当涂一中2018届高三第五次数学周考

2017-2018学年甘肃省高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知i为虚数单位，复数满足（1+i）z=1﹣i，则||=（）A．B．C．D．22．（5分）集合A={x|ln（x﹣l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=（）A．（2，3）B．[2，3）C．（2，3] D．[2，3]3．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期为；命题q：函数f（x）=sin（x+）的图象的一条对称轴是x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，在下列条件中，可得出α⊥β的是（）A．m⊥n，m⊥α，n∥βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m∥n，m∥α，n⊥β5．（5分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣的=1左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF1|，|PF2|，|F1F2|构成公差为正数的等差数列，则△F1PF2的面积为（）A．24 B．22 C．18 D．126．（5分）已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．7．（5分）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）8．（5分）过点（4，0）且斜率为﹣的直线交圆x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则•的值为（）A．6 B．8 C．D．49．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）A．32 B．36 C．40 D．4210．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．11．（5分）实数x，y满足不等式组的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1）D．12．（5分）设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解x i（i=1，2，3，4，5），则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=（）A．B．C．2 D．1二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是．14．（5分）已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为．15．（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列a1+|a2|+a3+|a4|+a5= ．16．（5分）已知实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，则a+b的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．19．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．20．（12分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．21．（12分）设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4--1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．选修4--4：极坐标与参数方程选讲23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．选修4--5：不等式选讲24．设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．2017-2018学年甘肃省高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．（5分）（2016秋•鸡西期中）已知i为虚数单位，复数满足（1+i）z=1﹣i，则||=（）A．B．C．D．2【分析】利用复数的模的性质化简求解即可．【解答】解：因为||=|z|，（1+i）z=1﹣i，所以|1+i||z|=|1﹣i|，可得|z|=．则||=．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2013•高陵县校级模拟）集合A={x|ln（x﹣l）＞0}，B={x|x2≤9}，则A∩B=（）A．（2，3）B．[2，3）C．（2，3] D．[2，3]【分析】集合A与B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|ln（x﹣l）＞0}={x|}={x|x＞2}，B={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，能求出A∩B．【解答】解：∵A={x|ln（x﹣l）＞0}={x|}={x|x＞2}，B={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴A∩B={x|2＜x≤3}=（2，3]．故选C．【点评】本题考查集合的交集的运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数的定义域的合理运用．3．（5分）（2015秋•柳州校级期末）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期为；命题q：函数f（x）=sin （x+）的图象的一条对称轴是x=对称．则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【分析】利用周期公式和对称轴公式计算两个函数的周期和对称轴，判断命题p，q的真假．【解答】解：函数y=cos2x的最小正周期为，所以命题p为假命题．f（）=sin=1，∴直线x=是f（x）的一条对称轴，即命题q为真命题．∴￢q为假，p∧q为假，p∨q为真．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，逻辑关系，属于基础题．4．（5分）（2013•绍兴一模）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，在下列条件中，可得出α⊥β的是（）A．m⊥n，m⊥α，n∥βB．m∥n，m⊥α，n⊥βC．m⊥n，m∥α，n∥βD．m∥n，m∥α，n⊥β【分析】根据面面垂直的判定定理分别进行判断即可．【解答】解：A．当m⊥n，m⊥α时，n∥α或n⊂α，若n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以A错误．B．m∥n，m⊥α，则n⊥α，若n⊥β，所以α∥β，所以B错误．C．若m⊥n，m∥α，则n与α关系不确定，所以即使n∥β，则无法判断α⊥β成立，所以C错误．D．若n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m∥α，所以α⊥β，所以D正确．故选D．【点评】本题主要考查面面垂直的判断，利用空间直线和平面之间平行或垂直的性质是解决本题的关键．5．（5分）（2015秋•金凤区校级月考）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣的=1左、右焦点，P是双曲线上的一点，若|PF1|，|PF2|，|F1F2|构成公差为正数的等差数列，则△F1PF2的面积为（）A．24 B．22 C．18 D．12【分析】本题首先要根据双曲线的定义写出|PF1|，|PF2|所满足的条件，再根据|PF1|，|PF2|，|F1F2|依次成公差为正数的等差数列写出另一个等式，两式组成方程组，解出三角形三边的长度，问题转化为已知三边求面积的问题．【解答】解：∵|PF1|，|PF2|，|F1F2|依次成公差为正数的等差数列，∴2|PF2|=|PF1|+|F1F2|，∵|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF2|=2（c﹣a）=8，|PF1|=2c﹣4a=6，|F1F2|=10，∴PF1⊥PF2，∴△F1PF2的面积==24，故选：A．【点评】本题是一个大型综合题，解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．6．（5分）（2016春•日喀则市校级期末）已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【分析】运用﹣α、﹣α的诱导公式，计算即可得到．【解答】解：sin（α﹣）=，即为sin（﹣α）=﹣，即有sin[﹣（+α）]=﹣，即cos（）=﹣．故选A．【点评】本题考查三角函数的求值，考查三角函数的诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．7．（5分）（2015春•沧州期末）若两个正实数x，y满足+=1，且x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪[2，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【分析】由题意和基本不等式可得x+2y的最小值，再由恒成立可得m的不等式，解不等式可得m范围．【解答】解：∵正实数x，y满足+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当=即x=4且y=2时x+2y取最小值8，∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴8＞m2+2m，解关于m的不等式可得﹣4＜m＜2故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．8．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）过点（4，0）且斜率为﹣的直线交圆x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则•的值为（）A．6 B．8 C．D．4【分析】直线方程为y=﹣（x﹣4），代入x2+y2﹣4x=0，可得x2﹣5x+4=0，求出AB，可得∠CAB=30°，利用向量的数量积公式，求出•的值．【解答】解：由题意，直线方程为y=﹣（x﹣4），代入x2+y2﹣4x=0，可得x2﹣5x+4=0，∴x=1或4，∴|AB|==2，∵圆的半径为2，∴∠CAB=30°，∴•=2=6，故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查向量的数量积公式，属于中档题．9．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）已知数列{a n}为等差数列，S n是它的前n项和，若a1=2，S4=20，则S6=（）A．32 B．36 C．40 D．42【分析】由等差数列的前n项和公式求出公差，由此能求出前6项和．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S4=20，∴，解得d=2，∴S6=6×2+×2=42．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．10．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】利用全身心的渐近线方程，列出关系式，求解离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，可得=，可得，解得e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．11．（5分）（2012•河南模拟）实数x，y满足不等式组的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1）D．【分析】确定不等式组表示的可行域，明确目标函数的几何意义，根据图形可得结论．【解答】解：不等式组表示的可行域如图，目标函数的几何意义是（x，y）与（﹣1，1）两点连线的斜率由（1，0）和（﹣1，1），可得斜率为=﹣直线x﹣y=0的斜率为1由图可知目标函数的取值范围为[﹣，1）故选A．【点评】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，确定不等式组表示的可行域，明确目标函数的几何意义是关键．12．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）设定义域为R的函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解x i（i=1，2，3，4，5），则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=（）A．B．C．2 D．