2018-2019学年苏教版必修一3.2.1第1课时对数的概念学案

第23课时 对 数（三）教学目标：使学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力.教学重点：换底公式及推论.教学难点：换底公式的证明和灵活应用.教学过程：教学过程：Ⅰ.复习回顾对数的运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )Ⅱ.讲授新课1.对数换底公式：log a N ＝log m N log m a(a ＞0，a ≠1，m ＞0 ，m ≠1，N ＞0) 证明：设log a N ＝x , 则 a x ＝N两边取以m 为底的对数：log m a x ＝log m N ⇒x log m a ＝log m N从而得：x ＝log m N log m a ∴ log a N ＝log m N log m a2.两个常用的推论:① log a b ·log b a ＝1② log m a b n ＝n mlog a b （ a 、b ＞0且均不为1） 证：①log a b ·log b a ＝lg b lg a lg a lg b＝1 ②log m a b n＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n m log a b Ⅲ.例题分析例1 已知 log 23＝a ， log 37＝b , 用 a , b 表示log 4256解：因为log 23＝a ，则1a＝log 32 , 又∵log 37＝b , ∴log 4256＝log 356log 342 ＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1 ＝ab ＋3ab ＋b ＋1例2计算：① 53log 12.0- ② log 43·log 92－log 21432解：①原式＝15315555531log 3log 52.0===②原式＝12 log 23·12 log 32＋54 log 22＝14 ＋54 ＝32例3设 x 、y 、z ∈（0，＋∞）且3x ＝4y ＝6z1︒ 求证 1x ＋12y ＝1z ； 2︒ 比较3x ，4y ，6z 的大小证明1︒：设3x ＝4y ＝6z ＝k ∵x 、y 、z ∈（0，＋∞） ∴k ＞1取对数得：x ＝lg k lg 3 ， y ＝lg k lg4 ， z ＝lg k lg 6 ∴1x ＋12y ＝lg 3lg k ＋lg 42lg k ＝2lg 3＋lg42lg k ＝2lg 3＋2lg22lg k ＝lg 6lg k ＝1z 2︒ 3x －4y ＝（3lg 3 －4lg 4 ）lg k ＝lg64－lg81lg 3lg4 lg k ＝lg k ·lg 6481 lg 3lg4 ＜0∴3x ＜4y又：4y －6z ＝（4lg 4 －6lg 6 ）lg k ＝lg36－lg64lg 2lg6 lg k ＝lg k ·lg 916 lg 2lg6 ＜0 ∴4y ＜6z ∴3x ＜4y ＜6z例4已知log a x ＝log a c ＋b ，求x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式 解法一：由对数定义可知：b c a a x+=log b c a a a⋅=log b a c ⋅= 解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ， 即log a x c ＝b由对数定义知：x c ＝a b ∴x ＝c ·a b解法三：∵b ＝log a a b ∴log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b ∴x ＝c ·a bⅣ.课堂练习①已知 log 189＝a , 18b ＝5 , 用 a , b 表示log 3645解：∵log 189＝a ∴log 18182 ＝1－log 182＝a ∴log 182＝1-a ∵18b ＝5 ∴ log 185＝b∴log 3645＝log 1845log 1836 ＝log 189＋log 1851＋log 182 ＝a ＋b 2－a②若log 83＝p ，log 35＝q , 求 lg 5解：∵log 83＝p ∴3log 32 ＝p ⇒log 23＝3p ⇒log 32＝13p又∵log 35＝q ∴ lg5＝log 35log 310 ＝log 35log 32＋log 35 ＝3pq 1＋3pq Ⅴ.课时小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论Ⅵ.课后作业1．证明：b xx a ab a log 1log log += 证法1： 设 p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log 则：p a x = q q q b a ab x ==)( r a b = ∴)1()(r q q p aab a +== 从而 )1(r q p += ∵ 0≠q ∴r qp +=1 即：b x x a ab a log 1log log +=（获证） 证法2： 由换底公式 左边＝b ab a ab x x a a x x ab a log 1log log log log log +===＝右边 2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n证明：由换底公式 λ====nn a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n。

苏教版高中数学必修一《对数》教学设计教材：【教学目标】l.知识与技能:（1）理解对数的概念和意义；（2）能熟练地进行指数式与对数式的互化,理解两个对数恒等式；（3）了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法。

2. 过程与方法:(1) 通过探究使学生感受化归的数学思想；(2) 通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力。

3. 情感、态度与价值观:（1）通过学习使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣；（2）通过阅读对数发展史，增强学生的数学素养。

【教学重、难点】（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化。

【教学方法与手段】情境导学、启发引导、质疑讨论、迁移创新。

【教学过程】一、做好伏笔，温故知新：1.在指数式N a b =中，a 称为 ，b 称为 ，N 称为 ；2.若0>a 且1≠a ，则=0a ，=1a 。

二、问题情境，引出课题：求下列各式的x 值（1）273=x （2）2515=x （3）32=x 探析：1.3个问题的共性都是已知 和 的值，求 的值。

即指数式N a b =中，已知 和 的值，求 的值。

（这里0>a 且1≠a ）。

2.32=x 的解引发我们对=x ？的思考：①在R x ∈内，这样的方程有解吗？②既然有解，x 的值是多少呢？3.对数产生背景介绍。

4.介绍对数的文化意义。

三、概念理解，新知建构：1.对数的定义——一般地，如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即N a b =，那么就称b 是以a 为底 N 的对数（logarithm ），记作N b a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2.对数概念的理解：①利用对数形式表示32=x 中x 的值。

