)2+b2的最小取值为多少？解：可以设z1=x+αi，z2=(c−x)+bi，且a，b，c均大于0∴ z1+z2=c+(a+b)i，且z1，z2≠0；又∵|z1|=√x2+a2，|z2|=√(c−x)2+b2，|z1+z2|=√(a+b)2+c2；根据性质|z1|+|z2|≥|z1+z2|，（z1，z2同向时等号成立）∴√x2+a2+√(c−x)2+b2≥√(a+b)2+c2；所以，当z1，z2同向时，即有xc−x =ab，y min=√(a+b)2+c2；例题10.设复数z1和z2满足z1z2̅+A̅z1+Az2̅=0，其中A是不等于零的复数，请证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）z1+Az2+A =|z1+Az2+A|；分析：如果这一题按照常规方法设：z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，A=a+bi，(a1，b1，a2，b2，a，b∈R)；转化为实数上的问题，那么会因为出现的字母太多运算复杂书写不变等种种原因最终放弃.但是如果学生很好的掌握了换元的方法，用整体代换的方法，设α=z1+A，β=z2+A，则：已知条件便转化为：αβ̅=|A|2；要证明的结论也相应的转化为：（1）|α||β|=|A|2，αβ=|αβ|那么此时的计算量就小多了（往下步骤省略）；六、换元法在三角函数和函数中的应用利用换元的方法可以将复杂的三角函数的问题转换成二次函数的问题.接着利用熟悉的二次函数的相关性质和方法处理，最后记得将所得的结果代回到原有问题中.这类方法在高中考试中被经常用到.例题11.已知函数f(x)=2x5+3x3−x2−4x+12，求f(1−√2)的值.解：方法一：将“元”x用“新元”1−√2替换，则有：f(1−√2)=2(1−√2)5+3(1−√2)3−(1−√2)2−4(1−√2)+12；我们不难发现，即使是换元之后，如果不对函数进行处理，那么效果也是不好的.方法二：设1−√2=x ，则有x 2+2x −1=0，再设x 2+2x −1=t ；（那么现在经过两次换元，我们只要去构造函数f (x )，将式子中的x 2+2x −1看成一个整体进行构造零因子.）f (x )=2x 5+3x 3−x 2−4x +12=(2x 3−4x 2+13x −31)(x 2+2x −1)+71x −19=71x −19=71(1−√2)−19=52−71√2例题12.已知f (x+1x )=x 2+1x +1x ，求f (x )的解析式； 分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将x+1x 看成一个整体，用一个“新元”t 替代. 解： 设x+1x =t ；则有x =1t−1，且(t ≠1)；∵ f (x +1x )=x 2+1x 2+1x∴ f (t )=(1t−1)2+1(1t−1)2+1(1t−1)∴ f (t )=(t −1)2+1+t −1∴ f (t )=t 2−t +1故，函数的解析式为f (x )=x 2−x +1，(x ≠1).总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是f (t )=t 2−t +1含有t 的式子.第二，漏了自变量的变化范围，变换后自变量的取值范围变成(x ≠1).例题13.（2009年全国高考文科卷）已知∆ABC 是三角形的三个内角A 、B 、C ，且满足条件：A +C =2B ，1COSA +1COSC =−√2COSB ，求cos (A−C 2)的值.分析：隐含条件“三角形的内角和为180°”，且条件给的答案“A +C =2B ”，故可以利用A +C =120°进行换元.解： 设A =60°+α，C =60°−α，则有α=A−C 2；故，1COSA +1COSC=1COS(60°+α)+1COS(60°−α)=12COSα−√32sinα+12COSα+√32sinα=−2√2解得：cosα=√22，即有：cos A−C2=√22.例题14.设a>0，求f(x)=2a(sinx+cosx)−sinx∙cosx−2a2的值的最大与最小分别是多少？