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2019-2020学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填涂在答题纸相应的位置）1．（4分）如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则(DE EF = )A ．13B ．12C ．23D ．12．（4分）下列式子错误的是(α，β均为锐角）( )A ．sin tan cos ααα=B ．22sin cos 1αα+=C ．sin22sin αα=D ．若90αβ+=︒，则sin cos αβ=3．（4分）下列下列说法中，正确的是( )A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心4．（4分）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A 、B 、C 、D 四个图中的三角形（阴影部分）与EFG ∆相似的是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，下列各式不一定成立的是( )A ．cos a b A =B ．cos a c B =C ．sin a c A =D ．tan b a B =6．（4分）如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比）为1:2，35AC =米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若10AB =米，则旗杆BC 的高度为( )A ．5米B ．6米C ．8米D ．(35)+米7．（4分）下列说法中正确的有( )①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm ，那么这两个三角形一定相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（4分）在ABC ∆中，若2cos A =，tan 3B =，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形9．（4分）如图，在ABC ∆中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：①ACP B ∠=∠；②APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =；④AB CP AP CB =，能满足APC ∆与ACB ∆相似的条件是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③10．（4分）如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ．若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为( )A ．20.36m πB ．20.81m πC ．22m πD ．23.24m π11．（4分）如图，AD 是BAC ∠的平分线，AD BD ⊥，AC DC ⊥，若8AB =，6AC =，则AD 的长为( )A ．43B ．7C ．10D ．4212．（4分）如图，M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3,4)，点P 是M 上的任意一点，PA PB ⊥，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置）13．（4分）22sin 60cos 60tan 45︒+︒-︒= ．14．（4分）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan 4A =，则sin A = ． 15．（4分）如图，ABC ∆是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC ∆的面积的 ．16．（4分）如图，直径为10的A经过点(0,5)O，B是y轴右侧A优弧上一C和点(0,0)点，则OBC∠的余弦值为．17．（4分）如图所示，P、Q分别是ABCAP=，AC=，2AB=，5∆的边AB、AC上的点，若6且以A、P、Q为顶点的三角形与ABC∆相似，则AQ的长为．18．（4分）如图，两个同心圆O，大圆的弦AB恰好是小圆的切线，切点为P，若23AB=，则圆环（图中阴影部分）的面积为．三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤）19．（8分）如图，D是ABCAB=，∆的边AC上的一点，连接BD，已知ABD C∠=∠，6 AD=，求线段CD的长．420．（12分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG BC⊥于点G，AF DE⊥于点F，EAF GAC∠=∠．（1）求证：ADE ABC∆∆∽；（2）若3AD=，5AB=，求AFAG的值．21．（10分）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30︒，测得大楼顶端A的仰角为45︒（点B，C，E 在同一水平直线上），已知80AB m=，10DE m=，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1)m（参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈22．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE DC⊥，垂足为E，连接BE，F 为BE上一点，且AFE D∠=∠．（1）求证：ABF BEC∆∆∽；（2）若5AD=，8AB=，4sin5D∠=，求AF的长．23．（10分）如图所示，已知：在ABC∆中，60A∠=︒，45B∠=︒，8AB=．求：ABC∆的面积．（结果可保留根号）24．（12分）如图，AB是O的直径，OD⊥弦BC于点F，交O于点E，连结CE、AE、∠=∠．CD，若AEC ODC（1）求证：直线CD为O的切线；（2）若5BC=，求线段CD的长．AB=，425．（14分）如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，AD CD⊥于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分DAO∠．（2）若105DAOE∠=︒∠=︒，30①求OCE∠的度数；②若O的半径为22，求线段EF的长．26．如图，在ABC=，AD BC⊥，垂足为D，E、G分别为AD、AC的中∆中，AB AC点，DF BE⊥，垂足为F，求证：FG DG=．2019-2020学年山东省泰安市肥城市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填涂在答题纸相应的位置）1．（4分）如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则(DE EF= )A ．13B ．12C ．23D ．1 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：////a b c ，∴12DE AB EF BC ==． 故选：B ．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．（4分）下列式子错误的是(α，β均为锐角）( )A ．sin tan cos ααα=B ．22sin cos 1αα+=C ．sin22sin αα=D ．若90αβ+=︒，则sin cos αβ=【分析】根据同角的三角函数的关系，互余两角的三角函数的关系判断即可．【解答】解：根据同角的三角函数的关系可知，选项A ，选项B 不符合题意，根据互余两角的三角函数的关系可知，若90αβ+=︒，则sin cos αβ=，因此选项D 不符合题意；3sin 60︒，12sin30212︒=⨯=， sin602sin30∴︒≠︒，因此sin22sin αα≠，故选项C 符合题意，故选：C ．【点评】本题考查同角的三角函数，互余两角的三角函数之间的关系，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提．3．（4分）下列下列说法中，正确的是( )A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A 、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误；B 、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误；C 、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误；D 、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确．故选：D ．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．4．（4分）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A 、B 、C 、D 四个图中的三角形（阴影部分）与EFG ∆相似的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据相似三角形的判定，易得出EFG ∆的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．