医用高等数学课件：5 不定积分 练习题

第四章测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、函数2x 为 的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰= 4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()x xd e ⎰= 二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ](A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x +2、已知 ()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C +(C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++3、若函数ln x x为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A) 1ln x C x -+ (B) 1ln x C x++ (C) 12ln x C x -+ (D) 12ln x C x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数 ()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A) 1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题1、（7分）计算 22(1)dxx x +⎰.2、（7分）计算 1x dxe +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰.4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算 23x x e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.第四章测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分d =⎰ .2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ . 3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰. 二、选择题（25分）1、若2(),f x dx x C =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+(C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2ln 22x x C ++ (B) 2ln 21x + (C) 22ln 2x (D) 22ln 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） ln(1)x C -+（C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰（C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰ 5、若x e 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩ 三、计算题（48分）1、（7分）求积分2arccos x. 2、（7分）求⎰. 3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x++⎰. 6、（06，数二，11分）求arcsin x x e dx e ⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰第四章测试题A 卷答案一、填空题1、2ln 2x 2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+ 5、cos (cos 1)x e x C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B三、解答题1、1arctan x C x --+2、ln(1)x x e C -++3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++ 5、C 6、2221()2x x x e e C -+ 7、21()ln(1)2f x x x C =---+ 8、22(sin cos )ax e b bx a bx C a b +++第四章测试题B 卷答案一、填空题1、sin C2、2()2F x C + 3、x e C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C +3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++ 6、解: arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin xx x x x x e de e e e ---=-=-+⎰⎰arcsin xx x e e --=-+arcsin xx x e e --=-- sec x t e -=令sec tan arcsin tan x x t tdt e e t -=--⎰arcsin sec x x e e tdt -=--⎰ arcsin ln sec tan x x e e t t C -=--++arcsin ln x x x e e e C --=--+ 四、2ln sin sin x dx x ⎰cot lnsin cot x x x x C =-⋅--+.。

高等数学第四章不定积分测试题（附答案）一. 选择题（每小题3分，共30分）1. 2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中（ ）是()f x 的原函数。

