2021届四川省内江市高中高三上学期第一次模拟数学(理)试题Word版含解析

2021届高三数学上学期一诊模拟试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作Im()z b =，则3Im 1i i +⎛⎫= ⎪+⎝⎭（ ） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简31ii++，再根据题目中定义的复数的虚部，可得答案． 【详解】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 又复数(,)z a bi a b R =+∈的虚部记作()Im z b =， 3()11iIm i+∴=-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算、虚部的定义，属于基础题． 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .3B. 6-C. 10D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】程序框图的作用是计算22221234-+-+，故可得正确结果. 【详解】根据程序框图可知2222123410S =-+-+=，故选C. 【点睛】本题考查算法中的选择结构和循环结构，属于容易题. 3.关于函数()tan f x x =的性质，下列叙述不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 的图象关于直线()2k x k Z π=∈对称 D. ()f x 在每一个区间(,)()2k k k Z πππ+∈内单调递增【答案】A 【解析】试题分析：因为1()tan()()22tan f x x f x xππ+=+=≠，所以A 错；()tan()tan ()f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数，B 正确；由()tan f x x =的图象可知，C 、D 均正确；故选A. 考点：正切函数的图象与性质.4.已知0,0a b >>，则“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当01a <≤且01b <≤时，由不等式性质可得2a b +≤且1ab ≤；当31,22a b ==，满足2a b +≤且1ab ≤，但不满足1a ≤且1b ≤，所以“1a ≤且1b ≤”是“2a b +≤且1ab ≤”的充分不必要条件，故选A.考点：1.不等式性质；2.充要条件.5.如果21nx ⎫-⎪⎭的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式中x 的指数为0,得到5n r =,由此可得正整数n 的最小值是5. 【详解】因为21nx ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为52121()(1)n rrn rr r rr nn T C C x x--+=-=-,(0,1,2,)r n =,令502n r-=,则5n r =,因为*n N ∈,所以1r =时,n 取最小值5. 故选:C【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式,利用通项公式是解题关键,属于基础题.6.在约束条件：1210x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩下，目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则ab 的最大值等于（ ） A.12B. 38C.14D.18【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数取得最大值，确定a ，b 的关系，利用基本不等式求ab 的最大值．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）， 由(0,0)z ax by a b =+>>，则a z y x b b =-+，平移直线a zy x b b=-+，由图象可知当直线a zy x b b=-+经过点(1,2)A 时直线的截距最大，此时z 最大为1．代入目标函数z ax by =+得21a b +=． 则1222a b ab =+， 则18ab当且仅当122a b ==时取等号，ab ∴的最大值等于18， 故选：D ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及基本不等式是解决此类问题的基本方法．7.设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ） A.152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得． 【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1， 设{a n }的公比为q ，则q ＞0， ∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．8. 用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有（ ） A. 288个 B. 306个 C. 324个 D. 342个【答案】C 【解析】试题分析：当个位、十位、百位全为偶数时，有3313434390C A C A -=；当个位、十位、百位为两个奇数、一个偶数时，有21312133434333234C C A A C C A -=，所以共有90234324+=种,故选C.考点：1.分类计数原理与分步计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题主要考查两个基本原理与排列、组合知识的综合应用问题，属难题；计数原理应用的关键问题是合理的分类与分步，分类要按时同一个的标准进行，要做到不重不漏，分类运算中的每一类根据实际情况，要分步进行.9.已知函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->，则当24a <<时，有（ ） A. ()()22(2)log af f f a <<B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f <<D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数()f x '满足当2x ≠时,(2)()0x f x '->,可得()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R ∀∈都有()(4)f x f x =-, 所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <, 所以()f x 在(,2)-∞上递减,在(2,)+∞上递增, 所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=, 所以224log 3a <-<, 所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)af a f -<, 所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.10.对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. [6,)+∞B. [4,6]-C. (4,6)-D.(,4]-∞-【答案】A 【解析】 【分析】首先将|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,转化为圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,继续转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,再根据圆心到直线的距离小于等于半径且(349)(34)0a ---+≤,解不等式组可得答案.【详解】因为|349||34|x y x y a --+-+的取值与x ，y 无关,所以+的取值与x ，y 无关,取值与x ，y 无关,即圆上的点到直线1;3490l x y --=的距离与到直线2:340l x y a -+=的距离之和与,x y 无关,因为圆心(1,1)到直线1;3490l x y --=21=>,所以直线1;3490l x y --=与圆相离,所以直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间,1≥,且(349)(34)0a ---+≤,所以6a ≥或4a ≤- 且1a ≥, 所以6a ≥. 故选:A【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,利用点到直线的距离公式将问题转化为直线2:340l x y a -+=必与圆相离或相切,且圆在1;3490l x y --=与2:340l x y a -+=之间是解题关键,属于中档题.11.若a ，b ，c 满足，||||2||2a b c ===，则()()a b c b -⋅-的最大值为（ ） A. 10 B. 12C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA a =，OB b =，OC c =，表示出a b -，-c b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，c b BC -=()()cos a bc b BA BC BA BC ABC ∴--==⋅∠||||2||2a b c ===4BA ∴≤，3BC ≤当且仅当BA ，BC 同向时()()a b c b --取最大值12故()()max12a bc b --=故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.12.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A. [13,19]B. 335,195⎡⎤⎢⎥⎣ C. 335,13⎡⎤⎢⎥⎣ D.339,19⎡⎤⎢⎥⎣【答案】B 【解析】 分析】如图:先作出过1B P 且与平面DEF 平行的平面,可知点P 的轨迹为QN ,然后根据平面几何知识求出DP 的最小值和最大值,根据勾股定理可求出PC 的取值范围. 【详解】如图所示:在1AA 上取点Q ,使得112AQ QA =,连接1B Q ,因为12CF FC =,所以1//B Q DF ; 取11C D 的中点M ,连接1B M ,因为E 为AB 的中点,所以1//B M DE ; 因此平面1//B QM 平面DEF ,过M 作//MN DF 交1DD 于N ,则四点1,,,B Q N M 共面,且123DN DD =, 因为1//B P 平面DEF ,所以点P 在线段QN 上运动, 连接DP ,根据正方体的性质可知CD DP ⊥,所以PC ,在平面QADN 中,1=AQ ,3AD =,2DQ =,所以DNDQ ==所以点D 到QN的距离为1322152⨯⨯=, 所以DP,, 所以PC5=,=. 所以PC的取值范围是5⎡⎢⎣. 故选:B【点睛】本题考查了作几何体的截面,考查了平面与平面平行的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,关键是作出点P 的运动轨迹,属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上） 13.命题“2,1x N x ∀∈>”的否定为__________．” 【答案】2,1x N x ∃∈≤ 【解析】全称命题“,()x M p x ∀∈”的否定是存在性命题“,()x M p x ∃∈⌝”，所以“2,1x N x ∀∈>”的否定是“2,1x N x ∃∈≤”．14.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数,若样本容量为1600,则中间一组（即第五组）的频数为 ▲ . 【答案】360 【解析】 【详解】根据题意9个小长方形面积依次为0.02,0.02,0.022,0.023,0.024,0.023,0.022,0.02,0.02d d d d d d d +++++++因为9个小长方形面积和为1，所以0.82160.1811600(0.024)36016d d d +=∴=∴⨯+= 15.设O 、F 分别是抛物线22y x =的顶点和焦点，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为__________. 【答案】233【解析】【详解】试题分析：设点M 的坐标为(,)M x y ，由抛物线的定义可知，12MF x =+，则222222122411111()2224x MOx yx x x xMFx x x x x -+++====++++++， 令14t x =-，则14t >-,14x t =+,若t>02112311139933216162MO t MF t t t t =+=+≤+=++++3t 4=时等号成立， 所以MOMF的最大值为33. 考点：1.抛物线的定义及几何性质；2.基本不等式.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及几何性质、基本不等式，属中档题；求圆锥曲线的最值问题，可利用定义和圆锥曲线的几何性质，利用其几何意义求之，也可根据已知条件把所求的问题用一个或两个未知数表示，即求出其目标函数，利用函数的性质、基本不等式或线性规划知识求之. 16.已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211a b +--的最小值为 ．【答案】424+ 【解析】试题分析：因为，所以，则（当且仅当，即时，取等号）；故填4243+． 【方法点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值问题，属于难题；解决本题的关键是消元、裂项，难点是合理配凑、恒等变形，目的是出现基本不等式的使用条件（正值、定积），再利用基本不等式进行求解，但要注意验证等号成立的条件. 