2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修

四 渐开线与摆线练习1已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝2π对应的点A 与点B (32π，2)之间的距离为( )．A.2π－1 1 2如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，,,EF FG GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π3我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．4已知一个圆的摆线方程是44sin ,44cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则该圆的面积为________，对应圆的渐开线方程为________．5给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．6有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．7已知圆C 的参数方程是16cos ,26sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y－0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．8已知一个参数方程是2cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程．9如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝2r 或|AQ |＝32r ，请推出Q 的轨迹的参数方程．参考答案1. 答案：C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为3(sin ),3(1cos )x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)，把φ＝2π代入参数方程中可得3(1),23,x y π⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即A 33,32π⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴|AB |=2. 答案：C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为2π，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为32π；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.3．答案：(1cos ),(sin )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)4. 答案：16π 4cos 4sin ,4sin 4cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩ (φ为参数)5. 答案：解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是3cos 3sin ,3sin 3cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩ (φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为33sin ,33cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)．6. 答案：分析：直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．解：因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为11(cos sin ),11(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．7. 答案：解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －0的距离为d＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是6cos 6sin ,6sin 6cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．8. 答案：解：(1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为(sin ),(1cos )x t y t ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)．9. 答案：解：设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )，则00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩当|AQ |＝2r时，有002,2,x x r y y r θ=-⎧⎨=-⎩代入00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩ ∴点Q 的轨迹的参数方程为1(),21(1cos )2x r sin y r θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (θ为参数)．当AQ ＝32r 时，有002,32,3r x x r y y θ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩∴点Q 的轨迹方程为3(sin )2,3(1cos )2x r y r θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (θ为参数)．。

四渐开线与摆线课时过关·能力提升基础巩固1若基圆的直径为5,则其渐开线的参数方程为()A --为参数B --为参数C-为参数D --为参数5,所以它的半径为代入圆的渐开线的参数方程,知选项C正确.2给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系的原点和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.①③B.②④C.②③D.①③④,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着坐标系选择的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.3下列各点中,在圆的摆线--为参数上的是A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0)4当φ=2π时,圆的渐开线-为参数上的点是A.(11,0) B.(11,11π)C.(11,-22π)D.(-π,22π)φ=2π时,代入圆的渐开线方程,得x=11(cos2π+2π·sin2π)=11,y=11(sin2π-2π·cos2π)=-22π.故所求点为(11,-22π).5已知圆的渐开线的参数方程是-为参数则此渐开线对应的基圆的直径是当参数时对应的曲线上的点的坐标为1,故直径为2.把θ代入渐开线的参数方程,得x由此可得对应点的坐标为--6已知渐开线-为参数的基圆的圆心为原点把基圆的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变得到的曲线的焦r=6,其方程为x2+y2=36,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的方程为整理可得这是一个焦点在x轴上的椭圆.c--故焦点坐标为(和(-和7当φ时圆的摆线--为参数上对应的点的坐标是φ代入参数方程求解即可.