北师大版九年级数学中考总复习九：圆的专题辅导(最新整理)

北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作BC，BAC．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．⑤劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示：要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系 如图所示．d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d 与r 的大小关系 点在圆内d ＜r 点在圆上d ＝r 点在圆外d ＞r要点诠释：(1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°．要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径．2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算． 360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n n n n n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题1.弧长公式：180n R l π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇． 3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和．要点诠释：在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．考点六、求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． （2015•石景山区一模）如图，A ，B ，E 为⊙0上的点，⊙O 的半径OC ⊥AB 于点D ，若∠CEB=30°，OD=1，则AB 的长为（ ）A ．B ．4C ．2D ．6【思路点拨】连接OB ，由垂径定理可知，AB=2BD ，由圆周角定理可得，∠COB=60°，在Rt △DOB 中，OD=1，则BD=1×tan60°=，故AB=2．【答案】C ；【解析】连接OB ，∵AB 是⊙O 的一条弦，OC ⊥AB ，∴AD=BD ，即AB=2BD ，∵∠CEB=30°，∴∠COB=60°，∵OD=1， ∴BD=1×tan60°=，∴AB=2，故选C ．【总结升华】弦、弦心距，则应连接半径，构造基本的直角三角形是垂径定理应用的主要方法．举一反三：【变式】如图，⊙O 的直径CD=5cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OD=3：5．则AB 的长是（）A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、221cm 【答案】 解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，∴AB=2AM ，∵CD=5cm ，∴OD=OA=12CD=12×5=52cm ，∵OM ：OD=3：5，∴OM=35OD=×=，∴在Rt △AOM 中，22OA OM -2253()()22-=2，∴AB=2AM=2×2=4cm．故选C．类型二、与圆有关的位置关系2．如图所示，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝2，直径AB＝6，求线段BC的长．【思路点拨】要证明DC是⊙O的切线，因为点D在⊙O上，所以连接交点与圆心证垂直即可．【答案与解析】(1)证明：如图(2)，连接OD．∵ AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠A，∴ OA＝OD，∴∠3＝∠A，∴∠1＝∠2．∵ OD＝OB，OC＝OC．∴△COD≌△COB，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∴ CD是⊙O的切线．(2)解：连接BD，∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△DAB和△BOC中，∵∠ADB＝∠OBC，∠A＝∠2，∴△DAB∽△BOC，∴AD BD OB BC=，∴OB BD BCAD=．在Rt△DAB中，由勾股定理得22226242 BD AB AD=-=-=．∴342622BC⨯==．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．【答案与解析】证法1：连接OE、DE(如图(1))．∵ CD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠CED＝90°．∵ G是AD的中点，∴ EG＝12AD＝DG．∴∠1＝∠2．∵ OE＝OD，∴∠3＝∠4．∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OEG＝∠ODG＝90°．∴ GE是⊙O的切线．证法2：连接OE、ED(如图(2))．在△ADC中，∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°．又∵ CD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠CED＝90°．在△AED中，∠AED＝90°，G是AD中点，∴ AG＝GE＝DG，∴∠A＝∠AEG．又∵ OE＝OC，∴∠OEC＝∠ACD．又∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠AEG+∠OEC＝90°．∴∠OEG＝90°，∴ OE⊥EG．∴ GE是⊙O的切线．类型三、与圆有关的计算3．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．【思路点拨】（1）（Ⅰ）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（Ⅱ）利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可；（Ⅲ）找出过A、B、C三点的圆的圆心及半径，利用勾股定理求解即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．【答案与解析】解：（1）（Ⅰ）如图连接BD，∵ AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴ BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴ A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴ OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，连接OA，OB，∵ CE⊥AB，AC=BC，∴ CE是过A、B、C三点的圆的直径，∵ OA=OB=OD，∴ O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，则有：，解得：，则ON=，∴直径为．【总结升华】此题比较复杂，解答此题的关键是找出以各边顶点为顶点的圆的圆心及半径，再根据勾股定理解答．举一反三：【变式】如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．【答案】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM=∠CBN，又∵∠APN=∠BPM，∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；同理可得：图2中，∠APN=90°；图3中∠APN=108°．（2）由（1）可知，∠APN=所在多边形的内角度数，故在图n中，．4．如图所示，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C，D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【思路点拨】观察图形，可以适当进行“割”与“补”，使阴影面积转化为扇形面积. 【答案】256π； 【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===阴影扇形OCD． 答案：256π． 【总结升华】用等面积替换法将不规则的图形转化为简单的规则图形是解本类题的技巧．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•黄陂区模拟）如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 交BC 于D ，过C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于P ，∠PCB=∠BAC ．（1）求证：AB=AC ；（2）若sin ∠BAC=35，求tan ∠PCB 的值．【思路点拨】（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出=，从而求得=，根据AB=AC，得出tan∠CBE===，就可求得tan∠PCB=．【答案与解析】解：（1）连接AD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCB=∠CAD，∵∠PCB=∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（ASA），∴AB=AC．（2）作BE⊥AC于E，∵PC是⊙O的切线，∴AC⊥PC，∴BE∥PC，∴∠PCB=∠CBE，∵sin∠BAC==，∴=，∵AB=AC，∴tan∠CBE===，∴tan∠PCB=．【总结升华】本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，AB 为直径，∠ABC=30°，CD 是⊙O 的切线，ED ⊥AB 于F ．(1)判断△DCE 的形状并说明理由；(2)设⊙O 的半径为1，且213-=OF ，求证△DCE ≌△OCB ．【答案】(1)解：∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC 是正三角形．又∵CD 是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED ⊥AB 于F ，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE 为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212-=3．OF=213-,∴AF=AO+OF=213+． 又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC ．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE ≌△COB.6．如图，已知⊙O 的直径AB ＝2，直线m 与⊙ O 相切于点A ，P 为⊙ O 上一动点（与点A 、点B 不重合），PO 的延长线与⊙ O 相交于点C ，过点C 的切线与直线m 相交于点D ．（1）求证：△APC ∽△COD ．（2）设AP ＝x ，OD ＝y ，试用含x 的代数式表示y ．（3）试探索x 为何值时， △ACD 是一个等边三角形．【思路点拨】(1)可根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”来说明 △APC ∽△COD ； (2)根据相似三角形的对应边成比例,找出x 与y 的关系；(3)若△ACD 是一个等边三角形,逆推求得x 的值.【答案与解析】解 （1）∵PC 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线, ∴∠PAC ＝∠OCD ＝90°.由△DOA ≌△DOC ,得到∠DOA ＝∠DOC , ∴∠APC ＝∠COD , ∴△APC∽△COD.（2）由△APC∽△COD，得AP OC PC OD = , ∴y x 12= 则 xy 2= (3)若ACD △是一个等边三角形，则6030ADC ODC ∠=∠=，于是2OD OC =,可得2y =，从而1=x ,故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.【总结升华】本例是一道动态几何题.(1)考查了相似三角形的判定,证三角形相似有:两个角分别对应相等的两个三角形相似;两条边分别对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三条边分别对应成比例的两个三角形相似;(2)考查了相似三角形的性质.利用第一问的结论,得出对应边成比例,找出y 与x 间的关系.(3)动点问题探求条件.一般运用结论逆推的方法找出结论成立的条件.本题应从ACD △是一个等边三角形出发,逆推6030ADC ODC ∠=∠=，,于是2OD OC =，可得2y =，从而1=x , 故当1x =时，ACD △是一个等边三角形.举一反三：【变式】如图，MN 是⊙O 的直径，2MN =，点A 在⊙O 上，30AMN =∠，B 为弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA PB +的最小值为（ ） Ａ．22 2 Ｃ．1 Ｄ．2【答案】选B；解：过B作BB′⊥MN交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，此时PA+PB＝AB′最小．连AO并延长交⊙O于C，连接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝2，∠C＝190452⨯=°°，∴2sin45222AB AC'==⨯=°．。

圆一. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上 <===> d=r;②点在圆内 <===> d<r;③点在圆外 <===> d>r.二. 圆的对称性:※1. 与圆相关的概念：④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。