考点：基本不等式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知3c =,且1sin cos 64C C π⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭.（1）求角C 的大小;（2）若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线, 求,a b 的值. 【答案】(1)3π;(2)3,23a b ==． 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换，sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可解得3C π=；（2）由m 与n 共线， 得sin 2sin 0B A -=，再由正弦定理，得2b a =，在根据余弦定理列出方程，即可求解,a b 的值.试题解析：（1）2113sin cos cos ,2cos 2122C C C C C -=-=, 即sin 21,0,2662C C C ππππ⎛⎫-=<<∴-= ⎪⎝⎭,解得3C π=. （2）m 与n 共线,sin 2sin 0B A ∴-=, 由正弦定理sin sin a bA B=,得2b a =,① 3c =,由余弦定理，得2292cos3a b ab π=+-, ② 联立①②,{a b ==考点：正弦定理；余弦定理.18.学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：（Ⅰ）根据表中数据能否判断有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635【答案】（I ）没有的把握认为“古文迷”与性别有关；（II ）“古文迷”的人数为3，“非古文迷”有2；（III ）分布列见解析，期望为95. 【解析】【详解】（I ）由列联表得所以没有的把握认为“古文迷”与性别有关．（II ）调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为人，“非古文迷”有人．即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人（III ）因为为所抽取3人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为1，2,3．，，．所以随机变量ξ的分布列为123于是．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，每个侧面均为正方形，D 为底边AB 的中点，E 为侧棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面1A EB ； （Ⅱ）求证：1AB ⊥平面1A EB ；（Ⅲ）求直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线1B E 与平面11AAC C 所成角的正弦值为15【解析】【详解】证明：（Ⅰ）设11AB A B 和的交点为O ,连接EO ，连接EO .因为O 为1AB 的中点，O 为EO 的中点,所以EO ∥1AB 且112OD BB =.又O 是1AB 中点， 所以AB ∥1AB 且112OD BB =,所以AB ∥EO 且EC OD =.所以，四边形ECOD 为平行四边形.所以EO ∥EC .又CD ⊄平面1A BE ,EO ⊂平面1A BE ,则EC ∥平面1A BE . (Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以1BB AB ⊥，1BB AB ⊥. 所以1BB ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ABC ，所以1BB AB ⊥. 由已知得AB BC AC ==，所以CD AB ⊥, 所以ABC 平面11A ABB .由（Ⅰ）可知EO ∥EC ，所以CD ⊂平面11A ABB . 所以CD ⊂1AB .因为侧面是正方形，所以11AB A B ⊥.又1EO A B O ⋂=，EO ⊥平面1A EB ，1A B ⊂平面1A EB , 所以1A B ⊂平面1A BE .（Ⅲ）解: 取11A C 中点F ，连接1,?B F EF . 在三棱柱111ABC A B C -中，因1BB ⊥平面ABC ，所以侧面11ACC A ⊥底面1AB ⊥.因为底面1AB ⊥是正三角形，且F 是11A C 中点， 所以111B F AC ⊥，所以1BB ⊥侧面11ACC A . 所以EF 是11A C 在平面11ACC A 上的射影. 所以1FEB ∠是11A C 与平面11ACC A 所成角.111sin 5B F BE F B E ∠==20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为())12,F F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论.【答案】(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++. 试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，y =.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛ ⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．21.已知函数()ln ()f x tx x t =+∈R . （1）当1t =-时，证明：()1f x ≤-；（2）若对于定义域内任意x ，()1xf x x e ≤⋅-恒成立，求t 的范围 【答案】（1）见解析 （2）(,1]-∞ 【解析】 【分析】（1）构造函数()ln 1g x x x =-+利用导数求出函数的单调性，得到函数的最大值，即可得证；（2）参变分离得到ln 1xx t e x +≤-在(0,)+∞恒成立，构造函数ln 1()xx x e xϕ+=-求出函数的最小值，即可得到参数t 的取值范围.【详解】（1）证明：即是证明ln 1x x -≤-，设()ln 1g x x x =-+，1()xg x x-'=当01x <<，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >，()0g x '<，()g x 单调递减；所以()g x 在1x =处取到最大值，即()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x -≤-得证 （2）原式子恒成立即ln 1xx t e x+≤-在(0,)+∞恒成立 设ln 1()xx x e xϕ+=-， 22ln ()x x e x x x ϕ+'=，设2()ln xQ x x e x =+， ()21()20x Q x x x e x '=++>，所以()Q x 单调递增，且102Q ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(1)0Q > 所以()Q x 有唯一零点0x ，而且0200ln 0x x ex ⋅+=，所以0200ln x x e x ⋅=-两边同时取对数得()()0000ln ln ln ln x x x x +=-+-易证明函数ln y x x =+是增函数，所以得00ln x x =-，所以01x e x =所以由()x ϕ在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()0000000ln 111()1xx x x x e x x x ϕϕ+-+≥=-=-= 于是t 的取值范围是(,1]-∞【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在极坐标系下，已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线()2:sin 0,024l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标.【答案】（1） 圆O 的直角坐标方程为x 2+y 2-x-y=0,直线l 的直角坐标方程为x-y+1=0 （2）【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 将圆O 和直线l 极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l 与圆O 的公共点的直角坐标，再根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+化为极坐标试题解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0. 直线l ：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得，，解得即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．23.已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）6m >或2m <- 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 【详解】（1）原不等式为：23215x x ++-≤，当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<；当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤．所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

四川省内江市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为（）A．6481B．3227C．89D．1627【答案】B【解析】【分析】根据循环语句，输入1x=，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】输入1x=，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：23x=，24i=<，不满足判断条件；第2次循环：89x=，34i=<，不满足判断条件；第4次循环：3227x=，44i=≥，满足判断条件；输出结果3227x=.故选：B【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.2．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题． 3．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120C ．-15D ．15【答案】C 【解析】【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 4．若i 为虚数单位，则复数112iz i+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或a =B ．1a <<C ．01a <<或1e a e = D ．01a <<【答案】C 【解析】 【分析】根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln xa x =；构造函数()ln x g x x=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】由log a x x =得，ln ln xa x=. 令()ln xg x x =， 则()21ln xg x x -'=， 令()0g x '=，解得x e =，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1e g e e e==， 则()ln xg x x=的图象如下图所示：由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e=， 解得01a <<或1e a e =. 故选：C 【点睛】本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.6．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]e B ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-【答案】D 【解析】 【分析】将原题等价转化为方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2()ln 1F x x x ax =-++，求导得221()x ax F x x'--=-，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；【详解】函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，等价于方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.设2()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x'--=-+=-，若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数； 当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.因为0(0,]x e ∀∈，方程()20ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e≤-. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2111ln 0x x ax -+>.因为211210x ax --=，所以1112a x x =-，代入2111ln 0x x ax -+>，得211ln 10x x +->. 