π-4,4)8求摆线--为参数 ≤t≤ π)与直线y=2的交点的直角坐标.y=2时,2=2(1-cos t),∴cos t=0.∵ ≤t≤ π,∴t或∴x1=-x2=-故交点坐标为(π-2,2),(3π+2,2).能力提升1已知圆的摆线的参数方程为--为参数则它的一个拱的宽度和高度分别为A.4π,2B.2π,4C.2π,2D.4π,4,产生摆线的圆的半径r=2,又由摆线的产生过程可知,摆线一个拱的宽度等于圆的周长,即为2πr=4π,摆线的拱高等于圆的直径4.2已知一个圆的参数方程为为参数则在圆的摆线的参数方程中与参数对应的点与点之间的距离为A-,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为--为参数).把φ代入参数方程,得-即-所以|AB|---★3如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中的圆心依次按循环它们依次相连接则曲线段的长是A.3πB.4πC.5πD.6π是半径为1的圆周长,长度为继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π.4已知一个圆的摆线方程是--为参数则该圆的面积为对应圆的渐开线的参数方程为π-为参数5已知圆C的参数方程是-为参数直线的普通方程是(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后圆的渐开线的参数方程.圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-的距离为d等于圆的半径,所以直线和圆相切.(2)由圆的半径是6,得渐开线的参数方程是-为参数).6已知圆的渐开线-为参数 ≤φ≤ π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.(3,0)代入参数方程得-解得所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π.7已知渐开线-为参数当为和时对应的点为求出的坐标及两点间的距离φ代入渐开线-得A,B两点的坐标分别为和--根据两点间的距离公式可得|AB|★8已知半径为8的圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应的曲线,求此曲线上点的纵坐标y 的最大值,说明该曲线的对称轴.M的轨迹的参数方程为--为参数 ≤t≤ π).点M的轨迹曲线如图所示.由图可知,当t=π,即x=8π时,y有最大值16.曲线的对称轴为x=8π.。

2020人教A 版选修4-4课后练习本：渐开线与摆线一、选择题 1.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程2.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π3.半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝φ－φsin φ，y ＝φ＋φcos φ(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ＋φcos φ(φ为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝φ＋φcos φ，y ＝φ＋φsin φ(φ为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)4.圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ(θ为参数)，当θ=π时，渐开线上对应的点的坐标为( )A ．(－2,2π)B ．(－2，π)C ．(4,2π)D ．(－4,2π)5.摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－，y ＝－(0≤t<2π)与直线y=2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2) 6.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π7.已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( ) A ．π2－1 B ． 2 C ．10 D ．3π2－18.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、填空题9.已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．10.已知圆的方程为x 2＋y 2=4，点P 为其渐开线上的一点，对应的参数φ=π2，则点P 的坐标为________．11.渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．12.圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2＋y ＝2－上与t=π4对应的点的直角坐标为 .三、解答题13.已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．14.已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62=0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？ (2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．答案解析1.答案为：B ；解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.2.答案为：D ；解析：根据条件可知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y=0代入得cos φ=1，所以φ=2k π(k ∈Z)， 则x=3φ－3sin φ=6k π(k ∈Z)．故选D ．3.答案为：D ；解析：∵r ＝2，∴半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)，可知选D ．4.答案为：A ；解析：将θ=π代入参数方程得x=2(cos π＋πsin π)=－2，y=2(sin π－πcos π )=2π，∴对应的点的坐标为(－2,2π)．故选A ．5.答案为：A ；解析：由2=2(1－cos t)得cos t=0，∵t ∈[0,2π)，∴t 1=π2，t 2=3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A ．6.答案为：C ；解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y=0代入，得cos φ=1，所以φ=2k π(k∈Z)， 故x=3φ－3sin φ=6k π(k∈Z)．7.答案为：C ；解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ=π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3.∴|AB|=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2=10.8.答案为：C ；解析：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.9.答案为：6；解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)知圆的半径r=3，所以摆线一个拱的高度是3×2=6.10.答案为：(π，2)；解析：由题意，圆的半径r=2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．当φ=π2时，x=π，y=2，故点P 的坐标为P(π，2)．11.