A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x +2. 如果ln xx 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰=（ ） A 1ln xC x -+ B 1ln x C x ++ C 12ln x C x -+D 12ln xC x ++3. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x =（）A 1B -1C 0D x4. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（ ）A 1x B 21x - C ln x D ln x x5. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）A 1+x sin ；B x sin 1-；C 1+x cos ；D x cos 1-．6. 设F )(x 是)(x f 的一个原函数，则下列各式正确的是（其中常数0>a ）（ ）A ．⎰+=c ax F a dx ax f x )(ln 1)(ln 1B ．⎰+=c ax aF dx ax f x )(ln )(ln 1C ．⎰+=c ax F x dx ax f x )(ln 1)(ln 1D ．⎰+=c ax F dx ax f x )(ln )(ln 17.()xf x dx ''=⎰ ( )A.()()xf x f x dx '-⎰B. ()()xf x f x C ''-+C.()()xf x f x C '-+D. ()()f x xf x C '-+8.下列式子中正确的是（ ）A ．()()x F x dF =⎰B ．()()C x F x dF d +=⎰C ．()()dx x f dx x f dx d=⎰ D ．()()dx x f dx x f d =⎰9.若()()x G x F '='，k 为任意常数，则（ ）A ．()()k x F x G =+B ．()()k x F x G =-C ．()()0=-x F x GD ．()()()()'='⎰⎰dx x G dx x F10.若()x f '为连续函数，则()⎰='dx x f 2( )A ．()C x f +2B ．()C x f + C ．()C x f +221 D ．()C x f +22 二. 填空题（每小题4分，共20分）11．ln ()x df x dx x=，则()_______f x =． 12．2[()]2()cos d f x f x xdx =，且(0)1f =，则()______f x =____． 13. 2()____________1()f x dx f x '=+⎰． 14. =⎰dx x x x ___________________． 15. d dx x =⎪⎭⎫⎝⎛+211___________________．三. 计算题16．（5分） 22(1)dxx x +⎰．17．（5分） 1x dx e +⎰．18．（5分） 321x dx x +⎰．19．（5分）dx x x ⎰arctan ．20．（5分）．21．（5分） 23x x e dx ⎰．22．（10分） cos ax I e bxdx =⎰． 23．（10分）若ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ⎰．高等数学第四章不定积分测试题答案一. 选择题 1—5 DCABB 6—10 DCDBC二. 填空题11． 2ln 1()ln 2x f x dx x C x ==+⎰. 12． ()sin 1f x x =+ 13. 22()()arctan ()1()1()f x df x dx f x C f x f x '==+++⎰⎰. 14. C x +815158. 15. C x x +-1. 二. 计算题16．（5分）计算 22(1)dx x x +⎰.【解析】原式=22111()arctan 1dx x C x x x-=--++⎰. 17．（5分）计算 1x dx e +⎰. 【解析】原式=(1)ln(1)1xx x e dx x e C e-=-+++⎰. 18．（5分）计算 321x dx x +⎰. 【解析】原式=22211()ln(1)122x x dx x x C x -=-+++⎰. 19．（5分）计算dx x x ⎰arctan .【解析】原式=dx x x x dx x x x x dx x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22222211121arctan 211arctan 21arctan 21 ()C x x x x +-+=arctan arctan 212. 20．（5分）计算.【解析】设t =原式=5253261166(arctan )1t t dt dt t t C C t t t +-==-+=++⎰⎰. 21．（5分）计算23x x e dx ⎰. 【解析】原式=22222222111()()222x x x x x e dx x d e x e e C ==-+⎰⎰. 22．（10分）计算 cos ax I e bxdx =⎰. 【解析】 222221cos sin 1(sin sin )1sin cos 1sin (cos cos )1sin cos ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax I e bxdx e d bx b e bx a e bxdx ba e bx e d bxb b a e bx e bx a e bxdx b ba a e bx e bx Ib b b===-=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(sin cos )axe I b bx a bx C a b=+++ 23．（10分）设ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ⎰. 【解析】由ln(1)(ln )x f x x +=得ln(1)()x x e f x e+=， 所以ln(1)()ln(1)x x x x e f x dx dx e de e-+==-+⎰⎰⎰ ln(1)1x x x e dx e e +=-++⎰ln(1)1x x x x e e dx e e --+=-++⎰ ln(1)(1)1x x x x e d e e e --++=--+⎰ ln(1)ln(1)x x x e e C e-+=--++ ln(1)ln(1)x x x e e x C e+=--+++．。

第五章不定积分班级专业：姓名：学号：第一节不定积分的概念第二节不定积分的性质第三节基本积分公式一、判断1.一个已知函数的原函数有无穷多个.（）2.如果()F x ，()G x 都是()f x 的原函数，则()()F x G x C -=.（）3.()()d f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（）4.()()d f x dx f x dx =⎰（）5.()()F x dx F x C '=+⎰（）6.()()d F x F x C =+⎰（）二、选择1.若()22x f x dx x e C =+⎰，则()f x =()22xA xe ()24xB xe ()222xC x e ()22(1)x D xe x +2.已知2y x '=，且1x =时2y =，则y =()2A x ()2B xC +()21C x +()22D x +3.sin darc =⎰()arcsin A ()arcsin B C ()C ()D C+4.若2ln cos 23x 是()tan f x k x =的一个原函数，则k =()23A ()23B -()43C ()43D -5.设()f x 的导数为sin x ，则下列选项中是()f x 的原函数的是()1sin A x +()1sin B x -()1cos C x+()1cos D x-6.下列函数中有一个不是()1f x x=的原函数，它是()()ln ||A F x x =()()ln ||B F x Cx =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||C F x C x =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||D F x x C=+(C 是不为零的常数)7.设()f x '存在，则()df x '=⎡⎤⎣⎦()()A f x ()()B f x '()()C f x C +()()D f x C'+三、求不定积分1.421x dx x +⎰2.221x dxx +⎰3.211t t e dte --⎰第四节换元积分法（第一换元积分法）1.21x dx x +⎰ 2.2(ln )x dx x⎰3.12xe dx x⎰4.⎰5.⎰6.2⎰7.2213x dx x x --+⎰8.ln dt t t⎰9.1xxe dx e +⎰10.211x dxx -+⎰11.sin3xdx⎰12.2cos 3xdx⎰13.2sin 3xdx⎰14.sin cos xe xdx⎰15.cos x xe e dx ⎰16.3sin xdx⎰17.dx⎰18.2ln x x dxx+⎰19.22(arctan )1x dx x+⎰20.xdx⎰第二换元积分法1.⎰2.⎰3.4.dx⎰5.⎰第五节分部积分法1.x xe dx ⎰ 2.sin x xdx⎰3.arctan xdx⎰ 4.2ln(1)x dx +⎰5.cos x xdx⎰ 6.arctan x xdx⎰第六节综合杂例22156x dxx x --+⎰。