【解答】解：小正方形的边长为1，∴在EFG ∆中，2EG ，2FG =，21310EF =+A 中，一边3=，一边2=2125=+=ABC ∆中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A 错误；B 中，一边1=，一边=，==EFG ∆中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B 正确；C 中，一边1=，一边=EFG ∆中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C 错误；D 中，一边2=，一边=，一边==EFG ∆中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D 错误．故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．5．（4分）在ABC ∆中，90C ∠=︒，下列各式不一定成立的是( )A ．cos a b A =B ．cos a c B =C ．sin a c A =D ．tan b a B =【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：在ABC ∆中，90C ∠=︒， 则tan b B a=， tan b a B ∴=，A 选项错误，符合题意，D 选项正确，不符合题意；在ABC ∆中，90C ∠=︒， 则cos a B c=， cos a c B ∴=，B 选项正确，不符合题意；在ABC ∆中，90C ∠=︒， 则sin a A c =， sin a c A∴=，C 选项正确，不符合题意； 故选：A ．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做A ∠的正弦；锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做A ∠的余弦；锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做A ∠的正切．6．（4分）如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比）为1:2，35AC =米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若10AB =米，则旗杆BC 的高度为( )A ．5米B ．6米C ．8米D ．(35)米【分析】设CD x =，则2AD x =，根据勾股定理求出AC 的长，从而求出CD 、AC 的长，然后根据勾股定理求出BD 的长，即可求出BC 的长．【解答】解：设CD x =，则2AD x =， 由勾股定理可得，22(2)5AC x x x +，35AC =∴535x =3x ∴=米，3CD ∴=米，236AD ∴=⨯=米，在Rt ABD ∆中，221068BD =-=米，835BC ∴=-=米．故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．7．（4分）下列说法中正确的有( )①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81；④若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm ，那么这两个三角形一定相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据相似三角形或相似多边形的定义以及性质即可作出判断．【解答】解：①正确．②两个等腰三角形一定相似，错误不一定相似．③两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81，错误周长比应该是2:3， ④不相似，三边不一定成比例．故选：A ．【点评】本题考查相似图形的有关性质，解题的关键是理解相似三角形、相似多边形的定义和性质，属于中考常考题型．8．（4分）在ABC ∆中，若2cos A =，tan 3B =，则这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【分析】根据特殊角的三角函数值和三角形的内角和定理求出角的度数，再进行判断．【解答】解：2cos A =，tan 3B =， 45A ∴∠=︒，60B ∠=︒．180456075C ∴∠=︒-︒-︒=︒．ABC ∴∆为锐角三角形．故选：A ．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．9．（4分）如图，在ABC ∆中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：①ACP B ∠=∠；②APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =；④AB CP AP CB =，能满足APC ∆与ACB ∆相似的条件是( )A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当ACP B ∠=∠，A A ∠=∠，所以APC ACB ∆∆∽；当APC ACB ∠=∠，A A ∠=∠，所以APC ACB ∆∆∽；当2AC AP AB =，即::AC AB AP AC =，A A ∠=∠所以APC ACB ∆∆∽；当AB CP AP CB =，即::PC BC AP AB =，而PAC CAB ∠=∠，所以不能判断APC ∆和ACB ∆相似．故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．10．（4分）如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m ，桌面距离地面1m ．若灯泡距离地面3m ，则地面上阴影部分的面积为( )A ．20.36m πB ．20.81m πC ．22m πD ．23.24m π【分析】欲求投影圆的面积，可先求出其直径，而直径可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：构造几何模型如图：依题意知 1.2DE =米，1FG =米，3AG =米，由DAE BAC ∆∆∽得DE AF BC AG =，即1.2313BC -=， 得 1.8BC =， 故221 1.8()()0.8122S BC πππ=⋅=⋅=圆，故选：B ．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力． 利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．11．（4分）如图，AD 是BAC ∠的平分线，AD BD ⊥，AC DC ⊥，若8AB =，6AC =，则AD 的长为( )A ．43B ．7C ．10D ．42【分析】根据角平分线的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：AD 是BAC ∠的平分线，BAD DAC ∴∠=∠，AD BD ⊥，AC DC ⊥，90ADB C ∴∠=∠=︒，ABD ADC ∴∆∆∽， ∴AB AD AD AC =， ∴86AD AD =， 8643AD ∴=⨯=故选：A ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．12．（4分）如图，M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是M上的任意一点，⊥，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB PA PB的最小值为()A．3B．4C．6D．8【分析】由Rt APBAB OP=知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，∆中2交M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最小值，据此求解可得．【解答】解：PA PB⊥，∴∠=︒，90APB=，AO BOAB PO∴=，2若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交M于点P'，当点P位于P'位置时，OP'取得最小值，过点M作MQ x⊥轴于点Q，则3MQ=，OQ=、4∴=，OM5又2MP'=，OP∴'=，3∴='=，AB OP26故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB 取得最小值时点P 的位置．二、填空题（请将答案直接填写在答题纸相应位置）13．（4分）22sin 60cos 60tan 45︒+︒-︒= 0 ． 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：原式2231()()12=+- 0=． 故答案为：0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．14．（4分）已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan 4A =，则sin A = 35 ． 【分析】根据3tan 4A =，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sin A 的值．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3tan 4a Ab ==， ∴设3a x =，则4b x =，则22(3)(4)5c x x x =+=．33sin 55a x A c x ===． 故答案是：35． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系．求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．15．（4分）如图，ABC ∆是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是ABC ∆的面积的 13．【分析】根据题意，易证AEH AFG ABC ∆∆∆∽∽，利用相似比，可求出AEH S ∆、AFG S ∆面积比，再求出ABC S ∆．【解答】解：AB 被截成三等分，AEH AFG ABC ∴∆∆∆∽∽， ∴12AE AF =，13AE AB =， :4:9AFG ABC S S ∆∆∴=，:1:9AEH ABC S S ∆∆=，411993ABC ABC ABC S S S S ∆∆∆∴=-=阴影部分的面积． 