答案为：123；解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2=36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2=36，即x 2144＋y 236=1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.12.答案为：⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4.解析：对应点的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋π4sin π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋π4·22＝1＋π4y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4－π4·cos π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22－π4·22＝1－π4∴t=π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4.13.解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ是参数)．14.解：(1)圆C 平移后圆心为O(0，0)，它到直线x －y －62=0的距离d=622=6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（φ－sin φ），y ＝6（1－cos φ）(φ为参数)．。

四渐开线与摆线课后篇巩固探究A组1.下列说法正确的是()①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.②③B.②C.③D.①③2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是()A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0).3.当φ=2π时,圆的渐开线(φ为参数)上对应的点是()A.(6,0)B.(6,6π)C.(6,-12π)D.(-π,12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得即所求的坐标为(6,-12π).4.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是.π+4,4)5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为.r=3,所以圆的摆线的参数方程为(φ为参数).把φ=代入得x=π-,y=3-.故该点的坐标为.6.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.4,所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数).7.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l的普通方程是x-y-6=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).8.导学号73574057当φ=,π时,求出渐开线(φ为参数)上的对应点A,B,并求出A,B两点间的距离.φ=代入得所以A.将φ=π代入得所以B(-1,π).故A,B两点间的距离为|AB|=.9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始处(点O处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹的参数方程.x M=r·φ-r·cos=r(φ-sin φ),y M=r+r·sin=r(1-cos φ).故点M的轨迹的参数方程为(φ为参数).B组1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为()A.(φ为参数)B.(φ为参数)C.(φ为参数)D.(φ为参数)y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换.2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=对应的点A与点B之间的距离为()A.-1B.C. D.,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,所以|AB|=.3.导学号73574058如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中,…的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是()A.3πB.4πC.5πD.6π,是半径为1的圆周长,长度为是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π.4.已知渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为.r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为+y2=49,整理可得=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c==7.故焦点坐标为(7,0)和(-7,0).,0)和(-7,0)5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.y=0,可得r(1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).将其代入x=r(φ-sin φ),得x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得r=(k∈Z).又由实际可知r>0,所以r=(k∈N*).易知,当k=1时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方程为(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为(φ为参数).6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.M的轨迹是摆线,其参数方程为(φ为参数,且0≤φ≤2π).其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.易知,当x=4π时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.。

四 渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝r φ－φcos φ(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r－cos φ(φ为参数)．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系． 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按渐开线定义，弧AM 0的长和线段AM 的长相等，记OA ―→和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA ―→＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM ―→＝OA ―→＋AM ―→＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM ―→＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ(θ是参数)．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定点运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2t ＋t sin t ，y＝2t －t cos t(t 是参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ这就是所求的圆的渐开线的参数方程.