配方法—直接开平方法

因式分解法直接开平方法配方法一、因式分解法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用因式分解法的步骤如下：1.计算二次项系数a、一次项系数b和常数项c的乘积k，k=a*c。

2.找出两个数的乘积等于k且和等于b的数m和n，即m*n=k，m+n=b。

3.将原二次方程进行因式分解，得到(x+m)(x+n)=0。

4.令(x+m)=0，求解得到x=-m。

令(x+n)=0，求解得到x=-n。

举例说明：考虑二次方程2x^2+7x+3=0。

计算k=a*c=2*3=6找出两个数的乘积等于6且和等于7，即3和2因此，可以将原二次方程进行因式分解，得到(2x+3)(x+1)=0。

令(2x+3)=0，求解得到x=-3/2令(x+1)=0，求解得到x=-1二、直接开平方法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用直接开平方法的步骤如下：1. 将方程移项，得到ax^2 + bx = -c。

2. 对方程两边同时加上b^2/4a^2，并化简得到(ax + b/2a)^2 =b^2 - 4ac/4a^23. 对等式两边开平方，得到ax + b/2a = √(b^2 - 4ac)/2a。

4.解方程得到x的值。

举例说明：考虑二次方程4x^2-10x+1=0。

对方程两边同时加上(10/4)^2/4*4，并化简得到(4x-5/4)^2=(25/16-1)/16对等式两边开平方，得到4x-5/4=√(16-16)/16，即4x-5/4=0。

解方程得到x=5/16三、配方法：对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，使用配方法的步骤如下：1. 将方程移项，得到ax^2 + bx = -c。

2. 对方程两边同时加上b^2/4a，并化简得到ax^2 + bx + b^2/4a = b^2/4a - c。

3. 对方程左边进行配方，得到(ax + b/2a)^2 = b^2/4a - c +b^2/4a。

轧东卡州北占业市传业学校 配方法(1)――直接方法◆根底过关1、方程32x +9=0的根为〔 〕A 、3B 、-3C 、±3D 、无实数根2、以下方程中，一定有实数解的是〔 〕A 、210x +=B 、2(21)0x +=C 、2(21)30x ++=D 、21()2x a a -= ３、方程ax 2+c =0(a ≠0)有实数根，那么a 与c 的关系是( )A.c =0B.c =0或a 、c 异号C.c =0或a 、c 同号D.c 是a 的整数倍 ４、、假设224()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是〔 〕A 、p=4，q=2B 、p=4，q=-2C 、p=-4，q=2D 、p=-4，q=-2５、填空〔1〕x 2-8x+______=〔x-______〕2；〔2〕9x 2+12x+_____=〔3x+_____〕2６、假设28160x -=，那么x 的值是_________．７、假设x 2－2x =0，那么x 1=_________,x 2=________. ８、假设(x －2)2=0，那么x 1=________,x 2=_________.９、如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______． ●拓展提高1、一元二次方程032=+c x，假设方程有解，那么c ________． 2、方程b a x =-2)(〔b ＞0〕的根是〔 〕 A 、b a ± B 、)(b a +± C 、b a +± D 、b a -±３、方程(x －2)2=(2x +3)2的根是( )A.x 1=－31,x 2=－5B.x 1=－5,x 2=－5C.x 1=31,x 2=5D.x 1=5,x 2=－54、假设22(3)49x m x +-+是完全平方式，那么m 的值等于________．5、解以下方程：〔1〕(1+x)2-４=0； (2) 9(x-1)2-4=0． (３) 22(3)72x -=．(４)()()22312=-x (５)()()2455=-+x x (６)2962=+-x x ６、：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x y x y -+的值．７、如果x 2-4x+y 2+13=0，求()z xy 的值．●中考链接1、〔2021年，〕一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=，那么另一个一次方程是_____________.2、〔2021年，〕用配方法解方程2250xx --=时，原方程应变形为〔 〕 A ．2(1)6x += B ．2(1)6x -= C ．2(2)9x += D ．2(2)9x -=３、(２０１２年，)为落实“两免一补〞，某２０１１年投入教育经费２５００万元，预计２０１３年要投入教育经费３６００万元，２０１１年至２０１３年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，求２０１２年该要投入的教育经费为多少万元？。

