二项、泊松和正态分布计算公式

二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系二项分布、泊松分布和正态分布的区别及联系?被浏览8,9732 个回答猴子微信公众号：猴子聊人物之前你已经了解概率的基础知识（如果还不知道概率能干啥，在生活中有哪些应用的例子，可以看我之前的《投资赚钱与概率》）。

今天我们来聊聊几种特殊的概率分布。

这个知识目前来看，还没有人令我满意的答案，因为其他人多数是在举数学推导公式。

我这个人是最讨厌数学公式的，但是这并不妨碍我用统计概率思维做很多事情。

相比熟悉公式，我更想知道学的这个知识能用到什么地方。

可惜，还没有人讲清楚。

今天，就让我来当回雷锋吧。

首先，你想到的问题肯定是：1. 什么是概率分布？2. 概率分布能当饭吃吗？学了对我有啥用？好了，我们先看下：什么是概率分布？1. 什么是概率分布？要明白概率分布，你需要知道先两个东东：1）数据有哪些类型2）什么是分布数据类型（统计学里也叫随机变量）有两种。

第1种是离散数据。

离散数据根据名称很好理解，就是数据的取值是不连续的。

例如掷硬币就是一个典型的离散数据，因为抛硬币的就2种数值（也就是2种结果，要么是正面，要么是反面）。

你可以把离散数据想象成一块一块垫脚石，你可以从一个数值调到另一个数值，同时每个数值之间都有明确的间隔。

第2种是连续数据。

连续数据正好相反，它能取任意的数值。

例如时间就是一个典型的连续数据1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。

连续数据就像一条平滑的、连绵不断的道路，你可以沿着这条道路一直走下去。

什么是分布呢？数据在统计图中的形状，叫做它的分布。

其实我们生活中也会聊到各种分布。

比如下面不同季节男人的目光分布.。

各位老铁，来一波美女，看看你的目光停在哪个分布的地方。

美女也看了，现在该专注学习了吧。

现在，我们已经知道了两件事情：1）数据类型（也叫随机变量）有2种：离散数据类型（例如抛硬币的结果），连续数据类型（例如时间）2）分布：数据在统计图中的形状现在我们来看看什么是概率。

二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分
布
二项分布是离散概率分布的一种，适用于只有两种可能结果（成功和失败）的独立重复试验。