利用向量知识和三角函数的有关知识求解．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如上图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM 的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→＝(2sin α，2cos α)， BM ―→＝(－2sin α，－2cos α)， 因此OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→＝(x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝－cos t(t 是参数，0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：由题意设M (x M ，y M )，则x M ＝r ·φ－r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)．课时跟踪检测(十三)一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)． 2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D.3π2－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋－2＝10.4.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH 的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos φ，y ＝r φ－sin φ(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，得φ＝2k π(k ∈Z)，代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)，又∵过(1,0)，∴r (2k π－sin 2k π)＝1(k ∈Z)，∴r ＝12k π(k ∈Z)． 又∵r ＞0，∴k ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ，y＝12k π－cos φ(φ为参数，k ∈N *)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线． 由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a φ－sin φ，y ＝a－cos φ(φ为参数)．9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)． 代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2(k ∈Z)， 即得a ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N *)． 易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y＝1π－cos φ(φ为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πcos φ＋φsin φ，y ＝1πsin φ－φcos φ(φ为参数)．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，则点P 到直线l 的距离为( )A.12B.22 C ．1 D. 2 答案：B2．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋ty ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A.98 B ．4014C.82D.93＋4 3答案：C4．直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3t(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长为( )A ．210 B.10 C ．2 5 D. 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.|t 1－t 2|2D.|t 1＋t 2|2答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22)C ．(－3，－4)D ．(125，125)答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－3t (t 为参数)，则l 上任一点到定点(1,2)的距离是( )A ．tB ．|t |C.13|t |D.|t |13答案：C 8．(2013·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝(4－4)2＋(8＋8)2＝16. 答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1－t sinπ6y ＝2＋t cos π6(t 为参数)，则直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cosπ6y ＝1＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4， t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1t 2＝－2， 则点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．(2013·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)．注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设过焦点F (1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t y ＝22t(t 为参数)，将此代入y 2＝4x ，得t 2＋42t －8＝0，设这个方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系，有 t 1＋t 2＝－42，t 1·t 2＝－8， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝ (－42)2＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。