因式分解法直接开平方法配方法
直接开平方法：
直接开平方法适合于多项式可以进行开平方的情况，即多项式可以写成一些因式的平方的形式。

下面以一个示例来说明直接开平方法的步骤：例：将多项式x^2-6x+9分解。

Step 1: 将多项式进行拆分，得到(x - 3)(x - 3)。

Step 2: 观察可知，(x - 3)是一个因式的平方，即(x - 3)^2
Step 3: 可得到分解后的形式为(x - 3)^2
配方法：
配方法适合于多项式的首项系数不为1或者多项式无法直接开平方的情况。

下面以一个示例来说明配方法的步骤：
例：将多项式x^2-7x+10分解。

Step 1: 观察到首项系数不为1，所以需要用配方法来分解。

Step 2: 将多项式的首项系数和末项相乘，得到10。

Step 3: 找出两个数，它们的乘积为10，且和为-7，即-2和-5
Step 4: 用-2x和-5x来代替-7x，即x^2 - 7x + 10 = x^2 - 2x - 5x + 10。

Step 5: 将多项式进行分组，得到(x^2 - 2x) + (-5x + 10)。

Step 6: 进行因式提取，得到x(x - 2) - 5(x - 2)。

Step 7: 观察到(x - 2)是(x - 2)这个因式的公因式，所以得到(x - 2)(x - 5)。

通过以上两种方法，可以将多项式进行分解，得到相应的因式形式。

需要注意的是，在使用配方法时，有时候需要对多项式进行因式提取或分组，以得到正确的结果。

第二节 配方法一、课堂导入我们上节课学习了一元二次方程的定义，求解一元二次方程按照我们以前学习方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化一的方法来解题还可以吗？我们不妨来看看这道练习题。

例如0232=--x x ，用我们以前的求解步骤很难进行解答。

今天我们一起学习一下一元二次方程的解法。

二、必讲知识点 1.直接开平方法：A x =2（0≥A ）则A x ±=。

2.2)(0)x a b b +=≥（ x a b ⇒+=± x a b ⇒=-±若b<0,则方程2)x a b +=（无实根。

3.用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确应用平方根的性质，即正数的平方根有两个，他们互为相反数，零的平方根是零，负数无平方跟。

4.配方法的理论依据是完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±通过配方法将方程变成2)x a b +=（的形式，再利用直接开平方法求解。

5.配方法解一元二次方程的步骤：（1）把原方程转化为ax 2+bx+c=0（a ≠0）的形式。

（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数化为1，化为20b cx x a a++=的形式，并将常数项移到等号右边。

（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程转化为2()x m n +=的形式。

（4）当0n ≥时，用直接开平方法解变形后的方程。

三、必讲例题例1： 22720x -= 2x =0.252x 2=18 0.81-x 2=0例2： (x-2)2=9 0.5－(x+1)2=0例3：(1) 212x x ++____ = 2(6)x +(2) 24x x -+____ = (x -___)2(3) 28x x ++____ = (x +____)2（4）2x －54x ＋_____＝（x －____）例4：解下列关于x 的方程x 2+2x-35=0 2x 2-4x-1=0x 2+6x+5=0 2x 2+6x-3=0例5：用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6例6：试判断方程22(817)3320m m x mx -+++=是否为关于x 的一元二次方程。

