第12章全等三角形

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

人教版第十二章《全等三角形》教案——最新版【教案】人教版第十二章《全等三角形》一、教学目标1. 理解全等三角形的定义，掌握全等三角形的判定条件。

2. 掌握全等三角形的性质，能够运用全等三角形的性质解决相关问题。

3. 进一步培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。

4. 培养学生的合作学习能力和自主学习能力。

二、教学内容1. 全等三角形的定义和判定条件。

2. 全等三角形的性质及应用。

3. 全等三角形的证明。

三、教学重点1. 全等三角形的定义和判定条件的掌握与运用。

2. 全等三角形的性质及应用的掌握与应用。

3. 全等三角形的证明方法的理解和运用。

四、教学难点1. 全等三角形的性质及应用的理解和运用。

2. 全等三角形的证明方法的理解和运用。

五、教学准备1. 教材、教辅资料。

2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器等。

六、教学过程教学活动一：导入（10分钟）1. 教师布置学生自学任务，让学生自行阅读教材第十二章的内容，并思考下列问题：如何判断两个三角形是否全等？全等三角形有哪些性质？应用在哪些问题中？2. 学生自学后，教师组织讨论，学生分享自己的思考结果。

教学活动二：概念讲解（25分钟）1. 教师利用黑板与彩色粉笔，进行全等三角形定义的讲解。

重点强调全等三角形的相等对应关系。

2. 讲解全等三角形的判定条件，包括SSS、SAS、ASA和AAS。

3. 教师通过举例说明判定条件的运用方法，让学生在实际操作中理解和掌握。

教学活动三：性质与应用（50分钟）1. 教师引导学生讨论全等三角形的性质，如边长相等、角度相等、对边相等等，通过实际问题分析和解决，培养学生的问题解决能力。

2. 教师提供相关应用题，要求学生利用全等三角形的性质解决问题，并与同桌合作讨论。

教师带领学生进行展示和讨论，指导学生发现问题的解决方法，并帮助学生纠正错误。

3. 学生合作完成教材练习册上的练习题，巩固全等三角形的性质与应用。

教学活动四：证明全等三角形（45分钟）1. 教师介绍全等三角形的证明方法，包括利用全等判定条件进行证明和利用全等三角形的性质进行证明。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳12.1全等三角形经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个图形叫做全等形。

经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

例1、△ABC≌△DEF读作：三角形ABC全等于三角形DEF。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

用“≌”表示两个图形全等的时候，必须把对应的顶点写在对应的位置上。

例2、已知△ABC≌△DEF，那么就说明：①点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F③AB=DE，AC=DF，BC=EF用“全等于”这个词表示两个图形全等的时候，顶点不一定有一一对应关系。

例3、已知△ABC全等于△DEF，那么点A不一定对应D，点A也可能对应点E或者点F 。

全等三角形的性质：①对应边相等②对应角相等③角平分线、中线、高分别对应相等④周长相等⑤面积相等12.2三角形全等的判定全等三角形的判定依据：①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。

②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。

③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。

④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。

⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。

温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。

全等三角形的证明格式：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：在△ABC 与△DEF 中 在Rt △ABC 与Rt △DEF 中∵{ 条件1条件2条件3∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）12.3角的平分线的性质如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。

第十二章全等三角形第一讲全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．平移、翻折、旋转前后的图形全等。

“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．≅表示，读作“全等于”．．．．．．．．．．全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如∆和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC∆DEF∆。