四渐开线与摆线学习目标 1. 认识圆的渐开线的参数方程 .2. 认识摆线的生成过程及它的参数方程.3. 学习并领悟用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一渐开线思虑把绕在圆盘上的细绳张开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要成立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案依照动点知足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x 轴，成立平面直角坐标系，以以下列图．设基圆的半径为r ，绳子外端M的坐标为( x，y) ．显然，点M由角φ 独一确定．梳理圆的渐开线及其参数方程(1)定义把线绕在圆周上，假定线的粗细能够忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是错误 ! ( φ是参数 ) ．知识点二摆线思虑当一个圆沿着一条定直线无滑动地转动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？答案摆线．梳理摆线及其参数方程(1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地转动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线．(2)参数方程设圆的半径为r ，圆转动的角为φ ，那么摆线的参数方程是错误! (φ 是参数)．种类一圆的渐开线例 1求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程．解以圆心为原点，绳端点的初始地址为―→x 轴正方向，成立坐标0，向量OM0的方向为O M系，设渐开线上的随意点M( x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故 OA⊥ AM，按渐开线定义，弧→和 x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则| AM| AM 0的长和线段AM的长相等，记OA＝AM 0＝4θ.作 AB垂直于 x 轴，过 M点作 AB的垂线，由三角函数和向量知识，得→θ，4sin OA＝ (4cosθ) ．→θ sin θ，－ 4θ cos 由几何知识知，∠ MAB＝θ，AM＝(4→ →→θ， 4sin θ － 4θcos 得 OM＝ OA＋ AM＝(4cos θ＋ 4θ sin＝ (4(cosθ＋θ sin θ) ， 4(sin θ －θ cosθ )) ．θ)，θ)→又 OM＝ ( x，y) ，因此所求的参数方程为错误 !反省与感悟圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点M相关于圆心的张角．追踪训练 1x＝ cos φ sin30 °＋φ sin φ sin30 °，已知圆的渐开线方程为( φ为参y＝ sin φ cos60°－φ cos φ cos60°数 ) ，则该基圆半径为 ________，当圆心角φ ＝π 时，曲线上点A的直角坐标为________．1 1 π答案2－2，2x＝cosφ sin 30°＋φ sinφsin 30 °，剖析φ cos 60 °－φcosφ cos 60 °，y＝ sin即错误 ! ( φ为参数 ) ．1∴基圆半径 r ＝2.1π当φ＝π时， x＝－2， y＝ 2，1π.∴ A的直角坐标为－，22种类二平摆线例 2x＝ 3cos φ，已知一个圆的参数方程为( φ为参数 ) ，那么圆的摆线方程中与参y＝ 3sin φπ3π数φ＝2对应的点 A与点 B2， 2 之间的距离为 ________．答案10x＝ 3cosφ ，剖析由圆的参数方程y＝ 3sin 知，φ圆的方程为 x2＋y2＝9，∴圆的圆心为 (0,0) ，半径r＝ 3，∴圆上定点 M的摆线的参数方程为错误 ! ( φ为参数 ) ．ππ3π当φ＝2时， x＝3×2－1＝2－3， y＝3×(1－0)＝3，∴ A 3πAB|＝错误!－ 3，3，∴ |＝错误!. 2反省与感悟(1)摆线的参数方程摆线的参数方程为错误 ! ( φ为参数 ) ，其中r：生成圆的半径，φ ：圆在直线上转动时，点 M绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM.(2)将参数φ 的值代入渐开线或摆线的参数方程能够确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．x＝3φ － 3sin φ，( φ参数 ) ，追踪 2 已知一个的的参数方程是y＝3－ 3cosφ一个拱的高度是________；一个拱的跨度 ________．答案66π剖析当φ＝π， y＝3－3cosπ＝6拱高；当φ＝2π， x＝3×2π －3sin 2π＝ 6π跨度 .1．x＝ 3cos θ，( θ参数 ) 的平上一点的坐0，那么其横坐可能是y＝ 3sin θ()A．πB． 3πC．6πD． 10π答案C2．当φ＝ 2π，的开! ( φ参数 ) 上的点是 ()A．(6,0)B． (6,6 π )C．(6 ，－ 12π )D． ( －π， 12π)答案C3.如所示，四形 ABCD是1的正方形，曲 AEFGH⋯叫做“正方形的开”，其中 AE， EF， FG，GH⋯的心依次按B， C， D， A 循，它依次相接，曲AEFGH 的是()A．3πB． 4πC．5πD． 6π答案C剖析依照渐开线的定义可知，AE 是半径为 1 的1圆周长，长度为π，连续旋转可得 EF42113π是半径为2 的4圆周长，长度为π； FG 是半径为3 的4圆周长，长度为2；GH 是半径12π . 因此曲线的长是 5π .为 4 的圆周长，长度为4AEFGH4．已知一个圆的摆线方程是x＝4φ － 4sin φ，( φ为参数 ) ，求该圆的面积和对应的y＝4－ 4cos φ圆的渐开线的参数方程．解第一依照摆线的参数方程可知，圆的半径为4，因此面积为 16π，该圆对应的渐开线的参数方程是x＝ 4cosφ＋ 4φ sinφ ，( φ为参数 ) ．y＝ 4sinφ－ 4φ cosφ1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点M相关于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只需确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，因此不宜用一般方程来表示．一、选择题x＝ cos θ＋θ sin θ，1．已知圆的渐开线的参数方程是( θ为参数 ) ，则此渐开线对y＝ sin θ －θ cos θ应的基圆的周长是()A．πB． 2πC．3πD． 4π答案B2．摆线错误 ! ( t为参数， 0≤t <2π ) 与直线y＝2 的交点的直角坐标是()A．( π － 2,2)， (3 π＋2,2)B． (π－ 3,2)，(3π＋ 3,2)C．( π， 2) ，( －π，2)D． (2π － 2,2)， (2π＋ 2,2)3．给出以下说法：①圆的渐开线的参数方程不能够转变为一般方程；②圆的渐开线也能够转变为一般方程，可是转变后的一般方程比较麻烦，且不简单看出坐标之间的关系，因此常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，若是成立的坐标系原点和坐标轴采纳不同样，可能会得到不同样的参数方程；④圆的渐开线和 x 轴必然有交点而且是独一的交点．其中正确的说法有 ()A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④答案C4．圆的渐开线 错误 ! ( t 为参数 ) 上与 t ＝错误 ! 对应的点的直角坐标为 ()π ππ πA. 1＋ 4，1－4B. 1－ 4，1＋ 4C. －1－ π ，1－ πD. 1＋π ，－ 1－π4 4 44答案A5．已知圆的渐开线的参数方程为 错误 ! ( φ 为参数 ) ，点 A 错误 ! 是此渐开线上的一点， 则渐开线对应的基圆的周长是()3A. 2π B ． 3π C ．4π D ． 6π答案B3剖析由点 A 2， 0 在渐开线上，得错误 ! 易知 φ ＝ 0，则 r ＝错误 ! ，故基圆的周长为 3π .6．圆的渐开线方程为 错误 ! ( φ 为参数 ) ，当 φ ＝π 时，渐开线上的对应点的坐标为 ()A ．( － 2,2 π )B ． ( －2， π )C ．(4,2 π )D ． ( －4,2 π )答案 A剖析将 φ＝ π 代入错误 !可得错误!即错误!7．基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为__________________ ．答案错误 ! ( φ为参数 )8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm，则齿廓所在的摆线的参数方程为__________________ ．答案错误 ! ( φ为参数 )剖析由于基圆直径为22 mm，因此基圆半径为11 mm，因此摆线的参数方程为错误 ! ( φ为参数 ) ．9．已知圆的渐开线的参数方程是错误 ! ( t为参数 ) ，则该渐开线的基圆的半径为________，参数 t ＝2π_______________________________________ ．