解：设sinx+cosx=t（t∈[−√2，√2]），故sinx∙cosx=t 2−12；∴f(x)=g(t)=2at−t 2−12−2a2=−12(t−2a)2+12(a>0，t∈[−√2，√2])；（1）当t=2a≥√2时，有t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)=√2，x=2kx+π4，(k∈Z)；f(x)max=g(√2)=−2a2+2√2a−1此时t=2a=−√2时，有t=sinx+cosx=sin(x+π4)=−√2,x=2kx−3π4，(k∈Z)；f(x)min=g(−√2)=−2a2−2√2a−1 2（2）当t=2a≤−√2时，有t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)=−√2，x=2kx−3π4，(k∈Z)；f(x)max=g(−√2)=−2a2−2√2a−1 2此时t=2a=√2时，有t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)=√2,x=2kx+π4，(k∈Z)；f(x)min=g(√2)=−2a2+2√2a−1 2（3）当−√2<t<√2时， f(x)max=g(2a)=12综上所述（再描述回答一遍即可，这里省略）分析：本例题将三角函数求值域问题.运用换元的方法转化为二次函数在闭区间上求值域，这一题不仅要顾及到换元后的取值变化的问题.还结合了之前学习的二次函数的性质，运用分类的讨论方法能够进一步处理问题.换元的方法有多种多样但不是独立的，它们之间互相联系，在解题过程中学生应该有选择性使用.遇到问题比较复杂的，这时要求学生要认真的分析，能够根据特点进行合理的变换和换元，使原有的复杂、困难的问题化为容易解决的问题.学生要知道换元法是一种解决问题策略，需要在充分观察题设与结论的联系后才可以有目的的选用，明确选择哪一类换元不是随意的.因此，在运用换元策略去解题时千万不能生搬硬套.要在仔细观察、具体分析之后寻找突破口,灵活合理地选择换元“元”与“新元”.5. 换元法在中学解题中的常见错误虽然换元法能够简化计算，化高次方程为低次方程，但是如果早使用的时候如注意等价转化与换元，那么就容易出现一些不容易发觉的错误，常常表现在如下方面.一、“元”与“新元”选择不合理；例题1 设x√1−y2+y√1−x2=1，求x+y的最值.错解：∵√1−y2≥0，√1−x2≥0 ；∴|y|≤1，|x|≤1；∴设x=cosα，y=sinα，α∈[0，2π)；∴ cosα|cosα|+sinα|sinα|=1；等式两边同时平方可得：sin2α=0，∴ α=kπ2，(k∈Z)；∴ x+y=cosα+sinα=√2sin(α+π4)=√2sin(kπ2+π4)，(k∈Z)；∴ x+y的最大值为1，最小值为−1；错误分析：换元之后定义域范围扩大，混淆两个变换式子的自变量，错误的增加关系条件x2+y2=1.正解：∵√1−y2≥0，√1−x2≥0 ；∴|y|≤1，|x|≤1；又∵ x√1−y2+y√1−x2=1 ；∴ 0<y≤1，0<x≤1；∴设x=cosα，y=sinβ，α、β∈[0，π]；∴原条件可以转化为： cosα sinβ+sinαcosβ=1，即cos(α−β)=1；又∵π2≤α−β ≤π2，∴ α−β=0，即 α=β；∴ x+y=cosα+sinβ=cosα+sinα=√2sin(α+π4 )；又∵ 0≤α≤π2∴π4≤α+π4≤3π4；∴当α+π=π，即α=0时，有x+y的最小值是1；∴当α+π4=π2，即α=π4时，有x+y的最大值是√2；二、将复合函数与原函数混淆；例题2 知f(x+1x )=x2+1x2+1x，求f(x)的解析式；分析：本题中是已经知到复合函数的解析式，然后反过来让我们求原函数的解析式，应该将x+1x看成一个整体，用一个“新元”t替代.解：设x+1x =t；则有x=1t−1，且(t≠1)；∵ f(x+1x)=x2+1x2+1x∴ f(t)=(1t−1)2+1(1t−1)2+1(1t−1)∴ f(t)=(t−1)2+1+t−1∴ f(t)=t2−t+1故，函数的解析式为f(x)=x2−x+1，(x≠1).总结:上述例题有两个点非常容易错.第一，忘记回代即答案的最终形式是f(t)=t2−t+1含有t的式子.第二，漏了自变量的取值范围，变换后自变量的范围变成(x≠1).还有就是已知复合函数的定义域求原函数的定义域或者是已知原函数的定义域求复合函数的定义域等类型的题目都是很容易出错的.三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围；例题3 已知：x∈R∗，求y=x+4x +1x+4x的最小值.错解：令t=x+4x ，∵ x∈R∗，∴ t>0，则有y=t+1t≥2，∴y min=2；当 t=1t，即t2=1，(t>0)时，∴t=1；将t=1代入t=x+4x=1时，此方程无解.