故答案为13． 【点评】本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．16．（4分）如图，直径为10的A 经过点(0,5)C 和点(0,0)O ，B 是y 轴右侧A 优弧上一点，则OBC ∠的余弦值为 3 ．【分析】首先设A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD ，根据直角对的圆周角是直径，即可得CD 是直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得OBC ODC ∠=∠，继而可求得答案．【解答】解：设A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD ，90COD ∠=︒，CD ∴是直径，即10CD =，(0,5)C ，5OC ∴=，2253OD CD OC ∴=-OBC ODC ∠=∠，533cos cos OD OBC ODC CD ∴∠=∠===．故答案为：32．【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．17．（4分）如图所示，P 、Q 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，若6AB =，5AC =，2AP =，且以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则AQ 的长为 53或125．【分析】由A ∠是公共角，可得当::AP AB AQ AC =时，APQ ABC ∆∆∽，当::AP AC AQ AB =时，APQ ACB ∆∆∽，继而求得答案． 【解答】解：连接PQ ．A ∠是公共角，∴当::AP AB AQ AC =时，APQ ABC ∆∆∽，即2:6:5AQ =，解得：53AQ =； 当::AP AC AQ AB =时，APQ ACB ∆∆∽，即2:5:6AQ =，解得：125AQ =； ∴当53AQ =或125时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似． 故答案为：53或125．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．18．（4分）如图，两个同心圆O ，大圆的弦AB 恰好是小圆的切线，切点为P ，若23AB =，则圆环（图中阴影部分）的面积为 3π ．【分析】连接OP 、OA ，由勾股定理可求得222OA OP AP -=，再结合圆的面积可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图，连接OP 、OA ，AB 为小圆的切线，OP AB ∴⊥，132AP AB ∴== 由勾股定理可得2223AO OP AP -==，()222223S S S OA OP OA OP AP πππππ∴=-=-=-==阴影大圆小圆，故答案为：3π．【点评】本题主要考查切线的性质，掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是解题的关键，注意整体思想的应用．三、解答题（请在答题纸相应位置写出必要的步骤）19．（8分）如图，D 是ABC ∆的边AC 上的一点，连接BD ，已知ABD C ∠=∠，6AB =，4AD =，求线段CD 的长．【分析】由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD 与三角形ACB 相似，由相似得比例，将AB 与AD 长代入即可求出CD 的长．【解答】解：在ABD ∆和ACB ∆中，ABD C ∠=∠，A A ∠=∠，ABD ACB ∴∆∆∽， ∴AB AD AC AB =， 6AB =，4AD =，23694AB AC AD ∴===， 945CD AC AD ∴=-=-=．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．20．（12分）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG BC ⊥于点G ，AF DE ⊥于点F ，EAF GAC ∠=∠．（1）求证：ADE ABC ∆∆∽；（2）若3AD =，5AB =，求AF AG的值．【分析】（1）由于AG BC ⊥，AF DE ⊥，所以90AFE AGC ∠=∠=︒，从而可证明AED ACB ∠=∠，进而可证明ADE ABC ∆∆∽；（2）ADE ABC ∆∆∽，AD AE AB AC =，又易证EAF CAG ∆∆∽，所以AF AE AG AC=，从而可知AF AD AG AB =． 【解答】解：（1）AG BC ⊥，AF DE ⊥，90AFE AGC ∴∠=∠=︒，EAF GAC ∠=∠，AED ACB ∴∠=∠，EAD BAC ∠=∠，ADE ABC ∴∆∆∽，（2）由（1）可知：ADE ABC ∆∆∽， ∴35AD AE AB AC == 由（1）可知：90AFE AGC ∠=∠=︒，EAF GAC ∴∠=∠，EAF CAG ∴∆∆∽， ∴AF AE AG AC =， ∴35AF AG =另解：AG BC ⊥，AF DE ⊥，ADE ABC ∆∆∽， ∴35AF AD AG AB == 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．21．（10分）如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30︒，测得大楼顶端A 的仰角为45︒（点B ，C ，E 在同一水平直线上），已知80AB m =，10DE m =，求障碍物B ，C 两点间的距离（结果精确到0.1)m 1.414≈ 1.732)≈【分析】如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，过点C 作CH DF ⊥于点H ．通过解直角AFD ∆得到DF 的长度；通过解直角DCE ∆得到CE 的长度，则BC BE CE =-．【解答】解：如图，过点D 作DF AB ⊥于点F ，过点C 作CH DF ⊥于点H ．则10DE BF CH m ===，在直角ADF ∆中，801070AF m m m =-=，45ADF ∠=︒，70DF AF m ∴==． 在直角CDE ∆中，10DE m =，30DCE ∠=︒， 103()tan303DE CE m ∴===︒， 701037017.3252.7()BC BE CE m ∴=-=-≈-≈．答：障碍物B ，C 两点间的距离约为52.7m ．【点评】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE DC ⊥，垂足为E ，连接BE ，F 为BE 上一点，且AFE D ∠=∠．（1）求证：ABF BEC ∆∆∽；（2）若5AD =，8AB =，4sin 5D ∠=，求AF 的长．【分析】（1）根据相似三角形的判定，可以从题意出发找到相似的条件，从而可以证明个结论成立；（2）根据锐角三角函数和三角形的相似可以求得AF 的长．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，//AD BC ，AD BC =，180D C ∴∠+∠=︒，ABF BEC ∠=∠，180AFB AFE ∠+∠=︒，AFE D ∠=∠，C AFB ∴∠=∠，ABF BEC ∴∆∆∽；（2）解：AE DC ⊥，5AD =，8AB =，4sin 5D ∠=， 4AE ∴=，AE DC ⊥，//AB DC ，90AED BAE ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，根据勾股定理得：22224845BE AE AB =+=+=，5BC AD ==，由（1）得：ABF BEC ∆∆∽，∴AF AB BC BE =，即545AF =， 解得：25AF =．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23．（10分）如图所示，已知：在ABC ∆中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．求：ABC ∆的面积．（结果可保留根号）【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【解答】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC ∆中，90CDA ∠=︒， ∴3cot cot 60DA DAC CD =∠=︒=， 即3AD CD =⨯． 在Rt BDC ∆中，45B ∠=︒，45BCD ∴∠=︒，CD BD ∴=．38AB DB DA CD CD =+=+⨯=， 1243CD ∴=-． 118(1243)4816322ABC S AB CD ∆∴=⨯=⨯⨯-=-． 答：ABC ∆的面积为48163-．【点评】考查直角三角形的性质及三角形的面积公式的掌握情况．24．（12分）如图，AB 是O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，交O 于点E ，连结CE 、AE 、CD ，若AEC ODC ∠=∠．（1）求证：直线CD 为O 的切线；（2）若5AB =，4BC =，求线段CD 的长．【分析】（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出90OCF DCB∠+∠=︒，即可得出答案；（2）利用圆周角定理得出90ACB∠=︒，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．【解答】（1）证明：连接OC，CEA CBA∠=∠，AEC ODC∠=∠，CBA ODC∴∠=∠，又CFD BFO∠=∠，DCB BOF∴∠=∠，CO BO=，OCF B∴∠=∠，90B BOF∠+∠=︒，90OCF DCB∴∠+∠=︒，∴直线CD为O的切线；（2）解：连接AC，AB是O的直径，90ACB∴∠=︒，DCO ACB∴∠=∠，又D B∠=∠OCD ACB∴∆∆∽，90ACB∠=︒，5AB=，4BC=，3AC∴=，∴CO CD AC BC=，即2.534CD=，解得；103 DC=．