3对应的点的直角坐标是答案 6( －3＋ 2 3π， 33＋ 2π )由参数方程，得基圆的半径 r ＝6.把 t 2π解析＝3代入参数方程，得x＝－ 3＋ 2 3π，2πy＝ 33＋ 2π，即参数 t ＝3对应的点的直角坐标是( －3＋23π， 33＋ 2π ) ．22π10．已知圆的方程为x＋ y＝ 4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝2，则点 P 的坐标为 ________．答案( π， 2)剖析由题意知，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为错误 ! ( φ为参数 ) ．π当φ＝时，x＝π ，y＝2，故点 P 的坐标为(π，2)．三、解答题11．给出直径为 6 的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，成立直角坐标系．又圆的直径为6，因此半径为3，x＝ 3cosφ＋ 3φsinφ ，因此圆的渐开线的参数方程为φ － 3φcos ( φ为参数 ) ．y＝ 3sinφ以圆周上的某必然点为原点，以定直线为x 轴，成立直角坐标系，x＝ 3φ－ 3sinφ ，因此的参数方程y＝ 3－3cos φ( φ参数 ) ．12．已知的参数方程是x＝ 3cosθ，( θ参数 ) ，求此的中，参数φ＝πy＝ 3sin θ23π的点 A 与点 B2，2之的距离．解由的参数方程，得的半径r ＝3，其的参数方程! ( φ参数 ) ．x＝ 3ππ－ 1 ，把φ ＝2代入的参数方程，得2 y＝ 3，故点 A 与点 B 之的距离|AB|＝!＝!.13．已知一个的平方程是x＝2φ －2sinφ， y＝2－2cosφ(φ参数)，求的周，并写出平上最高点的坐．解由平方程知，的半径2，的周4π . 当φ＝π，y有最大4，平拥有周期性，周期4π.∴平上最高点的坐(2 π＋ 4kπ，4)(k∈Z)．四、研究与拓展14. 如，△ABC是正三角形，曲ABCDEF⋯叫做“正三角形的开”，其中弧CD，弧DE，弧 EF⋯的心依次按A， B， C循，它依次相接，若是AB＝1，那么曲CDEF 的是()A．8πB． 6πC．4πD． 2π答案C剖析∵∠ CAD，∠ DBE，∠ ECF是等三角形的外角，∴∠ CAD＝∠ DBE＝∠ ECF＝120°.又 AC＝1，∴ BD＝2， CE＝3，1∴弧 CD的长＝× 2π× 1，31弧 DE的长＝3×2π ×2，1弧 EF的长＝×2π ×3，3∴曲线 CDEF的长＝1113×2π × 1＋3× 2π × 2＋3× 2π ×3＝ 4π .15．渐开线方程为错误 ! ( φ为参数 ) 的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2 倍获取曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标．解由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.把横坐标伸长为原来的 2 倍，x22x2y2获取椭圆方程4＋ y ＝36，即144＋36＝ 1，对应的焦点坐标为 (63，0) 和( －63，0) ．。

四渐开线与摆线练习1已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B(，2)之间的距离为( )．A.－1B.C.D.2如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．A．3πB．4πC．5πD．6π3我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．4已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，则该圆的面积为________，对应圆的渐开线方程为________．5给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．6有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．7已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程．8已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把α当成参数(t＞0)，它表示半径为t的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；( 2)如果把圆心平移到(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程．9如图，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，请推出Q的轨迹的参数方程．参考答案1.答案：C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A，∴|AB|＝.2.答案：C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.3．答案：(φ为参数)4.答案：16π(φ为参数)5.答案：解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为(φ为参数)．6.答案：分析：直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．解：因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为(φ为参数)．7.答案：解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是(φ为参数)．8.答案：解：(1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y－2＝tan α(x－2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t＞0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y－2)2＝t2.(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的摆线的参数方程为(φ为参数)．9.答案：解：设Q(x，y)，P(x0，y0)，若A(rθ，r)，则当|AQ|＝时，有代入∴点Q的轨迹的参数方程为(θ为参数)．当AQ＝时，有代入∴点Q的轨迹方程为(θ为参数)．。

四 渐开线与摆线练习1已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝2π对应的点A 与点B (32π，2)之间的距离为( )． A.2π－1 B.2 C.10 D.312π- 2如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，,,EF FG GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π3我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．4已知一个圆的摆线方程是44sin ,44cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则该圆的面积为________，对应圆的渐开线方程为________．5给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．6有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．7已知圆C 的参数方程是16cos ,26sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程．8已知一个参数方程是2cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程．