ABC∆≅把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．例1.已知：如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，∠EAC=300，则∠DAB的大小为例2.如图，在平面上将△ABC绕B点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC，∠ABC=70°，则∠CBC’为________度.例3.如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4课堂练习：∆的是( )1.根据下列条件，能画出唯一ABCA. AB=3,BC=4,CA=8B.AB=4,BC=3,∠A=300C. ∠C=600,∠B=450,AB=4D.∠C=900,AB=62.如图∠1＝∠2=200，AD=AB，∠D=∠B，E在线段BC上，则∠AEC=（）A.200B.700C.500D.8003.已知:如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF.则不正确的等式是（）A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF4.如图，△BCD≌△CBE，BC＝6，CE＝5，BE＝4，则CD的长是（）A．4 B．5 C．6 D．无法确定5.已知图中的两个三角形全等，则∠ 度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°6.如图，将Rt△ABC(其中∠B＝340，∠C＝900）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.560B.680C.1240D.18007.如图，△ABE≌△ACD，∠B＝50°，∠AEB＝60°，则∠DAC的度数等于（）A．120° B．70° C．60° D．50°8.若两个三角形的面积相等 , 则这两个三角形________全等．9.如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边_______．10.如图,△ABC≌△DBC,且∠A和∠D,∠ABC和∠DBC是对应角,其对应边:______,对应角:_________．11.如图，△ABO≌△CDO，OA=2，AB=4，BO=3，则DC= ，OC= ，OD= .12.如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B=320，∠A=680，AB=13cm，则∠F=______度，DE=______cm．13.已知△ABC≌△DEF,∠A=52°,∠B=67°BC=15cm则∠F=_____,FE=_____cm.14.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到△P/AC，则∠PAP/的度数为________．15.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则∠CBD的大小为_________16.如图所示，，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，，，，则的度数为17.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n 个大三角形中白色三角形有 个 ．18.如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转350，得到△A /B /C, A /B /交AC 乎点D ，已知∠A /DC=90°，求∠A 的度数.19.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．20.如图所示，已知△ABC ≌△FED ，且BC ＝ED ，那么AB 与EF 平行吗？为什么？ABC ADE △≌△105ACB AED ∠=∠=15CAD ∠=30B D ∠=∠=1∠课后练习：1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ）A ．①②③④B ．①③④C ．①②④D ．②③④2.下列说法错误的有（ ）①只有两个三角形才能完全重合；②如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；③两个正方形一定是全等图形；④边数相同的图形一定能互相重合．A.4个B.3个C.2个D.1个3.已知△ABC 与△DEF 全等，∠A=∠D=90°，∠B=37°，则∠E 的度数是（ ）A.37°B.53°C.37°或63°D.37°或53°4.如果D 是中BC 边上一点，并且，则是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形5.对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同,大小也相等.其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转800到△OCD 的位置，已知∠AOB=450，则∠AOD （ ）A.550B.450C.400D.3507.如图，△ABE ≌△ACD,AB=AC,BE=CD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC 的度数等于（ ）A.120°B.70°C.60°D.50°8.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°9.如图所示，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在点C ´的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ） A. △ADC B. △BDC ´ C. △ADC ´ D. 不存在6.如图，已知AB=AC ，AD=AE ，∠BAD=25°，则∠CAE=ABC △ADB ADC △≌△ABC△7.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______．8.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______．9.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________．10.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是____．11.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.12.如图所示，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，BD=7，AD=6，则BE的长是___13.如图，已知△ABE≌△ACF，∠E=∠F=90°，∠CMD=70°，则∠2=______度．14.如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB为15.如图，D,E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=480，则∠APD等于16.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=____17.如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．能力提高：1.长为L 的一根绳,恰好可围成两个全等三角形,则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为( ) A.64l l x ≤< B.84l l x ≤< C.64l l x << D.84l l x << 2.已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，△ABC 的三边为3、m 、n ，△A ′B ′C ′的三边为5、p 、q ，若△ABC 的各边都是整数，则m+n+p+q 的最大值为__________3.如图，△ABC ≌△ADE ，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC 、DE 相交于点F ，则∠DFB 的度数是4.下图是由全等的图形组成的，其中AB ＝3cm ，CD ＝2AB ，则AF ＝__________.AB C D E F5.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a 的度数为6.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm, ∠DAM=39°,则AN= cm, NM= cm, ∠NAB= .7.如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°.（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB'C'的顶点C'与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上？（原△ABC 是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C'在同一直线上？8.如图, 在ABCD中, 将△ABE沿BE翻折, 点A落在CD边上, 成为点F, 如果△DEF和△BCF的周长分别是8cm和22cm, 求FC的长度。

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

全等三角形知识点总结及复习一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角；(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

第十二章 全等三角形一、知识要点1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角； 2、全等三角形的判定和性质3、证题的思路：(A S A )(A A S )⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边(SAS)(HL)(SSS) (AAS)(SAS)(ASA)(AAS) 4、应注意的问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； （4）要正确区分判定三角形全等的结论的不同含义；（5）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等．5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 6、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 （1）连接法（连接公共边构造三角形全等）； （2）延长法（延长至相交、倍长中线）（3）截长补短法（适合于证明线段的和、差等问题）（4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 二、考点解密（1）常见全等的判定和性质考察1、已知△ABD ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD= ，∠A= ；2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度；∠D= 度；CBAFE DC B A第2小题 第3小题 第4小题3、如图，△ABC ≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300，则∠DCB= 度； 4、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；5．已知△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm 则AB =____________，BC =____________，AC =____________．6．一个三角形的三边为2、5、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x +y =__________．7．下列命题中正确的是（ ）①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等的两个三角形全等； ③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。