每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。

试验的次数为n。

二项分布表示了在n次独立重复试验中，成功次数为k的概率分布。

泊松分布：
泊松分布是在一段固定时间或空间中，随机事件发生的次数的概率分布。

它适用于事件发生率较低，但时间或空间较大的情况。

泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间中事件的平均发生率。

泊松分布的概率质量函数是离散的，表示了事件发生次数为k的概率。

均匀分布：
均匀分布是连续概率分布的一种，也称为矩形分布。

在一个定义在[a, b]区间上的随机变量的情况下，均匀分布概率密度函数使得[a, b]区间上每个区间的长度相等，且概率密度函数在该区间上是常数。

均匀分布的概率密度函数是恒定的，且在[a, b]区间外为零。

指数分布：
指数分布是连续概率分布的一种。

它适用于描述独立随机事件的等待时间，当事件发生的概率是恒定的。

指数分布的概率密度函数呈指数形式下降，并且在x 轴上永不为零。

指数分布的参数λ表示单位时间内事件发生的平均次数。

正态分布：
正态分布是连续概率分布的一种，也称为高斯分布。

它是最常见的概率分布之一，常被用于描述自然界中许多现象的分布情况，如身高、体重等。

正态分布的概率密度函数呈钟形曲线，均值和标准差是正态分布的参数。

正态分布具有许多重要的性质，如对称性、中心极限定理等。

即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2

13个期望计算公式期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值。

在现实生活中，我们经常需要计算某种随机变量的期望，以便更好地理解和预测各种现象。

本文将介绍13个常见的期望计算公式，帮助读者更好地理解和运用期望的概念。

1. 离散型随机变量的期望计算公式。

对于离散型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = Σx P(X=x)。

其中，x表示随机变量X可能取的值，P(X=x)表示X取值为x的概率。

2. 连续型随机变量的期望计算公式。

对于连续型随机变量X，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫x f(x) dx。

其中，f(x)表示X的概率密度函数。

3. 二项分布的期望计算公式。

对于二项分布B(n,p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n p。

其中，n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。

4. 泊松分布的期望计算公式。

对于泊松分布P(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = λ。

其中，λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。

5. 几何分布的期望计算公式。

对于几何分布G(p)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/p。

其中，p表示每次试验成功的概率。

6. 均匀分布的期望计算公式。

对于均匀分布U(a,b)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = (a+b)/2。

其中，a和b分别表示随机变量X的取值范围的下限和上限。

7. 指数分布的期望计算公式。

对于指数分布Exp(λ)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = 1/λ。

其中，λ表示事件发生的速率。

8. 正态分布的期望计算公式。

对于正态分布N(μ,σ²)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = μ。

其中，μ表示分布的均值。

9. 超几何分布的期望计算公式。

对于超几何分布H(N,M,n)，其期望可以通过以下公式计算：E(X) = n (M/N)。

其中，N表示总体容量，M表示总体中具有成功属性的个体数量，n表示抽取的样本容量。

• P(x=0)=0.510／(0!×1.6653)=0.6005
• P(x=1)=0.511／(1!×1.6653)=0.3063
• P(x=2)=0.512／(2!×1.6653)=0.0781
P(x=3)=0.513／(3!×1.6653)=0.0133
P(x=4)=0.514／(4!×1.6653)=0.0017
k=0Βιβλιοθήκη 项分布的性质Today: 2019/10/13
m
P(X ≤m) = Pn (k ≤m) =
C
k n
p
k
q
n
k
k=0
n
P(X ≥m) = Pn (k ≥m) = Ckn pkqn-k
k=m
P(m1 ≤X ≤m2 ) Pn (m1 ≤k ≤m2 )
m2
Cnk pk qn-k (m1 ≤m2 ) k m1
χ服从正态分布,记为χ～(µ,σ2).相应的概率分布函
数为
F(x) = 1
e x
－(x－μ) 2 2σ2
σ 2 π －∞
（二）特征 正态分布密度曲线是以χ =µ
为对称轴的单峰、对称的悬 钟形； f(x)在χ =µ处达到极大值,极 大值为 f（μ）= 1
σ 2π
f(x)是非负数，以x轴为渐进 线；
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率为 0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小得多。因 此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为B 疫苗也是有效的。
Today: 2019/10/13
（二）应用条件（三个）
n个观察单位的观察结果互相独立; 各观察单位只具有互相对立的一种结果，如
阳性或阴性，生存或死亡等，属于二项分类 资料。 已知发生某一结果(如死亡) 的概率为p，其对 立结果的概率则为1-P=q，实际中要求p 是 从大量观察中获得的比较稳定的数值。

统计学常用分布一、引言在统计学中，分布是描述数据变化规律和概率的重要工具。

不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。

本篇文章将介绍统计学中常用的几种分布，包括正态分布、二项分布与泊松分布、指数分布与对数正态分布、卡方分布与t分布等。

二、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，它在自然现象、工程技术和社会科学等领域都有广泛的应用。

正态分布的曲线呈钟形，数据值集中在均值附近，随着远离均值，概率逐渐减小。

正态分布在统计学中具有重要地位，许多统计方法和模型都以正态分布为基础。

三、二项分布与泊松分布1.二项分布：二项分布是用来描述伯努利试验中的随机事件的概率分布，其中每次试验只有两种可能的结果，并且每次试验都是独立的。

二项分布适用于计数数据，尤其在生物实验和可靠性工程等领域有广泛应用。

2.泊松分布：泊松分布是二项分布在伯努利试验次数趋于无穷时的极限形式，常用于描述单位时间内随机事件的次数。

泊松分布在概率论和统计学中具有重要地位，广泛应用于保险、通信和生物医学等领域。

四、指数分布与对数正态分布1.指数分布：指数分布描述的是随机事件之间的独立间隔时间或者随机变量的概率分布。

指数分布常用于描述寿命测试和等待时间等问题，例如电话呼叫的间隔时间和电子元件的寿命等。

2.对数正态分布：对数正态分布在统计学中用于描述那些其自然对数呈正态分布的随机变量。

许多生物学、经济学和社会科学中的数据都服从对数正态分布，例如人的身高、体重以及股票价格等。

五、卡方分布与t分布1.卡方分布：卡方分布在统计学中主要用于描述离散型概率分布。

卡方分布是通过对两个独立的随机变量进行平方和运算得到的，常用于拟合检验和置信区间的计算。

2.t分布：t分布在统计学中广泛应用于样本数据的参数估计和假设检验。

相比于正态分布，t分布在数据量较小或参数偏离正态性时具有更好的稳定性。

t分布在金融、生物医学和可靠性工程等领域有广泛应用。

六、结论在统计学中，不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。

二项分布与其他分布的关系二项分布与其他分布的关系摘要：二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率模型，在概率教学中占有重要地位。