【点评】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，得出OCD ACB∆∆∽是解题关键．25．（14分）如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，AD CD⊥于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分DAO∠．（2）若105DAO∠=︒，30E∠=︒①求OCE∠的度数；②若O的半径为22，求线段EF的长．【分析】（1）由切线性质知OC CD⊥，结合AD CD⊥得//AD OC，即可知DAC OCA OAC∠=∠=∠，从而得证；（2）①由//AD OC知105EOC DAO∠=∠=︒，结合30E∠=︒可得答案；②作OG CE⊥，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG FG OG==，由22OC=2CG FG OG===，在Rt OGE∆中，由30E∠=︒可得答案．【解答】解：（1）CD是O的切线，OC CD∴⊥，AD CD⊥，//AD OC∴，DAC OCA ∴∠=∠，OC OA =，OCA OAC ∴∠=∠，OAC DAC ∴∠=∠，AC ∴平分DAO ∠；（2）①//AD OC ，105EOC DAO ∴∠=∠=︒，30E ∠=︒，45OCE ∴∠=︒；②作OG CE ⊥于点G ，则CG FG OG ==， 22OC =45OCE ∠=︒，2CG OG ∴==，2FG ∴=，在Rt OGE ∆中，30E ∠=︒，23GE ∴= ∴232EF GE FG =-=．【点评】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质是解题的关键．26．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，E 、G 分别为AD 、AC 的中点，DF BE ⊥，垂足为F ，求证：FG DG =．【分析】连接AF ，CF ，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BD CD =，12DG AC =，通过证明AEF CDF ∆∆∽，可得AFE CFD ∠=∠，可证90AFC EFD ∠=∠=︒，由直角三角形的性质可得结论．【解答】证明：连接AF ，CF ，AB AC =，AD BC ⊥，BD CD ∴=，E 、G 分别为AD 、AC 的中点，AD BC ⊥，DE AE ∴=，12DG AC =， 90EBD BED ∠+∠=︒，90EBD BDF ∠+∠=︒，BED BDF ∴∠=∠，又90BFD EFD ∠=∠=︒，BFD DFE ∴∆∆∽，∴BD DF DE EF =， ∴CD DF AE EF=， BED BDF ∠=∠，AEF FDC ∴∠=∠，AEF CDF ∴∆∆∽，AFE CFD ∴∠=∠，AFE EFC CFD EFC ∴∠+∠+∠+∠，90AFC EFD ∴∠=∠=︒， G 是AC 中点，12FG AC ∴=， FG DG ∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．。
山东省泰安市肥城市2023-2024学年九年级下学期期中数学试题一、单选题1．3--的倒数是（ ）A ．13-B ．-3C ．3D ．132．下列计算正确的是（ ） A ．22223a b a b ab -=- B ．3412a a a ⋅= C ．()326328a b a b -=-D ．()222a b a b +=+3．2023年8月29日华为公司上市的Mate 60手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用5nm 制程技术的手机芯片，1nm 0.000000001m =，其中50nm 用科学记数法表示为（ ） A ．95m 10⨯B ．100.510m -⨯C ．8510m -⨯D ．9510m -⨯4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，123∠=︒，230∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．45︒B ．52.5︒C ．58︒D ．68︒6．乡村医生李医生在对本村老年人进行年度免费体检时，发现张奶奶血压偏高，为了准确诊断，随后7天，李医生每天定时为张奶奶测量血压，测得数据如下表：对收缩压，舒张压两组数据分别进行统计分析，其中错误．．的是（） A ．收缩压的中位数为140 B ．舒张压的众数为88 C ．收缩压的平均数为141D ．舒张压的方差为8877．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，56B ∠=︒，40ACD ∠=︒．若O e 的半径为5，则»DC的长为（ ）A ．13π3 B ．8π9C ．πD ．12π8．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则正比例函数()y b c x =+的图象与反比例函数ay x=-的图象在同一坐标系中大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，半径为6的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 是»AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D ，E ，若CD CE =，则图中阴影部分面积为（ ）A ．9π2B ．9πC ．3π4D ．3π210．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；蛎米三十．今有米在十二斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米八斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为35．今有米在容量为12斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米8斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x 斗，向桶中加谷子y 斗，那么可列方程组为（ ）A ．85123x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B ．12385x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．12385x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．85123x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩11．如图，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点，延长CB 至点F ，使BF DE =，连接AE AF EF EF ，，，交AB 于点K ，过点A 作AG EF ⊥，垂足为点H ，交CF 于点G ，连接HD HC ，．下列四个结论：①FH HC =；②67.5DCH ∠=︒；③DAE DHE ∠=∠；④2AK HD ⋅=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，4OA OB ==，点C为平面内一动点，BC =连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足:1:2CM MA =．当线段OM 取最大值时，点M的坐标是（ ）A ．()2,4B ．C ．()4,8D ．二、填空题13．已知关于x 的一元二次方程2231x x -=-的两个实数根分别为1x 和2x ，则1212x x xx +-的值为．14．如图，在Rt ABO △中，3AO =，AB 将ABO V 绕点O 顺时针旋转105︒至A B O ''△的位置，点E 是OB '的中点，且点E 在反比例函数ky x=的图象上，则k 的值为．15．如图所示，AB 是圆O 的直径，EC 是圆的切线，E 为切点，EC AB ∥，若AC 与圆的交点为D ，且AD CD =，则ACE ∠的大小为．16．小丽设计了一种测量树高的方法：她将一根细线的一端固定在半圆形量角器的圆心B 处，在细线的另一端C 处系一个小重物，制成了一个简单的测角仪（如图1）；将此测角仪放在眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点（如图2，图3）；小丽眼睛（即点A ）离地1.6米，现测得58ABC ∠=︒，小丽与树的水平距离是6米，则树高是米．（结果保留一位小数，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）17．若一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图的圆心角为150︒，则圆锥的母线长是． 18．在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“112233445OA A A A A A A A A →→→→L ”的路线运动，设第n 秒运动到点n P （n 点为正整数），则点2025P 的坐标是．三、解答题19．（1）计算：()02024122sin 302tan 60-+︒+-︒（2）先化简：23222m mm m m -⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从m 数作为m 的值代入求值．20．