（整理）不定积分习题库.第五章不定积分复习资料练习题学生学习档案要求：仔细，认真！一选择题:1. 若22()x f x dx x e c =+?,则()f x =( ).(a) 22x xe , (b) 222x x e , (c) 2xxe , (d) 22(1)xxe x +.2. 如果()F x 是()f x 的一个原函数,c 为不等于0且不等于1的其他任意常数,那么( )也必是()f x 的原函数。

(a) ()cF x , (b) ()F cx , (c) x F c ??, (d) ()c F x +. 3. 下列哪一个不是sin 2x 的原函数( ).(a) c x +-2cos 21, (b) c x +2sin , (c) c x +-2cos , (d) c x +2sin 21.4.2xxe dx -=?( ).(a) xe c -+, (b)212x e c -+, (c)212x e c --+, (d)2x e c --+. 5．设()2f x x =，则()f x 的一个原函数是（） (a) 3x , (b) 21x -, (c) 212x c +, (d) 2x c +. 6．设()xf x e '=，则()f x 为（） (a) 12xe , (b) 2x e , (c) x e c +, (d) 21x e -. 7.cos xdx =?( )(a) cos x , (b) sin x , (c) sin x c +, (d) cos x c +. 8.2x e dx ?=( )(a) 2xe c +, (b)212x e c +, (c) 2x e , (d) 212x e .9.12dx x =?( )(a) ln |2|x c +, (b) 1ln |2|2x c +, (c) 1ln |2|2x , (d) ln |2|x .10. 设2()x f x dx e c =+?，则 ()f x =（）(a) 22xe , (b) 2xe , (c) 212xe , (d) 2x e c +. 11.3x dx =?( )(a) 3x c +, (b) 44x , (c) 414x c +, (d) 313x . 12.221(2)dx x =+?( )(a) arctan 2x c +, (b) arctan 2x , (c) arcsin 2x , (d) arcsin 2x c +. 13.3x dx =?( )(a) 3ln 3xc +, (b)3ln 3xc +, (c) 3x c +, (d) 3x . 14. 设2()f x dx x c =+?，则()f x =（）(a) 2x , (b) 2x , (c) 2x c +, (d) 2x c +. 15 . 22sec 2xdx =?( )(a)tan 2x c +, (b) tan 2x , (c) tan x , (d) tan x c +.答案: 1.d 2.d. 3.d. 4.c. 5.b. 6.c 7.c. 8.b. 9.b. 10.a. 11.c.12. a. 13.b.14.b. 15.a.二填空题:1. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+?,则()f x = . 2. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .3. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .4. (103sin x x dx +=? .5.222()ax dx +=? .6.3(1x x dx -+-=? .7.2tan xdx =? . 8. (1)n x dx +=?. 9.cos(34)x dx +=? .10.=?.11. x e dx -=? .12.1sin2xdx ?= . 13.(2)x x dx -=? .14.2= .15. 12dx x =-? .答案:32132242352124102211:.2: 1.3:.4:3cos .5:.31ln1033511(1)16:3.7:tan .8:.9:sin(34).10:.2413x n xy x x x x x c a x a x x c x x x x x x c x x c c x c c n +=++-+++++-+-+-+-+++++11:xe c -+. 12:12cos2x c -+. 13: 3213x x c -+. 14: arcsin 2x c +. 15: ln |2|x c -+. 三应用题:1. 已知某产品产量的变化率是时间t 的函数()f t at b =-(,a b 是常数),设此产品t 时的产量函数为()P t ,已知(0)0P =,求()P t2. 已知动点在时刻t 的速度为21v t =-,且0t =时4s =,求此动点的运动方程.3. 已知质点在某时刻t 的加速度为22t +,且当0t =时,速度1v =、距离0s =,求此质点的运动方程.4. 设某产品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000(即0P =时1000Q =),已知需求量的变化率(边际需求)为1()1000ln 44PQ P ??'=-? ???,求需求量Q 与价格P 的函数关系.5. 设生产某产品x 单位的总成本C 是x 的函数()C x ,固定成本(即(0)C )为20元,边际成本函数为()210C x x '=+(元/单位),求总成本函数.6. 设某工厂生产某产品的总成本y 的变化率是产量x 的函数9y '=+,已知固定成本为100元,求总成本与产量的函数关系.7. 