第1次课讲义-一元二次方程的定义、直接开平方、配方法一元二次方程的认识一、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．注意：要想判断一个方程是不是一元二次方程，首先要做到熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程；再次需要注意的是要对方程进行简单的化简整理.二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是()200ax bx c a ++=≠．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①20x =；②20ax bx c ++=23-=；④20a a x +-=；⑤()21402m m x x -++=；⑥21113x x +=2=；⑧()2219x x +=-． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个练习1.1 有下列关于x 的方程：①20ax bx c +=+，②()340x x -=，③230x y +-=，④212x x +=，⑤3380x x +=-，⑥215702x x -+=，⑦()()2251x x x -+=-．其中是一元二次方程的有（ ）个 A ．2B ．3C ．4D ．5在利用一元二次方程的定义求字母的值时，特别要注意0a ≠的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．也就是说我们不仅要使方程的最高次是二次的，同时要保证这个二次项是存在的，即二次项系数0a ≠.例2.已知：方程()||1310m m x mx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．3m =±B ．3m =C ．3m =或1m =-D ．1m =-练习2.已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．不能确定在判断一个含有字母参数的方程是什么方程时，一定要严格按照该方程的定义来判断. 例3.方程()()211310m m x m x +++--=；（1）m 取何值时是一元二次方程；（2）m 取何值时是一元一次方程．练习3.1 已知关于x 的方程()2210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程；（2）当m 为何值时是一元二次方程．在利用一元二次方程的一般式判断二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要先将已知的一元二次方程化简后再进行判断，同时要注意其前面的符号.例4.一元二次方程2342x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3，﹣4，﹣2B ．3，﹣2，﹣4C ．3，2，﹣4D ．3，﹣4，0练习4.1 方程22650x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5练习4.2 关于x 的一元二次方程()()()33215x x a x a -+-+=的一次项系数是（ ）A ．8aB ．8a -C ．2aD ．79a -一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．已知一个数是方程的解，只需将这个数代入到方程中得到一个等式即可.例5. 关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++=-的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．12练习5.1 如果2是方程230x x k +=-的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2练习 5.2 我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =-，23x =D ．11x =-，23x =-不解方程，可以通过化简，用整体代入求值。