※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三. 圆周角和圆心角的关系:※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※2. 圆周角定理；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；四. 确定圆的条件:※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.五. 直线与圆的位置关系※1.设⊙O 的半径为r，圆心O 到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L 和⊙O 相交.②d=r <===> 直线 L 和⊙O 相切. ③d>r <===> 直线 L 和⊙O 相离.※2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. ※3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. ※推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ※推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论: 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个. ①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※5. 三角形内心的性质:(1) 三角形的内心到三边的距离相等.(2) 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系.※1. 两圆位置关系的性质与判定:(1)两圆外离 <===> d>R+r(2) 两圆外切 <===> d=R+r(3)两圆相交 <===> R-r<d<R+r (R ≥r) (4)两圆内切 <===> d=R-r (R>r) (5)两圆内含 <===> d<R-r (R>r)※2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. ※3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面积※1. 圆周长公式:圆周长 C=2R (R 表示圆的半径)n R※2. 弧长公式: 弧长 l =180(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※3. 圆的面积公式. 圆的面积 S = R 2 (R 表示圆的半径) ※4. 扇形的面积公式:n R 2 扇形的面积 S 扇形 = 360(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)八. 圆锥的有关概念:※1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点. 如果设圆锥底面半径为 r,侧面母线长(扇形半径)是 l, 底面圆周长(扇形弧长)为 c,那么它的侧面积是:S = 1 cl = 1⋅ 2rl = rl 侧 2 2S 表 = S 侧 + S 底面 = rl +r 2 = r (r + l )九. 与圆有关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.十. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理※1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

九年级复习圆北师大版圆是初中数学中的重要内容之一，对于九年级的同学来说，系统地复习圆的相关知识至关重要。

圆的知识点不仅在数学学科中有着广泛的应用，也为后续学习更复杂的几何和数学概念打下坚实的基础。

一、圆的基本概念圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径决定。

直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，直径是圆中最长的弦，其长度等于半径的 2 倍。

弧是圆上任意两点间的部分，分为优弧和劣弧。

半圆是圆的直径所对的弧。

圆心角是顶点在圆心的角，圆周角是顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。

二、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

这是解决与圆的弦相关问题的重要定理。

3、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

4、圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

三、圆的周长和面积圆的周长 C ＝2πr（其中 r 是半径，π 通常取 314）。

圆的面积 S ＝πr² 。

在计算圆的周长和面积时，要准确地确定半径的长度，并熟练运用公式进行计算。

四、圆与直线的位置关系圆与直线的位置关系有三种：相离、相切、相交。

设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r。

当 d ＞ r 时，圆与直线相离；当 d ＝ r 时，圆与直线相切；当 d ＜ r 时，圆与直线相交。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