设某工厂生产某产品的边际成本()C x '与产量x 的函数关系为()7C x'=已知固定成本为1000,求成本与产量的函数.8. 已知生产某商品x 单位时,边际收益函数为()10020xR x '=-(元/单位),求生产x 单位时总收益()R x 以及平均单位收益()R x ,并求生产这种产品1000单位时的总收益和平均单位收益.9. 已知生产某商品x 单位时,边际收益函数为()300100xR x '=-,求生产这种产品3000单位时的总收益和平均单位收益.10. 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．答案:1:由题意得:21()()2p t at b dt at bt c =-=-+?.又(0)0p =,代入得0.c = 故21()2p t at bt =-. 2: 由题意得:2(21)S t dt t t c =-=-+?, 又 0t =时4s =,代入得4c =,故24s t t =-+.3: 由题意得:231(2)23v t dt t t c =+=++?,又当0t =时,速度1v =,代入得1c =,故31213v t t =++,从而有34211(21)312s vdt t t dt t t t c ==++=+++??,又0t =时0s =,故0c =.得42112s t t t =++.4: 由题意得:Q =11()1000ln 4100044P PQ P dp dp c'=-?=?+ ? ?????.又0P =时1000Q =,故11000()4p Q =.5: 由题意得:2()(210)10C x x dx x x c =+=++?.又固定成本(即(0)C )为20元,代入得20c =.故2()1020.C x x x =++6:23(9930y dx x x c =+=++?,又已知固定成本为100元,即(0)100y =,代入得100c =,故2 3930100y x x =++.7:()(77C x dx x c==+?,又已知固定成本为1000元,即(0)1000C =,代入得1000c =,故()71000C x x =+.8:2()(100)1002040x x R x dx x c =-=-+?,又(0)0R =,故0c =,得2 ()10040x R x x =-,()()10040R x x R x x ==-. 21000(1000)10010002500040R =?-=(元).(1000)1000(1000)10075100040R R ==-=(元).9:2()(300)300100200x x R x dx x c =-=-+?,又(0)0R =,故0c =,得2()300200x R x x =-,23000(3000)3003000200R =?-.()300200 R x xx =-.10: 设所求的曲线方程为y =f (x )，按题设，曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为 d d yx＝２x ，即f (x )是2x 的一个原函数．因为 2x ?d x =2x ＋C ，故必有某个常数C 使f (x )= 2x ＋C ，即曲线方程为y =2x ＋C ．因所求曲线通过点(1，2)，故 2=1+C , C =1．于是所求曲线方程为 y =2x ＋１．四计算题：1 313()x x x+?d x 2 421x x +?d x3、2tan x ? d x 4 2sin2xd x525)x -d x 6 2x 7 3e x x ?d x 8 2cos2x ?d x 9 2cos 2x ?d x 10 1 d 25x x +?11 x ?x 12 3sin ?x d x13d x 14 5e d t t ?15 3(32)x -?d x 16d 12x x -?17t 19 102tan sec x xdx ? 20 2 x xedx -?21de e x xx-+? 22 x 23 343d 1x x x -? 24 3sin d cos x x x ?25 ln d x x ? 26 cos d x x x ?27 arctan d x x x ? 28 e d xx x ?29 sin d x x x ? 30 e d xx x -?解答：1、原式=x ?d x +1xd x -12x ?d x +33x -?d x=22x ＋ln x -2332x -232x -+C ． 2、原式=42111x x -++? d x =221(1)1x x -++? d x =313x －x +arctan x +C ． 3、原式=2(sec 1)x -?d x =2sec x ?d x -dx ?=tan x -x +C ．4、原式=12?（１-cos x )d x =12∫(1-cos x )d x =12(x -sin x )+C ． 5、原式=57122232210(5)73x x dx x x C -=-+?。

不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。

(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。

(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。

(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。

(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。

(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。