解一元二次方程（直接开平方、配方法、配方法的应用）【知识梳理】一．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.二．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【考点剖析】题型一、用直接开平方法解一元二次方程例1.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x2=24，x2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64， 2222()a ab b a b ±+=±所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．例2.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得x=10．由x-3=-7，得x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；2；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵x2=361，∴x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．【答案】解：4（x+3）2=25（x﹣2）2，开方得：2（x+3）=±5（x﹣2），解得：，．题型二、用配方法解一元二次方程例3.用配方法解方程x2-7x-1＝0．【答案与解析】将方程变形为x2-7x＝1，两边加一次项的系数的一半的平方，得x2-7x+＝1+，所以有＝1+．直接开平方，得x-＝或x-＝-．所以原方程的根为x＝+或x＝-．【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c＝0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2＝0； (2)x2+6x+8＝0.【答案】(1)方程变形为x2-4x＝2．两边都加4，得x2-4x+4＝2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2＝n 的方程，即有(x-2)2＝6．解这个方程，得x-2＝或x-2＝-．于是，原方程的根为x ＝2+或x ＝2-． (2)将常数项移到方程右边x2+6x ＝-8．两边都加“一次项系数一半的平方”＝32，得 x2+6x+32＝-8+32，∴ (x+3)2＝1．用直接开平方法，得x+3＝±1，∴ x ＝-2或x ＝-4．例4.用配方法解方程：22330x x −−=． 【答案与解析】解：∵22330x x −−=， ∴233022x x −−= ∴23993216162x x −+=+ ， ∴2333416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭∴1233,44x x +== ．【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．【变式】 用配方法解方程 （1）2x 2+3=5x （2）【答案】（1） ()()20x m n n +=≥20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−. （2）①当时，此方程有实数解， ；②当时，此方程无实数解.例5．若代数式，，则的值（ ）A ．一定是负数B ．一定是正数C ．一定不是负数D ．一定不是正数 【答案】B ；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.例6．用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0. 【答案与解析】 25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p p x px q ++=−+224()24p p q x −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜221078M a b a =+−+2251N a b a =+++M N −22221078(51)M N a b a a b a −=+−+−+++2222107851a b a a b a =+−+−−−−29127a a =−+291243a a =−++2(32)30a =−+>x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.【变式1】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17＝ x2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x2+8x+17的最小值是1.【变式2】用配方法证明的值小于0．【答案与解析】 证明：． ∵ ，∴ ，即．故的值恒小于0． 【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明．本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．【变式3】求证：代数式3x 2﹣2x+4的值不小于． 【答案】 解：3x2﹣2x+4=3（x2﹣x+）﹣+4=3（x ﹣）2+ 21074x x −+−22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫−+−=−+−=−−− ⎪⎝⎭27494910410400400x x ⎛⎫=−−+−− ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=−−−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=−−+−=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2710020x ⎛⎫−−≤ ⎪⎝⎭271111002040x ⎛⎫−−−< ⎪⎝⎭210740x x −+−<21074x x −+−11323191313113∵3（x ﹣）2≥0，∴3（x ﹣）2+≥，即代数式3x2﹣2x+4的值不小于．例7.已知2226100a b a b +−++=，求100123a b −⋅−⋅的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a a b b −++++=()()22130a b −++=∴10a −=，30b +=∴1,3a b ==−将1,3a b ==−代入得：(11002133213−⨯−⨯−=+=【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．例8.若实数满足，则）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C ； 【解析】对已知等式配方，得，∴．．故选Ｃ．【总结升华】本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 1313113113113x y ，224250x y x y +−−+=132+3+3−2210x y −+−=2（）（）21x y ==，3====+【变式】（1）2x 2+6x −3的最小值是 ；（2）−x 2+4x +5的最大值是 .【答案】（1）； 所以2x 2+6x −3的最小值是 （2）所以−x 2+4x +5的最大值是9.例9. 分解因式：．【答案与解析】．【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．【过关检测】一、单选题 1．（广东清远·九年级统考期末）将方程2420x x ++=配方后，原方程变形为（ ）A ．2(22)x +=B ．2(4)3x +=C ．2(2)3x +=−D ．2(2)5x +=−【答案】A【分析】用配方法解一元二次方程即可．【详解】解：由题意知，方程2420x x ++=配方后，方程变形为2(22)x +=， 故选：A ． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）222222333152632(3)323()()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+−=+−=++−−=+−⎢⎥⎣⎦152−22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x −++=−−+=−−+−+=−−+42221x x ax a +++−42221x x ax a +++−4222221x x x ax a =+−++−4222212x x x ax a =++−−+（）（）2221x x a =+−−（）（）22(1)(1)x x a x x a =++−+−+A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果．【详解】解：228=0x x −−228x x −=22181x x −+=+()219x −=∴13x −=±解得：124,2x x ==−,丁同学是错的，故选：D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程2420x x =＋＋时，配方后得到方程()22x c +=，则c 等于（ ）A ．6B ．4C ．2D ．2− 【答案】C【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而求得c.【详解】解：2420x x ++=，242x x ∴+=−， 2442x x ∴++=，()222x ∴+=，2c ∴=． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解答关键.4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程2630x x ++=时，将它化为2()x m n +=的形式，则m n −的值为（ ） A ．6− B ．3− C ．0 D ．2【答案】B 【分析】由2630xx ++=，配方可得()236x +=，进而可得m n ，的值，然后代入m n −，计算求解即可．【详解】解：∵2630x x ++=，∴2696x x ++=，∴()236x +=，∴3m =，6n =， ∴3m n −=−， 故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出m n ，的值． 5．（2023·江苏扬州·统考一模）已知2240y x −+=，则222x y x ++的最小值是（ ） A ．8 B ．8− C ．9− D ．9【答案】A【分析】由已知得224y x =−，注意x 的取值范围，代入222x y x ++再配方，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵2240y x −+=，∴224y x =−，且240x −≥即2x ≥，∴2222422x y x x x x +=−+++ 2448x x +=+−()228x =+−， ∵()220x +≥，2x ≥∴当2x =时，222x y x ++的最小值是8，故选：A ．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x 的取值范围是解决问题的关键．6．（2022·山东德州·统考中考真题）已知2P x x =−，2Q x =−为任意实数，则P Q −的值( ) A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．无法确定【答案】A【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出P Q −()2=110x −+>，即可求解．【详解】解：∵2P x x =−，2Q x =−∴P Q −()()222222110x x x x x x =−−−=−+=−+> ∴P Q −的值大于0， 故选：A ．【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．【答案】D【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，即可求解．【详解】解：221210x x −+=二次项化系数为1得：21602x x −+=移项得：2162x x −=−配方得：216992x x −+=−整理得：()21732x −=故选：D ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．二、填空题8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程2450x x −−=配方后得()2x m n −=，则m n +的值为 _____． 【答案】11【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m 、n 的值，再进行计算即可．【详解】解：移项得245x x −=，配方得24454xx −+=+，即()229x −=，∴2m =，9n =， ∴11+=m n ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式2613a a −+可化为()2269434a a a −++=−+；无论a 取何值()230a −≥，所以()a −+≥2344，即()234a −+有最小值为4．仿照上述思路，代数式248a a −+−的最大值为__________． 【答案】4−【详解】解：248a a −+−()2444a a =−−+−()224a =−−−，∵无论a 取何值，都有()220a −≥，∴()2244a −+≥， ∴()2244a −−−≤−，即()224a −−−有最大值4−，∴248a a −+−的最大值为4−，故答案为：4−．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意是解题的关键．【答案】 16 4 36 6【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方； （2）所填的常数项为一次项系数一半的平方；（3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±得出结论．【详解】解：（1）22816(4)x x x ++=+．故答案为：①16； （2）22933()42x x x −+=−故答案为：②94；（3）221236(6)x x x −+=−故答案为：③36，④6．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小． 11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程220x x +=进行配方得___________．【答案】2(1)1x +=【分析】在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即可求解．【详解】解：220x x +=，方程两边加上1，2211x x ++=，即()2x 11+=，故答案为：()2x 11+=．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程2820x x −−=，配方后可变形为 ____．【答案】()2418x −=【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：282x x −=，281618x x −+=，()2418x −=，故答案为：()2418x −=．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当=a _____时，代数式269a a −−有最小值为______． 【答案】 3 18−【分析】根据偶次方的非负性可知2(3)0a −≥，当30a −=时有最小值，进而可求解． 【详解】解：2269(3)18a a a −−=−−， 2(3)0a −≥∴当30a −=时代数式269a a −−取得最小值，最小值为18−，即3a =时，代数式269a a −−的最小值为18−，故答案为：3；18−．【点睛】本题主要考查了配方法、偶次方的非负性，掌握偶次方的非负性是解题的关键．14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数a ，b 满足1b a =+，则代数式2265a b a +−+的最小值等于__________． 【答案】3【分析】将1b a =+代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵1b a =+∴2265a b a +−+()22165a a a =++−+247a a =−+()223a =−+，∵()220a −≥， ∴()2233a −+≥，故答案为：3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程2890x x −−=化为()2x h k +=形式，则h =______，k =______．【答案】 4− 25【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可．【详解】解：∵2890x x −−=，∴289x x −=，配方得2816916x x −+=+，即()2425x −=，∴4h =−，25k =， 故答案为：4−，25．【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题时要注意步骤，选择用配方法解一元二次方程时，先将常数1，然后进行配方．16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程261x x +=化为()210x m +=，则m =___________． 【答案】3【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】解：在方程261x x +=的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得222631+3x x ++=，配方，得2310x +=（）．所以，=3m ． 故答案为：3．【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．掌握配方法解是解题的关键．17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，则23a b ++的最小值为______． 【答案】1 【分析】将点(),A a b 代入一次函数解析式得出，21b a =−，代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵点(),A a b 在一次函数21y x =−图象上，∴21b a =−∴23a b ++2213a a =+−+2211a a =+++()2111a =++≥故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．【答案】4【分析】将22326x y x +=适当变形得到用含有x 的代数式表示22x y +的形式，再利用配方法变形后，根据x 的取值范围即可解答．