设()2ln 1m x x x =+-，()120m x x x'=+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由211ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.由1112a xx =-在()1,e 上是增函数，得112a e e<<-. 综上所述21a e e<≤-， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题7．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43B ．3C 23D ．23【答案】B 【解析】 【分析】由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积． 【详解】由题意原几何体是正三棱柱，1234432V =⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．8．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x -==-，可得21()1f x x '=+， 0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，， 故不等式121(())xx f ef e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 9．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．73B ．14C ．203D ．7【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的向量表示求出a b ⋅，再由投影的定义计算． 【详解】由(2)(4)a b a b -⊥+可得22(2)(4)2740a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=，因为||3||3a b ==，所以2a b ⋅=-．故2a b -在a 方向上的投影为2(2)218220||||33a b a a a b a a -⋅-⋅+===．故选：C ． 【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键． 10．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.11．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.12．设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届四川省内江市高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出集合A，由此能求出A∩B．【详解】∵集合A＝{x|x≤1，x∈N}＝{0，1}，又，∴A∩B＝{0，1}．故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件．2．设，则（）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】利用复数的运算法则及其性质即可得出．【详解】z2i2i＝﹣1﹣i2i=﹣1+i，则|z|．故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【答案】D【解析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选：D．【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．4．记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】A【解析】利用等差数列{a n}的前n项和与通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的公差．【详解】∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝3，S6＝21，∴，解得a1＝1，d＝1．∴数列{a n}的公差为1．故选：A．【点睛】本题考查数列的公差的求法，考查等差数列的前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．若，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据，对两边平方即可求出，从而可求出，这样即可求出与的夹角．【详解】∵；∴；∴；∴；又；∴的夹角为．故选：D．【点睛】考查向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，以及已知三角函数值求角，属于基础题.6．在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知画出图形，连接BC1，由AB∥A1B1，可得∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，求解三角形得答案．【详解】如图，连接BC1，由AB∥A1B1，∴∠C1AB为异面直线A1B1与AC1所成角，由已知可得，则．∴cos∠C1AB．即异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角，考查数学转化思想方法，是基础题．7．函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．【详解】当x→+∞时，f（x）→﹣∞，故排除D；易知f（x）在R上连续，故排除B；且f（0）＝ln2﹣e﹣1＞0，故排除A，故选：C．【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．8．设表示不小于实数的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．7 B．11C．8 D．14【答案】B【解析】执行循环，直至，跳出循环，输出结果.【详解】执行循环，结束循环，输出结果.选B.【点睛】本题考查循环流程图，考查基本分析计算判断能力.9．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求，再求导数得切线斜率，最后求倾斜角.【详解】因为，所以因此，倾斜角为，选B.【点睛】本题考查导数几何意义以及倾斜角，考查基本分析求解能力.10．已知函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期是；②函数在区间上是减函数；③函数的图像关于点对称；④函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】先化简三角函数，再根据三角函数性质判断各结论正确是否.【详解】,,，所以函数在区间上不是减函数，所以函数的图像不关于点对称；函数的图像向右平移个单位得，再向下平移1个单位得到,不是.综上选A.【点睛】本题考查三角函数化简以及三角函数图象与性质，考查基本分析化简能力.11．在中，已知，，点D为BC的三等分点(靠近C)，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用向量加法法则把所求数量积转化为向量的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．【详解】如图，＝8﹣1＝7﹣2cos∠BAC∵∠BAC∈（0，π），∴cos∠BAC∈（﹣1，1），∴7﹣2cos∠BAC∈（5，9），故选：C．【点睛】此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．12．设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【解析】构造函数，由可得在上是增函数，在上单调递减，原不等式等价于，从而可得结果.【详解】设，则时，，为偶函数，在上是增函数，时单调递减.所以可得，，即，实数的取值范围为，故选A.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题13．的展开式中的系数为______.【答案】【解析】根据二项式定理确定的系数.【详解】因此展开式中的系数为【点睛】本题考查二项式定理，考查基本分析求解能力.14．设，满足约束条件，则的最小值为______.【答案】【解析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（1，2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝2×1+2＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】根据椭圆定义可用表示，,再根据余弦定理建立关系，解得离心率.【详解】设,则,因此从而，且,,【点睛】本题考查椭圆定义以及离心率，考查基本分析求解能力.16．设数列满足，，，，则______.【答案】【解析】数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N，n≥4），即a n+a n﹣3＝a+a n﹣2（n∈N，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9 n﹣1＝33，……．可得数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8,即可得出．【详解】∵数列{a n}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，a n＝a n﹣1+a n﹣2﹣a n﹣3（n∈N，n≥4），即a n+a n﹣3＝a n﹣1+a n﹣2（n∈N，n≥4），a＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．4∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8．则a2018＝a2+（1009﹣1）×8＝4+8064＝8068．故答案为：8068．【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．等比数列的各项均为正数，且求数列的通项公式.设求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由＝9a 2a 6得＝9,所以q 2＝．由条件可知q ＞0,故q ＝．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝．故数列{a n }的通项公式为a n ＝．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－．故．所以数列的前n 项和为【考点】等比数列的通项公式；数列的求和18．国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据：）【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.【解析】试题分析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，根据函数模型，即可求出最大值；（2））由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时，然后解不等式，即可求出.试题解析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，此时，当，即时，函数取得最大值为.故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时. 由，得：，两边取自然对数得：即，∴，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.19．如图，是直角斜边上一点，.（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）设，则，，，根据余弦定理即可求出．【详解】解：（1）在中，由正弦定理得.∵，，∴.又，∴.∴，即.（2）设，则，，.∴，，.在中，由余弦定理得，即，∴.故.【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题．20．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 1A 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% 2A上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%3A上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a ，记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【答案】（1）13（2）①815②5000【解析】试题分析：（1）根据题意，首先确定X的所有可能取值，然后利用统计表格，借助古典概型的公式计算对应的概率，进而利用期望公式求解；（2）利用独立重复实验的概率计算公式求解满足条件的概率，明确Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润的可能性，得到分布列和利润期望值.（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a，由统计数据可知:()()()()11110.9,0.8,0.7,612123P X a P X a P X a P X a ========，()()111.1, 1.3412P X a P X a ====.所以X 的分布列为：X 0.9a0.8a0.7aa 1.1a1.3aP 161121121314112所以111111119113050.90.80.7 1.1 1.39426121234121212a EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈.（Ⅱ） ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为321311220133327P C ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润， Y 的可能取值为5000,10000-. 所以Y 的分布列为：Y 5000-10000P1323所以12500010000500033EY =-⨯+⨯=.所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY ⨯=万元.21．已知函数.（1）若时,恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)通过二次求导判断则在上单调递增，则，再通过分类讨论求求恒成立.（2）由（1）中结论利用函数的单调性证明.【详解】（1）若时, 则，在上单调递增，则则在上单调递增，①当，即时，，则在上单调递增，此时，满足题意②若,由在上单调递增，由于，.故,使得. 则当时,,∴函数在上单调递减. ∴,不恒成立.舍去．综上所述,实数的取值范围是（2）证明:由(1)知,当时,在上单调递增.则,即..,即【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性及最值中的应用，综合性较强.第一问通过二次求导判断的符号以及分类讨论思想运用是本题解题的难点.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，，求的值.【答案】（1）的普通方程为.的直角坐标方程为；（2）.【解析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（2）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4|sin（）|＝4，进而sin（）＝±1，由此能求出结果．【详解】解：（1）由消去参数，得的普通方程为.∵，又，∴的直角坐标方程为.（2）由（1）知曲线的普通方程为，∴其极坐标方程为，∴.∴又，∴.【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当a＝﹣3时，f（x）＝x2+|2x﹣4|﹣3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x2+|x|的解集；（2）f（x）≥0的解集为实数集R⇔a≥﹣x2﹣|2x﹣4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得﹣x2﹣|2x﹣4|的最大值为﹣3，从而可得实数a的取值范围．【详解】解：（1）当时，.∴.或或或或或.∴当时，不等式的解集为.（2）∵的解集为实数集对恒成立.又，∴.∴.故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．。

四川省内江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()2x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】【分析】 由()2x f x e mx =-是偶函数，则只需()2x f x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可. 【详解】解：显然()2x f x e mx =-是偶函数 所以只需()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可 令20x e mx -=，则2xe m x = 令()2xe g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥= ()0,x ∈+∞时，()22x xf e x e mx mx ==--有且只有2个零点， 只需24e m > 故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．822+D ．842+【答案】D【解析】【分析】 根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积．【详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2，所以1122222222284222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+， 故选：D【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题. 3．已知1F ，2F 是双曲线222:1x C y a -=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若2AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ） A ．23 B ．3C ．23 D ．33【答案】B【解析】【分析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得r =故选：B【点睛】 本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.4．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④ 【答案】D【解析】【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直.【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =I ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.故选：D【点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.5．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．32【答案】D【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,3,033O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．2B ．1121-C 521+D ．23【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 7．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

1高三数学第一次模拟考试试题文本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页. 全卷满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}0|{??xxA，}11|{????xxB，则?BA?A.),0(??B. ),1(???C. )1,0(D. )1,1(?2.设i为虚数单位，Ra?，若)1)(1(aii??是纯虚数，则?aA.2B.2?C. 1D. 1?3.??0000140sin20cos40cos20sinA.23?B.23C. 21?D. 214.下列说法中正确的是A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为?150,100,50???mmm的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线axby?????不一定过样本中心点),(yxC. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D.若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是325.执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是A. 2B. 1C.21D.1?6.已知数列}{n a满足)(2*1Nnaa nn???，231??aa，则??75aaA.8B. 16C. 32D. 647.已知实数yx,满足??????????????06302023yxxyyx，则xyz2??的最小值是A. 5B.2?C.3?D.5?8. 从集合}4,3,2{中随机抽取两数yx,，则满足21log?y x的概率是2C. oy-22xB. oy-22x A.oy-22x D.o y-22x A.32 B.21C. 31D.619.函数x xx f2)(2??的图象大致是10.已知函数xxxxf cos sin3sin)(2??，则A.)(xf的最小正周期为?2B.)(xf的最大值为2C.)(xf 在)65,3(??上单调递减D.)(xf的图象关于直线6??x对称11.设0?a，当0?x时，不等式22232ln)1(21aaxaxax?????恒成立，则a的取值范围是A.),1()1,0(??B.),0(??C.),1(??D.)1,0(12.设*Nn?，函数x xexf?)(1，)()(12xfxf??，)()(23xfxf??，…，)()(1xfxf nn???，曲线)(xfy n?的最低点为n P，则A.存在*Nn?，使21???nnn PPP为等腰三角形B. 存在*Nn?，使21???nnn PPP为锐角三角形C. 存在*Nn?，使21???nnn PPP为直角三角形D. 对任意*Nn?，21???nnn PPP为钝角三角形第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正方形ABCD的边长为2，则???)(ADACAB .14.甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了.如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 . 15.设函数?????????0),(20),1()(xxfxxxxf，则满足2)(?xf的x的取值范围是 .16.已知n S是等差数列}{n a的前n项和，3813,1aaa??，则3???????11434323212nnn SSaSSaSSaSSa .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）设n S是数列}{n a的前n项和.已知11?a，122???nn aS. （Ⅰ）求数列}{n a的通项公式；（Ⅱ）设nnn ab)1(??，求数列}{n b的前n项和.18.（本小题满分12分）ABC?的内角CBA,,的对边分别为cba,,，已知0sincos??BcCb.（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若10,5??ba，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长.19.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在)120,100[内，则为合格品，否则为不合.图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较.4P(K2≥k0)0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635))()()(()(22dbcadcbabcadnK??????.20.（本小题满分12分）已知函数),(cossin)(Rbaxbxaxf???，曲线)(xfy?在点))3(,3(??f处的切线方程为：3???xy. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数xxfxg)3()(???在]2,0(?上的最小值. 21.（本小题满分12分）已知函数)(1)(Raaxexf x????. （Ⅰ）讨论)(xf的单调性；（Ⅱ）设1?a，是否存在正实数x，使得0)(?x f？若存在，请求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本题满分10分）[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??????????tytx212332（t为参数），曲线C的参数方程为??????????sin3cos33yx（?为参数）. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为),2(?，其中)2,0(???. 射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求MN的值.23．（本题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数213)(????xxxf的最小值为m. （Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数ba,满足mba??222，证明：52??ba.数学（文史类）参考答案及评分意见5一．选择题（每小题5分，共12题，共60分）1.B2. C3. B4.D5. A6. C7. D8. D9. B 10. C 11.A 12.D 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13.4 14. 乙 15. ),2()0,1(???16. 2)1(11??n三．解答题（共6小题，共70分）17.解：（Ⅰ）∵122???nn aS，11?a∴当1?n时，2122aS??，得212121112?????aSa..........................2分当2?n时，nn aS221???∴当2?n时，122???nnn aaa，即nn aa211?? (5)分又1221aa?∴}{n a是以11?a为首项，21为公比的等比数列..................................6分∴数列}{n a的通项公式121??nn a..............................................7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12)1(???nnn b∴当2?n时，211???nn bb∴}{n b是以11??b为首项，21?