②将指数式932=化为对数式为29log 3=；将对数式212log 4=化为指数式 为2421=。

总结：由对数的定义可知，N a b =与N b a log =两个等式所表示的是a ，b ，N 这 三个量之间的同一关系，并且说明了指数式和对数式是可以互化的。

3．1.2 指数函数第1课时 指数函数及其图象学习目标 1.理解指数函数的概念和意义(难点)；2.能画出指数函数的简图(重点)；3.初步掌握指数函数的有关性质(重点)．预习教材P64－67，完成下面问题： 知识点一 指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【预习评价】下列函数中一定是指数函数的有________(填序号)．(1)y ＝(－4)x; (2)y ＝(13)x ； (3)y ＝2×3x;(4)y ＝x 3；解析 y ＝(－4)x 的底数－4＜0，不是指数函数；y ＝2×3x 中3x 的系数等于2，不是指数函数；y ＝x 3中自变量x 在底数的位置上，不是指数函数；由指数函数的定义知，只有y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数．答案 (2)知识点二 指数函数的图象和性质续表指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________． 解析 ∵函数f (x )＝(a ＋1)x 是指数函数，且f (x )为减函数，∴0＜a ＋1＜1，∴－1＜a ＜0.答案 (－1,0)知识点三 比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有：(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 【预习评价】思考 若x 1＜x 2，则a x 1与a x 2(a ＞0且a ≠1)大小关系如何？ 提示 当a ＞1时，y ＝a x 在R 上为单调增函数．所以a x 1＜a x 2，当0＜a ＜1时，y ＝a x 在R 上为单调减函数，所以a x 1＞a x 2.题型一 指数函数的概念 【例1】 给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是________．解析 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2＜0，不是指数函数． 答案 1规律方法 (1)指数函数的解析式必须具有三个特征：①底数a 为大于0且不等于1的常数；②指数位置是自变量x ；③a x 的系数是1. (2)求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件． 【训练1】 函数y ＝(2a 2－3a ＋2)·a x 是指数函数，求a 的值．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－3a ＋2＝1，a >0，a ≠1，解得a ＝12.∴a 的值为12.题型二 指数型函数的定义域、值域 【例2】 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x ；(3)y ＝；(4)y ＝4x ＋2x ＋1＋1.解 (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝21x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}． 又1x －4≠0，即≠1，故y ＝的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]．由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x ＜1， ∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)．(3)y ＝的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵＞0，故函数y ＝的值域为(0,16]．(4)定义域为R .∵y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2， 又2x >0，∴y >1，故函数的值域为{y |y >1}． 规律方法 对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)这类函数， (1)定义域是使f (x )有意义的x 的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性求得此函数的值域．③求形如y ＝A ·a 2x ＋B ·a x ＋C 类函数的值域一般用换元法，设a x ＝t (t >0)再转化为二次函数求值域．【训练2】 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________．(2)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．解析 (1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0，∴定义域为(－3,0]．(2)∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤3，∴－89≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≤2，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，2.答案 (1)(－3,0] (2)[－89，2]【探究a ，b ，c ，d 与1的大小关系是________．解析 方法一 在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大． 由指数函数图象的升降，知c ＞d ＞1，b ＜a ＜1. ∴b ＜a ＜1＜d ＜c .方法二 如图，作直线x ＝1，与四个图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b ＜a ＜1＜d ＜c .答案 b ＜a ＜1＜d ＜c【探究2】 已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1； (4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |.解 (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移一个单位得到． (2)y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到． (3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x 的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象． 【探究3】 试画出y ＝2|x －1|的图象．解 y ＝2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，21－x ，x ＜1＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.而y ＝2x －1可由y ＝2x向右平移1个单位得到，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1可由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 向右平移一个单位得到． 图象如下：【探究4】 直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．解 y ＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ＜0，2x －1，x ≥0图象如下：由图可知，要使直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|图象有两个公共点． 需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12，故a ∈(0，12)．规律方法 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象变换：(1)平移变换：把函数y ＝a x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y ＝a x ＋φ的图象；若向右平移φ(φ>0)个单位，则得到函数y ＝a x －φ的图象；若向上平移φ(φ>0)个单位，则得到y ＝a x ＋φ的图象；若向下平移φ(φ>0)个单位，则得到y ＝a x －φ的图象．即“左加右减，上加下减”．(2)对称变换：函数y ＝a －x 的图象与函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称；函数y ＝ －a x 的图象与函数y ＝a x 的图象关于x 轴对称；函数y ＝－a －x 的图象与函数y ＝a x 的图象关于原点对称；函数y ＝a |x |的图象关于y 轴对称；函数y ＝|a x －b |的图象就是y ＝a x －b 在x 轴上方的图象不动，把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方． (3)一般的情形：①函数y ＝|f (x )|的图象由y ＝f (x )在x 轴上方图象与x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方合并而成，简记为“下翻上，擦去下”；②函数y ＝f (|x |)的图象由函数y ＝f (x )在y 轴右方图象与其关于y 轴对称的图象合并而成，简记为“右翻左，擦去左”.课堂达标1．若函数y ＝(a 2－5a ＋7)(a －1)x 是指数函数，则a 的值为________．解析 由指数函数的定义可得a 2－5a ＋7＝1， 解得a ＝3或a ＝2， 又因为a －1>0且a －1≠1， 故a ＝3. 答案 32．已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是________． 解析 当x ＋1＝0，即x ＝－1时，a x ＋1＝a 0＝1，为常数，此时f (x )＝4＋1＝5， 即点P 的坐标为(－1,5)． 答案 (－1,5)3．函数y ＝的值域是________．解析 ∵x 2－1≥－1，∴y ＝≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 又y ＞0，∴函数值域为(0,2]． 答案 (0,2]4．已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限． 解析 取a ＝12，b ＝－2，所以得函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，由图象平移的知识知，函数y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象是由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限． 答案 一5．若函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，求实数a 的值． 解 ∵函数f (x )＝(a 2－7a ＋7)a x 是指数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－7a ＋7＝1，a ＞0，a ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝6，a ＞0，a ≠1.∴a＝6，即实数a的值为6.课堂小结1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a＞0且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.4．当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.。

