第8章 电磁辐射

Az ( r0 ,θ 0 ) =
µ
4π
∫
− l 2
l 2
I ( z ) e− jkr dz r
8.3
电与磁的对偶性
引入磁荷和磁流的概念之后，磁场各物理量就和电场各物理量一一对应起来了， 引入磁荷和磁流的概念之后，磁场各物理量就和电场各物理量一一对应起来了， 麦克斯韦方程组和许多场量方程式就都以对称的形式出现 ∂D + Je ∂t ∂B ∇× E = − − Jm ∂t ∇ ⋅ B = ρm ∇× H = ∇ ⋅ D = ρe 下标m表示磁量 表示磁量， 表示电量。 ◇ 下标 表示磁量，e 表示电量。 磁流密度， ◇ J m ——磁流密度， 2 。 磁流密度 V/m 磁荷密度， ◇ ρ m ——磁荷密度， 磁荷密度 Wb/m3。 ◇等式右边为正，表示电流与磁场之间有右手螺旋关系。 等式右边为正，表示电流与磁场之间有右手螺旋关系。 ◇等式右边为负，表示磁流与电场之间有左手螺旋关系。 等式右边为负，表示磁流与电场之间有左手螺旋关系。 假设 E = Ee + Em D = De + Dm H = He + Hm B = Be + B m 由磁源产生的场量。 由磁源产生的场量。 由电源产生的场量。 由电源产生的场量。
可知
电场和磁场的相位相差 电场和磁场的相位相差 90 ，因此 能量在电场和磁场相互交换而平均坡 能量在电场和磁场相互交换而平均坡 印廷矢量为零，这种区域的场称为感 印廷矢量为零，这种区域的场称为感 应场
可见近区磁场分布与恒定磁场中的毕 可见近区磁场分布与恒定磁场中的毕 沙伐公式完全相同。 奥-沙伐公式完全相同。 qdl Er = cos θ 若将 I = jω q 3 2πε r 得 qdl Eθ = sin θ 3 4πε r
实际天线的效率不可能为100%， 实际天线的效率不可能为100%， 100% 定义天线的的效率
◇ 将整副天线看成由许许多多元天线 组成， 组成，这些元天线的电流大小和相位不 同。 ◇ 利用积分求和的方法将他们在某点 产生场强叠加起来， 产生场强叠加起来，从而求得该点的总 的场强。 的场强。 P z dz θ r r0 l x P点的矢量磁位为
P0 D= P
例 解
理想点源天线的总辐射功率 在相等电场强度的前提下考察天线的总辐射功率
相等电场强度
求元天线的方向性系数。 求元天线的方向性系数。 由式(8.2.10) 由式(8.2.10) 元天线的电场强度
0 其最大辐射方向在 θ = 90
Idl Eθ = j η0 sin θ e− jkr 2λ r
正负二电荷q 此结果与正负二电荷 此结果与正负二电荷 相距 dl 所构成的偶极子的静电场分量 完全相同。说明近区场时， 完全相同。说明近区场时，电流 元相当与一电偶极子。 元相当与一电偶极子。
二、远区场 在远离电偶极子的区域， 在远离电偶极子的区域，kr =
2π
此时电偶极子的电磁场可近似为 Idl Hφ = j sin θ e − jkr 4π r Idl k 2 Eθ = j sin θ e − jkr 4πε 0 r ω 1 成正比； ◇ 电场和磁场与 成正比； r 电场和磁场的相位相同； ◇ 电场和磁场的相位相同；
将 f (θ , ϕ ) = sin θ 用极坐标画出来 z z E y y
y
θ
φ
E z x
元天线方向图
E
x
如果用一个大的球面将元天线包围起来，将元天线放在球心， 如果用一个大的球面将元天线包围起来，将元天线放在球心，则从天线辐射 总辐射功率为 出来的能量必然全部通过这个球面。天线的总辐射功率 出来的能量必然全部通过这个球面。天线的总辐射功率为
− jkr
µ A(r , t ) = 4π
∫
v
J (r ′, t − r − r ′ / v) dV ′ r − r′
相应的场量计算公式
E = −∇ϕ − H= 1
∂A ∂t
µ
∇× A
由 A ( r ) 和 ϕ ( r )的表示式可知 场点r ◇ 场点 处的 A ( r ) 和 ϕ (r) 变化的相位较其源 J 和 ρ 落后 t时刻场点 较早时刻 处的函数不是决定于同一时刻的电荷分布,而是决定于 处的函数不是决定于同一时刻的电荷分布, 的电荷分布。 的电荷分布。 t′ = t − r − r′ / v
第 8 章
电磁辐射
产生电磁波的振荡源一般为天线。 ◇ 产生电磁波的振荡源一般为天线。随着振荡源频率的提高使电磁波的波长与天线 尺寸可相比拟时，就会产生显著的辐射。 尺寸可相比拟时，就会产生显著的辐射。 对于天线，我们关心的是它的辐射场强、方向性、辐射功率和效率。 ◇ 对于天线，我们关心的是它的辐射场强、方向性、辐射功率和效率。