为公比的等比数列..............................10分∴数列}{n b的前n项和为322132211])21(1[??????????????nn........................12分18.解：（Ⅰ）∵0sincos??BcCb∴由正弦定理知，0sinsincossin??BCCB (2)分∵???B0∴0sin?B，于是0sincos??CC，即1tan??C..............................4分∵???C0∴43??C (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，????25)22(5102105cos222222???????????C ab bac6∴5?c (8)分∴552552102552cos222?????????ac bcaB........................................ 10分设BC的中垂线交BC于点E∵在BCDRt?中，BDBEB?cos∴455522cos???aBBEBD又BDCD?∴45?CD (12)分19.解：（Ⅰ）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为507......................2分∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为7005075000??（件）..............3分（Ⅱ）由表1和图1得到列联表甲套设备乙套设备合计合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计 5050100 ........................................................................... 5分将列联表中的数据代入公式计算得05.39915050)432748(100))()()(()(222???????????????dbcadcbabcadn K................8分∵706.205.3?∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 (9)分（Ⅲ）由表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为5048，乙套设备生产的合格品的概率约为5043，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.....................12分20.解：（Ⅰ）由切线方程知，当3??x时，0?y7∴02123)3(???baf? (1)分∵xbxaxfsincos)(??? (3)分∴由切线方程知，12321)3(????baf? (4)分∴23,21???ba..........................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)3sin(cos23sin21)(?????xxxxf (6)分∴函数)20(sin)(????xxxxg2sincos)(xxxxxg???............................. ..........................8分设)20(sincos)(?????xxxxxu则0sin)(????xxxu，故)(xu在]2,0(?上单调递减∴0)0()(??uxu∴)(xg在]2,0(?上单调递减.................................................11分∴函数)(xg在]2,0(?上的最小值为??2)2(?g..................................12分21.解：（Ⅰ）)(xf的定义域为R，aexf x???)( (1)分当0?a时，0)(??xf，故)(xf在R上单调递增 (2)分当0?a时，令0)(??xf，得axln?当axln?时，0)(??xf，故)(xf单调递减当axln?时，0)(??xf，故)(xf单调递增 (5)分综上所述，当0?a时，)(xf在R上单调递增；当0?a时，)(xf在)ln,(a??上单调递减，在),(ln??a上单调递增 (6)分（Ⅱ）存在正数axln2?，使得0)(?xf (8)分8即01ln2)ln2(2????aaaaf，其中1?a. 证明如下：设)1(1ln2)(2????xxxxxg，则2ln22)(????xxxg设)1(1ln)(????xxxxu，则011)(????xxu，故)(xu在),1(??上单调递增∴0)1()(??uxu，故0)(22ln22)(??????xuxxxg∴)(xg在),1(??上单调递增，故0)1()(??gxg∴当1?a时，01ln22???aaa∴01ln2)ln2(2????aaaaf (12)分22.解：（Ⅰ）直线l的普通方程为323??yx，极坐标方程为32sin3cos??????曲线C的普通方程为??3322???yx，极坐标方程为??cos32?..............5分（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为),2(?∴32sin32cos2????∵)2,0(???∴6???∴射线OM的极坐标方程为6???联立???????????cos326，解得3??∴1???MN MN??.....................................................10分23.解：（Ⅰ）∵??????????????????31,34231,122,34)(xxxxxxxf∴)(xf在),31[??上单调递增，在)31,(??上单调递减9∴)(xf的最小值为35)31(?f.................................................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，35222??ba∵222baab??∴??5)2(3)(24442222222222???????????bababaabbaba，当ba?时取等∴52??ba.............................................................10分。

2021年四川省内江市高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔5分〕集合A={|2＜1}，B={|2＞1}，那么A∪B=〔〕A．〔0，1〕 B．〔﹣1，∞〕C．〔1，∞〕D．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，∞〕2．〔5分〕设i为虚数单位，a∈R，假设是纯虚数，那么a=〔〕A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．〔5分〕以下各组向量中，可以作为基底的是〔〕A．，B．，C．，D．，4．〔5分〕以下说法中正确的选项是〔〕A．先把高三年级的2021名学生编号：1到2021，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m50，m100，m150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线不一定过样本中心点C．假设两个随机变量的线性相关性越强，那么相关系数r的值越接近于1D．设随机变量X服从正态分布N〔10，〕，那么5．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输入的a为2，那么输出的a值是〔〕A．2 B．1 C． D．﹣16．〔5分〕假设函数f〔〕=in〔2φ〕在上单调递减，那么φ的值可能是〔〕A．2πB．πC． D．7．〔5分〕α是锐角，假设，那么co2α=〔〕A． B． C． D．8．〔5分〕设{a n}是等比数列，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．假设a1=1，a5=4，那么a3=﹣2 B．假设a1a3＞0，那么a2a4＞0C．假设a2＞a1，那么a3＞a2D．假设a2＞a1＞0，那么a1a3＞2a29．〔5分〕函数f〔〕=2﹣2||的图象大致是〔〕A． B． C． D．10．〔5分〕实数a，b满足，那么当时，的最大值是〔〕A．5 B．2 C． D．11．〔5分〕当＞0时，不等式恒成立，那么a的取值范围是〔〕A．[0，1〕∪〔1，∞〕B．〔0，∞〕C．〔﹣∞，0]∪〔1，∞〕D．〔﹣∞，1〕∪〔1，∞〕12．〔5分〕设n∈N*，函数f1〔〕=e，f2〔〕=f1′〔〕，f3〔〕=f2′〔〕，…，f n1〔〕=f n′〔〕，曲线=f n〔〕的最低点为为整数，函数g〔〕=f〔〕﹣n﹣m有两个零点，求m的最小值．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．〔10分〕在直角坐标系O中，直线的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．〔Ⅰ〕求直线和曲线C的极坐标方程；〔Ⅱ〕直线上一点M的极坐标为〔2，θ〕，其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔〕=|3﹣1||﹣2|的最小值为m．〔Ⅰ〕求m的值；〔Ⅱ〕设实数a，b满足2a2b2=m，证明：2ab≤．2021年四川省内江市高考数学一模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．〔5分〕集合A={|2＜1}，B={|2＞1}，那么A∪B=〔〕A．〔0，1〕 B．〔﹣1，∞〕C．〔1，∞〕D．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，∞〕【解答】解：集合A={|2＜1}={|﹣1＜＜1}，B={|2＞1}={|＞0}，那么A∪B={|＞﹣1}=〔﹣1，∞〕，应选：B．2．〔5分〕设i为虚数单位，a∈R，假设是纯虚数，那么a=〔〕A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：∵=是纯虚数，∴，解得a=1．应选：C．3．〔5分〕以下各组向量中，可以作为基底的是〔〕A．，B．，C．，D．，【解答】解：对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．应选：B．4．〔5分〕以下说法中正确的选项是〔〕A．先把高三年级的2021名学生编号：1到2021，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m50，m100，m150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线不一定过样本中心点C．假设两个随机变量的线性相关性越强，那么相关系数r的值越接近于1D．设随机变量X服从正态分布N〔10，〕，那么【解答】解：在A中，先把高三年级的2021名学生编号：1到2021，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m50，m100，m150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故A错误；在B中，线性回归直线一定过样本中心点，故B错误；在C中，假设两个随机变量的线性相关性越强，那么相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误；在D中，设随机变量X服从正态分布N〔10，〕，那么由正态分布性质得，故D正确．应选：D．5．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输入的a为2，那么输出的a值是〔〕A．2 B．1 C． D．﹣1【解答】解：当a=2，=0时，执行循环a=﹣1，满足继续循环的条件，=1；执行循环a=，满足继续循环的条件，=2；执行循环a=2，满足继续循环的条件，=3；执行循环a=﹣1，满足继续循环的条件，=4；执行循环a=，满足继续循环的条件，=5；执行循环a=2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，应选：A．6．〔5分〕假设函数f〔〕=in〔2φ〕在上单调递减，那么φ的值可能是〔〕A．2πB．πC． D．【解答】解：函数f〔〕=in〔2φ〕在上单调递减，那么，可得φ，∈Z．∴φ=应选：C．7．〔5分〕α是锐角，假设，那么co2α=〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵α是锐角，假设，∴co〔α﹣〕==，那么co2α=in〔﹣2α〕=﹣in〔2α﹣〕=﹣2in〔α﹣〕co〔α﹣〕=﹣2××=﹣，应选：D．8．〔5分〕设{a n}是等比数列，那么以下结论中正确的选项是〔〕A．假设a1=1，a5=4，那么a3=﹣2 B．假设a1a3＞0，那么a2a4＞0C．假设a2＞a1，那么a3＞a2D．假设a2＞a1＞0，那么a1a3＞2a2【解答】解：A．由等比数列的性质可得：=a1•a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此不正确．B．a1a3＞0，那么a2a4=q〔a1a3〕，其正负由q确定，因此不正确；C．假设a2＞a1，那么a1〔q﹣1〕＞0，于是a3﹣a2=a1q〔q﹣1〕，其正负由q确定，因此不正确；D．假设a2＞a1＞0，那么a1q＞a1＞0，可得a1＞0，q＞1，∴1q2＞2q，那么a1〔1q2〕＞2a1q，即a1a3＞2a2，因此正确．应选：D．9．〔5分〕函数f〔〕=2﹣2||的图象大致是〔〕A． B． C． D．【解答】解：∵函数f〔〕=2﹣2||，∴f〔3〕=9﹣8=1＞0，故排除C，D，∵f〔0〕=﹣1，f〔〕=﹣2=﹣＜﹣1，故排除A，应选：B当＞0时，f〔〕=2﹣2，∴f′〔〕=2﹣2n2，应选：B．10．〔5分〕实数a，b满足，那么当时，的最大值是〔〕A．5 B．2 C． D．【解答】解：当时，=ain2θbco2θ=in〔2θφ〕，取值tanφ=，作出实数a，b满足的可行域如图：由可行域可知|AO|的距离是最大值，由，解得A〔3，1〕，=，当时，2θ∈[0，]，=，时，tanφ==，所以的最大值是：．应选：C．11．