()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧HL AAS ASA SAS SSS 斜边、直角边角角边角边角边角边边边边第十二章 全等三角形第二节 三角形全等的判定☆要点回顾1、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°。

2、平行线的性质及判定：内错角相等，两直线平行。

3、有一个角是90°的三角形为直角三角形。

概念图：三角形全等的条件知识点一：边边边公理（SSS ）1、三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”。

2、要证明两个三角形全等，应设法确定这两个三角形三条边对应相等。

3、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

4、书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并且用大括号将它们括起来，如：在△ABC 和△A'B'C'中，∴△ABC ≌△C B A '''（SSS ）。

典型例题：【例1】如图，已知AD=CB,AB=CD.求证：AD ∥BC 。

解析：欲证AD ∥BC ⇒∠ADB=∠CBD ⇒△ABD ≌△CDB.⎪⎩⎪⎨⎧''=''=''=C B BC C A AC B A AB知识点二：边角边公理（ＳＡＳ）1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”2、“ＳＡＳ”指判定两个三角形全等的条件是两边及这两条边的夹角对应相等，应特别注意其中的夹角是两已知边的夹角而不是其中一边的对角。

3、在列举两个三角形全等的条件时，一定要把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等。

４、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

典型例题：【例2】如图，已知Ｅ、Ｆ是线段ＡＢ上的两点，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｂ，求证，DF＝CE解析：先证明ＡＦ＝ＢＥ，在用“ＳＡＳ”证明两个三角形全等。

【例3】如图，Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｂ在一条直线上，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＦ＝ＤＥ，（１）求证：ＡＥ＝ＣＦ；（２）求证：ＡＥ∥ＣＦ。

