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课时分层训练(八) 指数与指数函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图像是( )A B C DB [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.所以f (x )的图像在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．]A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aD [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，35＞25，∴b ＜c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35＞25，∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ，故选D.]3．(2016·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2A [∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A [∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t在R 上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482056】A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．] 二、填空题6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________.2 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.]7．已知函数f (x )＝4＋ax －1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是________.【导学号：66482057】(1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．]8．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．m ＞n [∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n .] 三、解答题 9．求不等式a2x －7＞a4x －1(a ＞0，且a ≠1)中x 的取值范围．[解] 设y ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 若0＜a ＜1，则y ＝a x为减函数， ∴a2x －7＞a4x －1⇔2x －7＜4x －1，解得x ＞－3；5分若a ＞1，则y ＝a x为增函数， ∴a2x －7＞a4x －1⇔2x －7＞4x －1，解得x ＜－3. 9分综上，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－3，＋∞)； 当a ＞1时，x 的取值范围是(－∞，－3). 12分 10．已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域；(2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. [解] (1)因为函数f (x )＝12x－1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即 1－a 2x ＋a 1－2x ＝a ·2x＋1－a 1－2x，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12. 3分 又2x－1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 5分 (2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3). 8分由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞). 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________.【导学号：66482058】e [由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x ＜1时，f (x )＞e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e.] 3．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． [解] (1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 2分 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数. 5分(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况． 当x ＞0时，要使f (x )＞0，即⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋12＞0，即a x＋12 a x－1 ＞0，9分 即a x－1＞0，a x＞1，a x＞a 0.又∵x ＞0，∴a ＞1.因此a＞1时，f (x)＞0. 12分。