五、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。

通过两圆的圆心距与两圆半径的和或差的大小关系，可以判断两圆的位置关系。

六、圆中的相关计算1、弧长的计算弧长公式：L ＝nπr/180（其中 n 是圆心角度数，r 是半径）。

北师版九年级圆知识点北师版九年级圆知识点（北师版九年级教材数学篇）由于篇幅有限，以下仅列出九年级圆的主要知识点。

1. 圆的定义：圆是由平面内所有到圆心距离相等的点组成的图形。

2. 相关术语：- 圆心：圆的中心点，通常用大写字母O表示。

- 半径：从圆心到圆上任意一点的距离，通常用小写字母r表示。

- 直径：通过圆心的一条线段，两端点在圆上。

- 弦：圆上任意两点间的线段。

- 弧：圆上两点间的弧线，通常用小写字母表示。

3. 弧长和圆周角：- 弧长：圆上一段弧线的长度。

- 圆周角：圆上两条相交弧所对的角，通常用大写字母表示。

4. 直径、半径和弦的关系：- 直径等于两倍的半径，即d=2r。

- 弦的中点连线与半径垂直且等于半径。

5. 弧和圆周角的关系：- 弧所对的圆周角等于其弧所对的弦所对的圆周角的一半。

6. 弧度制：- 弧度：弧长等于半径的弧所对的角的大小。

- 一周的弧度为2π。

7. 圆心角和弦所对的圆周角的关系：- 圆心角：以圆心为顶点的角，与圆心处的两条半径所夹的角。

- 圆心角的大小等于其所对的弦所对的圆周角的一半。

8. 弧度和度数的关系：- 一周共360度，等于2π弧度。

9. 切线和切点：- 切线：与圆只有一个交点的直线。

- 切点：切线与圆的交点。

10. 切线与半径的关系：- 切线与半径垂直，且切点在半径的延长线上。

11. 切线与弦的关系：- 切线与弦的夹角等于其所对的弧所对的圆周角的一半。

12. 切线的性质：- 切线与半径的夹角为90度。

- 切线与切点处的弦垂直。

以上是北师版九年级数学教材中关于圆的主要知识点。

通过深入理解这些知识点，同学们可以更好地掌握圆的性质和相关计算方法，为解决与圆相关的数学问题提供有效的思路和方法。

希望同学们能够在学习过程中灵活运用这些知识点，提高数学水平！最后，如果同学们想要更加深入地学习圆的知识，建议阅读相关数学教辅资料或寻求老师的指导。

不断学习和练习，相信同学们一定能够掌握好九年级圆的知识，取得优异的成绩！。

九年级数学中考第一轮复习—圆北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：复习九：圆1. 圆的有关概念和性质．2. 点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系及其判定．3. 两圆相切、相交的性质．4. 弧长、扇形面积的计算公式．5. 圆锥的侧面展开图．二、知识要点：1. 圆的对称性圆是旋转对称图形，中心为圆心，它既是轴对称图形又是中心对称图形．由于圆的旋转对称性，所以在一个圆中，圆心角、弦、弧这三组量如果有一组量相等，则其余两组量也相等（如图①所示）．由于圆的轴对称性，所以沿直径所在直线折叠，左右两部分重合，同时圆的轴对称性与等腰三角形有着密切的关系（如图②所示）．①②③④2. 和圆有关的结论半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°；90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆（如图③所示）．在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（如图④所示）．3. 与圆有关的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆外、在圆上和在圆内（如图⑤所示）；直线和圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交（如图⑥所示）；OABC⑤圆的圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含（如图⑦所示）．从量的角度描述以上三种位置关系，都用半径和距离做比较．4. 三角形的内心，外心不在同一直线上的三点确定一个圆．三角形的外心是三边垂直平分线的交点．（如图⑧所示）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心．三角形内心是三角形三条角平分线的交点．（如图⑨所示）⑨⑧OAB C5. 直线和圆相切定义：直线与圆有唯一交点，这时我们称直线与圆相切．性质：圆的切线垂直于过切点的半径．判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长：切线上的一点与切点之间线段的长叫做切线长．切线长性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．6. 弧长和扇形面积如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么弧长公式为l＝nπr180．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．如果设圆心角是 n的扇形的面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积公式为S＝nπr2360或S＝12lr（l为扇形的弧长）．7. 圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是扇形，如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，扇形圆心角的度数为n°，则有πrl＝nπl2360，2πr＝nπl180．三、重、难点：重点要掌握圆的基本性质、与圆有关的位置关系，圆中的计算问题．难点是切线的性质和判定，圆与四边形、三角形的综合问题．四、考点分析：圆的有关性质与圆的有关计算是近几年全国各地中考命题考查的重点内容，题型以填空题、选择题和解答题为主，也有以阅读理解题、条件开放、结论开放探索题作为新的题型，分值一般为6~12分．所考查的知识点通常有：圆的有关性质的应用；直线和圆、圆和圆位置关系的判定及应用；弧长、扇形面积、圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算；圆与相似三角形、三角函数的综合运用．【典型例题】例1. 选择题 （1）如图所示，量角器外缘边上有A 、P 、Q 三点，它们所表示的读数分别是180°， 70，30°，则∠PAQ 的大小为（ ）1020304050607080901001101201301401501601701800APQA ．10°B ．20°C ．30°D ．40°解析：设量角器的圆心角为O ，连接PO ，QO ，知∠POQ ＝70°－30°＝40°，而∠PAQ 为︵PQ 所对的圆周角，为∠POQ 的一半，所以∠PAQ ＝12∠POQ ＝12×40°＝20°．（2）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ） A ．9πB ．18π C ．27πD ．39π解析：设圆锥的母线为R ，底面圆的半径为r ，则180πR180＝2πr ，∴R ＝2r ，∵R 2＝r 2＋（33）2，即（2r ）2＝r 2＋27，∴r ＝3，R ＝6，∴S 侧＝180π×62360＝18π．故选B ．（3）如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点A 、C 在坐标轴上，以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，若点A 的坐标为（0，8），则圆心M 的坐标为（ ）A ．（4，5）B ．（－5，4）C ．（－4，6）D ．（－4，5）①②解析：如图所示，作ME ⊥x 轴于点E ，并反向延长交AB 于点D ，连接MA ，∵点A（0，8），∴DE ＝AB ＝8，∴AD ＝12AB ＝4．∵⊙M 与x 轴相切，∴点E 是切点，OE ＝AD＝4，MA ＝ME ．∵在Rt △ADM 中，MD 2＋AD 2＝MA 2，∴（8－ME ）2＋42＝ME 2，∴ME ＝5，∴点M （－4，5），故选D ．例2. 填空题（1）如图所示，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD 的中心经过的路线长是__________cm ．lABCD(A)(D)…解析：依题意，知正方形ABCD 的中心经过的路线长为3个14圆弧长，其半径为42，利用弧长公式可得三段弧长之和为62π，即正方形ABCD 的中心经过的路线长是62πcm ．（2）如图所示，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°．给出以下五个结论：①∠°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧︵AE 是劣弧︵DE 的2倍；⑤AE ＝BC ．其中正确的结论的序号是__________．解析：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠°，BD ＝DC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠ABE ＝90°－∠BAC ＝45°，∴∠°．在△ABE 中，∵∠ABE ＝∠A ，∴AE ＝BE ，而BE ＜BC ，∴AE ＜BC ，AE ≠2EC ．∵∠ABE ＝2∠EBC ，∴劣弧︵AE 是劣弧︵DE 的2倍．因此正确结论的序号是①②④．（3）已知⊙O 的半径等于5cm ，弦AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，且AB ∥CD ，则AB 、CD 之间的距离为__________．①②解析：由于圆是一个轴对称图形，弦AB 与CD 位置有两种，如图①和②．在图①中，连接OA 、OC ，作OF ⊥CD 于F ，交AB 于E ，则AE ＝12AB ＝3（cm ），CF ＝12CD ＝4（cm ），由勾股定理得OE ＝OA 2－AE 2＝52－32＝4，OF ＝OC 2－CF 2＝52－42＝3，所以EF ＝OE －OF ＝4－3＝1（cm ），同理在图②中，EF ＝OE ＋OF ＝4＋3＝7（cm ）．故AB 、CD 之间的距离为1cm 或7cm ．例3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CB 是弦，OD ⊥CB 于E ，交︵CB 于D ，连接AC ． （1）请写出两个不同类型的正确结论； （2）若CB ＝8，ED ＝2，求⊙O 的半径．ABCDE O解：（1）不同类型的正确结论有：①BE ＝CE ；②BD ＝CD ；③∠BED ＝90°；④∠BOD ＝∠A ；⑤AC ∥OD ；⑥AC ⊥BC ；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC ·OE ；⑨△BOD 是等腰三角形；⑩△BOE ∽△BAC 等等．（注：BE ＝CE 与BC ＝2BE 或CE ＝12BC 是同一类型，以上任取两个类型结论即可）（2）∵OD ⊥CB ，∴BE ＝CE ＝12CB ＝4．设圆半径等于R ，则OE ＝OD －DE ＝R －2，在Rt △OEB 中，由勾股定理得，OE 2＋BE 2＝OB 2， 即（R －2）2＋42＝R 2，解得R ＝5， ∴⊙O 的半径为5．评析：在运用垂径定理解决圆的弦长问题时，一般要利用弦的一半、半径和圆心到这条弦的距离这三个量构成的直角三角形，应用勾股定理列方程求解．例4. 如图所示，A 是以BC 为直径的⊙O 上的一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作⊙O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF ＝EF ；（2）求证：PA 是⊙O 的切线．CP证明：（1）∵BC 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的切线，∴EB ⊥BC ． 又∵AD ⊥BC ，∴AD ∥BE ，∴△BFC ∽△DGC ，△FEC ∽△GAC ， ∴BF DG ＝CF CG ，EF AG ＝CF CG ，∴BF DG ＝EF AG ， ∵G 是AD 的中点，∴DG ＝AG ， ∴BF ＝EF ．OABCD E FGP（2）连接AO 、AB ．∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°．在Rt △BAE 中，由（1）知F 是斜边BE 的中点， ∴AF ＝FB ＝EF ． ∴∠FBA ＝∠FAB ．又∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBO ＝90°，∴∠EBO ＝∠FBA ＋∠ABO ＝∠FAB ＋∠BAO ＝∠FAO ＝90°， ∴PA 是⊙O 的切线．评析：证明一直线是圆的切线时，常用到“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这一方法．具体应用时又有两种不同的辅助线作法：①已知点在圆上（即点经过半径的外端），此时连接该点和圆心证垂直（如本例）．②不知点是否在圆上，常过圆心引该直线的垂线，证明垂线段等于半径．例5. 如图所示，△ABC 内接于⊙O ，点D 在半径OB 的延长线上，∠BCD ＝∠A ＝30°． （1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O 的半径长为1，求由弧BC ，线段CD 和BD 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）分析：可以直观地判断直线CD 与⊙O 相切．理由就是想办法证明OC ⊥CD ，根据∠BCD ＝∠A ＝30°可以判断△OBC 是正三角形，可求出∠OCD ＝90°，从而得到证明．至于阴影部分的面积可以利用间接法求得，即求出Rt △OCD 的面积，再减去扇形OBC 的面积．