1【分析】画出f（x）的图象，由图象可知，令f（x）=t，则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为2，由于lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，且其中一个解为2，即有x1+x2+x3+x4+x5=10，再由对数的运算性质即可得到答案．【解答】解：画出f（x）的图象，由于关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，令f（x）=t，则t2+bt+c=0有两个不等的实数根，且其中一个为2，画出直线y=m（m≠2），得到5个交点，其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，设x3=2，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5，由于y=lg|x﹣2|的图象关于直线x=2对称，则x1+x5=x2+x4=4，即有x1+x2+x3+x4+x5=10，则f（x1+x2+x3+x4+x5+2）=f（12）=lg10=1，故选：D【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的对称性，以及数形结合的思想方法，同时考查对数的运算，属于中档题．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是2+2．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，根据题意画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；所以，S△ABC=×2×2=2，S△PAC=S△PBC=××1=，S△PAB=×2×=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故答案为：．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题14．（5分）（2013•扬州模拟）已知抛物线 y2=8x的焦点与双曲线﹣y2=1的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为．【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）∵抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，∴a2+1=4，∴a=∴e==故答案为：【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线与双曲线的几何性质，属于基础题．15．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列a1+|a2|+a3+|a4|+a5= 121 ．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|+a5的值．【解答】解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣3的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣3）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣3，a3=9，a4=﹣27，a5=81，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+3+9+27+81=121．故答案是：121．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．16．（5分）（2016秋•虎林市校级期中）已知实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，则a+b的取值范围是（﹣∞，2] ．【分析】由已知得（2a﹣1）2+（2b﹣1）2=2，借助圆的参数方程得到2a+2b=2+=2+2sin （），由此利用均值定理能求出a+b的取值范围．【解答】解：∵实数a，b满足2a+1+2b+1=4a+4b，∴2×2a+2×2b=（2a）2+（2b）2，∴（2a﹣1）2+（2b﹣1）2=2，∴，，∴2a+2b=2+=2+2sin（）．∴0＜2a+2b≤4，∴=，∴≤（）2=4=22．∴a+b≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考查代数和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程和均值定理的合理运用．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．（12分）（2016•商丘校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC．（1）求A+C的值；（2）若，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，从而cosBsinC=sinCsinB，由此能求出A+C的值．（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，从而，当且仅当时“=”成立，由此能求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC因为在三角形中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C）所以sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC所以cosBsinC=sinCsinB因为C∈（0，π），sinC≠0，所以cosB=sinB即tanB=1，B∈（0，π）所以即．（2）由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，所以，所以即当且仅当a=c即时“=”成立，而，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查三角形两个内角和的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．18．（12分）（2016春•哈尔滨校级期末）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．【分析】（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PA∥EO，进而根据线面平行的判定定理，得到PA∥平面BDE．（2）根据线面垂直的定义，可由PO⊥底面ABCD得到BD⊥PO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC【解答】证明（1）连接OE，在△CAP中，CO=OA，CE=EP，∴PA∥EO，又∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）∵PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PO又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键．19．（12分）（2015秋•淮安校级期末）已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）利用抛物线y2=2px （p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；（2）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合，可求t的值，即可求出该定点P的坐标【解答】解：（1）由抛物线定义得，…（2分）所以抛物线方程为y2=4x，…（3分）代入点T（3，t），可解得．…（5分）（2）设直线AB的方程为x=my+n，，联立消元得：y2﹣4my﹣4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n…（8分）由得：，所以：y1y2=﹣20或y1y2=4（舍去）即﹣4n=﹣20⇒n=5，所以直线AB的方程为x=my+5，所以直线AB过定点P（5，0）…（12分）【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．20．（12分）（2015•路南区校级模拟）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值．【分析】（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出．【解答】解：（1）由题意可得，解得．∴椭圆E的方程为．（2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），则．则直线PA1的方程为，令y=0，得x N=；直线PA2的方程为，令y=0，得．由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|===4，∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2．【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的关键．21．（12分）（2012•佛山一模）设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；（3）若f（x）有两个相异零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．【分析】（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数求出f′（1）=﹣1，得到切线方程．（2）当a≤0时，函数有零点；当a＞0时，极大值小于0，函数没有零点，由此可求实数a的取值范围．（3）由于f（x）有两个相异零点x1，x2，可知f（x1）=0，f（x2）=0，再原不等式x1•x2＞e2进一步整理得到，只要能证出上述不等式恒成立即可．【解答】解：在区间（0，+∞）上，．…（1分）（1）当a=2时，f′（1）=1﹣2=﹣1，则切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0 …（3分）（2）①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，∵f（1）=﹣a＞0，f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，∴f（1）•f（e a）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点．…（6分）②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．…（7分）③若a＞0，令f′（x）=0得：．在区间（0，）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（）=．由于f（x）无零点，须使，解得：．故所求实数a的取值范围是（，+∞）．…（9分）（3）设x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2⇔a（x1+x2）＞2⇔⇔令，则t＞1，于是⇔．…（12分）设函数，求导得：，故函数g（t）是（1，+∞）上的增函数，∴g（t）＞g（1）=0即不等式成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．…（14分）【点评】本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4--1：几何证明选讲22．（10分）（2016•丰城市校级二模）如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NA•NB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（5分）（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…（10分）【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．选修4--4：极坐标与参数方程选讲23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．选修4--5：不等式选讲24．（2016•白山四模）设函数f（x）=|3x﹣1|+ax+3（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（Ⅱ）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|3x﹣1|+x+3，当x时，f（x）≤4可化为3x﹣1+x+3≤4，解得；当x时，f（x）≤4可化为﹣3x+1+x+3≤4，解得．综上可得，原不等式的解集为{x|}，（Ⅱ）f（x）=|3x﹣1|+ax+3=函数f（x）有最小值的充要条件为，即﹣3≤a≤3．【点评】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于基础题．。