第5讲 指数与指数函数, )1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －mn ＝1a mn＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编 化简12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9B2.教材习题改编 设x ＋x －1＝3，则x 2＋x －2的值为( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3B 因为x ＋x －1＝3.所以(x ＋x －1)2＝9，即x 2＋x －2＋2＝9， 所以x 2＋x －2＝7. 3．函数f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y ＝1－x 的图象上．4.教材习题改编 若a >1且a3x ＋1>a－2x，则x 的取值范围为________．因为a >1，所以y ＝a x为增函数， 又a3x ＋1>a－2x，所以3x ＋1>－2x ，即x >－15.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，＋∞ 5．若指数函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b－3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝ax －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________． 【解析】 (1)由f (x )＝a x －b的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝ax －b的图象是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点， 所以方程有一解．【答案】 (1)D (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )A 将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．方程|a x－1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.⎝⎛⎭⎪⎫0，12指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质；(4)求解指数型函数中参数的取值范围．(1)(2016·高考全国卷丙)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b(2)(2017·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(3)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)＞0的解集为________． 【解析】 (1)因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .(2)当a ＜1时，41－a＝21，所以a ＝12；当a ＞1时，代入不成立． (3)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0 或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0， 解得x ＞4或x ＜0.所以不等式的解集为{x |x ＞4或x ＜0}． 【答案】 (1)A (2)12(3){x |x ＞4或x ＜0}有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aC 因为指数函数y ＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C.角度二 解简单的指数方程或不等式 2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________．因为2x 2－x<4，所以2x 2－x<22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质3．(2017·太原模拟)函数y ＝2x －2－x是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减A 令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C 、D.又函数y ＝－2－x，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x在R 上为增函数．角度四 求解指数型函数中参数的取值范围4．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.－32, )——利用换元法求解指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x 与a 2x (log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1， 令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1， 当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立，当a ＞0时，开口向上， 对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)必有一个根为正， 所以a >0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．, )1．化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1aD 解析] 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a－13－12－16·b 12＋13－56＝1a. 2．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A ．B ．C ．D ． 由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9，可知C 正确．3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是()D 当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为0<1－1a<1，故A ，B均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数图象恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，因为1－1a<0，所以选D.4．