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A （优秀），B （良好），C （一般），D （不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 学生答题成绩条形统计图学生答题成绩扇形统计图根据图中所给信息解答下列问题：(1)这次抽样调查共抽取多少人？条形统计图中的m 值为多少？(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C 等所在扇形圆心角的度数； (3)该校有1400名学生，估计该校学生答题成绩为A 等级和C 等级共有多少人；(4)学校要从答题成绩为A 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丙的概率．21．如图，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于()8,2A -，(),8B m 两点．（1k ，2k ，b 为常数）(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式21k k x b x+>的解集； (3)P 为y 轴上一点，若△P AB 的面积为12，求P 点的坐标．22．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息—信息二甲工程队施工21800m 所需天数与乙工程队施工21200m 所需天数相等． (1)求x 的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于210000m ．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？ 23．综合与实践 【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并证明这个问题；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，发现并提出新的探究点：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM BH ，，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．24．ABC V 是等边三角形，点E 是射线BC 上的一点（不与点B ，C 重合），连接AE ，在AE 的左侧作等边三角形AED ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转120︒，得到线段EF ，连接BF ，交DE 于点M ．(1)如图1，当点E 为BC 中点时，请直接写出线段DM 与EM 的数量关系；(2)如图2，当点E 在线段BC 的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当12BC =，4CE =时，请直接写出AM 的长．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴的交点分别为A 和(2,0)B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,6)C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求P E P D +的最大值及此时点P 的坐标；图1(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．。
山东省泰安市九年级下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下图的四幅图中，灯光与影子的位置合理的是（）A .B .C .D .【考点】2. （2分） (2017九上·松北期末) 反比例函数y= 的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A . k＜2B . k≤2C . k＞2D . k≥2【考点】3. （2分）人往路灯下行走的影子变化情况是（）A . 长⇒短⇒长B . 短⇒长⇒短C . 长⇒长⇒短D . 短⇒短⇒长【考点】4. （2分） (2018九上·江苏期中) 已知点M (－2，6)在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）A . (2， 6)B . (－6，－2 )C . (6，2)D . (2，－6)【考点】5. （2分）如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y是x的（）函数．A . 正比例B . 反比例C . 一次函数D . 二次函数【考点】6. （2分） (2019九上·栾城期中) 点的反比例函数的图象上，则的值是（）A . -6B . -5C . -1D . 6【考点】7. （2分） (2019九上·简阳期末) 如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A . 越大B . 越小C . 不变D . 无法确定【考点】8. （2分）已知△ABC∽△DEF，且AB:DE=1:2，则△ABC的周长与△DEF的周长之比为（）A . 2:1B . 1:2C . 1:4D . 4:1【考点】9. （2分）2sin60°的值等于（）【考点】10. （2分） (2020·上海模拟) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2020·成华模拟) 第一象限的点A(a，b)和它关于x轴的对称点B分别在双曲线y＝和y ＝上，则k1+k2的值为________．【考点】12. （1分） (2019九上·钦州港期末) 已知反比例函数y＝，x＞0时，y________0，这部分图象在第________象限，y随着x值的增大而________.【考点】13. （1分）(2017·临海模拟) 计算：cos260°=________．【考点】14. （1分） (2018九上·南召期末) 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在方格的格点上，则cosA=________．【考点】15. （1分）下面是一些立体图形的三视图（如图），•请在横线上填上立体图形的名称．________ ________【考点】16. （1分）三视图位置有规定：主视图要在________，它的下方应是________，________坐落在右边．【考点】17. （1分）(2019·朝阳模拟) 如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的左视图和俯视图,符合条件的几何体有________种.【考点】三、解答题 (共5题；共27分)18. （2分） (2019九上·淅川期末) 计算：（3 ）2-（2 +1）（2 -1）+3 （cos30°）-1-20170【考点】19. （5分）计算：(－2)2－＋(－3)0.【考点】20. （5分） (2021七上·麦积期末) 有若干个完全相同的小正方体堆成的一个几何体，如图所示.请在方格纸上画出它的三视图.【考点】21. （5分）如图，这是一个由大小相等的正方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数，请你画出它的主视图和左视图．【考点】22. （10分） (2018九上·灵石期末) 如图，已知A（-4，2），B（n，-4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y= 的图象的两个交点．（1）求反比例函数的表达式和n的值；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b- ＞0的解集．【考点】参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共27分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2018~2019学年第二学期山东省九年级数学下册期中试卷一、选择题1、在反比例函数（k ＜0）的图象上有两点（-1，y 1），(-，y 2)，则y 1-y 2的值是（ ）A ．负数B ．非正数C ．正数D ．不能确定 2、如图，过点C （1，2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A 、B 两点，若反比例函数y=（x ＞0）的图象与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A. 2≤k ≤9 B. 2≤k ≤8 C. 2≤k ≤5 D. 5≤k ≤8（第2题图） （第4题图） （第5题图）3、反比例函数y ＝图像上有两个点为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且x 1<x 2则下列关系成立的是（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1＝y 2D ．不能确定4、在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ） A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.55、如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A ．2 cm 2B ．4 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm26、若双曲线与直线一个交点的横坐标为－1，则k 的值为（ ）A ．－1.B ．1C ．－2D ．27、如图，若点M 是x 轴正半轴上的任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数（x ＞0）和（x ＞0）的图象于点P 和Q ，连接OP 、OQ ,则下列结论正确的是（ ）A ．∠POQ 不可能等于900B ．C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称D ．△POQ 的面积是（第7题图） （第8题图） （第10题图）8、如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF ⊥CE 于F ，则S △BFC =（ ）S 正方形ABC DA ．B ．C ．D ．9、如果梯形两底的长分别为3.6和6，高的长为0.3，那么它的两腰延长线的交点到较短底边的距离为（ ）。
