同济大学土木工程钢结构基本原理第5章详解

轴心受压构件L. Euler(1707-1783)§1 概 述受压构件：桁架/网架杆件、支撑、两端铰接柱等 截面的分类：P96-971 双轴对称截面2 单轴对称截面3 无对称轴截面破坏类型：强度破坏：截面有较大削弱处/非常粗短的构件 整体失稳：弯曲失稳、扭转失稳、弯扭失稳局部失稳：构件中板件失稳§2 轴心受压构件的强度强度承载力N u = An f y An —— 净截面面积（截面面积最小处） f y —— 屈服应力工程设计公式N ≤ An fd , fd = f y / γ R 或 fd = f y / Kσ=N An≤fdP97-98P98-109§3 轴心受压实腹构件的整体稳定补充§3.1 理想压杆和实际压杆的整体稳定压杆为什么会失稳?微小扰动: θkθ ⋅ 2θ < Pl sinθ ≈ Plθ⇒kθ<1 2Pl不稳定kθ ⋅ 2θ = Pl sinθ ≈ Plθ⇒kθ=1 2Pl临界kθ ⋅ 2θ > Pl sinθ ≈ Plθ⇒kθ>1 2Pl稳定kθ转动刚度: Mθ = Kθ扭簧 Mθ = kθ ⋅ 2θ ⇒ KE = 2kθ 弹性刚度l轴力 Mθ = −Pl ⋅θ ⇒ Kσ = −Pl 几何刚度K = KE + Kθ = 2kθ − PlK<0 不稳定 K=0 临界 K>0 稳定弹性刚度为正，几何刚度可正可负。

P受拉会如何？kθθPP98-100§3.1 理想压杆和实际压杆的整体稳定欧拉临界力EIv′′ + Nv = 0NE=π 2EA λ2 ,考虑非弹性时的临界力σE=π 2E λ2NE=π2 Etλ2A,σE= π 2 Et λ2Et 材料的切线模量σ cr弹性实际压杆的整体稳定 f y几何缺陷的影响非弹性力学缺陷的影响L. Euler(1707-1783)σ cr f y1.0理想压杆 λ 实际压杆 λ补充§3.2理想压杆弯曲失稳变形特性的力学本质截面内剪力的产生： 截面变形产生切向力V欧拉屈曲：不考虑截面形状 实际构件：需考虑截面形状考虑截面形状：剪力中心xx0x y0xyyyxxyx0 yx0形心 剪力中心y0形心处剪力对不同截面的变形特性：双轴对称截面：弯曲变形单轴对称截面：弯曲变形，弯扭变形无对称轴截面：弯扭变形vNV = N v′PP100§3.3 理想压杆弹性失稳的平衡方程N1 理想压杆的假定： 杆件轴线（截面形心的连线）为直线 轴力作用线与杆件轴线重合2 弹性失稳的平衡方程： 变形包括弯曲变形和扭转变形 变形后位置时的平衡方程 小变形绕 x 轴的弯曲变形EI x v IV + Nv '' − Nx0θ '' = 0绕 y 轴的弯曲变形x0，y0 剪力中心坐标EI yu IV + Nu '' − Ny0θ '' = 0N绕 z 轴的扭转变形EI ωθ IV − GI tθ '' − Nx0v '' + Ny0u '' + (Nr02 − R )θ ′′ = 03 自由扭转与约束扭转P156-159EI ωθ IV − GI tθ ′′ − Nx0v′′ + Ny0u′′ + (Nr02 − R )θ ′′ = 0自由扭转：圣文南扭转构件端部截面纵向纤维不受约束M k = GI tθ ′约束扭转：一工字形截面悬臂梁受端部扭矩作用发生扭转 θu = 0.5hθ u '' = 0.5hθ '' M y = −EI yu '' = −0.5EI y hθ ''Vy = dM / dz = −0.5EI y hθ '''M ω = Vy h = −0.5EI y h 2θ '''u记 I ω = 0.5I y h 2 = b3tf h 2 / 24M ω = −EI ωθ '''θhtf bM ω 翘曲扭矩瓦格纳（Wagner）扭矩I ω 扇性惯性矩M T = M ω + M k = GI tθ ′ − EIωθ ′′′P100-102§3.4 双轴对称截面理想压杆的临界力双轴对称截面：x0 = y0 = 0EI x v IV + Nv '' = 0 EI yu IV + Nu '' = 03个微分方程独立EI ωθ IV − GI tθ ′′ + (Nr02 − R )θ ′′ = 0NEx = π 2EI x / λ2ox = π 2EA(I x / A) / λ2ox = π 2EA / λ2x 绕x轴弯曲N Ey = π 2 EI y / λ2oy = π 2 EA / λ2y绕y轴弯曲NEθ = (π 2EIω / λ2oθ + GIt + R) / r02 = π 2EA / λθ2绕z轴扭转对应3种失稳模态：绕两主轴的弯曲和绕轴心的扭转 λθ = 控制压杆的承载力的失稳模态l0θ Iω + l02θ ⋅ GIt + R Ar02 π 2 EAr02一般的双轴对称截面（工字、H型），弯曲屈曲临界 (扭转长细比)力小于扭转屈曲临界力，但十字形截面有可能相反。

弯曲变形和扭转变形的计算长度系数失稳临界应力 σ E = NE / A = π 2E / λ2P102-103§3.5 单轴对称截面理想压杆的临界力设 x 轴为对称轴，y0=0。

基本方程之一解耦EI x v IV + Nv '' − Nx0θ '' = 0EI xvIV + Nv'' − Nx0θ '' = 0 弯扭失稳EI yu IV + Nu '' − Ny0θ '' = 0EI yu IV + Nu'' = 0弯曲失稳EI ωθ IV − GI tθ '' − Nx0v '' + Ny0u '' + (Nr02 − R )θ ′′ = 0EIωθ IV − (GIt − Nr02 + R)θ '' − Nx0v'' = 0 弯扭失稳整体失稳两种模态：绕非对称轴的弯曲失稳、弯扭失稳临界力弯曲失稳 NEy = π 2 EA / λ2y 独立方程 弯扭失稳 NEω = π 2EA / λω2 联立方程：p.108弯扭失稳换算长细比λω2=1 2(λ2x+ λθ2 ) +1 2(λ2x+λθ2)−4⎜⎜⎝⎛1 −x02 r02⎟⎟⎠⎞λ2xλθ2P103-104§3.6 弯曲失稳的极限承载力1 按边缘纤维屈服准则计算弯曲平衡方程 EIx(v − vo)'' + Nv = 0 假定初弯曲 vo = vomsin(π ⋅ z / λ) 最大挠度 vm = vom /(1− N / NE)边缘纤维屈服 N A+ NΔm Wx = fyPerry公式σcr=N A=fy+ (1+ε0 )σEx2−⎡ ⎢⎣fy+ (1+ε0 )σEx2⎤2 ⎥⎦−f yσ Ex轴心受压构件稳定系数 ϕNw v vovm vomϕ= σcrfy=1 2⎪⎨⎧1 ⎪⎩+1λ2(1+ε0) −⎢⎣⎡1+1λ2(1+ε0)⎥⎦⎤2−4λ2⎪⎫ ⎬ ⎪⎭N《冷弯薄壁型钢结构技术规范》初偏心率 ε0 按规范取值P104-107§3.6 弯曲失稳的极限承载力2 按稳定极限承载力理论计算：柱子曲线 轴心受压构件达到弯曲失稳时的压力NEϕ= σ cr/fy轴心受压构件 稳定系数影响因素：截面，材料，残余应力，初弯曲扭转，初偏心等等Np1.0弹塑性修正λeλ理想压杆临界力缺陷影响λ实际轴心压杆的柱子曲线P104-107§3.6 弯曲失稳的极限承载力3 按稳定极限承载力理论计算：多条柱子曲线《钢结构设计规范》的柱子曲线4条稳定系数曲线 依截面形式、失稳方向、 板件厚度、制造加工方式确定稳定系数确定方法公式法由相对长细比λ = λ fy按公式(5.34)计算πEp.105查表法 截面分类→计算长细比→查表p.371-374ϕ = σ cr / f ya1.0bcd柱子曲线λ（轴心压杆稳定系数）P104-107§3.7 轴心受压构件整体稳定工程计算方法计算公式N ≤ N u = σ cr A = (σ cr / f y ) Af y = ϕ Af yN ≤ ϕAfd或NϕA≤fd注意点 整体稳定计算时采用毛截面面积采用相应设计规范的轴压构件稳定系数计算步骤 确定轴力设计值 计算构件两主轴方向的长细比, 换算长细比 确定轴压构件稳定系数（公式或查表） 稳定校核P118-129§4 轴心受压实腹构件的局部稳定P118-129§4.1 构件中受压板件的屈曲受压翼缘的屈曲受压腹板的屈曲P118-119§4.2 弹性薄板受压时的失稳平衡方程理想轴心受压薄板板件平直且厚度相等 薄板：厚宽比为10-1数量级Nx b yx轴压均匀分布且作用板的中面att受压薄板的弹性失稳平衡方程w（Karman大变形理论）D(∂4w ∂x 4+2∂4w ∂x 2∂y 4+∂∂4yw4 )+Nx∂2w ∂x 2=0wD = Et 3单位板宽抗弯刚度12(1 −ν 2 )Nx单位板宽上的轴压力P118-119§4.3 四边简支条件下的临界应力边界条件：边界上挠度、弯矩为零解的假定：双重三角级数（满足简支边界条件）解的结果：N xcr=π 2Db2(mb a+n2a)2 mbm、n：失稳时沿长度和宽度方向的半波数（P119 图5-14）临界力（n=1）N xcr=kπ 2Db2k = (mb + a )2 稳定系数与 a mb 失稳模态临界应力σ xcr=N xcr t=kπ12(12E−μ2)⎜⎛ ⎝t b⎟⎞2 ⎠与宽厚比平方成正比P120-121§4.4 其他边界条件下的临界应力临界应力σ xcr=k12π(12E−μ2)⋅⎜⎝⎛t b⎟⎠⎞2k 板的稳定系数不同边界约束条件下的板的稳定系数四边简支：k=4如H型截面中的腹板三边简支与压力平行的一边卷边：k=1.35冷弯薄壁型钢中带卷边的翼缘三边简支与压力平行的一边自由：k=0.45+(b/a)2≈0.45如H型截面中的翼缘P121-122§4.5 影响临界应力的其他因素1 板组间的相互影响引入板组约束系数σ xcr=kπ12(12E−μ2)⋅t2 b2σ xcr=χ⋅kπ12(12E−μ2)⋅t2 b2（也可采用计入板间相互影响的稳定系数见表5-6）2 考虑板件弹塑性的影响σ xcr=k12π(12E−μ2)⋅t2 b2σ xcr =ψt⋅k⋅12π(12E−μ2)⋅t2 b2ψ t = Et / E§4.6 板件屈曲后性能P123-124屈曲后强度的概念σ板件σ cr压杆v wbe/2 be/2屈曲后强度的工程计算： 有效宽度概念P125-126§4.7 轴压构件板件局部稳定的设计原则1 允许利用屈曲后强度—容忍发生局部弹性失稳工程计算方法：经验公式be b=(1 − 0.22 / λe ) / λeλe = σ e / σ cr = 1.05(b / t) σ e / kE计算有效宽度和有效截 面，用有效截面计算截 面强度和整体稳定利用屈曲后强度可采用薄壁宽敞截面：增大构件弹性抗弯刚度 提高构件整体稳定性局部屈曲时应力较小：截面极限强度降低 无法利用材料塑性P126-129§4.7 轴压构件板件局部稳定的设计原则2 不允许出现局部失稳时σ cr ≥ f 其中 f ： 强度控制时 f y整体稳定控制时 φ f y整体稳定控制时：ψtχkπ 2E 12(1 −υ 2 )⎜⎝⎛t b⎟⎞2 ⎠≥ϕ⋅fy1b t≤⎢⎢⎣⎡12(1ψ−tχkπ 2 υ 2 )ϕE ⋅fy⎤ ⎥ ⎥⎦2板件宽厚比限值p.127表5-7各项工程做法：用宽厚比限值代替局部稳定计算P109-118§5 轴心受压格构式构件的整体 稳定和局部稳定§5.1 格构式构件的概念Page109格构式构件轴压构件两主轴方向等稳定性格构式构件的类型肢杆：材料—型钢或组合焊接截面 肢数—双肢、三肢、四肢缀材：缀条—形成三角形区格 缀板—形成四边形区格实轴：穿过肢杆腹板的轴 虚轴：穿过缀材的轴格构式构件的稳定承载极限绕实轴的整体稳定：同实腹式 