(2017·德州模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <aD 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，所以b <c ，又因为y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，所以a >c ， 所以b <c <a ，故选D.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a <1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3，1)． 6．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在上递增，在，则实数a ＝________． 当a >1时，f (x )＝a x－1在上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3，又因为a >1，所以a ＝ 3. 当0<a <1时，f (x )＝a x－1在上为减函数， 又因为f (0)＝0≠2，所以0<a <1不成立． 综上可知，a ＝ 3.38．已知函数f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________．因为f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，所以e a －e －ae a ＋e －a ＝－12.所以f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.129．(2017·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x(a >0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则a 的取值范围是________．当0<a <1时，a －2<0，y ＝a x单调递减，所以f (x )单调递增；当1<a <2时，a －2<0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a >2时，a －2>0，y ＝a x单调递增，所以f (x )单调递增．又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．(0，1)∪(2，＋∞)10．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．由于f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x ，x <1. 当x ≥1时，f (x )≥e ，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x <1时，f (x )>e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e. e11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式： ①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B 函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 13．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 14．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈恒成立，求实数m 的取值范围． (1)当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x>0，所以x ＝1.(2)当t ∈时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0， 所以m ≥－(22t＋1)， 因为t ∈，所以－(22t＋1)∈， 故实数m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
【真题回放】1．【2017天津高考文6】 已知奇函数()f x 在R 上是增函数。
若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A)a b c << (B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【考点解读】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。
首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =,再比较0.822log5,log 4.1,2比较大小。
2.【2017山东文10】若函数()e xf x （e=2.71828,是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（ ）A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C.()3x f x -= D 。
()cos f x x =【答案】A【解析】由A ，令()e 2xx g x -=⋅,()(),1,22x e eg x =<∴,()g x 在R 上单调递增，()f x 具有M 性质，而C ，(),01,33xe e<<为减函数，B ，()e 2x x h x -=⋅在R上不单调,D 也是。
故选A.【考点解读】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力,新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时,只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可(即函数的单调性）．3.【2017山东高考文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f （x +4)=f （x -2）.若当[3,0]x ∈- 时，()6xf x -=，则f (919）= .【答案】6【解析】由f （x +4）=f (x —2)可知，f （x )是周期函数，且T=6，所以()919(66531)(1)(1)6f f f f =⨯+==-=【考点解读】本题以指数函数为载体,考查了函数的奇偶性和周期性及指数运算,为基础题。