泰安市九年级下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016七上·瑞安期中) ﹣3的相反数是（）A . -B .C . 3D . ﹣32. （2分） (2017八下·潮阳期中) 下列x的值能使有意义的是（）A . x=1B . x=3C . x=5D . x=73. （2分）在中，，，则的值等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2020·泰兴模拟) 如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2018·安徽模拟) 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019九下·巴东月考) 某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表：车速（km/h）4849505152车辆数（辆）54821则上述车速的中位数和众数分别是（）A . 50，8B . 50，50C . 49，50D . 49，87. （2分）(2020·西安模拟) 在正比例函数中，函数的值随值的增大而增大，则点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限8. （2分）下列说法中，正确的是（）A . 一个角的补角一定比这个角大B . 一个角的余角一定比这个角小C . 一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上D . 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。
9. （2分）某农场开挖一条长480米的渠，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成。
若设原计划每天挖x米则（）A . =4B . －=20C . －=4D . －=2010. （2分） (2018七下·深圳期中) 一列火车从车站出发，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到站减速停下，则能刻画火车在这段时间内速度随时间变化情况的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）计算：82011×（﹣）2011=________．12. （1分）(2019·锦州) 为了落实“优化税收营商环境，助力经济发展和民生改善”的政策，国家税务总局统计数据显示，2018年5至10月合计减税2980亿元，将2980亿元用科学记数法表示为________元.13. （1分）(2020·辽宁模拟) 因式分解： ________.14. （1分） (2016八上·卢龙期中) 如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________．15. （1分）(2019·南陵模拟) 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，若∠BCD＝24°，则∠ABD 的度数为________度．16. （1分） (2020八下·建湖月考) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为__△________cm．17. （1分） (2018九上·宁波期中) 如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长________.18. （1分） (2018九下·游仙模拟) 请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？” 诗句中谈到的鸦为________只、树为________棵.三、解答题 (共10题；共98分)19. （10分） (2019八上·天台月考) 计算：（1） (x-3y)(-6x)（2） (6x4-8x2y)÷2x2（3） (x+2)(x-2)-(x+1)220. （10分） (2018八上·青岛期末) 解方程:21. （5分） (2018七上·利川期末) 如图，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，DE的延长线交AB于点F，求证：AE平分∠DAF22. （11分）新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动.某市为了解初中生每日线上学习时长 (单位：小时)的情况，在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是________(填写“全面调查”或“抽样调查”)， ________.（2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“ ”范围的概率是________；（3）若该市有名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“ ”范围的初中生有________名.23. （6分）（1）如图，将A、B、C三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B、C的概率；（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将A、B、C、D四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是A、B、C、D的概率为________ .24. （10分）(2017·泰州模拟) 我们知道：三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心（三角形内切圆的圆心）．现在规定：如果四边形的四个角的角平分线交于一点，我们把这个点也成为“四边形的内心”．（1）试举出一个有内心的四边形．（2）如图1，已知点O是四边形ABCD的内心，求证：AB+CD=AD+BC．（3）如图2，Rt△ABC中，∠C=90°．O是△ABC的内心．若直线DE截边AC，BC于点D，E，且O仍然是四边形ABED的内心．这样的直线DE可画多少条？请在图2中画出一条符合条件的直线DE，并简单说明作法．（4）问题（3）中，若AC=3，BC=4，满足条件的一条直线DE∥AB，求DE的长．25. （10分）(2017·湖州模拟) 综合题（1）【问题提出】如图1．△ABC是等边三角形，点D在线段AB上．点E在直线BC上．且∠DEC=∠DCE．求证：BE=AD；（2）【类比学习】如图2．将条件“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变．判断线段AB，BE，BD之间的数量关系，并说明理由．（3）【扩展探究】如图3．△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在线段AB的反向延长线上，点E在直线BC上，且∠DEC=∠DCE，【类比学习】中的线段AB、BE、BD之间的数量关系是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB，BE，BD之间的数量．26. （10分）(2018·通辽) 某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种羽毛球进货量m（筒）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？27. （15分）(2016·丽水) 如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y= x2﹣ x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）将立柱MN的长度提升为3米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为，设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，当2≤k≤2.5时，求m的取值范围．28. （11分）(2017·杭州模拟) 如图，B、D为线段AH上两点，△ABC、△BDE和△DGH都是等边三角形，连结CE并延长交AH的延长线于点F，点G恰好在CF上，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．（1）求证：AC 2=CM•CF；（2）若CM= ，MF= ，求圆O的半径长；（3）设等边△ABC、△BDE、△DGH的面积分别为S1、S2、S3 ，请直接写出S1、S2、S3之间的等量关系．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共10题；共98分)19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、24-4、25-1、25-2、26-1、26-2、27-1、27-2、27-3、28-1、28-2、28-3、。
山东泰安 2019 中考试题 - 数学（分析版）一、选择题1、〔 2018 泰安〕以下各数比﹣3 小的数是〔〕A、 0B、 1C、﹣ 4D、﹣ 1考点：有理数大小比较。
解答：解：依据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于全部负数，∴1＞﹣ 3，0＞﹣ 3，∵|﹣3|=3 ， | ﹣1|=1 ，| ﹣ 4|=4 ，∴比﹣ 3 小的数是负数，是﹣ 4、应选 C、2、〔 2018 泰安〕以下运算正确的选项是〔〕A、( 5)2 5B、( 1 )2 16C、x6 x3 x2D、 ( x3 )2 x54考点：二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂。