解：直线CD 与⊙O 相切，理由如下：在⊙O 中，∠COB ＝2∠CAB ＝2×30°＝60°． 又∵OB ＝OC ，∴△OBC 是正三角形， ∴∠OCB ＝60°．又∵∠BCD ＝30°，∴∠OCD ＝60°＋30°＝90°． ∴OC ⊥CD ．又∵OC 是半径，∴直线CD 与⊙O 相切．（2）由（1）得△COD 是直角三角形，∠COB ＝60°． ∵OC ＝1，∴CD ＝3．∴S △COD ＝12OC ·CD ＝32．又∵S 扇形OCB ＝16π，∴S 阴影＝S △COD －S 扇形OCB ＝32－16π＝633π-．【方法总结】1. 利用垂径定理进行证明或计算，通常利用半径、圆心距和弦的一半组成的直角三角形求解．由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以利用垂径定理计算时，不要漏解．2. 证明直线与圆相切，一般有两种情况（1）已知直线与圆有公共点，这时连接圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直．（2）不知直线与圆有公共点，这时过圆心作与已知直线垂直的线段，证明此垂线段的长与半径相等．【预习导学案】 （复习十：图形变换）一、预习前知1. 什么是轴对称，什么是中心对称？2. 什么是图形的平移和旋转？3. 什么叫相似形？二、预习导学1. 轴对称图形的性质有：____________________；中心对称图形的性质有：____________________．2. 平移的特征是__________，旋转的特征是__________．3. 相似三角形的性质有哪些？如何判定两个三角形相似？反思：（1）图形变换有哪些？（2）如何利用锐角三角函数求出直角三角形中的未知元素？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等．A. ①②③B. ③④⑤C. ①②⑤D. ②④⑤2. 如图所示，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（）A. 80°B. 50°C. 40°D. 20°3. 如图所示，小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形纸片的圆心角度数是（）A. 150°B. 200°C. 180°D. 240°9cm10cm4. 如图所示，已知线段AB＝8cm，⊙P与⊙Q的半径均为1cm．点P、Q分别从A、B出发，在线段AB上按箭头所示方向运动．当P、Q两点未相遇前，在下列选项中，⊙P与⊙Q不可能出现的位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含A B5. 如图所示，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）A. 2 2B. 4C. 2 3D. 5A6. 如图所示，已知EF 是⊙O 的直径，把∠A 为60°的直角三角板ABC 的一条直角边BC 放在直线EF 上，斜边AB 与⊙O 交于点P ，点B 与点O 重合．将三角板ABC 沿OE 方向平移，使得点B 与点F 重合为止．设∠POF ＝x °，则x 的取值X 围是（ ）A. 30≤x ≤60B. 30≤x ≤90C. 30≤x ≤120D. 60≤x ≤120CE*7. 如图所示，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是⊙A 上一点，且△EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）CA. 4－π9B. 4－8π9C. 8－4π9D. 8－8π9**8. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（ ）A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°二、填空题1. 如图所示，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点A 、B 间的距离为80cm ，两车轮的直径分别为136cm 、16cm ，则两车轮的圆心相距__________．2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连结AC 、AD ．若∠CAB ＝35°，则∠ADC 的度数为__________．AB3. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为︵BC 上一点，若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝__________．AB4. 如图所示，A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，且D 是︵AB 的中点，CD 交OB 于E ，∠AOB ＝100°，∠OBC ＝55°，∠OEC ＝__________度．5. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为G ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长是__________．6. 如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝12AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是︵AC 上和点C 不重合的一点，则∠D 的度数为__________．AP7. 如图所示，已知点E 是⊙O 上的点，B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点，∠BOC ＝ 46，则∠AED 的度数为__________．**8. 如图所示，PQ＝3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q，则AB＝__________．P三、解答题1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．（1）求证MN是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝120°，AB＝2，求图中阴影部分的面积．C30．2. 如图所示，已知在⊙O中，AB＝43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝ （1）求图中阴影部分的面积；（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．*3. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．**4. 如图所示，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动．（1）如果∠POA ＝90°，求点P 运动的时间；（2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB ＝OA ，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与⊙O 的位置关系，并说明理由．B【试题答案】一、选择题 1. B2. D 【连接OF ，∵⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∴︵ED ＝︵DF ，∴∠EOD ＝∠DOF ，∴∠DCF ＝12∠DOF ＝20°．】3. B 【圆锥模型侧面展开扇形纸片的弧长是2πr ＝2π×102＝10π（cm ），由弧长公式l ＝n πR 180得10π＝n π×9180，n ＝200°】 4. D 5. A 【连接OA 、OB ，∵∠C ＝45°，∴∠AOB ＝90°，∴在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝22】 6. A 【∵当B 点与O 点重合时，∠POF ＝30°；当B 点与E 点重合时，∠POF ＝2×30°＝ 60，∴30≤x ≤60，故选A 】7. B 【连接AD ，因为BC 为⊙A 的切线，D 为切点，所以AD ⊥BC ．又由∠BAC ＝2∠EPF＝2×40°＝80°，∴S 扇形EAF ＝80π×22360＝89π，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAF ＝12×BC ×AD －89π＝4－89π】8. C 【∵I 为△ACD 内切圆圆心，∴∠IAC ＝12∠BAC ，∠ICA ＝12∠ACB ，∵CD ⊥AB ，∴∠BAC ＋∠ACD ＝90°，∴∠IAC ＋∠ICA ＝45°，∴∠AIC ＝135°．∵AB ＝AC ，且⊙I 与AB 、AC 相切，∴∠BAI ＝∠CAI ，∴△AIB ≌△AIC ，∴∠AIB ＝∠AIC ＝135°】ABC二、填空题1. 100cm 【如图所示，作O 1C ⊥O 2B 于C ，在Rt △O 1O 2C 中，O 1C ＝AB ＝80cm ，O 2C ＝O 2B－O 1A ＝1362－162＝60cm ，由勾股定理得O 1O 2＝100cm 】ABO 1O 2C2. 55°【连结BC ，∠ADC ＝∠ABC ＝90°－∠CAB ＝55°】3. 28°4. 80【由题意知∠BCD ＝25°，∠OEC ＝∠B ＋∠BCD ＝80°】5. 4【连结CE ，∵CF ＝2，∴CG ＝4，∴FD ＝6．又∵△ADF ∽△CEF ，∴AF CF ＝FDEF，∴EF ＝2×63＝4】6. 30°【连接OC ，则BC ＝12OP ＝OB ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠D ＝30°】7. 69°【∵B 、C 分别是劣弧AD 的三等分点，∴︵AB ＝︵BC ＝︵CD ．又知∠BOC ＝46°，∴∠AOD ＝3×46°＝138°，∴∠AED ＝12∠AOD ＝69°】8. 6【设大圆圆心为点O ，作连心线交AB 于点E ，根据圆的对称性△OAE 为直角三角形，则OA 2＝（PE －OP ）2＋（12AB ）2，即52＝（AB ＋3－5）2＋（12AB ）2，解得AB ＝6】P三、解答题1.（1）证明：连接OM ．证OM ∥AC ．（2）连接AM ．由题意可得OM ＝1，MB ＝MC ＝3，MN ＝32，＝32，AN ＝AC －＝2－32＝12，S 梯形ANMO ＝（AN ＋OM ）·MN 2＝383，S 扇形OAM ＝60π·12360＝π6，∴S 阴影＝93－4π24． 2.（1）解法一：如图①所示，过O 作OE ⊥AB 于点E ，则AE ＝12AB ＝23．在Rt △AEO中，∠BAC ＝30°，cos30°＝AE OA ．∴OA ＝AEcos30°＝4．又∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝30°．∴∠BOC ＝60°．∵AC ⊥BD ，∴︵BC ＝︵CD ．∴∠COD ＝∠BOC ＝60°．∴∠BOD ＝120°．∴S 阴影＝n π·OA 2360＝120360π·42＝163π．解法二：如图②所示，连结AD ．∵AC ⊥BD ，AC 是直径．∴AC 垂直平分BD ．∴AB ＝AD ，BF ＝FD ．∵︵BC ＝︵CD ，∴∠BAD ＝2∠BAC ＝ 60，∴∠BOD ＝120°．∵BF ＝12AB ＝23，sin60°＝AF AB ，AF ＝AB ·sin60°＝43×32＝6．∴OB 2＝BF 2＋OF 2，即（23）2＋（6－OB ）2＝OB 2．∴OB ＝4．∴S 阴影＝13S 圆＝163π．解法三：如图③所示，连结BC ．∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°．∵AB ＝43，∴AC ＝AB cos30°＝4332＝8．∵∠A ＝30°，AC ⊥BD ，∴∠BOC ＝60°，∴∠BOD ＝120°．∴S 阴影＝120360π·OA 2＝13×42·π＝163π．①②③（2）设圆锥的底面圆半径为r ，2πr ＝120180π·4．解得r ＝43．3.（1）连结OA ．∵DA 平分∠BDE ，∴∠BDA ＝∠EDA ．∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠OAD ＝∠EDA ，∴OA ∥CE ．∵AE ⊥DE ，∴∠AED ＝90°，∴∠OAE ＝∠DEA ＝90°．∴AE ⊥OA ．∴AE 是⊙O 的切线．（2）∵BD 是直径，∴∠BCD ＝∠BAD ＝90°．∵∠DBC ＝30°，∴∠BDC ＝60°，∴∠BDE ＝120°．∵DA 平分∠BDE ，∴∠BDA ＝∠EDA ＝60°．∴∠ABD ＝∠EAD ＝30°．在Rt △AED 中，∠AED ＝90°，∠EAD ＝30°，∴AD ＝2DE ．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ABD ＝30°，∴BD ＝2AD ＝4DE ．∵DE 的长是1cm ，∴BD 的长是4cm ．4.（1）当∠POA ＝90°时，点P 运动的路程为⊙O 周长的14或34．设点P 运动的时间为ts ．当点P 运动的路程为⊙O 周长的14时，2π·t ＝14·2π·12．解得t ＝3；当点P 运动的路程为⊙O 周长的34时，2π·t ＝34·2π·12．解得t ＝9．∴当∠POA ＝90°时，点P 运动的时间为3s 或9s ．（2）如图所示，当点P 运动的时间为2s 时，直线BP 与⊙O 相切．理由如下：当点P 运动的时间为2s 时，点P 运动的路程为4πcm ．连结OP 、PA ．∵⊙O 的周长为24πcm ，∴︵AP 的长为⊙O 周长的16．∴∠POA ＝60°．∵OP ＝OA ，∴△OAP 是等边三角形．∴OP ＝OA ＝AP ，∠OAP ＝60°．∵AB ＝OA ，∴AP ＝AB ．∵∠OAP ＝∠APB ＋∠B ，∴∠APB ＝∠B ＝30°．∴OP ⊥BP ．∴直线BP 与⊙O 相切．OABP。