第二板块必修1 第二章基本初等函数（Ⅰ）第三章函数的应用【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.《课程标准》要求能够运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题；培养理性思维能力、辨证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力.函数一章历来是高考的重点，试题大致分三类:一是考查函数基础知识和基本方法的基础，多采用选择题型；二是函数与其他数学问题(方程、不等式、数列等）的综合题，难度较大能力要求较高；三是与应用题结合考查，从近几年新课程高考试题可以看出，单纯函数方面的应用题将不再是高考命题的热点．因为新课标教材中的概率以及概率与统计的问题已取代传统高考中的函数应用题.因此在函数应用题的复习方面可不花过多时间，但要掌握函数模型建立的基本方法，尤其要掌握用均值不等式或导数解决简单的函数实际应用题．命题趋向:新课标关于基本初等函数与函数应用内容的高考命题趋势是:1.全方位. 新课标高考题中，函数的所有知识点都可考到．虽然近几年不强调知识点的覆盖率．但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减小.2.巧综合. 为了突出函数在中学数学中的主线地位，新课标高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力（甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力等学习能力）的综合程度．3.变角度. 新课标高考题中,出于“立意”和创设情况的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新．重视函数思想的考查，加大了函数建模题、探索题和信息题的考查力度，从而使函数考题显得新颖、生动、灵活.而这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现．状元心得:高中的数学可以分为几个大的“板块”：一是函数板块，二是三角板块，三是立体几何板块，四是解析几何板块，五是数列板块，六是排列组合及概率板块，七是复数与导数板块.其中函数板块尤为重要,学习函数要注意以下几点:1.学好函数首先要对自己有信心.因为它并不难.函数的学习不是死记硬背而是利用图形记忆它的性质与特点.基本知识解决之后就是要提高能力了，这一点是很难的.具体的说不清，不过可以告诉你，一定要与老师的思想同步，不要自搞一套，多做一些函数的题，作总结，不明白的问老师，不可放过一丝一毫.我相信你一定可以，我为你加油.2.揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.3.把握数形结合的特征和方法. 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.4.认识函数思想的实质，强化应用意识.函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识.学科知识体系结构图:第一节 指数函数【考点点知】知己知彼，百战不殆指数函数是新课标中重要的基本初等函数之一，是函数概念的具体体现与综合应用．如同其他函数一样，对指数函数的定义、图象以及性质等综合应用仍是高考考查的重点和热点，且每年都能以新颖题目形式出现. 指数函数与一元二次函数、对数函数、三角函数、不等式、数列及实际生活生产应用等的综合问题，一直备受命题者的关注．考点一: 指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a .②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②anm -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.考点二: 指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象a > ）1(0底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.例1.(基础·2007海淀区期中)已知函数||)(x a x f -=（a ＞0，1≠a ），且8)3(=f ，则( )A. )2(f ＞)2(-fB.)3(-f ＞)2(-fC.)1(f ＞)2(fD. )1(-f ＞)2(-f 思路透析:解决本题的关键在于通过已知条件先推理得参数a 的值,然后通过函数的奇偶性与单调性的角度去分析与比较大小.由3(3)8f a-==得12a =, ∴||||1()()22x x f x -==, 当0x ≥时,函数()f x 单调递增; 当0x ≤时, 函数()f x 单调递减. ∴(3)(2)f f ->-, 故应选B.点评:本题将指数函数复合,通过比较两个数的大小,考查复合函数的单调性,是高考中常见的命题方式之一.另外,该函数也具有典型的图象特征,借助于数形结合(偶函数)也可以顺利求解,体现了一题多解的命题模式.若作出该偶函数的图象的草图,从图形上去快速寻求答案也是一种速解选择题的较佳手段.例2.(基础·2007江苏卷,6)设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<思路透析:∵函数()f x 的图象关于直线1x =对称, ∴()(2)f x f x =-,∴115()(2)()333f f f =-=, 224()(2)()333f f f =-=,又∵1x ≥时, ()31xf x =-为单调递增函数, 且435323<<,∴435()()()323f f f <<,即231()()()323f f f <<, 故应选B.点评:本题通过给出一个函数对称区间一侧的解析式,比较一组数的大小关系,是指指数函数命题中的常见热点题型.上述解法中将三个自变量的值通过区间对称转化到直线1x =的一侧,再通过该侧函数的单调性比较大小.也可以将通过表达式()(2)f x f x =-将1x <一侧的解析式也求解出,将三个自变量的函数值一一求出后,再比较大小,但此方法较上述解法略繁.例3.