图12.1-1第十二章 全等三角形12.1 全等三角形素读检测1. 叫做全等形.2. 叫做全等三角形.3.一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 .4.把两个全等的三角形重合到一起. 叫做对应顶点. 叫做对应边. 叫做对应角.如图12.1-1，△ABC 和△DEF 全等，记作 .记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.其中 ， ， 是对应顶点， ， ， 是对应边， ， ， 是对应角.5.全等三角形的性质： ； .问题思考1.对边和对应边有什么区别？2.如图，指出下列各对全等三角形的对应边和对应角.对应边： 对应边： 对应角： 对应角：DCBAO△AOB ≌△DOCCBEDA△AEB ≌△ADC图12.1-2△ABC ≌△CDA△ABC ≌△AEF对应边： 对应边： 对应角： 对应角：对应边： 对应边： 对应角： 对应角：当堂检测1.下列各图中的两个图形是全等图形的是 ．2.如图12.1-6，△ADE ≌△BCF ,（1）若AD =8cm ,CD =6cm ,则BD = （2）若∠B =30°，∠E =80°，则∠ADE =3.如图12.1-7，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，△ABF ≌△DCE .你能得出哪些结论？（请写出三个以上的结论）△ABC ≌△DEF△ABN ≌△ACMNMCBA图12.1-4图12.1-5EFDCBA图12.1-6A FBEDC图12.1-7图12.1-7巩固拓展1.如图12.1-8，已知△ABC 是边长为1的正三角形，△BMD ≌△CPD ，△MND ≌△PND ,点P 在AC 的延长线上，求△AMN 的周长.2.如图12.1-9，A 、D 、E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ，试说明： (1)BD =DE +CE ;(2)△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE .12.2 .1 三角形全等的判定第一课时素读检测1.如果△ABC ≌△A′B′C ′,那么它们的对应边相等，对应角相等.反过来，如果△ABC 和△A′B′C′满足 ， 即这六个条件，就能保证△ABC ≌△A′B′C′.2. 的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.PDNMC BA图12.1-8ACE BD图12.1-9问题思考1.六个条件满足一个条件时，分几种情况考虑？两三角形一定全等吗？（提示：可以用你的学具试一试，也可以用你的作图工具画一画，还可以用其它的方法）. 通过上面的操作，可以得出怎样的结论？2.六个条件满足两个条件时，分几种情况考虑？两三角形一定全等吗？（提示：可以用你的学具试一试，也可以用你的作图工具画一画，还可以用其它的方法）. 通过上面的操作，可以得出怎样的结论？3.六个条件满足三个条件时，分几种情况考虑？请一一罗列出来.4.已知△ABC ，如何画一个△A′B′C′，使AB =A′B′,BC =B′C′,CA =C′A′,你是怎样画的？可以参照第36页上面画法.并说明画法中第(2)步的意义.5.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？此结果反映了什么规律？6.仿照第36页例1的格式，解答下列问题： 如图12.2-2，在四边形ABCD 中,AB =CD ，AD =CB . 求证:∠A =∠C .CBDA 图12.2-2 C BA图12.2-17.已知∠AOB ,求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB .(保留作图痕迹) 想一想为什么这样作出∠A′O′B′和∠AOB 是相等的？当堂检测1.如图12.2-4，AC =BD ，若根据“SSS ”证得△ABC ≌ △BAD ，需要添加的条件是 .2.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图12.2-5，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 作射线OC ．由此做法得△MOC ≌△NOC 的依据是（ ） A. AAS B. SAS C. ASA D. SSS3.如图12.2-6,AD =AC ，BD =BC ，∠DAC =31°，∠D =29°，∠DBE = °.4.如图12.2-7，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，那么下面结论正确的有 （填序号）.① △ABD ≌ △ACD ；② ∠B ＝∠C ； ③ AD 是△ABC 的角平分线； ④ AD 是△ABC 的高.巩固拓展如图12.2-8，AD =CB ，E 、F 是AC 上两动点，且有DE =BF .（1）若E 、F 运动至如图①所示的位置，且有AF =CE ，求证：△ADE ≌△CBF .（2）若E 、F 运动至如图②所示的位置，仍有AF =CE ，那么△ADE ≌△CBF 还成立吗？为什么？BOA 图12.2-3图12.2-4CBDA图12.2-6CBEDA图12.2-7CBDA图12.2-5 DFCBAED FCBAE图12.2-812.2.2 全等三角形的判定第二课时素读检测已知:△ABC求作:△A＇B＇C＇，使A＇B＇=AB，A＇C＇=AC，∠A＇=∠A.AB C问题思考1.你画出的△ABC与△A＇B＇C＇满足六个条件中的哪几个条件?把画好的△A＇B＇C＇剪下,放到△ABC上,它们全等吗?你还有其他的检验方法吗?2.两边及其中一边的对角对应相等的两三角形一定全等吗？为什么?3.课本给出了测量池塘两端距离的一种方法,你能说说这种方法的道理吗?A BCE D当堂检测1.如图12.2-9，AD ⊥AB 于A ，BE ⊥AB 于B ，AD =BC ，AC =BE ，则∠DCE = °. 2.如图12.2-10，AB =AC ，要想利用SAS 证明△ABE ≌△ACD ，需要添加的一个条件 是 .3.如图12.2-11，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，E 是AD 上一点，写出图中所有的全等 三角形： .4.已知：如图12.2-12,AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =∠DAE . 求证：∠B =∠C .巩固拓展1.如图12.2-13，点E,F 在BC 上,BE =CF ,AB =DC ,∠B =∠C . 求证:∠A =∠D .AEDCB图12.2-9AEDCB图12.2-11图12.2-10D AB CE图12.2-9图12.2-10图12.2-11CAB FD图12.2-12ABCDE图12.2-122.已知,如图12.2-14, △ABC 中,AB =AC .求证: ∠B =∠C . 你能用几种方法证明出来? 试着写出来.12.2.3 全等三角形的判定第三课时素读检测已知:△ABC .画出△A ＇B ＇C ＇，使A ＇B ＇=AB ，∠A ＇=∠A ，∠B ＇=∠B .问题思考1.你画出的△ABC 与△A ＇B ＇C ＇满足六个条件中的哪三个条件?把画好的△A ＇B ＇C ＇剪下,放到△ABC 上,它们全等吗?你还有其他的验证方法吗?2.两角及其中一角的对边对应相等的两三角形一定全等吗？ASA 与AAS 有什么区别与联系？CBA图12.2-14图12.2-15ABC3.如图12.2-15,AD 是∠BAC 的平分线，∠1=∠2. 求证: BD =CD ．当堂检测1.如图12.2-16，∠A =∠D,BC =EF ,还需要添加一个条件 ，使△ABC ≌△DEF ,理由是 . _．2.如图12.2-17,AB ⊥BC ,AD ⊥DC ,∠1=∠2.求证:AB =AD3.