故等号不成立即y没有最小值.分析：本例题换“新元”时错误的确定了“新元”t的取值范围.正解：令t=x+4x ，∵ x∈R∗，∴ x+4x≥4，∴t≥4；∴ y=t+1t(t≥4)，∴t2−ty+1=0(t≥4)；故解得：t=y±√−4+y22，∴y±√−4+y22≥4；解得：y≥174∴y min=174因此，在使用换元法这种数学思想思考解决问题的时候不是生搬硬套，要注意概念的理解，细节的处理，从本质上把握换元法的每个步骤.做到灵活快捷的选用最优的换元对象和新元，最大程度上简化计算量，化繁为简，体现数学思维的高度.换元法的富有创造性的运用不仅实用而且更直观.换元不仅仅存在数学学科知识间的运用，也贯穿在数学与其他学科的知识、数学与生活之间.下面简要阐述数学在其他学科还有生活中的推广.6. 结论数学方法是数学思想的外在表现，数学思想是数学方法的本质内容.本文通过对换元法在中学数学中的应用与相关推广的研究.我认识到：数学思维的形成与发展是一个复杂、漫长的的思维认知及内化的过程.在形成过程中，参与的思维的成分并不是只有换元思想一种而应该是多样的.也可以认为：数学思维的形成实质上是综合素质在培养与运用的过程中螺旋上升的过程.往往解决问题钥匙是来自各方面思维经验的正向迁移.通过对换元法的阶段研究.针对换元的多变技巧和多样的方法进行梳理、对比、归纳以及分类.抓住换元法的基本解题类型与容易产生错误的知识点、面.从而帮助学生养成良好的数学思维以及意识，有效的掌握使用换元法解决问题的知识与技能，培养学生良好的分析与应变解题能力.同时，在收集资料的过程中我发现：目前教师都比较重视讲授表面层次上的换元技巧，注意是强调技巧，而不重视甚至忽略了渗透数学思想才是素质教育的根本.这种本末倒置的传统教学还没有完全转换.只停留在技巧方面的教学不利于学生从本质上把握换元法，会导致知识的建构体系不完善，很难作为知识的“生长点”.当然，也不能够单纯的强调数学思维，否则容易忽略表层的内容，从而导致换元法的解题过程流于形式，不能够很好的服务于生活.因此在未来的教学中应该在教授知识技能的同时要善于引导学生主动思考、学会思考，将数学学科学习的思想方法应用在其他学科与生活中去，体现数学是门基础的、是服务人类学习与人类生活密切相关的科学.限于我还是一名大学本科学生，对课题的理论知识构建相对薄弱，缺乏实际丰富的教学引导经验.导致对本次研究内容较为片.还有有许多的问题需要继续深入的研究与探讨.总的来说，从本次课题研究可以知道，换元法应用涉及的知识与技能、思想与活动经验的面很广，相对的处理技巧也是多样的，我明白进一步去研究换元法的任务是很有难度的.我对本次课题的部分研究还只是提出了一些常见的解题技巧与思考，缺少对解题理论的深入探索、发现与探讨.故在今后的学习教学中，会更加注重要在换元的思想理论的层面上，力求找到一、二个突破口，使这得本次研究显得更加全面.目前，本人对换元法的应用理论研究还处于尝试发现的阶段，真心期待未来会有更多的数学教育教学的工作者可以一起深入研究与实践.灵活、有效地选用换元法创造性的解决实际问题，为全面提高数学课程的教育教学质量提供一份力量.确保学生们能够在数学思维的熏陶、陶冶中学习数学知识与技能、研究数学的思想、体验数学活动、收获数学经验.不断引导学生，提高学生对数学思维的认知，能够自主自觉的进行调节与监控.如此一来，数学的教育教学就有希望从理论的层面上让每个学生都能获得良好的数学教育，不同的学生在数学上得到不同的发展.参考文献[1]卢春松. 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数理化解题研究(初中版),2014,08:28-29.致谢感谢闽江学院这四年来对我的培养，感谢我的每个任课老师.特别要感谢我的论文指导老师对本论文从选题、构思、资料收集到定稿每个环节给予的耐心的指引与帮助.对此，我发自内心的由衷的感谢.我的指导老师敏锐的学术思维，广博的专业知识，严谨的指导方式，精益求精的细节指导以及无比耐心的人格魅力将永远激励着我.这些影响不仅直接影响着我关于对论文的把握，而且会在未来的教学工作中留下深刻的印象.在此，向帮助我的老师致以崇高的敬意！感谢父母二十多年的辛勤培育，让我快乐的接受学习，并让我获取了一定的知识与做人的道理，让我有勇气走向社会，有一定的能力服务社会，贡献自己！感谢四年来的同班同学在学习、生活、工作以及情感上的陪伴.因为有你们的存在让我的大学生活变得多姿多彩！最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师再次表示由衷的感谢！。