(综合·2007山东卷文科11)设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，思路透析:设321()()2x f x x -=-, 由(0)4,(1)1,(2)7,f f f =-=-=∴方程()0f x =在区间(1,2)内必存在一个实根0x ,即函数3y x =与21()2x y -=的交点的横坐标0x 所在的区间为(1,2), 故应选B.点评:考本题通过两个函数的交点横坐标所在区间的判断,考查了函数建模选择及函数零点所在区间的选择策略.高考考纲对此部分的要求仅限于判断根的存在性或判根所在的大致的区间,对区间的精确程度的要求也不高,通常利用数形结合法或构建函数,通过代数式值的符号的判断法去进行求解.生多用数形结合法通过作两个函数的图像找出其交点的横坐标,确定其范围,但多因为函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭图像的变换作图出现一定的错误,无功而返.联系函数零点知识的概念及二分法的数学思想,可以将已知两函数作差建立新的函数模型,通过列举各区间端点的函数值来判断函数符号的变号过程,从而确定其零点所在的区间.例 4.(综合·2006天津文）如果函数2()(31)(0xxf x a a a a =-->且1)a ≠在区间[0,)+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是A.2(0,]3B.C.D.3[,)2+∞思路透析:解法一 设xt a =，2222223131()()(31)[]()22x xxa a f x a a a a ++=-+=-- 即22223131[]()22a a y t ++=--，根据复合函数单调性判别法则， 当(0,1)a ∈时，xt a =在[0,)+∞上单调递减，且(0,1]t ∈，所以有22223131[]()22a a y t ++=--在(0,1]区间上递减，即23112a t +=≥，解得13a ≤<， 当(1,)a ∈+∞时，同理可得a ∈∅. 综上，故应选B.解法二 由题可知2'()[2(31)]ln 0x x f x a a a a =-+⋅⋅≥在[0,)+∞上恒成立，解得13a ≤<. 点评:本题考查了复合函数的单调性及字母参数的取值范围的求解问题.与指数函数复合而得的二次型函数问题是函数单调性判断中的常见题型, 求解时要注意两个方面的问题,一是注意所换元的“整体式”的限制条件,即新引入元的定义域, 二是要注意将问题还原, 使结论出现原来问题情境.另外问题求解中还可考虑用导数法分析,此方法较通来简单得多.例5.(创新探究·2006上海文）若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点，则b 的取值范围是_________.思路透析:分别作出两个曲线的图像,通过曲线的交 点个数来判断参数的取值范围.曲线| y |＝2x ＋1图像如右图所示,由图像可得| y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是[1,1]b ∈-.点评:本例题中涉及了曲线21xy =+,该曲线是指数函数图像的一个变换,其以指数函数图像为依托,通过变换得出一对称曲线.此曲线与圆锥曲线的轨迹属同一范畴,通过运动直线的方法在运动变化中求解直线与该曲线的交点问题. 体现了数形结合法解题的数学思想.例6.(创新探究·2008绵阳市一诊)已知函数4()12xf x a a=-+ (01)a a >≠且是定义在(,)-∞+∞上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域；（Ⅲ）当(0,1]x ∈时，()22x tf x ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．思路透析: 解法一:（Ⅰ）∵f (x )是定义在(−∞, +∞)上的奇函数，即f (−x )=−f (x )． 令x =0得04(0)102f a a=-=⨯+，解得a =2．（Ⅱ）记y =f (x )，即2121x x y -=+， ∴121x y y+=-，由20x >知101y y+>-，∴−1＜y ＜1即f (x )的值域为(−1, 1)． （Ⅲ）原不等式tf (x )≥2x −2即为22221x x x t t⋅-≥-+． 即：(2x )2−(t +1)·2x +t −2≤0． 设2x =u ，∵x ∈(0, 1]，∴u ∈(1, 2]．∴x ∈(0, 1]时tf (x )≥2x −2恒成立，即为u ∈(1, 2]时u 2−(t +1)·u +t −2≤0恒成立．∴221(1)120,2(1)220,t t t t ⎧-+⨯+-≤⎪⎨-+⨯+-≤⎪⎩ 解得t ≥0．解法二：(Ⅰ) 同解法一. （Ⅱ）∵212122()1212121x x x xx f x -+-===-+++， 而2x ＞0，∴2x +1＞1，∴20221x<<+，∴211121x-<-<+，即−1＜f (x )＜1． ∴f (x )的值域为(−1, 1)．（Ⅲ）∵x ∈{0, 1]，∴2x −1＞0，∴原式变为21(22)21x x x t +≥⋅--22(2)22(21)(21)22(21)1212121x x x x x x xx ---+--===--+---． 令μ=2x −1，则μ∈(0, 1]，原式变为21t μμ≥-+．而2()11g μμμ=-++在μ∈(0, 1]时是增函数， ∴当μ=1时，g (μ)max =0．∴t ≥0．点评:本题是一道策略开放型开放题,在对问题的探究过程中,可体验出指数函数的永恒魅力,如在解法二的(Ⅱ)问中, 体现了函数值域求解的对应法则式的思维模式,而(Ⅲ)问中, 则体现了分离变量的思想方法解不不等式恒成立问题中的妙用.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)本节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.(2)对于根式记号n a ,要深刻理解以下几点： ①n ∈N ,且n ＞1．②当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义，它表示a 在实数范围内惟一的一个n 次方根，（n a ）n ＝a ．③若一个数x 的n 次方等于a ，那么x 怎么用a 来表示呢？仅x ＝n a 这个回答是不完整的．应该是这样的：x＝,,(,0,(0)n n a n a a ⎪⎨⎪⎪=⎩为奇数)为偶数为正数)不存在为偶数为负数)(3)指数函数的定义是一个形式定义, 如y= 2 a x 就不是指数函数.