北师大九年级圆知识点圆是数学中一种基本的几何图形，它是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点所组成的集合。

在几何学中，圆是最简单的曲线，它具有许多独特的性质和特征，是学习几何学的基础。

下面将介绍北师大九年级关于圆的一些重要知识点。

一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面内到一个固定点的距离等于半径长度的所有点组成的集合。

2. 圆的性质：- 圆上的任意两点与圆心的距离相等。

- 圆的直径是通过圆心的一条线段，其长度等于圆的半径的两倍。

- 圆的周长是圆上任意一点到相邻点的距离之和，它等于直径的乘积。

- 圆的面积是圆内所有点与圆心的距离之和，它等于半径的平方乘以π（π≈3.14159）。

二、圆的相关概念1. 弧：圆上的一段曲线称为圆弧。

圆弧的长度叫做弧长。

圆弧所对的圆心角称为弧度。

2. 弦：连接圆上的两点的线段称为圆弦。

3. 切线：与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线。

切线与半径的夹角为直角。

4. 弦割定理：若一条直线同时截取圆的弦和切线，那么弦上的两线段的乘积等于切线与弦外的弦段的乘积。

三、圆的性质与定理1. 相交弦定理：两条相交的弦所对的弧相等。

2. 弦切角定理：切线和切线所截弦所对的弧所张角相等。

3. 弧切角定理：切线和切线所截圆弧所对的弦所张角相等。

4. 相交角性质：圆内接四边形的对角和为180度。

5. 弧与角关系：圆心角是弧上两点所对的角，圆心角的度数等于弧所对的圆心角的两倍。

四、圆的应用1. 圆的测量：通过给定的半径或直径，可以计算圆的周长和面积。

2. 圆的几何关系：如判定圆和直线的位置关系、圆与圆的位置关系等。

3. 圆的建模：在实际问题中，许多物体的形状可以近似看作圆，通过建立圆的模型可以进行问题的分析和求解。

总结：圆是数学中重要的几何图形之一，具有独特的性质和特征。

在学习和应用圆的知识时，我们需要了解圆的定义和性质，掌握一些相关概念和定理，并能够运用圆的知识解决实际问题。

希望通过对北师大九年级圆的知识点的学习，能够对同学们的数学能力提升和问题解决能力的培养有所帮助。

北师大版初三数学圆的总复习一. 教学内容： 1. 圆锥的侧面积 2. 圆的总复习二. 教学目标：1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题2. 灵活运用本章的知识解决综合问题三. 教学重点、难点：1. 能利用圆锥的侧面积公式计算实际问题2. 灵活运用本章的知识解决综合问题四. 课堂教学：知识要点：1. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl。

2. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积3. 本章的知识机构图【典型例题】例1. 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm，则它的侧面积为 cm2（结果保留π）。

答案：8π例2. 一个扇形的弧长为4π，用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为答案：2例3. 如图，矩形ABCD的长与宽分别是2cm和1cm，AB在直线l上。

依次以B、C′、D″为中心将矩形ABCD按顺时针方向旋转90°，这样点A走过的曲线依次为AA′ 、交CD于点P。

A′A″ 、A″A ，其中AA′（1）求矩形A′BC′D′的对角线A′C′的长；（2）求AA′ 的长；（3）求图中的（4）求图中的解：（1）A′′C=部分的面积S；部分的面积T。

2+1=cm×2=πcm（2）AA′ ＝180。

90π90π()25S==πcm23604（3）。

（4）连接BP，在Rt△BCP中，BC＝1，BP＝2，∴∠BPC=30°，CP=.∴∠ABP=30°.2∴T=S扇形ABP+S△PBC=30π×2+3=（+3）cm2.例4. 如下图，在矩形ABCD中，AD＝8，点E是AB边上的一点，AE＝2。

过D、E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F。

（1）求tan∠ADE的值；（2）点G是线段AD上的一个动点（不运动至点A、D），GH⊥DE，垂足为H，设DG为x，四边形AEHG的面积为y，请求出y与x之间的函数关系式；（3）如果AE＝2EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O 与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切。

九年级数学圆知识点总结北师大版一、圆的定义1、以点O与直线距离r为半径所画的圆称为以点O为圆心，以r为半径的圆2、圆上任意两点间的部分称为弧3、连接圆上任意两点的线段称为弦4、经过圆心且两个端点都在圆周上的线段称为直径二、圆的性质1、圆的对称性1)圆是中心对称图形，对称中心是圆心2)圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴2、圆的旋转不变性圆任意半径所对的圆周角等于二分之一的半径所对的圆心角3、圆的直径所对的性质圆的直径所对的圆周角是直角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

4、圆的标准方程和一般方程圆的标准方程：(x - a)2 + (y - b)2 = r2；圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(D2 + E2 - 4F > 0)5、直线与圆的位置关系设直线L与圆O有交点A，B；若点A，B重合，则称直线与圆相切；若点A，B不重合，则称直线与圆相割；经过两点A，B画一直线L，则称直线L为圆O的割线；经过圆心O画一直线L‘，则称直线L’为圆O的切线。

三、点与圆的位置关系设P(x，y)，O为坐标原点，则：设d为点P到O的距离；r为半径；d与r的关系可总结为：当d < r时，点P在圆内；当d = r时，点P在圆上；当d > r时，点P在圆外。

四、垂径定理及其推论1、垂径定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(在“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦”的前提下“垂直于弦的直径平分弦”也成立)推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

推论3：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

九年级数学圆知识点总结一、圆的基本性质1、圆的定义：线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

2、圆心：固定端点O称为圆心3、半径：线段OA称为圆的半径4、圆心角：从定点O引出的射线在圆内部分称为圆心角5、圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，在圆心同侧，且顶点在圆上的角叫做圆周角6、圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离(半径)和过该店画弧的两条线段的弧度之和叫做圆的周长7、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积二、与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系：以点P与圆O的为例(设P是一点，则PO是点到圆心的距离)，P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O 内，PO<r。