3. 2对数函数3. 2.1对数的概念第1课时对数的概念学习目标1•理解对数的概念，掌握对数的基本性质(重、难点)；2•掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重、难点).I课前預习I 靈聽ill靈疑戢首主奎积淀基囲』预习教材P72—74,完成下面问题：知识点一对数的概念一般地，如果a(a>0, a^ 1)的b次幕等于N,即a b= N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N = b，其中，a叫做对数的底数,N叫做真数.【预习评价】丄1思考解指数方程3x= 3时，可化为3x= ，所以x=g请思考怎样解3―2?提示因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.知识点二对数的基本性质(1) 负数和零没有对数.(2) log a1= Q(a>0,且a^ 1).(3) log a a=1(a>0,且a^ 1).知识点三对数与指数的关系当a>0,且a^ 1 时，a x= N? x= log a N.知识点四常用对数和自然对数通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log1o N 可简记为lg N, log e N简记为ln_N.【预习评价】1. ___________________________________________ 下列指数式与对数式互化不正确的一组是____________________________________ .(填序号)(1)e°= 1 与ln 1 = 0；1 1_ 1.⑵=2与log82_ —3；(3) log39= 2 与=3;1(4) log77= 1 与7 = 7.i_ r\解析根据a= N? b= log a N可知，(1), (2), (4)均正确，(3)不正确应是3= 9.答案(3)2. __________________________ 若lg(ln x) = 0,则x= .解析In x= 1，x= e.答案 e3. 若lg(log3x)= 1,则x 的值为_________ .1 10解析'-lg(log3x) = 1 ,.°.log3x= 10 = 10,.°x= 3 .答案310in堂互动题型剖析.耳动棵究题型一对数式与指数式的互化【例1】(1)将下列指数式写成对数式：①54= 625;②2-6=右；③ 3a= 27;④ 3m= 5.73.(2)求下列各式中的x的值：2 2①log64X= —3；② log x8= 6;③ lg 100= x；④—ln e = x.解(1)① log5625= 4;1②log264= —6;③log327= a;5.73= m.-4-2—丄—4= 16.②『—8,所以③ 10x—100—102,于是x— 2.④由一In e2= x,得一x= In e2，即e_x= e.所以x= — 2.规律方法要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式,再利用指数幕的运算性质求解.【训练1】计算：（1）log927; （2）;⑶'.3解⑴设x= Iog927,则9x= 27,3^= 33,「x=⑵设T= log^81,则(疽尸=81,3^ =3SAx=16.(3)令/.(疔尸=625,5^ = 0,戈=3.题型二应用对数的基本性质求值【例2】求下列各式中x的值：⑴Iog2(log5x)= 0; (2)log3(lg x)= 1;<3)log(^--i)1=^;(1)33+|%'^2.V3 + 2 J2解(1)°.log2(log5x) = 0.o i• log5X= 2 = 1 ,• x= 5 = 5.1 3⑵・.log3(lg x)= 1,/lg x= 3= 3,「x= 10 = 1 000.1⑶现心1)「=x,p3+ 2\!2w—1)x=^+zr 观抚=右皿—1,•x= 1.33十］叫丁= 3乜1叫丁 2(4) v = 27x= 2,.°x = 27.规律方法（1）对数式与指数式关系图:对数式log a N = b是由指数式a b= N变换而来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幕的值N,而对数值b是指数式中的幕指数.(2)并非所有指数式都可以直接化为对数式. 如(—3)2= 9就不能直接写成log(- 3)9 =2,只有a>0 且a^ 1, N>0 时，才有a x= N? x= log a N.【训练2] (1)若Iog2(log3x)= Iog3(log4y)= Iog4(log2z) = 0,则x+ y+ z 的值为解析・.log2（log3x）= 0 ,.°log3x= 1,•°x= 3, 同理y= 4, z= 2,.°x+ y+ z= 9.答案9⑵求；一’ 的值（a, b, c€ R+且不等于1, N>0）.解•】吟• I叭N =（）lg计-吨IV =（g o&b c）log r N =帆N = N.考查题型三利用对数基本性质解方程方向方向1：同底对数方程转化为有理方程【例3—1] 解方程lg(—2x—1) = lg(x2—9).解由已知得一2x—1= x2—9,即x2+ 2x—8= 0,解得x= —4或x = 2.经检验，x= 2 时，—2x—1<0, x2—9<0,与对数真数大于0矛盾，故x = 2舍去.所以原方程的根为x= — 4.方向2:同底对数方程转化为无理方程【例 3 —2] 解方程log3(x—1)= log3 .x+ 5.解由题意得x— 1 = - x+ 5,2 2••(X—1) = x+ 5,即卩x —3x—4= 0.解得x= —1或x = 4.经检验，x=—1不合题意，故舍去；x= 4是原方程的解.•原方程的解是x=4.方向3:整体代换转化为有理方程【例3 —3】 _________________________________ 方程9x—6 3x—7 = 0的解是.解析设3x= t(t>0),则原方程可化为t2—6t —7= 0,解得t = 7或t=—1(舍去)，•= 7,即3 = 7.•'x= log37.答案Iog37方向4:指、对数互化转化为有理方程【例 3 —4】_________________________________ 若log(1 —x)(1 + x)2= 1,则x= .解析由题意知1 —x= (1+ x)2,解得x= 0,或x= — 3.2验证知，当x= 0时，log(1-x)(1 + x)2无意义，当x= 0不合题意，应舍去，所以x= — 3.答案—3规律方法应熟练进行指数与对数间的相互转化，在解题过程中,看到对数就应想到它的指数形式，看到指数就应想到它的对数形式.(1) 对数运算时的常用性质：log a a= 1, Iog a1= 0.对于多重(2) 使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用; 对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质.课堂达标1. 2x = 3化为对数式是 ________ .解析 °公=3,.°x = Iog 23.答案 x = Iog 232. 若 log 3X = 3,贝U x= _______ .解析 ・.log 3X = 3,「x = 33 = 27.答案 273. In 1 + log (..；2—1)( 2— 1) = ________ .解析 In 1 + log (&°(返—1) = 0+ 1 = 1.答案14. 设10Ig x = 100,则x 的值为 _________ .答案 1005. 求下列各式的值：(1)Iog (2—..；3)(2 + ,3)—1;⑵Iog 327; (3)32+ Iog 35. 解 ⑴设 x = log-3)(2+ ,3)-1,1则(2— 3)x =(2+ .3)-」+—3 = 2— 3, •'x =1•即 lo g (2 — .；3) (2+ 3)—1=1.(2厂33 = 37,/Iog 327= 3.令 3A log3 5 = logs JC 即工=5.二原式=9X 5 = 45.课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即 a b = N? Iog a N = b(a >0,且a ^ 1, N >0),据此可得两个常用恒等式: 2 .在关系式a x = N 中，已知a 和x 求N (3)3?+1%5 = 32〔1) 1。