本文从二项分布的定义入手，重点分析和阐述了二项分布和“0-1”分布、超几何分布、泊松分布、正态分布的近似关系及基于这些关系所带来的计算上的便利。

以期在教学中能使学生更全面深入的理解和认识二项分布。

关键词：二项分布“0-1”分布超几何分布泊松分布正态分布近似1.二项分布的定义设随机变量X示n重伯努利试验中事件A发生的次数，其概率函数为：p(x)=P(X=x)=Cxnpxqn-x x=0，1，…，n则称设随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记为X～B(n，p)，也称广义贝努里试验。

2.二项分布与其它分布的关系2.1二项分布与“0-1”分布间的关系进行一次试验，其结果要么“成功”，要么“失败”，记X=1成功0失败，即随机变量X表示一次试验中成功的次数，且p(x)=P(X=x)=pxq1-x(x=0，1)则称随机变量X～“0-1”分布，p为试验结果“成功”发生的概率。

该试验也称为贝努里试验。

X～“0-1”分布，其期望、平方的期望、方差及特征函数容易得到：E(X)=0×(1-p)+1×p=pE(X2)=02×(1-p)+12×p=pD(X)=E(X2)-E2(X)=p-p2=p(1-p)φ(t)=E(eitX)=eit?o×(1-p)+eit?1×p=1-p+peit将贝努里试验在相同条件下独立进行n次，并以随机变量Y表示n次试验中“成功”的次数，则Y～B(n，p)。

若以Xi表示第i次试验中成功的次数，则X1，X2…Xn，独立同“0-1”分布(i=1，2…n)且Y=∑ni=1Xi。

则二项分布的期望、方差及特征函数可由二项分布和“0-1”分布间的函数关系得到：E(Y)=E(∑ni=1Xi)=∑ni=1E(Xi)=npD(Y)=D(∑ni=1Xi)=∑ni=1D(Xi)=np(1-p)φY(t)=E(eitY)=E(eit∑ni=1Xi)=∏ni=1E(eitXk)=∏ni=1(1-p+peit)=(1-p+peit)n易见，在教学中利用二项分布和“0-1”分布的关系，使二项分布的上述特征数更容易计算和理解。

科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界1二项分布二项分布:在伯努利试验中,若事件A 发生的概率P (A )=p (0<p <1),随机变量X 表示n 重伯努利试验中事件A 发生的次数,事件A 正好发生k 次的概率为P (X =k )=C kn p k (1-p )n -k,(k =0,1,2,…,n )则称X 服从参数为n ,p 的二项分布,记为X ~B (n ,p )。

2二项分布的两种近似方法当n 很大时,二项分布的概率计算相当繁琐,我们通常用以下两个定理进行近似计算。

2.1泊松分布近似二项分布二项分布在一定的条件下用泊松分布来近似计算,依据如下。

定理1(泊松定理):在n 重伯努利试验中,若事件A 在每次试验中发生的概率p (0<p <1)记np =λ当n →∞时,np →λ,则lim n →∞C kn p k(1-p )n -k=λk e-λk !(k =0,1,2,…)这就是二项分布的泊松逼近,n 应尽可能地大,p 应尽可能地小,否则近似效果会不佳。

实际计算时,若X ~B (n ,p ),当n ≥10,p ≤0.1时均可用泊松分布近似计算概率,n ≥100,np ≤10时效果更佳。

2.2正态分布近似二项分布定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理):在n 重伯努利试验中,若事件A 在每次试验中发生的概率p (0<p <1),记X n 为n 次试验中事件A 出现的次数,则对任意x ,有lim n →∞PX n -npnp (1-p )√≤x ()=ʃx-∞12π√e -t 22dx =Φ(x )定理2是概率论历史上的第一个中心极限定理,专门针对二项分布,所以又称为“二项分布的正态近似”。