北师大九年级圆知识点归纳北师大九年级的数学教材中有一个重要的章节，那就是圆的知识点。

圆是我们生活中非常常见的几何图形，它在我们的日常生活中起着重要的作用。

在这篇文章中，我将对北师大九年级圆的相关知识点进行归纳和总结。

1. 圆的定义和性质首先，我们来看圆的定义。

圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。

圆的性质有很多，其中最重要的性质是圆的半径相等，圆的直径是圆的两个点之间的最长距离，圆上任意两点和圆心都构成的线段是圆的弦。

2. 圆的周长和面积圆的周长是圆上任意一条弧的长度。

我们知道，一个完整的圆共有360度，所以圆的周长可以通过圆的半径或直径来计算。

周长等于直径乘以π（π的近似值为3.14）。

圆的面积是圆内部的所有点所围成的区域，可以通过圆的半径或直径来计算。

面积等于半径的平方乘以π。

3. 圆的切线和切点当一条直线只与圆相交于一点时，这条直线称为圆的切线。

切线的长度与切点到圆心的距离相等。

圆的切点是由一条与圆相切的直线与圆相交所得到的点。

4. 圆的弦和弧圆的弦是圆上任意两点间的线段。

弦的长度称为弦长。

圆的弧是圆上两点之间的一段弧线。

弧的长度是弧所对应的圆心角的度数除以360度的周长，再乘以圆的周长。

5. 圆的相似和相切两个圆相似的条件是它们的半径成比例。

两个圆相切的条件是它们的半径相等且它们的圆心之间的距离等于它们的半径之和。

6. 圆的位置关系当两个圆相交于两个点时，它们交于一条线。

当两个圆相切于一个点时，它们相切于一条线。

当两个圆没有公共点时，它们是外离的。

当一个圆在另一个圆内时，它们是内含的。

7. 圆的应用圆的知识点在日常生活和实际问题中有着广泛的应用。

例如，在建筑设计中，圆形的窗户和拱门能够给建筑物增添美感；在地理学中，地球的形状就是近似于一个圆球；在数学中，圆的几何性质在三角学和数学推理中起着重要的作用。

通过对北师大九年级圆的知识点的归纳和总结，我们可以更加系统地了解圆的相关概念和性质。

北师大版数学中考总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：圆综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念1. 圆的定义如图所示，有两种定义方式：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2.与圆有关的概念①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作BC，BAC．④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．⑤劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．⑥优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．要点诠释：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半. 圆内角度数等于它所夹弧的度数的和的一半.考点二、圆的有关性质1.圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心，又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合．2.垂径定理①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧．②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径． 3.弧、弦、圆心角之间的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4.圆周角定理及推论①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点三、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系如图所示．d 表示点到圆心的距离，r 为圆的半径．点和圆的位置关系如下表：点与圆的位置关系d 与r 的大小关系点在圆内 d ＜r 点在圆上 d ＝r 点在圆外d ＞r要点诠释： (1)圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．(2)三角形的外接圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线交点．它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径．如图所示．2.直线与圆的位置关系①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表．②圆的切线．切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线．这个公共点叫切点．切线的判定定理：经过半径的外端．且垂直于这条半径的直线是圆的切线．友情提示：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．要点诠释：找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点．三角形外心、内心有关知识比较3.圆与圆的位置关系在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径(R≥r)．d为圆心距．要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍．其中相切和相交是重点．②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．④“r1－r2”时，要特别注意，r1＞r2．考点四、正多边形和圆1.正多边形的有关概念正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边形的每一个中心角都等于360n°． 要点诠释：通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径． 2.正多边形的性质任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心距)之比．3.正多边形的有关计算定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．正n 边形的边长a 、边心距r 、周长P 和面积S 的计算归结为直角三角形的计算．360n a n =°，1802sin n a R n =°，180cos n r R n=°， 2222n n a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n n P n a =，1122n nnn n S a r n P r ==．考点五、圆中的计算问题 1.弧长公式：180n Rl π=，其中l 为n °的圆心角所对弧的长，R 为圆的半径． 2.扇形面积公式：2360n R S π=扇，其中12S lR =扇．圆心角所对的扇形的面积，另外12S lR =扇．3.圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长． 圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和． 要点诠释：（1）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半径．（2）求阴影面积的几种常用方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形法；(5)构造方程法．考点六、四点共圆 1.四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”.2.证明四点共圆一些基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆． （若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.考点七、与圆有关的比例线段（补充知识）1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB. 用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1． BC 为O 的弦，∠BOC=130°，△ABC 为O 的内接三角形，求∠A 的度数.【思路点拨】依题意知O 为△ABC 的外心，由外心O 的位置可知应分两种情况进行解答. 【答案与解析】应分两种情况，当O 在△ABC 内部时，1113065;22A BOC ∠=∠=⨯︒=︒当O 在△ABC 外部时，由∠BOC=130°，得劣弧BC 的度数为130︒，则BAC 的度数为360︒－130︒＝230︒,故∠A=115°.综合以上得∠A=65°或∠A=115°. 【总结升华】转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决. 举一反三：【变式】如图，∠AOB＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50B ．80或50C ．130D ．50 或130 【答案】解：当点C 在优弧上时，∠ACB＝21∠AOB＝21×100°＝50°， 当点C 在劣弧上时，∠ACB＝21（360°－∠AOB）＝21×（360°－100°）＝130°．故选D ．类型二、与圆有关的位置关系2．如图，已知正方形的边长是4cm ，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）A BO【思路点拨】设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可．【答案与解析】解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，如图，连接OE、OA，则OA2-OE2=AE2，即R2-r2=（）2=（）2=4，S圆环=S大圆-S小圆=πR2-πr2，（2分）=π（R2-r2），（3分）∵R2-r2=（）2=4，∴S=4π（cm2）．【总结升华】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可．OP ，射线PN与⊙O相切于点Q．A,B 3．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，10cm两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t s．（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？【思路点拨】(1)连OQ,则OQ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ的长；(2)由直线AB与⊙O相切,先找出结论成立的条件,当BQ 等于⊙O 的半径时,直线AB 与⊙O 相切,再根据直线AB 与⊙O 相切时的不同位置,分类求出t 的值. 【答案与解析】解 （1）连接OQ ．∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ⊥PN, 即90OQP ∠=．10OP =，6OQ =，∴)(861022cm PQ =-=（2）过点O 作OC AB ⊥，垂足为C ．点A 的运动速度为5cm/s ，点B 的运动速度为4cm/s ，运动时间为t s ， ∴t PA 5=，4PB t =．10PO =，8PQ =，∴PQPBPO PA = P P ∠=∠，∴△PAB∽△POQ, ∴∠PBA=∠PQO=90090BQO CBQ OCB ∠=∠=∠=，∴四边形OCBQ 为矩形．∴BQ=OC∵⊙O 的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时．84BQ PQ PB t =-=-．由6BQ =，得846t -=．解得0.5(s)t =． ②当AB 运动到如图2所示的位置时．48BQ PB PQ t =-=-．由6BQ =，得486t -=．解得 3.5(s)t =．所以，当t 为0.5s 或3.5s 时,直线AB 与⊙O 相切．【总结升华】本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动. 举一反三：【变式】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE ．（1）求证：BE 与⊙O 相切；（2）连接AD 并延长交BE 于点F ，若OB=9，2sin 3ABC ∠=，求BF 的长．【答案】（1）证明：连结OC .EC 与⊙O 相切，C 为切点.90....ECO OB OC OCB OBC OD DC DB DC ∴∠==∴∠=∠⊥∴=，∴直线OE 是线段BC 的垂直平分线....90.EB EC ECB EBC ECO EBO EBO ∴=∴∠=∠∴∠=∠∴∠= AB 是⊙O 的直径.BE ∴与⊙O 相切.（2）解：过点D 作DM AB ⊥于点M ，则DM ∥FB .在Rt ODB ∆中，2909sin 3sin 6. ODB OB ABC OD OB ABC ∠==∠=∴=⋅∠=，，，由勾股定理得223 5.BD OB OD =-=在Rt DMB ∆中，同理得22sin 2 5.5.DM BD ABC BM BD DM =⋅∠==-=O 是AB 的中点，18.13.AB AM AB BM ∴=∴=-= DM ∥FB ，∴△AMD ∽△ABF.36513MD AM BF AB MD AB BF AM ∴=⋅∴==类型三、与圆有关的计算4．如图，有一个圆O 和两个正六边形T 1，T 2． T 1的6个顶点都在圆周上，T 2的6条边都和圆O 相切（我们称T1，T2分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求r ：a 及r ：b 的值；（2）求正六边形T 1，T 2的面积比S 1：S 2的值．【思路点拨】（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r ：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．【答案与解析】解：（1）连接圆心O 和T 1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r ：a=1：1；连接圆心O 和T 2相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以r ：b=AO ：BO=sin60°=：2；（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．【总结升华】计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．举一反三：【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）【答案】解：连接OB、OC；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=8m，∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．过O作OG⊥BC于G，∵△OBC是等边三角形，OB=8m，∴∠OBC=60°，∴OG=OB•sin∠OBC=8×=4m，∴S△OBC=BC•OG=×8×4=16，∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．类型四、与圆有关的综合应用5．（2014•孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．【思路点拨】（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值．【答案与解析】（1）证明：连接OD；∵AB是直径，∴∠ACB=90°；∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA；又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AF，∴∠ODE=∠AFD=90°，即OD⊥EF；又∵EF过点D，∴EF是⊙O的切线．（2）解：连接BD，CD；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠AFD；∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴BD=CD；设BD=CD=a；又∵EF是⊙O的切线，∴∠CDF=∠DAC，∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，∴△CDF∽△ABD∽△ADF，∴=，=；∵sin∠ABC==，∴设AC=3x，AB=4x，∴=，则a2=4x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得DF2=CD2﹣CF2=4x﹣1；又∵=，∴4x﹣1=1×（1+3x），∴x=2，∴AB=4x=8，AC=3x=6；∵EF∥BC，∴△ABC∽△AEF，∴=，=，AE=，∴在Rt△AEF中，EF===．综上所述，⊙O的半径及EF的长分别是4和．【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．举一反三：【变式】（2015•宁波模拟）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．【答案】解：（1）连接OD，∵BA=BD，BO⊥AD，∴∠ABO=∠DBO，在△ABO和△DBO中，∴△ABO≌△DBO（SAS），∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，∴BD⊥OD，∴BC是⊙O的切线；（2）∵在RT△ODC中，CD===6，∴OC=10，∴AC=18在RT△ABC中，AB=AC•tan∠C=18×=24，∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，∴sin∠ADB=sin∠AOB==，6．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC 三者之间有何数量关系，并给予证明．【思路点拨】（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=60°，∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．【答案与解析】证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC．（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°∴∠1=∠3，又∵∠APB=45°，∴BP=BE，∴；又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE．∴．（3）答：；证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP．∴MP=QM，又∵∠APB=30°，∴cos30°=，∴PM=PB，∴∴【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．举一反三：【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是；（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .【答案】解：（1）连接OB、OC；∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴OB=OC∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；又∵BM=CN，∴△OBM≌△OCN，∴∠MOB=∠NOC，∴∠MON=∠BOC=120°；（2）90°；72°；360n．（3）15.。