广东省2018届高三年级五校联考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 把答案涂在答题卡上1．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的 （ ） A ．充分条件，但不是必要条件； B ．必要条件，但不是充分条件； C ．充分且必要条件； D ．既不充分又不必要条件2．已知)2,1(=a ，)1,(x b =，且2+与-2平行，则=x （ ） A ．1； B ．2； C ．21； D 33．函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是 （ ）A ．周期为π2的奇函数；B ．周期为π2的偶函数；C ．周期为π的奇函数；D ．周期为π的偶函数4．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则xy= （ ） A ．―1； B ．2； C ．21； D ．―1或2 5．若}{n a 是各项为正的等比数列,且公比1≠q ,则)(41a a +与)(32a a +的大小关系是 （ ） A ．3241a a a a +>+； B ．3241a a a a +<+； C ．3241a a a a +=+； D ．不确定6．设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x M ，}112|{≥-=x x N ，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．}12|{<≤-x x ； B ．}22|{≤≤-x x ； C ．}21|{≤<x x ； D ．2|{<x x7．若21cos sin 1cos sin 1=-+++θθθθ，则θcos 的值等于 （ ）A ．53；B ．53-；C ．54；D ．54-8．若}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，083>+a a ，09<S ，则1S ，2S ，3S ，…，n S 中最小的是 （ ）A ．4S ；B ．5S ；C ．6S ；D ．S9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上 （ ）A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(>x f ；C ．是减函数，且0)(<x f ；D ．是增函数，且)(<x f10．在△ABC 中，︒>∠90C ，下列关系式中正确的是 （ ） A ．B A B A C sin sin cos cos sin +<+<；B ．B A B A C cos cos sin sin sin +<+<； C ．C B A B A sin sin sin cos cos <+<+；D ．B A C B A sin sin sin cos cos +<<+2018 届 高 三 年 级 五 校 联 考数学试卷第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11．已知函数22()log (1)(0)f x x x =+≤，则1(2)f -将函数x x y co s sin +=的图象按向量),(k h （其中，2π<h ）平移后与1cos 2+=x y 的图象重合,则向量坐标=h ,=k13．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，当(1,1)x ∈-时，均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是14．设函数()sin()f x x ωϕ=+ )22,0(πϕπω<<->，给出下列四个论断：①它的周期为π；②在区间(,0)6π-上是增函数；③它的图象关于点(,0)3π成中心对称；④它的图象关于直线12x π=对称请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题： （请用如下形式答题：①②⇒③④）三 解答题：（共6小题，共80分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53,求cosA 的值16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式17 （本小题满分14分）已知函数：为常数，θθθθ,3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2R x x x x x f ∈-++++=（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）3πθ=当时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x+-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式; （II ）求证：∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数;（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数； （2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式； （3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<< ,且，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+广东省2018届高三五校联合考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上1．（ A ）2．（ C ）3．（ D ）4．（ B ）5．（ A ） 6．（ C ）7．（ B ）8．（ B ）9．（ D ）10．（ B ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11． 3- 12 ,4π-=k 1 13． 1[,1)(1,2⋃ 14． ①④⇒②③或 ①③⇒②④三 解答题：（共6小题，共74分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53,求cosA 的值解：∵ cosB ＝21, ∴sinB ＝23, 又sinC ＝53, cosC ＝±54, …………4分若cosC ＝－54, 则角C 是钝角,角B 为锐角,π－C 为锐角,而sin(π－C)＝53,sinB ＝23, 于是： sin(π－C)< sinB ……（5分） ∴ B >π－C, B ＋C>π,矛盾,∴ cosC ≠－54, …………7分 cosC ＝54,…………8分 π=++C B A故：cosA ＝－cos(B ＋C)＝－(cosBcosC －sinBsinC)＝10433-, …………12分 （说明：本题如果没有去掉cosC ＝54-，扣3分）16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式16 解：⋅⋅⋅=,2,1,}{ n S n a n n 项和为前设数列 依题意得：+∈+=N n , 22n n a S …………2分 2211+=∴++n n a S)(2111n n n n n a a S S a -=-=∴+++ （n=1,2,…）…………5分++∈=∴N n ,21n n a a …………8分故数列{}n a 是等比数列 …………10分2 N n , 221-=∴∈+=+a a S n n ，又+-∈-=⨯-=N n a n n n ,2221 …………12分17 （本小题满分14分）已知函数：)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值；（Ⅱ）当θ=3π时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合17． 解：（Ⅰ）1)2(cos 2[3)2sin()(2-+++=θθx x x f ] ………………2分)2cos(3)2sin(θθ+++=x x ……（4分）= ))32sin(2)(()62cos(2πθπθ++=-+x x f x 或……………6分2 ,2max min =-=y y ………………8分（Ⅱ）由y =得：及3)62cos(2πθπθ=-+x 2162cos ,162cos 2,1)(≥+∴≥+⇒≥）（）（ππx x x f ……………………12分Z k k x k ∈+≤+≤-⇒,326232πππππ},124|{Z k k x k x x ∈+≤≤-∴ππππ的集合是所求…………14分18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数18．解：（Ⅰ）当时，1=a 1)(≤x f 111≤+-⇒x x ,化为012≤+-x ……（3分）,01>+⇒x 1->x 即：故，满足（Ⅰ）条件的集合为{}1->x x ……（5分）（Ⅱ）在区间),0(+∞上任取21,x x ，则1111)()(112212---+-=-x ax x ax x f x f ……（7分）)1)(1())(1(1212++-+=x x x x a ……（8分） 因12x x >故012>-x x ，又在),0(+∞上012>+x ,011>+x ……（10分）∴只有当01<+a 时，即1-<a 时才总有0)()(12<-x f x f , ……（12分）∴当1-<a 时,)(x f 在),0(+∞上是单调减函数 (14分)说明：本题若令0)()(12<-x f x f 求出1-<a ，没有考虑a 的充分性扣2分 19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x+-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式; （II ）求证：∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列19 解：（Ⅰ）由于y ＝214x+-∵点An(n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)∴11+-n a = f(n a )= 214na +- , 并且0>n a ……（2分）21141nn a a +=∴+ ， ),1(411221N n n a a nn ∈≥=-∴+∴数列{21na }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4 ……（4分）∴21na =1+4（n —1） ， ∴3412-=n a n∵ 0>n a ， ∴341-=n a n ……（5分）（II ）+∈-=N n n a n ，34123414341423422--+=-++>-=n n n n n a n ……（8分）+∈++=-+>-∑=∴N n n n n n S n ,1142)114(21341……（10分）（Ⅲ）由341-=n a n ，381622121--+=++n n a T a T n n nn得：)14)(34()14()341+-++=-+n n T n T n n n （134141+-=+⇒+n T n T nn ……（12分） =n c 令34-n T n，如果11=c ，此时11=b+∈=⨯-+=∴N n n n c n ，1)1(1 ……（13分） +∈-=-=N n n n n n T n ,34)34(2则： +∈-=⇒N n n b n ,89，此时，数列{n b }是等差数列 ……（14分）20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数 ；（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数； （2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式；（3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<<且,，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+20 证明：（1）任取x 1 x 2∈R,则2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] =2[a(221x x +)2 + b 221x x ++c] －[a x 12+bx 1+c] － [a x 22+bx 2+c] =2a [(x 1+x 2)2－2(x 12+x 22)]= －2a(x 1－x 2)2 ……（2分） a<0 ∴2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] ≥ 0 ∴)2()()([212121x x f x f x f +≤+ ∴由定义得 y = f(x)是R 上的凸函数 ……（4分）（2） ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=cb a fc b a f c b a f 39)3(24)2()1(解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-+-=+-=)3()2(3)1(3)3(23)2(4)1(25)3(21)2()1(21f f f c f f f b f f f a ……（5分）|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)||f(1)| ≤1，|f(2)| ≤2,|f(3)| ≤3∴|f(4)| ≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| ≤16 ……（6分）a<0时f(x)= ax 2+bx+c 开口向下，∴当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-==-=3)3(2)2(1)1(f f f 时取等号，代入上式得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=12154c b a∴f(x)= －4x 2+15x －12 ……（8分）（3） p q m n R ∈且p<m<n<q不妨设m = p+i, 其中i *∈N p+q = m+n∴m －p = q －n = i由定义知，任意x 1 x 2∈R,有f(x 1)+f(x 2)≤ 2f(221x x +) ……（9分） 取x 1 = p x 2 = p+2则有f(p)+f(p+2) ≤ 2f(p+1) 变形得f(p) －f(p+1) ≤ f(p+1) － f(p+2) 同理有 f(p+1) －f(p+2) ≤ f(p+2) － f(p+3) f(p+2) －f(p+3) ≤ f(p+3) －f(p+4) f(p+4) －f(p+5) ≤ f(p+5) － f(p+6) … …f(p+k-2) － f(p+k －1) ≤ f(p+k －1) －f(p+k) 累加求和得：f(p)－f(p+k －1) ≤ f(p+1) －f(p+k)即 f(p)+ f(p+k) ≤ f(p+1)+ f(p+k －1) ……（11分） 递推i 次得f(p)+ f(p+k) ≤ f(p+1)+ f(p+k －1) ≤f(p+2)+f(p+k －2) ≤…≤ f(p+i)+f(p+k －i)∴ f(p)+ f(p+k)≤ f(p+i)+f(p+k －i)令p+k = q,得f(p)+f(q) ≤ f(p+i) + f(q －i) m －p = q －n = i∴f(p)+f(q) ≤f(m)+f(n) ……（14分）。