编号：020 课题:对数的概念 目标要求 理解对数的概念； 重点难点重点：指数式与对数式的互化； 难点：对数恒等式的应用． 教学过程 基础知识点 1.对数的概念(1)定义:一般地,如果(0,1)ba N a a =>≠,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作 ___________,其中,a 叫作对数的底数,N 叫作真数. (2)特殊对数:常用对数:以10为底,记作___________; 自然对数:以e 为底,记作__________. (3)指数与对数的关系:当0,1a a >≠,ba N =⇔_______________. 【思考】对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积?2.对数的性质 (1)负数和0没有对数; (2) log 1a = ;(3) log a a = .【思考】你能否推导出对数的性质(2)(3)?3.对数恒等式log a N a N =.【思考】对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系?【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)因为2(4)16- =,所以(4)log 162-=. ( )(2)因为381x=,所以81log 3x =. ( )(3)23log 3log 2=. ( )2.把对数式2log 32x =改写为指数式________.3.若2ln e x -=-,则x =________.关键能力·合作学习类型一 对数的概念及应用(数学抽象) 【题组训练】 1.若2020(0,1)ab a a =>≠,则 ( )A.log 2020a b =B.log 2020b a =C.2020log a b =D.2020log b a =2.在(3)log (1)x M x -=+中,要使式子有意义,x 的取值范围为 ( ) A.(-∞,3]B.(3,4)∪(4,+∞)C.(4,+∞)D.(3,4)3.(多选题)下列指数式与对数式的互化中,正确的是( )A.0101=与lg101= B.131273=与2711log 33=- C.3log 92=与1293= D.5log 51=与155=【解题策略】 关于指数式的范围利用式子0,log 0,1.a b b a a >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩求字母的范围.【变式探究】【补偿训练】在5log (5)a -中,实数a 的取值范围是 ( ) A.a >5或a <0B.0<a <1或1<a <5C.0<a <1D.1<a <5类型二 指数式与对数式的互化(数学运算) 角度1 指数与对数的互化及应用 【典例】如表,其中解正确的题号是 ( )题号①②③④方程642log 3x =-log 86x =lg100x =2ln e x -=解16212-2A.①②B.③④C.②④D.②③角度2 对数性质的应用【典例】已知243342log [log (log )]log [log (log )]0x y ==,则x +y =________.【变式探究】将等式变为243342log [log (log )]log [log (log )]1x y ==,试求x +y .【解题策略】1.关于指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化关系:2.对数性质在求值中的应用此类题目一般都有多层,解题方法是利用对数的性质,从外向里逐层求值.【题组训练】1.设log 3,log a a m n π==,则2m na-= ( )A.3πB.3πC.9πD.9π2.计算332log [log (log 8)]等于 ( ) A.1 B.16C.4D.0【补偿训练】若222log [log (log )]0x =,则x =( )A.2B.4C.1D.14类型三 对数恒等式的应用(数学运算)【典例】1.1log 2-+= ( )A.2 C.12+2.若4log 3x =,则244xx-⋅+=________.【解题策略】 关于对数恒等式的应用首先利用指数运算性质变形,变形为log a ba 的形式,再利用对数恒等式计算求值.【跟踪训练】若2log 3a =,则22aa- +=________.课堂检测·素养达标1.221()log 22-+等于( ) A.54B.3C.4D.52.已知log 83x =,则x 的值为( )A.12B.2C.3D.43.若10m=则m =________.4.ln(lg 10)=________.5.若对数2ln(56)x x -+存在,则x 的取值范围为________.编号：020 课题:对数的概念 目标要求 理解对数的概念； 重点难点重点：指数式与对数式的互化； 难点：对数恒等式的应用． 教学过程 基础知识点 1.对数的概念(1)定义:一般地,如果(0,1)ba N a a =>≠,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作___log a N b = ____,其中,a 叫作对数的底数,N 叫作真数.(2)特殊对数:常用对数:以10为底,记作__lg N ___; 自然对数:以e 为底,记作__ln N ___. (3)指数与对数的关系:当0,1a a >≠,ba N =⇔___log a Nb =____.【思考】对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积?提示:不是, log a N 是一个整体,其运算结果是一个实数. 2.对数的性质 (1)负数和0没有对数;(2) log 1a = 0 ;(3) log 1a a = . 【思考】你能否推导出对数的性质(2)(3)? 提示:因为01a =,所以log 10a =;因为1a a =,所以log 1a a =. 3.对数恒等式log a N a N =.【思考】对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系? 提示:指数的底数与对数的底数相等.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)因为2(4)16- =,所以(4)log 162-=. ( )(2)因为381x=,所以81log 3x =. ( )(3)23log 3log 2=. ( ) 提示:(1)×.对数的底数不能为负值. (2)×.应为3log 81x =.(3)×.23log 3log 2≠,两个是不同的对数值.2.把对数式2log 32x =改写为指数式________.【解析】对数式2log 32x =改写为指数式为232x=.答案: 232x=3.若2ln ex -=-,则x =________.【解析】因为2ln e x -=-,所以2x e e --= ,所以2x =.答案:2关键能力·合作学习类型一 对数的概念及应用(数学抽象) 【题组训练】 1.若2020(0,1)ab a a =>≠,则 ( )A.log 2020a b =B.log 2020b a =C.2020log a b =D.2020log b a =2.在(3)log (1)x M x -=+中,要使式子有意义,x 的取值范围为 ( ) A.(-∞,3]B.(3,4)∪(4,+∞)C.(4,+∞)D.(3,4)3.(多选题)下列指数式与对数式的互化中,正确的是( )A.0101=与lg101= B.131273=与2711log 33=- C.3log 92=与1293= D.5log 51=与155= 【解析】1.选A.若2020(0,1)ab a a =>≠,则log 2020a b =.2.选B.由函数的解析式可得1030,31x x x +>⎧⎨->-≠⎩且，解得3<x<4或x>4.3.选BD.在A 中,0101lg10=⇔=,故A 错误;在B 中,132711127log 333=⇔=-,故B 正确; 在C 中,23log 9239=⇔=,故C 错误;在D 中,15log 5155=⇔=,故D 正确.【解题策略】 关于指数式的范围利用式子0,log 0,1.a b b a a >⎧⎪⇒>⎨⎪≠⎩求字母的范围.【变式探究】【补偿训练】在5log (5)a -中,实数a 的取值范围是 ( ) A.a >5或a <0B.0<a <1或1<a <5C.0<a <1D.1<a <5【解析】选B.由对数的定义可知50,0,1,a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩解得0<a <5且a ≠ 1.类型二 指数式与对数式的互化(数学运算) 角度1 指数与对数的互化及应用 【典例】如表,其中解正确的题号是 ( )题号①②③④方程 642log 3x =- log 86x = lg100x = 2ln e x -=解 1612-2 A.①② B.③④ C.②④ D.②③ 【思路导引】利用指数、对数的互化求解验证.【解析】选C.由642log 3x =-得,2316416x - ==,所以①错误;由log 86x =得,68x =,所以22x =且0x >,所以x =所以②正确;由10lg100log 100x ==得,10100x =.所以2x =,所以③错误;由2ln e x -=得2x e e -=,得2x =-,所以④正确;所以正确的题号是②④.角度2 对数性质的应用【典例】已知243342log [log (log )]log [log (log )]0x y ==,则x +y =________.【思路导引】由外向内求出x ,y 后求和.【解析】由题意可得43log (log )1x =,所以3log 4x =,所以4381x ==;同理可得42log (log )1y =,所以2log 4y =,所以4216y ==,所以x +y =97.答案:97【变式探究】将等式变为243342log [log (log )]log [log (log )]1x y ==,试求x +y .【解析】由题意,43log (log )2x =,得3log 16x =,得163x =;42log (log )3y =,得2log 64y =,得642y =.所以166432x y +=+.【解题策略】1.关于指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化关系:2.对数性质在求值中的应用此类题目一般都有多层,解题方法是利用对数的性质,从外向里逐层求值.【题组训练】1.设log 3,log a a m n π==,则2m n a -= ( ) A.3π B.3π C.9π D.9π 【解析】选C.因为log 3,log a a m n π==.所以3,m n a a π==.所以229m m n n a a a π-==. 2.计算332log [log (log 8)]等于 ( )A.1B.16C.4D.0【解析】选D.令2log 8x =,则28x =,所以3x =.所以332333log [log (log 8)]log (log 3)log 10===.【补偿训练】若222log [log (log )]0x =,则x = ( )A.2B.4C.1D.14【解析】选B.若222log [log (log )]0x =,则22log (log )1x =,则2log 2x =,解得:x = 4.类型三 对数恒等式的应用(数学运算)【典例】1.1log 2-+= ( )A.2 C.12+2.若4log 3x =,则244x x -⋅+=________.【思路导引】1.先利用指数运算性质拆分,再利用对数恒等式求值.2.直接将x 代入所求式,再利用对数恒等式求值.【解析】1.选A. 1log log 112222-+-=⨯==2.由4log 3x =,则444log 3log 3log 31119244244236433x x --⋅+=⋅+=⨯+=+=. 答案: 193【解题策略】关于对数恒等式的应用首先利用指数运算性质变形,变形为log a b a的形式,再利用对数恒等式计算求值.【跟踪训练】若2log 3a =,则22a a - +=________. 【解析】因为2log 3a =,所以222log 3log 3log 31110222233233a a-- +=+=+=+=.答案: 103课堂检测·素养达标 1.221()log 22-+等于( ) A.54B.3C.4D.5 【解析】选D.原式=4+1=5.2.已知log 83x =,则x 的值为( ) A.12 B.2 C.3 D.4【解析】选B.因为log 83x =,所以38x =,解得2x =.3.若10m =则m =________.【解析】因为10m =则m =.答案: 4.ln(lg 10)=________.【解析】ln(lg 10)=ln 1=0.答案:05.若对数2ln(56)x x -+存在,则x 的取值范围为________.【解析】因为对数2ln(56)x x -+存在,所以2560x x -+>,所以解得3x >或2x <,即x 的取值范围为:(-∞,2)∪(3,+∞).答案:(-∞,2)∪(3,+∞)。