根据定理2,当n 充分大时,X n -npnp (1-p )√近似服从N (0,1),或等价地X n 近似服从N (np ,np (1-p )),于是可以近似地计算概率:P (Xn =k )=C kn p k(1-p )n -k≈1np (1-p )√Φk -np np (1-p )√[]P (X n ≤x )≈Φ(x-np np (1-p )√),P (a <X n ≤b )≈Φ(b -np np (1-p )√)-Φ(a-np np (1-p )√)对于概率P (a ≤X n ≤b ),P (a ≤X n <b ),P (a <X n <b )均可用上式近似计算,理由是n 很大时,P (X n =a ),P (X n =b )的值很小,可以忽略不计。

数学分布（泊松分布、⼆项分布、正态分布、均匀分布、指数分布）⽣存分析贝叶斯概率公式全概率公式（新）数学期望：随机变量最基本的数学特征之⼀。

它反映随机变量平均取值的⼤⼩。

⼜称期望或均值。

它是简单算术平均的⼀种推⼴。

例如某城市有10万个家庭，没有孩⼦的家庭有1000个，有⼀个孩⼦的家庭有9万个，有两个孩⼦的家庭有6000个，有3个孩⼦的家庭有3000个，则此城市中任⼀个家庭中孩⼦的数⽬是⼀个随机变量，记为X，它可取值0，1，2，3，其中取0的概率为0.01，取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03等于1.11，即此城市⼀个家庭平均有⼩孩1.11个，⽤数学式⼦表⽰为：E(X)=1.11。

也就是说，我们⽤数学的⽅法分析了这个概率性的问题，对于每⼀个家庭，最有可能它家的孩⼦为1.11个。

可以简单的理解为求⼀个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的⽅差是：1、⼀个完全符合分布的样本2、这个样本的⽅差概率密度的概念是：某种事物发⽣的概率占总概率(1)的⽐例,越⼤就说明密度越⼤。

⽐如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布，即平均分是80分，由正态分布的图形知x=80时的函数值最⼤，即随机变量在80附近取值最密集，也即考试成绩在80分左右的⼈最多。

下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x)，表⽰概率密度)：离散型分布：⼆项分布、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布抽样分布抽样分布只与⾃由度，即样本含量（抽样样本含量）有关⼆项分布（binomial distribution）：例⼦抛硬币1、重复试验（n个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定————伯努利试验）2、3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了⼀个分布，即⼆项分布泊松分布（possion distribution）：1、⼀个单位内（时间、⾯积、空间）某稀有事件2、此事件发⽣K次的概率3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ……….所有可能的概率共同组成了⼀个分布，即泊松分布⼆项分布与泊松分布的关系：⼆项分布在事件发⽣概率很⼩，重复次数n很⼤的情况下，其分布近似泊松分布均匀分布(uniform distribution)：分为连续型均匀分布和离散型均匀分布离散型均匀分布：1、n种可能的结果2、每个可能的概率相等(1/n)连续型均匀分布：1、可能的结果是连续的2、每个可能的概率相等()连续型均匀分布概率密度函数如下图：指数分布（exponential distribution）：⽤来表⽰独⽴随机事件发⽣的时间间隔，⽐如旅客进机场的时间间隔、中⽂维基百科新条⽬出现的时间间隔等等。

概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。

在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。

本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。

一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。

以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。

设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。

伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。

2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。

设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。

二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。

3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。

设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。

泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。

二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。

以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。

设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。

2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

7-1。
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分
18
布
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图7-1 二项分布示意图
第1章绪论7章 二项分布与泊松分
19
布
4.二项分布的数字特征
① 这里的数字特征主要指总体均数、方差、标 准差等参数。
② 随机变量X的数学期望 E（X）＝μ。
二项分布与泊松分布详解演示文稿
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布
1
（优选）二项分布与泊松分布
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布
2
程琮教授简介
医学统计学教授，硕士生导师。男，1959年6月出生。汉族，无党派。1982 年12月，山东医学院公共卫生专业五年本科毕业，获医学学士学位。1994年7月，上 海医科大学公共卫生学院研究生毕业，获医学硕士学位。2003年12月晋升教授。现任预防 医学教研室副主任。主要从事《医学统计学》、《预防医学》，《医学人口统计学》等 课程的教学及科研工作，每年听课学生600-1000人。自2000年起连续10年，为硕士 研究生开设《医学统计学》、《SPSS统计分析教程》、《卫生经济学》等课程，同 时指导研究生的科研设计、开题报告及科研资料的统计处理与分析。发表医学统 计学及预防医学的科研论文50多篇。代表作有“锌对乳癌细胞生长、增殖与基因表达的 影响”，，“行列相关的测度” 等。主编、副主编各类教材及专著10部，代表作有 《医学统计学》、《SPSS统计分析教程》。获得院级科研论文及科技进步奖8项，院
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布