解答：解： A、( 5)2 5 5 ，所以A选项不正确；1) 2 16 ，所以 B 选项正确；B、(4C、x6 x3 x3，所以C选项不正确；D、( x3)2 x6，所以D选项不正确、应选 B、3、〔 2018 泰安〕以下列图的几何体的主视图是〔〕A、B、C、D、考点：简单组合体的三视图。
解答：解：从正面看易得第一层有 1 个大长方形，第二层中间有一个小正方形、应选 A、4、〔 2018 泰安〕一粒米的质量是0.000021 千克，那个数字用科学记数法表示为〔〕A、21 10 4千克B、10 6 千克C、2.1 105千克D、2.1 104千克考点：科学记数法—表示较小的数。
解答：解： 0.000021= 10 5；应选： C、5、〔 2018 泰安〕从以下四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是〔〕A、 0B、C、D、考点：概率公式；中心对称图形。
解答：解：∵在这一组图形中，中心对称图形只有最后一个，∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是、应选 D、x 8 4x 16、〔 2018 泰安〕将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的选项是〔〕x 163xA、B、C、D、考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
人教版九年级数学下册期中综合检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知点P-在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值是()A.-B.2C.1D.-12.关于反比例函数y=的图象,下列说法正确的是()A.必经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称3.(2015·成都中考)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,AD=6,DB=3,AE=4,则EC的长为()A.1B.2C.3D.44.如图所示,平行四边形ABCD中,E是BC上一点,BE∶EC=2∶3,AE交BD于F,则BF∶FD等于()A.2∶5B.3∶5C.2∶3D.5∶75.(2015·自贡中考)若点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都是反比例函数y=-图象上的点,并且y1<0<y2<y3,则下列各式中正确的是()A.x1<x2<x3B.x1<x3<x2C.x2<x1<x3D.x2<x3<x16.已知反比例函数y=(a≠0)的图象在每一象限内,y的值随x值的增大而减小,则一次函数y=-ax+a的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为()A.3B.4C.5D.68.(2015·浙江中考)如图所示,点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限.若反比例函数y=的图象经过点B,则k 的值是()A.1B.2C.D.29.如图所示,这是圆桌正上方的灯泡(看成一个点)发出的光线照射到桌面后在地面上形成影子(圆形)的示意图.已知桌面直径为1.2米,桌面离地面1米.若灯泡离地面3米,则地面上阴影部分的面积为()A.0.36π米2B.0.81π米2C.2π米2D.3.24π米210.(2015·重庆中考)如图所示,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y=的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为()A.2B.4C.2D.4二、填空题(每小题4分,共24分)11.反比例函数y=(m-2)的函数值为时,自变量x的值是.12.(2015·重庆中考)已知△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF的面积比为4∶1,则△ABC与△DEF对应边上的高之比为.13.如图所示,平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE交对角线AC于点F,若AF=2,则对角线AC的长为.14.已知在反比例函数y=-图象的每一支上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是.15.反比例函数y=的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),则反比例函数的解析式是.16.如图所示,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过P点的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,则AQ的长为.三、解答题(共66分)17.(7分)反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=mx+b(m<0)交于点A(1,2k-1).(1)求反比例函数的解析式;(2)若一次函数与x轴交于点B,且△AOB的面积为3,求一次函数的解析式.18.(7分)如图所示,将图中的△ABC作下列运动,画出相应的图形,并指出三个顶点的坐标所发生的变化.(1)向上平移4个单位长度得到△A1B1C1;(2)关于y轴对称得到△A2B2C2;(3)以点A为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得到△A3B3C3.19.(8分)(2015·泰安中考)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.(1)求证AC·CD=CP·BP;(2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时,求BP的长.20.(8分)(2015·泰安中考)一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A(-1,4),B(2,n)两点,直线AB交x轴于点D.(1)求一次函数与反比例函数的表达式;(2)如图所示,过点B作BC⊥y轴,垂足为C,连接AC交x轴于点E,求△AED的面积S.21.(8分)如图所示,已知△ABC,延长BC到D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.(1)求的值;(2)若AB=18,FB=EC,求AC的长.22.(9分)某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:个)之间有;(2)设经营此贺卡的销售利润为W元,求出W与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的单价最高不能超过10元,请你求出当日销售单价x定为多少时,才能获得最大日销售利润.23.(9分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O与AB边交于点D,过点D作☉O的切线,交BC于点E.(1)求证点E是边BC的中点;(2)若EC=3,BD=2,求☉O的直径AC的长;(3)若以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形,试判断△ABC的形状,并说明理由.24.(10分)(2015·成都中考)如图所示,一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积.【答案与解析】1.D(解析:将点P-代入函数解析式,得k=-×2=-1.故选D.)2.D(解析:把(1,1)代入,左边≠右边,故A错误;因为k=4>0,所以图象在第一、三象限,故B错误;沿x轴对折不重合,故C错误;两分支关于原点对称,故D正确.故选D.)3.B(解析:根据平行线分线段成比例,得=,即=,则EC=2.故选B.)4.A(解析:∵BE∶EC=2∶3,∴BE∶BC=2∶5,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴BE∶AD=2∶5,△ADF∽△EBF,∴==.故选A.)5.D(解析:∵k=-1<0,∴反比例函数图象在第二、四象限,且在每个象限内y随x的增大而增大,∵y1<0<y2<y3,∴x1>0,x2<x3<0,即x2<x3<x1.故选D.)6.C(解析:根据反比例函数的性质可知a>0,再根据一次函数的性质知y=-ax+a的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.故选C.)7.C(解析:在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB===10,又△ADE∽△ABC,则=,=,∴AD==5.故选C.)8.C(解析:如图所示,过B点作BD⊥x轴,垂足为D,∵△OAB是等边三角形,∴OB=OA=2,∴OD=1,BD=.∴点B的坐标为(1,).∵反比例函数的图象经过点B,∴k=.故选C.)9.B(解析:设阴影部分的直径是x m,则1.2∶x=2∶3,解得x=1.8,所以地面上阴影部分的面积S=πr2=0.81π(米2).故选B.)10.D(解析:∵反比例函数的图象经过A,B两点,且A,B两点的纵坐标分别为3,1,∴点A的坐标为(1,3),点B的坐标为(3,1),过B作BE⊥AD,垂足为E,则AE=2,BE=2,根据勾股定理可得AB=2,又∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB=2,∴菱形ABCD的面积为AD·BE=2×2=4.故选D.)11.-9(解析:∵函数y=(m-2)是反比例函数,∴m-2≠0,且2m+1=-1,∴m=-1,∴y=-,当y=时,x=-9.