〔5分〕当＞0时，不等式恒成立，那么a的取值范围是〔〕A．[0，1〕∪〔1，∞〕B．〔0，∞〕C．〔﹣∞，0]∪〔1，∞〕D．〔﹣∞，1〕∪〔1，∞〕【解答】解：由题意令f〔〕=2〔1﹣a〕﹣an﹣2aa2，那么f′〔〕=〔1﹣a〕﹣=，a＜0时，f′〔〕＞0，f〔〕在〔0，∞〕递增，→0时，f〔〕→﹣∞，故不合题意，a=0时，f〔〕=2＞0，符合题意，a＞0时，令f′〔〕＞0，解得：＞a，令f′〔〕＜0，解得：0＜＜a，故f〔〕在〔0，a〕递减，在〔a，∞〕递增，故f〔〕min=f〔a〕=a〔a﹣1﹣na〕，令h〔a〕=a﹣1﹣na，〔a＞0〕，故h′〔a〕=1﹣=，令h′〔a〕＞0，解得：a＞1，令h′〔a〕＜0，解得：0＜a＜1，故h〔a〕在〔0，1〕递减，在〔1，∞〕递增，故h〔a〕≥h〔1〕=0，故a﹣1﹣na≥0，故a＞0时，只要a≠1，那么h〔a〕＞0，综上，a∈[0，1〕∪〔1，∞〕，应选：A．12．〔5分〕设n∈N*，函数f1〔〕=e，f2〔〕=f1′〔〕，f3〔〕=f2′〔〕，…，f n1〔〕=f n′〔〕，曲线=f n〔〕的最低点为为整数，函数g〔〕=f〔〕﹣n﹣m有两个零点，求m的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕证明：设h〔〕=e﹣﹣1，那么h'〔〕=e﹣1，令h'〔〕=0，得=0，当∈〔﹣∞，0〕时，h'〔〕＜0，h〔〕单调递减，当∈〔0，∞〕时，h'〔〕≥0，h〔〕单调递增，∴h〔〕≥h〔0〕=0，当且仅当=0时取等号，∴对任意∈R，e≥1…〔2分〕∴当＞0时，f〔〕＞﹣1∴当＞﹣1时，≥n〔1〕∴当＞0时，f〔〕＞﹣1≥n…〔4分〕〔Ⅱ〕函数g〔〕的定义域为〔0，∞〕当m≤0时，由〔Ⅰ〕知，g〔〕=e﹣n﹣2﹣m＞﹣m≥0，故g〔〕无零点…〔6分〕当m=1时，g〔〕=e﹣n﹣3，∵g'〔1〕=e﹣1＞0，，且g'〔〕为〔0，∞〕上的增函数∴g'〔〕有唯一的零点当∈〔0，0〕时，g'〔〕＜0，g〔〕单调递减当∈〔0，∞〕时，g'〔〕＞0，g〔〕单调递增∴g〔〕的最小值为…〔8分〕由0为g'〔〕的零点知，，于是∴g〔〕的最小值由知，，即g〔0〕＜0…〔10分〕又g〔2〕=e2n2﹣3＞0，∴g〔〕在上有一个零点，在〔0，2〕上有一个零点∴g〔〕有两个零点…〔11分〕综上所述，m的最小值为1…〔12分〕[选修4-4：极坐标与参数方程]22．〔10分〕在直角坐标系O中，直线的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．〔Ⅰ〕求直线和曲线C的极坐标方程；〔Ⅱ〕直线上一点M的极坐标为〔2，θ〕，其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．【解答】解：〔Ⅰ〕直线的参数方程为〔t为参数〕，直线的普通方程为，极坐标方程为．曲线C的普通方程为，极坐标方程为…〔5分〕〔Ⅱ〕∵点M在直线上，且点M的极坐标为〔2，θ〕∴，∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔〕=|3﹣1||﹣2|的最小值为m．〔Ⅰ〕求m的值；〔Ⅱ〕设实数a，b满足2a2b2=m，证明：2ab≤．【解答】解：〔Ⅰ〕∵f〔〕=|3﹣1||﹣2|=，∴f〔〕在[〕上单调递增，在〔〕上单调递减∴f〔〕的最小值为f〔〕=…〔5分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，2a2b2=，∵2ab≤a2b2，∴〔2ab〕2=4a2b24ab≤4〔a2b2〕2〔a2b2〕=3〔2a2b2〕=5，当a=b时取等∴2ab≤…〔10分〕。

四川省内江市南塔中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过双曲线的右焦点作圆的切线(切点为)，交轴于点．若为线段的中点，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．参考答案：B2. 已知抛物线，过点的直线交抛物线于点、，交y轴于点，若，，则（）A．－1 B． C．1 D．—2参考答案：A设直线：，代入得，设，，由,得，同理，所以。

3. 设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件参考答案：D【分析】根据充分、必要条件的判断，分别作为条件推理即可。

【详解】若x，y中至少有一个数大于1（如x=1.1，y=0.1），则x2＋y2＞2不成立若x2＋y2＞2（如x=-2，y=-2）则x，y中至少有一个数大于1不成立所以“x，y中至少有一个数大于1”是“x2＋y2＞2”成立的既非充分又非必要条件所以选D4. （5分）（2015?青岛一模）函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A适合，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题．5. 已知点满足若的最小值为3，则的值为高考资源网w。

2020-2021学年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高三（上）一诊数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|24}x A x =<，{|(4)(1)0}B x x x =--<，则()(U A B = )A ．{|12}x x <<B ．{|24}x x <<C ．{|24}x x <D ．{|2x x <或4}x2．若22(,)1a i b a b R i+=∈-，则复数a bi +在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若sin 2sin()2πθθ=+，则2cos (θ= ) A ．15 B ．13 C ．35 D ．454．已知直线l 是圆2225x y +=在点(3,4)-处的切线，则直线l 的方程为( )A ．34250x y +-=B ．3470x y ++=C ．3470x y +-=D ．34250x y -+= 5．如图，在ABC ∆中，D 为线段BC 上异于，C 的任意一点，E 为AD 的中点，若AE AB AC λμ=+，则(λμ+= )A ．23B ．12C ．13D ．166．居民消费价格指数(Consumer Price Index ，简称)CPI 是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月2020-年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是( )A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势7．2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有( )A ．120B ．96C ．48D ．248．函数||2()||x f x e x x =--的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线2222:1(0)6x y C a a a-=>+的离心率为5，则双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为( ) A ．42 B ．22 C ．2 D ．210．将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为( ) A ．32 B ．2 C ．3 D ．7211．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则(2021)(f = )A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．412．如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面APB ，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =，则三棱锥P ABC -体积最大值为( )A ．23B 22C ．43D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若x ，y 满足约束条件2210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则12z x y =+的最大值为 ．14．2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，则这次比赛乙队不输的概率是 ． 15．给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； ③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥；④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，则//αγ．其中所有正确命题的序号为 ．16．设函数2()2f x lnx mx x =-+，若存在唯一的整数0x ．使得0()0f x >，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17．（12分）在数列{}n a 中，11a =，*121(2,)n n a a n n N -=+∈．（1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面22⨯列0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．[50，60)和[90，100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，60)的顾客获得纪念品数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．附表及公式：22()n ad bc K -=． 02.07219．（12分）如图，在平面五边形ABCDE 中，12AE =，43CE =，33CD =，60ABC ∠=︒，120AED ∠=︒，2sin 3CDE ∠=． （1）求AC 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，AM ⊥平面ABCD ，2AB AM AD ===．（1）证明：BDM ∆是正三角形；（2）若//CD 平面ABM ，2CD AB =，求二面角C BM D --的余弦值．21．（12分）已知函数()()2222()x f x x e a lnx ln a R =--+-∈．（1）当2a =时，若()f x 的一条切线垂直于y 轴，证明：该切线为x 轴．（2）若()0f x ，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为2(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标为2cos()4πρθ+=． （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，证明：直线PA ，PB 关于x 轴对称．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数()|22||1|f x x x =-++．（1）解不等式()4f x ；（2）令()f x 的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：11194a b b c c a +++++．2020-2021学年四川省广安市、眉山市、遂宁市、雅安市、资阳市、乐山市、广元市、自贡市、内江市九市高三（上）一诊数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|24}x A x =<，{|(4)(1)0}B x x x =--<，则()(U A B = ) A ．{|12}x x <<B ．{|24}x x <<C ．{|24}x x <D ．{|2x x <或4}x 【思路分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算即可． 【解析】：{|2}A x x =<，{|14}B x x =<<， {|2}U A x x ∴=，(){|24}U A B x x =<． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．若22(,)1a i b a b R i+=∈-，则复数a bi +在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【思路分析】直接由已知的复数进行化简，然后根据复数相等条件求出a ，b ，得到其在复平面内对应点的坐标得答案．【解析】：若22(,)1a i b a b R i+=∈-， 则22(1)22a i b i b bi +=-=-，根据复数相等的条件得，2a b =，22b -=，所以1b =-，2a =-，复数2a bi i +=--在复平面内所对应的点(2,1)--位于第三象限．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，还考查了复数相等条件，是基础题．3．若sin 2sin()2πθθ=+，则2cos (θ= ) A ．15 B ．13 C ．35D ．45 【思路分析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解析】：因为sin 2sin()2πθθ=+， 可得sin 2cos θθ=，可得tan 2θ=， 则222222111cos 1215cos sin cos tan θθθθθ====+++． 故选：A ．【归纳与总结】本题考查诱导公式，同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．4．已知直线l 是圆2225x y +=在点(3,4)-处的切线，则直线l 的方程为( )A ．34250x y +-=B ．3470x y ++=C ．3470x y +-=D ．34250x y -+=【思路分析】设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解．．