泊松分布与正态分布的关系泊松分布与正态分布是两种常见的概率分布模型，它们在统计学和概率论等领域中具有重要的应用。

本文将从泊松分布的定义入手，逐步介绍泊松分布与正态分布之间的关系。

首先，我们先了解一下泊松分布的定义和特征。

泊松分布是用来描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布模型。

它的概率质量函数为：P(X=k) = (e^-λ* λ^k) / k!其中，X表示单位时间内随机事件发生的次数，λ是单位时间内平均发生次数。

泊松分布的特点是：1) 事件发生的概率与发生时间无关，即独立性；2) 在单位时间上发生的平均次数是固定的。

而正态分布是一种连续型的概率分布模型，也称为高斯分布。

正态分布曲线呈钟形，左右对称。

其概率密度函数为：f(x) = (1 / (√(2π) * σ)) * e^(-(x-μ)^2 / (2*σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。

正态分布的特点是：1) 符合均值-方差的假设，即均值决定分布的位置，标准差决定分布的形状；2) 中心极限定理成立，即多个独立随机变量的总和趋近于正态分布。

那么，泊松分布和正态分布之间有何关系呢？首先，我们可以从泊松分布的极限情况入手。

当λ足够大时，泊松分布可以近似为正态分布。

这是因为泊松分布的期望和方差均为λ，而正态分布的均值和方差可以根据泊松分布的均值和方差进行标准化得到。

具体而言，当λ足够大时，可以用正态分布的均值μ来近似泊松分布的均值λ，用正态分布的标准差σ来近似泊松分布的方差λ。

这种情况下，泊松分布可近似表示为：P(X=k) ≈(1 / (√(2π) * λ)) * e^(-(k-λ)^2 / (2*λ))此时，泊松分布的形状逐渐趋于正态分布的钟形曲线，而不再呈现尖峰状。

其次，我们可以从中心极限定理的角度来理解泊松分布和正态分布的关系。

根据中心极限定理，大量独立随机变量的和会趋近于正态分布。

对于独立的泊松分布随机变量，它们的总和也会逐渐趋向于正态分布。

数学期望：随机变量最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

又称期望或均值。

它是简单算术平均的一种推广。

例如某城市有10 万个家庭，没有孩子的家庭有1000 个，有一个孩子的家庭有9 万个，有两个孩子的家庭有6000 个，有 3 个孩子的家庭有3000 个，则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X ，它可取值0，1，2，3，其中取0 的概率为0.01，取 1 的概率为0.9，取 2 的概率为0.06，取 3 的概率为0.03，它的数学期望为0×0.01＋1×0.9＋2×0.06＋3×0.03 等于 1.11，即此城市一个家庭平均有小孩 1.11 个，用数学式子表示为：E(X)=1.11。

也就是说，我们用数学的方法分析了这个概率性的问题，对于每一个家庭，最有可能它家的孩子为 1.11 个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差是：1、一个完全符合分布的样本2、这个样本的方差概率密度的概念是：某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。

比如某地某次考试的成绩近似服从均值为 80 的正态分布，即平均分是80 分，由正态分布的图形知 x=80 时的函数值最大，即随机变量在 80 附近取值最密集，也即考试成绩在 80 分左右的人最多。

下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x) ，表示概率密度)：离散型分布：二项分布、泊松分布连续型分布：指数分布、正态分布、X2分布、t 分布、F 分布抽样分布抽样分布只与自由度，即样本含量（抽样样本含量）有关二项分布（binomial distribution）：例子抛硬币1、重复试验（n 个相同试验，每次试验两种结果，每种结果概率恒定伯努利试验）2、3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ⋯⋯⋯.所有可能的概率共同组成了一个分布，即二项分布泊松分布( possion distribution)：1、一个单位内(时间、面积、空间)某稀有事件2、此事件发生K 次的概率3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), .所有可能的概率共同组成了一个分布，即泊松分布λ =30.2P(X)().10.() ∣∣∙∣m/11 川IH ∣!h0 4 8 0 4 8 12二项分布与泊松分布的关系：二项分布在事件发生概率很小，重复次数n很大的情况下，其分布近似泊松分布均匀分布(uniform distribution)：分为连续型均匀分布和离散型均匀分布离散型均匀分布：1、n 种可能的结果2、每个可能的概率相等(1/n)连续型均匀分布：1、可能的结果是连续的2、每个可能的概率相等( ) 连续型均匀分布概率密度函数如下图：指数分布( exponential distribution)：用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、百科新条中文维基目出现的时间间隔等等。