【详解】解：∵22326x y x +=，∴()22226x y x x +=−+，∴222211923(3)222x y x x x +=−+=−−+，∵22326x y x +=，22362x xy −+∴=，∵20y ≥23602x x −+∴>∴02x ≤≤ ∴当2x =时22x y+的最大值为()21923422−−+=．故答案为4．【点睛】本题主要考查了代数式的极值、配方法等知识点，利用配方法对式子灵活变形是解题的关键． 三、解答题19.（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0． 【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可． 【解答】解：（1）4x2＝49， x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0， （2x ﹣1）2＝25， ∴2x ﹣1＝±5， ∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a （a ≥0）；ax2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x+a ）2＝b （b ≥0）；a （x+b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 20．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程：2410x x ++=【答案】12x =−22x =−【分析】先利用配方法得到()223x +=，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：2410x x ++=，移项得：241x x +=−，配方得：24414xx ++=−+，即()223x +=，开平方得：2x +=解得：12x =−22x =−．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题的关键． 21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题． 已知2226100m m n n ++−+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690.m m n n +++−+=即22(1)(3)0m n ++−=．2(1)0m +≥，2(3)0n −≥，且和为0，2(1)0m ∴+=且2(3)0n −=，1m ∴=−，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++−+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+−且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)2x =−，1y =(2)5c =或c =【分析】1（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，利用非负数的性质即可求解； 2（）由题意把等式变形为非负数的和等于0的形式，求得a b 、的值，然后根据勾股定理可求解．【详解】（1）解：∵224250x x y y ++−+=，()()2244210xx y y +++−+=，即()()22210x y ++−=，∵()220x +≥，()10y −≥2，且()()22210x y ++−=，∴()220x +=且()210y −=，2x ∴=−，1y =；（2）解：∵228625a b a b +=+−，方程变形为()()22430a b −+−=，∴()240a −≥，()230b −≥，∴4a =，3b =，ABC 为直角三角形，∴当4a =，3b =是直角边时，则5c =；当4a =是斜边，3b =是直角边时，则c =5c ∴=或c =【点睛】本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．【答案】(1)见解析(2)t=32，S 最大值【分析】（1）仿照例题，利用配方求解即可．（2）先求s ，再利用配方求最值即可．【详解】（1）证明：（1）247y x x =−+2443x x =−++()223x =−+．∵()220x −≥．∴033y ≥+=．∴0y >．∴y 是正数．（2）解：∵2AP t =，CQ =，62PC t =−．0t ⎛ ⎝≤ ∴12S PC CQ =⋅ ()1622t =−2=+)23t t =− 232t ⎫=−⎪⎭ ∵2302t ⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭．∴当32t =时，S【点睛】本题考查利用配方求最值，正确配方是求解本题的关键． 23．（2022秋·广西柳州·九年级统考期中）阅读材料数学课上，韦老师在求代数式245x x −+的最小值时，利用公式()2222a ab b a b ±=±＋，对式子作如下变形∶()2224544121x x x x x −+=−++=−+，∵()220x −≥，∴()2211x −+≥当2x =时，()2211x −+=，∴当2x =时，()221x −+有最小值1，即245x x −+的最小值为1．通过阅读，解决下列问题∶(1)当x =___________时，代数式()2254x −+有最小值为___________ (2)代数式 221x x ++的最小值为___________(3)当x 取何值时，代数式263x x −++的有最大或最小值，并求出最大或最小值．【答案】(1)5，4(2)0(3)当3x =时，263x x −++有最大值，最大值是12【分析】（1）由22(5)0x −…可得()22544x −+≥，从而判断它在5x =时取最小值； （2）配方可得2(1)x +，根据2(1)0x +…，即可得出结论； （3）提取1−，然后配方得2(3)12x −−+，根据2(3)0x −−…可得结论． 【详解】（1）解：（1）22(1)0x −…， ()22544x −+≥∴，当5x =时，取到等号，∴当5x =时，22(1)4x −+有最小值，最小值为：4；故答案为5，4；（2）解：2221(1)x x x ++=+，当=1x −时，221x x ++有最小值，最小值为：0；故答案为0；（3）解：263x x −++2(69)93x x =−−+++2(3)12x =−−+，2(3)0x −−…，2(3)1212x ∴−−+…，当3x =时，取到等号，∴当3x =时，263x x −++有最大值，最大值为12．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【答案】(1)2ax b +(2)①240b ac −≥,②ba −；c a(3)见解析【分析】（1）根据完全正确平方公式求解即可；（2）根据二次根式有意义条件求解即可；（3）用配方法解方程即可求出方程的解，再分别代入计算即可12x x +与12x x 计算即可求解．【详解】（1）解：∵2222444a x abx b ac b +++=，∴()2242c a b b x a =−+；（2）解：①一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有实根的条件是：240b ac −≥；②12x x +2b b b a a −−==−，12x x =()2224b a −−=244ac c a a −=−=；（3）解：2410x x −−=，241x x −=，24414x x −+=+，()225x −=，2x −=12x =22x =∴12224x x +=，(22122221x x ==−=−．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键． 时，22x y +=时，22x y +=时，x 时，x 【答案】(1)=(2)222x y xy +≥，理由见解析；(3)代数式224+x x 的最小值为8．【分析】（1）求得2218x y +=，218xy =，得到222x y xy +=； （2）结合完全平方的非负性即可解答；（3）利用归纳的结论即可求解．【详解】（1）解：当3x =，3y =时，2218x y +=，218xy =，222x y xy ∴+=， 故答案为：=；（2）解：222x y xy +≥，理由如下，∵2222()0x xy y x y −+=−≥，∴222x y xy +≥；（3）解：∵222x y xy +≥，∴22224428x x x x +≥⋅=，∴代数式224+x x 的最小值为8． 【点睛】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．()212122⨯++= ()3131232⨯+++= 1234+++=(1)第4个图形对应的等式为______；【答案】(1)()515123452⨯+++++=(2)10【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，第四个图形总点数可列为：()515123452⨯+++++=， 故答案为：()515123452⨯++++=； （2）解：由题意可得，每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，∴第n 个图形的点数为：(1)(11)(1)(2)1234.....(1)22n n n n n n ++++++++++++==，∴()()12662n n ++=， 整理得+−=231300n n ，解得110n =，213n =−（舍去），∴n 的值为10；【点睛】本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．。