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=x y y N x x x M ，则=⋂N M （ ）A ．)2,0(B ．)2,1(C ．)1,0(D ．∅2.已知i 为虚数单位，复数iai i z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（ ）A ．21B ．1C ．23 D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．21B ．22-π C. 41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（ ） A ．55 B ．25 C. 45 D ．35 6.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（ ）A ．552B ．55 C. 54 D ．51 7.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（ ）A ．]4,3[-B ．]3,1[- C. ]9,3[- D ．]4,3[8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（ ）A ．)0,6(πB ．)0,3(π C. )43,6(-πD ．)43,3(-π9. )102()1(10101022101105x C x C x C x ++++ 展开式中，7x 项的系数是（ ）A ．50400B ．15300 C. 30030 D ．15001510.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）A ．425πB ．1625π C. 41125π D ．161125π 11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，x x f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f （ ） A ．631 B ．1231 C. 635 D ．1235 12.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（ ） A ．)3,1( B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2018—2018年度第五次五校联考数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知,a b R ∈，若3234bii a i--=+，则a b +等于 A.9- B.5 C.13 D. 92.已知集合{}()(){}0,1,2,3,4,|50,A B x x x m m Z ==+-<∈，若A B 有三个元素，则实数m 的值是A. -2B. 2C.-3D.33.已知向量()()2,2sin ,3cos ,1,sin 23a mb θθθ==-=，若//a b ，则实数m 的值为A. -4B. -2C. 2D. 44.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[)[)[)[]80,82,82,84,84,86,,94,96，则样本的中位数在是单调函数的概率为A.第三组B. 第四组C. 第五组D. 第六组5.若在区间[]1,5-上任取一个数b ，则函数()()1xf x x b e =--在()3,+∞内A.12 B.13 C.23 D.256. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶为A,过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于B,C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为7. 我国古代数学名著《九章算术》有这样的问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？”意思是“今有一堵墙厚5尺，两只老鼠相向打洞窗墙.大老鼠第一天打洞1 尺，小老鼠第一天也打洞1尺.以后大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍，小老鼠每天穿墙尺数是前一天的12，问大、小老鼠几天后相遇？”若将题中条件“墙厚5尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的2倍”分别改为“墙厚10尺”和“大鼠每天穿墙尺数是前一天的32”，问在第几天会出现“大鼠穿墙总尺数是小鼠穿墙总尺数的4倍”情况 A. 3 B. 4 C. 5 D. 68.执行如图所示的程序框图，则下列说法正确的是 A. ()2,4a ∀∈，输出i 的值为5 B. ()4,5a ∃∈，输出i 的值为5 C. ()3,4a ∀∈，输出i 的值为5 D. ()2,4a ∃∈，输出i 的值为59.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为 A.13π B. 16π C.17π D.21π 10. 将函数()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位得到()g x 的图象，记函数()g x 在区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内的最大值为t M ,最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若,42t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h t 的最小值为1 B. 2111. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A,且被直线2px =MA ，若2MA AF=，则AF 等于A.1B. 2C. 3D.412.设{}min ,m n 表示,m n 二者中较小的一个，已知函数()2814,f x x x =++()()221min ,log 4,02x g x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，若[]()()125,4,0,x a a x ∀∈-≥-∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为A. -4B. -3C. -2D.0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等差数列{}n a 中，若352588,18a a a a a +=++=，则1a = .14. 若实数,x y 满足不等式组20240250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，且()()321x a y -++的最大值为5，则a = .15.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 是减函数，则不等式()()22log 23log 3f x f ->⎡⎤⎣⎦的解集为 .16.在长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD13,AA E =是1AA 的中点，过1C 作1C F ⊥平面BDE 与平面11ABB A 交于点F ，则1AFAA = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos 3.ac B bc A b -=（1）求sin sin AB的值； （2）若C角为锐角，3c C ==，求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分为正整数，满分100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布直方表（如图所示），解决下面问题.（1）求,a b 出的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.19.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，//,//,,AB DC PE DC AD DC PD ⊥⊥平面ABCD ，2,AB PD DA PE F ===是CE 的中点.（1）求证：//BF 平面ADP ；（2）已知O 是BD 的中点，求证：BD ⊥平面AOF .20.（本题满分12分）已知()()12,0,,0F c F c -分别是椭圆()2222:103x y G b a a b+=<<<的左、右焦点，点(是椭圆G 上一点，且12.PF PFa -=.（1）求椭圆G 的方程；（2设直线l 与椭圆G 相交于A,B 两点，若OA OB ⊥，其中O 是坐标原点，判断O 到直线l 的距离是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()()()212221ln .2f x x a x a x =-+++ （1）若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线的斜率小于0，求()f x 的单调区间； （2）对任意的35,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()()g x f x x λ=-在区间[]1,2上是增函数，求λ的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