绕虚轴的整体稳定：缀材的剪切变形 单肢截面板件的局部稳定：同实腹式 单肢自身的稳定 缀材的稳定a a a0虚轴 肢杆 1 xyy 实轴1x c缀材Page110§5.2 考虑剪切变形的平衡方程剪切变形的理由NV考虑剪切变形影响的平衡方程Vv = v1 + v2v1'' = − M x / EI x = − Nv / EI xdv 2 dz=γ= γ 1V= γ 1Nv '→ v2'' = γ 1Nv ''N其中 γ 1 ——单位剪力作用下剪切角变形v '' = v1'' + v2'' = − Nv / EI x + γ 1Nv ''→ v'' +Nv=0EI x (1 − γ 1N )v平衡方程的解N cr=π 2 EI x (1 − γ 1N cr )λ2→N cr=λ2xπ 2 EA + π 2 EA γ 1NPage111-112§5.3 格构式构件绕虚轴的稳定承载力稳定承载力的表达式N cr=λ2xπ 2 EA + π 2 EA γ 1=π 2 EA λ20 x虚轴 肢杆 1 xyλ0x = λ2x + π 2 EA γ 1 --〉换算长细比剪切变形降低了构件 → λ0x ≥ λx 抗弯刚度，从而降低了弯曲稳定临界力1x cy 实轴 缀材a a a0 a0γ1与缀条缀板的尺寸及布 置位置等有关双肢缀条构件 表5-5双肢缀板构件λ0x = λ0x =λ2x + 27 A / A1x λ2x + λ12λx -按柱肢截面计算的长细比A1x -斜缀条毛截面面积和λ1 -单肢对最小刚度轴1-1的长细比(计算长度)Page129-133§5.4 缀条式轴心压杆的局部稳定a a受压板件的局部稳定与实腹式构件相同Nt单肢稳定V1λ1=a i1≤0 .7 λ max缀条稳定V max=Af d 85f y 剪力的实用公式 235Nt=V1n ⋅ cos α=Vmax2n ⋅ cos αNtϕ ⋅ At≤γ0⋅fd虚轴 1xyVmax 1xcy 实轴Page133-135§5.5 缀板式轴心压杆中的局部稳定受压板件的局部稳定与实腹式构件相同虚轴 1x单肢的稳定yλ1 ≤ min{ 40, 0.5λmax }1x缀板的稳定c缀板式构件：多层刚架，反弯点：中点缀板承受内力T= V1a cM=V1a 2Vmax , V1 计算方法同缀条式构件缀板局部稳定： tb≥c 40V1 / 2TV1 / 2缀板强度：σ=M W≤fdτ= 1.5 T bt b≤f vday 实轴Page135§6 轴心受压构件的刚度长细比限值：参考有关规范 钢结构设计规范： λmax ≤ [λ ][λ ] 为150~200Page轴心受压构件计算内容小结强度计算整体稳定计算实腹式：弯曲失稳/弯扭失稳/扭转失稳 Perry公式/柱子曲线格构式：缀条式/缀板式，实轴/虚轴局部稳定计算板件宽厚比限值 板件的有效宽度和有效截面计算 格构式：单肢与缀材刚度计算压杆整体失稳和局部失稳几何缺陷对压杆稳定的影响初始挠曲、初始扭转、初始偏心 对稳定承载力的影响例：双轴对称截面对强轴有初挠曲 v0 弯曲平衡方程Nv vo Δm ΔoEI x v '' + Nv = 0EI x (v − v0 )'' + Nv = 0设 vo = Δo sin(π ⋅ z / λ)解 v = Δm sin(π ⋅ z / λ)NE其中 Δm = Δo /(1 − N / N E )N = (1 − Δo / Δm )N E < N EN NN = (1 − Δo / Δm )N E Δm残余应力对压杆稳定的影响残余应力分布及峰值大小对稳定承载力的影响σ r+ σ r-σ无残余应力fyΔσ 2 < f yfp有残余应力NN ExNE*xv轧制H型钢的 残余应力分布σ max− = f yε残余应力使得截面部分区 域提前屈服，从而削弱了 构件刚度，导致稳定承载 力下降。