故填-9.)12.2∶1(解析:∵△ABC与△DEF相似且面积比为4∶1,∴△ABC与△DEF的相似比为2∶1,∴△ABC与△DEF的对应边上的高之比为2∶1.故填2∶1.)13.6(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,点E是AD边的中点,∴△AEF∽△CBF,∴=,=,∴FC=4,∴AC=6.故填6.)14.k>2015(解析:反比例函数y=的性质:当k>0时,图象在第一、三象限,且在每一象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象在第二、四象限,且在每一象限内,y随x的增大而增大.由题意得k-2015>0,解得k>2015.)15.y=(解析:将(1,k)代入一次函数解析式y=2x+1,得k=2+1=3,把(1,3)代入y=,得k=3,则反比例函数解析式为y=.故填y=.)16.3或(解析:当△ABC∽△AQP时,=,即=,AQ=3;当△ABC∽△APQ时,=,即=,AQ=.故填3或.)17.解:(1)把A(1,2k-1)代入y=(k≠0),得1×(2k-1)=k,解得k=1,∴反比例函数的解析式为y=.(2)∵k=1,∴点A坐标为(1,1),∵=OB×1=3,∴OB=6,又m<0,∴点B的坐标为(6,0),把(1,1),(6,0)代入y=mx+b,得解得-.∴一次函数解析式为y=-x+.18.解:如图所示.(1)平移后三个顶点的横坐标都不变,纵坐标都加4.(2)三个顶点的纵坐标不变,横坐标变为原来的相反数. (3)点A的坐标不变,点B的纵坐标不变,横坐标为原来横坐标加AB的长,点C的横坐标为原来横坐标加AB的长,纵坐标为原来纵坐标加BC的长.19.(1)证明:∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠DPC,∠APD=∠B,∴∠BAP=∠DPC,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△ABP∽△PCD,∴=,∴AB·CD=CP·BP,即AC·CD=CP·BP.(2)解:∵PD∥AB,∴△PCD∽△BCA,由①得△ABP∽△PCD,∴△ABP∽△BCA,∴=,∴=,∴PB=.20.解:(1)把A(-1,4)代入反比例函数解析式y=,得m=-1×4=-4,∴反比例函数的解析式为y=-;把B(2,n)代入y=-,得2n=-4,解得n=-2,∴B点坐标为(2,-2),将A(-1,4)和B(2,-2)代入y=kx+b,得--解得-∴一次函数的解析式为y=-2x+2.(2)∵BC⊥y轴,垂足为C,B(2,-2),∴C点坐标为(0,-2),设直线AC的解析式为y=px+q(p≠0),∵A(-1,4),C(0,-2),∴--解得--∴直线AC的解析式为y=-6x-2,当y=0时,-6x-2=0,解得x=-,∴E点坐标为-,∵直线AB的解析式为y=-2x+2,∴直线AB与x轴交点D的坐标为(1,0),∴DE=1--=,∴△AED的面积S=××4=.21.解:(1)如图所示,连接FC,AD.∵点F是AB的中点,CD=BC,∴FC是△ADB的中位线,∴FC∥AD,FC=AD,∴△EFC∽△EDA,∴==2,∴=.(2)∵点F是AB的中点,AB=18,FB=EC,∴EC=AB=9.由(1)知=2,则=2,∴AE=18,∴AC=AE+EC=18+9=27.21.解:(1)如图所示,连接FC,AD.∵点F是AB的中点,CD=BC,∴FC是△ADB的中位线,∴FC∥AD,FC=AD,∴△EFC∽△EDA,∴==2,∴=.(2)∵点F是AB的中点,AB=18,FB=EC,∴EC=AB=9.由(1)知=2,则=2,∴AE=18,∴AC=AE+EC=18+9=27.22.解:(1)设y=,把点(3,20)代入得k=60,∴y=,其他组数据也满足此关系式,故y=,图象略.(2)∵W=(x-2)y=60-,又∵x≤10,∴当x=10时,日销售利润最大.23.(1)证明:如图所示,连接CD,OD.∵DE为切线,∴∠EDC+∠ODC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ECD+∠OCD=90°.又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∴∠EDC=∠ECD,∴ED=EC.∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠BDE+∠EDC=90°,∠B+∠ECD=90°,∴∠B=∠BDE,∴ED=EB,∴EB=EC,即点E为边BC的中点.(2)解:∵AC为直径,∴∠ADC=∠ACB=90°,又∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD,∴=,∴BC2=BD·BA.∴(2EC)2=BD·BA,即BA·2=36,∴BA=3,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=-=3.(3)解:△ABC是等腰直角三角形.理由如下:∵四边形ODEC为正方形,∴∠OCD=45°.∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-45°=45°,∴Rt△ABC为等腰直角三角形.24.解:(1)由已知可得a=-1+4=3,k=1×a=1×3=3,∴反比例函数的表达式为y=,联立-解得或.所以B(3,1).(2)如图所示,作B点关于x轴的对称点,得到B'(3,-1),连接AB'交x轴于点P',连接P'B,则有PA+PB=PA+PB'≥AB',当且仅当P点和P'点重合时取等号.易得直线AB'的解析式为y=-2x+5,令y=0,得x=,∴P',即满足条件的P的坐标为,设y=-x+4交x轴于点C,则C(4,0),∴S△PAB=S△APC-S△BPC=×PC×(y A-y B)=×(4-)×(3-1)=.。
泰安市肥城初三第二学期期中考试数学试卷时间：120分钟 满分：120分1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷2页为选择题，36分；第Ⅱ卷4页为非选择题，84分；全卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟。
2．考试时，不允许使用科学计算器。
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分）下列各题的四个结论中只有一个是正确的，请将正确答案填入下表。
1．sin30°的值是（ ） A ．23 B ．22 C ．21 D ．1 2．抛物线y=（x –2）2的顶点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（-2，0） C ．（0，2） D ．（0，-2）3．如果⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和1cm ，且O 1O 2=2cm ．则⊙O 1和⊙O 2位置关系是 （ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切4．二次函数y=x 2的图像向上平移2个单位，得到新的图像的二次函数表达式是 （ ）A ．y=x 2–2B ．y=（x –2）2C ．y=x 2+2D ．y=（x+2）2 5．图中∠BOD 的度数是（ ）A ．75°B ．80°C ．135°D ．150°6．等腰三角形的腰长与底边之比为1： 2 ，则底角和顶角的度数分别是（ ） A ．30°和120° B ．45°和90° C ．60°和60° D ．15°和150°7．如图，一电线杆AB 的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60度时，其影子AC 约为 （ ） （3取1.732,结果保留3个有效数字）A ．5.00米B ．8.66米C ．17.3米D ．5.77米8．已知抛物线y =ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；② 当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b = 0 ；④ 当y = -2时，x 的值只能取0，其中正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，已知AD 是△ABC 的外接圆的直径，AD=13cm ，cosB=135，则AC 的长等于（ ）A ．5cmB ．6cmC ．10cmD ．12cm10．已知一次函数y =ax+c 与二次函数y =ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图像是 （ ）11．如图，实线部分是半径为9 m 的两条等弧组成的游泳池。
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4 3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.27．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2 8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为x1＝2，x2＝4．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n﹣1）．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明P A＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA 以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE 交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC九年级下数学∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。