注意指数函数的底数不能是负数、零和1.对底数a ＞0且a ≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性．运用指数函数性质解题时要注意对底数a 的分类讨论．注意函数有界性的运用．(4)对可化为a 2x +b ·a x +c =0或a 2x +b ·a x +c ≥0（≤0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.(5)根据指数函数的图像,能画出与之相关的复合函数图像,并解决相关的问题,考察“看图”、“识图”、“用图”的能力.(6)要学会正确处理由指数函数与其它函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题，注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用．2.学以致用:(1)若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有 A.0＜a ＜1且b ＞0 B.a ＞1且b ＞0 C.0＜a ＜1且b ＜0 D.a ＞1且b ＜0(2)(2007上海卷,4)方程 96370x x -∙-=的解是 ． (3) (2006杭州一模)函数y =862)2.0(+-x x 的单调递增区间是 .(4)已知9x －10·3x +9≤0， 求函数y =（41）x －1－4（21）x +2的最大值和最小值.答案:(1)C (2)7log 3解析:由已知条件可得2(3)6370x x -⋅-=, 解之得37x =或31x =-(舍去).∴x =7log 3. (3)(]3,∞-解析:设268u x x =-+2(3)1x =--,∴当(]3,∞-∈x 上时, 862+-=x x u 为单调递减,又u y )2,0(=在R 上为减函数.∴由复合函数的单调性知862)2.0(+-=x xy 的单调递增区间是(]3,∞-.(4)解析:由9x －10·3x +9≤0得（3x －1）（3x －9）≤0，解得1≤3x ≤9. ∴0≤x ≤2.令（21）x =t ，则41≤t ≤1，y =4t 2－4t +2=4（t －21）2+1. 当t =21即x =1时，y min =1；当t =1即x =0时，y max =2. 3.易错分析:(1)利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程,计算过程中一定要注意幂指数的正确运算.(2)指数函数y =a x （a ＞0，a ≠1）的图象和性质受a 的影响，分类讨论时一定要注意分a ＞1与0＜a ＜1来研究.(3)指数函数的定义重在“形式”，像y =2·3x，y =2x1，y =32+x ，y =3x +1等函数都不符合形式y =a x （a ＞0，a ≠1），因此，它们都不是指数函数,切记!【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.3a ·6a -等于( )A.－a -B.－aC.a -D. a2.函数y =－e x 的图象A.与y =e x 的图象关于y 轴对称B.与y =e x 的图象关于坐标原点对称C.与y =e －x 的图象关于y 轴对称D.与y =e －x 的图象关于坐标原点对称3.函数y =23x 的图象与直线y =x 的位置关系是()4.下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ， （4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c 5.下列函数中值域为正实数的是A.y =－5xB.y =（31）1－xC.y =1)21(-xD.y =x 21-6.(2006天津文)如果函数2()(31)(0xxf x a a a a =-->且1)a ≠在区间[0,)+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是A ．2(0,]3 B． C． D ．3[,)2+∞二、填空题: 7.化简3421413223)(ab b a ab b a ⋅（a ＞0，b ＞0）的结果是___________________.8.函数y =（21）222+-x x 的递增区间是___________. 9.若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是___________________.10.满足条件22()m m m m >的正数m 的取值范围是___________________. 三、解答题:11.解方程4x +|1－2x |=11.12.已知2xx+2≤（41）x －2，求函数y =2x －2－x 的值域.13.要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈（－∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.14.设a ＞0，f （x ）＝x x eaa e +是R 上的偶函数.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明f （x ）在（0，＋∞）上是增函数．【能力训练】参考答案一、选择题:1. A2. D3. C4. B5. B6. B二、填空题:7. ba 8. （－∞，1］ 9. 0＜a ＜21 10. m ＞2或0＜m ＜1 三、解答题:11. 解析:当x ≤0时，1－2x ≥0.原方程⇔4x －2x －10=0⇔2x =21±241 ⇔2x =21－241＜0（无解）或2x =21+241＞1知x ＞0（无解）. 当x ＞0时，1－2x ＜0.原方程⇔4x +2x －12=0⇔2x =－21±27⇔2x =－4（无解）或2x =3⇔x =log 23（为原方程的解）. 12.解析:∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2+x ≤4－2x ，即x 2+3x －4≤0，得－4≤x ≤1.又∵y =2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1.故所求函数y 的值域是［－16255，23］. 13.解析:由题意，得1+2x +4x a ＞0在x ∈（－∞，1］上恒成立， 即a ＞－xx421+在x ∈（－∞，1］上恒成立. 