9如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝2r 或|AQ |＝32r ，请推出Q 的轨迹的参数方程．参考答案1. 答案：C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为3(sin ),3(1cos )x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)，把φ＝2π代入参数方程中可得3(1),23,x y π⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即A 33,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴|AB |＝22333(32)1022ππ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭. 2. 答案：C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为2π，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为32π；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 3．答案：(1cos ),(sin )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数) 4. 答案：16π 4cos 4sin ,4sin 4cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩ (φ为参数) 5. 答案：解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是3cos 3sin ,3sin 3cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为33sin ,33cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)． 6. 答案：分析：直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．解：因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为11(cos sin ),11(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 7. 答案：解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是6cos 6sin ,6sin 6cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 8. 答案：解：(1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为(sin ),(1cos )x t y t ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)．9. 答案：解：设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )，则00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩ 当|AQ |＝2r 时，有002,2,x x r y y r θ=-⎧⎨=-⎩代入00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩ ∴点Q 的轨迹的参数方程为1(),21(1cos )2x r sin y r θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (θ为参数)．当AQ ＝32r 时， 有002,32,3r x x r y y θ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩∴点Q 的轨迹方程为3(sin )2,3(1cos )2x r y r θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (θ为参数)．。

三 直线的参数方程四 渐开线与摆线课时跟踪检测一、选择题1．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其普通方程为( )A ．3x ＋y ＋2－3＝0B ．3x －y ＋2－3＝0C ．x －3y ＋2－3＝0D ．x ＋3y ＋2－3＝0解析：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，得3x －y ＝3＋32t －⎝⎛⎭⎪⎫2＋32t ＝3－2， 即3x －y ＋2－3＝0. 答案：B2．如果直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，那么直线l 的倾斜角是( )A ．65°B ．25°C ．155°D ．115°解析：将参数方程化为标准形式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°＝1＋t cos 115°，y ＝2＋t cos 25°＝2＋t sin 115°，知倾斜角为115°.答案：D3．(2019·某某期中)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)和抛物线C ：y 2＝2x ，l 与C 分别交于点P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3解析：把直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，化为标准的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32m ，y ＝2＋12m (m 为参数)．代入抛物线C ：y 2＝2x ，得m 2＋4(2＋3)m ＋16＝0.令点P 1，P 2对应的参数分别为m 1，m 2，由根与系数的关系，知⎩⎨⎧m 1＋m 2＝－4(2＋3)＜0，m 1m 2＝16＞0，∴m 1＜0，m 2＜0，∴点A (0,2)到P 1，P 2两点的距离之和为|m 1|＋|m 2|＝－m 1－m 2＝－(m 1＋m 2)＝4(2＋3)，故选C ．答案：C4．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上的点到点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：将直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)化为标准形式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22t ′，y ＝3＋22t ′(t ′为参数，t ′＝2t )．设M (x ，y )到点P (－2,3)的距离为2，则对应的参数t ′＝2或t ′＝－ 2.代入直线的标准方程，得M 的坐标为(－3,4)或(－1,2)．答案：C5．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．4πD ．9π解析：把(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)，①0＝r (sin φ－φcos φ)，②由②得tan φ＝φ，代入①得3＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos φ＋sin 2φcos φ，得r ＝3cos φ，已知sin φ＝0，∴r ＝3.故基圆的面积为9π.答案：D6．过点P (1,2)且倾斜角为45°的直线与抛物线y 2＝8x 相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(3,4)D ．