当涂县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3=a 4﹣2，3S 2=a 3﹣2，则公比q=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62． 若函数y=|x|（1﹣x ）在区间A 上是增函数，那么区间A 最大为（ ）A ．（﹣∞，0） B．C ．[0，+∞） D．3． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题． 4． 已知F 1、F 2分别是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，）B．（，+∞） C．（，2）D ．（2，+∞）5． 设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） A ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥cB ．若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β C ．若b ⊂α，b ∥c ，则c ∥α D ．若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β6． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．2 B．C．D ．47． 过抛物线y=x 2上的点的切线的倾斜角（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°8． 已知二次曲线+=1，则当m ∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[，]B ．[，]C ．[，]D ．[，]9． 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即()2~100,X N a （0a >），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ） （A ） 400 （ B ） 500 （C ） 600 （D ） 800班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________10．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[] 11．已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ） A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 12．设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y轴上，则的值为（ ） A． B．C．D．二、填空题13．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为 ．14．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．15．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.16．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．17．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （2）=0，则不等式f （log 8x ）＞0的解集是 ．18．设α为锐角，若sin （α﹣）=，则cos2α= ．三、解答题19．如图，椭圆C 1：的离心率为，x 轴被曲线C 2：y=x 2﹣b 截得的线段长等于椭圆C 1的短轴长．C 2与y 轴的交点为M ，过点M 的两条互相垂直的直线l 1，l 2分别交抛物线于A 、B 两点，交椭圆于D 、E 两点， （Ⅰ）求C 1、C 2的方程；（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1、S 2，若，求直线AB 的方程．20．已知圆C 的圆心在射线3x ﹣y=0（x ≥0）上，与直线x=4相切，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为．（Ⅰ） 求圆C 的方程；（Ⅱ） 点A （1，1），B （﹣2，0），点P 在圆C 上运动，求|PA|2+|PB|2的最大值．21．已知数列{}n a 的前项和公式为2230n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求n S 的最小值及对应的值.22．已知cos （+θ）=﹣，＜θ＜，求的值．23．根据下列条件求方程．（1）若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，求抛物线的准线方程（2）已知双曲线的离心率等于2，且与椭圆+=1有相同的焦点，求此双曲线标准方程．24．（本小题满分12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求.（1）()()44a b --的值； （2）线段AB 中点P 的轨迹方程； （3）ADP ∆的面积的最小值.当涂县第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，3S 3=a 4﹣2，3S 2=a 3﹣2， 两式相减得 3a 3=a 4﹣a 3， a 4=4a 3， ∴公比q=4． 故选：B ．2． 【答案】B【解析】解：y=|x|（1﹣x ）=，再结合二次函数图象可知函数y=|x|（1﹣x ）的单调递增区间是：． 故选：B ．3． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.4． 【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x ﹣c ），与y=﹣x 联立，可得交点M （，﹣），∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有＞c 2，∴b 2＞3a 2，∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．5． 【答案】D【解析】解：对于A ，设正方体的上底面为α，下底面为β，直线c 是平面β内一条直线 因为α∥β，c ⊂β，可得c ∥α，而正方体上底面为α内的任意直线b 不一定与直线c 平行 故b ⊂α，c ∥α，不能推出b ∥c ．得A 项不正确；对于B ，因为α⊥β，设α∩β=b ，若直线c ∥b ，则满足c ∥α，α⊥β， 但此时直线c ⊂β或c ∥β，推不出c ⊥β，故B 项不正确； 对于C ，当b ⊂α，c ⊄α且b ∥c 时，可推出c ∥α． 但是条件中缺少“c ⊄α”这一条，故C 项不正确；对于D ，因为c ∥α，设经过c 的平面γ交平面α于b ，则有c ∥b 结合c ⊥β得b ⊥β，由b ⊂α可得α⊥β，故D 项是真命题 故选：D【点评】本题给出空间位置关系的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．6． 【答案】 C【解析】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF 1|=r 1，|MF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2∵∠F 1MF 2=，∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos ，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2，即=﹣1，②在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2，即=1﹣，③联立②③得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，即（+）2≤×4=，即+≤，当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．故选C．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．7．【答案】B【解析】解：y=x2的导数为y′=2x，在点的切线的斜率为k=2×=1，设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），由k=tanα=1，解得α=45°．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．8．【答案】C【解析】解：由当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线，双曲线+=1即为﹣=1，且a2=4，b2=﹣m，则c2=4﹣m，即有，故选C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题．9．【答案】A【解析】P（X≤90）＝P（X≥110）＝110，P（90≤X≤110）＝1－15＝45，P（100≤X≤110）＝25，1000×25＝400. 故选A.10．【答案】B【解析】当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

2018学年上学期高三五校联考数学参考答案一．选择题1D ，2D ，3C ，4B ，5A ，6D ，7A ，8B ，9C ，10A二．填空题 11.π23； 12.π34； 13． 22;0=-y x （第一个空2分，第二个空3分）； 14.1000三．解答题15．解：（1）设两班交换的都是油画，则此时甲班恰有2幅油画为事件A 1，若两班交换的是素描，则此时甲班恰有2个幅油画为事件A 2，则：1122111451()5C C P A C C == ……. 2分 1123211453()10C C P A C C == ……. 4分 故甲班恰有2幅油画的概率为: 12131()()5102P A P A +=+=………. 6分 （2）设甲班拥有的油画作品为ξ, 则ξ的所有可能取值分别为1,2,3 其中, 3(1)10P ξ== , 1(2)2P ξ== , 1(3)5P ξ== …… 9分 ∴ ξ分布列为：…… 11分 ∴ ξ的期望为：31119123102510⨯+⨯+⨯= …… 13分2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第1页共6页16．解（Ⅰ）在平面BCC 1B 1中，延长B 1E 交BC 于M ，作CT 垂直B 1M 于T ，连结DT ， ∵DC ⊥平面BCC 1B 1，∴DT ⊥B 1M∴∠DTC 就是二面角D —B 1E —B 的平面角 ……3分∵△CTE ∽△B 1C 1E ， ∴,111EB C B CECT =又B 1C 1=2a ，CE=a ，B 1E=a 5，∴CT=52111a EB CEC B =⋅∵CT ⊂平面BCC 1B 1， ∴DC ⊥CT ……6分 在Rt △DCT 中，tan ∠DTC=5=CTDC∴二面角D —B 1E —B 的大小为5arctan ……8分（Ⅱ）∵E 为CC 1的中点， ∴△CME ≌△C 1B 1E ∴CM=B 1C 1=AD ……10分 又CM//AD ， ∴ACMD 为平行四边形∴AC//DM ，且DM ⊂平面DB 1E ， 而AC ⊄平面DB 1E ， ∴AC//平面DB 1E ……13分17.解：（Ⅰ）45,14323241==+=+a a a a a a344,9,5032-=∴===∴>n a d a a d n …… 4分 n n s n -=22 …… 5分 （Ⅱ）cn n n c n s b n n +-=+=)12( 若{}n b 为等差数列 210-=∴≠c c此时n b n 2= …… 9分 （Ⅲ）361262512526)22)(25(2)(2≤++=++=++=nn n n nn n n n f当且仅当n=5时取等号 …… 13分2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第2页共6页18.解（1）（方法一）设N （x ，y ），∵PM PN+=0，即P 是MN 的中点，∴M （－x ，0），P （0，2y）， …… 2分∵PF PM ⋅=0，∴PM ⊥PF ， …… 4分∴ayx y -⋅22=－1， ∴y 2=4ax 即为所求. …… 6分（方法二）设N （x ，y ），M （x 0，0），P （0，y 0） 则).,(),,(),,(0000y y x PN y a PF y x PM-=-=-=…… 2分由PM ·=0，得ax 0+y 02=0，①由PN +PM =0，得（x +x 0，y －2y 0）=0，…… 4分即⎩⎨⎧=-=+,02,000y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=,2,00y y x x代入①得，y 2=4ax 即为所求. 6分 （2）设l 的方程为y =k （x －a ），由⎩⎨⎧-==),(,42a x k y ax y 消去x ，得y 2－k a 4y －4a 2=0，…… 8分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2=－4a 2， …… 9分KA =（x 1+a ，y 1），KB =（x 2+a ，y 2）， …… 10分KA ·KB =（x 1+a ）（x 2+a ）+y 1y 2=x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2+y 1y 2 =)44()4(222122221ay a y a a y y +⋅++a 2－4a 2 =41（y 12+y 22）－2a 2>41（2|y 1y 2|）－2a 22018学年上学期高三五校联考数学参考答案第3页共6页=21×4a 2－2a 2=0， ∴cos θ||||KB KA KB KA >0， ∴0<θ<2π.…… 13分19. 解：是R 上的奇函数10分列出表格又2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第4页共6页20. 解：（1）由题意知：……2分2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第5页共6页2018学年上学期高三五校联考数学参考答案第6页共6页。