如图12.2-18，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB =AC ，∠B =∠C .求证：BD =CE巩固拓展1.如图12.2-19, AB, CD, EF 交于O 点, 且AC =BD , AC ∥DB . 求证：O 是EF 的中点．图12.2-16图12.2-1912图12.2-17CBDA图12.2-17图12.2-18DBEA OC图12.2-182.如图11.2-20, AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC =DF ． 求证：AC =EF ．12.2.4三角形全等的判定第四课时素读检测1.三角形全等的判定方法有 、 、 、 四种. 它们的共同特点是需要 个条件，这些条件中至少有一个是 的条件.2.由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边和一锐角对应相等，可以根据 判定它们全等；满足两直角边对应相等可以根据 判定它们全等.3.直角三角形可以用符号 表示.图12.2-204.已知Rt △ABC .画Rt △A ＇B ＇C ＇，使∠C ＇=90°，B ＇C ＇=BC ，A ＇B ＇=AB .（保留画图痕迹） 画法：(1)画∠MC′N =90°； (2)在射线C′M 上取B′C′=BC ；(3)以B′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C′N 于点A′； (4)连结A′B′．问题思考1.观察所画△ABC 与△A ＇B ＇C ＇，它们全等吗?你是怎样验证的?2.由上可以得到的判定两个直角三角形全等的方法是什么？3.怎样利用HL 进行证明?你会用几何语言表示吗? 证明:∵ ∠C =∠ C′=90°，∴△ABC 和△A′B′C′都是直角三角形 在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中 AB = （已知）= B′C′（已知） ∴ △ABC ≌△A′B′C′（ ）4.你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？5.斜边、直角边判定与前面几个判定方法的不同之处是什么？6.阅读课本第14页例4.写出下面题目规范的证明过程.CBA如图12.2-21，AC ⊥BC ,BD ⊥CB ,AB =DC . 求证:∠ABD =∠ACD .当堂检测1.如图12.2-22，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BE=CD,则△BEC ≌△CBD 的理由是 .2.如图12.2-23，AC ⊥BD 于点O ，AO =CO ，添加一个条件使△ABO ≌△CDO ，你添加的条件是 .3.如图12.2-24，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于D ， 且△ABC 的周长是50cm ,△ABD 的周长是40cm ，则AD = .4.如图12.2-25，AB =CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E 、F 是垂足，DE =BF . 求证：（1）AE =CF . （2）AB ∥CD .巩固拓展1.如图12.2-26，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ,且BF =AC ,FD =CD . 求证:BE ⊥AC .FEDCBA图12.2-25图12.2-21A BCDDCBAOD CBAEDCBA图12.2-22 图12.2-23 图12.2-24图12.2-26F EDCBA图12.2-262.如图12.2-27,△ABC 中,AB =AC . (1)求证:∠B =∠C .(2)你用了几种方法证明?这些方法的基本思路是什么?(3)在证明的过程中你发现了等腰三角形有哪些性质?用简练的语言叙述出来.12.2.5三角形全等习题课问题思考1.如图12.2-28, 90=ACB 中，∠ABC 在△,AC =BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ． 求证：△BEC ≌△CDA ．图12.2-28图12.2-27CAB图12.2-272.如图12.2-29所示，在△ADF 和△BCE 中，B =A ∠ ，点D ，E ，F ，C 在同一条直线上，有如下三个关系式：①BC =AD ；②CF =DE ；③AF ∥BE ．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题．（用序号写 出命题书写形式，如如果①、②，那么③）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．3.如图12.2-30，已知AC=BC,EC=CD,BC ⊥AD 于C ，A 、C 、D 三点在同一直线上，连接BD ，AE ，并延长AE 交BD 于F ． （1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）请说出AE 与BD 的关系，并证明你的结论．巩固拓展1.如图12.2-31,已知在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,DE ⊥AC 于点F,交BC 于点G ,交AB 的延长线于点E ,且AE =AC . 求证:BG =FG .图12.2-29图图12.2-30 图12.2-31G FEB C DA图12.2-312.如图12.2-32,已知AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,点E在DC上.求证:AD+BC=AB.12.3.1角的平分线的性质第一课时素读检测1.从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的，叫做这个角的平分线.2.直线一点到这条直线的，叫做点到直线的距离.3.角的平分线性质： .4.证明一个几何命题的步骤：（1）明确命题中的和 .（2）根据题意，，并用表示和 . （3）经过分析，找出由推出要证的的途径，写出 .3.如图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是角的平分线．你能说明它的道理吗？图12.2-32E CAB D图12.2-32图12.3-1问题思考1.如图12.3-2用直尺和圆规作出∠AOB 的平分线OC .2.射线OC 为什么是∠AOB 的平分线？3.在OC 上任取一点P ，过点P 画出OA ，OB 的垂线，分别记垂足为D ，E ，测量PD ，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试.通过以上的测量，你发现了角的平分线的什么性质?4.用所学的知识证明你猜想的角的平分线的性质.梳理深化：1.角的平分线的画法的依据是 .2.角平分线的性质的应用：①证明两条 相等（比运用全等证明两条 相等更简捷）； ②为证明三角形全等准备条件. 3.运用时要注意： ①点要在角的平分线上;②点到角两边的距离是指这点到角两边的 的长度.③解决有关角的平分线的问题时常做的辅助线是过角平分线上的点做角两边的垂线段.当堂检测1.如图12.3-3，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于E ， DE =3cm ，BC =7cm ，则BD 的长为 .2.如图12.3-1，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于D ，S △ABC =90cm 2， AB =18cm ,BC =12cm ，则DE = .ED CBA图 12.3-3EDCBA图12.3-4 AOB 图12.3-23.如图12.3-5，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求证：BE＝CF。