换元法思想在初中数学教学中的应用研究摘要：在初中数学中，存在着大量的抽象、复杂的数学难题，有的必须采用换元法才能顺利求解。

初中数学教师要深刻领会换元法思想，灵活地把握“化归”“转化”的思维，激发学生参与学习的积极性，促进学生思考，提高其数学学习水平。

文章对换元法思想在初中数学教学中的应用原则进行了简单分析，探讨了在初中数学教学中应用换元法思想的具体策略，以进一步提升数学教学质量，发展学生的数学综合思维。

关键词：换元法思想；初中数学教学；应用策略换元法思想是初中数学中非常重要的一种思想，它可以减少学生学习的困难，提升学生的逻辑思考能力和解题能力。

新课程为中学数学教育带来了新的发展契机，让换元法的使用范围越来越广，为学生解决问题提供了更快捷的途径，对提高学生的数学综合素质具有重要意义。

然而，在教学实践中仍存在着一些误区，比如有的教师讲解的换元法不够准确，有的教师忽略了换元后新变量的取值范围，有的教师只讲授换元理论而忽略了实践，等等。

在实际教学中，教师应从学生的实际出发，积极培养学生的“转化”“化归”的思维，并通过设计多种形式的数学实践活动，把换元法思想融入课堂教学中，引导学生灵活地解决各种数学问题，增强学生学习的主动性和自觉性，从而加深学生对数学问题的辨证认识。

一、换元法思想在初中数学教学中的应用原则（一）适用性原则换元法在实际运用中有一定的讲究，并非所有的数学问题都适合使用換元法。

有的时候，学生会盲目地进行换元，导致解决问题的效率下降。

在日常的学习中，常采用换元法解决因式分解或不等式证明、求解问题，其基本思想是用新的变量代替原来的变量，从而解决问题。

教师可以运用换元法的思维进行教学，并逐渐将换元法的概念渗透到课堂中，使学生能熟练运用换元法，并能把复杂的问题进行合理的分解、转换，使之变成简单的问题。

随着我国教育的不断深化，中考数学试题的考试范围越来越广，很多题目都可采用换元法解答［1］。

因此，教师应引导学生进行归纳、整合，提升学生的数学学习能力，从而达到素质教育的目标。

利用换元法解数学题的关键在于能否恰当地选择“新元”，然后再进行恰当的代换，找到较清晰的解题思路，能用来简化问题。

使用换元法时必须注意新元的取值范围是否和旧元取值范围保持对应、换元时所受到的限制条件，还要注意根据题设环境检验结果。

换元的目的是变换研究对象，将问题转换致新对象的知识背景中去研究。

用一句话来概括换元法的作用就是“复杂结构简单化，混乱思路清晰化”。

换元法从方法上可以分为：“以元代数”，“以元代元”和“以数代元”等。

从思想上可以分为：“整体换元”、“三角换元”、“对称换元”、“均值换元”、“设差换元”等。

换元法在高中数学范围内主要应用于四种问题，即不等式的证明问题，解方程问题，求函数最值问题和化简问题。

下面将对这四种问题进行逐个分析。

一、换元法在不等式问题中的应用不等式的证明有三大难点：切入点难找，可利用条件模糊，变形方向更是难以把握，利用换元法引入新元，有时可以有效地将分散条件整合，隐含条件再现，从而使问题也变的易于处理。

以下是换元法在几种常见类型不等式问题的应用情况。

评：通过观察本题的结构特点，会发现左式两个分母：x,1-x与三角函数中的sin2x,1-sin2x的结构相似，因此本题采用三角换元法，将x换成sin2θ（以数代元）便可利用三角公式，将式子由分式结构转化成整式结构，简化解题难度.恒成立，求实数a的取值范围.解：令，则原问题等价于不等式对x∈r恒成立，因为t 2=0时不成立，所以，即.评：本题将不等式中的看成一个整体，用t代换，即用以元代数的方法去整体换元。

这样可以排除干扰，将问题转化为我们最熟悉不过的一元二次不等式问题，从而使问题变的易于解决。

通过以上几个例子我们可以知道：在较为复杂的不等式证明中，有许多不等式在利用换元法变形之后，就可以使分散条件整合，隐含条件显现，使问题变的易于处理。

二、换元法在解方程中的应用在高中数学中，方程问题是最常见的数学问题之一，其解题方法也较为简单明了。