2018届安徽省高三理科数学“五校”联考试题解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =>=--<，则A B = （ ） A ．{|12}x x -<< B ．{|1}x x >- C ．{|11}x x -<< D ．{|12}x x << 答案：D2. 函数()ln(1)f x x =-的大致图象是（ ）答案：A3. 已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若85S S =，则10a =（ ） A ．6- B ．3- C ．3 D ．0 答案：C4.已知函数()2sin cos sin ,0f x wx wx wx w =+⋅≠，则“1w =”是“函数()f x 的最小正周期为π”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充要不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：B5. 函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，若()11f =，则满足(2)1f x -≤的x 的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[1,1]-C ．[2,2]-D ．[0,4] 答案：A6. 为了得到函数22cos ()4y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =-的图象上所有的点（ ）A ．向右平移移动4π个单位B ．向左平移移动4π个单位C ．向上平行移动1个单位D ．向下平行移动1个单位 答案：C7. 已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++= ，向量,a b 的夹角为0150a 与b的夹角为（ ）A ．060B ．090C ．0120D ．0150 答案：B8. 若函数()2ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,2)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．33(,)24-B ．1[,3)2C ．3(,3)2-D ．13[,)24答案：D9. 若函数()(),f x g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()(),f x g x 为区间[1,1]-上的一组正交函数，给出三组函数①()()11sin ,cos 44f x xg x x ==；②()()1,1f x x g x x =+=-；③()()22,0,,0x x f x g x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B10. 已知正项等比数列{}()n a n N +∈满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14a =，则15m n+的最小值为（ ）A ．2B ．1+C ．74D ．114答案：C11. 已知()y f x =为(,0)-∞上的可导函数，()f x '为()y f x =的导函数且有()()f x f x x'>-，则对任意的,(,0)a b ∈-∞，当a b >时，有（ ）A ．()()af a bf b <B ．()()af a bf b >C ．()()af b bf a <D ．()()af b bf a > 答案：A12. 已知函数()221(),22(2),2416x x f x m mx x x -⎧<⎪⎪=≥⎨⎪≥⎪+⎩，若对任意1[2,)x ∈+∞，总存在2(,2)x ∈-∞使得12()()f x f x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,4 B ．[3,4) C ．[3,4] D ．[2,4) 答案：D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，则向量AB 在CD方向上的投影为 ．答案：14.已知变量,x y 满足约束条件203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则64x y x +--的最大值是 ．答案：13715.若函数()ln f x x ax =+的图象上存在与直线310x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(,3)-∞16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin(),01421()1,14x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()()25[](56)60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．答案：5(0,1){}4三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知是等比数列{}n a ，公比1q >，前n 项和为n S ，且3427,42S a a ==，数列{}n b 满足：1211log n b n a +=+ .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}1n n b b +的前n 项和为n T ，求证：1132n T ≤<.解：（1）331112341(1)771(1)222244S a q a a q q a q a a q ⎧-⎧⎧===⎪⎪⎪-⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪==⎩=⎩⎩，所以122212111122,2log log 221n n n n n n a b n a n n ---+=⨯====++-. （2）设11111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+，1211111111(1)(1)23352121221n n T c c c n n n =+++=-+-++-=--++ ， 因为1n n T T +<，所以11132n T T =≤<.18. 已知函数()2cos cos f x x x x a =++ . （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为1 ，求a 的值.解：（1）()1cos 212sin(2)262x f x x a x a π+=++=+++，所以最小正周期T π=， 由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数()f x 的单调递增区间是[,],36k k k Z ππππ-++∈. （2）因为63x ππ-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤， 所以1sin(2)126x π-≤+≤，因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为111(1)()1222a a +++-++=，所以14a =-.19.已知,,,ABC a b c ∆分别为角,,A B C 的对边，它的外接圆的半径为(R R 为常数），并且满足等式222(sin sin ))sin R C A b B -=-成立. （1）求A ；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.解：（1）由222(sin sin ))sin R C A b B -=-， 所以2224(sin sin )2)sin R C A R b B -=-，由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入222c a b -=-，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-==，所以4A π=. （2）由（1）知， 34B C π+=,所以22213sin sin sin sin sin()sin(2)2442R S bc A B C B B B ππ====-=-+,当且仅当38B C π==时，2max S R =.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设(3)n n c n b =-，求数列的前n 项和为n T .解：（1）11()2n n a -=；（2）由111()2n n n b b -+-=，则101212131121111112()()()()()()31222212n n n n n n b b b b b b b b -----=+-+-++-=+++==-- ， 因为11b =成立，所以2132n n b -=-、（3）由已知21()2n n c n -=，则1021111()2()()222n n T n --=⨯+⨯++⨯ ，01111111()2()()2222n n T n -=⨯+⨯++⨯ ， 两式相减得1021211111111()()()()4()()2222222n n n n n T n n -----=+++-=-- ，所以3221288222n n n n n n T ---+=--=-.21.已知函数()()ln ,f x x a x a R =-∈ . （1）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 解：（1）定义域为(0,)+∞，当0a =时，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，令()0f x '=，得1x e=，当1(0,)x e ∈时，()()0,f x f x '<为减函数；当1(,)x e∈+∞时，()()0,f x f x '>为增函数，所以函数()f x 的极小值是11()f e e =-.（2）由已知得()ln x af x x x-'=+，因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 设()ln g x x x x =+，要使得ln x x x a +≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，只要()min a g x ≤， 因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=，得21x e=， 当21(0,)x e ∈时，()()0,g x g x '<为减函数；当21(,)x e∈+∞时，()()0,g x g x '>为增函数， 所以()g x 的最小值为2211()g e e=-.故函数()f x 在(0,)+∞是增函数，实数a 的取值范围是21(,]e-∞-.22.已知函数()()ln ,(1)1x xf xg x a x x ==-+ .（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象恰好相切与点(1,0)P ，求实数a 的值； （2）当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：214ln(21)()41ni in n N i +=+≤∈-∑. 解：（1）12a =； （2）令()()()ln (1)1x xF x f x g x a x x =-=--+， 则()21ln (1)x xF x a x ++'=-+，因为()0F x =，所以()0F x ≤在[1,)+∞恒成立的必要条件为()0F x '≤，即204a -≤，所以12a ≥， 又当12a ≥时，()()ln ln 1(1)(1)112x x x x F x a x x h x x x =--≤--=++，()22222ln (1)2(1)x x x h x x ++-+'=+，令()2222ln (1)x x x x ϕ=++-+， 则()22(1)0x x x ϕ-'=≤，即()()10x ϕϕ≤=，所以()h x 在[1,)+∞递减， 所以()()10h x h ≤=，即()()0F x h x ≤≤， 所以()0F x ≤在[1,)+∞恒成立的充分条件为12a ≥，综上可得12a ≥. （3）设ln(21)n S n =+为{}n a 的前n 项和，则21ln 21n n a n +=-， 要证不等式，只需证：2214ln 2141n nn n +≤--， 由（2）知，12a =时，()()f x g x ≤，即21ln (1)2x x x ≤-（当且仅当1x =时取等号）， 令21121n x n +=>-，则22121121ln [()1]2121221n n n n n n +++≤----，即2212118ln 21212(21)n n n n n n ++≤---，即2214ln 2141n nn n +≤--， 从而原不等式得证.。

2018-2018年高三第五次间周考数学试卷(理复用)这里是我们的战场，请记住：坚持就是成功，坚持就是胜利！心态影响行动，行动养成习惯，习惯成就个性，个性决定命运！ 一．选择题：每小题5分，共60分．1．已知i 为虚数单位，则2212211i i i i +-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭A ．－3+4iB. 0C.－4+3iD.－4－3i2．节假日时，国人发手机短信问候亲友已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信问候的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别是8，15，14，3（人），通常情况下，小李应收到同事问候的信息条数为A ．27B ．37C ．38D ．８3．已知20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，其中,,a b c 是非零向量，且a 与b 不共线，则方程 A. 可能有无数个实数解 B. 至多有两个实数解 C. 至少有一个实数解D. 至多有一个实数解4．曲线f (x )=x 3－2在P 0点处的切线平行于直线y =3x －1,则P 0点的坐标为A.(1，0)B.(2，8)C.(1，－1)和(－1，－3)D.(2，8)和(－1，－4)15．已知在函数()xf x Rπ=的图象上，相邻的一个最大值和一个最小值点恰好在222x y R +=上，则()f x 的最小正周期为A 、1B 、2C 、3D 、46．已知函数)(x f y =的图象在点（1，f （1））处的切线方程是)1(2)1(,012f f y x '+=+-则的值是A ．21B ．1C ．23D ．27．315tan ︒等于()A 1 ()B ()C 1- ()D8．在空间，下列命题正确的是①若两直线a 、b 分别与直线l 平行，则a//b 。

