固体力学复习题

固 体 力 学 复 习 题1、 概念1）弹性与塑性弹性：物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的这一性质。

塑性：物体在引起形变的外力被除去以后有部分变形不能恢复残留下来的这一性质。

2）应力和应力状态应力：受力物体某一截面上一点处的内力集度。

应力状态：某点处的9个应力分量组成的新的二阶张量∑。

3）球张量和偏量球张量：球形应力张量，即σ=000000m m m σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()13m x y z σσσσ=++偏量：偏斜应力张量，即x m xy xz ij yxy m yz zx zy z m S σστττσστττσσ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，其中()13m x y z σσσσ=++4）转动张量：表示刚体位移部分，即110221102211022u v u w y x z x v u v w ij x y z y w u w v x z y z W ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥=-- ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎢⎥-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦5）应变张量：表示纯变形部分，即112211221122u u v u w x y x z x v u v v w ij x y yz y w u w v wx z y z zε⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥=++ ⎪⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦6）应变协调条件：物体变形后必须仍保持其整体性和连续性，因此各应变分量之间，必须要有一定得关系，即应变协调条件。

22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂。

7）圣维南原理：如作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，为作用在同一局部面积上的另一静力等效力所代替，则荷载的这种重新分布，只造离荷载作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著变化，在离荷载较远处只有极小的影响。

8）屈服函数：在一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是改点6个独立的应力分量的函数，即为()0ijfσ=，()ijf σ即为屈服函数。

9）不可压缩：对金属材料而言，在塑性状态，物体体积变形为零。

10）稳定性假设：即德鲁克公社，包括：1.在加载过程中，应力增量所做的功D dW 恒为正；2.在加载与卸载的整个循环中，应力增量所完成的净功D dW 恒为非负。

11）弹塑性力学的基本方程：包括平衡方程、几何方程和本构方程。

12）边界条件：边界条件可能有三种情况：1.在边界上给定面力称为应力边界条件；2.在边界上给定位移称为位移边界条件；3. 在边界上部分给定面力，部分给定位移称为混合边界条件。

13）滑移线：最大剪力线。

14）极限荷载：荷载逐渐按比例增加时，结构在多处形成塑性铰后，当结构变为机构时，结构丧失承载能力，此时相应的荷载称为极限荷载。

2、已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0yσ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ=试求法线方向余弦为112n =，122n =，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和剪应力n τ。

提示：应力矢量T 的三个分量为11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =-总应力111.8T a 。

正应力26.04n i i T n a σ==。

剪应力108.7n a τ。

3、某点的应力张量为01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。

提示：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ=即2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-=上式有两个解：20n =或1yσ=。

若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得1n =30n =，这是不可能的。

所以必有1yσ=。

将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =，可求得=n 4、己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。

提示：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103σy =10×103τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯ 则显然：3312317.08310 4.917100PaPa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）5、证明下列等式：（1）：J 2=I 2+2113I ； （3）：()212i i k k i k i k I σσσσ=--；证明（1）：等式的右端为：()()22211223311231133I I σσσσσσσσσ+=-+++++()()22212312233112233112223σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++ ()()()222123122331122331246666σσσσσσσσσσσσσσσ=+++++-++22212312233126σσσσσσσσσ⎡⎤=++---⎣⎦ 22222211222233331112226σσσσσσσσσσσσ⎡⎤=-++-++-+⎣⎦()()()222122331216J σσσσσσ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦故左端=右端 证明（3）：()212i i k k i k i k I σσσσ=--右端=()12ii kk ik ik σσσσ- ()()()222222122x y z xy yz zx x y z x y z σσστττσσσσσσ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦ ()()2222222221222x y z xy yz zx x y z x y y z z x σσστττσσσσσσσσσ⎡⎤=+++++----++⎣⎦ ()2222x y y z z x xy yz zx I σσσσσστττ=-++---=6、设己知下列位移，试求指定点的应变状态。

（1）：()()22232010410u x v yx --⎧=+⨯⎪⎨=⨯⎪⎩ 在（0，2）点处；（2）：()()()22222615103210810u x w z xy v zy ---⎧=+⨯⎪⎪=-⨯⎨⎪=⨯⎪⎩在（1，3，4）点处解（1）：2610x ux xε-∂==⋅∂2410y vx yε-∂==⋅∂ 20410xy u v y y x γ-∂∂=+=+⋅∂∂ 在（0，2）点处，该点的应变分量为: 0x y εε==；2810xy γ-=⨯；写成张量形式则为：204040010000ij ε-⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦；解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1，3，4）代入应变分量函数式。

求出设点的应变状态。

2212101210x ux xε--∂===⨯∂； 228103210y v z y ε--∂===⨯∂ 226102410z wz zε--∂===⨯∂； 0xy u v y x γ∂∂=+=∂∂ ()()2228210242102210yz v wy x z yγ---∂∂=+=+-=-⨯=⨯⎡⎤⎣⎦∂∂ ()222010610zx w u y x zγ--∂∂=+=-+=-⨯∂∂； 用张量形式表示则为：21203032111031124ij ε--⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7、试说明下列应变状态是否可能（式中a 、b 、c 均为常数）(1):()22200000ij c x y cxy cxy cy ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2): ()()()()222222222210210211022ij axy ax by ax y az by ax by az by ε⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦(3): ()22200000ij c x y z cxyz cxyz cy z ε⎡⎤+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解（1）：由应变张量εij 知：εxz =εyz =εzx =εzy=εz =0 而εx 、εy 、εxy及εyx又都是x 、y 坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。

将εx 、εy 、εxy代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：22222y xyx y x x yεγε∂∂∂+=∂∂∂∂ 也即：2c +0=2c 知满足。

所以说，该应变状态是可能的。

解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：222222222222222222222y xyx y yzz x zxz xy yz zx x xy yz y zx yz xy zx z y x x yz y y z x z z x x y z x y z y z x y z x z x y z x y εγεεγεεγεγγγεγγεγγγγε⎫∂∂∂+=⎪∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪+=∂∂∂∂⎪⎪∂∂∂+=∂∂∂∂⎬∂∂⎛⎫∂∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫∂∂∂+-= ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭………………………………（1） 得：220000000002000ax ay b +=⎫⎪+=⎪⎪+=⎬=⎪⎪≠⎪=⎭不满足，因此该应变状态是不可能的。

解（3）：将己知应变分量代入上（1）式得：202000002220cz cz cy cy cx +=⎫⎪+≠⎪⎪=⎬⎪=⎪≠⎪⎭不满足，因此该点的应变状态是不可能的。

8、如图所示，三角形水坝，已求得应力分量为 x ax by σ=+，y cx dy σ=+，0z σ=，0yzxz ττ==，xy dx ay x τγ=---γ和1γ分别是坝身和水的比重。