中考总复习九：圆一、基础知识和基本图形1．确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．圆的有关性质：（1）垂径定理及推论：落实，，构成的直角三角形．（2）圆心角、圆周角、弧、弦及弦心距之间的关系：3．直线与圆：（1）直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线和圆相交d＜r；②直线和圆相切 d ＝r；知交点，连半径，证垂直；不知交点，作垂直，证半径。

③直线和圆相离 d ＞r．（2）切线的性质定理及判定定理、切线长定理．（轴对称）4．圆和圆的位置关系：设圆的半径分别为R和r (R ＞r ) 、圆心距为d，则：两圆外离d＞R＋r；两圆外切d = R＋r；两圆相交 R–r＜d＜R＋r；两圆内切d = R–r；两圆内含d＜R一r (同心圆d = 0 )．5．有关圆的计算（1）扇形弧长和扇形面积．（2）三角形的内切圆．（3）圆锥的侧面展开．（4）有关阴影面积．（割补法）二、例题1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝2，sin B＝，则弦AC的长为______________．分析：如何利用好圆的半径，如何把角B放到一个直角三角形中去运用三角函数值，这就需要作直径，并构造直径所对的圆周角，这样就把角B转化到直角三角形中了。

解答：作直径AO，交圆O于D，连CD利用勾股定理求得： AC=32．如图，分别是的切线，为切点，是⊙O的直径，已知，的度数为（）．A．B．C．D．分析：本题利用圆心角与圆周角的关系，以及切线长定理解决解答：D3．如图，梯形中，，，，，以为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是_____________．分析：要求扇形面积，关键是确定半径和圆心角解答：过A作AE⊥BC于E，可求得∠B为60度，AE=，所以最大扇形面积为4。

4．在中，，．如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于______________．分析：此题应分类讨论，考虑圆心O在BC上和在BC下两种情况解答：5或35．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O 的直径等于______________．分析：先解三角形，求得∠B为45度，再构造直径AO解答：作直径AO，交圆O于E，连CE可求得∠E=∠B=45度，所以直径AE=6．如图，已知大半圆⊙与小半圆⊙相内切于点B，大半圆的弦MN切小半圆于点D，若MN∥AB，当MN＝4时，则此图中的阴影部分的面积是_____________．分析：此题需用到垂径定理和整体带入解答：连接，过作⊥MN于E阴影面积为27．已知：如图，△OBC内接于圆，圆与直角坐标系的x、y轴交于B、A两点，若∠BOC＝45°，∠OBC＝75°，A点坐标为（0，2）．则点B点的坐标为___________；BC的长=__________．解答：连AB、AC，可求得B（），BC=8．如图，⊙O的半径为3cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为_______s时，BP 与⊙O相切．解答：要考虑到两种情况，5或19．已知：点F在线段AB上，BF为⊙O的直径，点D在⊙O上，BC AD 于点C，BD平分．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=，AF=，求CD的长．解答：（1）连OD，证明OD//BC（2）利用方程和相似，求得CD=10．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD．已知AD=BD=4，PC＝6，求CD的长．解答：连AC，利用∽，求得CD=811．如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，，，当点A在优弧上运动时，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围．解答：（1）提示：证∠IBD=∠BID（2）（6）12．如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．（1）求证：是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为，，设．①求关于的函数关系式．②当时，求的值．解答：（1）连DO，证OD⊥DP；（2）①连PO，；②，提示：在三角形EBC中求13．二次函数的图象与轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，点M是它的顶点．（1）求证：以A为圆心，直径为5的圆与直线CM相离；（2）将（1）中的⊙A的圆心在轴上移动，平移多少个单位，使⊙A与直线CM相切．解答：（1），（2）个单位．。