第十二章 --全等三角形一、基本概念1.全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；（3）能够完全重合的三角形叫做全等三角形2.全等三角形的表示两个三角形全等用“≌”符号表示；例如：△ABC与△DEF全等，那么我们可以表示为：△ABC≌△DEF。

3.全等三角形的基本性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等4.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）例：在如图所示的三角形中，AB=AC,AD是△ABC的中线，求证△ABD≌△ACD.AB D C（2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）例：如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一点C不经过池塘可以直接到达点A和B。

连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A，B的距离。

为什么？（3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C。

求证AD=AE.AD EB C（4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E，BC=EF.求证△ABC≌△DEF（5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）例：如图，AC⊥BC，BD⊥AD,垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD.5.角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到角两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

二、灵活运用定理1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找相等的可能性。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）三、常见考法（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等（2）利用判定公理来证明两个三角形全等练习题1．（2015•莆田）如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．（2015•茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2015•贵阳）如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 4．（2015•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+25．（2015•启东市模拟）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．（2015•杭州模拟）用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如右，则说明∠CAD=∠DAB 的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 7．（2015•滕州市校级模拟）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC8．（2015•奉贤区二模）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．∠B=45°B．∠BAC=90°C．BD=AC D．AB=AC 9．（2015•西安模拟）如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（）A．4对B．3对C．2对D．1对10．（2015春•泰山区期末）如图，△A BC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．（2015春•沙坪坝区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为．12．（2015春•张家港市期末）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ABCDEC，连结AD，若∠1=20°，则∠B的度数是．13．（2015春•苏州校级期末）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD=30°，则∠A=°．14．（2015春•万州区期末）如图，已知△ABC≌△ADE，D是∠BAC的平分线上一点，且∠BAC=60°，则∠CAE=．15．（2015•黔东南州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD．请添加一个适当的条件，使△ABD≌△CDB．（只需写一个）16．（2014秋•曹县期末）如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是．17．（2015•盐亭县模拟）如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE 的度数是度．18．（2014秋•腾冲县校级期末）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=度．19．（2015•聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．20．如图，在△A BC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三．解答题（共7小题）21．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB 延长线上一点．（1）求∠EBG的度数．（2）求CE的长．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系请证明你的结论．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．24．如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．25．如图，为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到一点C，连接AC，在AC的延长线上找一点D，使得DC=AC，连接BC，在BC的延长线上找一点E，使得EC=BC，测出DE=60m，试问池塘的宽AB为多少请说明理由．练习题参考答案一．选择题（共10小题）1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 二．填空题（共10小题）11．4 12．70°13．30 14．30°15．AB=CD 16．AC=DE 17．60 18．90 19． 20．4三．解答题（共7小题）21．解：（1）∵△ABE≌△ACD，∴∠EBA=∠C=42°，∴∠EBG=180°﹣42°=138°；（2）∵△ABE≌△ACD，∴AC=AB=9，AE=AD=6，∴CE=AC﹣AE=9﹣6=3．22．证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACD，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD，∴∠B=∠EAC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵CE⊥AE，∴∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，∵AD⊥BC，AE∥BC，∴AD⊥AE，又∵CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形，∴AC=DE，∵AB=AC，∴AB=DE．∵AB=AC，∴BD=DC，∵四边形ADCE是矩形，∴AE∥CD，AE=DC，∴AE∥BD，AE=BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE且AB=DE．23．证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．24．证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=CE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+E B=AF+2EB．25．解：AB=60米．理由如下：∵在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE=60（米），则池塘的宽AB为60米．。