(4,3)解析：设AB 的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入y 2＝8x 中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝8⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t ，得t 2－42t －8＝0.由韦达定理t 1＋t 2＝4 2.∴AB 的中点对应的参数t ＝t 1＋t 22＝22，代入直线参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22×22＝3，y ＝2＋22×22＝4，∴AB 的中点坐标为(3,4)． 答案：C 二、填空题7．(2019·某某市部分区质量调查)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________．解析：把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)代入圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得t2－4t cos α＋3＝0.设点A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝4cos α，t 1t 2＝3，又|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝16cos 2α－12＝3，整理，得cos 2α＝1516，∴sin 2α＝116，∴tan 2α＝115.∴tan α＝±1515，即直线l 的斜率为±1515.答案：±15158．直线l 过点A (3,1)，与x 轴正向，y 轴正向分别交于M 、N 两点，则|MA |·|NA |的最小值为________．解析：设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)．令x ＝0，得N 点对应的参数t 1＝－3cos α，令y ＝0，得M 点对应的参数t 2＝－1sin α.故|MA |·|NA |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝3|sin αcos α|≥6.答案：69．(2019·某某重点中学联考)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝1－2t(t 为参数)，圆C ：ρ＝－42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π4(极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同)，若圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，则实数a ＝________.解析：∵ρ＝－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝－42sin θcos 3π4＋cos θsin 34π＝4sin θ－4cos θ，∴ρ2＝4ρsin θ－4ρcos θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， ∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y －4x ，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C (－2,2)，半径r ＝2 2.将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝1－2t (t 为参数)化为普通方程为2x ＋ay －a＝0.∵圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为2，∴圆心C 到直线l 的距离为2，即|－4＋2a －a |4＋a2＝ 2. 解得a ＝－4±2 6. 答案：－4±2 6 三、解答题10．(2019·某某期末)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l 与圆C 相交，某某数m 的取值X 围．解：由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ. ∵ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y .化为标准方程为x 2＋(y －2)2＝4. 由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m (t 为参数)，消去参数．得3x －y ＋m ＝0. ∵直线l 与圆C 相交，∴圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2＜2.解得－2＜m ＜6.即实数m 的取值X 围是(－2,6)．11．(2019·某某外国语学校调研)在平面直角坐标系的xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长． 解：(1)由x ＝2cos θ，得cos θ＝x2；由y ＝3sin θ，得sin θ＝y3，∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴x 24＋y 23＝1.即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x －y －3＝0.(2)直线l ：x －y －3＝0的斜率为1，∴其倾斜角为π4，又∵直线l 过定点(3，0)，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4＝3＋22t ，y ＝t sin π4＝22t (t 为参数)．将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得7t 2＋66t －6＝0，∵Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384＞0， ∴可设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－67，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝3847＝867. 12．(2019·某某市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)，且与直线l 平行的直线l 1交曲线C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)由题知，曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1，由22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. (2)由题知，直线l 1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入曲线C ：x 23＋y 2＝1中，化简得2t 2－2t －2＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.13．(2019·某某滨海区模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0. 把直线l 的参数方程代入， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2－4⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t ＝0， 即t 2－2t －3＝0.设t 2－2t －3＝0的两个根为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－3.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2－4×(－3)＝14. 答案：14。