课题：3.2.1对数的概念(第1课时)教材：苏教版高中数学必修 1一. 教材分析对数这节课是苏教版必修1第3章对数函数第1课时．学习对数的概念是对指数概念和指数函数的回顾与深化，是学习对数函数的基础．二. 学情分析高一学生已经学习了函数的概念、函数的表示方法与函数的一般性质，对函数有了初步的认识．学生已经完成了分数指数幂和指数函数的学习，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程．对数的概念对学生来说，是全新的，需要教师引导学生利用指数与指数函数的相关知识理解对数的概念．在教学过程中，力求让学生体会运用从特殊到一般，类比等数学方法来理解对数式与指数式之间的内在联系，将对数这一新知纳入已有的知识结构中．三. 教学目标1. 理解对数的概念，会熟练地进行指数式与对数式的互化．2. 学生在解决具体问题中体会引入对数的必要性，在举例过程中理解对数．3. 学生在学习过程中感受化归与转化、数形结合、特殊到一般的数学思想，学会用相互联系的观点辩证地看问题．四. 重点与难点1. 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化．2. 难点：对数概念的理解．五. 教学方法与教学手段问题教学法，启发式教学．六．教学过程1. 创设情境建构概念某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%．（设该物质最初的质量为1）【问题1】你能就此情境提出一个问题吗？[设计意图]通过学生熟悉的问题情境，让学生自主地提出问题，引发思考，体会这些问题之间的关联是指数式a b =N中已知两个量求第三个量．【问题2】2b=3，这样的指数b有没有呢？[设计意图]利用具体的问题引发学生的认知冲突，引导学生运用数形结合的方法探索指数b是存在的，并且只有一个，进而想办法用数学符号表示指数b．思考：根据这些具体的例子，你能得到一般情况下，对数是怎么表示的吗？对数的概念：如果a的b次幂等于N(其中a＞0，a≠1)，即a b=N，那么就称b 是以a为底N的对数，记作log a N＝b．其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．2．具体实例理解概念[学生活动]请每位同学写出2—3个对数，与同桌交流．[设计意图]深入理解对数．第一阶段，让学生体会对数可以转化为指数，对数式和指数式是等价的；第二阶段，认识特殊的对数，明确对数式中a，b，N 的范围．3．概念应用方法总结练习求下列各式的值：(1)log264；(2)log101100；(3)log927．[设计意图](1)理解对数是个数，对数问题可以转化为指数问题来解决．(2)反思解题过程，从中得到两个对数式log a a b=b，a log a N＝N(a＞0且a≠1)．(3)激起学生进一步探索对数的相关结论．(4)介绍常用对数和自然对数．【问题3】什么是对数？研究对数的基本方法是什么？[设计意图]回顾反思本节课学习的知识和方法．4. 分层作业因材施教(1)必做题：课本P74 练习第1、3、4、5题．(2)选做题：探究对数的运算性质．[设计意图]分层布置作业，“必做题”面向全体学生，旨在掌握对数的概念，熟练对数式与指数式的互化．“选做题”给学生提供进一步自主研究对数的机会．。