E2 D= 2 E0
考察天线最大辐射方向一点的电场强度 理想点源天线在相同功率下同一点的电场强度 理想点源天线在相同功率下同一点的电场强度
相等辐射功率
理想点源天线：是指没有方向性的天线，它的辐射方向图为一球形， 理想点源天线：是指没有方向性的天线，它的辐射方向图为一球形，即在各方 向的辐射强度相等。 向的辐射强度相等。 方向性系数也可定义为
µ A(r , t ) = 4π
µ0 Il
4πρ
∫
v
J (r ′, t − r − r ′ / v) dV ′ r − r′
l≪r
得电偶极子的矢量位
θ
dl
r
φ
x 相应的电磁场 1 H = ∇× A 得
Idle − jkr Hφ = 4πr H = H = 0 θ r
y
A ( r ) = ez
则有 ∂B ∇ × Ee = − e ∂t ∇ × H = ∂De + J e e ∂t ∇ ⋅ Be = 0 ∇ ⋅ D = ρ e e ∂B ∇ × Em = − m − J m ∂t ∇ × H = ∂Dm m ∂t ∇ ⋅ Bm = ρ m ∇ ⋅ D = 0 m
以上是电偶极子的电磁场，整个表示式十分复杂。 以上是电偶极子的电磁场，整个表示式十分复杂。下面分别讨论近区场和远区场 一、近区场
kr 在靠近电偶极子的区域， 在靠近电偶极子的区域， = 2π
此时， 此时， e 为
− jkr
≈ 1 ，则电偶极子的电磁场可近似
λ
r ≪1 。
Idl sin θ 4πr 2 Idl Er ≈ − j cos θ 3 2πωε r E ≈ − j Idl sin θ θ 4πωε r 3 Hφ ≈
8.1
滞后位
由第6章引入的动态矢量位和动态标量位，在洛伦兹条件下， 由第6章引入的动态矢量位和动态标量位，在洛伦兹条件下，其方程为
∂2 A ∇ A − µε 2 = − µ J ∂t ∂ 2ϕ ρ 2 ∇ ϕ − µε 2 = − ∂t ε
2
产生, 设场由电荷元 ∆q = ρ∆v′ 产生, 则 ∆v′ 之外没有电荷 由场的球对称性及特点, 由场的球对称性及特点,可分析 出场的表达式形式为
Pr =
∫
s
Sav ⋅ dS l
若设 Pr =
)2
1 2 I Rr 2
2
= 40π2 I 2 (
λ
l 元天线的 则 Rr = 80π2 λ 辐射电阻
设 η = η0 = 120π
动态元天线辐射的过程
由元天线的方向图可知,元天线向各个方向辐射的电场强度不相等。 由元天线的方向图可知,元天线向各个方向辐射的电场强度不相等。垂直 于天线轴线方向辐射功率比较集中，沿天线轴线方向辐射很小。 于天线轴线方向辐射功率比较集中，沿天线轴线方向辐射很小。 定义方向性系数
Eθ k = =η 电场和磁场在空间相互垂直， ◇ 电场和磁场在空间相互垂直，其比值等于媒质的本征阻抗 H ωε φ
λ
≫1 。
◇ 坡印廷矢量的模为 S = η Hφ
2
Idl 2 =η sin θ 2λ r
2
上式表明有能量向外辐射，说明一个作时谐震荡的电流元可以辐射电磁波。 ◇ 上式表明有能量向外辐射，说明一个作时谐震荡的电流元可以辐射电磁波。 把能辐射电磁波的装置称为天线，上述电流元又称为元天线。 把能辐射电磁波的装置称为天线，上述电流元又称为元天线。 一定时， 变化。 ◇ 当r 一定时，电磁场的强度随 θ 变化。场量随角度变化的函数 f (θ , ϕ ) 称 为天线的方向图因子。 为天线的方向图因子。元天线的方向图因子为 f (θ , ϕ ) = sin θ
对于正弦时变场
∇2 A + k 2 A = − µ J
ρ ∇ ϕ +k ϕ =− ε
2 2
ϕ (r , t ) =
同理, 同理,可得
1 4πε
∫
ρ (r ′, t − r − r ′ / v)
r − r′
v
dV ′
式中 k =∫
'
µ Je− jkr
r
dτ '
1 ρe ϕ ( r) = ∫' r dτ ' 4πε τ
e-jkr
Ar = Az cos θ 在球坐标系 A = − A sin θ θ z A = 0 φ
µ
1 jk + sin θ r
Idle − jkr 1 Er = − j jk + cos θ 2πωε r 2 r Idle − jkr 2 jk 1 1 E= ∇ × H 得 Eθ = − j −k + + 2 sin θ r r 4πωε r jωε Eφ = 0
r
所推迟的时间恰好是波源 J 或 ρ 的变化传递到观察点所需 要的时间。 称为滞后位。 要的时间。 因此将 A( r , t ) 和 ϕ (r , t ) 称为滞后位。 滞后位