又∵－x x 421+=－（21）2x －（21）x =－［（21）x +21］2+41， 当x ∈（－∞，1］时值域为（－∞，－43］，∴a ＞－43. 14.解析:（Ⅰ）∵f （x ）=x x ea a e +是R 上的偶函数，∴f （x ）－f （－x ）=0． ∴0x x x x e a e a a e a e--+--=,∴11()()x x a e a e a a --+-0=, ∴1()()0x x a e e a ---= ∵e x －e -x 不可能恒为“0”，∴当a1－a ＝0时等式恒成立，∴a ＝1． （Ⅱ）在（0，＋∞）上任取x 1＜x 2，f （x 1）－f （x 2）＝121211x x x x e e a e e+--12121()()x x x x e e e e =-+- 1221121()()x x x x x x e e e e e e =-+-⨯12121()(1)x x x x e e e e=-- ∵e ＞1，∴0＜2121,x x x x e e e e ><＞1，∴21x x e e ＞1212121)1)((x x x x x x e e e e e e --＜0， ∴ f （x 1）－f （x 2）＜0，∴f （x ）是在［0，＋∞）上的增函数．。
高三数学全程复习（一轮）课时12 指数与指数函数【考点指津】1．理解根式的概念和性质，能利用n 次方根的性质化简和计算．若x n =a (n ＞1且n ∈N *)，则x 就叫做a 的n 次方根．并且，当n 为正奇数(n ＞1)时，a 的n 次方根只有一个，用n a 来表示；当n 为正偶数时，正数a 的n 次方根有两个且互为相反数，即x =±n a ，而负数没有偶次方根．无论n 是奇数还是偶数，0的n 次根是0．由n 次方根的意义可以得到根式的两个性质：①a a nn=)(；②⎩⎨⎧=为正偶数为正奇数n a n a a nn,,．2．理解分数指数幂的概念和性质，能利用分数指数幂的运算性质进行计算，正确进行根式与分数批数幂的互化运算．3．理解指数函数的概念，会用描点法作出指数函数的图象；能利用图象的直观性掌握指数函数的性质；会根据指数函数的定义、图象与性质解决一些简单问题．指数函数的定义域是R ．从指数函数的图象可以看出，指数函数的值域是（0，+∞），图象恒过定点（0，1），而其单调性与底数a 的取值有关，当a ＞1时，图象是上升的，即y =a x 是增函数；当0＜a ＜1时，图象是下降的，即y =a x 是减函数．因为指数函数的图象不具有对称性，所以它是非奇非偶函数． 【知识在线】1．(-a 2)3可化简为 （ ）A ．a 6B ． - a 5C ． a 5D ．-a 62．已知x ≠0，n ∈N ，则x n =1是n =0的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞分裂x 次后得到细胞个数为y ，则y 与x 的函数关系为 （ ）A ．y =2xB ．y =2x -1C ．y =2xD ．y =2x +1 4．12-=x y 的图象是 （ ）5．函数|1|)54(-=x y 的单调减区间是 ，值域为 ．【讲练平台】例1 化简：132436121)8(21627)322124(--⋅-+-+．分析 利用分数指数幂的性质直接进行计算． 解 原式=323434613212)2(2)2()3(])311[(⋅-+-+=883311-+-+=11．点评 （1）化简的结果可以用幂的形式来表示，也可以化为最简根式形式，但一般不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；（2）根式与指数幂混合运算时，将根式化为指数幂运算较为方便．例2 已知32121=+-xx ，求32232322-+-+--xx x x 的值．分析 注意到12121=⋅-xx ，又它们的和为3，故可将它们联立，求出21x 的值，而x 2、x -2、23x 、23-x 等均可表示为21x 的形式，因而原式的值可求出．但，因21x 的值为无理数，再进行它的高次幂运算，则将较为繁琐，甚至产生计算错误或闪过放弃求出最终结果的念头．为此，若将2121-+x x 视为整体，并且将22-+x x 、2323-+xx 化为2121-+xx 的表达式，也许运算将较为简捷．解 设t x =21，则tx121=-，已知即t t 1+=3．于是，)11()1(122332323-+⋅+=+=+-tt t t t t xx ，而 2)1(12224422-+=+=+-tt t t xx ，将t t 1+=3，平方得 92122=++t t ，于是 7122=+tt ．从而，原式=315453)17(3273)11()1(2)1(222222==---=--+⋅+-+tt t t t t ．点评 （1）换元后，易于发现已知与未知之间的内在联系，解题中应注意运用；（2）要熟练掌握配方法及立方和、立方差公式：)()(2233b ab a b a b a +⋅±=± ．变题 化简：111113131313132---+++++-x xx x x x x x ．答案：31x -． 例3 求函数y =xx --23的单调区间和值域．分析 利用单调函数的定义研究函数的单调性，进而求出函数的值域． 解 设y =u3，u = -x 2-x ．因函数41)21(2++-=x u 在]21,(--∞上为增函数，在),21[+∞-上为减函数，故当2121-≤<x x 时，u 1＜u 2．又指数函数y =u)31(是减函数．从而y 1＜y 2，即原函数的递增区间是]21,(--∞．类似地，由≤-2121x x <得u 1＞u 2．于是y 1＞y 2，即原函数的递减区间是),21[+∞-．由于u ≤41-且y =u3是增函数，故441330=≤<y ，即值域是]3,0(4．点评 （1）研究复合函数的单调性应首先弄清所给函数是由那些基本函数复合而成，然后根据“同增异减”法则作出判断．函数y =xx --23不是指数函数，而是指数函数与二次函数的复合函数，不能直接根据指数函数y =u3来判断其单调性；（2）求复合函数)]([x g f y =的值域，应分层进行，即首先求出内函数u =g (x )的值域，它就是外函数y =f (u )的定义域，然后根据y =f (u )的单调性再求出原函数的值域；（3）解本题时，常会忽视y ＞0而得出值域为]3,(4-∞的错误结果． 变题 求函数|2|)2(sin -=x y 的值域与单调增区间． 答案：值域为[1，+∞），增区间为（-∞，2] ．例4（2018年上海市春招试题） 已知函数5)(3131--=xx x f ，5)(3131-+=x x x g ．