3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是____________________，记作____________，其中，a叫做____________，N叫做________．通常将以10为底的对数称为____________，以e为底的对数称为____________．log10N可简记为________，log e N简记为________．知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？梳理 (1)对数与指数的关系若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝______.对数恒等式：a log a N ＝______；log a a x ＝______(a >0，且a ≠1)． (2)对数的性质 ①1的对数为____； ②底的对数为____； ③零和负数____________．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是____________．反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73.反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)1)log 13＋22＝x .反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)；(3).命题角度3 对数恒等式log a Na ＝N 的应用例5 (1)求33log 3x+＝2中x 的值；(2)求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)．反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝a log a x 并非相等的函数． 跟踪训练5 设5log (21)25x ＝9，则x ＝________.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． 2．若log a x ＝1，则x ＝________.3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②8－13＝12与log 812＝－13；③log 39＝2与912＝3；④log 77＝1与71＝7.4．已知log x 16＝2，则x ＝________. 5．设10lg x ＝100，则x 的值等于________．1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．答案精析问题导学 知识点一思考 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念． 梳理 以a 为底N 的对数 log a N ＝b 对数的底数 真数 常用对数 自然对数 lg N ln N 知识点二思考 设log a 1＝t ，化为指数式a t ＝1，则不难求得t ＝0，即log a 1＝0. 梳理 (1)x N x (2)①零 ②1 ③没有对数 题型探究例1 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.跟踪训练1 解 要使函数式有意义， 需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x 1＋x 的定义域为(0,1)．例2 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5. (2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3， ∴x ＝103＝1000. 跟踪训练2 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 例3 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .跟踪训练3 解 解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.例4 解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116. (2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2. (3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2， 即e －x ＝e 2.所以x ＝－2. (5)因为1)log 13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.跟踪训练4 解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x ＝，则⎝⎛⎭⎫43x＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3. 例5 解 (1)∵33log 3x+＝33·3log 3x＝27x ＝2，∴x ＝227.(2)log log log a b c b c Na⋅⋅＝log log log ()a b c b c Na⋅＝log c Nc＝N .跟踪训练5 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2. 当堂训练1．b a＝N 2.a 3.③4．4 5.100。