②若直线a 与平面β内的一条直线b 平行，则a ∥β。

③若直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都垂直，则a ⊥β。

④若平面β内的一条直线a 垂直平面,γ则βγ⊥。

2017-2018学年甘肃省高三（上）第五次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=﹣x2B．y=e x﹣e﹣xC．y=ln（|x|+1）D．y=x•sinx+cosx3．（5分）下列命题中正确的个数是（）①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2x≤1；②命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题；③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p且q为真；④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）设a=20.3，b=3，c=ln（ln2）则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．6．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣77．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]8．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C． D．9．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程（）A．5x+y﹣7=0 B．x+5y﹣2=0 C．5x﹣y+7=0 D．5x+y+2=010．（5分）已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（）A．λ+μ=2 B．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣1 D．λμ=111．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．4+2B．4+C．4+2D．4+12．（5分）已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠﹣1）有4个不同的根，则k的取值范围是（）A．B．（﹣1，0）C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．14．（5分）已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则△ABC面积S的最大值为．15．（5分）若等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，BC=，∠ABC=45°，则•的值为．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x ∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（1）函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0．求的最小值．（2）已知且xy=﹣1．求的最小值．18．（12分）一个多面体的直观图及三视图如图1，2所示，其中 M，N 分别是 AF、BC 的中点．（1）求证：MN∥平面 CDEF；（2）求多面体的体积及表面积．19．（12分）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量（1）求∠B；（2）若ABC的面积．20．（12分）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．21．（12分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．选考题23．已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．选考题24．已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．2017-2018学年甘肃省高三（上）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）（2015•新课标II）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015秋•固原校级月考）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=﹣x2B．y=e x﹣e﹣xC．y=ln（|x|+1）D．y=x•sinx+cosx【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数进行判断即可．【解答】解：对于A，y=﹣x3是偶函数，在（0，+∞）上是减函数，不满足题意；对于B，y=e x﹣e﹣x=e x﹣为奇函数，且在（0，+∞）是增函数，不满足题意；对于C，y=ln（|x|+1）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是增函数，满足题意；对于D，y=x•sinx+cosx为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不满足题意．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．3．（5分）（2015秋•长春校级期末）下列命题中正确的个数是（）①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“任意x∉（0，+∞），2x≤1；②命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题；③若命题p为真，命题￢q为真，则命题p且q为真；④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①根据含有量词的命题的否定进行判断．②根据逆否命题的等价性进行判断．③根据复合命题真假之间的关系进行判断．④根据否命题的定义进行判断．【解答】解：①命题“任意x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“存在x∈（0，+∞），2x≤1；故①错误，②命题“若cosx=cosy，则x=y”的为假命题，则逆否命题也是假命题；故②错误，③若命题p为真，命题￢q为真，则命题q为假命题，则命题p且q为假命题；故③错误，④命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”．故④正确，故命题中正确的个数为1个，故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及含有量词的命题的否定，四种命题的关系以及复合命题真假之间关系，比较基础．4．（5分）（2014秋•邯郸期末）设a=20.3，b=3，c=ln（ln2）则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=20.3＜2，b=3＞=2，c=ln（ln2）＜0，∴b＞a＞c．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．（5分）（2011•陕西）设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】令a=1，b=4代入选项中，分别求得 a，，，b的值，进而可比较他们的大小【解答】解：令a=1，b=4则=2，=，∵1＜2＜＜4∴．故选B．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质．对于选择题可以用特殊值法，可以简便解题过程．6．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．7．（5分）（2011•福建）已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2]解法二：z=•=﹣x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0．故•和取值范围为[0，2]故选：C【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．8．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C． D．【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．9．（5分）（2015秋•固原校级月考）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程（）A．5x+y﹣7=0 B．x+5y﹣2=0 C．5x﹣y+7=0 D．5x+y+2=0【分析】求出函数的导数，得到切点处的斜率，然后求解切线方程．【解答】解：曲线y=﹣5e x+3可得y′=﹣5e x．曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线的斜率为：﹣5e0=﹣5．所以切线方程为：y+2=﹣5x．即5x+y+2=0．故选：D．【点评】本题考查切线方程的求法，注意求解切线的斜率是解题的关键，同时注意切线方程是“过点”还是“在点”是易错点．10．（5分）（2016•马鞍山一模）已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（）A．λ+μ=2 B．λ﹣μ=1 C．λμ=﹣1 D．λμ=1【分析】若A、B、C三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A、B、C三点共线的充要条件．【解答】解：若A、B、C三点共线，则向量∥即存在实数k，使得=k，∵=λ+，=+μ∴λ+=k（+μ），可得，消去k得λμ=1即A、B、C三点共线的充要条件为λμ=1故选：D【点评】本题给出向量、关于、的线性表达式，求A、B、C三点共线的充要条件．着重考查了平面向量共线的充要条件和平面向量基本定理等知识，属于基础题．11．（5分）（2014•宣城三模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．4+2B．4+C．4+2D．4+【分析】由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形．据此可计算出表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面SAC⊥面ABC，△SAC，△ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形，过D作AB的垂线交AB于E，连SE，则SE⊥AB，在直角三角形ABD中，DE==，在直角三角形SDE中，SE===，于是此几何体的表面积S=S△SAC+S△ABC+2S△SAB=×2×2+×2×2+2×××=4+2．故选A．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键，属于基础题．12．（5分）（2009•中山市模拟）已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠﹣1）有4个不同的根，则k的取值范围是（）A．B．（﹣1，0）C．D．【分析】把方程f（x）=kx+k+1的根转化为函数f（x）的图象和y=kx+k+1的图象的交点在同一坐标系内画出图象由图可得结论．【解答】解：因为关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠﹣1）有4个不同的根，就是函数f（x）的图象与y=kx+k+1的图象有4个不同的交点，f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，所以可以得到函数f（x）的图象又因为y=kx+k+1=k（x+1）+1过定点（﹣1，1），在同一坐标系内画出它们的图象如图，由图得y=kx+k+1=k（x+1）+1在直线AB和y=1中间时符合要求，而k AB=﹣所以k的取值范围是﹣＜k＜0故选D．【点评】本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2010•辽宁）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．