解二次方程练习题(直接开平方法、配方法)在解二次方程的过程中，我们通常会使用两种方法：直接开平方法和配方法。

下面是一些练题，旨在帮助您巩固这两种解法的使用。

直接开平方法例题 1:解方程 $x^2 - 9 = 0$.解答:首先将方程写成标准形式：$x^2 = 9$.然后，我们可以直接开平方根，得到：$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$.因此，方程的解为 $x = 3$ 或 $x = -3$.例题 2:解方程 $x^2 + 6x + 9 = 0$.解答:首先将方程写成标准形式：$x^2 + 6x + 9 = 0$. 然后，我们可以将方程左侧进行平方。

$(x + 3)^2 = 0$.接下来，我们使用开平方法求解：$x + 3 = 0$.因此，方程的解为 $x = -3$.配方法例题 3:解方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$.解答:首先，我们要找到两个数，其乘积为常数项的系数，且它们的和为一次项的系数。

在这个例子中，我们需要找到两个数，其乘积为 $6$，且和为$-5$.这两个数是 $-2$ 和 $-3$.然后，我们可以使用配方法进行求解：$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$.因此，方程的解为 $x = 2$ 或 $x = 3$.例题 4:解方程 $x^2 + 7x + 10 = 0$.解答:首先，我们要找到两个数，其乘积为常数项的系数，且它们的和为一次项的系数。

在这个例子中，我们需要找到两个数，其乘积为 $10$，且和为$7$.这两个数是 $2$ 和 $5$.然后，我们可以使用配方法进行求解：$x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) = 0$.因此，方程的解为 $x = -2$ 或 $x = -5$.以上是解二次方程练习题的一些例题和解答，希望能够帮助您巩固直接开平方法和配方法的应用。

继续练习并多做题目，将使您更加熟练地解决二次方程问题。

21.2.1(1)配方法（直接开平方法）一．【知识要点】：1. 能用直接开平方法的类型：()()()()()()()()222221234x p x a p mx n p mx n ax b =+=+=+=+ 二．【经典例题】 1.解一元二次方程： ()222(31)(1)x x -=+三．【题库】【A 】1.下列解方程的过程中,正确的是( ) A.x 2=-2,解方程,得x=±√2B.(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4C.4(x-1)2=9,解方程,得4(x-1)=±3,x 1=74,x 2=14D.(2x+3)2=25,解方程,得2x+3=±5,x 1=1,x 2=-42.一元二次方程(x-3)2=18的根为___________________.【B 】1.已知b<0,关于x 的一元二次方程(x-1)2=b 的根的情况是 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有两个实数根2.在实数范围内定义运算“☆”,其规则为a ☆b=a 2-b 2,则方程(4☆3)☆x=13的解为_________.3.若一元二次方程(a+1)x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0,则a=___________.4.解下列方程:(1)16x 2-8x+1=0(2)(2y-1)2=(3y+4)2【C 】1.x 1,x 2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解,且x 1<x 2,下列说法正确的是 ( )A.x 1小于-1,x 2大于3B.x 1小于-2,x 2大于3C.x 1,x 2在-1和3之间D.x 1,x 2都小于3【D 】1.解方程x 2-4|x|+4=16.2.以大约与水平线成45°角的方向,向斜上方抛出标枪,抛出距离s(单位:米)与标枪出手的速度v(单位:米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系:s=v 29.8+2,如果抛出40米,试求标枪出手时的速度(精确到0.1米/秒,参考数据:√1.9≈1.38,√19≈4.36).。