第三章圆§3.1 车轮为什么做成圆形学习目标:经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．学习重点:圆及其有关概念，点与圆的位置关系．学习难点:用集合的观念描述圆．学习过程:一、例题讲解：【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．【例3】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．【例4】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x ＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．【例5】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？【例6】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？二、随堂练习1．已知圆的半径等于5cm ，根据下列点P 到圆心的距离：（1）4cm ；（2）5cm ；（3）6cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由．2．点A 在以O 为圆心，3cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是 ． 三、课后练习1．P 为⊙O 内与O 不重合的一点，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到⊙O 上任一点的距离都小于⊙O 的半径 B ．⊙O 上有两点到点P 的距离等于⊙O 的半径 C ．⊙O 上有两点到点P 的距离最小 D ．⊙O 上有两点到点P 的距离最大2．若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为（3，4），点P 的坐标为（5，8），则点P 的位置为（ ）A ．在⊙A 内B ．在⊙A 上C ．在⊙A 外D ．不确定3．两个圆心为O 的甲、乙两圆，半径分别为r 1和r 2，且r 1＜OA ＜r 2，那么点A 在（ ） A ．甲圆内B ．乙圆外C ．甲圆外，乙圆内D ．甲圆内，乙圆外4．以已知点O 为圆心作圆，可以作（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个5．以已知点O 为圆心，已知线段a 为半径作圆，可以作（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个6．已知⊙O 的半径为3．6cm ，线段OA=725cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．A 点在圆外B ．A 点在⊙O 上C ．A 点在⊙O 内D ． 不能确定7．⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为（0，0），点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．点P 在⊙O 上或⊙O 外8．在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以C 为圆心，4cm 长为半径作圆，则A 、B 、C 、D 四点中在圆内的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2cm ，BC=4cm ，CM 为中线，以C 为圆心，5cm 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．10．一点和⊙O 上的最近点距离为4cm ，最远距离为9cm ，则这圆的半径是 cm ． 11．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ．12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15cm ，BC=10cm ，以A 为圆心，12cm 为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．13．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．14．作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分别是AB和AC的中点．以B为圆心，以BC为半径作⊙B，点A、C、D、E分别与⊙B有怎样的位置关系？17．已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D 内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）A．20°B．30°C．40° D．50°21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．22．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．§3.2 圆的对称性（第一课时）学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点:垂径定理及其应用．学习难点:垂径定理及其应用．学习过程:一、举例：【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（2）平分弦的直径垂直于弦．【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF 为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为米．三、课后练习：1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC ＝BD2、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离3、已知：⊙O弦AB∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF6、已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，⋂=⋂BC21 AE7、已知：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE＝DF8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC 的长10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB 平行求证：AB＝2OO＇11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF§3.2 圆的对称性（第二课时）学习目标:圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．学习重点:圆心角、弧、弦之间关系定理．学习难点:“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．学习过程:一、例题讲解：【例1】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件：，使∠1=∠2．二、课内练习：1、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）2、填空题⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．3、选择题如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．A、6 cmB、8 cmC、7 cmD、7.5 cm4、选择填空题如图2，过⊙O 内一点P 引两条弦AB 、CD ，使AB ＝CD ， 求证：OP 平分∠BPD ．证明：过O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ．A OM⊥PB B OM⊥ABC ON⊥CD D ON⊥PD 三、课后练习：1．下列命题中，正确的有（ ） A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2．下列说法中，正确的是（ ） A ．等弦所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（ ） A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．以上都不对 4．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ） A ．43R B ．23R C ．3R D ．23R5．如图1，半圆的直径AB=4，O 为圆心，半径OE ⊥AB ，F 为OE 的中点，CD ∥AB ，则弦CD 的长为（ ）A ．23B ．3C ．5D ．256．已知：如图2，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ，则⊙O 的半径为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．42cmD ．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C．5：2D．5：48．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（）A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．09．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．1610．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为．12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长23cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为．13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是，最长的弦长是．15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF，⌒AC⌒AE，AC AE．20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．（1）求证：AC=DB；（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？24．已知一弓形的弦长为46，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．25．如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，⌒⌒EFCD ，O1M和O2M相等吗？为什么？§3.3 圆周角和圆心角的关系（第一课时）学习目标:（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．学习重点:圆周角的概念和圆周角定理学习难点:圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．学习过程:一、举例：1、已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数2、如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC3、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？4、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？5、已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．6、如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有个圆周角，分别是．7、如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？8、已知等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过O2，点C是⌒BAO2上任一点（不与A、O2、B重合），连接BC并延长交⊙O2于D，连接AC、AD．求证：．（1）操作测量：图a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图（a）中进行证明）（3）如图b），若C点是⌒2BO的中点，AC与O1O2相交于E点，连接O1C，O2C．求证：CE2=O1O2·EO2．二、课外练习：1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．（A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60°2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则的度数为（）．（A）60°（B）80°（C）100°（D）)120°3、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．（A）3 （B）4 （C）5 （D）64、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）（A）70°（B）65°（C）60°（D）)50°5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为___ _______．6、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．7、已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：§3.3 圆周角和圆心角的关系（第二课时）学习目标:掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决问题.学习重点:圆周角定理几个推论的应用.学习难点:理解几个推论的”题设”和”结论”．学习过程:一、举例：【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求BC、AD和BD的长．【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．（1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长；（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．二、练习：1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对3．下列说法正确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4．下列说法错误的是（）A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD=．6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．7．如图6，AB 是⊙O 的直径，⌒BC =⌒BD ，∠A=25°，则∠BOD= ．8．如图7，A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D ，交⊙O 于点M ．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM=，∠AMB=．9．⊙O 中，若弦AB 长22cm ，弦心距为2cm ，则此弦所对的圆周角等于 ． 10．如图8，⊙O 中，两条弦AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，求⊙O 的半径．11．如图9，AB 是⊙O 的直径，FB 交⊙O 于点G ，FD ⊥AB ，垂足为D ，FD 交AG 于E ．求证：EF ·DE=AE ·EG ．12．如图，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．13．如图，⊙O 的弦AD ⊥BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=53，cosβ=31，AC=2，求（1）EC 的长；（2）AD 的长．14．如图，在圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点． （1）求证：AB 2=AD ·AE ；（2）当D 为BC 延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．15．如图，已知BC 为半圆的直径，O 为圆心，D 是⌒AC 的中点，四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点E ．（1）求证：△ABE ∽△DBC ；（2）已知BC=25，CD=25，求sin ∠AEB 的值； （3）在（2）的条件下，求弦AB 的长．16．如图，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 点作EF ⊥BC ，垂足为F ，且BF ：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC 的长．§3.4 确定圆的条件学习目标:通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略． 学习重点:1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了． 学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨． 学习过程: 一、举例：【例1】 下面四个命题中真命题的个数是（ ） ①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆； ③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例2】 在△ABC 中，BC=24cm ，外心O 到BC 的距离为6cm ，求△ABC 的外接圆半径．【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．二、随堂练习一、填空题1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆．3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形5．下列命题中的假命题是（ ） A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等 C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心 6．下列图形一定有外接圆的是（ ） A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形三、课后练习1．下列说法正确的是（ ）A ．过一点A 的圆的圆心可以是平面上任意点B ．过两点A 、B 的圆的圆心在一条直线上C ．过三点A 、B 、C 的圆的圆心有且只有一点D ．过四点A 、B 、C 、D 的圆不存在2．已知a 、b 、c 是△ABC 三边长，外接圆的圆心在△ABC 一条边上的是（ ） A ．a=15，b=12，c=1 B ．a=5，b=12，c=12 C ．a=5，b=12，c=13D ．a=5，b=12，c=143．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ） A ．任意三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离为（ ） A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．A ．23B ．33C ．3D ．216．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ）A ．2B ．6C ．12D ．77．三角形的外心具有的性质是（ ） A ．到三边距离相等 B ．到三个顶点距离相等 C ．外心在三角形外D ．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ） A ．它到三角形三个顶点的距离相等 B ．它与三角形三个顶点的连线平分三内角 C ．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D ．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点 9．下列说法错误的是（ ）A ．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．14．△ABC的三边3，2，13，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？§3.5 直线和圆的位置关系（第一课时）学习目标:经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系。

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系C?rd??在圆内；1、点在圆内点r?d??B点在圆上；2、点在圆上rd???A3、点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系r?d??、直线与圆相离1 无交点；1d?r??有一个交点；2、直线与圆相切d?r??有两个交点；3、直线与圆相交四、圆与圆的位置关系d?R?r??；无交点）外离（图1d?R?r??；有一个交点）外切（图2R?r?d?R?r??；相交（图3）有两个交点d?R?r??；）内切（图4 有一个交点d?R?r??；无交点）内含（图5五、垂径定理2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：AB?CDCE?DEBCAC??ADABBD弧弧②是直径弧弧③⑤④①中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

CDOAB中，∵即：在⊙∥AC?BD∴弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对定理，即上述四个结论推3的弧相等，弦心距相等。

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1 B．≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【答案】C；有公共点时，0≤OP≤，举一反三：类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且CF CB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明． 【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】 （1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴==∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9， 即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．ABC D BC DB DC DA +=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°∵四边形ABDC 是圆内接四边形∴∠ABE ＝∠ACD在△AEB 和△ADC 中，∴△AEB ≌△ADC∴AE ＝AD∵∠ADB ＝60°∴△AED 是等边三角形∴AD ＝DE ＝DB ＋BE∵BE ＝DC∴DB ＋DC ＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。

九年级中考数学圆的知识点+练习试题能够重合的两个圆叫等圆。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

圆既是轴对称图形，也是中心对称图形。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

在同圆或等圆中：圆周角的度数等于它所对应弧的圆心角的。

同弧或等弧所对的圆周角。

圆周角是90°所对的弦是；直径所对应的圆周角是。

圆的内接四边形的对角，不在同一直线上的三个点确定一个圆。

1、如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°，则∠BOD= ，∠BAD= 。

（1题）（2题）(3题) （4题）（5题）2、如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D=( )A．25°B．35°C．55°D．70°3、如图，已知∠BAC=25°，∠CED=30°，则∠BOD的度数是。

4、如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为[]A.75°B.72°C.70°D.65°5、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OCB的度数为_______．6、如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB 的延长线上，BD=BC，则∠D=___________。

（6题）（7题）（8题）(9题) (10题)7、如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_____．8、如图，四边形ABCD内接与圆，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ADC= 。

9、如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10、如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 。