逻辑分布函数逻辑分布函数是概率论中的一个重要概念，其主要用途是描述随机变量的分布情况。

在统计学中，常用的逻辑分布包括二项分布、泊松分布、正态分布等。

逻辑分布函数通常表示为F(x)，其中x为随机变量的取值。

本文将深入探讨逻辑分布函数的概念及其用途。

一、二项分布二项分布是一种离散型随机变量分布，通常用于描述二元事件中某一种结果出现的概率。

抛硬币时正面朝上的概率为p，那么n次抛硬币中正面朝上k次的概率就可以通过二项分布来计算。

二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = (n C k) * p^k * (1-p)^(n-k)n表示试验次数，p表示每次实验中事件发生的概率，k表示事件发生的次数，P(X=k)表示k次事件发生的概率，(n C k)表示从n次实验中选取k次事件发生的组合数。

泊松分布是一种描述稀有事件概率分布的概率模型，可以用于描述单位时间内发生次数的概率。

某个厂商每天收到的客户投诉数量，可以用泊松分布来描述。

三、正态分布正态分布是一种连续型随机变量分布，通常用于描述自然界中的现象，如身高、体重、心理得分等。

正态分布在统计学中具有非常重要的地位，因为它可以通过中心极限定理将许多随机变量的分布近似为正态分布。

f(x) = [1 / (σ * sqrt(2π))] * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))μ表示分布的期望值，σ表示分布的标准差，x表示随机变量的取值，f(x)表示在x处的概率密度函数值。

结语逻辑分布函数是概率论中的基本概念，通过对不同分布的分析可以更好地理解随机变量的概率分布情况。

本文介绍了二项分布、泊松分布和正态分布的概率密度函数，读者可根据需要选择合适的模型进行应用。

除了上述介绍的逻辑分布函数，还有许多其他分布函数被广泛应用于不同领域的概率分析中。

在财务领域，常用的是对数正态分布；在生物统计中，常用的是指数分布和Weibull分布；在信号处理中，常用的是卡方分布和F分布。

数学期望:随机变量最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

又称期望或均值。

它就是简单算术平均的一种推广。

例如某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1000个,有一个孩子的家庭有9万个,有两个孩子的家庭有6000个,有3个孩子的家庭有3000个, 则此城市中任一个家庭中孩子的数目就是一个随机变量,记为X,它可取值0,1,2,3,其中取0的概率为0、01,取1的概率为0、9,取2的概率为0、06,取3的概率为0、03,它的数学期望为0×0、01＋1×0、9＋2×0、06＋3×0、03等于1、11,即此城市一个家庭平均有小孩1、11个,用数学式子表示为:E(X)=1、11。

也就就是说,我们用数学的方法分析了这个概率性的问题,对于每一个家庭,最有可能它家的孩子为1、11个。

可以简单的理解为求一个概率性事件的平均状况。

各种数学分布的方差就是:1、一个完全符合分布的样本2、这个样本的方差概率密度的概念就是:某种事物发生的概率占总概率(1)的比例,越大就说明密度越大。

比如某地某次考试的成绩近似服从均值为80的正态分布,即平均分就是80分,由正态分布的图形知x=80时的函数值最大,即随机变量在80附近取值最密集,也即考试成绩在80分左右的人最多。