2.3.1对数（1）教学目标：1．理解对数的概念；2．能够进行对数式与指数式的互化；3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值．教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化，并求一些特殊的对数式的值；教学难点：对数概念的引入与理解．教学过程：一、情境创设假设2005年我国的国民生产总值为a亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年，国民生产总值是2005年的2倍？根据题目列出方程：______________________．提问：此方程的特征是什么？ 已知底数和幂，求指数！情境问题：已知底数和指数求幂，通常用乘方运算；而已知指数和幂，则通常用开方运算或分数指数幂运算，已知底数和幂，如何求指数呢？二、数学建构1．对数的定义．一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a 为底N的对数，记作log a N，即b＝log a N．其中，a叫作对数的底数，N叫做对数的真数．2．对数的性质：（1）真数N＞0，零和负数没有对数；（2）log a1＝0 (a＞0，a≠1)；（3）log a a＝1(a＞0，a≠1)；（4）a log a N＝N(a＞0，a≠1)．3．两个重要对数：（1）常用对数(commonlogarithm)：以10为底的对数lg N ．（2）自然对数(naturallogarithm)：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数ln N ． 三、数学应用例1 将下列指数式改写成对数式． （1）24＝16；（2）31273-=；（ 3）205a=； （4）()10.452b=．例2 求下列各式的值． （1）log 264； （2）log 832．基础练习：log 10100＝ ； log 255＝ ； log 212＝ ； log 144＝ ；log 33＝ ； log a a ＝ ； log 31＝ ；log a 1＝ ．例3 将下列对数式改写成指数式 （1）log 5125＝3； （2）log133＝－2； （3）lg a ＝－1．699．例4 已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m +n 的值． 练习：1．（1）lg(lg10)＝ ； （2）lg(ln e )＝ ； （3）log 6[log 4(log 381)]＝ ；（4）log 3129x-＝1，则x ＝________． 2．把log x 7y ＝z 改写成指数式是 ． 3．求222log 5+的值．4．设81,(,1](),(1,)2log xx f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则满足1()4f x =的x 值为_______．5．设x ＝log 23，求332222x x xx----．四、小结1．对数的定义：b＝log a N a b＝N．2．对数的运算：用指数运算进行对数运算．3．对数恒等式．4．对数的意义：对数表示一种运算，也表示一种结果．五、作业课本P63习题1，2．。