（1）证明f (x )是奇函数；并求f (x )的单调区间；（2）分别计算f (4) – 5f (2)g (2)和f (9) – 5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．分析 （1）可按定义判断函数的奇偶性．至于单调区间，可利用奇函数图象的性质，利用单调性的定义，直接证出．（2）尝试由“特例——归纳——猜想——证明”的解题思路．证明 （1）函数f (x )的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，它关于原点对称．又)(55)()()(31313131x f x x x x x f -=--=---=---，故 f (x )为奇函数．设x 1、x 2∈(0，+∞)，且x 1＜x 2，)11)((5155)()(31231131231131231231131121xx x x x x x x x f x f +-=---=---，因 312311x x -＜0，31231111xx +＞0，故 )()(21x f x f -＜0，即 f (x )在（0，+∞）上单调递增．又 因f (x )为奇函数， 故 f (x )在（-∞，0）上也是单调递增．综上，f (x )的单调（增）区间为（0，+∞），（-∞，0）． （2）计算得 f (4) – 5f (2)g (2) = 0，f (9) – 5f (3)g (3) = 0． 注意到2与4及3与9的平方关系，我们猜测：f (x 2) – 5f (x )g (x ) = 0，其中x ≠0．下面我们给出证明．f (x 2) – 5f (x )g (x )=0)(51)(51555532323232313131313232=---=+⋅-⋅-------x x x x x x x x x x ． 点评 （1）由奇函数在原点的一侧的单调性可得另一侧的单调性．若f (x )为奇函数．则函数在原点的两侧的单调性相同； 若f (x )为偶函数．则函数在原点的两侧的单调性相反．（2）函数f (x )的单调区间不能写成(-∞，0)∪(0，+∞)，在(-∞，0)与(0，+∞)之间应用“，”联结，它表示单调区间有两个，而不是一个．（3）本题的第（2）问，利用了特例、观察、归纳、猜测、证明的“似真推理”模式，它对我们研究问题很有帮助． 【知能集成】1．增强分类讨论的意识．（1）对于根式n a 的意义及其性质要分清n 是奇数还是偶数，增强分类讨论的意识； （2）指数函数的图象和性质与底数a 的取值有关，研究与指数函数有关问题时，要注意分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；2．深化对概念的理解与应用．对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制，一个可行的方法是：化负分数指数幂为根式及分式的形式．例如：53531aa =- ，∴a ≠0；43431aa =-，∴a ＞0，等等．3．掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合思想解决有关的问题．【训练反馈】1．将322-化为分数指数幂的形式是 （ ）A ．212B ．-212 C ．212-D ．-212-2．在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 （ ）A ．(-x )0.5= -x (x ≠0) B ．)0(3162<=y y yC ．)0()()(4343≠=-xy xyy x D ．331x x -=-3．使式子（3-2x -x 243)-有意义的x 的取值集合是 （ ）A ．RB ．{x |x ≠1且x ≠2}C ．{x |-3≤x ≤1}D ．{x |-3＜x ＜1＝4．如题图，包含①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图像，根据图像可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为 A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c5．若函数f (x ) = (a 2-3a +3)a x 是指数函数，则a = ． 6．已知3a =2，3b=51，则ba -23= ． 7．三个数424，6，312由小到大的顺序为 ． 8．计算：（1）614+ 3338+ 40.0625 + (5π)0 – 2 –1 ；（2）3131232)271(343)21(125---++．9．已知43232=+b a ，32313b a a x +=，31323b a b y +=，试证明：3232)()(y x y x ++- 的值与x 、y 的取值无关．10．若函数y =a 2x +2a x-1(a ＞0且a ≠1)在[-1，1]上的最大值为14，求实数a 的值． 11．已知函数f (x )=121-x +a 是奇函数． （1）求常数a 的值；（2）判断f (x )的单调性并给出证明； （3）求函数f (x )的值域．参考答案： 【基础扫描】1．D 2．B 3．D 4．C 5．[1，+∞），（0，1] 【训练反馈】1．B 2．C 3．D 4．B 5．2 6．20 7． 424＜312＜ 6 8．（1）5；（2）33 9．提示: x +y = 33131)(b a + ，2313132)()(b a y x +=+；x －y = 33131)(b a + ，2313132)()(b a y x -=-，3232)()(y x y x ++-= 8)(23232=+b a ． 10．设a x =t ，则y =f (t )=t 2 +2t -1= (t +1)2-2，其对称轴是t = -1．若a ＞1， x ∈[-1，1]时，t ∈],1[a a．二次函数y =f (t )在],1[a a上是增函数，从而y max =f (a )=a 2+2a -1．令a 2+2a -1=14，解得a =3，（a = -5，不合，舍去）．若0＜a ＜1，x ∈[-1，1]时，t ∈]1,[a a ．二次函数y =f (t )在]1,[aa 上仍是增函数，从而y max =f (a 1)=141212=-+a a ，解得a =31（a =51-，不合，舍去） 11．（1）由f (x )+f (-x )=0，得a =21．（2）f (x )在（-∞，0）及（0，+∞）上都是减函数．（3）函数值域是),21()21,(+∞--∞ ．。