【分析】由累加法求出a n=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【解答】解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n所以设f（n）=，令f′（n）=，则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．又因为，，所以的最小值为【点评】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．14．（5分）（2014•陕西二模）已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则△ABC面积S的最大值为．【分析】利用三角形面积公式变形出S，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即可求出S的最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA，S△ABC=bcsinA，∴分别代入已知等式得：bcsinA=2bc﹣2bccosA，即sinA=4﹣4cosA，代入sin2A+cos2A=1得：cosA=，∴sinA=，∵b+c=8，∴c=8﹣b，∴S△ABC=bcsinA=bc=b（8﹣b）≤•（）2=，当且仅当b=8﹣b，即b=4时取等号，则△ABC面积S的最大值为．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．（5分）（2015秋•固原校级月考）若等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，BC=，∠ABC=45°，则•的值为﹣3 ．【分析】根据已知条件及向量的加法：=，而要求只需知道向量的夹角，而通过过D作BC的平行线，根据已知的角即可求出的夹角，这样即可求得答案．【解答】解：如图，==；过D作DE∥BC，根据已知条件，∠ADC=135°，∠EDC=45°；∴∠ADE=90°；∴；∴．故答案为：﹣3．【点评】考查向量加法的几何意义，向量数量积的计算公式，以及等腰梯形的边角关系．16．（5分）（2015秋•固原校级月考）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是（1）（2）（4）．【分析】（1）利用函数y=f（x）是定义在R上的奇函数可知f（0）=0，且函数y=f（x）是以2为周期的函数，并在区间（0，1]上单调递减，从而可判断出f（x）在[﹣2，2]上有5个零点；（2）依题意，知点（0，0）为其对称中心，利用其周期性可知点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心；（3）作出函数y=f（x）的图象可知直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（4）利用函数y=f（x）的周期性与在区间[1，2）上为减函数可判断出f（9.2）＜f（π）．【解答】解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又f（x﹣3）=f（x﹣1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，且f（1﹣3）=f（1﹣1），即f（﹣2）=f（0）=0，又f（2）=﹣f（﹣2），∴f（2）=0；同理可得，f（1）=f（﹣1）=0，又当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1]上单调递减，故函数y=f（x）在区间[﹣1，0）上也单调递减，由函数y=f（x）是以2为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣2，﹣1]、[1，2）上单调递减，∴f（x）在区间[﹣2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π﹣2）=f（π），故（4）正确．综上所述，正确的是：（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性、周期性、对称性的综合应用，考查等价转化思想与数形结合思想的运用，考查推理运算能力，属于难题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2015秋•固原校级月考）（1）函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0．求的最小值．（2）已知且xy=﹣1．求的最小值．【分析】（1）通过函数经过的定点，得到m，n的关系，利用基本不等式求解表达式的最值．（2）先将关于s的表达式整理，再根据xy=1，由基本不等式的性质求出即可．【解答】解：（1）函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣2，﹣1），点A在直线mx+ny+1=0上，则，2m+n=1，mn＞0．=（）（2m+n）=3+，当且仅当n=m，并且2m+n=1时取等号．表达式的最小值为：3．（2）解：==，∵xy=﹣1，∴x2y2=1，∴s==1+，∵12x2+3y2≥2=12，∴s≥1+=，当且仅当“12x2=3y2”即x=﹣，y=或x=，y=﹣时“=”成立，表达式的最小值为：【点评】本题考查了函数的最值问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．18．（12分）（2015秋•固原校级月考）一个多面体的直观图及三视图如图1，2所示，其中 M，N 分别是 AF、BC 的中点．（1）求证：MN∥平面 CDEF；（2）求多面体的体积及表面积．【分析】由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且底面是一个直角三角形，由三视图中所标数据易计算出三棱柱中各棱长的值．（1）取BF的中点G，连接MG、NG，利用中位线的性质结合线面平行的充要条件，易证明结论；（2）利用所给数据即可求多面体的体积及表面积．【解答】（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且AB=BC=BF=4，DE=CF=，∠CBF=90°取BF的中点G，连接MG、NG，由M，N分别为AF，BC的中点可得，NG∥CF，MG∥EF，∴平面MNG∥平面CDEF，又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面CDEF．（2）S=（4+4+4）×4+2×=48+16，V==32．【点评】本题考查的知识点是简单空间图形有三视图、棱锥的体积及直线与平面平行的判定．根据三视图判断几何体的形状及线面之间的位置关系及长度（面积）大小是解答的关键．19．（12分）（2016•延安校级模拟）已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量（1）求∠B；（2）若ABC的面积．【分析】（1）由题设条件中的两向量平行，直接得到a2+c2﹣b2=ac，整理成角的余弦定理变式的形式，即可得到角B的余弦值，然后求出角B．（2）根据题设条件，先用正弦定理求出角A，再由内角和定理求出角C，下用面积公式即可求得△ABC的面积．【解答】解：（1）∵∴（a﹣c）c﹣（a+b）（a﹣b）=0，∴a2+c2﹣b2=ac（2分）由余弦定理得：（4分）又∵（6分）（2）∵∴（8分）∴a＜b∴A＜B∴（10分）∴（12分）【点评】本题的一大亮点是用向量的方式来给出题设条件，达到了考查知识间的横向联系的目的，同时本题对答题者公式掌握的熟练程度要求较高，训练读者认识到灵活的变形的依据是公式与定理．20．（12分）（2015•福建）等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10的值．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n=3+（n﹣1）=n+2；（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)=+=2101．【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键．21．（12分）（2015•山东）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1；（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在k=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通过g（x）的最大值，即可得到所求．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x+a）lnx的导数为f′（x）=lnx+1+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=1+a，由切线与直线2x﹣y=0平行，则a+1=2，解得a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=，当x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）递减，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）递增．当x=1时，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，即有f（x）在（k，k+1）递增，g（x）=的导数为g′（x）=，当x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）递增，当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）递减．则x=2取得最大值，令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣，T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0，T（x）的导数为T′（x）=lnx+1+﹣，由1＜x＜2，通过导数可得lnx＞1﹣，即有lnx+1+＞2；e x＞1+x，可得﹣＞，可得lnx+1+﹣＞2+=＞0，即为T′（x）＞0在（1，2）成立，则T（x）在（1，2）递增，由零点存在定理可得，存在自然数k=1，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=，其中x0∈（1，2），且x=2时，g（x）取得最大值，且为g（2）=，则有m（x）的最大值为m（2）=．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，同时考查零点存在定理和分段函数的最值，考查运算能力，属于中档题．选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）（2015•辽宁二模）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．【分析】（Ⅰ）证明BD平分∠ABC可通过证明D是的中点，利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线；（Ⅱ）由图形知，可先证△ABH∽△DBC，得到，再由等弧所对的弦相等，得到AD=DC，从而得到，求出AH的长【解答】解：（Ⅰ）∵AC∥DE，直线DE为圆O的切线，∴D是弧的中点，即又∠ABD，∠DBC与分别是两弧所对的圆周角，故有∠ABD=∠DBC，所以BD平分∠ABC（Ⅱ）∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC∴△ABH∽△DBC，∴又∴AD=DC，∴∵AB=4，AD=6，BD=8∴AH=3【点评】本题考查与圆有关的比例线段，解题的关键是对与圆有关性质掌握得比较熟练，能根据这些性质得出角的相等，边的相等，从而使问题得到证明选考题23．（2014•吉林二模）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．【分析】（1）利用两角差的余弦公式展开极坐标方程，再将直角坐标与极坐标的互化公式代入，极坐标方程即ρ2﹣4 （+），即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，故 x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+），由于﹣1≤sin（α+）≤1，可得 2≤x+y≤6．【解答】解：（1）即ρ2﹣4（+），即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin （α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．选考题24．（2015•丹东一模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，由此求得不等式的解集．（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得，∴不等式的解集为．…（5分）（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．解得a≥2，或a≤0．又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．…（10分）【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。