2.3.1对数（3）教学目标：1．进一步理解对数的运算性质，能推导出对数换底公式；2．能初步利用对数运算求解一些常见问题的近似值；3．通过换底公式的研究，培养学生大胆探索，实事求是的科学精神．教学重点：对数的换底公式及近似计算；教学难点：对数的换底公式的引入及推导．教学过程：一、情境创设1．复习对数的定义与对数运算性质；2．情境问题．已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，如何求log23的近似值？二、学生探究log23与lg2、lg3之间的关系，并推广到log a N与log b N、log b a的关系．三、数学建构1．对数的换底公式log a N＝loglogbbNa(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0)．2．换底公式的推导3．对数型问题的近似求值．四、数学应用例1计算log89×log332的值．练习：若log34×log25×log5m＝2，则m＝．例2已知x a＝y b＝z c，且111a b c+=．求证：z＝xy．练习：已知正实数a、b、c满足3a＝4b＝6c．（1）求证：212c b a-=； （2）比较3a 、4b 、6c 的大小．例3 如图，2000年我国国内生产总值(GDP)为89442亿元， 如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg2≈0.3010，lg1.078≈0.0326，结果保留整数)．例4 在本章第2.2.2节的开头问题中，已知测得出土的古莲子中14C 的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代(lg2≈0.3010，lg0.879≈－0.0560，结果保留整数)．练习：课本63页练习1，2，3．化简：（1）235111log log log 2589⋅⋅＝ ； （2）345212log 30log 30log 30++＝ ． 证明：235321log 19log 19log 19++＜1． 四、小结1．对数的换底公式．2．对数的运算性质在解决实际问题中的应用．五、作业课本P 64习题6，7，8．课后阅读课本63～64页内容．。

第2课时对数的运算及换底公式学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件(重、难点)；2.掌握换底公式及其推论(难点)；3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值(重点)．预习教材P75－78，完成下面问题：知识点一对数运算性质一般地，如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N.【预习评价】1．有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的结论，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？提示有．例如，设log a M＝m，log a N＝n，则a m＝M，a n＝N，∴MN＝a m·a n＝a m＋n，∴log a(MN)＝m＋n＝log a M＋log a N，得到的结论log a(MN)＝log a M＋log a N 可以当公式直接进行对数运算．2．log24，log28，log232之间存在什么关系？提示log24＋log28＝log232＝log2(4×8)，log2328＝log24＝log232－log28，log2324＝log28＝log232－log24.知识点二换底公式一般地，对数换底公式log a b＝log c blog c a(a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1)；特别地：log a b·log b a＝1(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)．【预习评价】思考假设log25log23＝x，则log25＝x log23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？提示把3x＝5化为对数式为：log35＝x，又因为x＝log25log23，所以得出log35＝log25log23的结论．知识点三常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b＝1log b a；(2)log a b·log b c·log c a＝1；(3) ＝log a b；(4)＝mn log a b；(5)＝－log a b. 【预习评价】判断log9(x＋5)＝12log3(x＋5)．()提示√题型一积商幂的对数运算【例1】化简log a x2y 3z.解∵x2y3z＞0且x2＞0，y＞0，∴y＞0，z＞0.log a x2y3z＝log a(x2y)－log a3z＝log a x2＋log a y－log a 3 z＝2log a|x|＋12log a y－13log a z.规律方法使用公式要注意成立条件，log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的．log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N .【训练1】 已知y ＞0，化简log a x yz . 解 ∵x yz ＞0，y ＞0，∴x ＞0，z ＞0.∴log a x yz ＝log a x －log a (yz )＝12log a x －log a y －log a z .题型二 利用换底公式化简、求值【例2】 计算：(1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)．解 (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2.(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·＝(3＋1＋13)log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13.规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．(2)常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，＝m n log a b ，log a b ＝1log b a 等． 【训练2】 (1)(log 29)·(log 34)＝________.(2)log 2125·log 318·log 519＝________.解析 (1)(log 29)·(log 34)＝(log 232)·(log 322)＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4.(2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg 19lg 5＝(－2lg 5)·(－3lg 2)·(－2lg 3)lg 2lg 3lg 5＝－12. ★★答案★★ (1)4 (2)－12互动 题型三 换底公式、对数运算性质综合运用【探究1836解 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .【探究2】 设3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．解 由3a ＝4b ＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436，由换底公式得1a ＝log 363，1b ＝log 364，∴2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1.【探究3】 已知2x ＝3y ＝5z，且1x ＋1y ＋1z ＝1，求x ，y ，z . 解 令2x ＝3y ＝5z ＝k (k >0)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 5，由1x ＋1y ＋1z ＝1，得log k 2＋log k 3＋log k 5＝log k 30＝1，∴k ＝30，∴x ＝log 230＝1＋log 215，y ＝log 330＝1＋log 310，z ＝log 530＝1＋log 56.【探究4】 已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2x y 的值．解 由lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，得xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，化为(x y )2－5x y ＋4＝0，解得x y ＝1或x y ＝4.又x >0，y >0，x －2y >0，∴x y >2，∴x y ＝4，∴log 2x y ＝log 24＝log 216＝4.规律方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．(2)对于这类连等式可令其等于k (k ＞0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.课堂达标1．lg 8＋3lg 5的值为________．解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3.★★答案★★ 32．已知lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，则(lg a b )2的值是________．解析 lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，(lg a b )2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.★★答案★★ 23．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．解析 log a b ·log 3a ＝lg b lg a ·lg a lg 3＝lg b lg 3＝4，所以lg b ＝4lg 3＝lg 34，所以b ＝34＝81.★★答案★★ 814．已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n ＝________.解析 因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n ＝log 102＋log 105＝lg 10＝1.★★答案★★ 15．计算：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 27＋lg 8－31g 10lg 1.2.解(1)方法一lg 14－2lg 7 3＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.方法二lg 14－2lg73＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg(73)2＋lg 7－lg 18＝lg14×7(73)2×18＝lg 1＝0.(2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.课堂小结1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N)n，②log a(MN)＝log a M·log a N，③log a M±log a N＝log a(M±N).。