第十二章全等三角形12．1全等三角形1．了解全等形及全等三角形的概念．2．理解全等三角形的性质．重点探究全等三角形的性质．难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．一、情境导入一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？二、探究新知1．动手做(1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念．能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．观察观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．总结知识点：对应顶点、对应角、对应边．全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′.3．探究(1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？通过以上探索得出结论：全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等，对应角相等．(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状．把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B 和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．三、应用举例例1如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可．解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm，∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm，∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．四、巩固练习教材练习第1题．教材习题12.1第1题．补充题：1．全等三角形是()A．三个角对应相等的三角形B．周长相等的三角形C．面积相等的两个三角形D．能够完全重合的三角形2．下列说法正确的个数是()①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④全等三角形的面积相等．A．1B．2C．3D．43．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE 的度数与DE的长．补充题答案：1．D2．D3．∠DFE＝35°，DE＝8五、小结与作业1．全等形及全等三角形的概念．2．全等三角形的性质．作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题．本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力．12．2三角形全等的判定(4课时)第1课时“边边边”判定三角形全等1．掌握“边边边”条件的内容．2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．3．会作一个角等于已知角．重点“边边边”条件．难点探索三角形全等的条件．一、复习导入多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？(1)三角形的两个角分别是30°，50°.(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．出示探究2：先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出△A′B′C′，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等．强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的．明确：三角形的稳定性．三、举例分析例1如右图，△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证：△ABD≌△ACD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．教师引导学生作图．已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作一个角等于已知角的依据是“边边边”．四、巩固练习教材第37页练习第1，2题．学生板演．教师巡视，给出个别指导．五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等．布置作业：教材习题12.2第1，9题．本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全等．在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法．通过三角形稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础．第2课时“边角边”判定三角形全等1．掌握“边角边”条件的内容．2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．重点“边角边”条件的理解和应用．难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、复习引入1．什么是全等三角形？2．全等三角形有哪些性质？3．“SSS”具体内容是什么？二、新知探究已知△ABC ，画一个三角形△A′B′C′，使AB ＝A′B′∠B ＝∠B ′，BC ＝B′C′. 教师画一个三角形△ABC.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法．操作：(1)把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一起吗？(2)上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．三、举例分析多媒体出示教材例2.例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE. 证明：在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，∴△ABC ≌△DEC(SAS )． ∴AB ＝DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法．四、课堂练习如图，已知AB ＝AC ，点D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DB ＝EC.求证：∠B ＝∠C.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程． 五、小结与作业 1．师生小结：(1)“边角边”判定两个三角形全等的方法．(2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来解决．第3课时“角边角”和“角角边”判定三角形全等1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容．2．能初步应用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等．重点“角边角”条件及“角角边”条件．难点分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件．一、复习导入1．复习旧知：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．(2)到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么？2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等．二、探究新知1．[师]三角形中已知两角一边有几种可能？[生](1)两角和它们的夹边；(2)两角和其中一角的对边．做一做：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA”) [师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？[生]能．学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．[生](1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长；(2)画线段A′B′，使A′B′＝AB；(3)分别以A′，B ′为顶点，A ′B ′为一边作∠DA′B′，∠EB ′A ′，使∠DA′B′＝∠CAB ，∠EB ′A ′＝∠CBA ；(4)射线A′D 与B′E 交于一点，记为C′.即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC 重叠，发现两三角形全等． [师]于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等．(可以简写成“角边角”或“ASA ”) 这又是一个判定两个三角形全等的条件． 2．出示探究问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ， ∴∠A ＋∠B ＝∠D ＋∠E. ∴∠C ＝∠F.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )． 于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．(可以简写成“角角边”或“AAS ”) 例 如下图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C.求证：AD ＝AE.[师生共析]AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD ＝AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．学生写出证明过程．证明：在△ADC 和△AEB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠A ，AC ＝AB ，∠C ＝∠B ，∴△ADC ≌△AEB(ASA )． ∴AD ＝AE.[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等问题已全部结束．请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结．学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．三、随堂练习1．教材第41页练习第1，2题． 学生板演． 2．补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法： 1．全等三角形的定义 2．边边边(SSS ) 3．边角边(SAS ) 4．角边角(ASA ) 5．角角边(AAS )推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．五、课后作业教材习题12.2第5，6，11题．在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难，让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思想．第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”． 2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS )；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA 或AAS )． 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？ 二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°.再画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB.把画好的Rt △A ′B ′C ′剪下来，放到Rt △ABC 上，它们全等吗？画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C′＝90°，B ′C ′＝BC ，A ′B ′＝AB. 想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作： (1)作∠MC′N ＝90°；(2)在射线C′M 上截取线段B′C′＝BC ；(3)以B′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C′N 于点A′；(4)连接A′B′.△A ′B ′C ′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL ”． 多媒体出示教材例5如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证：BC ＝AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD.想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评．四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．2．直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．12．3角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．重点角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题．一、复习导入1．提问角的平分线的定义．2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？二、探究新知(一)角的平分线的画法教师出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．(二)角的平分线的性质试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；(4)再换一个新的位置看看情况怎样？归纳总结得到角的平分线的性质．分析讨论PD＝PE的理由．(三)角平分线的判定教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)写出已知、求证．(2)画出图形．(3)分析证明过程．巩固应用：解决教材第49页思考(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点1．例题：教材第50页例题．2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．练习：教材第50页练习．三、归纳总结引导学生小组合作交流：(1)本节课学到了哪些知识？(2)你有什么收获？四、布置作业教材习题12.3第1～4题．教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。