【解析】：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =-，圆2225x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为5，圆心到直线l 的距离为35<，此时直线l 与圆相交，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为4(3)y x -=+，即340x y -++=， 圆2225x y +=的圆心坐标为(0,0)，半径为5，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即251=+， 解得34=， 所以直线l 的方程为3334044x y -+⨯+=，即34250x y -+=． 故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．5．如图，在ABC ∆中，D 为线段BC 上异于B ，C 的任意一点，E 为AD 的中点，若AE AB AC λμ=+，则(λμ+= )A ．23B ．12C ．13D ．16【思路分析】由题意得，222AD AE AB AC λμ==+，结合B ，D ，C 三点共线及向量共线定理柯桥区．【解析】：因为E 为AD 中点，且AE AB AC λμ=+，则222AD AE AB AC λμ==+，由题意得，B ，D ，C 三点共线，所以221λμ+=即12λμ+=． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量共线定理的应用，属于基础题．6．居民消费价格指数(Consumer Price Index ，简称)CPI 是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和调控及国民经济核算的重要指标．根据下面给出的我国2019年9月2020-年9月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的是()A ．2020年1月到9月的居民消费价格指数在逐月增大B ．2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数在逐月减小C ．2020年1月到9月的居民消费价格指数分别低于2019年同期水平D ．2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势 【思路分析】根据全国居民消费价格指数增长率折线图，逐一判断各选项即可．【解析】：由消费价格增长率折线图知，2020年1月到3月是降低，3月到7月升高，7月到9月降低，所以不是逐月增大，选项A 错误；2019年9月到2020年9月的居民消费价格指数先增大后减小，所以B 错误；2019年1月到5月的居民消费价格指数高于2020年1月到5月居民消费价格指数，所以C 错误；2020年7月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势，所以D 正确．故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了统计图表等基本知识，也考查了数据处理能力和应用意识，属基础题．7．2020年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作．若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则不同的派遣方法种数共有( )A ．120B ．96C ．48D ．24【思路分析】先安排甲，再安排其他4人，根据分步计数原理可得．【解析】：甲担任冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪中的一项工作，其他4人任意安排，故有144496A A =种， 故选：B ．【归纳与总结】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8．函数||2()||x f x e x x =--的大致图象是( )A ．B ．C ．D ． 【思路分析】判断函数的奇偶性，结合对称性，函数单调性和导数之间的关系进行判断排除即可． 【解析】：函数是偶函数，函数关于y 轴对称，排除A ，B ，当0x >时，2()x f x e x x =--，()21x f x e x '=--，f '（1）30e =-<，f '（2）250e =->， 则存在0(1,2)x ∈，使得()0f x '=，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查函数图象和性质等基本知识，考查逻辑推理能力及其应用，考查数形结合，化归与转化等思想．9．已知双曲线2222:1(0)6x y C a a a -=>+5，则双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为( )A ．42B ．2C 2D ．2 【思路分析】利用双曲线的离心率求解a ，然后求解双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离． 【解析】：双曲线2222:1(0)6x y C a a a -=>+5， 2265a +=2a = 所以22128x y -=， 所以双曲线C 的一个焦点F 到它的一条渐近线的距离为：22b =故选：B ．【归纳与总结】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．10．将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，则ω的最小值为( ) A ．32 B ．2 C ．3 D ．72【思路分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值．【解析】：将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后， 得到函数()sin()44g x x ωππω=-+的图象， ()g x 的图象的一条对称轴是直线4x π=-，()4442πωπππωπ∴⨯--+=+，Z ∈，即122ω=--， 令1=-，可得ω的最小值为32， 故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则(2021)(f = )A ．3-或4B ．4-或3C ．3D ．4【思路分析】根据题意，利用特殊值分析可得f （1）12(1)f =+，解可得f （1）的值，结合函数的奇偶性可得12()12()f x f x +-=+，则有(2)(2)f x f x +=-，变形可得(4)()f x f x +=，即可得函数的周期性，则有(2021)(12020)f f f =+=（1），即可得答案． 【解析】：根据题意，偶函数()f x 满足(2)12()f x f x +=+，则()0f x ， 若1x =-，则f （1）12(1)12(1)f f =+-=+，解可得f （1）4=或3-， 又由()0f x ，则()4f x =，()f x 为偶函数，则12()12()f x f x +-=+，则有(2)(2)f x f x +=-，变形可得(4)()f x f x +=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，则(2021)(12020)f f f =+=（1）4=， 故选：D ．【归纳与总结】本题考查抽象函数的求值，注意分析函数的周期性，属于中档题．12．如图，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面APB ，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =，则三棱锥P ABC -体积最大值为( )A ．23B 22C ．43D ．2 【思路分析】推导出BC AB ⊥，BC ⊥平面ABP ，AP BC ⊥，AP BG ⊥，从而AP ⊥平面PBC ，BP AP ⊥，进而111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，令PA m =，PB n =，则224m n +=，进而221123323P ABC m n V mn -+=⨯=，由此能求出三棱锥P ABC -体积最大值． 【解析】：四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，BC AB ∴⊥， 平面ABCD ⊥平面APB ，平面ABCD ⋂平面APB AB =，BC ∴⊥平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，AP BC ∴⊥， G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面ABP ，AP BG ∴⊥， BC BG B =，BC ⊂平面PBC ，BG ⊂平面PBC ，AP ∴⊥平面PBC ，BP ⊂平面PBC ，BP AP ∴⊥，111323P ABC C APB V V PA PBBC PA PB --∴==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，令PA m =，PB n =，则224m n +=， ∴221123323P ABC m n V mn -+=⨯=，当且仅当2m n ==时，取“=”，∴三棱锥P ABC -体积最大值为23．故选：A ．【归纳与总结】本题考查线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若x ，y 满足约束条件2210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩，则12z x y =+的最大值为 32 ．【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可求得12z x y =+的最大值．【解析】：由约束条件2210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩作出可行域，联立212x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)A ，化目标函数12z x y =+为12y x z =-+，由图可知，当直线12y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为32．故答案为：32．【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 14．2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，则这次比赛乙队不输的概率是 35 ．【思路分析】设事件A 为“这次比赛乙队不输”，则事件A 为“这次比赛甲队获胜”，利用对立事件概率公式能求出这次比赛乙队不输的概率．【解析】：设事件A 为“这次比赛乙队不输”，则事件A 为“这次比赛甲队获胜”，甲队获胜的概率是25，两队打平的概率是110，2()5P A ∴=，∴这次比赛乙队不输的概率是：P （A ）231()155P A =-=-=．故答案为：35．【归纳与总结】本题考查互斥事件概率等基础知识，考查运算求解能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想． 15．给出下列命题：①同时垂直于一条直线的两个平面互相平行；②一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； ③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥； ④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，则//αγ． 其中所有正确命题的序号为 ①②④ ．【思路分析】直接利用面面垂直和面面平行的判定和性质判定①②③④的结论．【解析】：对于①：根据线面垂直的性质：同时垂直于一条直线的两个平面互相平行，故①正确；对于②：由线面平行的性质和线面垂直的性质：一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，故②正确；③设α，β，γ为平面，若αβ⊥，βγ⊥，由面面垂直的判定和性质，αγ⊥不一定成立，故③错误；④设α，β，γ为平面，若//αβ，//βγ，根据面面平行的传递性，则//αγ，故④正确． 故答案为：①②④．【归纳与总结】本题考查的知识要点：面面垂直和面面平行的判定和性质，主要考查学生的理解能力，属于基础题．16．设函数2()2f x lnx mx x =-+，若存在唯一的整数0x ．使得0()0f x >，则实数m 的取值范围是 2[14ln +，2) ．【思路分析】讨论0m 时，不符合题意；当0m >时，利用导数，求得函数lnxy x=的单调性与最值，作出函数函数lnxy x=和2y mx =-的大致图象，结合图象即可求得m 的取值范围．【解析】：当0m 时，1()220f x mx x'=-+>，()f x 单调递增，存在无数个整数0x ，使得0()0f x >，不符合题意；当0m >时，由于0x >，所以2lnxmx x>-， lnx y x =，21lnxy x-'=，当0x e <<时，0y '>，当x e >时，0y '<， 所以函数lnxy x =在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以lnx y x =的极大值也是最大值为1e，且0x →时，y →-∞，x →+∞时，0y →，所以作出函数lnxy x=和2y mx =-的大致图象，如图，过点(0,2)-的直线2y mx =-介于(1,0)，2(2,)2ln 之间时满足条件，直线2y mx =-过点(1,0)时，m 的值为2，直线2y mx =-过点(2，f （2）)时，m 的值为214ln +， 由图可知，m 的取值范围是2[14ln +，2)．故答案为：2[14ln +，2)．【归纳与总结】本题主要考查函数图象和性质、导数的应用，考查化归与转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. 17．（12分）在数列{}n a 中，11a =，*121(2,)n n a a n n N -=+∈． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【思路分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式； （Ⅱ）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】证明：（1）因为*121(2,)n n a a n n N -=+∈，所以112(1)n n a a ++=+， 又1n a =，所以120n a +=≠，所以数列{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列． 所以11222n n n a -+=⋅=，所以数列{}n a 的通项公式21n n a =-．解：（2）由（1）得(1)2n n n b n a n =+=⋅， 所以231222322n n S n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅，①，23412122232(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+⋅，② 由①-②得231122222n n n S n +-=⨯+++⋯+-⋅，即1112(12)222212n n n n n S n n +++--=-⋅=--⋅-，所以1(1)22n n S n +=-⋅+．【归纳与总结】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18．（12分）在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．（1）将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面22⨯列0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．良 优 合计 男 40 女 40 合计[50，60)和[90，100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50，60)的顾客获得纪念品数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 02.0722.0763.8415.0246.6357.87910.828【思路分析】（1）根据频率分布直方图，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）由题意知随机变量X 可能的取值有0，1，2，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．良 优 合计 男202040女 20 4060 合计4060100由题得，2220)252.78 2.706406060409K ==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关．（2）由已知得体验度评分为[50，60)和[90，100]的顾客分别有10人，20人， 则在随机抽取的6人中评分为[50，60)有2人，评分为[90，100]有4人． 则X 可能的取值有0，1，2，44461(0)15C P X C ===，1324468(1)15C C P X C ⋅===， 2224466(2)15C C P X C ⋅===，X 0 1 2P115 815 615 所以0121515153EX =⨯+⨯+⨯=．【归纳与总结】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及离散型随机变量及其分布列，期望计算问题，是中档题．19．（12分）如图，在平面五边形ABCDE 中，12AE =，43CE =，33CD =，60ABC ∠=︒，120AED ∠=︒，2sin 3CDE ∠=．（1）求AC 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值．【思路分析】（1）在CDE ∆中，由正弦定理可得sin CED ∠的值，利用大边对大角可得CED ∠为锐角，进而可得CED ∠，利用三角形内角和定理可求AEC ∠的值，根据勾股定理可求AC 的值．（2）在ABC ∆中，由余弦定理，基本不等式可求192AB BC ⋅，进而根据三角形的面积公式即可求解ABC ∆面积的最大值．【解析】：（1）在CDE ∆中，由正弦定理可得sin sin CE CDCDE CED=∠∠，所以233sin13sin243CDCDECEDCE⨯∠∠===，因为CD CE<，所以CED∠为锐角，所以30CED∠=︒，所以1203090AEC AED CED∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以222212(43)83AC AE CE=+=+=．（2）在ABC∆中，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC=+-⋅⋅︒，即221922AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC=+-⋅⋅-⋅=⋅，当且仅当83AB BC==时等号成立，所以192AB BC⋅，所以113sin6019248322ABCS AB BC∆=⋅⋅︒⨯⨯=，ABC∆面积的最大值是83．【归纳与总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角形的面积公式等基础知识的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力与应用意识，考查了化归与转化思想，属于中档题．20．（12分）如图，在四棱锥M ABCD-中，AB AD⊥，AM⊥平面ABCD，2AB AM AD===．（1）证明：BDM∆是正三角形；（2）若//CD平面ABM，2CD AB=，求二面角C BM D--的余弦值．【思路分析】（1）通过求解2228BD AB AD=+=，2228BM AB AM=+=，2228DM AD AM=+=，即可证明BDM∆是正三角形．（2）以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．求出平面BDM的一个法向量，平面CBM的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】（1）证明：由已知，AM⊥平面ABCD，所以，AM AB⊥，AM AD⊥．又2AB AM AD===，AB AD⊥，所以，2228BD AB AD=+=，2228BM AB AM=+=，2228DM AD AM=+=，则BD BM DM==，所以BDM∆是正三角形．（2）解：因为AB AD⊥，AM⊥平面ABCD，以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由//CD 平面ABM ，易知//CD AB ，又2CD AB =，则(2B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0M ，0，2)．所以(2,2,0)BD =-，(2,0,2)BM =-． 设平面BDM 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则220,220,m BD x y m BM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取1x =，得(1,1,1)m =．同理可求平面CBM 的一个法向量为(2,1,2)n =． 所以，||53cos ,||||33m n m n m n ⋅<>===⋅即二面角C BM D --53． 【归纳与总结】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，勾股定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力． 21．（12分）已知函数()()2222()x f x x e a lnx ln a R =--+-∈．（1）当2a =时，若()f x 的一条切线垂直于y 轴，证明：该切线为x 轴． （2）若()0f x ，求a 的取值范围．【思路分析】（1）求导，设切点为0(x ，0())f x ，由题意可知0()0f x '=，可得002lnx ln x =-，计算0()0f x =即可得证；（2）将不等式转化为2222x lnx ln a e x -+-对于0x >恒成立，令2222()x lnx ln h x e x-+=-，利用导数求得()h x 的最小值，即可求得a 的取值范围．【解答】（1）证明：由题可知()(2)2222(0)x f x x e lnx ln x =--+->，则22()2(1)()x x x f x e xe x e x x'=-+-=+-，设切点为0(x ，0())f x ，则由0()0f x '=得002x e x =，0()f x则002x lnx =，即002lnx ln x =-， 则有00002()(2)2(2)2220f x x ln x ln x =---+-=， 所以所求切线为0y =，即为x 轴．（2）解：因为()()22220x f x x e a lnx ln =--+-，其中0x >，则2222x lnx ln a e x-+-对于0x >恒成立，令2222()x lnx ln h x e x -+=-，则222(2222)222()x xlnx ln lnx ln h x e e x x --+-+'=-=-， 即22222()x x e lnx ln h x x +-'=，令2()222x u x x e lnx ln =+-，则22()(2)0x u x x x e x'=++>，其中0x >，则2()222x u x x e lnx ln =+-为(0,)+∞的增函数，又因为u （1）220e ln =->，1()4202u ln <，所以存在01(,1)2x ∈，使得02000()2220x u x x e lnx ln =+-=，即020022x x e ln x =，而0022200000022222ln x x x x e ln x e ln ln e x x x x =⇔==，又由于()x v x xe =为(0,)+∞的增函数， 故002x ln x =，即002x e x =，又00x x <<，()0h x '<，()h x 为减函数；0x x >，()0h x '>，()h x 为增函数，所以00000000002222222222()()2x x min x ln lnx ln x h x h x e e x x x x +-+-+==-=-=-=，故a 的取值范围是(-∞，2]．【归纳与总结】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标为cos()4πρθ+=． （1）求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，证明：直线PA ，PB 关于x 轴对称．【思路分析】（1）直接把曲线C 的参数方程中的参数消去，可得曲线C 的普通方程，把直线l 的极坐标方程展开两角和的余弦，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，求得A ，B 的坐标，由PA 与PB 的斜率和为0，即可证明直线PA ，PB 关于x 轴对称．【解析】：（1）由曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数α，可得曲线C 的普通方程为2212x y +=．直线l的极坐标为cos()4πρθ+=cos sin θθ=， 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线l 的直角坐标方程为10x y --=；证明：（2）由221012x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2340x x -=． 可得A ，B 的坐标分别为(0,1)-，4(3，1)3，直线PA ，PB 的斜率分别为111022-==-，210134223-==--， ∴1211()022+=+-=，于是，直线PA ，PB 关于x 轴对称．【归纳与总结】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数()|22||1|f x x x =-++． （1）解不等式()4f x ；（2）令()f x 的最小值为M ，正数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：11194a b b c c a +++++． 【思路分析】（1）通过当1x -时，当11x -<时，当1x >时，去掉绝对值符号，求解不等式即可．（2）求出函数的最小值2M =．然后转化利用基本不等式，求解即可． 【解答】（1）解：当1x -时，()221314f x x x x =-+--=-+，得1x -； 当11x -<时，()22134f x x x x =-+++=-+，此时无解；当1x >时，()221314f x x x x =-++=-，得53x ．所以，不等式的解集为5(,1][,)3-∞-+∞．（2）证明：由（1），当1x -时，()314f x x =-+； 当11x -<时，()32f x x =-+；当1x >时，()312f x x =->，则1x =时，()f x 的最小值为2，即2M =． 于是a ，b ，c 满足2a b c ++=，11111111111119()()[()()()]()[3()][324444b c a b b c c a c a a b a b c a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a b c a b c a ++++++++=++++=+++++++=+++++++=+++++++++++++++当且仅当b c a b a b b c ++=++且b c c a c a b c ++=++且c a a ba b c a++=++即a b c ==时取“=”． 【归纳与总结】本题考查函数的最值的求法，不等式的证明，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。