大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

大学高等数学(微积分)<下＞期末考试卷

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一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的

括号中，本大题分4小题, 每小题4分， 共16分) 1、设lim 0n n a →∞

=,则级数

1

n

n a

∞

=∑( ）；

Ａ．一定收敛,其和为零 B. 一定收敛,但和不一定为零

Ｃ． 一定发散 D. 可能收敛,也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----,与AB 方向相同的单位向量是( ）；

Ａ. 623(, , )777 Ｂ． 623(, , )777-

C. 623( ,, )777--

D. 623(, , )777--

3、设3

2

()x x y f t dt =

⎰

,则dy dx

=（ );

A. ()f x B ． 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x -

４、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ) A. 在(,)a b 内可导 Ｂ． 在(,)a b 内存在 C ． 必为初等函数 D. 不一定存在

二、填空题（将正确答案填在横线上， 本大题分4小题, 每小题４分, 共16分） 1、级数1

1

n n n ∞

=+∑

必定_＿___＿_＿____(填收敛或者发散)。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ,则B =___________ 。 3、定积分1

21sin x xdx -=⎰____＿___＿＿ ＿。

４、若当x a →时,()f x 和()g x 是等价无穷小,则2()

lim

()

x a f x g x →=_＿＿___＿__＿。

三、解答题(本大题共4小题，每小题7分,共28分 ）

ﻩ 1、（ 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ⎰

2、( 本小题７分 )

若()0)f x x x =+>,求2'()f x dx ⎰。

3、( 本小题7分 )

已知函数1arctan 1x y x +=-,求dy

dx

。

4、( 本小题７分 )

将函数1

()32

f x x =+展开为(1)x -的幂级数。

四、解答题(本大题共４小题,每小题7分,共２8分 ) 1、( 本小题７分 )

计算81

⎰

。

２、( 本小题7分 )

求幂级数11

(1)(3)n n

n x n -∞

=-∑的收敛区间。

３、( 本小题7分 )

设0

[()''()]sin 5,()2f x f x xdx f π

π+==⎰，求(0)f 。

4、( 本小题7分 )

五、解答题( 本大题12分）

设()

f x具有连续二阶导数，且(0)0

f=，

()

,0 ()

,0

f x

x

g x x

a x

⎧

≠

⎪

=⎨

⎪=

⎩

（1）a为何值时，()

g x连续。

（2）对（1）中所确定的a值，求'()

g x。(３）讨论'()

g x在0

x=处的连续性。

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参考答案

一、选择题:

１、D; 2、B; 3、Ｄ； 4、B ．

二、填空题：

1、发散；

2、-2;

3、０； ４、0.

三、解答题:

１、求不定积分sin x xdx ⎰； 解:sin x xdx ⎰

cos cos cos sin x x xdx x x x C

=-+=-++⎰

２、若()0)f x x x =+>,求2'()f x dx ⎰；

解：因为'()1f x =,所以21'()12f x x

=+

则

21'()(1)21

ln 2

f x dx dx x

x x C

=+

=++⎰⎰

3、已知函数1arctan 1x y x +=-,求dy

dx

; 解:

2211()'111()111dy x

x dx x

x

x +=⋅+-+-=

+ 4、将函数1

()32

f x x =+展开为(1)x -的幂级数． 解：

10

1()3211351(1)

53(1)(1)53

1(1)1

5n n n n n f x x x x x ∞

+==

+=⋅

+-=---<-<∑

即2833x -<<。

四、解答题 1

、计算81

⎰

；

解:

令t =,则3x t =,23dx t dt =

8

2211221313ln(1)23

(ln 5ln 2)2t dt

t t =+=+=-⎰⎰

2、求幂级数11

(1)(3)n n

n x n -∞

=-∑的收敛区间;

解:根据公式 11(1)(3)1lim

3(1)(3)n n n n

n x n x x n

+-→∞-+=- 当11

33

x -<<收敛；

当1

3x =-时,幂级数发散;

当1

3

x =时,幂级数收敛；

所以，幂级数收敛区间是11

33

x -<≤

3、设0

[()''()]sin 5,()2f x f x xdx f π

π+==⎰,求(0)f ；

解：利用分部积分公式

()sin ()cos ()cos cos '()()(0)'()sin ''()sin f x xdx f x d x

f x x

xf x dx

f f f x x

f x xdx

π

π

π

ππ

ππ=-=-+=++-⎰

⎰⎰⎰

即0

[()''()]sin ()(0)f x f x xdx f f π

π+=+⎰