第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识清单：1.全等图形与全等三角形：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点；全等三角形中互相重合的边叫做对应边；全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定公理：⑴边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等.（简记为“边边边”或“SSS”）⑵边角边公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（简记为“边角边”或“SAS”）⑶角边角公理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角边角”或“ASA”）⑷角角边推论：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（简记为“角角边”或“AAS”）⑸斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（简记为“斜边、直角边”或“HL”）4.角平分线：把一个角平均分成两个等角的射线称为角的平分线.⑴角平分线的画法：a.以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，与角两边交于两个点；b.分别以两个交点为圆心，大于两交点连线段的1/2的相同长度为半径画弧，在角内交于一点；c.过角的顶点和b中的交点做射线.射线即为角的平分线.⑵角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点称为三角形的内心）5.证明的基本步骤：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.。

第一节全等三角形的性质与判定知识结构导图高频核心考点1.全等三角形的有关概念全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

注：平移、对称、旋转前后的图形全等。

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

相关概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2.表示方法：△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：书写全等三角形时要求对应顶点必须写在对应位置。

3.全等三角形的一般规律⑴全等三角形对应角所对的边是对应边，两组对应角所夹的边是对应边；⑵全等三角形对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角；⑶两个全等三角形中的一对最长边（最大角）是对应边（对应角），一对最短边（最小角）是对应边（对应角）；⑷两个全等三角形有公共边时，公共边是对应边；⑸两个全等三角形有公共角时，公共角是对应角；⑹两个全等三角形有对顶角时，对顶角是对应角。

4.全等三角形的性质特别提醒：1.由全等三角形的性质可得到全等三角形的面积和周长相等，但周长和面积相等的三角形不一定全等。

2.全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键是结合图形或根据全等三角形的记法灵活地找到对应边或对应角，要牢牢抓住“对应”二字。

5.全等三角形的判定(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形判定的书写格式:在△XXX和△XXX中_______________________________________∴△XXX≌△XXX（判定定理）在寻找证明两个三角形全等的条件时，应注意图形中的隐含条件：①公共边或公共角相等；②对顶角相等。