下图为概率密度函数图(F(x)应为f(x),表示概率密度):离散型分布:二项分布、泊松分布连续型分布:指数分布、正态分布、X2分布、t分布、F分布抽样分布抽样分布只与自由度,即样本含量(抽样样本含量)有关二项分布(binomial distribution):例子抛硬币1、重复试验(n个相同试验,每次试验两种结果,每种结果概率恒定————伯努利试验)2、3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ………、所有可能的概率共同组成了一个分布,即二项分布泊松分布(possion distribution):1、一个单位内(时间、面积、空间)某稀有事件2、此事件发生K次的概率3、P(X=0), P(X=1), P(X=3), ………、所有可能的概率共同组成了一个分布,即泊松分布二项分布与泊松分布的关系:二项分布在事件发生概率很小,重复次数n很大的情况下,其分布近似泊松分布均匀分布(uniform distribution):分为连续型均匀分布与离散型均匀分布离散型均匀分布:1、n种可能的结果2、每个可能的概率相等(1/n)连续型均匀分布:1、可能的结果就是连续的2、每个可能的概率相等()连续型均匀分布概率密度函数如下图:指数分布(exponential distribution):用来表示独立随机事件发生的时间间隔,比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

二项分布与泊松分布参数的区间估计二项分布和泊松分布是概率论中常用的两种离散型概率分布。

本文将探讨二项分布和泊松分布的参数的区间估计方法，并比较两者的异同。

一、二项分布的参数区间估计二项分布是指在n次独立重复的伯努利试验中，事件A发生的次数的概率分布。

其概率质量函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中，C(n,k)表示组合数，k表示事件A发生的次数，p表示事件A单次发生的概率。

二项分布参数p的区间估计主要有两种方法：正态近似法和Wald区间法。

下面将分别进行介绍：(1)正态近似法当n足够大且p不接近0或1时，二项分布可以使用正态分布来近似。

根据中心极限定理，二项分布的均值和方差分别为μ=np，σ^2=np(1-p)。

因此，可以利用正态分布的性质进行参数p的区间估计。

具体步骤如下：a.计算样本比例p̂=X/n，其中X为事件A发生的次数，n为总试验次数；b.计算标准误SE=√(p̂(1-p̂)/n)；c.根据正态分布的性质，可以得到置信水平为1-α的区间估计为：(p̂-Z_(α/2)SE,p̂+Z_(α/2)SE)。

其中，Z_(α/2)表示标准正态分布的上分位点。

(2) Wald区间法Wald区间法是二项分布参数p的另一种区间估计方法。

根据Wald区间法，可以得到p的区间估计为：(p̂-Z_(α/2)SE,p̂+Z_(α/2)SE)。

Wald区间法的计算方法与正态近似法相同，但Wald区间法对样本量要求较高，需要n>5/p和n>5/(1-p)。

二、泊松分布的参数区间估计泊松分布是指在一段时间或空间中，事件发生的平均次数的概率分布。

其概率质量函数为：P(X=k)=(e^-λ*λ^k)/(k!)，其中，λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。

泊松分布参数λ的区间估计通常使用极大似然估计法。

根据极大似然估计法，可以得到参数λ的估计值为样本平均值。

进一步，可以使用正态分布的性质进行参数λ的区间估计，具体步骤如下：a.计算样本平均值̂λ；b.计算标准误SE=√(̂λ/n)；c.根据正态分布的性质，可以得到置信水平为1-α的区间估计为：(̂λ-Z_(α/2)SE,̂λ+Z_(α/2)SE)。

例 7-5
抽 居 民 300 人 的 粪 便 ， 检 出 蛔 虫 阳 性 60 人 ， 求
60 S
p
300
240 300

300
=0.0231=2.31%
第三节 二项分布的应用
一、总体率的区间估计
二、样本率与总体率的比较
三、两样本率的比较
（一）总体率区间估计（参见p42）
1. 查表法 对于n 50的小样本资料，根据n与X，直接查附表7。 2. 正态分布法
四、二项分布的概率计算
例 7-2 如 果 例 7-1 中 的 =0.4， 则 3 只白鼠中死亡白鼠数 X 服从以 n=3、 =0.4 的 二 项 分 布 ， 即 X～ B(3,0.4)， P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
3 0
X 各取值的概率：
3 0
( 0 ) 0 . 4 (1 0 . 4 )
3 3 0 3 3 1 2 3 2 1 3 3
0
k 0 k (1 )
3 3 k
3 k
若一个随机变量
k
X
的可能取值是
= 0,1,„ , n ， 且 相 应 的 取 值 的 概 率 为 ： P(
X
= )=
k
( ) (1 )
n k k
nk
则 称 此 随 机 变 量 X 服 从 以 n、 为 参 数 的 二 项 分 布 ， 记 为 X～ B( n , )。
( a b) 0 a b 1 a b n 1 a b n a b
n n 1 1 n n 0
2 a b
n
2 n 2
...
k 0 k a b